Post on 19-Jan-2021
TALLER 2 GRADO UNDÉCIMO
El presente trabajo tiene un plazo de entrega el 20 de Octubre del 2020, recuerde que para
esa fecha encontraras el tercer taller de cálculo, estadística y física para este periodo.
Podrás entregar el taller en el correo roromeron@ut.edu.co o al whatsap 3152000438, como
también solicitar la asesoría pertinente.
CÁLCULO
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
¿CÓMO SURGIO? Los estudios de Nicolás Copérnico (1473 -1543) y Johannes Kepler (1571-
1630) sobre el universo. En estos estudios podemos encontrar algunas de las primeras ideas
que motivaron el nacimiento del cálculo. Kepler, ejemplo introdujo la noción de infinitesimal
para explicar un fenómeno propio de la astronomía. La primera exposición sistemática que
estuvo relacionada con el que hoy conocemos como cálculo fue hecha por Buenaventura,
Cavalieri. Por otro lado, los aportes del matemático y científico francés Rene Descartes (1596-
1650) que unificaron la geometría y el álgebra, ayudaron notablemente al desarrollo de las
ideas del cálculo. Aunque los problemas clásicos de la recta tangente a un curva y el de hallar
volúmenes y centro de masa se habían trabajado con anterioridad solo hasta los tiempo de
Isaac Newton y Gottfried W Leibniz (1646 – 1716) se conocido un método general de
derivación e integración.
¿EN QUÉ SE APLICA? El concepto de límite marcó una gran diferencia entre las matemáticas
fundamentales y el cálculo. El nacimiento del cálculo infinitesimal permitió el desarrollo de
ideas importantes en matemáticas y física. Conocer la velocidad y la aceleración de un objeto
a partir de la posición o conocer la posición a partir de la velocidad y la velocidad a partir de la
aceleración, involucra procesos propios del cálculo, los limites son importantes para estudiar
el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas como
crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radiactivos, inversiones de capital y
velocidades limites alcanzados por cuerpos que caen desde una altura dada.
ACTIVIDAD 1
1. ¿Qué significado tiene para usted la palabra “limite”?
2. Gráfica la función ( )
.
3. ¿cuál es el dominio de f(x)?
4. ¿cuáles el rango de f(x)?
5. ¿Tiene asíntotas f(x)?
6. tabula la función f(x) con los valores que aparecen en la siguiente tabla:
DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN: Dadas una función f y los números “a” y L, se
dice que el límite de f(x) cuando x tiene a “a” es “L”, si para todo número positivo ε (épsilon) y
tan pequeño como se desee, existe un número positivo δ (delta) talque:
| ( ) | | |
Los valores de la función f(x) se aproximan a un límite L, a
medida que se aproxima a un número “a”, si al valor absoluto de
la diferencia entre f(x) y 1, se puede hacer tan pequeña como se
quiera tomando x suficientemente cercano a “a” pero no es igual
a “a”. No es necesario que x = a este definida para que
( ) exista.
En otras palabras, encontrar el límite de una función es cambiar
el valor a que tienda x en la función y realizar la operación
indicada, teniendo en cuenta que en el cálculo del límite se dan
las siguientes operaciones.
Algunas de las cuales en operaciones aritméticas no tienen solución.
Ejemplo: encuentre el ( )
Para encontrar el límite solo basta con reemplazar el valor de 1 en la función y realizar las
operaciones indicadas así:
( ) ( )
Lo que indica que el límite de la función en el entorno de 1 es 7.
Ejemplo 2: Halla el siguiente límite (
)
Para encontrar el límite solo basta con reemplazar el valor de 3 en la función y realizar las
operaciones indicadas así:
(
) ( ) ( )
( )
Indicando que el límite de la función en el entorno de 3 es 54
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES: Los límites de una función de variable real cuentan con las
siguientes propiedades.
Unicidad de límite: Si una función tiene límite este es único, siempre y cuando se esté
en el mismo entorno.
