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3º ESO – PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y SUCESIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.
SAGRADO CORAZÓN
COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ARNEDO (LA RIOJA)
1
PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y SUCESIONES
1.- MAGNITUDES DIRÉCTAMENTE PROPORCIONALES
Magnitud: todo aquello que se puede cuantificar o medir.
Definición: Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si ante aumentos de una de ellas se
producen aumentos de la otra o si ante disminuciones de una de ellas se producen disminuciones de la otra.
Se cumple que el cociente de dos cantidades correspondientes de ambas magnitudes es una constante “k”
que se llama “RAZÓN o constante de proporcionalidad”.
La relación entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes viene dada por la ecuación de
proporcionalidad: y = k · x ,
alidadproporcion de constante :k
magnitud segunda la de cantidades las son :y
magnitud primera la de cantidades las son :x
donde
EJEMPLO_ La siguiente tabla indica la relación entre las magnitudes longitud y perímetro de un cuadrado:
A : longitud del lado de un cuadrado.
B : perímetro de dicho cuadrado.
Podemos concluir: 1. A y B son magnitudes directamente proporcionales.
2. La razón de proporcionalidad será:
=
=
= 4 k=4
3.- Se cumple y = 4x {
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Se utiliza para resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes
directamente proporcionales. Una vez detectada la proporcionalidad directa, debemos indicarlo claramente colocando
un D en el espacio entre las magnitudes, se ponen los datos, se hace el producto cruzado y se despeja la “x”.
EJEMPLO_ ¿Cuánto cuestan 12 litros de leche si 5 litros cuestan 4,35 € ?
€ 44,105
1235,4x
x 12
35,4 5
euros litros
D
NOTA: Estos ejercicios se pueden resolver con la “x” en cualquiera de los cuatro lugares, siempre se debe evitar
mezclar cantidades de distinta magnitud, y se hará el producto de las cantidades cruzadas que no incluyan la “x”
dividido por la cantidad que esté cruzada con la “x”.
€ 44,105
1235,4x
4,35 5
x 12
euros litros
D
€ 44,105
1235,4x
12 x
5 4,35
litros euros
D
2.- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Definición: Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales si ante aumentos de una de ellas se
producen disminuciones de la otra o si ante disminuciones de una de ellas se producen aumentos de la otra.
Se cumple que el producto de dos cantidades correspondientes de ambas magnitudes es constante.
La relación entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes viene dada por la ecuación: x ·y = k .
EJEMPLO_ Esta tabla muestra la velocidad (en km/h) y el tiempo (en horas) empleados por un tren en realizar un
trayecto de 600 km.
· Podemos concluir: 1. Velocidad y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.
2. El producto de la velocidad por el tiempo es siempre constante e igual a 600:
200 · 3 = 150 · 4 = … = 50 · 12 = 40 · 15
3. La relación entre ambas magnitudes se expresa por la ecuación: x·y = 600 .
A 1 2 3 4 5 6 7
B 4 8 12 16 20 24 28
x: Velocidad 200 150 120 100 75 50 40
y: Tiempo 3 4 5 6 8 12 15
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REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Se utiliza para resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes
inversamente proporcionales. Una vez detectada la proporcionalidad inversa, debemos indicarlo claramente, se trata
de multiplicar los dos valores de arriba (siempre que la “x” esté abajo) y se divide del tercer valor que está a la
izquierda o derecha de la “x” según la hayamos dispuesto. Hay otra posibilidad de resolver la regla de tres simple
inversa, se le da la vuelta a los dos valores conocidos de una de las magnitudes y se procede como en una directa.
EJEMPLO_ Con el agua de un depósito se llenan 60 botellas de 5 litros. ¿Cuántas botellas de
se pueden llenar?
Antes de comenzar, transformamos a número decimal la fracción:
= 0,75 litros
botellas 40075,0
560x
0,75 x
5 60
litros botellas
I
También se pueden cambiar los dos valores que no afectan a la magnitud de “x”, (litros en este ejemplo) y terminarla
como si fuera una directa:
botellas 40075,0
560x
5 x
50,7 60
litros D botellas
0,75 x
5 60
litros botellas
I
NOTA: Igual que en la regla de tres directa, la “x” puede aparecer en cualquier de los cuatro lugares, sería interesante
que al leer el problema, lo hagamos de tal forma que la “x” quede a la derecha y abajo y así siempre deberíamos
hacer lo mismo para solucionar estos ejercicios.
botellas 40075,0
560x
5 60
50,7 x
litros botellas
I
botellas 40075,0
560x
x 0,75
60 5
botellas litros
I
3.- PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
La proporcionalidad compuesta trata de estudiar aquellos casos en los que intervienen más de dos
magnitudes, siendo una de ellas directamente o inversamente proporcional al resto. Tendremos tres posibles casos:
3.1 REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA
Todas las magnitudes son directamente proporcionales a una de ellas.
