Post on 19-Jan-2016
EJERCICIOS TEMAS 8.9 Y 10
EJERCICIO 1
A) xdx ydy xy xdx ydy
Resolvemos el paréntesis
2 2xdx ydy x ydx xy dy
Juntamos las dx y las dy
2 2xdx xy dx x ydy ydy
Sacamos factor común en ambos miembros de la igualdad
2 21 1xdx y y x dy
Agrupamos la x con dx y las dy con las y
2 21 1
x ydx dy
x y
Ya es una ecuación diferencial de variables separadas y aplicamos integral en ambos lados de
la igualdad
2 2
2 2
1 1
1 1( 1) 1
2 2
x ydx dy
x y
Ln x Ln y C
Aplicamos las propiedades de los logaritmos
1 1
2 22 21 1Ln x Ln y C
Podemos aplicar el numero e en ambos lados de la igualdad para quitar logaritmos
1 1
2 2 221 1Ln x Ln y Ce e
La expresión de la derecha se puede expresar como producto de potencias
112 22 21 1
1 12 22 2
2
2
.
:
1 1 .
1
1
Ln x Ln y C
C
e e e
hacemos e K
asi
x y K
despejamos
xK
y
Siendo esta la solucion
b) 4x-3y+3y´(2y-3x)=0
despejamos y´
´ 3 4
2 3
y xy
y x
Es homogénea por lo que dividimos por x
34
´2
3
´ ´
3 4´
2 3
3 4´
2 3
y
xyy
x
cambiamos
yz
x
despejamos
y zx
derivamos
y z x z
sustituimos
zz x z
z
zz x z
z
operamos
2
2
2
6 2 4`
2 3
6 2 4
2 3
2 3
6 2 4
z zz x
z
dz z zx
dx z
zdz xdx
z z
Ya es una ecuación diferencial de variables separables
21
2 2
2
2
2
2
22
21
2 2
(6 2 4) 2
12 2 2
2
2
2 3
6 2 4
(6 2 4) ;(6 4 ) ; ;2(3 2 ) 2(2 3)
1(6 2 4)
2 2
(6 2 4)2
(6 2 4) .
( )
6 2 4 .
xC
Ln z z
xC
x
zdz xdx
z z
dt dtz z t z dz dt dz dz
z z
sustituyendo
xLn z z C
xLn z z C
e e
z z e e
deshacemos z
y ye
x x
K
Siendo esta la solución
c)
2 2
3 4
3
2 2
4
320
2( , )
3,
y xxdx dy
y y
xM x y
y
y xN x y
y
Calculamos las derivadas parciales y si coinciden se clasifica como diferencial exacta
4
4
6
6
M x
y y
N x
x y
Hacemos por lo tanto la integral de la primera parte
2
3 3
2( )
x xdx h y
y y
Derivamos a la expresión en función de y igualandola a la segunda parte
2 2 2
4 4
3 3´( )
x y xh y
y y
Juntamos términos
2 2 2
4 4 4
2
3 3(́ )
1(́ )
y x xh y
y y y
h yy
Aplicamos integrales en ambos lados de la igualdad
2
1´( )
1( )
h y dyy
h yy
Lo cual sustituimos y tenemos la solución del ejercicio
SOL:2
3
1xC
y y
d)
2 2
2 2
2 2
2´
2
2
xyy
x y
dy xy
dx x y
x y dy xy dx
hacemos
y ux
dy udx xdu
sustituimos
2 2 2
2 3 3 2 2 3 2
2
2
x u x udx xdu xuxdx
operamos
x udx x du u x dx u x dx ux dx
agrupamos
2 3 3 2 2
3 2
1 2
3 1 0
x dx u u x u du ux dx
simplificamos
dx u u x u du
La agrupamos como separable que es
2
3
2
3
1
3
int
1
3
31 1 2( ) ( ) ( 3)
24 3 9
:
31 1 2( ) ( ) ( 3)
24 93
dx udu
x u u
egramos
dx udu
x u u
Ln x Ln u Ln uu
yu
x
solucion
y yLn x Ln Ln C
yx x
x
EJERCICIO 2
a) Realizamos el cambio de nomenclatura
1-
2
1 2
4 4 0
2;
2h x
x
r r
r doble
solucion
y C C x
b)
Antes de resolver tenemos que expresar la ecuación en forma de
2
1 2 1
1
:
2
x
x x x x x x
x x x
y
asi
y y y y y y
y y y
Sustituyendo y simplificando nos queda la ecuación
2 12 3x x xy y y o
Hacemos el cambio de variable y resolvemos
2
1 2
2 3 0
3; 1
3 1xh x
x
r r
r r
solucion
y C C
c)
calculamos primero la solución general de la homogénea haciendo el cambio de variable como
los ejercicios anteriores
2
1 2
4 4 0
2,
2h x
x
r r
r doble
y C C x
Calculamos ahora la solución particular y como 5x+1 es un polinomi decimos
1
2
( 1)
( 2)
p
x
p
x
p
x
y A Bx
y A B x
y A B x
Lo sustuimos en la ecuación del enunciado
A+b(x+2)-4(A+B(x+1))+4(A+Bx)=5x+1
Obtenemos
A=11
B=5
Por lo que
11 5p
xy x
Asi a solución general será
1 22 11 5
h p
x x x
x
x
y y h
asi
y C C x x
d)
Resolvemos como siempre la ecuación general haciendo el cambio de nomenclatura
2
1 2
6 5 0
5
1
5 1h x x
x
r r
r
r
asi
y C C
Po otro lado la solución particular tendrá la forma
1
1
2
2
2 1
3
3
3
3 6.3 5.3 3
3 9 18 5 3
1
4
13
4
p x
x
x
x
x
x
x x x x
x x
p x
x
y A
continuando
y A
y A
sustituyendo
A A A
A A A
A
asi
y
Siendo la solución general
1 2
15 1 3
4
x x x
xy C C
EJERCICIO 3
APLICAMOS EL MODELO DE LA TELARAÑA
1
1
1
1
0
0
15 2
2 13
0,08( )
0,08( 2 13 15 2 )
1,36 1,2
0.2 1,36
1
,2
1,36
1,36(0,2)
1 0,2
(0,2) 1,33
6
6 (0,2) 1.33
4,67
4.6
t
t
t t
t t t t
t t t
t t
t
t
t
t
t
d P
S P
ademas
P P S D
P P P P
P P P
P P
asi
a
b o
c
P k
P k
y
asi
k
k
solucion
P
LA SOLUCION ES:
4,6(0,2) 1.33t
tP