Graduado en Ingenierıa ....Curso academico 201n–201(n+ 1)

1er semestreProblemas de funciones lımites y continuidad en una variable

1) Estudiar el mayor dominio posible y la imagen de las siguientes funciones:

a)√x ; b)

√4− x2 ; c) 3

x2; d) ln(1− x) ; e) ln

(√1+x2

1−x2

)2) Determinar la paridad de las siguientes funciones:

a) 3x2 + 5x4 ; b) |x| ; c) |x+ 1| ; d) x2

1+x

3) Suponiendo que 0 esta en el dominio de la funcion impar f , calcular f(0).

4) Sea f(x) = 1 + 2x. ¿Para que valores de las constantes a y b conmuta la funciong(x) = ax+ b con f?. Es decir ¿cuando (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x)?

5) Si f(x) = 11−x , determinar el dominio de f ◦ f ◦ f .

6) Hallar el periodo de las siguientes funciones:

a) cosx ; b) tan x ; c) senx2

7) Indicar, razonadamente, si son o no entornos del punto√

2 los siguientes conjuntos:

a) (−1, 3); b) (√

2, 3); c)[−√

2,√

2]; d) (1, 2) ∪ {n, n ∈ N}; e) [−2, 2] ∩Q

8) Demostrar que si V1 y V2 son entornos de x0 ∈ R tambien lo es V1 ∩ V2.

9) Sea

f (x) =

{1 si x es entero,

0 si x no es entero.

1. Dibujar f(x)

2. ¿Para que valores existe lımite de la funcion?

10) Calcular los siguientes lımites:

a) lımx→∞

x2 + 2

3x3 + 2x+ 1b) lım

x→∞

2√x− 1−

√x+ 1

c) lımx→∞

(x2 + 1

x2 − 1

)2x+3

d) lımx→2

x2 − 5x+ 6

x3 − 2x2 − x+ 2e) lım

x→∞

√x+ 3−

√x+ 1√

x+ 2−√x+ 4

f) lımx→∞

(lnx)1x

11) Determinar a para que el lımite lımx→∞

(√x2 + 2x

x2 − 2

)ax

valga e.

1

12) Determinar

a) lımx→0

√1 + sen x−

√1− senx

xb) lım

x→∞

(cos

√2π

x

)x

c) lımx→0

cosx−√

cos 2x

sin2 xd) lım

x→0

cosx−√

cos 2x

sin3 x

e) lımx→0

ln(cosx)4√

1 + x2 − 1f) lım

x→0

(cosx

)cot2 x13) Calcular los siguientes lımites:

a) lımx→0

(x2 − 1) exp1

xb) lım

x→1

|x− 1|x− 1

c) lımx→0

x sen1

x

14) Calcular los siguientes lımites:

a) lımx→0

sen 3x sen 5x

(x− x3)2b) lım

x→0

4√x4 + 2x5

ln(1 + 6x)c) lım

x→0

ln(1 + x)

e2x − 1

d) lımx→0

ax − 1

bx − 1; b 6= 1 e) lım

x→0

(x+ e2x

) 1x f) lım

x→0

(arcsenx

x

) 1x2

15) Calcular

a) lımx→∞

2x+1

ln( x2

x2−1). b) lım

x→0

senx3

ln(1 + x+ x2). c) lım

x→0

e2x2 − 1

1− cos(2x).

d) lımx→0

tannx− n tanx

n sinx− sinnx. e) lım

x→0

(sin(x)

2x

) 1x2

.

16) Demostrar que cuando x→ 0, son equivalentes x2

y√

1 + x−1. Utilizar este resultadopara calcular

√0,98 de forma aproximada.

17) Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) lımx→∞

x · sen

(1− 1

x2

)x3= 1. b) lım

x→0

e2x2 − 1

1− cos(2x)= 1.

18) Demostrar que la funcion f (x) = x−1x+2

es continua en el punto x = 1.

19) Estudiar la continuidad de

f (x) =

{x−1|x|−1 si x 6= 1,

0 si x = 1.

2

20) Analizar la continuidad de la funcion

f(x) =

{− senx

xsi x 6= 0,

2 si x=0

en el punto x = 0.

21) Calcular el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas:

a) f(x) =

sin(ax) si x > 0,

0 si x = 0,

x2 + a si x < 0.

b) f(x) =

{e

−1x−1 si x < 1,

x+ a si x ≥ 1.

22) Estudiar las discontinuidades de las siguientes funciones:

a) exp( 1x)senπ

xb) arctan

(1

x−2

)c) sen

(x+2x−5

)d) xe

1x

23) Demostrar que la ecuacion x6+3x2−x = 2 tiene al menos una raız real en el intervalo(0, 1).

24) Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. La funcion f(x) =

{x sin( 1

x) si x 6= 0,

0 si x = 0presenta una discontinuidad evitable

en x = 0.

2. La funcion f(x) =

{ex

xsi x 6= 0

0 si x = 0posee una discontinuidad evitable en x = 0.

25) Dibujar la grafica de una funcion f que satisfaga las siguientes condiciones:

1. Domf = [−3, 3].

2. f(−3) = f(−1) = 1; f(2) = f(3) = 2.

3. f tiene una discontinuidad infinita en −1 y una discontinuidad finita en 2.

4. f es continua por la derecha en −1 y continua por la izquierda en 2.

26) Sea la ecuacion x3 + 2x+ 1 = 0, determinar el numero de soluciones reales que poseedicha ecuacion y calcularlas con un error menor de 10−1.

27) Sabiendo que la funcion f(x) = x3 + 3x− 1 no posee maximos ni mınimos relativos,calcular las soluciones de la ecuacion x3 + 3x− 1 = 0 con un error menor de 10−1.

28) Probar que el polinomio p(x) = x3 + x2 + 2x − 1 tiene una y solo una raiz real.Calcularla con un error menor de 10−1.

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29) Calcular con un error menor de 0,2 las soluciones de la ecuacion x3 +6x2 +9x+1 = 0que pertenecen al intervalo (−3,−1), sabiendo que la funcion f(x) = x3+6x2+9x+1posee un maximo relativo en x = −3 y un mınimo en x = −1.

30) Calcular las soluciones de la ecuacion 2x3 + x2 − x + 1 = 0 con un error menor de0,1, sabiendo que la funcion f(x) = 2x3 + x2 − x + 1 posee un maximo relativo en

x = −√7−16∼= −0,607 y un mınimo relativo en x =

√7−16∼= 0,274.

31) Sabiendo que la funcion f(x) = x3 − 3x + 1 posee un maximo relativo en x = −1 yun mınimo relativo en x = +1, analizar el numero de soluciones reales que posee laecuacion x3 − 3x + 1 = 0 mediante el teorema de Bolzano. Si existe alguna menorque cero, determinarla con un error menor de 0.1.

32) Sabiendo que la funcion f(x) = x4 + 3x3 + 2 solo posee un extremo relativo, unmınimo en x = −9

4, analizar el numero de soluciones reales que posee la ecuacion

x4 + 3x3 + 2 = 0 mediante el teorema de Bolzano.

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