1

SISTEMAS ABIERTOS BALANCE DE MASA

ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO TORO.

REVISÓ PhD. CARLOS A. ACEVEDO.

PRESENTACIÓN HECHA EXCLUIVAMENTE

CON EL FIN DE FACILITAR EL ESTUDIO.

MEDELLÍN 2016

Contenido

Sistemas abiertos.

Balance de masa para un volumen de control.

Flujo estable.

Dispositivos de flujo estable.

La conservación de la masa.

Balance de masa para flujo estable.

Ejercicios de aplicación.

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

2

3

Para volúmenes de control generales el balance se hace

considerando el flujo másico 𝑚 o sea la cantidad de masa

que pasa en un segundo por la entrada y por la salida:

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

Balance de masa para un volumen de control general.

4

𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑒 = ∆𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟

𝑠−

𝑚𝑠𝑎𝑙

𝑠=

∆𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝑠

22/07/2016

ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

Entrada

Salida

Figura 1. Entradas y salidas en un ducto.

Dividiendo entre el tiempo (s)

∆𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 es la variación de masa en el sistema y es también la masa final menos la inicial.

(1)

(2)

5

𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑚 𝑠𝑎𝑙𝑒 = ∆ 𝑚 sistema (3)

Donde ∆ 𝑚 sistema es incremento o decremento de masa con respecto al tiempo.

Estas ecuaciones se aplican a cualquier volumen de control que sufre cualquier

tipo de proceso.

𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑚 𝑠𝑎𝑙𝑒 =𝑑(𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙)

𝑑𝑡

22/07/2016

6

O en forma de variación diferencial con respecto al tiempo:

𝑑(𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙)

𝑑𝑡es el cambio de la masa con respecto a tiempo en el sistema.

(4)

ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

Flujo estable

Se denomina flujo estable aquel donde las propiedades no cambian en un

punto dado con el tiempo. Pueden cambiar de un punto a otro, pero en el

mismo punto no. ∆𝐸 = 0

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

7

Figura 2 . En un dispositivo de flujo estable las propiedades no cambian con el

tiempo en ninguna parte de él. La masa y la energía también permanecen constantes.

(Cengel, 2007)

5 PM

Hay ciertos artefactos en ingeniería que operan por largos periodos

de tiempo sin cambios apreciables en sus propiedades y bajo las

mismas condiciones bajo el punto de vista práctico; es posible por

tanto considerarlos dispositivos de flujo estable. En estos sistemas

no hay acumulación de masa ni de E.

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

8

Dispositivos de flujo estable.

Se pueden considerar los siguientes dispositivos de flujo estable:

Turbinas.

Bombas.

Calderas.

Compresores

Condensadores.

Flujos en tuberías.

Intercambiadores de calor.

Refrigeradores.

Plantas de potencia.

Sistemas de refrigeración 22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

9

1.CONSERVACIÓN DE LA MASA.

La masa ni se crea ni se destruye, se transforma.

ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

10

11 Balance de masa para Flujo estable

Ninguna propiedad, intensiva o extensiva, dentro del volumen de

control cambia con el tiempo. De esta forma la masa total o la energía

total que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale.

Por tanto, la Masa total y la Energía total permanecen constantes.

En estos sistemas no hay acumulación de masa ni de energía.

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

Balance de masa para procesos de flujo estable

En flujo estable la cantidad de masa al interior no varía con el tiempo

∆ 𝑚 sistema=0 , por tanto, la ecuación anterior queda :

𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑚 𝑠𝑎𝑙𝑒 = 0

𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝑚 𝑠𝑎𝑙𝑒

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

12

(𝑘𝑔

𝑠)

(5)

(6)

En dispositivos de flujo estable de una sola corriente como bombas,

compresores, turbinas, toberas y difusores, el principio de conservación

de la masa es muy importante:

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

13

Si el subíndice 1 indica entrada y el subíndice 2 salida, y reemplazando ecuación (6):

𝜌1𝐴1𝑣1 = 𝜌2𝐴2𝑣2

La ecuación vale tanto para fluidos compresibles como incompresibles.

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

14

Para dispositivos de flujo estable de una sola corriente

(7)

Entrada

Salida

Figura 3. Entradas y salidas en un ducto.

1

2

𝑣2=𝜌1𝐴1𝑣1

𝜌2𝐴2(7a)

De esta ecuación se puede notar que si disminuye el área

aumenta la velocidad, según Bernoulli disminuye la presión.

Si aumenta el área disminuye la velocidad y aumnenta la

presión..