EJEMPLO_ En una fábrica de refrescos 5 máquinas embotelladoras llenan en 6 horas 7.200 envases. ¿Cuántos
envases llenarán en 8 horas 7 máquinas embotelladoras?
Aplicamos el método del “pez”, para ello debemos colocar el valor desconocido de la magnitud envases “x”,
abajo a la derecha. Para saber si las magnitudes “máquinas” y “horas”, son directa o inversamente proporcionales, se
debe comparar cada una de ellas con la magnitud de la que se desconoce el valor, “envases” en este ejemplo, dejando
fija la otra magnitud, así, la magnitud “máquinas” y la magnitud “envases” son directamente proporcionales pues al
aumentar el número de máquinas aumenta el número de envases, suponiendo las horas fijas. Una vez determinadas
las proporcionalidades, directas o inversas, se aplica el método del “pez”, consiste en dibujar un pez con la cola en la
“x” y se hace el producto siguiendo su forma:
horas 8 en máquinas 7 con envases 440.1330
200.403
65
78200.7x
x 8 7
200.7 6 5
envases horas máquinas
DD
Las reglas de tres compuestas se pueden resolver como dos reglas de tres simples, determinando
previamente de qué tipo son, y analizando la influencia que sobre los “envases”, en este caso, tienen las “máquinas” y
las “horas” por separado, independientemente del orden en que se haga.
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.- EFECTO MÁQUINAS – HORAS:
Veamos el efecto de la variación de las máquinas sobre los envases, mantenidas las horas constantes:
horas 6 en máquinas 7 con envases
D
080.105
400.50
5
7200.7x
x 7
200.7 5
envases máquinas
Ahora vemos el efecto de las horas sobre los envases ya modificados por el efecto de las máquinas:
horas 8 en máquinas 7 con envases
D
440.136
640.80
6
8080.10x
x 8
080.10 6
envases horas
.- EFECTO MÁQUINAS – HORAS:
Veamos el efecto de la variación de las horas sobre los envases, mantenidas las máquinas constantes:
horas 8 en máquinas 5 con envases
D
600.96
600.57
6
8200.7x
x 8
200.7 6
envases horas
Ahora vemos el efecto de las máquinas sobre los envases ya modificados por el efecto de las horas:
horas 8 en máquinas 7 con envases
D
440.135
200.67
5
7600.9x
x 7
600.9 5
envases máquinas
3.2 REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA
Todas las magnitudes son inversamente proporcionales a una de ellas.
EJEMPLO_ Un pueblo de 2.500 habitantes tiene agua para 100 días a razón de 30 litros por hab./día. ¿Cuál será el
gasto por hab./día si quieren que el agua dure 125 días y además se abastezca a una villa cercana de 500 habitantes?
x 125 3.000
30 100 2.500
litros días habitantes I I
Damos la vuelta a las dos inversas y la resolvemos como doble directa.
hab. 3.000 y días 125 para hab./díapor l. 20000.375
000.500.7
125000.3
500.210030x
x 100 2.500
30 125 3.000
litros D días D habitantes
NOTA: Al igual que en la regla de tres compuesta directa-directa, se pueden resolver estos ejercicios analizando el
efecto por separado de cada magnitud, en este ejemplo, de los habitantes en los litros y de los días en los litros.
Veamos el efecto de la variación de los habitantes sobre los litros, mantenidos los días constantes:
hab. 3.000 y días 100 para hab./díapor l. 25000.3
000.75
000.3
500.230x
x 3.000
30 2.500
litros habitantes
I
Ahora vemos el efecto de los días sobre los litros ya modificados por el efecto de los habitantes:
hab. 3.000 y días 125 para hab./díapor l. 20125
500.2
125
25100x
x 125
25 100
litros días
I
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3.3 REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA–INVERSA
Una magnitud es directamente proporcional a unas e inversamente proporcional a otras.
EJEMPLO_ En una campaña publicitaria 5 personas reparten 20.000 octavillas en 8 días. ¿Cuántos días tardarían 8
personas en repartir 36.000 octavillas?
x 36.000 8
8 20.000 5
días octavillas personas D I
Damos la vuelta a la inversa y lo resolvemos como doble directa.
oct. 36.000repartir en per. 8 tardan días 9000.160
000.440.1
000.208
5000.368x
x 36.000 5
8 20.000 8
días octavillas D personas
D
NOTA: En todos los casos hemos realizado las operaciones sin simplificar los resultados, pero dado que a veces los
números son muy grandes para operar con ellos es ACONSEJABLE simplificar previamente todo lo que se pueda.
5. entre mosSimplifica
rdenominado el en 5 queda 4 entre 20 ynumerador el en 9 queda 4 entre 36 abajo, y arriba 4por Dividimos
rdenominado ynumerador el en ceros tres y 8 un Quitamos
oct. 36.000repartir en per. 8 tardan días 95
59
20
536
000.208
5000.368x
(3)
(2)
(1)
)3()2()1(
4. REPARTOS PROPORCIONALES
4.1 REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Se trata de repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a ciertos números dados, de tal
forma que al número mayor le corresponda la cantidad mayor y entre todas sumen el total repartido.
