Prácticas Dirigidas 1

1

SERIES

Problema 1

Calcular:

𝐸 = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7 + ⋯+ 2,9

Problema 2

Una serie aritmética de 30 términos tiene de particular

que sumados el primer y el penúltimo término resulta

310, en tanto, la suma del segundo y el último término

resulta 316. Hallar la suma de los 30 términos de la

serie en cuestión.

Problema 3

Hallar “n” en:

(3𝑛 + 2) + (3𝑛 + 4) + (3𝑛 + 6) + ⋯+ (5𝑛) = 81𝑛

Problema 4

Calcular “S”:

𝑆 = 1𝑥5 − 2𝑥6 + 3𝑥7 − 4𝑥8 + 5𝑥9 − ⋯⏟ 20 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠

Problema 5

Dados los conjuntos de enteros consecutivos:

{1}; {2, 3}; {4, 5, 6}; {7, 8, 9, 10}; …

Donde cada conjunto contiene un elemento más que el

precedente, sea 𝑆𝑛 la suma de los elementos del n-

ésimo conjunto, luego 𝑆21 será igual a:

Problema 6

Hallar la suma de:

𝑆 = 2 +1

2+1

3+1

4+1

9+1

8+

1

27+

1

16+⋯

Problema 7

El segundo término de una P.A. es 7 y el séptimo

término es 22. Hallar la suma de los 10 primeros

términos.

Problema 8

Los números 𝑥; 𝑥 + 4; 𝑥 + 16;… son los tres primeros

términos consecutivos de una progresión geométrica.

Hallar la suma de sus 10 primeros términos.

Problema 9

Emanuel ahorró su dinero de la siguiente manera: el

primer día 3 monedas de 50 céntimos; el segundo día 3

soles más de lo que ahorró el primer día; el tercer día 5

soles más de lo que ahorró el segundo día; el cuarto día

ahorró 7 soles más de lo que ahorró el tercer día y así

sucesivamente hasta que el último día ahorró 801

monedas de cincuenta céntimos. ¿A cuánto

ascienden sus ahorros?

Problema 10

En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los

términos de 𝐹20:

𝐹1 1

𝐹2 4 9

𝐹3 16 25 36

𝐹4 49 64 81 100

Problema 11

Calcular S:

𝑆 =1

3+2

32+3

33+4

34+⋯∞

Problema 12

Calcular la suma de los infinitos términos dados:

1

7+

2

72+

1

73+

2

74+

1

75+

2

76+⋯

Problema 13

Calcular S:

𝑆 = 1𝑥19 + 2𝑥18 + 3𝑥17 +⋯+ 19𝑥1

Prácticas Dirigidas 2

2

Problema 14

Hallar la suma de los 15 primeros términos de la

serie:

𝑆 = 1 + 7 + 17 + 31 +⋯

Problema 15

Hallar la suma de la siguiente serie:

𝑆 = 1 + 2 + 7 + 7 + 13 + 12 +⋯+ 42

Problema 16

Hallar el valor de “x”

𝑆 = 69 + 67 + 65 + 63 +⋯+ 𝑥 = 1000

Problema 17

La suma de 81 números pares consecutivos es

igual a 171 veces el primer número. Hallar la

suma de las cifras del término central.

Problema 18

Hallar S:

𝑆 = 1 −1

4+1

16−1

64+

1

256−⋯

Problema 19

Calcular el valor de S: 𝑆 = 1 + (1 + 4) + (1 + 4 + 7) + (1 + 4 + 7 + 10) + ⋯⏟

20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

Problema 20

Calcular la suma de todos los términos unidos por la

línea demarcada hasta la fila 20.

𝐹1 1

𝐹2 1 2 1

𝐹3 1 3 3 1

𝐹4 1 4 6 4 1

𝐹5 1 5 10 10 5 1

𝐹6 1 6 15 20 15 6 1

Problema 21

La reina y el rey salen a pasear por los bosques de sus

dominios; mientras la reina da 20 pasos en forma

constante por cada minuto, el rey avanza 1 paso en el

primer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos

en el tercer minuto, y así sucesivamente. Si al final

llegan juntos a su destino. ¿Cuál es la distancia que

han recorrido?