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

15

𝑚 1 + 𝑚2 +⋯ = ( 𝑚 3 + 𝑚 4 +⋯)

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

16

𝑚 1

𝑚 2

𝑚 3

𝑚 4

(Cengel, 2007)

(8)

Figura 4. dispositivo de entradas y salidas múltiples.

Para dispositivos de múltiples entradas y salidas y flujo estable:

Flujo estable de una sola corriente con fluido incompresible

Si el fluido es incompresible, caso de líquidos, la densidad se

considera constante, la ecuación (12) resulta así:

𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2

𝑉1 = 𝑉2

𝑣1 = 𝑣2

Para flujo estable con fluido incompresible (solo en este caso) el

flujo volumétrico se conserva. 22/07/2016

17

Si la sección no cambia 𝐴1=𝐴2

(10)

(11)

(9)

Ejercicios resueltos

Ejercicio # 1

Un líquido de densidad relativa igual a 1,65 viaja por una tubería de

tres pulgadas de diámetro interior a una velocidad de 7,5 m/s. Si se

cerrara de pronto la tubería, ¿qué presión se ejercería en la línea?

¿Cuál es el flujo másico y volumétrico?

Datos:

𝜌𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔𝑠 = 1,65

𝑔𝑠 =𝜌𝑠𝑢𝑠𝑡

𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎

𝜌𝑠𝑢𝑠𝑡 = 𝑔𝑠*𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎=1,65 ∗ 1000𝑘𝑔

𝑚3=1650 𝑘𝑔

𝑚3

𝑣 =7,5𝑚

𝑠

𝐴 = 𝜋𝑑2

4= 3,14 ∗

0,0762𝑚 2

4= 0,0046𝑚2

𝜌𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 = 1,65

𝑑 = 3 𝑝𝑢𝑙 = 3 ∗ 0,0254𝑚 = 0,0762𝑚𝑣 =

7,5𝑚

𝑠

Esquema del ejercicio # 1

Figura 5. Ejercicio 1

Flujo estable

El cambio en energía cinética es igual al trabajo que puede hacer el

fluido. Este trabajo es el trabajo de flujo, energía de flujo, energía por

unidad de volumen o energía debida a la presión.

Si la tubería se cierra, el cambio en energía cinética del líquido se

convierte en energía de presión:

W=PV=∆𝑒𝑐

𝑃𝑉 = ∆𝑒𝑐

PV =𝑚𝑣2

2

𝑃 =𝑚𝑣2

2𝑉pero 𝑚 = 𝜌𝑉

𝑃 =𝜌𝑉𝑣2

2𝑉

𝑃 =𝜌𝑣2

2= 1650

𝑘𝑔

2∗𝑚3*(7,5𝑚

𝑠)2 = 46406,2

𝑘𝑔

𝑚∗𝑠2

𝑘𝑔∗𝑚

𝑚∗𝑠2∗𝑚=

𝑘𝑔 𝑚

𝑠2 .𝑚2=𝑁

𝑚2 = Pa

𝑃 = 46406,2 Pa

𝑚 = 𝜌. 𝐴. 𝑣 = 1650 𝑘𝑔

𝑚3*0,0046𝑚2*

7,5𝑚

𝑠=56,9

𝑘𝑔

𝑠

𝑉 = 𝐴. 𝑣 = 0,0046𝑚2*7,5𝑚

𝑠= 0,0345

𝑚3

𝑠

Dos corrientes gaseosas entran en un tubo mezclador y salen como una sola mezcla. Si el flujo es estacionario, hallar:

𝒗𝟐 =?

𝒎𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 =?

𝑨𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 =?

:

Gas 2 Gas 1

𝑨𝟏= 𝟒𝟔𝟖, 𝟕𝟓 𝒄𝒎𝟐

𝒗𝟏 = 𝟏𝟓𝟎𝒎

𝒔

𝑽𝒆𝒔𝒑 𝟏 = 𝟎, 𝟔 𝒎𝟑/𝒌𝒈

𝑨𝟐= 𝟑𝟏𝟐 c𝒎𝟐

𝒎𝟐 = 𝟐𝟕𝟎𝟎𝒌𝒈

𝒉= 7,5 𝒌𝒈/𝒔

𝝆𝟐 = 𝟐 𝐤𝐠/𝒎𝟑

mezcla

𝒗𝟑= 𝟏𝟎𝟓𝐦/𝐬

𝑽𝒆𝒔𝒑 = 𝟎, 𝟒𝟐𝒎𝟑

𝒌𝒈

𝒗𝟐=?

𝒎𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 =?𝐴𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 =?

𝒎𝟏=?

