Quadern de Matemàtiques - Escola...

Quadern de 9Matemàtiques

© grup edebé

830138 01-48 Cuad.9. 3ESO. CAT.qxp 28/4/11 13:01 Página 1

4 © grup edebé

1. Funcions i gràfiques1.

Fun

cion

s i g

ràfiq

ues

Mat

emàt

ique

s

• La imatge d’un valor x per una funció f és el valor que pren la variable y en relació amb el valor que té la variablex.

• La antiimatge o antiimatges d’un valor y per una funció f ésel valor o valors de la variable x als quals correspon el va-lor pres per la variable y.

• El conjunt dels valors que pot prendre la variable indepen-dent s’anomena domini de la funció f. Es designa per D(f).

• El conjunt format pels valors que pot prendre la variabledependent s’anomena recorregut de la funció f. Es designaper R(f).

• Una funció és una relació de dependència entre dues variables, de manera que a cada valor de la primera (variable indepen-dent) li correspon un únic valor de la segona (variable dependent).

y = f(x)

x: variable independent. Pot prendre valors arbitraris.

y: variable dependent. Els valors que pren vénen donats pels de la variable independent.

1.1. Funcions

1. Considera la funció que fa correspondre a ca-dascun dels mesos de l’any el seu nombre d’or-dre. Identifica la variable independent i la varia-ble dependent. Determina el domini i el recorregutde la funció.

— La variable independent adopta com a valorsels mesos de l’any.

— La variable dependent adopta com a valors elsnombres naturals de l’1 al 12.

— El domini de la funció f és: D(f) = {gener, fe-brer,…, novembre, desembre}

— El recorregut de la funció f és: R(f) = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

2. En una acadèmia d’idiomes cada grup d’alumnesté un únic professor durant tot el curs. Respon lespreguntes següents i justifica les respostes.

a) La relació que assigna a cada alumne el seuprofessor és una funció?………………………………...................................................………

………………………………...................................................………

………………………………...................................................………

b) I la relació que fa correspondre a cada pro-fessor els alumnes d’un grup?………………………………...................................................………

………………………………...................................................………

………………………………...................................................………

3. La tarifa que cobra un transbordador de vehiclesper creuar un riu depèn del pes del vehicle. Res-pon les preguntes següents i justifica les res-postes.

a) Aquesta correspondència és una funció?………………………………...................................................………

b) Quina és la variable independent?………………………………...................................................………

c) Quina és la variable dependent?………………………………...................................................………

4. Fem correspondre a cada nombre real de l’interval[0, 10] el valor del seu quadrat.

a) Quina és la variable independent?………………………………...................................................………

b) Quina és la variable dependent?………………………………...................................................………

c) Quin és el domini d’aquesta funció?………………………………...................................................………

d) Quin és el recorregut?………………………………...................................................………

5. Indica la variable independent, la variable depen-dent, el domini i el recorregut de la funció f que facorrespondre a un nombre de dues xifres la xifrade les desenes.


5© grup edebé

1. Funcions i gràfiquesM

atemàtiques

6. Indica quines d’aquestes dependències són fun-cions. (Primerament s’anomena la variable inde-pendent.)

a) La relació que assigna a cada alumne d’unaclasse els seus hobbies.

b) A cada nombre natural li correspon el menordels seus divisors.

c) A cada participant en una prova atlètica se liassigna la marca que ha assolit.

d) La talla d’una persona i la seva estatura.

e) El pes d’una bossa de pomes i el seu preu.

f) La velocitat d’un automòbil i el seu consum.

g) El perímetre d’un quadrat i la seva àrea.

7. Indica quines són la variable independent i la de-pendent en les relacions següents.

a) El preu d’un viatge en taxi i la distància recor-reguda.

V. independent: ................................................................

V. dependent: ................................................................

b) El nombre de pagesos i el temps que trigarana recol·lectar una collita.

................................................................................................................

................................................................................................................

