Post on 14-Apr-2017
UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA DE SANTA ELENA
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
TÍTULO DEL PROYECTO
“Ecuaciones Trigonométricas’’
AUTORES: FIERRO HERRERA FERNANDO FRANCISCO MONGE LOOR JESÚS ANDRÉS SABANDO MORÁN LORENA PAOLA
CARRERA: INGENIERÍA EN PETRÓLEO
PET 20
DOCENTE: Ing. Carlos Malavé Carrera.
SANTA ELENA Agosto 2015.
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ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL. ...................................................................................................... ..2
INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………….……...3
OBJETIVOS……………………………………………………………………………......................................3
ESQUEMA DE CONTENIDOS……………………………………………………………………………………….4
CAPÍTULO I ................................................................................................................. 5
TRIGONOMETRIA……………………………………………………………………………………………………….5
Ramas de la Trigonometria: ..................................................................................... 6
CAPÍTULO II ................................................................................................................ 7
RADIANES Y GRADOS SEXAGESIMALES .............................................................. 7
Radian…………………………………………………………………………………………………………………….7
Grados Sexagesimales……………………………………………………………………………………………..7
Conversión de radianes a grados sexagesimales y viceversa……………………………………8-9
CAPTULO III……………………………………………………………………………………………………10
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES…………………………..……10-11
CAPITULO IV……………………………………………………………………………………………………12
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS……………………………………………………………………12
Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Trigonométricas…………………………..…13-14-15
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………………16
ANEXOS………………………………………………………………………………………………………….17
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INTRODUCCIÓN
Las matemáticas mejoran el pensamiento crítico y las habilidades de resolución de
problemas. Proporciona una perspectiva de los acontecimientos de la vida real. La
trigonometría es un área de las matemáticas que prueba la propiedad de los
triángulos. Se utiliza en los sistemas de satélites y la astronomía, aviación,
ingeniería, topografía, la geografía y muchos otros campos. Precisamente, la
trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de triángulos,
círculos, ondas y oscilaciones.
OBJETIVOS
Conocer los ángulos notables y su transformación
Usar de manera correcta las identidades trigonométricas
Aplicar los conocimientos para la correcta resolución de las de diferentes
ejercicios de Ecuaciones trigonométricas propuestas
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ESQUEMA DE CONTENIDOS:
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CAPITULO I
TRIGONOMETRIA.
Decimos que trigonometría es literalmente el estudio de las relaciones existentes
entre todas las medidas (de lados y ángulos) de un triángulo. Cabe señalar, no
obstante que el enfoque meramente triangular de trigonometría es antiguo, ya que
actualmente se considera o prefiere un enfoque circular a la hora de enseñar este
estudio en nuestras escuelas, por ello habrás escuchado hablar del famoso círculo
trigonométrico.
Originalmente se utilizaba la trigonometría para definir las relaciones entre los
elementos básicos de un triángulo, esto es los seis elementos principales: los 3
lados y 3 ángulos. No cualesquiera tres segmentos pueden servir como los lados
de un triángulo (han de cumplir una cierta relación para que el triángulo “cierre”).
Por otra parte, no cualquieras tres ángulos pueden ser los ángulos de un
triángulo: los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo llano, es decir 180º.
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RAMAS DE LA TRIGONOMETRÍA
El estudio de la trigonometría se divide en dos enfoques claramente diferentes:
El estudio de las figuras en el plano, esto es las que comúnmente
llamamos bidimensionales (dos dimensiones = plano). Esta es la rama
llamada: trigonometría plana.
El estudio de las figuras que forman parte de la superficie de una esférica. Esta es
la rama llamada: trigonometría esférica.
La trigonometría Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las
técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para
medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre
puntos geográficos, y en sistemas global de navegación por satélites.
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CAPITULO II
RADIANES Y GRADOS SEXAGESIMALES.
Radian
Un radian es la unidad del Sistema Internacional de medida del ángulo plano y se
define como el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al
radio. El ángulo θ en radianes equivale a decir cuántas veces está contenido el
radio R en la porción de arco d-s correspondiente: d-s=R·dθ. La magnitud de un
ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia
que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es
independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes
iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es
pequeña, normal o familiar.
Grado Sexagesimal
El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos
sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados
sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal,
están definidos del siguiente modo:
1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).
1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales)
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Conversión de Radian a Sexagesimal y Viceversa.
Conversión de Radianes a Grados Sexagesimales:
Veamos un ejemplo:
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟 5𝜋
22 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
1. Lo describimos de la siguiente manera:
5𝜋
22×
180
𝜋= 40° 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠𝑆𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
Lo que se hizo en éste primer paso, fue convertir los radianes a grados,
multiplicando los (5 π x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la función
π en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a 3.1415927. Luego
multiplicamos los (22 x π = 69.115038).
Ahora dividimos los resultados: 2827.4334 ÷ 69.115038, teniendo como respuesta
40.909091.
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Conversión de Grados Sexagesimales a Radianes
38.2544 ° a Radianes.
38.25 ×𝜋
180°= 0,6676 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
La respuesta es 0.6676 Radianes.
EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 0.6632 radianes
EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 137.5099o
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CAPITULO III
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que
contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo
en los que están definidas las funciones y las operaciones aritméticas
involucradas.
Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás
funciones trigonométricas.
