Post on 14-Jul-2020
Quadern de 9Matemàtiques
© grup edebé
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 1
4 © grup edebé
1. Funcions i gràfiques1.
Fun
cion
s i g
ràfiq
ues
Mat
emàt
ique
s
• La imatge d’un valor x per una funció f és el valor que pren la variable y en relació amb el valor que té la variablex.
• La antiimatge o antiimatges d’un valor y per una funció f ésel valor o valors de la variable x als quals correspon el va-lor pres per la variable y.
• El conjunt dels valors que pot prendre la variable indepen-dent s’anomena domini de la funció f. Es designa per D(f).
• El conjunt format pels valors que pot prendre la variabledependent s’anomena recorregut de la funció f. Es designaper R(f).
• Una funció és una relació de dependència entre dues variables, de manera que a cada valor de la primera (variable indepen-dent) li correspon un únic valor de la segona (variable dependent).
y = f(x)
x: variable independent. Pot prendre valors arbitraris.
y: variable dependent. Els valors que pren vénen donats pels de la variable independent.
1.1. Funcions
1. Considera la funció que fa correspondre a ca-dascun dels mesos de l’any el seu nombre d’or-dre. Identifica la variable independent i la varia-ble dependent. Determina el domini i el recorregutde la funció.
— La variable independent adopta com a valorsels mesos de l’any.
— La variable dependent adopta com a valors elsnombres naturals de l’1 al 12.
— El domini de la funció f és: D(f) = {gener, fe-brer,…, novembre, desembre}
— El recorregut de la funció f és: R(f) = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2. En una acadèmia d’idiomes cada grup d’alumnesté un únic professor durant tot el curs. Respon lespreguntes següents i justifica les respostes.
a) La relació que assigna a cada alumne el seuprofessor és una funció?………………………………...................................................………
………………………………...................................................………
………………………………...................................................………
b) I la relació que fa correspondre a cada pro-fessor els alumnes d’un grup?………………………………...................................................………
………………………………...................................................………
………………………………...................................................………
3. La tarifa que cobra un transbordador de vehiclesper creuar un riu depèn del pes del vehicle. Res-pon les preguntes següents i justifica les res-postes.
a) Aquesta correspondència és una funció?………………………………...................................................………
b) Quina és la variable independent?………………………………...................................................………
c) Quina és la variable dependent?………………………………...................................................………
4. Fem correspondre a cada nombre real de l’interval[0, 10] el valor del seu quadrat.
a) Quina és la variable independent?………………………………...................................................………
b) Quina és la variable dependent?………………………………...................................................………
c) Quin és el domini d’aquesta funció?………………………………...................................................………
d) Quin és el recorregut?………………………………...................................................………
5. Indica la variable independent, la variable depen-dent, el domini i el recorregut de la funció f que facorrespondre a un nombre de dues xifres la xifrade les desenes.
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 4
5© grup edebé
1. Funcions i gràfiquesM
atemàtiques
6. Indica quines d’aquestes dependències són fun-cions. (Primerament s’anomena la variable inde-pendent.)
a) La relació que assigna a cada alumne d’unaclasse els seus hobbies.
b) A cada nombre natural li correspon el menordels seus divisors.
c) A cada participant en una prova atlètica se liassigna la marca que ha assolit.
d) La talla d’una persona i la seva estatura.
e) El pes d’una bossa de pomes i el seu preu.
f) La velocitat d’un automòbil i el seu consum.
g) El perímetre d’un quadrat i la seva àrea.
7. Indica quines són la variable independent i la de-pendent en les relacions següents.
a) El preu d’un viatge en taxi i la distància recor-reguda.
V. independent: ................................................................
V. dependent: ................................................................
b) El nombre de pagesos i el temps que trigarana recol·lectar una collita.
................................................................................................................
................................................................................................................
8. Completa la taula.
9. La temperatura d’un forn varia des de 35 °C enel moment en què s’encén fins a 225 °C al capde 15 minuts. Digues si les variables tempera-tura i temps es relacionen mitjançant una funció.