Figura 6. Ejercicio 2

Ejercicio # 2

Flujo estable

𝐴1 = 468,75 𝑐𝑚2

1𝑚 = 100𝑐𝑚(1𝑚)2= (100𝑐𝑚)2

1𝑚2 = 10000𝑐𝑚2

468,75 𝑐𝑚2*1𝑚2

10000𝑐𝑚2 = 0,046875 𝑚2

𝐴2 = 312 c𝑚2

312 c𝑚2*1𝑚2

10000𝑐𝑚2 = 0,0312 𝑚2

𝒎𝟏=?

𝑚1= 𝜌1∗𝐴1∗𝑣1=𝐴1∗𝑣1

𝑉 𝑒𝑠𝑝 1=

0,046875𝑚2∗150𝑚

𝑠

0,6 𝑚3/𝑘𝑔= 11,7𝑘𝑔/𝑠

𝑚2= 𝜌2∗𝐴2∗𝑣2=

𝒗𝟐=𝑚2

𝜌2∗𝐴2=

7,5 𝑘𝑔/𝑠

0,0312𝑚2∗ 2 kg/𝑚3= 120,2

𝑚

𝑠

𝑚1 +𝑚2= 𝑚3 =11,7𝑘𝑔

𝑠+ 7,5 𝑘𝑔/𝑠 = 19,2 𝑘𝑔/𝑠

𝑚3 = 𝜌3∗𝐴3∗𝑣3=𝐴3∗𝑣3

𝑉𝑒𝑠𝑝 3

𝐴3=𝑉𝑒𝑠𝑝 3∗𝑚3

𝑣3=𝟎,𝟒𝟐

𝒎𝟑

𝒌𝒈∗19,2 𝑘𝑔/𝑠

𝟏𝟎𝟓 𝐦/𝐬= 0,0768 𝑚2

∙

∙

15 pies

10 pies

15 pies

7,5 pies

𝒎𝒆𝒏𝒕𝒓 = ?

𝑣𝑠𝑎𝑙 = 5 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠

𝜌𝑒𝑛𝑡𝑟 = 62,1 𝑙𝑏𝑚/ 𝑝𝑖𝑒3

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 300 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

∙

d= 6 pulg

Hallar

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 en pies/min

𝐴𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝒎𝒆𝒏𝒕𝒓 = ?

𝒎𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 = ?

Hallar la altura del agua y el cambio de flujo másico en el tanque después de 15 minutos.

∙

1galón =0,13367 𝑝𝑖𝑒3

1𝑝𝑢𝑙𝑔 = 0,0833333 pies

∙

𝒎𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 = ?∙

𝜌𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 62,1 𝑙𝑏𝑚/ 𝑝𝑖𝑒3

∙

∙

Ejercicio # 3

Figura 7. Ejercicio 3

Flujo inestable

𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 300 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛= 300 𝑔𝑎𝑙∗0,13367𝑝𝑖𝑒3

𝑚𝑖𝑛∗1 𝑔𝑎𝑙= 40,1𝑝𝑖𝑒3/min

6 𝑝𝑢𝑙𝑔 ∗0,083333 𝑝𝑖𝑒𝑠

1𝑝𝑢𝑙𝑔= 0,5 pies

𝐴𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 3,14 ∗0,5𝑝𝑖𝑒𝑠2

4=0,1962 𝑝𝑖𝑒𝑠2

𝑣𝑠𝑎𝑙 = 5 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠=5 𝑝𝑖𝑒𝑠∗60𝑠

𝑠∗1𝑚𝑖𝑛=300 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑚𝑖𝑛

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 = 3,14 ∗𝑑2

4=3,14∗100 𝑝𝑖𝑒2

4= 78,5𝑝𝑖𝑒2

∙

𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎=𝜌𝑒𝑛𝑡𝑟 ∗ 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟 = 62,1𝑙𝑏𝑚∗40,1𝑝𝑖𝑒3

𝑝𝑖𝑒3.𝑚 𝑛= 2490,2

𝑙𝑏𝑚

𝑚𝑖𝑛

𝒎𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 =

∙∙

∙ 𝜌𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝐴𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑣𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎= 62,1 𝑙𝑏𝑚∗0,1962 𝑝𝑖𝑒𝑠2∗300 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑝𝑖𝑒3∗𝑚𝑖𝑛= 3657,1 𝑙𝑏𝑚/𝑚𝑖𝑛

