TALLER 2 GRADO UNDÉCIMO

El presente trabajo tiene un plazo de entrega el 20 de Octubre del 2020, recuerde que para

esa fecha encontraras el tercer taller de cálculo, estadística y física para este periodo.

Podrás entregar el taller en el correo roromeron@ut.edu.co o al whatsap 3152000438, como

también solicitar la asesoría pertinente.

CÁLCULO

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

¿CÓMO SURGIO? Los estudios de Nicolás Copérnico (1473 -1543) y Johannes Kepler (1571-

1630) sobre el universo. En estos estudios podemos encontrar algunas de las primeras ideas

que motivaron el nacimiento del cálculo. Kepler, ejemplo introdujo la noción de infinitesimal

para explicar un fenómeno propio de la astronomía. La primera exposición sistemática que

estuvo relacionada con el que hoy conocemos como cálculo fue hecha por Buenaventura,

Cavalieri. Por otro lado, los aportes del matemático y científico francés Rene Descartes (1596-

1650) que unificaron la geometría y el álgebra, ayudaron notablemente al desarrollo de las

ideas del cálculo. Aunque los problemas clásicos de la recta tangente a un curva y el de hallar

volúmenes y centro de masa se habían trabajado con anterioridad solo hasta los tiempo de

Isaac Newton y Gottfried W Leibniz (1646 – 1716) se conocido un método general de

derivación e integración.

¿EN QUÉ SE APLICA? El concepto de límite marcó una gran diferencia entre las matemáticas

fundamentales y el cálculo. El nacimiento del cálculo infinitesimal permitió el desarrollo de

ideas importantes en matemáticas y física. Conocer la velocidad y la aceleración de un objeto

a partir de la posición o conocer la posición a partir de la velocidad y la velocidad a partir de la

aceleración, involucra procesos propios del cálculo, los limites son importantes para estudiar

el comportamiento de datos que se han modelado mediante ecuaciones matemáticas como

crecimiento de poblaciones, desintegración de materiales radiactivos, inversiones de capital y

velocidades limites alcanzados por cuerpos que caen desde una altura dada.

ACTIVIDAD 1

1. ¿Qué significado tiene para usted la palabra “limite”?

2. Gráfica la función ( )

.

3. ¿cuál es el dominio de f(x)?

4. ¿cuáles el rango de f(x)?

5. ¿Tiene asíntotas f(x)?

6. tabula la función f(x) con los valores que aparecen en la siguiente tabla:

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN: Dadas una función f y los números “a” y L, se

dice que el límite de f(x) cuando x tiene a “a” es “L”, si para todo número positivo ε (épsilon) y

tan pequeño como se desee, existe un número positivo δ (delta) talque:

| ( ) | | |

Los valores de la función f(x) se aproximan a un límite L, a

medida que se aproxima a un número “a”, si al valor absoluto de

la diferencia entre f(x) y 1, se puede hacer tan pequeña como se

quiera tomando x suficientemente cercano a “a” pero no es igual

a “a”. No es necesario que x = a este definida para que

( ) exista.

En otras palabras, encontrar el límite de una función es cambiar

el valor a que tienda x en la función y realizar la operación

indicada, teniendo en cuenta que en el cálculo del límite se dan

las siguientes operaciones.

Algunas de las cuales en operaciones aritméticas no tienen solución.

Ejemplo: encuentre el ( )

Para encontrar el límite solo basta con reemplazar el valor de 1 en la función y realizar las

operaciones indicadas así:

( ) ( )

Lo que indica que el límite de la función en el entorno de 1 es 7.

Ejemplo 2: Halla el siguiente límite (

)

Para encontrar el límite solo basta con reemplazar el valor de 3 en la función y realizar las

operaciones indicadas así:

(

) ( ) ( )

( )

Indicando que el límite de la función en el entorno de 3 es 54

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES: Los límites de una función de variable real cuentan con las

siguientes propiedades.

Unicidad de límite: Si una función tiene límite este es único, siempre y cuando se esté

en el mismo entorno.