— Identifica la variable independent i la variabledependent.
................................................................................................................
................................................................................................................
— Quins són el domini i el recorregut?
................................................................................................................
................................................................................................................
10. La funció f assigna a cada nombre real la sevaquarta part i la funció g li assigna el seu qua-drat. Determina:
a) La imatge per la funció f dels nombres −24,
−3, 0, ,18, 78.
b) L’antiimatge o antiimatges per g dels valors
, , 1 936 i 2 401.
11. En un sorteig s’atorga un premi de 2 000 ∑ aun nombre de cinc xifres. També hi ha premisde 200 ∑ a les quatre últimes xifres, de 100 ∑ ales tres últimes, de 50 ∑ a les dues últimes i de20 ∑ a l’última xifra. Anomenem f la funció quefa correspondre a cada nombre l’import del seupremi. Si el nombre premiat ha estat el 23 909,determina:
a) La imatge per la funció f dels nombres 32 505,10 021, 43 559, 11 909, 28 909 i 73 909.
b) Les antiimatges per f dels valors 2 000 i 200.
c) El domini i el recorregut de la funció f.
25
16
1
4
1
3
Descripció de la funció
Variable independent
L’Índex de Preus deConsum (IPC) varia segons l’any.
any IPC
Variable dependent
La temperatura am-biental depèn de l’ho-ra del dia.
...........................
...........................
A cada nombre naturalli correspon el seu cubmés 3.
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
El nombre d’amics de-termina la porció depizza que menja ca-dascun.
...........................
...........................
...........................
...........................
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 5
6 © grup edebé
1. F
unci
ons
i grà
fique
sM
atem
àtiq
ues
• Una funció pot venir donada mitjançant un enunciat verbal,una taula, una expressió algèbrica o una gràfica.
— Funció expressada mitjançant un enunciat verbal: la quan-titat mitjana de llet consumida a Espanya és de 115 li-tres per persona i any.
— Funció donada mitjançant una taula: evolució de la pres-sió fiscal a Espanya.
— Funció donada per una expressió algèbrica: relació entrel’àrea d’un cercle i el seu radi: A = � · r2.
— Funció donada mitjançant una gràfica: temperatura d’unmalalt al llarg del dia.
1.2. Maneres d’expressar una funció
12. Completa aquesta taula.
13. Aquesta taula reflecteix l’increment de l’IPC.
Indica:
— Domini de la funció: {2002 ................................}— Recorregut de la funció: {2,6 ................................}— Increment de l’IPC el 2005: ...........— Any en què l’IPC va créixer el 2,6 %: ...........
14. Es mostra el combustible que queda a un ciclo-motor després de recórrer una certa distància.
— Completa la taula.— Quina distància recorrerà el ciclomotor abans
d’exhaurir el combustible?
15. Aquesta gràfica mostra la temperatura d’unforn durant l’elaboració d’un pastís.
Completa:
— Domini de la funció: [...................... , ......................]
— Recorregut de la funció: [.................... , ....................]
— Temperatura en l’instant t = 40 min: ..........
— Instant en qué la temperatura és de 300 oC:..............
16. L’espai (s) recorregut per un automòbil que viatjaa 65 km/h durant 2 h ve donat per la fórmula: s = 65 km/h · t, en la qual t és el temps.
— Quins valors pot prendre la variable t? I la va-riable s? Indica el domini i el recorregut de lafunció anterior.
— Calcula l’espai recorregut en 1,5 h.
— Quant temps trigarà a recórrer 78 km?
L’àrea d’un cercle ésigual a � multiplicat pelradi al quadrat.
Descripció de la funcióVariable
independentVariable
dependent
La recaptació d’unasala de cinema és de7,5 ∑ per assistent.
El consum de com-bustible d’un vehicle ésde 0,1 l per km.
radi àrea
nombred’assistents
.......................
.......................... ......................