EJEMPOLO_ Tres amigos compran un décimo de lotería, el primero juega 10 €, el segundo 6 € y el tercero 4 €. El
décimo sale premiado con 106.000 €. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Debemos sumar la cantidad que apuestan en total: 10 + 6 + 4 = 20 y hacer el reparto en base a esta cantidad.
€4 puso que amigo el para €200.21300.5420
000.1064x
€6 puso que amigo el para €800.31300.5620
000.1066x
€10 puso que amigo el para €000.53300.51020
000.10610x
z 4
y 6
x 10
106.000 20
premiados €jugados €
(*)
(*)
(*)
(*) Aprovechando que en las tres operaciones aparece 20
106.000 , hacemos esta división que da 5.300 y se
multiplica por 10, por 6 y por 4, respectivamente, así hacemos una división y tres productos, de otra manera se hacen
tres productos y tres divisiones.
Además se puede comprobar que: 53.000 + 31.800 + 21.200 = 106.000 € y que el amigo que más dinero
pone es el que más se lleva en el reparto y de forma directamente proporcional.
4.2 REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Se trata de repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a ciertos números dados, de tal forma que al
número mayor le corresponda la cantidad menor y entre todas sumen el total repartido.
EJEMPLO_ Repartir el número 41.987 de forma inversamente proporcional a los números 3, 6 y 9.
En un reparto inversamente proporcional debemos proceder de la siguiente forma, se calculan los inversos de
los números y se hace su suma, el reparto se hará de forma directamente proporcional a los números obtenidos en los
numeradores de cada inverso (fracción) después de hacer común denominador y sumarlos.
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Tomamos los inversos 3
1,
6
1,
9
1y los sumamos
18
11
18
2
18
3
18
6
9
1
6
1
3
1 , de esta manera el reparto
se hará sobre 6, 3 y 2, no sobre los números originales 3, 6 y 9.
9. originalvalor al ecorrespond 634.7817.3211
987.412x
6. originalvalor al ecorrespond 451.11817.3311
987.413x
3. originalvalor al ecorrespond 902.22817.3611
987.416x
z 2
y 3
x 6
41.987 11
(*)
(*)
(*)
(*) Aprovechando que en las tres operaciones aparece 11
41.987 , hacemos esta división que da 3.817 y se
multiplica por 6, por 3 y por 2, respectivamente, así hacemos una división y tres productos, de otra manera se hacen
tres productos y tres divisiones.
Además se puede comprobar que: 22.902 + 11.451 + 7.634 = 41.987 € y que el mayor número recibe la
menor cantidad de forma inversamente proporcional, así el número 6 que es el doble del 3 recibe 11.451 que es la
mitad de 22.902 y el número 9 que es el triple del 3, recibe 7.634 que es la tercera parte de 22.902.
5. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA
5.1 PORCENTAJES
Los porcentajes o tantos por cien expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales e
indican la cantidad de una de ellas que corresponde a 100 de la otra.
También se utilizan el tanto por uno y el tanto por mil.
EJEMPLO_ Observa las siguientes formas de expresar proporciones:
PROPORCIONALIDAD RAZÓN TANTO POR 1 TANTO POR 100 TANTO POR 1.000
25 de cada 100
0,25 25 % 250 ‰
4 de cada 10
0,40 40 % 400 ‰
3 de cada 5
0,60 60 % 800 ‰
35 de cada 1.000
0,35 3,5 % 35 ‰
EJEMPLO_ Para una biblioteca se compró una enciclopedia por 1.197 €, cuando su precio de venta era de 1.425 €.
¿Qué descuento se aplicó sobre el precio de venta?
.- PRIMERA FORMA_
Restamos para obtener el descuento aplicado: 1.425 – 1.197 = 228 €. Ahora hacemos una regla de tres para calcular
el porcentaje que supone este descuento:
% 16425.1
800.22
425.1
228100x
228 x
1.425 100
€ %
.- SEGUNDA FORMA_
Calculamos qué porcentaje supone la cantidad pagada sobre el precio de la enciclopedia, y luego restamos del 100 %:
% 16 % 84 - % 100% 84425.1
700.119
425.1
197.1100x
1.197 x
1.425 100
€ %
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EJEMPLO_ Carla pagó por una bicicleta 307,40 € incluido IVA del 16% sobre el precio de la bicicleta. ¿Cuál es el
precio de la bicicleta sin IVA?
Dado que el precio pagado lleva el IVA incorporado la regla de tres se debe hacer considerando que los 307,40 €
suponen el 116 %, mientras que la cantidad sin IVA supone el 100 %.
€265116
740.30
116
40,307100x
x 100
307,40 116
€ %
5.2 INTERÉS SIMPLE
Sean: C0: Capital_ Cantidad inicial de dinero invertida.
