Post on 13-Jul-2016
description
Tarea 2Teorıa de Numeros II
Universidad Nacional Autonoma de MexicoFacultad de Ciencias
1) Calcular los coeficientes de Bezout de:
a) 1223x+197y=7
ya que (1223, 197) = 1 procedemos a calcular sufraccion continua
1223
197= 6 +
41
197= 6 +
1
197
41
= 6 +1
4 +33
41
= 6 +1
4 +1
41
33
= 6 +1
4 +1
1 +8
33
= 6 +1
4 +1
1 +1
33
8
= 6 +1
4 +1
1 +1
4 +1
8
∴1223
197= [6; 4, 1, 4, 8] (1)
tomando la ecuacion homogenea
1223x + 197y = 0 (2)
entones las soluciones homogeneas son
x0 = 197, y0 = −1223 (3)
por otro lado sabemos que
c5 =1223
197=
p5
q5
ademas
pnqn−1 − qnpn−1 = (−1)n (4)
entonces
p5q4 − q5p4 = (−1)5
1223q4 − 197p4 = −1
1223(−q4) + 197p4 = 1
1223(−7q4) + 197(7p4) = 7 (5)
calculando los convergentes
c1 =p1
q1=
a1
1=
6
1
c2 =p2
q2=
a2a1 + 1
a2=
25
4
c3 =p3
q3=
a3p2 + p1
a3q2 + q1=
31
5
c4 =p4
q4=
a4p3 + p2
a4q3 + q2=
149
24
c5 =p5
q5=
a5p4 + p3
a5q4 + q3=
1233
197
(6)
entonces los coeficientes de Bezout son
x = −7q4 + x0t, t ∈ Zy = 7p4 + y0t, t ∈ Z
∴x = −168 + 197t, t ∈ Zy = 1043− 1223t, t ∈ Z 2 (7)
2) Determinar los numeros irracionales repre-sentados por cada fraccion continua simpleinfinita:
a) [0; 1, 2]
Sea
x = [0; 1, 2]
= 0 +1
1 +1
2 +1
1 +1
2 +1
. . .
entonces
x =1
1 +1
2 + x
=1
x + 3
x + 2
=x + 2
x + 3
x(x + 3) = x + 2
x2 + 3x = x + 2
x2 + 2x− 2 = 0
eso implica que
U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias
x =− (2) +
√(2)2 − 4(1)(−2)
2(1)
=− 2 +
√12
2
=− 2 + 2
√3
2
∴ x = −1 +√
3 2 (8)
b) [0; 1, 2, 1]
Sea
x = [0; 1, 2, 1]
= 0 +1
1 +1
2 +1
1 +1
1 +1
2 +1
1 +1
. . .
entonces
x =1
1 +1
2 +1
1 + x
=1
1 +1
2x + 3
1 + x
=1
1 +x + 1
2x + 3
=1
3x + 4
2x + 3
=2x + 3
3x + 4
x(3x + 4) = 2x + 3
3x2 + 4x = 2x + 3
3x2 + 2x− 3 = 0
eso implica que
x =− (2) +
√(2)2 − 4(3)(−3)
2(3)
=− 2 +
√40
6
=− 2 + 2
√10
6
∴ x =− 1 +
√10
32 (9)
c) [1; 1, 2]
Sea
x = [1; 1, 2]
= 1 +1
1 +1
2 +1
1 +1
2 +1
. . .
entonces
x− 1 =1
1 +1
2 +1
1 +1
2 +1
. . .
eso implica que
x = 1 +1
1 +1
2 + (x− 1)
= 1 +1
1 +1
x + 1
= 1 +1
x + 2
x + 1
= 1 +x + 1
x + 2
=2x + 3
x + 2(10)
x(x + 2) = 2x + 3
x2 + 2x = 2x + 3
x2 = 3
eso implica que
∴ x =√
3 2 (11)
3) Calcular los primeros cinco convergentes delas fracciones continuas simples que represen-tan a cada numero:
a)3 +√
5
2
entonces
3 +√
5
2=
3 + (1− 1) +√
5
2= 2 +
√5− 1
2
= 2 +1
2√
5− 1
= 2 +1
2√
5− 1
(√5 + 1√
5 + 1
)2
U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias
= 2 +1
2(√
5 + 1)
4
= 2 +1
√5 + 1
2
= 2 +1
(1− 1) +√
5 + 1
2
= 2 +1
2 +√
5− 1
2
= 2 +1
1 +
√5− 1
2
= 2 +1
1 +(3− 3) +
√5− 1
2
= 2 +1
1 +3 +√
5− 4
2
= 2 +1
1 +
(3 +√
5
2− 2
)
por otro lado
3 +√
5
2− 2 =
1
1 +
(3 +√
5
2− 2
)
eso significa que
3 +√
5
2= 2 +
1
1 +
(3 +√
5
2− 2
)
= 2 +1
1 +1
1 +
(3 +√
5
2− 2
)
= 2 +1
1 +1
1 +1
1 +
(3 +√
5
2− 2
)
= 2 +1
1 +1
1 +1
1 +1
. . .
