Post on 06-Jul-2015
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DERIVADAS
FUNCIÓN DERIVADA
Sea f(x) una función real;
la derivada de f(x) – escrita f´(x) – es otra función definida como sigue:
f´ : R R
x f´(x)= h
xfhxfh
)()(lim
0
−+→
Calcular la función derivada de f(x)=x+2h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
Calcular la función derivada de f(x)=x2 h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
Calcular la derivada de la función f(x)=2x-1h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
Calcular la derivada de la función f(x)=x2-2x
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
Derivadas de funciones elementales
Función constante Función identidad Función potencial Función exponencial Función logarítmica Fucniones trigonométricas
Calcular la derivada de la función f(x)=k
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
Calcular la derivada de la función f(x)=x
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
Calcular la derivada de la función f(x)=x3
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
Calcular la derivada de la función f(x)=x4
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
…..generalizando….obtendríamos….
Calcular la derivada
de la función f(x)=xn
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
−+=→
1·)´( −= nxnxf
Derivadas de varias funciones potenciales
2/1
5/3
2/1
2
12
6
4
2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
−
−
========
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
OPERACIONES CON DERIVADAS
SUMA/RESTA de funciones Producto de un número por una función Derivada del producto de funciones Derivada del cociente de funciones
Derivada de una suma o resta de funciones
[ ] [ ] [ ]
)´()´(
)()(lim
)()(lim
)()()()(lim´)()(
00
0
xgxfh
xghxg
h
xfhxfh
xgxfhxghxfxgxf
hh
h
+=
=−++−+=
=+−+++=+
→→
→
Ejercicios
13
2
2/1
24
2
)(
)(
2)(
)(
6)(
−− +=+=
−=−=+=
xxxf
xxxf
xxf
xxxf
xxf
Derivada del producto de un número por una función
)(·)( xgkxf =
)´(·)´( xgkxf =
Ejercicios
3
6
2/1
4
2
·4)(
·3
1)(
·4)(
·3)(
·2)(
−−=
−=
=−=
=
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
Derivadas de funciones que combinan sumas de funciones con productos de constante por una función
13
2
2/1
24
2
·3
1)(
9)(
2)(
862)(
763)(
−− −=
−=−=
+−−=−+=
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
xxxf
Derivada del producto de funciones
[ ] )()·´()´()·(´)()·( xgxfxgxfxgxf +=
Derivada del cociente de funciones
[ ]2´
)(
)´()·()´()·(
)(
)(
xg
xgxfxfxg
xg
xf −=
Ejercicios
2
1)(
+−=x
xxf
Ejercicios
23
1)(
2
−−=x
xxf
Ejercicios
1
1)(
2 ++=
x
xxf
Ejercicios
42
53)(
−+=x
xxf
Derivadas de familias de funciones concretas
Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas
xxf
xxf
exf
axf
a
x
x
ln)(
log)(
)(
)(
====
xxf
axxf
exf
aaxfx
x
1)´(
·ln
1)´(
)´(
·ln)´(
=
=
==
Regla de la cadena
Sean f(x) y g(x) funciones derivables
Sea Entonces
))(()()( xgfxgfxh ==
[ ] )´())·(´()()´( ´ xgxgfxgfxh ==
x
x
exf
xxg
exh
===
)(
)(
)(2
2
xexh x 2·)´(2
=
)12ln()( 2 +−= xxxh
( )22·)12(
1)´(
2−
+−= x
xxxh
1
2
)1(
)1(2)´(
2 −=
−−=
xx
xxh
Se puede simplificar el factor (x-1)