8. Completa la taula.

9. La temperatura d’un forn varia des de 35 °C enel moment en què s’encén fins a 225 °C al capde 15 minuts. Digues si les variables tempera-tura i temps es relacionen mitjançant una funció.

— Identifica la variable independent i la variabledependent.

................................................................................................................

................................................................................................................

— Quins són el domini i el recorregut?

................................................................................................................

................................................................................................................

10. La funció f assigna a cada nombre real la sevaquarta part i la funció g li assigna el seu qua-drat. Determina:

a) La imatge per la funció f dels nombres −24,

−3, 0, ,18, 78.

b) L’antiimatge o antiimatges per g dels valors

, , 1 936 i 2 401.

11. En un sorteig s’atorga un premi de 2 000 ∑ aun nombre de cinc xifres. També hi ha premisde 200 ∑ a les quatre últimes xifres, de 100 ∑ ales tres últimes, de 50 ∑ a les dues últimes i de20 ∑ a l’última xifra. Anomenem f la funció quefa correspondre a cada nombre l’import del seupremi. Si el nombre premiat ha estat el 23 909,determina:

a) La imatge per la funció f dels nombres 32 505,10 021, 43 559, 11 909, 28 909 i 73 909.

b) Les antiimatges per f dels valors 2 000 i 200.

c) El domini i el recorregut de la funció f.

25

16

1

4

1

3

Descripció de la funció

Variable independent

L’Índex de Preus deConsum (IPC) varia segons l’any.

any IPC

Variable dependent

La temperatura am-biental depèn de l’ho-ra del dia.

...........................

...........................

A cada nombre naturalli correspon el seu cubmés 3.

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

...........................

El nombre d’amics de-termina la porció depizza que menja ca-dascun.

...........................

...........................

...........................

...........................


6 © grup edebé

1. F

unci

ons

i grà

fique

sM

atem

àtiq

ues

• Una funció pot venir donada mitjançant un enunciat verbal,una taula, una expressió algèbrica o una gràfica.

— Funció expressada mitjançant un enunciat verbal: la quan-titat mitjana de llet consumida a Espanya és de 115 li-tres per persona i any.

— Funció donada mitjançant una taula: evolució de la pres-sió fiscal a Espanya.

— Funció donada per una expressió algèbrica: relació entrel’àrea d’un cercle i el seu radi: A = � · r2.

— Funció donada mitjançant una gràfica: temperatura d’unmalalt al llarg del dia.

1.2. Maneres d’expressar una funció

12. Completa aquesta taula.

13. Aquesta taula reflecteix l’increment de l’IPC.

Indica:

— Domini de la funció: {2002 ................................}— Recorregut de la funció: {2,6 ................................}— Increment de l’IPC el 2005: ...........— Any en què l’IPC va créixer el 2,6 %: ...........

14. Es mostra el combustible que queda a un ciclo-motor després de recórrer una certa distància.

— Completa la taula.— Quina distància recorrerà el ciclomotor abans

d’exhaurir el combustible?

15. Aquesta gràfica mostra la temperatura d’unforn durant l’elaboració d’un pastís.

Completa:

— Domini de la funció: [...................... , ......................]

— Recorregut de la funció: [.................... , ....................]

— Temperatura en l’instant t = 40 min: ..........

— Instant en qué la temperatura és de 300 oC:..............

16. L’espai (s) recorregut per un automòbil que viatjaa 65 km/h durant 2 h ve donat per la fórmula: s = 65 km/h · t, en la qual t és el temps.

— Quins valors pot prendre la variable t? I la va-riable s? Indica el domini i el recorregut de lafunció anterior.

— Calcula l’espai recorregut en 1,5 h.

— Quant temps trigarà a recórrer 78 km?

L’àrea d’un cercle ésigual a � multiplicat pelradi al quadrat.

Descripció de la funcióVariable

independentVariable

dependent

La recaptació d’unasala de cinema és de7,5 ∑ per assistent.

El consum de com-bustible d’un vehicle ésde 0,1 l per km.

radi àrea

nombred’assistents

.......................