I: Interés_ Cantidad de dinero adicional que nos devuelven.
r: Rédito_ Interés que producen 100 € durante un año, tipo de interés o tanto por ciento de interés.
t: Tiempo_ Puede ir expresado en años, meses o días.
Tenemos la siguiente proporcionalidad compuesta directa - directa:
años. en tiempo el con 100
trCI
I años t C
r año 1 100
€ tiempo €
0
0
DD
meses. en tiempo el con 1.200
trCI
I meses t C
r meses 12 100
€ tiempo €
0
0
DD
días. en tiempo el con 36.000
trCI
I días t C
r días 36.000 100
€ tiempo €
0
0
DD
EJEMPLO_ Ana deposita 4.800 €. en un banco a un rédito del 3,5%. ¿Qué interés le producirá a Ana su dinero en un
año? ¿ y en 9 meses? ¿ y en 75 días?
Aplicando las expresiones anteriores: €168100
16.800
100
13,54.800I
€1261.200
151.200
1.200
93,54.800I
€35
36.000
1.260.000
36.000
753,54.800I
5.3 ESCALA
La escala es la proporción entre una longitud en un mapa, plano, maqueta,… y su correspondiente en la
realidad, es por tanto una proporcionalidad directa y se resuelve con una regla de tres simple directa.
Aplicaremos la expresión REALIDAD
MAPA
ESCALA
1 , donde se conocerán dos datos y nos solicitarán el tercero.
La escala numérica se expresa 1:5.000 que significa que una unidad (mm, cm, dm...) en el mapa son 5.000 (mm, cm,
dm…) en la realidad.
EJEMPLO_ La distancia entre dos pueblos en un mapa a escala 1:30.000 es de 12 cm. Indica la distancia en la
realidad expresada en kilómetros.
km 3,6 cm 000.3601
12000.30x
x
12
30.000
1
REALIDAD
MAPA
ESCALA
1
La escala es adimensional, significa que no tiene unidades, por tanto si tomamos cm. el resultado sale en cm. y
seremos nosotros los que debemos convertir el resultado a la unidad solicitada, km. en este caso.
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6. SUCESIONES
Una sucesión es un conjunto de números (se llaman términos de la sucesión) donde cada uno de ellos se
genera mediante una fórmula o expresión (se denomina término general).
EJEMPLO_ La sucesión que origina el termino general an = n2 + 4, está formada por los números: 5, 8, 13, 20,…
Estos números se obtienen dando valores a “n”, desde n = 1, n = 2, …, hasta el número que se desee.
Así, cuando n = 1, donde pone “n” se debe sustituir por “1” y obtenemos: a1 = 12 + 4 = 1 + 4 = 5, donde a1 se llama
“primer término de la sucesión” y su valor es 5.
Así, cuando n = 2, donde pone “n” se debe sustituir por “2” y obtenemos: a2 = 22 + 4 = 4 + 4 = 8, donde a2 se llama
“segundo término de la sucesión” y su valor es 8.
Así, cuando n = 3, donde pone “n” se debe sustituir por “3” y obtenemos: a3 = 32 + 4 = 9 + 4 = 13, donde a3 se llama
“tercer término de la sucesión” y su valor es 13.
Así, cuando n = n, donde pone “n” se debe sustituir por “n” y obtenemos: an = n2 + 4, donde an (la fórmula que
genera la sucesión o término general) se llama “término n-ésimo de la sucesión” y su valor es n2 + 4.
Las sucesiones son similares a las funciones pero hay dos diferencias importantes, en primer lugar las
sucesiones no se representan gráficamente y en segundo lugar, los valores de “n” deben ser números naturales
(hacen referencia al primer término “n = 1”, segundo término “n = 2”, … término n-ésimo “n = n”) mientras que en
las funciones los valores de “x” pueden ser cualquier tipo de número (xR), así la función f(x) = x2 + 4 se puede
calcular para x =1,1 siendo f(1,1) = 1,12 + 4 = 1,21 + 4 = 5,21 algo que en sucesiones es imposible de realizar.
Existen multitud de tipos de sucesiones de las cuales nosotros vamos a analizar dos modelos, son las
progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Para calcular el término general de aquellas sucesiones que
no sigan estos modelos deberemos acudir al sentido común, es decir, las calcularemos “a ojo”, aunque para otros
modelos existen sus propios mecanismos, nosotros no los vamos a estudiar.
EJEMPLO_ Calcula el término general de las siguientes sucesiones:
a) 0, 3, 8, 15, 24,… El término general de esta sucesión es an = n2 – 1.
b) ,...125
32 ,
4
1 ,
27
8 ,
2
1 , 2 esta sucesión es difícil de intuir, quizás escrita así, ,...
