Post on 11-Apr-2017
TEMA : Límites y Continuidad
CURSO : Análisis Matemático I
DOCENTE : Lic. Eladio Sánchez Culqui
CICLO : II
ALUMNO : Arana Gómez, Fabio Joseph
1. Evaluar los siguientes límites:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA SEDE - JAÉN
Facultad de IngenieríasEscuela Académico
Profesional de Ingeniería Civil
JAÉN –
a) limx→1
3√ x−2√x+3 x−2x−1
L= limx→1
( 3√ x−1)−2(√ x−1)+3 (x−1)x−1
limx→1
( 3√x−1)x−1 −2 lim
x→1
(√ x−1 )x−1 +3 lim
x→1
(x−1)x−1
FR1= 3√ x2+ 3√x+1 =3
limx→1
( 3√x−1)FR1
( x−1)FR1−2 lim
x→1
(√ x−1 )(√x+1)(x−1)(√ x+1)
+3 limx→1
(x−1)x−1
limx→1
x−1(x−1)3
−2 limx→1
x−1(x−1)(√x+1)
+3 limx→ 1
(x−1)x−1
L=13−2
2+3=7/3
b) limx→0
3 3√ x+1−2√x+1+4 x−1x2+2 x
L=limx→0
3 ( 3√ x+1−1)−2(√x+1−1)+4 xx−1
3 limx→ 0
( 3√x+1−1)x2+2 x
−2 limx→ 1
(√x+1−1 )x2+2 x
+4 limx→ 1
xx2+2x
FR1=3√(x+1)2+ 3√x+1+1=3
3 limx→0
( 3√x+1−1)FR1
x (x+2)FR1−2 lim
x→1
(√ x+1−1 )(√ x+1)x (x+2)(√ x+1)
+4 limx→1
xx (x+2)
3 limx→0
xx (x+2)3
−2 limx→1
xx (x+2)(√ x+1+1)
+4 limx→1
xx (x+2)
L=36−2
4+ 4
2=2
c) limx→2
3 x−√20+8x√20 x−15−(x+3)
limx→2
(3x−6 )−(√8 x+20−6)(√20 x−15−5)−(x−2)
limx→2
(3x−6 )(√20 x−15−5)−(x−2)
−limx→ 2
(√8 x+20−6)(√20 x−15−5)−(x−2)
FR1=√20 x−15+5=10 FR2=√8 x+20+6=12
limx→2
(3 x−6 )FR1
(√20 x−15−5)FR1−(x−2)FR1
−limx→2
(√8 x+20−6)FR1FR2
(√20 x−15−5)FR1 FR2−(x−2)FR1FR2
limx→2
10 (3 x−6 )20 x−40−(x−2)10
− limx→2
10 (8 x−16)12(20 x−40)−(x−2)120
3010
limx→2
x−22 x−4−(x−2)
− 80120
limx→2
10(8 x−16)2x−4−(x−2)
3010
limx→2
x−2x−2
− 80120
limx→2
x−2x−2
L=3−23=7
3
d) limx→1
√x+√3 x+1−√2x+7√ x+√4 x+5−√3 x+13
limx→1
(√x−1)+(√3 x+1−2)−(√2x+7−3)(√x−1)+(√4 x+5−3)−(√3 x+13−4 )
FR1=√ x+1=2 FR2=√3 x+1+2=4 FR3=√2 x+7+3=6 FR4=√4 x+5+3=6 FR5=√3 x+13+4=8
limx→1
(√x−1)FR1