Any 1999
% PIB
2000 2001 2002 2003 2004
35,0 35,2 35,0 35,6 34,9 35,1
Tem
per
atur
a (o C
)
Hora (h)
37383940
0 4 8 12 16 20 24
2002Any
IPC (%) 4,0 2,6
2003 2004
3,2
2005
3,7
Distància (km) 0 5 10 15
Combustible (cl) 150 120 90 ..........
20
..........
0 10 20 30 40 50 60 70
250
275
300
80 t (min)
Tem
per
atur
a (o C
)
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 6
7© grup edebé
17. Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada nombre real en l’interval [0, 20] el dobledel seu valor.
— Quines són la imatge de 5 i l’antiimatge o antiimatges de 30 per aquesta funció?
1. Funcions i gràfiquesM
atemàtiques
f (x) = 2xf (5) = 2 · 5 = 10
x = 5
f (x) = 2x2x = 30
f (x) = 30
x = 15
x302
=
f (x ) = 2x
x → variable independentf (x) → variable dependentf (x) = 2x → expressió algèbrica de la
funció[0, 20] → domini de la funció[0, 40] → recorregut de la funció
La imatge de 5 perla funció f és 10.
L’antiimatge de 30per la funció f és15.
18. Expressa, mitjançant una equació, les funcionsdescrites a continuació. Segueix el model.
a) El cub d’un nombre → f (x ) = x3
b) El doble d’un nombre més 5 →
c) L’oposat d’un nombre →
d) La suma d’un nombre i →
19. Descriu la funció que correspon a cadascuna deles equacions següents. Segueix el model.
a) f (x ) = x2 → El quadrat d’un nombre
b) f (x ) = 3 (x + 1)
c) f (x ) =
d) f (x ) =
e) f (x ) = 3x − 2
f)
g)
h) f(x) x1x
= −
f(x)x 1x 1
=+
−
f(x)x2
2
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x5
1x
12
20. Completa:
— Determina les imatges de 2, 3 i 5.f (2) = .........; f (3) = .........; f (5) = ........
— Determina les antiimatges de 8, 64 i 343.f (......) = 8; f (......) = 64; f (......) = 343
21. Determina, per a cadascuna de les funcions
i :
a) La imatge de .
b) Les antiimatges de −3 i 5.
−14
, 0, 1, i23
g(x)9
1 x2=
+f x x(x) = − +2 4 32
2x
f (x ) 8
f (x ) = x 3
3
64 125
7.........
.........
......... .........
......... .........
⎫⎬⎭
⎫⎬⎭
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 7
8 © grup edebé
1. F
unci
ons
i grà
fique
sM
atem
àtiq
ues
La gràfica d’una funció y = f(x) és la representació en uns ei-xos de coordenades dels punts (x, f(x)) obtinguts per a tots elsvalors possibles de x.
Per a obtenir-la, procedirem de la manera següent:
— Confeccionem una taula assignant diferents valors a la va-riable independent, x, per a obtenir-ne les corresponents imat-ges f(x).
— Dibuixem uns eixos de coordenades.
— Construïm sobre l’eix horitzontal o eix d’abscisses una es-cala per tal de representar els valors de x.
— Construïm sobre l’eix vertical o eix d’ordenades una es-cala per tal de representar els valors de y.
— Per a cada valor de x busquem la seva imatge f(x) i as-senyalem el punt corresponent.
— Si les variables x i y són contínues, podem unir els puntsrepresentats i obtenir la gràfica de la funció y = f(x).
x x1
f(x)
x2 x3 x4 x5 .......
f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) .......
22. Representa gràficament la funció y = 2 x − 3. Per a fer-ho, procedeix de la manera següent:
— Completa i amplia la taula de valors (x, f(x)).
— Representa en els eixos de coordenades elspunts (x, f(x)) obtinguts i uneix-los.
23. Dibuixa la gràfica de f(x) = 2x − 1.
— Confecciona una taula de valors de la funció.
— Representa els parells ordenats (x, f(x)) en unseixos cartesians.