125
32 ,
64
16 ,
27
8 ,
8
4 ,
1
2 sin
simplificar, podemos ser capaces de ver cuál es su término general, se observa que el numerador se va duplicando y
responde a la expresión “2n”, mientras que el denominador son los cubos “n3” así el término general será: . n
2a
3
n
n
7. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética es aquella sucesión en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija
(llamada diferencia “d”) al anterior. Siempre que restemos dos términos consecutivos se obtendrá la diferencia “d”.
7.1 TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
El término general de una progresión aritmética se obtiene mediante la expresión: an = a1 + (n – 1) · d
Partiendo de la definición de progresión aritmética se tiene:
a2 = a1 + d (1) a2 = a1 + d
a3 = a2 + d =(1) a1 + d + d = a1 + 2d (2) a3 = a1 + 2d
a4 = a3 + d =(2) a1 + 2d + d = a1 + 3d (3) a4 = a1 + 3d
a5 = a4 + d =(3) a1 + 3d + d = a1 + 4d (4) a5 = a1 + 4d ……
an = an-1 + d = a1 + (n – 2)d + d = a1 + nd – 2d + d = a1 + nd – d = a1 + (n – 1) ·d an = a1 + (n – 1) · d
Esta expresión del término general depende del conocimiento del primer término, pero habitualmente el que
se conoce es otro término cualquiera “ak”, por lo que la expresión se puede dar: an = ak + (n – k) · d
EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión: 4, 7, 10, 13, 16,…
Se trata de una progresión aritmética de diferencia d=3, se observa a partir de:
a2 – a1 = 7 – 4 = 3 a3 – a2 = 10 – 7 = 3 a4 – a3 = 13 – 10 = 3 a5 – a4 = 16 – 13 = 3
El término general será: an = a1 + (n – 1) · d = 4 + (n – 1) · 3 = 4 + 3n – 3 = 3n + 1 an = 3n + 1
Se puede comprobar que: a1 = 3 · 1 + 1 = 3 + 1 = 4 o a5 = 3 · 5 + 1 = 15 + 1 = 16
3º ESO – PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y SUCESIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.
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EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión cuyo octavo término vale 28 (a8 =28) y la diferencia es d=5.
Se trata de una sucesión de la que conocemos:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
28
Sumando 5 a derechas del a8 y restando 5 a izquierdas del a8 se pueden conocer los términos de la sucesión:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
(–5) –7 (–5) –2 (–5) 3 (–5) 8 (–5) 13 (–5) 18 (–5) 23 28 (+5) 33 (+5) 38
Esta forma de proceder se puede utilizar cuando las sucesiones son sencillas de calcular y los términos solicitados son
relativamente cercanos al inicio de la progresión, pero en general deberemos hacer uso de las fórmulas. Una vez
conseguida la sucesión con su primer término y la diferencia se procede como en el ejemplo anterior:
Se trata de una progresión aritmética de diferencia d=5 y a1 = –7 y se tiene como término general:
an = a1 + (n – 1) · d = –7 + (n – 1) · 5 = –7 + 5n – 5 = 5n – 12 an = 5n – 12
Se puede comprobar que: a8 = 5 · 8 – 12 = 40 – 12 = 28
Aplicando las fórmulas desde el principio se debe proceder:
1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 + (n – 1) · d
Como no conocemos a1 la primera misión será calcular este primer término conocido el octavo a8 = 28 (n = 8):
a8 = a1 + (8 – 1) · d 28 = a1 + (8 – 1) · 5 28 = a1 + 7 · 5 28 = a1 + 35 a1 = 28 – 35 = –7
Una vez obtenido el primer término a1 = –7, se calcula el término general:
an = a1 + (n – 1) · d = –7 + (n – 1) · 5 = –7 + 5n – 5 = 5n – 12 an = 5n – 12
Se puede comprobar que: a8 = 5 · 8 – 12 = 40 – 12 = 28
2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak + (n – k) · d
Como no conocemos a1 utilizamos esta expresión donde ak = a8 = 28 (k = 8):
an = a8 + (n – 8) · d an = 28 + (n – 8) · 5 an = 28 + 5n – 40 an = 5n – 12
Se puede comprobar que: a8 = 5 · 8 – 12 = 40 – 12 = 28
Este último procedimiento (2.ª FORMA) suele ser más corto que el anterior (1.ª FORMA).
EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión de la que conocemos a5 = 21 y a9 = 49.
