Post on 31-Jul-2015
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Pontificia Universidad Católica de Chile
Departamento Ingeniería de Minería
IMM2650 Métodos Matemáticos Aplicados a Ingeniería
Informe Tarea 1
IMM2650 Métodos Matemáticos
Aplicados a Ingeniería
Benjamín A. Lagos B.
Profesor: Mario Duran
Ayudante: Valeria Boccardo
Fecha: 03-09-2012
Introducción y Marco Teórico
En el siguiente informe se muestra el fenómeno de Runge, que consiste en la aparición de
oscilaciones en los extremos de los intervalos de una partición evaluados en un polinomio de
interpolación. Lo interesante del fenómeno es que demuestra que al aumentar el grado del
polinomio aumenta el error asociado a la interpolación para una función en particular.
Para estudiarlo, se presenta un análisis de 3 diferentes métodos de interpolación (Polinomio de
Lagrange, por subintervalos de 2ºgrado y Polinomio de Hermite cúbico) evaluados en 2 tipos de
particiones (equiespaciada y según los puntos de discretización de Tchebycheff) para la función de
Runge que es:
( )
[ ]
El polinomio interpolador de Lagrange para la función ( ) evaluado en los nodos (o puntos de la
partición) es de la forma:
( ) ∑ ( )
( )
Donde:
( ) ∏
La función interpoladora por subintervalos de 2º grado, evaluada en una partición de n elementos
, es de la forma:
( ) {
Donde los coeficientes se pueden determinar resolviendo el sistema:
( )
( )
(
)
O bien en su forma matricial:
[
] [
] [
( ) ( )
( )]
Donde:
( )
Finalmente el polinomio de interpolación de Hermite cúbico es de la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Donde imponiendo condiciones necesarias para que el polinomio sea de tercer grado se llega a:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
Definimos la partición equiespaciada P(a,b,n) en el intervalo [a,b] de n puntos como :
( ) { ( )
}
Definimos la partición TCHEBY(a,b,n) con los puntos de discretización de Tchebycheff entre [a,b]
de n puntos como :
( ) { (
) (
) }
El error de aproximación para alguno de los 3 métodos de interpolación I(x), lo calculamos como:
‖ ( ) ( )‖ ∫| ( ) ( )|
Donde la integral la calculamos numéricamente mediante la regla del trapecio:
∫| ( ) ( )|
( ) [| ( ) ( )| ∑ | ( ) ( )| | ( ) ( )|
]
Desarrollo y Análisis
La siguiente figura (grafico superior) muestra el gráfico ( ) evaluado en las particiones PL1(-
1,1,21) (verde) y PL2(-1,1,31)(rojo) y a continuación (gráfico inferior ) evaluado en las particiones
TCHEBY1(-1,1,21)(verde) y TCHEBY(-1,1,31) (rojo) . Ambos gráficos están comparados con la
función f(x) (Negro) evaluada en una partición equiespaciada de 100 puntos.
A continuación se muestra el gráfico del polinomio interpolador de Lagrange evaluado en la partición de Tchebycheff:
El error en cada caso se resume en la siguiente tabla:
PL1(-1,1,21) PL2 (-1,1,31) TCHEBY(-1,1,21) TCHEBY(-1,1,31)
Error de aproximación 6.4967 143.5162 0.0555 0.0121
Al comparar PL1 con PL2 uno esperaría que como el segundo contiene más nodos debería tener
menos error, ocurriendo exactamente lo contrario, lo que ilustra el fenómeno de Runge.
El problema se ve minimizado usando la partición con los nodos de Tchebycheff, disminuyendo el
error en casi 2 órdenes de magnitud para 21 puntos y en casi 5 órdenes de magnitud para 31
puntos.
Si bien en el segundo gráfico se aprecia una oscilación a la izquierda esta se debe a que la partición
de Tchebycheff no es simétrica.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
La siguiente figura (gráfico superior) muestra el gráfico de ( ) para las particiones
equiespaciada P1(-1,1,20) (Verde) y P2(-1,1,30) (Rojo), y a continuación (gráfico inferior) para las
particiones TCHEBY(-1,1,20) (Verde) y TCHEBY(-1,1,30) (Rojo). En ambos gráficos se grafica la
función f(x) (Negro) evaluada en una partición equiespaciada de 100 puntos.
El error en cada caso se resume en la siguiente tabla:
P1(-1,1,20) P2 (-1,1,30) TCHEBY(-1,1,20) TCHEBY(-1,1,30)
Error de aproximación 0.0011 6.2088e-004 0.0041 0.0016
Contrario al caso anterior, el spline cuadrático calculado según una partición equiespaciada tiene
menor error que si se hubiese ocupado la partición de Tchebycheff. Esto se explica ya que este
método de interpolación trabaja en torno al punto de la partición dado en un subintervalo
pequeño, lo que aumenta la precisión.
Por otro lado el fenómeno de Runge desaparece para el gráfico superior, comportándose la
interpolación como se esperaba (aumenta el número de nodos y disminuye el error).
Se ven unas pequeñas oscilaciones en el gráfico inferior explicadas también por la asimetría de la
partición de Tchebycheff.
En el gráfico inferior derecho se aprecia que a medida que la cantidad de nodos aumenta, la
partición de Tchebycheff se hace más simétrica (rojo).
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
La siguiente figura (gráfico superior) muestra el gráfico de ( ) para las particiones
equiespaciada P1(-1,1,20) (Verde) y P2(-1,1,30) (Rojo), y a continuación (gráfico inferior) para las
particiones TCHEBY(-1,1,20) (Verde) y TCHEBY(-1,1,30) (Rojo). En ambos gráficos se grafica la
función f(x) (Negro) evaluada en una partición P(-1,1,100).
El error en cada caso se resume en la siguiente tabla:
P1(-1,1,20) P2 (-1,1,30) TCHEBY(-1,1,20) TCHEBY(-1,1,30)
Error de aproximación 8.8257e-004 4.5542e-004 0.0033 0.0011
En este caso hemos encontrado la aproximación con menor error para ambos tipos de partición
que corresponde a la función de interpolación evaluada en P2 para las equiespaciadas y evaluada
en TCHEBY(-1,1,30) para las de Tchebycheff. Para el gráfico de arriba el error es casi imperceptible
exceptuando una pequeña oscilación llegando al borde superior del intervalo.
Al igual que en los casos anteriores, se ve una pequeña oscilación al comienzo y en cuanto a la
simetría, la función TCHEBY(-1,1,20) sigue siendo la que tiene más asimetría.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
-0.05 0 0.05
0.9
0.95
1
Conclusiones
En general es importante tener en cuenta que no siempre se cumple que al usar una función
interpoladora, mientras más nodos menos error. El fenómeno de Runge es un contraejemplo muy
claro. Lo bueno de todo esto es que existen particiones que minimizan el error, como es la
partición que usa los puntos de discretización de Tchebycheff.
Algo notable es que la mayoría de las funciones aproximaban bien en torno a 0 sobre todo la de
Lagrange evaluada en particiones equiespaciadas. Esto probablemente se debe a la simetría de la
función y de la partición.
Otro punto a considerar es cuál de estos métodos representa mayor cantidad de cálculo para
hacer un trade off entre la cantidad de error aceptado y la velocidad de cálculo en el computador.
La mejor aproximación encontrada fue la de la función interpoladora por subintervalos de 2º
grado, lo que no significa que funcione para todos los casos. Claramente dependerá de la función a
interpolar.
Bibliografía
Amparo Gil, Javier Segura, and Nico Temme. 2007. Numerical Methods for Special Functions. s.l. :
Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007.