Límite de una constante: El límite de una constante es la misma constante, ejemplo:

Límite de una potencia: Es igual a la potencia del valor del límite, [ ( )]

[ ( )]

Ejemplo: ( ) ( ( ) ) ( )

Límite de la diferencia o suma de funciones: Es igual a la suma de los límites de cada

función, [ ( ) ( )] ( ) ( )

Ejemplo:

[( ) ( )]

( )

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ) ( )

Límite de un producto: Es igual al producto de sus límites, [( ( ))( ( ))]

[ ( )][ ( )]

Ejemplo:

[( )( )] [

( )] [

( )] ( ( ) )( ( ) )

( )( ) ( )( )

Límite de un cociente: Es igual al cociente de los límites, [ ( )

( )]

( )

( )

Ejemplo:

[

]

( )

( )

( )

Límite de un radical: Es igual al radical del límite,

√ ( ) √ ( )

Ejemplo

√ √ ( ) √ ( ) ( ) √ ( )

√ √

Cuando se aplica las propiedades de los límites y se obtiene una indeterminación, esto no

quiere decir que la función no tenga límite, sino que el límite se está ocultando y debemos

encontrarlo, para ello se realizan algunas operaciones matemáticas (casos de factorización,

racionalización, multiplicar y/o dividir por la variable que tenga mayor exponente, etc) que

ayuden a simplificar la función.

Ejemplo

( )

Como el límite es una indeterminación, debemos buscar el límite de la función, para ello

aplicamos un caso de factorización, (recuerde que los más usados son: factor común,

diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2+bx+c).

Factorizando, en nuestro caso aplicamos el trinomio de la forma x2+bx+c

( )( )

( )

Donde el límite de la función en el entorno de 2 es -1, y no la indeterminación.

ACTIVIDAD 2

Calcule los siguientes límites

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO: Una función es continua en un intervalo abierto si es

continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo. ( ,𝑏) Una función es continua en un

intervalo cerrado [ , b], si es continua en todos los puntos del intervalo abierto ( , b) y,

además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Igualmente se define la continuidad en los intervalos semi abiertos: Una función es continua

en un intervalo ( , b], si es continua en todos los puntos del intervalo abierto ( , b) y, además,

es continua a la derecha en b. Una función es continua en un intervalo [ , b), si es continua en

todos los puntos del intervalo abierto ( , b) y, además, es continua a la izquierda en a.

En conclusión, una función es continua en un intervalo abierto ( , b) si lo es en cada uno de

sus puntos.

Ejemplo

Estudiar la continuidad de la función ( ) √

La cual está representada parcialmente en la gráfica

En el intervalo (−∞,3), hallamos la

continuidad hallando su dominio de la

siguiente manera

Como una raíz cuadrada no está

definida para valores menores que

cero, entonces su radicando debe ser

mayor o igual a cero, de donde 3 − ≥

0 ⇒ 3 ≥ Luego la función está

definida en el dominio (−∞,3)

En el intervalo [3,∞), hallamos la

continuidad hallando su dominio de la siguiente manera:

Como ≥ 3, entonces 13− 2, es una función polinomica por lo cual su dominio son todos los

reales mayores o iguales a 3

Luego la función está definida en el dominio [3,∞)

Veamos la continuidad en x = 3

√

Vemos que los límites laterales son distintos, por lo tanto, la función no es continua en = 3,

como lo muestra la gráfica. Vemos que la función en = 3 da un salto cuyo valor es 4.

Si los dos límites dan el mismo valor se dice entonces que la función es continua. Además se

puede obtener la continuidad de una función si cumple:

1. La imagen en el punto x=a existe en el intervalo. Es decir; f(a) es un valor real.

2. El ( ), existe, lo que indica que la función tiene un límite en el entorno de a.

3. ( ) ( ), esto indica que el límite de la función debe ser igual a la imagen de

la función en el punto a.

Ejemplo: verifique que la función ( ) es continua en el punto x=1

Primero obtenemos la imagen de 1.

( )

Segundo se verifica que el límite exista en ese punto o valor de x.

( )

Tercero: Como el límite de la función es igual al valor de la imagen en el punto, se dice que la

función es continua.

ACTIVIDAD 3

ESTADÍSTICA

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta

exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay

entre ese número y el 1. Ejemplo: ( )( )( )( )( )

A este número, 5! le llamamos generalmente “5 factorial”, aunque también es correcto decir

“factorial de 5”. En la calculadora podrás ver un botón con “n!” o “x!”. Esta tecla te servirá

para calcular directamente el factorial del número que quieras.

Para las cantidades como 1! y 0!. Las multiplicaciones darán: 1 factorial es, lógicamente, 1, ya

que multiplicamos 1 x 1=1!

Pero, ¿cómo podemos calcular el 0 factorial? Bueno, esto no tiene sentido cuando aplicamos

la norma de que hay que multiplicar todos los números enteros positivos entre el 0 y el 1, ya

que 0 x 1 es 0. Al final, por convenio se ha acordado que lo más útil es que el 0 factorial sea

igual a 1. Así que recuerda:

¿PARA QUÉ PODEMOS UTILIZAR LOS FACTORIALES? Los números factoriales se utilizan

sobre todo en combinatoria, para calcular combinaciones y permutaciones. A través de la

combinatoria, los factoriales también se suelen utilizar para calcular probabilidades.