Límite de una constante: El límite de una constante es la misma constante, ejemplo:
Límite de una potencia: Es igual a la potencia del valor del límite, [ ( )]
[ ( )]
Ejemplo: ( ) ( ( ) ) ( )
Límite de la diferencia o suma de funciones: Es igual a la suma de los límites de cada
función, [ ( ) ( )] ( ) ( )
Ejemplo:
[( ) ( )]
( )
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
( ) ( )
Límite de un producto: Es igual al producto de sus límites, [( ( ))( ( ))]
[ ( )][ ( )]
Ejemplo:
[( )( )] [
( )] [
( )] ( ( ) )( ( ) )
( )( ) ( )( )
Límite de un cociente: Es igual al cociente de los límites, [ ( )
( )]
( )
( )
Ejemplo:
[
]
( )
( )
( )
Límite de un radical: Es igual al radical del límite,
√ ( ) √ ( )
Ejemplo
√ √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( )
√ √
Cuando se aplica las propiedades de los límites y se obtiene una indeterminación, esto no
quiere decir que la función no tenga límite, sino que el límite se está ocultando y debemos
encontrarlo, para ello se realizan algunas operaciones matemáticas (casos de factorización,
racionalización, multiplicar y/o dividir por la variable que tenga mayor exponente, etc) que
ayuden a simplificar la función.
Ejemplo
( )
Como el límite es una indeterminación, debemos buscar el límite de la función, para ello
aplicamos un caso de factorización, (recuerde que los más usados son: factor común,
diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2+bx+c).
Factorizando, en nuestro caso aplicamos el trinomio de la forma x2+bx+c
( )( )
( )
Donde el límite de la función en el entorno de 2 es -1, y no la indeterminación.
ACTIVIDAD 2
Calcule los siguientes límites
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO: Una función es continua en un intervalo abierto si es
continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo. ( ,𝑏) Una función es continua en un
intervalo cerrado [ , b], si es continua en todos los puntos del intervalo abierto ( , b) y,
además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.
Igualmente se define la continuidad en los intervalos semi abiertos: Una función es continua
en un intervalo ( , b], si es continua en todos los puntos del intervalo abierto ( , b) y, además,
es continua a la derecha en b. Una función es continua en un intervalo [ , b), si es continua en
todos los puntos del intervalo abierto ( , b) y, además, es continua a la izquierda en a.
En conclusión, una función es continua en un intervalo abierto ( , b) si lo es en cada uno de
sus puntos.
Ejemplo
Estudiar la continuidad de la función ( ) √
La cual está representada parcialmente en la gráfica
En el intervalo (−∞,3), hallamos la
continuidad hallando su dominio de la
siguiente manera
Como una raíz cuadrada no está
definida para valores menores que
cero, entonces su radicando debe ser
mayor o igual a cero, de donde 3 − ≥
0 ⇒ 3 ≥ Luego la función está
definida en el dominio (−∞,3)
En el intervalo [3,∞), hallamos la
continuidad hallando su dominio de la siguiente manera:
Como ≥ 3, entonces 13− 2, es una función polinomica por lo cual su dominio son todos los
reales mayores o iguales a 3
Luego la función está definida en el dominio [3,∞)
Veamos la continuidad en x = 3
√
Vemos que los límites laterales son distintos, por lo tanto, la función no es continua en = 3,
como lo muestra la gráfica. Vemos que la función en = 3 da un salto cuyo valor es 4.
Si los dos límites dan el mismo valor se dice entonces que la función es continua. Además se
puede obtener la continuidad de una función si cumple:
1. La imagen en el punto x=a existe en el intervalo. Es decir; f(a) es un valor real.
2. El ( ), existe, lo que indica que la función tiene un límite en el entorno de a.
3. ( ) ( ), esto indica que el límite de la función debe ser igual a la imagen de
la función en el punto a.
Ejemplo: verifique que la función ( ) es continua en el punto x=1
Primero obtenemos la imagen de 1.
( )
Segundo se verifica que el límite exista en ese punto o valor de x.
( )
Tercero: Como el límite de la función es igual al valor de la imagen en el punto, se dice que la
función es continua.
ACTIVIDAD 3
ESTADÍSTICA
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta
exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay
entre ese número y el 1. Ejemplo: ( )( )( )( )( )
A este número, 5! le llamamos generalmente “5 factorial”, aunque también es correcto decir
“factorial de 5”. En la calculadora podrás ver un botón con “n!” o “x!”. Esta tecla te servirá
para calcular directamente el factorial del número que quieras.
Para las cantidades como 1! y 0!. Las multiplicaciones darán: 1 factorial es, lógicamente, 1, ya
que multiplicamos 1 x 1=1!
Pero, ¿cómo podemos calcular el 0 factorial? Bueno, esto no tiene sentido cuando aplicamos
la norma de que hay que multiplicar todos los números enteros positivos entre el 0 y el 1, ya
que 0 x 1 es 0. Al final, por convenio se ha acordado que lo más útil es que el 0 factorial sea
igual a 1. Así que recuerda:
¿PARA QUÉ PODEMOS UTILIZAR LOS FACTORIALES? Los números factoriales se utilizan
sobre todo en combinatoria, para calcular combinaciones y permutaciones. A través de la
combinatoria, los factoriales también se suelen utilizar para calcular probabilidades.
