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Octubre, 2010
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RELACIÓN ENTRE LA ELONGACIÓN DE UN RESORTE Y LA FUERZA APLICADA
Resumen. A través de la medición de la elongación de un resorte al que se le colocan diferentes masas, se determina una relación funcional entre dicha elongación y la fuerza que se aplica, él método utilizado para encontrar dicha relación de apariencia lineal, es el de mínimos cuadrados
Introducción. Las personas tenemos un concepto intuitivo de lo que es la fuerza, cuando pateamos un balón estamos ejerciendo una fuerza sobre él, y en general, cuando logramos un cambio en la posición de un objeto es resultado de las fuerzas que actúan sobre este; sin embargo no todas las fuerzas generan movimiento, de hecho, aunque estemos en movimiento o reposo, existe una fuerza fundamental que actúa sobre nosotros, esta fuerza es la de gravedad. Las fuerzas pueden clasificarse dentro de dos amplios grupos como fuerzas de contacto y fuerzas de campo. Las fuerzas de contacto, como su nombre lo indica, implican un contacto físico entre cuerpos, mientras que las fuerzas de campo actúan através del espacio, de cualquier modo, esta clasificación no es tan útil como podría pensarse, pues a nivel atómico todas las fuerzas de contacto son resultado de fuerzas de campo, sin embargo al desarrollar modelos para fenómenos macroscópicos es conveniente utilizar dicha clasificación de fuerzas. No obstante las únicas fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son todas fuerzas de campo, estas son la fuerza de gravedad, fuerza electromagnética, fuerza fuerte y fuerza débil.
Isaac Newton, uno de las mas brillantes matemáticos y físicos de la historia, en 1687 publicó sus descubrimiento en su celebre obra “Philosopiae naturalis principia mathematica“ o bien “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural”, dentro de dicho texto Newton expone sus famosas leyes, estas son las siguientes
Todos los cuerpos perseveran su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, salvo que se vean forzados a cambiar ese estado por fuerzas impresas.
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de la línea recta en la que se imprime esa fuerza.
Para toda acción hay siempre una reacción opuesta e igual. Las acciones recíprocas de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias.
Estas leyes son el cimiento del estudio de la dinámica, la cual es la rama de la física que describe como es que un sistema físico evoluciona con respecto al tiempo considerando las causas que ocasionan los cambios de estado o de movimiento. Puede decirse que una de las leyes mas trascendentes es la segunda, la cuál podemos expresar en términos matemáticos como.
€
F =dpdt (1)
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Donde F es lo que Newton define en su segunda ley como fuerza motriz impresa, p es el movimiento o momento lineal y d/dt es un operador matemático que indica el cambio de la magnitud a la que se aplica dicho operador con respecto al tiempo. Aplicando las reglas del cálculo y considerando que la masa a la que se aplica la “Fuerza motriz” permanece la contante podemos expresar lo siguiente.
€
F =dmvdt
⇒ F = m dvdt
€
F = ma (2)
Podemos observar que la ecuación 2 que la dv/dt se sustituyo por a, donde a recibe el nombre de aceleración; de los conceptos estudiados en mecánica sabemos que la aceleración es una cantidad vectorial y la masa es una cantidad escalar, por tanto es el producto escalar-‐vector da como resultado un vector, es por esta razón que la fuerza es una cantidad vectorial.
Es en este punto donde conviene aclarar cual es la diferencia entre la masa y el peso, términos que se usan indistintamente en el vocabulario cotidiano pero que en aspectos físicos representan dos cosas diferentes; masa solo en algunos casos y que convienen para los interés de la química se define como la cantidad de materia que contiene un cuerpo, mientras que el peso por su carácter vectorial se define como la fuerza con la que un cuerpo actúa sobre un punto de apoyo, a causa de la fuerza de atracción de la gravedad, y es a causa de esta definición y que con ayuda de la ecuación 2 que podemos reescribir el peso (w) de un objeto como.
€
w = mg (3)
donde g es la aceleración de la gravedad, que de acuerdo a la medición de Manuel Mena en el Instituto de Geofísica de la Ciudad Universitaria corresponde el valor de 977927.071 miligales que es equivalente a 9.78 m/s2 [1].
Robert Hooke, un científico contemporáneo de Newton, desarrollo lo que actualmente se conoce como la ley de Hooke que se expresa matemáticamente de la forma siguiente.