24. Dibuixa la gràfica de f(x) = .1
23x +
Valorsde x
−1
f(x) = 2 x − 3
Valors de f(x)
2 · (−1) − 3 = −5 −5
Càlculs
0 2 · 0 − 3 = −3 −3
1 2 · 1 − 3 = ....... ..........
2 .......... ..........
3 .......... ..........
.......... .......... ..........
x −2
f(x)
−1 0 1 2 3
−5
1 2 3 4 5
1234
−1−2−3−4−5 −1−2−3−4−5
Y
X6 7−6−7−8
567
−6−7−8
8
8
1 2 3 4 5
1234
−1−2−3−4−5 −1−2−3−4−5
Y
X6 7−6−7−8
56
−6
8
1 2 3 4 5
1234
−1−2−3−4−5 −1−2−3−4−5
Y
X6 7−6−7−8
56
−6−7
8
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 8
9© grup edebé
1. Funcions i gràfiquesM
atemàtiques
25. Tenint en compte que el nas del Pinotxo creix 2 cm per cada mentida que diu, completa la taula.
— Representa els valors trobats en uns eixos decoordenades.
— Si x és el nombre de mentides i f(x) els centí-metres que li creix el nas, expressa la funciómitjançant una equació.
f(x) = ......
— Quina és la imatge de 3? f(3) = ......
— Quina és l’antiimatge de 20? f(......) = 20
26. Representa gràficament aquesta funció:
— Determina gràficament les imatges de 3, −1 i 1, i les antiimatges de −3, 0 i 1.
Per a calcular les imatges:
— Localitzem en l’eix d’abscisses el valor del qualvolem trobar la imatge i tracem una vertical finsque talli la gràfica de la funció.
— Tracem una línia horitzontal pel punt d’inter-secció fins que talli l’eix d’ordenades.
Per a calcular les antiimatges:
— Localitzem en l’eix d’ordenades el valor delqual volem trobar l’antiimatge i tracem una horitzontal fins que talli la gràfica de la fun-ció.
— Tracem una línia vertical pel punt d’intersecciófins que talli l’eix d’abscisses.
f(3) = ...... f(−1) = ...... f(1) = ......
f(......) = −3 f(......) = 0 f(......) = 1
f(x)x 1
2=
−
27. Troba gràficament el domini i el recorregut de lafunció següent.
— El domini s’obté en projectar ortogonalment els punts de la gràfica sobre l’eix d’abscis-ses.
D(f) =
— El recorregut s’obté en projectar ortogonal-ment els punts de la gràfica sobre l’eix d’or-denades.
R(f) =
28. Troba el domini i el recorregut de la funció re-presentada en la gràfica.
D(f) =
R(f) =
1 2 3 4 5
12
−1−2−3−4
−5
−1−2−3
Y
X6 7−6−7−8 8
f(3) = 1f1
(−5) = −3
Mentides 0 1 2 3
Centímetres 0 2
2 4
2
4
−2−4
Y
X
6
8
0
2
4
2
4
−2−4
Y
X
6
0−6−8 6 8−2
−4
−6
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 9
10 © grup edebé
1. F
unci
ons
i grà
fique
sM
atem
àtiq
ues
1.3. Característiques de les funcions
Interseccions amb els eixos
• Les interseccions de la funció f(x) amb l’eix OX són els puntsde la gràfica que tenen ordenada 0.
Per a trobar-los, es resol el sistema:
y = f(x)
y = 0
• La intersecció de la funció f(x) amb l’eix OY és el punt de la grà-fica que té abscissa 0.
Per a trobar-los, es resol el sistema:
y = f(x)
x = 0
Creixement i decreixement
• Una funció f és creixent en un interval del seu domini si per a dosvalors qualssevol x1 i x2 d’aquest interval es compleix:
x1 < x2 ⇒ f(x1) � f(x2)
Si es compleix f(x1) < f(x2), es diu que la funció f és estrictamentcreixent en aquest interval.