Vamos a ver un ejemplo sencillo de problema en el que podemos aplicar los factoriales:
En este problema nos están pidiendo lo que se llama una permutación, es decir, que
averigüemos todas las maneras posibles en las que estas 4 cartas se pueden
combinar teniendo en cuenta el orden en el que las colocamos. Si comenzamos haciendo
todas las filas posibles comenzando con el as de
diamantes, podemos hacer 6 combinaciones:
También tendremos 6 combinaciones posibles con el de
tréboles, con el de corazones y con el de picas, es decir,
6 combinaciones empezando con cada una de las 4
cartas: 4 x 6 = 24. Es decir 4!= 4x3x2x1=24.
VARIACIONES
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n expresada como ,
con (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos
Podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
( )
Ejemplo: calcule las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres
( )
Se pueden realizar 120 variaciones de los elementos.
VARIACIONES CON REPETICIÓN: Se llama variaciones con repetición de m elementos
tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos sí m > n.
Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
PERMUTACIONES
Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para
permutaciones es P(n,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente
se seleccionan “r”. si los elementos no se repiten tendríamos:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos
Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra
IMPUREZA?
Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas,
tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada
una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado
dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:
Rta/ La palabra impureza se puede ordenar de 40320 formas distintas.
PERMUTACIONES CIRCULARES: Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en
círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se
sitúe" en la mesa determina el principio y el final de mesa. Para este tipo de permutaciones se
calcula utilizando la expresión: ( )
Ejemplo: se quiere sentar a 4 personas en una mesa circular ¿Cuántas posibilidades se tienen
para acomodarlos?
( )
Rta/ Existen 6 formas distintas de acomodar a las personas en la mesa.
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN de n elementos donde el primer elemento se
repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces,... de tal modo que n= (a+b+c+…), son
los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos
Sí importa el orden
Sí se repiten los elementos
𝑏
Ejemplo: Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2
ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones.
( )( )
( )( )
COMBINACIONES
Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición
que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y
el contenido de los mismos. Se simboliza el cual se lee combinaciones de m elementos
tomados de n en n.
( )
Ejemplos: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de
cinco cartas habría?
( )
( )( )
( )( )
Rta/ habría 126 combinaciones de cartas.
COMBINACIONES CON REPETICIÓN: Combinaciones con repetición de m elementos
tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden
hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún
elemento y no en el orden de colocación.
( )
( )
Ejemplo: En una heladería se tienen cinco sabores de helado: banano, chocolate, fresa,
vainilla y limón. Si la heladería tiene una promoción donde puedes elegir tres sabores de
helado por el precio de dos. ¿Cuántas opciones tienen las personas para elegir un helado?
( )
( )
( )( )
( )( )
Rta/ Los clientes tienen 35 formas de combinar el helado.
ACTIVIDAD
1. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4,
5?
2. Con la palabra libro ¿De cuántas formas se pueden organizar las letras sin repetir?
3. ¿De cuántas formas se pueden organizar 11 jugadores de futbol en la cancha teniendo
en cuenta que el portero solo puede ocupar una y solo una posición?
4. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿cuántos
saludos se han intercambiado?
5. ¿Cuántos comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo
de 8 personas, las cuales pueden ocupar todos los puestos?
6. ¿De cuántos partidos se forma una liga si tiene 4 equipos?
FÍSICA
FUERZAS NO APLICADAS EN EL MISMO PUNTO
Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas
de acción son paralelas, la resultante tendrá un valor igual a la
suma de ellas con su línea de acción también paralela a las
fuerzas, pero su punto de aplicación debe ser determinado con
exactitud para que produzca el mismo efecto que las
componentes. Lo que indica que las fuerzas se aplican en
diferentes puntos del cuerpo, para este caso tenemos cuando se aplican en la misma
dirección y sentido, cuando se aplican en la misma dirección y sentido contrario o cuando son
oblicuas entre sí. La resultante en cada caso se obtiene bajo una serie de proyecciones de las
fuerzas actuantes.
FUERZAS PARALELAS EN LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO: Aquí la fuerza resultante
estará en un punto en medio de la aplicación de las dos fuerzas aplicadas, luego se suman las
medidas de las fuerzas para obtener la resultante.