Se trata de una sucesión de la que conocemos:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
21 57
Aplicando las fórmulas se debe proceder:
1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 + (n – 1) · d
Como no conocemos ni “d” ni “a1” la primera misión será calcular estos parámetros conocidos a5 = 21 y a9 = 57:
a9 = a1 + (9 – 1) · d 57 = a1 + 8d
a5 = a1 + (5 – 1) · d 21 = a1 + 4d
Hemos obtenido un sistema que se puede resolver por sustitución o por reducción, lo resolvemos por ambos métodos:
.- Por sustitución: Despejamos a1 en la primera: a1 = 57 – 8d
Sustituimos en la segunda: 21 = 57 – 8d + 4d
Despejamos d: 4d = 57 – 21 = 36 d = 9
Calculamos a1 en una de las ecuaciones: a1 = 57 – 8d = 57 – 8 · 9 = 57 – 72 = –15
.- Por reducción: Restamos ambas ecuaciones y queda: 36 = 4d
Despejamos d: 4d = 36 d = 9
Calculamos a1 en una de las ecuaciones: a1 = 21 – 4d = 21 – 4 · 9 = 21 – 36 = –15
Una vez obtenido el primer término a1 = –15, se calcula el término general:
an = a1 + (n – 1) · d = –15 + (n – 1) · 9 = –15 + 9n – 9 an = 9n – 24
Se puede comprobar que: a5 = 9 · 5 – 24 = 45 – 24 = 21
y que: a9 = 9 · 9 – 24 = 81 – 24 = 57
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2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak + (n – k) · d
Por esta vía no necesitamos conocer a1, basta con calcular “d” y lo hacemos sustituyendo a5 y a9 en la expresión:
an = ak + (n – k) · d a9 = a5 + (9 – 5) · d 57 = 21 + 4d 4d = 36 d = 9
Ahora se sustituye en una de las dos expresiones:
an = ak + (n – k) · d an = a9 + (n – 9) · 9 an = 57 + 9n – 81 an = 9n – 24
an = ak + (n – k) · d an = a5 + (n – 5) · 9 an = 21 + 9n – 45 an = 9n – 24
Se puede comprobar que: a5 = 9 · 5 – 24 = 45 – 24 = 21
y que: a9 = 9 · 9 – 24 = 81 – 24 = 57
La sucesión que nos están pidiendo tiene los siguientes términos:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
–15 –6 3 12 21 30 39 48 57 66
7.2 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Cuando tenemos una serie de números, sean una sucesión o no, muchas veces nos vemos en la necesidad de
tener que calcular su suma. En el caso de las progresiones aritméticas, dada su patrón de formación, es muy sencillo
el cálculo de esta suma de una manera intuitiva.
EJEMPLO_ Calcula la suma de los 100 primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … + 99 + 100.
Si tenemos en cuenta que 1 + 100 = 2 + 99 =
3 + 98 = … = 49 + 52 = 50 + 51 = 101, se
puede hacer el siguiente cálculo: 101 (es la
suma de cada pareja) · 50 (es el número de
parejas que se pueden formar con los 100
primeros números naturales) = 5.050 que es el
valor de la suma.
Como decimos en el caso de las progresiones aritméticas la fórmula que permite calcular la suma de los n
primeros números de la sucesión es:
2
naaS
n1
n
EJEMPLO_ Calcula la suma de los 100 primeros números naturales.
Consideramos la sucesión: 1, 2, 3, … , 99, 100, donde a1 = 1 y d = 1.
Para aplicar la fórmula necesitamos conocer a1, an y n. Sabemos que a1 = 1 y que n = 100, calculamos an:
an = a1 + (n – 1) · d = 1 + (n – 1) · 1 = 1 + n – 1 = n an = n y por tanto a100 = 100.
Aplicando la fórmula:
050.5501012
1001001
2
100aaS
1001
100
EJEMPLO_ Juan quiere comprarse una bicicleta de montaña de 825 €. Decide ahorrar 20 € el primer mes y cada 5 €
más que el anterior. ¿Cuántos meses tardará en ahorrar la cantidad necesaria para comprar la bici?
Consideramos las cantidades de ahorro como una sucesión aritmética con a1 = 20, d = 5 y Sn = 825.
Desconocemos an an = a1 + (n – 1) · d = 20 + (n – 1) · 5 = 20 + 5n – 5 = 5n + 15 an = 5n + 15.
Aplicando la fórmula:
0650.135nn5n535n1.650
2
n155n20825
2
naaS
22n1
n
por tanto debemos
resolver la ecuación de segundo grado (una vez simplificada): n2 + 7n – 330 = 0
No 222
44
2
377 n
Sí 152
30
2
377n
2
377
2
1.3497
2
1.320497
2
330)(1477n
2
12
La solución por tanto es n = 15, esto es, 15 meses tardará en ahorrar los 825 € que necesita.
1 2 3 … 49 50 51 52 … 98 99 100
101 101 101 101 101
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Siendo a15: a15 = a1 + (15 – 1) · 5 = 20 + 14 · 5 = 20 + 70 = 90 a15 = 90.
Se puede comprobar que:
€8252
650.1
2
15110
2
519020
2
15aaS
151
15
También de una manera mecánica:
Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6 Mes7 Mes8 Mes9 Mes10 Mes11 Mes12 Mes13 Mes14 Mes15 Total
20 € 25 € 30 € 35 € 40 € 45 € 50 € 55 € 60 € 65 € 70 € 75 € 80 € 85 € 90 € 825 €
8. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica es aquella sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando por una
cantidad fija (llamada razón “r”) al anterior. Si dividimos dos términos consecutivos se obtendrá la razón “r”.