• Una funció f és decreixent en un interval del seu domini si pera dos valors qualssevol x1 i x2 d’aquest interval es compleix:
x1 < x2 ⇒ f(x1) � f(x2)
Si es compleix f(x1) > f(x2), es diu que la funció f és estrictamentdecreixent en aquest interval.
Observa:
La funció f(x) de la figura és estrictament creixent en l’interval (0, 5) i estrictament decreixent en la resta del domini.
Màxims i mínims
• Una funció f té un màxim absolut en x = a si f(a) és major o igualque f (x) per a qualsevol valor de x pertanyent al domini de f.
• Una funció f té un mínim absolut en x = a si f(a) és menor o igualque f (x) per a qualsevol valor de x pertanyent al domini de f.
• Una funció f assoleix un màxim relatiu en x = a si f (a) és ma-jor o igual que f (x) per a tots els valors de x pertanyents a un en-torn de a.
• Una funció f assoleix un mínim relatiu en x = a si f (a) és menoro igual que f (x) per a tots els valors de x pertanyents a un entornde a.
Observa:
La funció f (x) de la figura té un màxim relatiu en el punt (1, 1) i un mínim relatiu en el punt (−1, −1).
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1234567
−1−2−3−4−5−6−7−8−9 −1−2−3−4−5−6
Y
X
Punts d’intersecció amb l’eix(−1, 0), (1, 0), (3, 0)Punt d’intersecció amb l’eix(0, −1)
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1234567
−1−2−3−4−5−6−7−8−9 −1−2−3−4−5−6
Y
X−10
−7
2 3 4 5 6
1
2
3
4
−1−2−3−4−5−6−1
−2
−3
−4
Y
X
(1, 1)
(−1, −1)
1
⎫⎬⎭
⎫⎬⎭
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 10
11© grup edebé
1. Funcions i gràfiquesM
atemàtiques
Continuïtat
• Una funció és contínua si la seva gràfica està formada per un únictraç. En canvi, una funció és discontínua si la seva gràfica pre-senta alguna interrupció.
Observa:
La funció de la figura A és contínua. Tanmateix, la funció dela figura B és discontínua, ja que la seva gràfica queda inter-rompuda en x = 1.
Simetria i periodicitat
• Una funció f(x) és parella si f(−x) = f(x) per a qualsevol valor dex pertanyent al domini de f. La gràfica d’una funció parella sem-pre és simètrica respecte de l’eix d’ordenades.
• Una funció f(x) és imparella si f(−x) = −f(x) per a qualsevol va-lor de x pertanyent al domini de f. La gràfica d’una funció im-parella sempre és simètrica respecte de l’origen de coordenades.
• Una funció és periòdica amb període T si f(x + T) és igual a f(x)per a qualsevol valor x del seu domini.
Observa:
— La funció de la gràfica A és periòdica de període T = 4i posseeix simetria imparella.
— La funció de la gràfica B és periòdica de període T = 2i posseeix simetria parella.
1 2 3 4−2−3−4 −1
1234
−2−3−4
5−5 2 3 4−2−3−4 −1
1234
−2−3−4
5
Y Y
XX 1
A B
−2−3−4 −1 2 4
2
1
1 3 5
Y
X
2
2
4
T = 4Y
X1 3 5 6
1
A
B
T = 2
−5
−2−3−4 −1−5−6−1
−2
−1
29. Observa la gràfica representada en la figura i determina els intervals de creixement i decreixement. Des-prés, completa:
S’hi distingeixen dos intervals.
— En l’interval de x = −10 a x = 2, a mesura que augmenta el valor de la variable x, augmenta també el va-lor de la variable y. Per tant, la funció és ............................ en l’interval (−10, 2).
— En l’interval de x = 2 a x = 10, a mesura que augmenta el valor de la variable x, disminueix el valor dela variable y. Per tant, la funció és ............................ en l’interval (2, 10).
−2−8 2 10
2
Y
X−2
4
−4
6
−6
−4−6−10 4 6 8
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 11
12 © grup edebé
1. F
unci
ons
i grà
fique
sM
atem
àtiq
ues
31. La gràfica següent representa l’evolució de la tem-peratura mesurada en un observatori durant 24 hores. Escriu els intervals de creixement i de-creixement de la funció.