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1 Relación seno coseno 2 Relación secante tangente
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 𝑠𝑒𝑐2𝛼 = 1 + 𝑡𝑔2 ∝
3 Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α sec α = 1
𝑐𝑜𝑠∝
cosec α = 1
𝑠𝑒𝑛∝ cotg α =
1
𝑡𝑔 ∝ =
cos 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
IDENTIDAD ANGULO MITAD
𝒔𝒆𝒏𝝓
𝟐= ±√
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝝓
𝟐 𝒕𝒂𝒏
𝝓
𝟐= ±√
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝝓
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝝓
𝒄𝒐𝒔𝝓
𝟐= ±√
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝝓
𝟐 𝒕𝒂𝒏
𝝓
𝟐=
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝝓
𝒔𝒆𝒏𝝓
𝒔𝒆𝒏𝝓
𝟐= ±√
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝝓
𝟐 𝒕𝒂𝒏
𝝓
𝟐=
𝒔𝒆𝒏𝝓
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝝓
IDENTIT IDAD ANGULO DOBLE
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜶) = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜶) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶
𝒕𝒂𝒏(𝟐𝜶) =𝟐𝒕𝒈𝜶
𝟏 − 𝒕𝒈𝟐𝜶
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CAPITULO IV
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más
funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el
ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un
método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin
embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas
consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas,
todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable
pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos
de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de
ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte
trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un
ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen procedimientos
específicos. A veces tendremos que:
a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos. Veamos
algunos ejemplos:
b) Intentar que en la ecuación trigonométrica, tan solo aparezca una sola razón
trigonométrica del mismo ·ángulo
c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos este
procedimiento; es conveniente comprobar las soluciones (alguna puede que no lo
sea).
d) Combinando los procedimientos explicados con anterioridad.
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1. EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES TRIGONOMETRICAS.
Ejercicio# 1
𝟐𝑺𝒆𝒏𝑿 − 𝟏 = 𝟎
𝟐𝑺𝒆𝒏𝑿 = 𝟏
𝑺𝒆𝒏𝑿 =𝟏
𝟐
𝑿 = 𝟑𝟎°
𝟑𝟎° ∗𝝅
𝟏𝟖𝟎°=
𝝅
𝟑
Ejercicio# 2 HALLAR LASUMA DE LAS SOLUCIONES DE LA SIGUIENTE ECUACIÓN TRIGONOMETRICA:
A) 𝝅 B)𝟐𝝅 C)𝟑𝝅 D)𝟒𝝅 E)𝝅
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟒 ∝ −𝒄𝒐𝒔𝟒 ∝=𝟏
𝟐
(𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝)(𝒔𝒆𝒏𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝) =𝟏
𝟐
(𝟏)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝ +𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝) =𝟏
𝟐
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𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝=𝟏
𝟐
𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝=𝟏
𝟐− 𝟏
𝟐𝑪𝑶𝑺𝟐 ∝=−𝟏
𝟐
𝑪𝑶𝑺𝟐 ∝=−𝟏
−𝟒
√𝑪𝑶𝑺𝟐 ∝= √𝟏
𝟒
𝑪𝑶𝑺 ∝= ±𝟏
𝟐 + 𝟔𝟎°, 𝟑𝟎𝟎° − 𝟐𝟒𝟎°, 𝟏𝟐𝟎°
TRANSFORMANDO LOS GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES
Y PROCEDIENDO A SUMAR LAS SOLUCIONES:
𝝅
𝟑+
𝟐𝝅
𝟑+
𝟒𝝅
𝟑+
𝟓𝝅
𝟑=
𝟏𝟐𝝅
𝟑= 𝟒𝝅 SOLUCIÓN
Ejercicio #3 HALLAR LASUMA DE LAS SOLUCIONES DE LA SIGUIENTE ECUACIÓN TRIGONOMETRICA:
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A) 𝝅 B)𝟐𝝅 C)𝟑𝝅
𝟐 D)𝟕
𝝅
𝟔 E)𝟑𝝅
𝟐𝑪𝒔𝒄𝝓 + 𝟒 = 𝟎
Pasamos el 4 a otro lado de la ecuación a restar y el 2 que está
mult ipl icando a div idir:
𝑪𝒔𝒄𝝓 = −𝟒
𝟐
𝑪𝒔𝒄𝝓 = −𝟐
𝑪𝒔𝒄𝝓 =𝟏
𝒔𝒆𝒏𝝓
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝝓= −𝟐
𝒔𝒆𝒏𝝓 = −𝟏
𝟐 𝟐𝟏𝟎°, 𝟑𝟑𝟎°
TRANSFORMANDO LOS GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES
Y PROCEDIENDO A SUMAR LAS SOLUCIONES:
𝟕𝝅
𝟔+
𝟏𝟏𝝅
𝟔=
𝟏𝟖𝝅
𝟔= 𝟑𝝅
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Bibliografía
La metria de los angulos. (2012). Obtenido de http://lametriadelostrigonos.blogspot.com/2012/02/concepto-de-trigonometria.html
MatematicasXV. (1 de octubre de 2009). Obtenido de http://sureyma.blogspot.com/2009/10/33-clasificacion-de-la-matrices.html
Parra, S. (2007). WSL WeblogsSL . Obtenido de Weblogs SL: http://www.xatakaciencia.com/matematicas/definicion-y-algunos-tipos-de-matrices
Vitutor, SLU. (2010). Vitutor. Obtenido de Vitutor: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/las_matrices.html
Ehowenespanol. (2013). Obtenido de: http://www.ehowenespanol.com/cuales-son-aplicaciones-vida-real-trigonometria-
lista_152637/ Aulafacil. (2015). Obtenido de: http://www.aulafacil.com/cursos/l10044/ciencia/fisica/fisica-general-i-notaciones-
cientificas-funciones-trigonometricas/conversion-de-radianes-a-grados-y-grados-a-radianes
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ANEXOS
Links Ecuaciones Trigonométricas: YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=0gt2iTmQ7fI