Post on 09-Jul-2015
Prácticas Dirigidas 1
1
SERIES
Problema 1
Calcular:
𝐸 = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7 + ⋯+ 2,9
Problema 2
Una serie aritmética de 30 términos tiene de particular
que sumados el primer y el penúltimo término resulta
310, en tanto, la suma del segundo y el último término
resulta 316. Hallar la suma de los 30 términos de la
serie en cuestión.
Problema 3
Hallar “n” en:
(3𝑛 + 2) + (3𝑛 + 4) + (3𝑛 + 6) + ⋯+ (5𝑛) = 81𝑛
Problema 4
Calcular “S”:
𝑆 = 1𝑥5 − 2𝑥6 + 3𝑥7 − 4𝑥8 + 5𝑥9 − ⋯⏟ 20 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
Problema 5
Dados los conjuntos de enteros consecutivos:
{1}; {2, 3}; {4, 5, 6}; {7, 8, 9, 10}; …
Donde cada conjunto contiene un elemento más que el
precedente, sea 𝑆𝑛 la suma de los elementos del n-
ésimo conjunto, luego 𝑆21 será igual a:
Problema 6
Hallar la suma de:
𝑆 = 2 +1
2+1
3+1
4+1
9+1
8+
1
27+
1
16+⋯
Problema 7
El segundo término de una P.A. es 7 y el séptimo
término es 22. Hallar la suma de los 10 primeros
términos.
Problema 8
Los números 𝑥; 𝑥 + 4; 𝑥 + 16;… son los tres primeros
términos consecutivos de una progresión geométrica.
Hallar la suma de sus 10 primeros términos.
Problema 9
Emanuel ahorró su dinero de la siguiente manera: el
primer día 3 monedas de 50 céntimos; el segundo día 3
soles más de lo que ahorró el primer día; el tercer día 5
soles más de lo que ahorró el segundo día; el cuarto día
ahorró 7 soles más de lo que ahorró el tercer día y así
sucesivamente hasta que el último día ahorró 801
monedas de cincuenta céntimos. ¿A cuánto
ascienden sus ahorros?
Problema 10
En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los
términos de 𝐹20:
𝐹1 1
𝐹2 4 9
𝐹3 16 25 36
𝐹4 49 64 81 100
Problema 11
Calcular S:
𝑆 =1
3+2
32+3
33+4
34+⋯∞
Problema 12
Calcular la suma de los infinitos términos dados:
1
7+
2
72+
1
73+
2
74+
1
75+
2
76+⋯
Problema 13
Calcular S:
𝑆 = 1𝑥19 + 2𝑥18 + 3𝑥17 +⋯+ 19𝑥1
Prácticas Dirigidas 2
2
Problema 14
Hallar la suma de los 15 primeros términos de la
serie:
𝑆 = 1 + 7 + 17 + 31 +⋯
Problema 15
Hallar la suma de la siguiente serie:
𝑆 = 1 + 2 + 7 + 7 + 13 + 12 +⋯+ 42
Problema 16
Hallar el valor de “x”
𝑆 = 69 + 67 + 65 + 63 +⋯+ 𝑥 = 1000
Problema 17
La suma de 81 números pares consecutivos es
igual a 171 veces el primer número. Hallar la
suma de las cifras del término central.
Problema 18
Hallar S:
𝑆 = 1 −1
4+1
16−1
64+
1
256−⋯
Problema 19
Calcular el valor de S: 𝑆 = 1 + (1 + 4) + (1 + 4 + 7) + (1 + 4 + 7 + 10) + ⋯⏟
20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
Problema 20
Calcular la suma de todos los términos unidos por la
línea demarcada hasta la fila 20.
𝐹1 1
𝐹2 1 2 1
𝐹3 1 3 3 1
𝐹4 1 4 6 4 1
𝐹5 1 5 10 10 5 1
𝐹6 1 6 15 20 15 6 1
Problema 21
La reina y el rey salen a pasear por los bosques de sus
dominios; mientras la reina da 20 pasos en forma
constante por cada minuto, el rey avanza 1 paso en el
primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos
en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final
llegan juntos a su destino. ¿Cuál es la distancia que
han recorrido?