Si se tienen dos fuerzas F1 y F2 aplicadas en puntos distintos,
como se muestra en la figura, debemos determinar donde se
aplica la fuerza resultante, para ello proyectamos la fuerza 1 en el
punto de aplicación de la fuerza 2 conservando la dirección y
sentido junto con su magnitud, luego se
proyecta la fuerza 2 en el punto de
aplicación de la fuerza 1 pero en sentido contrario y conservando su
dirección. Luego se unen las proyecciones y en el punto donde se corta
esa diagonal con el objeto de aplicación allí será el punto donde se
aplica la fuerza resultante, la cual tendrá la misma dirección y sentido y
su magnitud es igual a la suma de la magnitud de las fuerzas aplicadas.
Ahora el problema real de este tipo de fuerzas es saber la distancia del punto donde está la
fuerza resultante a los puntos de las dos fuerzas aplicadas, la cual queda definida por la
siguiente ecuación:
FUERZAS PARALELAS EN LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO CONTRARIO: En este tipo
de sistema la resultante se encontrará fuera del sistema, la medida de ella será la resta de las
fuerzas aplicadas y el sentido será el de la fuerza aplicada mayor.
Se tienen dos fuerzas F1 y F2 aplicadas en puntos distintos, como se
muestra en la figura, para determinar la resultante debemos, prolongar
la recta donde se aplican las fuerzas, luego se proyecta la fuerza uno
en el punto de aplicación de la fuerza dos conservando su dirección,
sentido y magnitud, después se
proyecta la fuerza dos en el punto de
aplicación de la fuerza uno, conservando su dirección y
magnitud pero con sentido contrario. Luego se pasa una
diagonal tocando las proyecciones y donde toque la recta allí
quedará la fuerza resultante, donde su magnitud es igual a la
resta de las fuerzas aplicadas y el sentido estará en el sentido de la fuerza mayor.
Ahora se debe encontrar las distancias de la fuerza
resultante a los puntos de aplicación de las fuerzas, la cual
está definida por la siguiente ecuación.
FUERZA DE CUPLA: Es un sistema formado por dos fuerzas de la misma intensidad
o módulo, pero de dirección contraria. Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce
una rotación o una torsión. La magnitud de la rotación depende del valor de las fuerzas que
forman el par y de la distancia entre ambas, llamada brazo del par. Un par de fuerzas queda
caracterizado por su momento. El momento de un par de fuerzas, M, es una magnitud
vectorial que tiene por módulo el producto de cualquiera de las fuerzas por la distancia
(perpendicular) entre ellas d. Esto es:
El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe
capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para cambiar el estado de la rotación del
cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto. El momento tiende a provocar una
aceleración angular (cambio en la velocidad de giro) en el cuerpo sobre el cual se aplica y es
una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de
maquinaria) o a flexión (como las vigas).
MOMENTO ESTÁTICO
Se denomina momento de una fuerza o torque (respecto a un punto dado) a
una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de
aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector
fuerza, en ese orden. También se denomina momento dinámico o sencillamente momento.
El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe
capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para cambiar el estado de la rotación del
cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.
El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza
por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de
Unidades la unidad se
denomina newton metro o newton_metro, indistintamente.
Su símbolo debe escribirse como Nm o N•m (nunca m N,
que indicaría milinewton).
Si bien, dimensionalmente, N·m parece equivaler al julio,
no se utiliza esta unidad para medir momentos, ya que el
julio conceptualmente es unidad de trabajo o energía, que
son conceptualmente diferentes a un momento de fuerza.
El momento de fuerza es una magnitud vectorial, mientras
que la energía es una magnitud escalar. No obstante, la equivalencia dimensional de ambas
magnitudes no es una coincidencia. Un momento de 1 N•m aplicado a lo largo de una
revolución completa (2π radianes) realiza un trabajo igual a 2π julios.
ACTIVIDAD
1. Una barra horizontal de 4m de largo es sometida a unas fuerzas en sus extremos hacia
debajo de 12N y 8N, Calcule la fuerza resultante y la distancia de esta a la fuerza
aplicada de mayor magnitud.
2. Dos niños juegan en un sube y baje, si uno emplea una fuerza de 50N hacia abajo y el
otro emplea una fuerza de 80N hacia arriba, determine la magnitud de la fuerza
resultante y la distancia de la aplicación de esta a la fuerza menor.
3. Si la distancia de un volante de automóvil es de 60 cm, y las fuerzas aplicadas son de
15N cada una, determine el momento de fuerzas aplicada.
4. Para apretar un tornillo se utiliza un hombre solo de 12 cm de longitud, si la fuerza
aplicada es de 7N, calcule el torque efectuado por el movimiento.