FR1+(√3 x+1−2)FR2
FR2−
(√2x+7−3)FR3
FR3
(√x−1)FR1
FR1+
(√4 x+5−3)FR4
FR 4−
(√3 x+13−4)FR5
FR5
limx→1
x−1FR1
+ 3 x−3FR2
−2x−2FR3
x−1FR1
+ 4 x−4FR4
−3 x−3FR5
limx→ 1
x−1
x−1 [ 1FR1
+3
FR2−
2FR3
1FR1
+ 4FR4
− 3FR5
] = 12+ 3
4−2
612+ 4
6−3
8
= 19123724
=3837
e) limx→ 4
8−2x+√x− 3√2 xx−4
L=−2 limx→4
x−4x−4 +lim
x→4
√ x−2x−4 -lim
x→4
3√2 x−2x−4
FR1=√(2x)2+2√2x+4=12
¿−2+limx→ 4
(√ x−2 ) (√x+2 )( x−4 ) (√ x+2 )
−limx→4
( 3√2x−2)FR1
(x−4)FR1
¿−2+limx→ 4
x−4( x−4 ) (√x+2 )
−2 limx→4
x−4(x−4 )FR1
L=−2+ 14− 2
12=−23
12
f) limx→4
|16−x2|+1(4−x )√5−|x−1|
x→4−¿ ¿ Como : x<4
x2<16 x−1<3 16−x2>0 |16−x2|=x2−16
g)lim
x→ 1+¿ ⟦3 x2−1⟧+2 x⟦x2+1⟧+3 x−1
¿
¿
Como : x>4
x2>16 3 x2−1>47 x2+1>17 ⟦3x2−1⟧=47 ⟦ x2+1 ⟧=17
Reemplazando:L= lim
x→1+¿ 47+2x17+3 x−1=
4919 ¿
¿
h) limx→∞
√x+ 3√ x+ 4√x√2x+1
Homogeneizando los índices de las raíces:
L= limx→∞
12√x6+¿12√ x4+
12√x3
12√(2 x+1 )6¿
¿ limx→∞
12√x5 ¿¿¿
¿ limx→∞
12√ x+¿0+012√(2 x
16)6+0
¿
¿ limx→∞
12√ x26 x
=12√ 126
L=√ 12
i) limx→∞
5√x4+3−5√ x3+43√x7+1
Homogeneizando índices:
L= limx→∞
12√( x4+3x10/3 )
3
−12√( x3+4x10 /3 )
3
12√( x7+1x2 )
5
¿ limx→∞
12√ (x2/3+0 )3−12√( 1x1/3 +0)
3
12√(x5+0 )5
¿ limx→∞
12√x2
12√ x25=lim
x→∞
12√ x2
x25= limx→∞
12√ 1x23 =0
L=0
j) limx→−∞
x3[cos ( πx+1x )−s ¿2(πx+1
x )+1]1+2x
L= limx→−∞
x3[cos( πx+1x )+cos2( πx+1
x)]
1+2 x
¿ limx→−∞
x3 cos( πx+1x )[1+cos ( πx+1
x )]1+2 x
¿ limx→−∞
x3 cos ( πx+1x )[2 cos2( πx+1
2x )]2 x+1
¿2 limx→−∞
x3 cos(π+ 1x )[cos2( π2 + 1
2 x )]2x+1
¿2 limx→−∞
x3¿¿¿ ¿2 lim
x→−∞x3¿¿¿
¿2 limx→−∞
x3¿¿¿
¿−2 limx→−∞ [ cos( 1
x )2+ 1
x] .[ sin ( 1
2 x)
2. 14 x2 ]
2
¿−12 . 1
2 limx→−∞ [ sin( 1
2x)
12x2 ]
2
=−14
(1 )=−14
L=−14
k) limx→−∞
sin(x+ π4 )−cos (x+ π
4 )3eksenx−3
=√18 .Calculark .