Problema 22
Calcule S:
𝑆 = 1𝑥5𝑥2 + 4𝑥7𝑥3 + 7𝑥9𝑥4 + 10𝑥11𝑥5 + ⋯⏟ 20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
Problema 23
Calcule:
𝑀 = ∑ [(1
2)𝑛− (
1
3)𝑛]2
∞𝑛=0
Problema 24
Si: 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛
Hallar el valor de:
𝑆 = 𝑆20 − 𝑆19 + 𝑆18 − 𝑆17 + 𝑆16 −⋯+ 𝑆2 − 𝑆1
Problema 25
Hallar “n” en:
4
𝑛+1
𝑛2+4
𝑛3+1
𝑛3+⋯ =
5
7; 0 <
1
𝑛< 1
Problema 26
Calcule:
𝑆 = 1 + 1 + 1 + 1 + 121 + 601 +⋯⏟ 24 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
Problema 27
Calcule:
𝑀 =∑[∑[∑(𝑎)
𝑘
𝑎=1
]
𝑖
𝑘=1
]
𝑛
𝑖=1
Problema 28
Hallar el valor de:
𝑆 =3
4+1
2+5
6+3
16+⋯
Prácticas Dirigidas 3
3
4
4
Problema 29
Se define: 𝑎𝑏𝑐 =
𝑎
𝑏𝑥𝑐
Calcule:
𝑆 = 112 +
224 +
34 7 +
4711 + ⋯+
20191211
Problema 30
Dada la serie:
11
𝑎+101
𝑎2+1001
𝑎3+10001
𝑎4+⋯ donde 𝑎 > 0.
Hallar “a”, si esta serie converge a: 1 +1
19
Problema 31
A los términos de la serie:
𝑆 = 2 + 5 + 8 + 11 +⋯
Se le agrega 1; 2; 3; 4;… respectivamente, de tal
manera que la suma de la nueva serie sea igual a
1830. ¿Cuántos términos tiene la serie original?
Problema 32
Si tiene 20 candados y 20 llaves que le corresponden,
pero todas las llaves están mezcladas. ¿Cuántas veces
será necesario probar las llaves para saber con certeza
a que candado corresponden?
Problema 33
Halle el área de la región sombreada:
∞
Problema 34
Calcula la suma de los 20 primeros términos de:
−1; 0; 0; 0; 1; 4; …
Problema 35
Calcule la suma de los cuadrados infinitos de la
siguiente figura:
Problema 36
Si:
∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘 = 𝑥5 − 2𝑥2 + 7𝑥 + 3
2002
𝑘=0
Calcule:
∑𝑎(2𝑘+1)
100
𝑘=1
Problema 37
Calcule el valor de S en:
𝑆 =1
22 − 1+
1
32 − 1+
1
42 − 1+
1
52 − 1+⋯+
1
202 − 1
Problema 38
Calcule:
𝑀 = ∑(3𝑖 + 5)
20
𝑖=10
+∑(4𝑖3 + 6𝑖)
20
𝑖=5
+∑(2𝑖 − 1)220
𝑖=4
Problema 39
Calcule el valor de:
𝑆 =1𝑥3
7+4𝑥9
72+9𝑥27
73+16𝑥81
74+⋯
Problema 40
Halle el valor de “S”:
𝑆 =13
9+23
27+33
81+43
243+⋯∞
Problema 41
En la siguiente serie: 0 <1
𝑞< 1
𝑆 =𝑎
𝑞+𝑎 + 𝑟
𝑞2+𝑎 + 2𝑟
𝑞3+𝑎 + 3𝑟
𝑞4+⋯∞
Calcula la suma de todos sus términos.
37°
Prácticas Dirigidas 4
4
Problema 42
Si cada una de las series que se suman es convergente,
halle:
𝑆 =∑(−1)𝑘1
2𝑘
∞
𝑘=0
+∑(1
2)𝑘∞
𝑘=0
Problema 43
Halle la suma de la serie:
1 +1
√23 +
1
√43 +
1
√83 +
1
√163 +⋯
Problema 44
Determinar el valor de:
𝑆(𝑛) =∑[2
4𝑘2 − 1+
1
2𝑛 + 1]
𝑛
𝑘=1
Problema 45
Como se indica en la figura adjunta, se construye
progresivamente circunferencias tangentes de radio cada
vez menor, tangentes a dos semicircunferencias de igual
radio R. Use dicha construcción para determinar la suma de
la serie infinita.
1
1𝑥2+
1
2𝑥3+
1
3𝑥4+⋯+
1
𝑛𝑥(𝑛 + 1)+⋯
Problema 46
Para la sucesión definida por:
𝑆𝑘 =∑(1
2𝑘 + 𝑛)
2𝑘
𝑛=1
; 𝑘 ≥ 1
Se puede afirmar la siguiente desigualdad:
Problema 47
En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cuadrado uniendo
los puntos medios de los lados de dicho cuadrado.
Repetimos este proceso indefinidamente. Entonces la suma
de los perímetros de todos los cuadrados así construidos
será:
R R