8.1 TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
El término general de una progresión geométrica se obtiene mediante la expresión: an = a1 · rn–1
Partiendo de la definición de progresión geométrica se tiene:
a2 = a1 · r (1) a2 = a1 · r
a3 = a2 · r =(1) a1 · r · r = a1 · r
2 (2) a3 = a1 · r2
a4 = a3 · r =(2) a1 · r
2 · r = a1 · r3 (3) a4 = a1 · r
3
a5 = a4 · r =(3) a1 · r
3 · r = a1 · r4 (3) a5 = a1 · r
4 ……
an = an-1 · r = a1 · rn–2 · r = a1 · r
n–1 an = a1 · rn–1
Esta expresión del término general depende del conocimiento del primer término, pero habitualmente el que
se conoce es otro término cualquiera “ak”, por lo que la expresión se puede dar: an = ak · rn–k
EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión: 4, 12, 36, 108, 324,…
Se trata de una progresión geométrica de razón r=3, se observa a partir de:
34
12
a
a
1
2 3
12
36
a
a
2
3 3
36
108
a
a
3
4 3
108
324
a
a
4
5
El término general será: an = a1 · rn–1 = 4 · 3n–1 an = 4 · 3n–1
Se puede comprobar que: a1 = 4 · 31–1 = 4 · 30 = 4 · 1 = 4 o a5 = 4 · 35–1 = 4 · 34 = 4 · 81 = 324
EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión cuyo cuarto término vale 112 (a4 =112) y la razón es r=2.
Se trata de una sucesión de la que conocemos:
Multiplicando por 2 a derechas del a4 y dividiendo por 2
a izquierdas del a4 se pueden conocer los términos de
la sucesión:
Esta forma de proceder se puede utilizar cuando las sucesiones son sencillas de calcular y los términos solicitados son
relativamente cercanos al inicio de la progresión, pero
en general deberemos hacer uso de las fórmulas.
Una vez conseguida la sucesión con su primer término
y la razón se procede como en el ejemplo anterior:
Se trata de una progresión geométrica de razón r=2 y a1 = 14 y se tiene como término general:
an = a1 · rn–1 = 14 · 2n–1 an = 14 · 2n–1
En ocasiones se puede operar sobre la expresión y escribir el término general de otra manera que no haga referencia
directamente al primer término, en este caso se podría operar: an = 14 · 2n–1 = 2 · 7 · 2n · 2-1 = 7 · 2n an = 7 · 2n
Se puede comprobar que: a4 = 14 · 24–1 = 14 · 23 = 14 · 8 = 112 o a4 = 7 · 24 = 7 · 16 = 112
Aplicando las fórmulas desde el principio se debe proceder:
1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 · rn–1
Como no conocemos a1 la primera misión será calcular este primer término conocido el cuarto a4 = 112 (n = 4):
a4 = a1 · r4–1 112 = a1 · 2
3 112 = a1 · 8 148
112a
1
a1 a2 a3 a4 a5 a6
112
a1 a2 a3 a4 a5 a6
(:2) 14 (:2) 28 (:2) 56 112 (·2) 224 (·2) 448
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Una vez obtenido el primer término a1 = 14, se calcula el término general:
an = a1 · rn–1 = 14 · 2n–1 an = 14 · 2n–1
que también se puede expresar: an = 14 · 2n–1 = 2 · 7 · 2n · 2-1 = 7 · 2n an = 7 · 2n
Se puede comprobar que: a4 = 14 · 24–1 = 14 · 23 = 14 · 8 = 112 o a4 = 7 · 24 = 7 · 16 = 112
2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak · rn–k
Como no conocemos a1 utilizamos esta expresión donde ak = a4 = 112 (k = 4):
an = a4 · rn–4 an = 112 · 2n–4
que también se puede expresar: an = 7 · 16 · 2n · 2–4 = 7 · 24 · 2n · 2–4 = 7 · 2n an = 7 · 2n
Se puede comprobar que: a4 = 112 · 24–4 = 112 · 20 = 112 · 1 = 112 o a4 = 7 · 24 = 7 · 16 = 112
Este último procedimiento (2.ª FORMA) suele ser más corto que el anterior (1.ª FORMA). Además podemos ver que la
forma de expresar el término general no es única, pues en este caso se han dado hasta tres diferentes.
EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión de la que conocemos a3 = 75 y a6 = 9.375.