limx→−∞
sin(x+ π4 )−cos (x+ π
4 )3[ ek .sin x−1
k sin x ]k sin x=√18
limx→−∞
sin(x+ π4 )−cos (x+ π
4 )3k sin x
=√18
l) limx→−∞
tan (a+2x )−2 tan (a+x )+ tan ax2
Sabiendoque : tan A−tanB= sin(A−B)cos A .cos B
L=limx→0
tan (a+2 x )−tan ( a+x )x2 −lim
x→0
tan (a+x )−tan ax2
¿ limx→0
sin xcos (a+2 x ) .cos (a+x)
x2
−limx→0
sin xcos (a+x ) .cos a
x2
¿ limx→0
sin xx
.[ limx→0
1x .cos (a+2 x ) .cos (a+x )
− limx→0
1x .cos (a+x ) .cos a ]
¿1. limx→0
1cos (a+x )
.[ 1x .cos (a+2 x )
− 1x .cos a ]
¿ limx→0
1cos (a+x ) .cos a
. [ cosa−cos (a+2 x)x .cos ( a+2x ) ]
¿ 1cos2a
. limx→0 [ cos a−cos (a+2x )
x .cos (a+2 x ) ]
¿1
cos2a. limx→0 [−2sin (a+x ) . sin (−x )
x .cos (a+2x ) ] ¿ 2
cos2a.limx→0
sin (x)
x. limx→0 [ sin (a+x )
.cos (a+2 x ) ] ¿ 2
cos2a.1. sin a
cos a=2 tan a . sec2 (a)
L=2 tan a . sec2 (a)
m) limx→0
2−√cos x−cos xx2
L=limx→0
(1−√cos x )(1+√cos x)(1+√cos x)
−¿¿¿
¿ limx→0
3−3cos x2 x2 =3
2limx→0
sin2xx2¿¿
¿
¿ 34. limx→0
sin xx
. sin xx
= 34
.1 .1=34
L=3 /4
n) limx→0
√1+sin x−√1−sin xtan x
L=limx→0
(√1+sin x−1 ) (√1+sin x+1 )(√1+sin x+1 )
−(√1−sin x−1 ) (√1−sin x+1 )
(√1−sin x+1 )tan x
¿ limx→0
sin x(√1+sin x+1 )
+ sin x(√1−sin x+1 )
tan x=lim
x→ 0
sin x2
+sin x2
tan x
¿ limx→0
sin xtan x
=limx→0
sin x1
sin xcos x
=¿ limx→0
cos x=¿1¿¿
L=1
o) limx→
sin 2 x−cos2 x−1sin x−cos x
L=limx→0
2 sin x−(2 cos2 x−1 )−1sin x−cos x
¿ limx→0
2sin x .cos x−2cos2 xsin x−cos x
=limx→ 0
2cos x [ sin x−cos x ]sin x−cos x
¿ lim
x→02cos x=2
L=2
p)¿ lim
x→0+¿ 2x (arcsin x )2+ tanx−sin xx3 ¿
¿
L= limx→0+¿¿ ¿¿
¿ ¿2+ lim
x→0+¿( tan x−sin xx3 )=2+ lim
x→ 0+ ¿ tan xx
. 1x2 −sin x
x. 1x 2¿
¿¿
¿
¿2+ limx→0+¿ 1
x2−1x2=2¿
¿ L=2
q) limx→0 ( 1+ tan x
1+sin x )1
sin x
L=limx→0 (1+ x . sin x . secx
x )1x . 1
sin x . x
limx→0
¿¿¿¿¿
¿limx→0
esec x
limx→0
e= e
e=1
L=1
r) limx→0
¿¿ Dedonde : [ ex−1x ] x=x . ln e=x
L=limx→0
¿¿
¿ limx→0
¿¿
¿ limx→0 [ e2 x tanx
esin xx
x2 ]cotxx =lim
x→0 [ e2x2 tan xx
e x2 ]cotxx
¿ limx→0
[e2 x2−x2 ]cot xx =lim
x→0ex2 . cot x
x =limx→ 0
ex . cosx
x
¿ limx→0
ecos x=e
L=e
s) limh→ 0
( ax+h+ax−h−2h ) , a>1
L=limh→0
ax¿¿¿ L=0
2. 3. 4. Graficar las siguientes funciones:
a) x y2−3 y2−4 x=8
y=√ 4 x+8x−3
, y=−√ 4 x+8x−3
1 ° . En f , limx→+∞
f ( x )=±2∴∃ A .Horizontal y=±2
2 ° . limx→−3
±√ 4 x+8x−3
=−∞ x=3esuna A .Vertical
b) y=3−2 x− x2
√x2−x−2
Asíntota Horizontal : limx→+∞
f (x )
limx→+∞
3 x√1− 1x− 2
x2−2x2 √1−1x− 2
x2 −x2
√x2−x−2=¿ lim
x→+∞
3 x−2 x2−x2
x√1−1x− 2
x2
¿
limx→+∞
3x−3
1x
=+∞ ∴∄ A .H .