Vamos a ver un ejemplo sencillo de problema en el que podemos aplicar los factoriales:

En este problema nos están pidiendo lo que se llama una permutación, es decir, que

averigüemos todas las maneras posibles en las que estas 4 cartas se pueden

combinar teniendo en cuenta el orden en el que las colocamos. Si comenzamos haciendo

todas las filas posibles comenzando con el as de

diamantes, podemos hacer 6 combinaciones:

También tendremos 6 combinaciones posibles con el de

tréboles, con el de corazones y con el de picas, es decir,

6 combinaciones empezando con cada una de las 4

cartas: 4 x 6 = 24. Es decir 4!= 4x3x2x1=24.

VARIACIONES

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n expresada como ,

con (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos

Podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

( )

Ejemplo: calcule las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres

( )

Se pueden realizar 120 variaciones de los elementos.

VARIACIONES CON REPETICIÓN: Se llama variaciones con repetición de m elementos

tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos sí m > n.

Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

PERMUTACIONES

Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para

permutaciones es P(n,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente

se seleccionan “r”. si los elementos no se repiten tendríamos:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos

Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra

IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas,

tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada

una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado

dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

Rta/ La palabra impureza se puede ordenar de 40320 formas distintas.

PERMUTACIONES CIRCULARES: Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en

círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se

sitúe" en la mesa determina el principio y el final de mesa. Para este tipo de permutaciones se

calcula utilizando la expresión: ( )

Ejemplo: se quiere sentar a 4 personas en una mesa circular ¿Cuántas posibilidades se tienen

para acomodarlos?

( )

Rta/ Existen 6 formas distintas de acomodar a las personas en la mesa.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN de n elementos donde el primer elemento se

repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces,... de tal modo que n= (a+b+c+…), son

los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que:

Sí entran todos los elementos

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

𝑏

Ejemplo: Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2

ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones.

( )( )

( )( )

COMBINACIONES

Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición

que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y

el contenido de los mismos. Se simboliza el cual se lee combinaciones de m elementos

tomados de n en n.

( )

Ejemplos: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de

cinco cartas habría?

( )

( )( )

( )( )

Rta/ habría 126 combinaciones de cartas.

COMBINACIONES CON REPETICIÓN: Combinaciones con repetición de m elementos

tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden

hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún

elemento y no en el orden de colocación.

( )

( )

Ejemplo: En una heladería se tienen cinco sabores de helado: banano, chocolate, fresa,

vainilla y limón. Si la heladería tiene una promoción donde puedes elegir tres sabores de

helado por el precio de dos. ¿Cuántas opciones tienen las personas para elegir un helado?

( )

( )

( )( )

( )( )

Rta/ Los clientes tienen 35 formas de combinar el helado.

ACTIVIDAD

1. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4,

5?

2. Con la palabra libro ¿De cuántas formas se pueden organizar las letras sin repetir?

3. ¿De cuántas formas se pueden organizar 11 jugadores de futbol en la cancha teniendo

en cuenta que el portero solo puede ocupar una y solo una posición?

4. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿cuántos

saludos se han intercambiado?

5. ¿Cuántos comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo

de 8 personas, las cuales pueden ocupar todos los puestos?

6. ¿De cuántos partidos se forma una liga si tiene 4 equipos?

FÍSICA

FUERZAS NO APLICADAS EN EL MISMO PUNTO

Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas

de acción son paralelas, la resultante tendrá un valor igual a la

suma de ellas con su línea de acción también paralela a las

fuerzas, pero su punto de aplicación debe ser determinado con

exactitud para que produzca el mismo efecto que las

componentes. Lo que indica que las fuerzas se aplican en

diferentes puntos del cuerpo, para este caso tenemos cuando se aplican en la misma

dirección y sentido, cuando se aplican en la misma dirección y sentido contrario o cuando son

oblicuas entre sí. La resultante en cada caso se obtiene bajo una serie de proyecciones de las

fuerzas actuantes.

FUERZAS PARALELAS EN LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO: Aquí la fuerza resultante

estará en un punto en medio de la aplicación de las dos fuerzas aplicadas, luego se suman las

medidas de las fuerzas para obtener la resultante.