.......................... ......................

Any 1999

% PIB

2000 2001 2002 2003 2004

35,0 35,2 35,0 35,6 34,9 35,1

Tem

per

atur

a (o C

)

Hora (h)

37383940

0 4 8 12 16 20 24

2002Any

IPC (%) 4,0 2,6

2003 2004

3,2

2005

3,7

Distància (km) 0 5 10 15

Combustible (cl) 150 120 90 ..........

20

..........

0 10 20 30 40 50 60 70

250

275

300

80 t (min)

Tem

per

atur

a (o C

)


7© grup edebé

17. Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada nombre real en l’interval [0, 20] el dobledel seu valor.

— Quines són la imatge de 5 i l’antiimatge o antiimatges de 30 per aquesta funció?


atemàtiques

f (x) = 2xf (5) = 2 · 5 = 10

x = 5

f (x) = 2x2x = 30

f (x) = 30

x = 15

x302

=

f (x ) = 2x

x → variable independentf (x) → variable dependentf (x) = 2x → expressió algèbrica de la

funció[0, 20] → domini de la funció[0, 40] → recorregut de la funció

La imatge de 5 perla funció f és 10.

L’antiimatge de 30per la funció f és15.

18. Expressa, mitjançant una equació, les funcionsdescrites a continuació. Segueix el model.

a) El cub d’un nombre → f (x ) = x3

b) El doble d’un nombre més 5 →

c) L’oposat d’un nombre →

d) La suma d’un nombre i →

19. Descriu la funció que correspon a cadascuna deles equacions següents. Segueix el model.

a) f (x ) = x2 → El quadrat d’un nombre

b) f (x ) = 3 (x + 1)

c) f (x ) =

d) f (x ) =

e) f (x ) = 3x − 2

f)

g)

h) f(x) x1x

= −

f(x)x 1x 1

=+

−

f(x)x2

2

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x5

1x

12

20. Completa:

— Determina les imatges de 2, 3 i 5.f (2) = .........; f (3) = .........; f (5) = ........

— Determina les antiimatges de 8, 64 i 343.f (......) = 8; f (......) = 64; f (......) = 343

21. Determina, per a cadascuna de les funcions

i :

a) La imatge de .

b) Les antiimatges de −3 i 5.

−14

, 0, 1, i23

g(x)9

1 x2=

+f x x(x) = − +2 4 32

2x

f (x ) 8

f (x ) = x 3

3

64 125

7.........

.........

......... .........

......... .........

⎫⎬⎭

⎫⎬⎭


8 © grup edebé

1. F

unci

ons

i grà

fique

sM

atem

àtiq

ues

La gràfica d’una funció y = f(x) és la representació en uns ei-xos de coordenades dels punts (x, f(x)) obtinguts per a tots elsvalors possibles de x.

Per a obtenir-la, procedirem de la manera següent:

— Confeccionem una taula assignant diferents valors a la va-riable independent, x, per a obtenir-ne les corresponents imat-ges f(x).

— Dibuixem uns eixos de coordenades.

— Construïm sobre l’eix horitzontal o eix d’abscisses una es-cala per tal de representar els valors de x.

— Construïm sobre l’eix vertical o eix d’ordenades una es-cala per tal de representar els valors de y.

— Per a cada valor de x busquem la seva imatge f(x) i as-senyalem el punt corresponent.

— Si les variables x i y són contínues, podem unir els puntsrepresentats i obtenir la gràfica de la funció y = f(x).

x x1

f(x)

x2 x3 x4 x5 .......

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) .......

22. Representa gràficament la funció y = 2 x − 3. Per a fer-ho, procedeix de la manera següent:

— Completa i amplia la taula de valors (x, f(x)).

— Representa en els eixos de coordenades elspunts (x, f(x)) obtinguts i uneix-los.

23. Dibuixa la gràfica de f(x) = 2x − 1.

— Confecciona una taula de valors de la funció.

— Representa els parells ordenats (x, f(x)) en unseixos cartesians.

