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8/18/2019 Transformada de Laplace02
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SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES POR EL MÉTODO DE LAPLACE
Consideremos el siguiente sistemas de ecuaciones diferenciales:
)01()(
)(
2221
1211
t g ya xadt
dy
t f ya xadt
dx
++=
++=
Con condiciones iniciales x(0) =x0 ; y(0) =y0 , dondex, y son las funciones incógnitas, a
11; a
12; a
21; a
22 son
constantes y f(t), g(t) son funciones conocidastomando la transformada de laplace a ambas
ecuaciones diferenciales del sistema (1)
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• !ediante las propiedades de la transformada se tiene:
{ }
{ })(
)(
2221
1211
t g ya xa Ldt
dy L
t f ya xa Ldt
dx L
++=
++=
{ } { } { } { }{ } { } { } { })()0()()0(
2221
1211
t g L y La x La y y sLt f L y La x La x x sL
++=− ++=−
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• "grupando t#rminos se tiene:
( ) { } { } { }{ } ( ) { } { } )02()()0(
)()0(
2221
1211
t g L y y La s x Lat f L x y La x La s
+=−+−+=−−
{ })(0
t f L xSi +
{ })(0 t g L y y +no son ambos cero, entonces se pueereso!"er e! s#stema $%&, me#ante !a
re'!a e C$"!%$, es ec#r(
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{ }
{ }
{ } { }( )( ) { }( )
( )( )
{ }( )( ) { }( )
( ) ( ) 21122211012220
22
12
22
11
21122211
012220
2221
1211
220
120
)()()()()(
)(
22
aaa sa s
t g L yaa st f L x
a s
a
a s
a
aaa sa s
t g L yaa st f L x
aa
aa s
a st g L y
at f L x
xL−−−
++−+=
−
−
−
−
−−−
++−+=
−
−−
−+
−+
=
{ }( )( ) { }( )( )( )
−−−++−+= −21122211
0122201 )()(aaa sa s
t g L yaa st f L x L x
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{ }
21
11
21
11
a
a s
a
a s
y L
−
−
−
−
=
{ }
{ } ( ) { }( ) { }( )( ) ( ) 21122211
021011
22
12
0
0
)()()(
)(
aaa sa s
t f L xat g L ya s
a s
a
t g L y
t f L x
−−−
++++−=
−
−
+
+
( ) { }( ) { }( )
( ) ( )
−−−
++++−= −
21122211
0210111 )()(
aaa sa s
t f L xat g L ya s L y
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• &or lo tanto es e'idente ue latransformada de aplace, nospermite con'ertir un sistema deecuaciones diferenciales concondiciones iniciales dadas en un
sistema de ecuaciones simult*neas%ste m#todo puede generali+arse asistemas de n- ecuaciones
diferenciales de primer orden decoe.cientes, dado entonces unsistema correspondiente a n-
ecuaciones lineales simultaneas
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%/emplos
)2.....(....................044
)1....(....................0410
212
2
2
2121
2
=+−
=−+
x x
dt
xd
x xdt xd
$esol'iendo el sistema por el m#todo de aplace,tomamos la trasformada de aplace a cada ecuación:
)4.....(....................044
)3....(....................0410
212
2
2
2121
2
=
+−
=
−+
x x
dt
xd L
x xdt
xd L
)* $+& +- )% $+& +-
)*.$+& *-
)%.$+& /*
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{ } { } { }
{ } { } { } )4....(....................044)0(')0(
)3....(....................0410)0(')0(
212222
21111
2
=+−−−
=−+−−
x L x L x sx x L s
x L x L x sx x L s
{ } { } { }{ } { } { } )4....(....................044)0(')0(
)3....(....................0410)0(')0(
21222
2
21111
2
=+−−−
=−+−−
x L x L x sx x L s
x L x L x sx x L s
( ) { } { }( ) { } { }
( ) { } { } )5....(..........1410
)5..(..............................1410
)0(')0(410
212
21
2
1121
2
=−+
=−+
+=−+
x x L s
x L x L s
x sx x L x L s
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{ } { } { }{ } { } { } )4....(....................044)0(')0(
)3....(....................0410)0(')0(
21222
2
21111
2
=+−−−
=−+−−
x L x L x sx x L s
x L x L x sx x L s
{ } ( ) { }
{ } ( ) { }
( ) { } { } )5....(..........1410
)6.......(....................144
)0(')0(44
21
2
22
1
222
2
1
=−+
−=++−
+=++−
x x L s
x L s x L
x sx x L s x L
( ) { } { }( ) { } { }
( ) { } { } )5....(..........1410
)5..(..............................1410
)0(')0(410
21
2
21
2
1121
2
=−+
=−+
+=−+
x x L s
x L x L s
x sx x L x L s
inalmente el sistema uedara como semuestra:
( ) { } { }( ) { } { }
( ) { } { } )5....(..........1410
)5..(..............................1410