∴3 +√
5
2= [2; 1] (12)
calculando los primeros cinco convergentes
c1 =p1
q1=
a1
1=
2
1
c2 =p2
q2=
a2a1 + 1
a2=
3
1
c3 =p3
q3=
a3p2 + p1
a3q2 + q1=
5
2
c4 =p4
q4=
a4p3 + p2
a4q3 + q2=
8
3
c5 =p5
q5=
a5p4 + p3
a5q4 + q3=
13
5
(13)
6) Mediante fracciones continuas, resolver las si-guientes ecuaciones:
a) x2 − 32x− 7 = 0
Se calcula la fraccion continua de la raız deldiscriminante
√D =
√b2 − 4ac (14)
=√
(−32)2 − 4(1)(−7)
=√
1024 + 28
√D =
√1052
como
32 <√
1052 < 33
entonces
√1052 = 32 + (
√1052− 32)
= 32 +1
1√
1052− 32
= 32 +1
1√
1052− 32
(√1052 + 32√
1052 + 32
)
= 32 +1
√1052 + 32
28
= 32 +1
(24− 24) +√
1052 + 32
28
= 32 +1
2 +
√1052− 24
28
= 32 +1
2 +1
28√
1052− 24
= 32 +1
2 +1
28√
1052− 24
(√1052 + 24√
1052 + 24
)
= 32 +1
2 +1
28(√
1052 + 24)
476
= 32 +1
2 +1
√1052 + 24
173
U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias
= 32 +1
2 +1
(27− 27) +√
1052 + 24
17
= 32 +1
2 +1
3 +
√1052− 27
17
= 32 +1
2 +1
3 +1
17√
1052− 27
= 32 +1
2 +1
3 +1
17√
1052− 27
(√1052 + 27√
1052 + 27
)
= 32 +1
2 +1
3 +1
17(√
1052 + 27)
323
= 32 +1
2 +1
3 +1
√1052 + 27
19
= 32 +1
2 +1
3 +1
(30− 30) +√
1052 + 27
19
= 32 +1
2 +1
3 +1
3 +
√1052− 30
19
= 32 +1
2 +1
3 +1
3 +1
19√
1052− 30
= 32 +1
2 +1
3 +1
3 +1
19√
1052− 30
(√1052 + 30√
1052 + 30
)
= 32 +1
2 +1
3 +1
3 +1
19(√
1052 + 30)
152
= 32 +1
2 +1
3 +1
3 +1
√1052 + 30
8
= 32 +1
2 +1
3 +1
3 +1
(26− 26) +√
1052 + 30
8
= 32 +1
2 +1
3 +1
3 +1
7 +
√1052− 26
8
sea
y =
√1052− 26
8(15)
∴√
1052 = [32; 2, 3, 3, 7, y] (16)
calculando los primeros cinco convergentes
c1 =p1
q1=
a1
1=
32
1= 32
c2 =p2
q2=
a2a1 + 1
a2=
65
2= 32.5
c3 =p3
q3=
a3p2 + p1
a3q2 + q1=
227
7' 32.4285
c4 =p4
q4=
a4p3 + p2
a4q3 + q2=
746
23' 32.4347
c5 =p5
q5=
a5p4 + p3
a5q4 + q3=
5449
168' 32.4345
(17)
como
√1052 ' 32.4345 (18)
entonces la soluciones del sistema
x2 − 32x− 7 = 0
se pueden aproximar por4
U.N.A.M Teorıa de Numeros II Facultad de Ciencias
x± =− b±
√D
2a
x± '32± c5
2
x± '32±
5449
1682
x± '
5376± 5449
1682
∴ x± '5376± 5449
3362 (19)
7) Resuelve las siguientes ecuaciones de Pell:
a) x2 − 37y2 = 1
Calculando la fraccion continua de√
37 , como
6 <√
37 < 7 (20)
entonces
√37 = 6 + (
√37− 6)
= 6 +1
1√
37− 6
= 6 +1
1√
37− 6
(√37 + 6√
37 + 6
)
= 6 +1
√37 + 6
1
= 6 +1
(6− 6) +√
37 + 6
= 6 +1
12 + (√
37− 6)
como
√37− 6 =
1
12 + (√
37− 6)
entonces
√37 = 6 +
1
12 +1
12 + (√
37− 6)
= 6 +1
12 +1
12 +1
12 + (√
37− 6)
= 6 +1
12 +1
12 +1
12 +1
. . .
∴√
37 = [6; 12] (21)
como los numeros de elementos que conforman elperiodo son k = 1, que es impar
√37 = [6; 12︸︷︷︸
k=1
]
las soluciones estan dadas por
x = p2ik, y = q2ik, i ∈ Z+
para comprobar la primera solucion (i = 1) senecesita el segundo convergente
c2 =p2
q2=
a2a1 + 1
a2=
73
12
entonces
x = 73, y = 12x2 = 5329, y2 = 144
x2 − 37y2 = 5329− 37(144) = 1
eso quiere decir que la soluciones son de la forma
∴ x = p2i, y = q2i, i ∈ Z+ 2 (22)
5