Se trata de una sucesión de la que conocemos:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
75 9.375
Aplicando las fórmulas se debe proceder:
1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 · rn–1
Como no conocemos ni “r” ni “a1” la primera misión será calcular estos parámetros conocidos a3 = 75 y a6 = 9.375:
a6 = a1 · r6–1 9.375 = a1 · r
5
a3 = a1 · r3–1 75 = a1 · r
2
Hemos obtenido un sistema que se resolvemos por sustitución:
Despejamos a1 en la primera: 51
r
9.375a
Sustituimos en la segunda: 3
2
5 r
9.37575r
r
9.37575
Despejamos r: 512575
9.375r
75
9.375r
33
3
Calculamos a1 en una de las ecuaciones: 9.375 = a1 · 55 3
3.125
9.375
5
9.375a
51
Una vez obtenido el primer término a1 = 3, se calcula el término general:
an = a1 · rn–1 = 3 · 5n–1 an = 3 · 5n–1
Se puede comprobar que: a3 = 3 · 53–1 = 3 · 52 = 3 · 25 = 75
y que: a6 = 3 · 56–1 = 3 · 55 = 3 · 3.125 = 9.375
2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak · rn–k
Por esta vía no necesitamos conocer a1, basta con calcular “r” y lo hacemos sustituyendo a3 y a6 en la expresión:
an = ak · rn–k a6 = a3 · r
6–3 9.375 = 75 · r3 512575
9.375r
75
9.375r
33
3
Ahora se sustituye en una de las dos expresiones:
an = ak · rn–k an = a6 · r
n–6 an = 9.375 · 5n–6 an = 3 · 3.125 · 5n · 5–6 an = 3 · 55 · 5n · 5–6 an = 3 · 5n–1
an = ak · rn–k an = a3 · r
n–3 an = 75 · 5n–3 an = 3 · 25 · 5n · 5–3 an = 3 · 52 · 5n · 5–3 an = 3 · 5n–1
Se puede comprobar que: a3 = 3 · 53–1 = 3 · 52 = 3 · 25 = 75
y que: a6 = 3 · 56–1 = 3 · 55 = 3 · 3.125 = 9.375
La sucesión que nos están pidiendo tiene los siguientes términos:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
3 15 75 375 1.875 9.375 46.875
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8.2 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
En el caso de las progresiones geométricas la deducción de la fórmula que permite calcular la suma de los
términos de dicha sucesión no es tan sencilla como en la aritmética, así que directamente vemos la fórmula que tiene
dos versiones:
1.ª VERSIÓN: Cuando conocemos el primer término “a1” y el último “an” a sumar y también se conoce la razón “r”.
1r
aarS
1n
n
2.ª VERSIÓN: Cuando conocemos el primer término “a1” y la razón “r”.
1r
1raS
n1
n
EJEMPLO_ Dada la progresión geométrica 1, 3, 9, 27, 81,… Calcula la suma de los diez primeros términos:
La razón es r = 3: 31
3
a
a
1
2 3
3
9
a
a
2
3 3
9
27
a
a
3
4 3
27
81
a
a
4
5
Aplicando las fórmulas:
1.ª VERSIÓN: No conocemos a10, debemos calcularlo, an = a1 · rn–1 a10 = 1 · 310–1 = 1 · 39 = 19.683 y ahora:
524.292
59.048
2
1-59.049
13
119.6833
1r
aarS
1n
n
2.ª VERSIÓN: Tenemos la información suficiente y por tanto:
524.29
2
048.29
2
048.591
2
159.0491
13
1r1
1r
1raS
10n1
n
También de una manera mecánica:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 TOTAL
1 3 9 27 81 243 729 2.187 6.561 19.683 29.524
7.3 SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE
En el caso de las progresiones geométricas decrecientes r<1 (con r>0, cuando r<0 las sucesiones son
alternamente positivas negativas y casi no las estudiamos), se puede considerar la suma de todos los términos, pues a
partir de un momento de la sucesión, los términos son tan pequeños que no aportan nada a la misma.
La fórmula que permite calcular esta suma es: r1
aS
1
n
EJEMPLO_ Dada la progresión geométrica 1000, 500, 250, 125,… Calcula la suma de todos sus términos.
Se trata de una progresión geométrica decreciente de razón:
2
1r
2
1
000.1
500
a
a
1
2
2
1
500
250
a
a
2
3
2
1
250
125
a
a
3
4
Por tanto aplicando la fórmula: 000.2
2
1
000.1
2
12
000.1
2
1
2
2
000.1
2
11
000.1
r1
aS
1
n
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …….. TOTAL
1.000 500 250 125 62,5 31,25 15,625 7,8125 3,90625 1,953125 2.000
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NOTAS_ PROPORCIONALIDAD y SUCESIONES
* SÍMBOLOS:
_ “Implica” o “quiere decir” o “supone que”, la relación es cierta de izquierda a derecha.
_ “Implica” o “quiere decir” o “supone que”, la relación es cierta de derecha a izquierda.
_ “Doble implica”, la relación es cierta en ambos sentidos.
≠ _ “Distinto” ∞ _ “Infinito” ≈ _ “Aproximado”
_ “Pertenece” _ “No pertenece” / _ “Tal que”
Π _ “Tal que” ∃ _ “Existe” ∄ _ “No existe”
α _ “Alfa” β _ “Beta” _ “Gamma”