Problema 22

Calcule S:

𝑆 = 1𝑥5𝑥2 + 4𝑥7𝑥3 + 7𝑥9𝑥4 + 10𝑥11𝑥5 + ⋯⏟ 20 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

Problema 23

Calcule:

𝑀 = ∑ [(1

2)𝑛− (

1

3)𝑛]2

∞𝑛=0

Problema 24

Si: 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛

Hallar el valor de:

𝑆 = 𝑆20 − 𝑆19 + 𝑆18 − 𝑆17 + 𝑆16 −⋯+ 𝑆2 − 𝑆1

Problema 25

Hallar “n” en:

4

𝑛+1

𝑛2+4

𝑛3+1

𝑛3+⋯ =

5

7; 0 <

1

𝑛< 1

Problema 26

Calcule:

𝑆 = 1 + 1 + 1 + 1 + 121 + 601 +⋯⏟ 24 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

Problema 27

Calcule:

𝑀 =∑[∑[∑(𝑎)

𝑘

𝑎=1

]

𝑖

𝑘=1

]

𝑛

𝑖=1

Problema 28

Hallar el valor de:

𝑆 =3

4+1

2+5

6+3

16+⋯

Prácticas Dirigidas 3

3

4

4

Problema 29

Se define: 𝑎𝑏𝑐 =

𝑎

𝑏𝑥𝑐

Calcule:

𝑆 = 112 +

224 +

34 7 +

4711 + ⋯+

20191211

Problema 30

Dada la serie:

11

𝑎+101

𝑎2+1001

𝑎3+10001

𝑎4+⋯ donde 𝑎 > 0.

Hallar “a”, si esta serie converge a: 1 +1

19

Problema 31

A los términos de la serie:

𝑆 = 2 + 5 + 8 + 11 +⋯

Se le agrega 1; 2; 3; 4;… respectivamente, de tal

manera que la suma de la nueva serie sea igual a

1830. ¿Cuántos términos tiene la serie original?

Problema 32

Si tiene 20 candados y 20 llaves que le corresponden,

pero todas las llaves están mezcladas. ¿Cuántas veces

será necesario probar las llaves para saber con certeza

a que candado corresponden?

Problema 33

Halle el área de la región sombreada:

∞

Problema 34

Calcula la suma de los 20 primeros términos de:

−1; 0; 0; 0; 1; 4; …

Problema 35

Calcule la suma de los cuadrados infinitos de la

siguiente figura:

Problema 36

Si:

∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘 = 𝑥5 − 2𝑥2 + 7𝑥 + 3

2002

𝑘=0

Calcule:

∑𝑎(2𝑘+1)

100

𝑘=1

Problema 37

Calcule el valor de S en:

𝑆 =1

22 − 1+

1

32 − 1+

1

42 − 1+

1

52 − 1+⋯+

1

202 − 1

Problema 38

Calcule:

𝑀 = ∑(3𝑖 + 5)

20

𝑖=10

+∑(4𝑖3 + 6𝑖)

20

𝑖=5

+∑(2𝑖 − 1)220

𝑖=4

Problema 39

Calcule el valor de:

𝑆 =1𝑥3

7+4𝑥9

72+9𝑥27

73+16𝑥81

74+⋯

Problema 40

Halle el valor de “S”:

𝑆 =13

9+23

27+33

81+43

243+⋯∞

Problema 41

En la siguiente serie: 0 <1

𝑞< 1

𝑆 =𝑎

𝑞+𝑎 + 𝑟

𝑞2+𝑎 + 2𝑟

𝑞3+𝑎 + 3𝑟

𝑞4+⋯∞

Calcula la suma de todos sus términos.

37°

Prácticas Dirigidas 4

4

Problema 42

Si cada una de las series que se suman es convergente,

halle:

𝑆 =∑(−1)𝑘1

2𝑘

∞

𝑘=0

+∑(1

2)𝑘∞

𝑘=0

Problema 43

Halle la suma de la serie:

1 +1

√23 +

1

√43 +

1

√83 +

1

√163 +⋯

Problema 44

Determinar el valor de:

𝑆(𝑛) =∑[2

4𝑘2 − 1+

1

2𝑛 + 1]

𝑛

𝑘=1

Problema 45

Como se indica en la figura adjunta, se construye

progresivamente circunferencias tangentes de radio cada

vez menor, tangentes a dos semicircunferencias de igual

radio R. Use dicha construcción para determinar la suma de

la serie infinita.

1

1𝑥2+

1

2𝑥3+

1

3𝑥4+⋯+

1

𝑛𝑥(𝑛 + 1)+⋯

Problema 46

Para la sucesión definida por:

𝑆𝑘 =∑(1

2𝑘 + 𝑛)

2𝑘

𝑛=1

; 𝑘 ≥ 1

Se puede afirmar la siguiente desigualdad:

Problema 47

En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cuadrado uniendo

los puntos medios de los lados de dicho cuadrado.

Repetimos este proceso indefinidamente. Entonces la suma

de los perímetros de todos los cuadrados así construidos

será:

R R