∆𝑚= 2490,2𝑙𝑏𝑚

𝑚𝑖𝑛- 3657,1

𝑙𝑏𝑚

𝑚𝑖𝑛= -1167

𝑙𝑏𝑚

𝑚𝑖𝑛

∙

En 15 minutos el cambio de masa en el tanque es: ∆𝑚𝑙𝑏𝑚

𝑚𝑖𝑛∗ 15𝑚𝑖𝑛 =1167*15=-17505 lbm

Altura del nivel de agua = se calcula con base en el volumen de la disminución de agua

𝜌 =𝑚

𝑉

𝑉 =𝑚

𝜌=

17505 lbm62,1 𝑙𝑏𝑚/ 𝑝𝑖𝑒3

= 282 𝑝𝑖𝑒3

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∗ ℎ

ℎ =𝑉

𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒=282 𝑝𝑖𝑒3

78,5𝑝𝑖𝑒2= 3,59 𝑝𝑖𝑒𝑠

Un fluido estacionario circula entre dos secciones de una

tubería de sección variable. Hallar 𝑚 𝑦 𝑣2

𝐴1 = 0,09𝑚2

𝑣1= 300𝑚

𝑚𝑖𝑛

𝑉𝑒𝑠𝑝= 0,24 𝑚3/𝑘𝑔

𝐴2= 0,18 𝑚2

𝜌2= 3,33𝑘𝑔

𝑚3

𝑣2 =?

Ejercicio # 4

Figura 8. Ejercicio 4. Un difusor.

𝑚 =𝐴1𝑣1

𝑉𝑒𝑠𝑝 1=

0,09𝑚2∗3 0 0 𝑚

𝑚𝑖𝑛

0,24𝑚3/𝑘𝑔= 112,5

𝑘𝑔

𝑚𝑖𝑛

El flujo másico es el mismo en ambas secciones

𝑣2 = 𝑚

𝜌2𝐴2=

112,5𝑘𝑔

𝑚𝑖𝑛

3,33𝑘𝑔

𝑚3∗0,18𝑚2= 187,5

𝑚

𝑚𝑖𝑛

Steady flow

Ejercicio # 5 de Cengel

1𝑚3 = 1000𝐿 1 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛 = 3.7854 𝐿

1000𝑘𝑔

𝑚3= 1000

𝑘𝑔 ∗ 1𝑚3

𝑚3 ∗ 1000𝐿

1000𝑘𝑔

𝑚3=1𝑘𝑔

𝐿𝐿

𝑠=𝑘𝑔

𝑠

A liter of water has a mass of a kilogram, where exist a liter

it is possible to change for kilogram.

The volume flow is 𝑚=𝑉𝑜𝑙

𝑡𝑖𝑚𝑒=

10 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑙𝑜𝑛𝑠

50 𝑠

𝑉= 10 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑙𝑜𝑛𝑠∗3.7854 𝐿

50 𝑠∗1 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑜𝑛

𝑉= 37,854 𝐿

50 𝑠

𝑚= 37,854 𝐿∗kg

50 𝑠∗𝐿= 0,7578 kg/s

𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑠

𝑘𝑔

𝑠

1000𝑘𝑔 ∗ 1𝑚3

𝑚3 ∗ 1000𝐿

4 ft4 ft

33ft

𝟎, 𝟓 𝒊𝒏 𝒐𝒇 𝒅𝒊𝒂𝒎𝒆𝒕𝒆𝒓

𝑣𝑜𝑢𝑡 = 2𝑔ℎ

Unsteady flow (mass change)Ejercicio # 6 de Cengel

B𝑢𝑡 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 2𝑔ℎ

∙

Bibliografía

http://www.cec.uchile.cl/~roroman/cap_07/cap_07.htm

https://books.google.com.co/books?id=1rIBBXQhmCwC&pg=PA249&lpg=PA249&dq

=procesos+isentr%C3%B3picos&source=bl&ots=ijUTzc1j8e&sig=iai9xzZLZG2fXzXJJJrBMi

0yUIY&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiM-

O7W6eLJAhWJwiYKHSu3DPIQ6AEIMTAE#v=onepage&q=procesos%20isentr%C3%B3pi

cos&f=false

http://www.proenergia.com/id86.html

Teoría y problemas:

https://books.google.com.co/books?id=1rIBBXQhmCwC&pg=PA249&lpg=PA249&dq=procesos+isentr%

C3%B3picos&source=bl&ots=ijUTBa5icg&sig=dwZl0uA0my7DiaXxAtmy1AyKsAI&hl=es&sa=X&ved

=0ahUKEwjY7vn0lujJAhWC4iYKHQgVAewQ6AEIMzAF#v=onepage&q=procesos%20isentr%C3%B3

picos&f=false

22/07/2016ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.

41