24. Dibuixa la gràfica de f(x) = .1

23x +

Valorsde x

−1

f(x) = 2 x − 3

Valors de f(x)

2 · (−1) − 3 = −5 −5

Càlculs

0 2 · 0 − 3 = −3 −3

1 2 · 1 − 3 = ....... ..........

2 .......... ..........

3 .......... ..........

.......... .......... ..........

x −2

f(x)

−1 0 1 2 3

−5

1 2 3 4 5

1234

−1−2−3−4−5 −1−2−3−4−5

Y

X6 7−6−7−8

567

−6−7−8

8

8

1 2 3 4 5

1234

−1−2−3−4−5 −1−2−3−4−5

Y

X6 7−6−7−8

56

−6

8

1 2 3 4 5

1234

−1−2−3−4−5 −1−2−3−4−5

Y

X6 7−6−7−8

56

−6−7

8


9© grup edebé


atemàtiques

25. Tenint en compte que el nas del Pinotxo creix 2 cm per cada mentida que diu, completa la taula.

— Representa els valors trobats en uns eixos decoordenades.

— Si x és el nombre de mentides i f(x) els centí-metres que li creix el nas, expressa la funciómitjançant una equació.

f(x) = ......

— Quina és la imatge de 3? f(3) = ......

— Quina és l’antiimatge de 20? f(......) = 20

26. Representa gràficament aquesta funció:

— Determina gràficament les imatges de 3, −1 i 1, i les antiimatges de −3, 0 i 1.

Per a calcular les imatges:

— Localitzem en l’eix d’abscisses el valor del qualvolem trobar la imatge i tracem una vertical finsque talli la gràfica de la funció.

— Tracem una línia horitzontal pel punt d’inter-secció fins que talli l’eix d’ordenades.

Per a calcular les antiimatges:

— Localitzem en l’eix d’ordenades el valor delqual volem trobar l’antiimatge i tracem una horitzontal fins que talli la gràfica de la fun-ció.

— Tracem una línia vertical pel punt d’intersecciófins que talli l’eix d’abscisses.

f(3) = ...... f(−1) = ...... f(1) = ......

f(......) = −3 f(......) = 0 f(......) = 1

f(x)x 1

2=

−

27. Troba gràficament el domini i el recorregut de lafunció següent.

— El domini s’obté en projectar ortogonalment els punts de la gràfica sobre l’eix d’abscis-ses.

D(f) =

— El recorregut s’obté en projectar ortogonal-ment els punts de la gràfica sobre l’eix d’or-denades.

R(f) =

28. Troba el domini i el recorregut de la funció re-presentada en la gràfica.

D(f) =

R(f) =

1 2 3 4 5

12

−1−2−3−4

−5

−1−2−3

Y

X6 7−6−7−8 8

f(3) = 1f1

(−5) = −3

Mentides 0 1 2 3

Centímetres 0 2

2 4

2

4

−2−4

Y

X

6

8

0

2

4

2

4

−2−4

Y

X

6

0−6−8 6 8−2

−4

−6


10 © grup edebé

1. F

unci

ons

i grà

fique

sM

atem

àtiq

ues

1.3. Característiques de les funcions

Interseccions amb els eixos

• Les interseccions de la funció f(x) amb l’eix OX són els puntsde la gràfica que tenen ordenada 0.

Per a trobar-los, es resol el sistema:

y = f(x)

y = 0

• La intersecció de la funció f(x) amb l’eix OY és el punt de la grà-fica que té abscissa 0.

Per a trobar-los, es resol el sistema:

y = f(x)

x = 0

Creixement i decreixement

• Una funció f és creixent en un interval del seu domini si per a dosvalors qualssevol x1 i x2 d’aquest interval es compleix:

x1 < x2 ⇒ f(x1) � f(x2)

Si es compleix f(x1) < f(x2), es diu que la funció f és estrictamentcreixent en aquest interval.