€
Fs = −kx (4)
donde Fs es la fuerza que ejerce un resorte ya sea alargado o comprimido, x es la elongación del resorte con respecto a su estado de equilibrio (x=0) y k es una constante de proporcionalidad, positiva, conocida como constante de fuerza o constante del resorte y se determina experimentalmente. Se puede observar claramente que la ecuación 4 es lineal y que siendo x la elongación del resorte la cual puede variar y siendo k una constante, la pendiente de una grafica de Fs vs x nos determina la constante del resorte.
Ya que tratamos acerca de relaciones lineales conviene repasar de manera sencilla como es que se ajusta un recta a un serie de puntos que parecen tener una tendencia
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lineal. La pendiente y la ordenada a la origen de dicha recta se calculan de acuerdo a las siguientes dos ecuaciones.
€
m =
xiyiui2
i=1
n
∑ 1ui2
i=1
n
∑ −yiui2
i=1
n
∑ xiui2
i=1
n
∑
xi2
ui2
i=1
n
∑ 1ui2
i=1
n
∑ −xiui2
i=1
n
∑⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2 b =
xiyiui2
i=1
n
∑ xiui2
i=1
n
∑ −yiui2
i=1
n
∑ xi2
ui2
i=1
n
∑
xiui2
i=1
n
∑⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
−xi2
ui2
i=1
n
∑ 1ui2
i=1
n
∑ (5,6)
El método utilizado para determinar la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) es el ajuste por mínimos cuadrados, donde xi son las abscisas, yi son las ordenadas y ui son las incertidumbres combinadas asociadas a cada medición yi, no se consideran las incertidumbres con respecto a las abscisas pues se supone se tiene una mayor precisión en la las mediciones xi. Dado que m y b se determinaron de acuerdo a datos experimentales resulta aparente que se deben de tener una incertidumbre asociada, la cual se calcula de acuerdo con las siguiente ecuaciones.
€
um2 = N u2
Δ' (7)
€
ub2 =
u2
Δ'xi2∑ (8)
donde
€
Δ'=N xi
i=1
n
∑
xii=1
n
∑ xi2
i=1
n
∑= N xi
2
i=1
n
∑ − xii=1
n
∑⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
(9)
y
€
u2 =1
N − 2yi −mxi − b( )2
i=1
n
∑ (10)
Una vez determinada la pendiente (m) y su incertidumbre asociada (um); la orden al origen (b) y su incertidumbre asociada (ub), es conveniente saber que tan confiable es nuestro modelo, y un buen parámetro que nos permite determinar que tan óptima es la ecuación obtenida como modelo es el coeficiente R2 y se determina como
€
R2 =1−
yiui2 −
y xi( )ui2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
i=1
n
∑2
yi − y__
ui2
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
2
i=1
n
∑
(11)
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Desarrollo experimental. En un soporte universal se coloca una pinza de tres dedos y en ella se coloca de forma vertical un resorte, con un flexómetro se mide la longitud inicial del resorte. Se pesa una rondana en una balanza granataria (SETRA, modelo 5000L) se registra, se coloca en el resorte y la masa genera una elongación en el resorte, se mide la longitud final del resorte. La rondana inicial con otra rondana adicional se pesan juntas y se colocan en el resorte, se mide nuevamente la longitud final del resorte y se registra, se repite este proceso 14 veces mas.
Resultados. En la tabla 1, se muestran las cantidades de las mediciones efectuadas tanto de la masa colocada en el resorte así como la longitud del resorte cuando sostiene dicha masa, adicionalmente se agregan los valores del peso y la elongación. En la tabla 2 se muestran los primeros cálculos de las sumas necesarias para la determinación de la pendiente y la ordenada al origen. La tabla 3 muestra los cálculos de la suma (yi-mxi-b)2 para la determinación de u2. En la Tabla 4 se hace una comparación entre los resultados obtenidos y los datos experimentales. Se determina la ecuación 13 que corresponde a la relación que existe entre la elongación y el peso que soporta el resorte, finalmente se determina la constante del el resorte utilizado.