AsíntotaVertical :
limx→2
3−2 x− x2
√(x−2)(x+1)
limx→2
3√(x−2)(x+1)−2x √(x−2)(x+1)−x2
√(x−2)(x+1)=+∞ x=2
limx→−1
3√(x−2)(x+1)−2 x√( x−2)(x+1)−x2
√(x−2)(x+1)=−∞ x=-1
∴∃ A .V . x=2 y x=−1 Asíntotaoblicua : y=mx+b m= lim
x→+¿∞f ( x )x = lim
x →+∞
3 x−2 x2−x2
x2√1− 1x− 2
x2
=−3 ¿
¿
b= limx→+∞
[ f (x )−mx]=3−5 x− x2
√ x2−x−2=0
L : y=−3 x
c) y= 1−x2
x2−4
Asíntota Horizontal :
limx→+∞
f (x )=−1 ∴∃ A .H . y=−1 AsíntotaVertical :
limx→−2
1−x2
x2−4=−∞ x=-2
limx→2
1−x2
x2−4=+∞ x=2
∴∃ A .V . x=±2
d) y=2 x2+5 x−8x+3
1 ° . En f , limx→+∞
f ( x )=+∞∴∄ A . Horizontal
2 ° . limx→−3
(2x2+5 x−8 )x+3
=−∞x=−3esuna A .Vertical
3 ° . y=mx+b
m= limx→+∞ [ f (x)x ]= lim
x→+∞
(2 x2+5 x−8 )x2+3 x
=2
b= limx→+∞
[ f ( x )−mx ]= limx→+∞ [ ( 2 x2+5 x−8 )
x+3−2 x ]
¿ limx→+∞ [−x−8
x+3 ]=−1
∴ A .O . y=2 x−1
e) y= x2+3√ x2−4
AsíntotasHorizontales : limx→+∞
f ( x)=+∞ ∴∄ A .H . AsíntotasVerticales : limx→−2
x2+3
√ x2−4=−∞ x=-2
limx→+2
x2+3
√x2−4=+∞ x=2
AsíntotasOblicuas : y=mx+b
m=limx→+∞
f (x )
x=
limx→+∞
x2+3
x2 √1− 4x2
=1
b= limx→+∞
[ f ( x )−mx ]=limx→+∞
x2+3
√x2−4−x=0
L : y=x ,es unaasíntotaoblicua .
