TRANSFORMADA DE LAPLACETdL

CARLOS ZEPITA

UNIVERSIDAD CATOLICA BOLIVIANA SAN PABLO

Pierre-Simon Laplace; (28/03/1749 - París; 5/03/1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplacey la ecuación de Laplace. Fue un creyente del determinismo causal.

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SOBRE EL DETERMINISMO CAUSAL

• “Todo acontecimiento físico, incluyendo el pensamiento y acciones humanas, están causalmente determinados por la irrompible cadena causa-consecuencia, y por tanto, el estado actual determina en algún sentido el futuro”.

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinismo

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LA TdL EN EL ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS

• Se usa para descomponer una señal (o sistema) en la suma de exponenciales complejos (eigenfunciones).

• Como la salida de una eigenfunción es fácil de determinar, la TdL puede ser utilizada para determinar la salida de prácticamente cualquier entrada.

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¿QUÉ ES LA TdL?

• Es una función de f definida por:

• Es una operación matemática que sirve para expresar prácticamente cualquier señal TC como la suma de exponenciales complejos de la forma:

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𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝐾𝑒𝑠𝑡

• TRANSFORMADA

• TRANSFORMADA INVERSA

• f(t) es la suma de un “infinito” numero de exponenciales complejos apropiados: 𝑒𝑠𝑡𝐹(𝑠).

TRANSFORMADA/TRANSFORMADA INVERSA

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𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑓(𝑡) = ℒ−1 𝐹(𝑠) =1

2𝜋𝑖

𝛾−𝑗∞

𝛾+𝑗∞

𝑒𝑠𝑡𝐹(𝑠)𝑑𝑠

SOBRE LA TRANSFORMADA INVERSA

• El contorno de la integral inversa es una línea paralela al eje imaginario (𝑗𝜔) para cualquier valor de 𝜎 en la región de convergencia de la transformada.

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TRANSFORMADA UNILATERAL Y BILATERAL

• UNILATERAL

𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

0

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

• BILATERAL

𝐹 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 =

−∞

∞

𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡 𝑑𝑡

• La diferencia son los limites de integración.

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¿CUÁL DE ELLAS SE UTILIZA?• Al diseñar en el mundo “real” (ej. sistemas de

control) casi siempre se utiliza la transformada unilateral: NO EXISTE el tiempo negativo.

• En “teoría” y los “procesadores de señales en tiempo no real” se utiliza la forma bilateral por sus propiedades matemáticas.

• Para considerar señales reales (comienzan a existir desde 𝑡 = 0) en el “mundo bilateral” se acostumbra usar la función paso unitario:

𝑥 𝑡 𝑢(𝑡)

CUIDADO CON LA FUNCIÓN PASO UNITARIO

• Olvidar 𝑢(𝑡) es un error común.

• Una señal (o sistema) de la forma: 𝑒𝑠𝑡 esta compuesta de una frecuencia compleja “simple”, mientras que: 𝑒𝑠𝑡𝑢(𝑡) esta compuesta de muchas frecuencias (vea TdF).

• La diferencia significativa en la T unilateral y la bilateral es la forma de tratar las condiciones iniciales.

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REGIÓN DE CONVERGENCIAROC

• Se define como el conjunto de valores de 𝑠para los que la integral de la TdL puede ser evaluada.

• EJEMPLO, hallar la TdL y el ROC𝑥 𝑡 = 𝑒2𝑡𝑢 𝑡

𝑋 𝑠 =

−∞

∞

𝑒2𝑡𝑢 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

=

0

∞

𝑒 2−𝑠 𝑡𝑑𝑡

= 1

2 − 𝑠𝑒 2−𝑠 𝑡

0

∞

Como: 𝑙𝑖𝑚

𝑡 → +∞𝑒 2−𝑠 𝑡 = 0

𝑋 𝑠 =1

𝑠 − 2𝑠 − 2 > 0 → 𝑠 > 2

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𝑅𝑒 𝑠 > 2

REGLAS DEL ROC

• Hay varias reglas para determinar el ROC sin desarrollar la operación de integración (ni las desigualdades), sólo se necesita conocer el tipo de señal y la localización de los polos de la transformada.

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TIPOS DE SEÑALES

• Señal de lado izq.: comienza en un lugar termina en −∞

• Señal de lado der.: comienza en un lugar termina en +∞

• Señal de ambos lados: comienza en −∞ y termina en +∞

• Señal de duración finita: comienza en un punto termina en otro punto

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LA REGLAS DEL ROC

• La ROC siempre es:

– Una región del plano 𝑠 a la izq. o der. del eje vertical.

– o el espacio entre dos líneas verticales.

• Nunca tiene un polo.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de lado der. entonces la ROC es de lado der.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de lado izq. entonces la ROC es de lado izq.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de ambos lados (o la suma de una señal de lado izq. y otra de lado der.) entonces la ROC es un intervalo siempre que las ROC no se sobrepongan, produciendo una anulación mutua.

• Si 𝑥(𝑡) es una señal de duración finita, la ROC es el plano 𝑠 entero.

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PROPIEDADES DE LA TdL BILATERAL

PROPIEDADES DE LA TdL UNILATERAL

LA UNILATERAL CONSIDERA

CONDICIONES INCIALES

PROPIEDADES DE LA TdL UNILATERAL

TABLA DE TdL BILATERAL

TABLA DE TdL UNILATERAL

TABLA DE TdL UNILATERAL

TABLA DE TdL UNILATERAL

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TRANSFORMADA INVERSA

• Para recuperar 𝑥(𝑡) a partir de 𝑋(𝑠) puede utilizar la integral:

𝑥(𝑡) = ℒ−1 𝑋(𝑠) =1

2𝜋𝑗

𝛾−𝑗∞

𝛾+𝑗∞

𝑒𝑠𝑡𝑋(𝑠)𝑑𝑠

• NO utilice esta integral, manipule 𝑋(𝑠) hasta que tenga un patrón reconocible de las tablas y propiedades.

• Este es un procedimiento heurístico y se hará más sencillo con la practica.

• Conocer la ROC es muy importante para conseguir la transformada inversa.

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TEOREMA DEL VALOR INICIAL Y FINAL

• Dado 𝑋(𝑠) es posible calcular el valor de 𝑥(𝑡 = 0) o 𝑥(𝑡 = ∞) sin tener que realizar la transformada inversa.

VALOR INICIAL: 𝑥 𝑡 = 0 = lim𝑠→∞

𝑠𝑋(𝑠)

VALOR FINAL: 𝑥 𝑡 = ∞ = lim𝑠→0

𝑠𝑋(𝑠)

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REFERENCIAS WEB

• http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

• http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html

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