Masa kg (±1x10-5 kg) Peso N (±1x10-5 N)
Longitud del Resorte cm (± .1 cm)
Elongación cm (±.2 cm)
0.00 0.0000 7.3 0.0 5.90 0.0577 7.7 0.4 11.96 0.1170 7.9 0.6 17.09 0.1671 8.1 0.8 23.03 0.2252 8.3 1.0 28.94 0.2830 8.6 1.3 34.90 0.3413 8.8 1.5 40.73 0.3983 9.1 1.8 46.81 0.4578 9.3 2.0 52.00 0.5086 9.6 2.3 57.90 0.5663 9.8 2.5 62.37 0.6100 9.9 2.6 68.20 0.6670 10.3 3.0 73.09 0.7148 10.5 3.2 78.25 0.7653 10.7 3.4 83.92 0.8207 10.9 3.6
Tabla 1.- Las cantidades de las mediciones de las masa colocada y la longitud del resorte.
Los pesos reportados en la tabla 1, fueron calculados de acuerdo a la ecuación 3, con un valor de g = 9.78 m/s2 el cual corresponde al valor de la aceleración de la gravedad registrado en Ciudad Universitaria. La elongación se determinó como la diferencia que existe entre la longitud del resorte cuando se le aplica una fuerza, y la longitud del resorte en su estado de equilibrio, matemáticamente se expresa como.
€
Δl = l − l0 (12)
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La incertidumbre que se asocia a la elongación es de ±.2 cm, puesto que cuando se suman o se restan dos mediciones que contienen incertidumbre, se suman las incertidumbres absolutas para obtener la incertidumbre absoluta del resultado.
W Δl ul w/ul2 Δl/ul
2 w2 /ul2 wΔl/ul
2 1/ul2
X y ul x/ul2 y/ul
2 x^2/ul2 xy/ul
2 1/ul2
0.0000 0.0 1.00E-05 0 0 0 0 10000000000 0.0577 0.4 1.00E-05 577020000 4000000000 33295208.04 230808000 10000000000 0.1170 0.6 1.00E-05 1169688000 6000000000 136817001.7 701812800 10000000000 0.1671 0.8 1.00E-05 1671402000 8000000000 279358464.6 1337121600 10000000000 0.2252 1.0 1.00E-05 2252334000 10000000000 507300844.8 2252334000 10000000000 0.2830 1.3 1.00E-05 2830332000 13000000000 801077923 3679431600 10000000000 0.3413 1.5 1.00E-05 3413220000 15000000000 1165007077 5119830000 10000000000 0.3983 1.8 1.00E-05 3983394000 18000000000 1586742776 7170109200 10000000000 0.4578 2.0 1.00E-05 4578018000 20000000000 2095824881 9156036000 10000000000 0.5086 2.3 1.00E-05 5085600000 23000000000 2586332736 11696880000 10000000000 0.5663 2.5 1.00E-05 5662620000 25000000000 3206526526 14156550000 10000000000 0.6100 2.6 1.00E-05 6099786000 26000000000 3720738925 15859443600 10000000000 0.6670 3.0 1.00E-05 6669960000 30000000000 4448836640 20009880000 10000000000 0.7148 3.2 1.00E-05 7148202000 32000000000 5109679183 22874246400 10000000000 0.7653 3.4 1.00E-05 7652850000 34000000000 5856611312 26019690000 10000000000 0.8207 3.6 1.00E-05 8207376000 36000000000 6736102081 29546553600 10000000000
Σ 67001802000 3E+11 38270251579 1.69811E+11 1.6E+11
Tabla 2.- Se muestran los primeros cálculos para la determinación de la pendiente y la ordenada al origen
Sustituyéndose los valores de las sumas en la tabla 2 en las ecuaciones 5 y 6, se determinan los valores de la pendiente y la ordenada al origen obteniéndose los siguientes resultados.
m = 4.326304137
b = 0.063311418
E = 4,326w + 0,063
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000
Elongación (cm
)
Peso (N)
Elongación
Grafico 1.- Se muestra una gráfica con los puntos experimentales y la función determinada
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Sin embargo, aún resta el cálculo de las incertidumbres asociadas a la pendiente y la ordenada al origen.
xi yi (yi-mxi-b)2 0.0000 0 0.004008336 0.0577 0.4 0.007578082 0.1170 0.6 0.000939176 0.1671 0.8 0.000184668 0.2252 1 0.001424278 0.2830 1.3 0.000148861 0.3413 1.5 0.001597937 0.3983 1.8 0.000178254 0.4578 2 0.001927319 0.5086 2.3 0.001332495 0.5663 2.5 0.000172477 0.6100 2.6 0.010457999 0.6670 3 0.002607229 0.7148 3.2 0.001950017 0.7653 3.4 0.00066734 0.8207 3.6 0.000198018
Σ 0.035372484
Tabla 3.- Se muestra el cálculo de la suma de (yi-mxi-b)2 que se utilizara para la determinación de u2.