• Una funció f és decreixent en un interval del seu domini si pera dos valors qualssevol x1 i x2 d’aquest interval es compleix:

x1 < x2 ⇒ f(x1) � f(x2)

Si es compleix f(x1) > f(x2), es diu que la funció f és estrictamentdecreixent en aquest interval.

Observa:

La funció f(x) de la figura és estrictament creixent en l’interval (0, 5) i estrictament decreixent en la resta del domini.

Màxims i mínims

• Una funció f té un màxim absolut en x = a si f(a) és major o igualque f (x) per a qualsevol valor de x pertanyent al domini de f.

• Una funció f té un mínim absolut en x = a si f(a) és menor o igualque f (x) per a qualsevol valor de x pertanyent al domini de f.

• Una funció f assoleix un màxim relatiu en x = a si f (a) és ma-jor o igual que f (x) per a tots els valors de x pertanyents a un en-torn de a.

• Una funció f assoleix un mínim relatiu en x = a si f (a) és menoro igual que f (x) per a tots els valors de x pertanyents a un entornde a.

Observa:

La funció f (x) de la figura té un màxim relatiu en el punt (1, 1) i un mínim relatiu en el punt (−1, −1).

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1234567

−1−2−3−4−5−6−7−8−9 −1−2−3−4−5−6

Y

X

Punts d’intersecció amb l’eix(−1, 0), (1, 0), (3, 0)Punt d’intersecció amb l’eix(0, −1)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1234567

−1−2−3−4−5−6−7−8−9 −1−2−3−4−5−6

Y

X−10

−7

2 3 4 5 6

1

2

3

4

−1−2−3−4−5−6−1

−2

−3

−4

Y

X

(1, 1)

(−1, −1)

1

⎫⎬⎭

⎫⎬⎭


11© grup edebé


atemàtiques

Continuïtat

• Una funció és contínua si la seva gràfica està formada per un únictraç. En canvi, una funció és discontínua si la seva gràfica pre-senta alguna interrupció.

Observa:

La funció de la figura A és contínua. Tanmateix, la funció dela figura B és discontínua, ja que la seva gràfica queda inter-rompuda en x = 1.

Simetria i periodicitat

• Una funció f(x) és parella si f(−x) = f(x) per a qualsevol valor dex pertanyent al domini de f. La gràfica d’una funció parella sem-pre és simètrica respecte de l’eix d’ordenades.

• Una funció f(x) és imparella si f(−x) = −f(x) per a qualsevol va-lor de x pertanyent al domini de f. La gràfica d’una funció im-parella sempre és simètrica respecte de l’origen de coordenades.

• Una funció és periòdica amb període T si f(x + T) és igual a f(x)per a qualsevol valor x del seu domini.

Observa:

— La funció de la gràfica A és periòdica de període T = 4i posseeix simetria imparella.

— La funció de la gràfica B és periòdica de període T = 2i posseeix simetria parella.

1 2 3 4−2−3−4 −1

1234

−2−3−4

5−5 2 3 4−2−3−4 −1

1234

−2−3−4

5

Y Y

XX 1

A B

−2−3−4 −1 2 4

2

1

1 3 5

Y

X

2

2

4

T = 4Y

X1 3 5 6

1

A

B

T = 2

−5

−2−3−4 −1−5−6−1

−2

−1

29. Observa la gràfica representada en la figura i determina els intervals de creixement i decreixement. Des-prés, completa:

S’hi distingeixen dos intervals.

— En l’interval de x = −10 a x = 2, a mesura que augmenta el valor de la variable x, augmenta també el va-lor de la variable y. Per tant, la funció és ............................ en l’interval (−10, 2).

— En l’interval de x = 2 a x = 10, a mesura que augmenta el valor de la variable x, disminueix el valor dela variable y. Per tant, la funció és ............................ en l’interval (2, 10).

−2−8 2 10

2

Y

X−2

4

−4

6

−6

−4−6−10 4 6 8


12 © grup edebé

1. F

unci

ons

i grà

fique

sM

atem

àtiq

ues

31. La gràfica següent representa l’evolució de la tem-peratura mesurada en un observatori durant 24 hores. Escriu els intervals de creixement i de-creixement de la funció.

