Post on 14-Sep-2015
Matemticas II Junio 2015
PROBLEMA A.1. Se dan las matrices y2231
A
= .
=
2231
B
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La matriz inversa de la matriz A. (2 puntos) b) Las matrices X e Y de orden 2 x 2 tales que X A = B y A Y = B. (2 + 2 puntos) c) Justificar razonadamente que si M una matriz cuadrada tal que M 2 = I, donde I es la
matriz identidad del mismo orden que M, entonces se verifica la igualdad M 3= M 7. (4 puntos)
Solucin: a) A-1?
Comprobemos si existe A-1. 1A0862
2231
A =+=
=
Calculemos A-1,
=
1232
1322
1322
2231
Atraspuestaadjuntosmenores
Finalmente,
=
=
=
81828382
1232
81
1232
A1A 1
////
, simplificando las fracciones:
Solucin:
=
81418341
A 1////
b) X ? / X A = B En el apartado anterior hemos obtenido A-1. Multiplicando por A-1 por la derecha: X A A-1 = B A-1 X I = B A-1 X = B A-1, por lo que
=
=
+
+=
=
2114321
84888684
82
86
84
84
83
83
86
82
81828382
2231
X///
////
////
Y ? / A Y = B, multiplicando por A-1 por la izquierda: A-1 A Y = A-1 B I Y = A-1 B Y = A-1 B, luego:
=
=
+
+=
=
1001
880088
82
86
82
82
86
86
86
82
2231
81828382
Y/
/////
Solucin:
=
=
1001
Ye2114321
X///
c) Sea M una matriz cuadrada / M 2 = I, M 3 = M 7? Podemos resolverlo de dos formas diferentes: *) Calculemos, por separado, M 3 y M 7
... cqcMM M MI I I M M M M M
M MI I) M(como M M M 732227
223
=
===
=====
**) Veamos si a partir de M 7 llegamos a M 3, ... cqc M MI I M M M M 333227 ===