La suma obtenida en la Tabla 3, se sustituye en la ecuación 10 y se obtiene el valor para u2 que corresponde a 0.002526606, para determinar el valor de Δ ’ se uso la ecuación 9 y se obtuvo el siguiente valor 16.33998781. Sustituyendo los valores de u2 y Δ ’ en las ecuaciones 7 y 8, y aplicando raíz cuadrada se determinan los valores de la incertidumbre de la pendiente y la ordenada al origen.
um = 0.049739669
ub = 0.02432616
Por tanto podemos expresar que la recta que mejor se ajusta al grupo de datos experimentales es
Δl(w)=4.326304137(±0.049739669 )w+0.063311418(±0.02432616) (13)
También esta función puede expresarse de otra forma en donde en lugar de colocar las incertidumbre absolutas se colocan las incertidumbres relativas, quedando la función de la siguiente forma.
Δl(w)=4.326304137(±1.15%)w+0.063311418(±38.42%) (14)
Note que la incertidumbre relativa obtenida para b es considerablemente grande, esto se debe a que la incertidumbre absoluta asociada a b es también cercana al valor de b y a su vez b es cercano a cero (aunque de hecho debería de ser cero).
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La forma en la que se calcularon las incertidumbres relativas en la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) fueron las siguientes.
€
%um =mum
×100% (15)
€
%ub =bub
×100% (16)
Se realiza una comparación numérica entre los datos obtenidos aplicando la ecuación 13 y los resultados registrados experimentalmente, también se calcula el porcentaje de error de modo de que se observe la diferencia porcentual que existe entre dichos conjuntos de datos.
Peso Elongación Elongación Función
€
y(xi) − yiy(xi)
%
0.00000 0.0 0.0633 1 100% 0.05770 0.4 0.3129 -0.278168359 -27.8% 0.11697 0.6 0.5694 -0.053825876 -5.4% 0.16714 0.8 0.7864 -0.017280084 -1.7% 0.22523 1.0 1.0377 0.036367127 3.6% 0.28303 1.3 1.2878 -0.009474209 -0.9% 0.34132 1.5 1.5400 0.025957707 2.6% 0.39834 1.8 1.7866 -0.007472755 -0.7% 0.45780 2.0 2.0439 0.021479139 2.1% 0.50856 2.3 2.2635 -0.016126973 -1.6% 0.56626 2.5 2.5131 0.005225768 0.5% 0.60998 2.6 2.7023 0.03784395 3.8% 0.66700 3.0 2.9489 -0.017315051 -1.7% 0.71482 3.2 3.1558 -0.013992782 -1.4% 0.76529 3.4 3.3742 -0.007656088 -0.8% 0.82074 3.6 3.6141 0.003893639 0.4%
Tabla 4.- Comparación entre los resultados de la función y los resultados experimentales
Pese a que se obtienen para algunos valores un porcentaje de error bastante alto, podemos utilizar el coeficiente de R2 para determinar que tan confiable es el modelo; mediante el uso de la ecuación 11 determinamos el valor de R2.
R2 = 0.9981529
El valor obtenido para R2 es cercano 1 lo cual garantiza la eficiencia del modelo.
Podríamos pensar que la pendiente de la ecuación 13 es la constante del resorte, sin embargo esto no es del todo cierto puesto que la elongación se expresa en función del peso, por tanto la constante del resorte sería el inverso de la pendiente la pendiente de la ecuación 13.
kresorte = 23.11441749 N/m
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Conclusiones. Se obtiene que la relación de existe entre la elongación de un resorte, y una fuerza que se le aplica (peso de las rondanas) es directamente proporcional y lineal, además de que en un grafico de elongación-‐peso, el inverso de la pendiente de la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales es la constante del resorte.
Bibliografía. [1] http://www.smf.mx/boletin/2005/Abr-‐05/Placeres.html
SERWAY, Raymond A. Física Para Ciencias e Ingeniería Vol. 1., 7ª Edición, D.F. México, Cengage Learning, 2008, pp. 100, 101, 173, Apéndice B, sección 8.
http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/incert_param_6907.pdf
http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/Histog_Ajustes_11229.pdf