30. Identifica els extrems relatius de la funció repre-sentada en la gràfica. Anota les coordenades d’a-quests punts.

— Màxims relatius:

(−3,5, 7,5), ........................................

— Mínims relatius:

......................................................................

−2−8 2 10

2

Y

X

−2

4

6

−4−6−10 4 6 8

8

32. Dibuixa en el teu quadern una funció estrictamentdecreixent en l’interval (−2, 0) i creixent en la res-ta del seu domini.

33. Assenyala amb una creu (+) els màxims relatiusi amb un cercle (�) els mínims relatius de la fun-ció representada en la figura.

— Anota les coordenades d’aquests punts.

34. Dibuixa en el teu quadern una funció contínua quetingui un màxim relatiu en el punt (−2, 2) i un mí-nim relatiu en el punt (2, 2).

— Existeix algun extrem relatiu en l’interval (−2, 2)?

Hores

T( C)o

3 6 9

5

1512 18 21 24

10

15

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

123456

−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10

−2−3−4−5−6

Y

X


13© grup edebé


atemàtiques

35. La figura representa el perfil d’una prova ciclis-ta. Anota els intervals en què la funció és creixenti els intervals en què és decreixent, així com elsseus extrems relatius.

36. La gràfica següent representa la velocitat de con-nexió a Internet durant la descàrrega d’un do-cument. Respon les preguntes següents.

a) Quins són els punts de discontinuïtat?

b) Quins són els intervals de continuïtat?

c) Com podem interpretar els punts de discon-tinuïtat de la funció?

37. Dibuixa en el teu quadern una funció f (x) dis-contínua en els punts x = −1 i x = 1, i contínua enla resta del seu domini.

38. Observa aquesta gràfica i escriu els punts d’in-tersecció amb cadascun dels eixos.

20 40 60 80 100 120 140

Distància (km)

Altura sobre elnivell de mar (m)

ArribadaSortida

100

200

300

400

1 32

1

2

3

-2

−3

−5 −2−3

4

5

6

4 5 6−1−4−6−7

−4

−5

7

Y

X−1

5

v (kbps)

t (min)

100

200

300

400

0

500

10 15 20


14 © grup edebé

1. F

unci

ons

i grà

fique

sM

atem

àtiq

ues

39. Un sistema de navegació marítima s’encarrega decorregir automàticament les desviacions d’una em-barcació sobre un rumb prefixat.

En la figura següent es representen les desvia-cions que pateix un vaixell en seguir una deter-minada ruta al llarg del temps.

— En quins instants coincideix el rumb seguit pelvaixell amb la ruta establerta?

............................................................................................................

— En quins instants el valor absolut de la des-viació és màxim? Indica els valors d’aquestesdesviacions.

............................................................................................................

40. Dibuixa una funció la intersecció de la qual amb elseixos siguin els punts següents:

a) Eix OX: (−2, 0) ; (0, 0) ; (3, 0)Eix OY: (0, 0)

b) Eix OX: (1, 0) ; (5, 0) ; (10, 0) ; (15, 0)Eix OY: (0, 3)

41. Indica quines funcions de les representades a con-tinuació són parelles i quines són imparelles.

42. Una funció important en el món de la tecnologiaés l’anomenat tren de polsos. Observa la seva re-presentació i estudia’n la simetria. Quin és el va-lor del seu període?

43. Completa aquesta gràfica, si sabem que corres-pon a una funció periòdica.

— Quin és el valor del període?

a b

c d

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

1

−1

−π4

−π2 4 4 2

−5π4

3π4

5π4

f (t)

t−π −π π π π

Y

X−2−4−6 2 4 6

−2

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

100

200

300

400

−100

−200

−300

−400

Desviació (m)

Temps (h)


Quadern de Matemàtiques - Escola...

Documents

Transcript of Quadern de Matemàtiques - Escola...