Si se tienen dos fuerzas F1 y F2 aplicadas en puntos distintos,

como se muestra en la figura, debemos determinar donde se

aplica la fuerza resultante, para ello proyectamos la fuerza 1 en el

punto de aplicación de la fuerza 2 conservando la dirección y

sentido junto con su magnitud, luego se

proyecta la fuerza 2 en el punto de

aplicación de la fuerza 1 pero en sentido contrario y conservando su

dirección. Luego se unen las proyecciones y en el punto donde se corta

esa diagonal con el objeto de aplicación allí será el punto donde se

aplica la fuerza resultante, la cual tendrá la misma dirección y sentido y

su magnitud es igual a la suma de la magnitud de las fuerzas aplicadas.

Ahora el problema real de este tipo de fuerzas es saber la distancia del punto donde está la

fuerza resultante a los puntos de las dos fuerzas aplicadas, la cual queda definida por la

siguiente ecuación:

FUERZAS PARALELAS EN LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO CONTRARIO: En este tipo

de sistema la resultante se encontrará fuera del sistema, la medida de ella será la resta de las

fuerzas aplicadas y el sentido será el de la fuerza aplicada mayor.

Se tienen dos fuerzas F1 y F2 aplicadas en puntos distintos, como se

muestra en la figura, para determinar la resultante debemos, prolongar

la recta donde se aplican las fuerzas, luego se proyecta la fuerza uno

en el punto de aplicación de la fuerza dos conservando su dirección,

sentido y magnitud, después se

proyecta la fuerza dos en el punto de

aplicación de la fuerza uno, conservando su dirección y

magnitud pero con sentido contrario. Luego se pasa una

diagonal tocando las proyecciones y donde toque la recta allí

quedará la fuerza resultante, donde su magnitud es igual a la

resta de las fuerzas aplicadas y el sentido estará en el sentido de la fuerza mayor.

Ahora se debe encontrar las distancias de la fuerza

resultante a los puntos de aplicación de las fuerzas, la cual

está definida por la siguiente ecuación.

FUERZA DE CUPLA: Es un sistema formado por dos fuerzas de la misma intensidad

o módulo, pero de dirección contraria. Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce

una rotación o una torsión. La magnitud de la rotación depende del valor de las fuerzas que

forman el par y de la distancia entre ambas, llamada brazo del par. Un par de fuerzas queda

caracterizado por su momento. El momento de un par de fuerzas, M, es una magnitud

vectorial que tiene por módulo el producto de cualquiera de las fuerzas por la distancia

(perpendicular) entre ellas d. Esto es:

El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe

capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para cambiar el estado de la rotación del

cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto. El momento tiende a provocar una

aceleración angular (cambio en la velocidad de giro) en el cuerpo sobre el cual se aplica y es

una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de

maquinaria) o a flexión (como las vigas).

MOMENTO ESTÁTICO

Se denomina momento de una fuerza o torque (respecto a un punto dado) a

una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de

aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector

fuerza, en ese orden. También se denomina momento dinámico o sencillamente momento.

El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe

capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para cambiar el estado de la rotación del

cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza

por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de

Unidades la unidad se

denomina newton metro o newton_metro, indistintamente.

Su símbolo debe escribirse como Nm o N•m (nunca m N,

que indicaría milinewton).

Si bien, dimensionalmente, N·m parece equivaler al julio,

no se utiliza esta unidad para medir momentos, ya que el

julio conceptualmente es unidad de trabajo o energía, que

son conceptualmente diferentes a un momento de fuerza.

El momento de fuerza es una magnitud vectorial, mientras

que la energía es una magnitud escalar. No obstante, la equivalencia dimensional de ambas

magnitudes no es una coincidencia. Un momento de 1 N•m aplicado a lo largo de una

revolución completa (2π radianes) realiza un trabajo igual a 2π julios.

ACTIVIDAD

1. Una barra horizontal de 4m de largo es sometida a unas fuerzas en sus extremos hacia

debajo de 12N y 8N, Calcule la fuerza resultante y la distancia de esta a la fuerza

aplicada de mayor magnitud.

2. Dos niños juegan en un sube y baje, si uno emplea una fuerza de 50N hacia abajo y el

otro emplea una fuerza de 80N hacia arriba, determine la magnitud de la fuerza

resultante y la distancia de la aplicación de esta a la fuerza menor.

3. Si la distancia de un volante de automóvil es de 60 cm, y las fuerzas aplicadas son de

15N cada una, determine el momento de fuerzas aplicada.

4. Para apretar un tornillo se utiliza un hombre solo de 12 cm de longitud, si la fuerza

aplicada es de 7N, calcule el torque efectuado por el movimiento.