30. Identifica els extrems relatius de la funció repre-sentada en la gràfica. Anota les coordenades d’a-quests punts.
— Màxims relatius:
(−3,5, 7,5), ........................................
— Mínims relatius:
......................................................................
−2−8 2 10
2
Y
X
−2
4
6
−4−6−10 4 6 8
8
32. Dibuixa en el teu quadern una funció estrictamentdecreixent en l’interval (−2, 0) i creixent en la res-ta del seu domini.
33. Assenyala amb una creu (+) els màxims relatiusi amb un cercle (�) els mínims relatius de la fun-ció representada en la figura.
— Anota les coordenades d’aquests punts.
34. Dibuixa en el teu quadern una funció contínua quetingui un màxim relatiu en el punt (−2, 2) i un mí-nim relatiu en el punt (2, 2).
— Existeix algun extrem relatiu en l’interval (−2, 2)?
Hores
T( C)o
3 6 9
5
1512 18 21 24
10
15
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
123456
−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10
−2−3−4−5−6
Y
X
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 12
13© grup edebé
1. Funcions i gràfiquesM
atemàtiques
35. La figura representa el perfil d’una prova ciclis-ta. Anota els intervals en què la funció és creixenti els intervals en què és decreixent, així com elsseus extrems relatius.
36. La gràfica següent representa la velocitat de con-nexió a Internet durant la descàrrega d’un do-cument. Respon les preguntes següents.
a) Quins són els punts de discontinuïtat?
b) Quins són els intervals de continuïtat?
c) Com podem interpretar els punts de discon-tinuïtat de la funció?
37. Dibuixa en el teu quadern una funció f (x) dis-contínua en els punts x = −1 i x = 1, i contínua enla resta del seu domini.
38. Observa aquesta gràfica i escriu els punts d’in-tersecció amb cadascun dels eixos.
20 40 60 80 100 120 140
Distància (km)
Altura sobre elnivell de mar (m)
ArribadaSortida
100
200
300
400
1 32
1
2
3
-2
−3
−5 −2−3
4
5
6
4 5 6−1−4−6−7
−4
−5
7
Y
X−1
5
v (kbps)
t (min)
100
200
300
400
0
500
10 15 20
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 13
14 © grup edebé
1. F
unci
ons
i grà
fique
sM
atem
àtiq
ues
39. Un sistema de navegació marítima s’encarrega decorregir automàticament les desviacions d’una em-barcació sobre un rumb prefixat.
En la figura següent es representen les desvia-cions que pateix un vaixell en seguir una deter-minada ruta al llarg del temps.
— En quins instants coincideix el rumb seguit pelvaixell amb la ruta establerta?
............................................................................................................
— En quins instants el valor absolut de la des-viació és màxim? Indica els valors d’aquestesdesviacions.
............................................................................................................
40. Dibuixa una funció la intersecció de la qual amb elseixos siguin els punts següents:
a) Eix OX: (−2, 0) ; (0, 0) ; (3, 0)Eix OY: (0, 0)
b) Eix OX: (1, 0) ; (5, 0) ; (10, 0) ; (15, 0)Eix OY: (0, 3)
41. Indica quines funcions de les representades a con-tinuació són parelles i quines són imparelles.
42. Una funció important en el món de la tecnologiaés l’anomenat tren de polsos. Observa la seva re-presentació i estudia’n la simetria. Quin és el va-lor del seu període?
43. Completa aquesta gràfica, si sabem que corres-pon a una funció periòdica.
— Quin és el valor del període?
a b
c d
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
1
−1
−π4
−π2 4 4 2
−5π4
3π4
5π4
f (t)
t−π −π π π π
Y
X−2−4−6 2 4 6
−2
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
100
200
300
400
−100
−200
−300
−400
Desviació (m)
Temps (h)
830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 14