5. Analizar la continuidad de la función f en el punto x=π2 , siendo
Analizando la continuidad en x=π2
f ( x )={2−senx−sen2 x1−senx
,∧x ≠ π2
3 ,∧x= π2
(i ) f ( π2 )=3
(ii ) limx→ (π /2)−¿(2−senx−sen2 x
1−senx )¿¿
¿ limx→ (π /2 )−¿¿ ¿¿¿
¿
¿2+ limx→ (π /2 )−¿ senx=2+1=3¿
¿
(ii ) limx→ (π /2)+¿(2−senx−sen2x
1−senx )¿¿
¿ limx→ (π /2 )+¿¿ ¿¿¿
¿
¿2+ limx→ (π /2 )+¿ senx=2+1=3¿
¿
∃ limx→π /2
f (x )=3
Gráfica:
f ( x )={3 ,∧x≠ π2
3 ,∧x=π2
6. Analizar la continuidad de la función fdada por:
f ( x )={√ x2−5⟦ x2 ⟧ ,−2≤∧x≥2
1−x3 ,∧x←2x+1,∧x≥2
Analizando la continuidad en x=−2
(i ) f (−2 )=√x2−5⟦ x2 ⟧
(ii ) limx→−2−¿ √x2−5⟦ x2 ⟧¿
¿
como x←2 x2←1
⟦ x2 ⟧=−2 lim
x→−2−¿ √x2+10=√14 ¿
¿ lim
x→−2+¿ x+1=3¿¿
∴Como limx→−2−¿ f (x )≠ lim
x →−2−¿f ( x )¿
,entonces f ( x ) noes contínua.¿
¿¿ ¿¿
7. Dada la función:
f ( x )={ b ⟦3 x+4 ⟧ ,1≤∧x<23 x √a−2 x ,2<¿ x<3
18 ,∧x=2
Hallar los valores de a y b, que posibiliten la continuidad.Como es continua en x=2, entonces:(i ) f ¿2)=18(ii ) lim
x→ 2−¿b ⟦ 3 x+4 ⟧= limx→ 2+ ¿3 x√ a−2 x= f (2)
¿¿ ¿¿¿
x<2 3 x+4<10 → ⟦3 x+4 ⟧=9
9b¿6√a−4=18 b=2 y a=13
8. Hallar los valores de las constantes a y b que posibiliten la continuidad, en todo su dominio, en las funciones dadas:a) f ( x )=¿
Como la función es continua en x=1, entonces:(i ) f (1 )=a (ii) lim
x→1−¿ √x3+3√ x−3 x−1x +3√x−3 3√x2−1
= limx→1+¿⟦ 3
x2+1 ⟧+198
= f (1)
¿¿¿ ¿
¿
Como x>1 x2+1>2
3x2+1
<32→⟦ 3
x2+1 ⟧=1
limx→ 1−¿ √x3+3√x−3x−1
x+3√x−3 3√x2−1= lim
x→ 1−¿ (√ x3−1 )+3( √ x−1) −3( x−1)(x−1)+3 (√ x−1)−3(
3√ x2−1)¿
¿¿
¿
FR1=3√ x4+ 3√ x2+1=3
¿ lim
x→1−¿
(√x3−1) (√x3+1 )(√ x3+1)
+3 (√ x−1 ) (√x+ 1)(√x +1)
−3(x−1)
(x−1)+3 (√x−1) (√x +1)(√x+1)
−3(
3√x2−1)FR1
FR1
¿
¿
¿ lim
x→1−¿
x3−12 +3 x−1
2 −3( x−1)
(x−1)+ 3 (x−1)2 −3 ( x¿¿2−1)
3 = lim
x→ 1−¿(x−1)[ x 2+x+1
2 +32 −3]
(x−1)[1+32−(x+1)]
¿¿¿¿
¿
¿ lim
x→1−¿[ x2+ x+1
2+3
2−3 ]
[1+ 32−( x+1)]
= lim
x→1−¿ [ x2+x−2
2 ][ 5
2−(x+1)]
= 052−2
= 0−12
=0 ¿
¿ ¿
¿
Reemplazando en la condición (ii):lim
x→ 1−¿ √x3+3√x−3x−1x+3√x−3 3√x2−1
= limx→ 1+¿⟦ 3
x 2+1⟧+b= f (1)
¿ ¿¿¿
¿
a=0 y b=−1
b) f ( x )=¿
Como es continua en x=3, entonces:(i ) f (3 )=b (ii ) lim
x→1−¿ √ x2+9−6√3− x
¿ limx →1+¿ sin(3−x)
√x−3=f( 3)
¿¿¿¿
¿
b=0