)0(')0(410
21
2
21
2
1121
2
=−+
=−+
+=−+
x x L s
x L x L s
x sx x L x L s
{ } ( ) { }{ } ( ) { }
( ) { } { } )5....(..........1410
)6.......(....................144
)0(')0(44
21
2
2
2
1
222
2
1
=−+
−=++−
+=++−
x x L s
x L s x L
x sx x L s x L
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"plicando la regla de cramer se tiene:
{ }
4
10
1
1
21
−+
−= s
x L( )( )122
4
4
4
4
22
2
2
2
++=
+
−+
−
s s
s
s
s
( )( ))212()212()()(
122122
232
2222
2
D B sC A s Db sC A s
s
DCs
s
B As
s s
s
+++++++=
+
++
+
+=
++
" = 0; C = 0; = 134; 5 = 634
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( )( )
{ }
t sent sen s
L s
Lt x
s s
Lt x
s s
x L
s s s s
s
325
32
10
2
12
1
5
6
2
1
5
1)(
12
1
5
6
2
1
5
1)(
12
1
5
6
2
1
5
1
12
1
5
6
2
1
5
1
122
2
1
2
1
1
22
1
1221
2222
2
+−=
++
+−=
++
+−=⇒
++
+−=
++
+−=
++
−−
−
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• &ara x2
{ }( )( )122
6
44
410
14
110
22
2
2
2
2
2++
+−=
+−
−+
−−
+
= s s
s
s
s
s
x L
( )( ))212()(6
122122
6
32
2222
2
B A s B A s
s
B
s
A
s s
s
−−+−−=+
+−
+−=
++
+
" = 234; = 734
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( )( )
{ }
t sent sen s
L s
Lt x
s s Lt x
s s x L
s s s s
s
3210
32
5
2
12
1
5
3
2
1
5
2)(
12
1
5
3
2
1
5
2)(
12
1
5
3
2
1
5
2
12
1
5
3
2
1
5
2
122
6
2
1
2
1
2
22
1
2222
2222
2
+=
++
+=
+
+
+
=⇒
+
+
+
=
++
+=+++
−−
−
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t sent sent x 325
32
10
2)(1 +−=
t sent sent x 321032
52)(2 +=
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APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
• $esortes "coplados: Supon'amos0ue os masas m* 1 m% est2nsu3etas a os resortes A 1 4, emasa #ns#'n#5cante, cu1ascomponentes son 6 * 1 6 % ,respect#"amente7 A su "e8 os
resortes est2n conectaas comose muestra en en la .gura:
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6 *
)*
)%
9 %
m*
m%
)*0
)%0
A
4
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• 8ean x1(t) y x2(t) los despla+amientos 'erticales
de las masas con respecto a sus posiciones de
euilibrio cuando el sistema se encuentra enmo'imiento, el resorte esta su/eto tanto a unalargamiento como a un acortamiento; porconsiguiente; su alargamiento neto es x2 9 x1
•
8egn la ley de :oo6e(• 5onde: =
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• 8i no se aplica ninguna fuer+a externa al sistema yno >ay fuer+a de amortiguamiento, entonces la
fuer+a neta sobre m1 es:• F F* ;F%
( )↓−= 111 xk F
( ) ( )↑−= 1222 x xk F
)( 12211 x xk xk F −+−=%ntonces por la segunda ley de ne?ton tenemosue:
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&or la segunda ley de ne?tontenemos
am F ×=
2
1
2
112211 )(dt
xd m x xk xk =−+−
5e igual modo la fuer+a neta e/ercida sobre la masam
2 se debe solamente al alargamiento neto de , es
decir:
( ) ( )↓−−= 1222
x xk F
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( ) 2
2
2
2122
dt
xd m x xk =−−
)01()(
)(
12222
2
2
1221121
2
1
x xk dt
xd m
x xk xk dt
xd m
−−=
−+=
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• Como las masas parte de su posición deeuilibrio entonces x1 (0)= 0; x2 (0)= 0; y
como sus 'elocidades son unitarias yopuestas entonces x1@(0)= 1; x2@(0)= 1; a>ora
rempla+amos en el sistema (1), tenemos:
&$A%!" $esol'er el sistema (01)
suponiendo ue 1 = 6; 2 = B; m1 = 1; m2 =1; y ue las masas parten de sus posicionesde euilibrio con 'elocidades unitarias dedirecciones opuestas
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• 8olucionar el sistema de ecuaciones
1005580
1
10055100
1
32
3
322
=++
=++
iidt
di
iidt
di
{ }
{ }1005580
1
10055100
1
323
322
Liidt
di L
Liidt
di L
=
++
=
++
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{ } { } { }
{ } { } { } )2...(.....................10055)0(801
)1...(.....................100
55)0(100
1
3233
3222
si Li Lii sL
si Li Lii sL
=++−
=++−
{ } { }
{ } { } )4...(.....................10058015
)3...(.....................100
55100
1
32
32
si L si L
si Li L s
= ++
=+
+
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{ }
5
5100
1
100
100
2
+
= s
s
s
i L ( ) s s s
s
9004
40000
580
1
5
580
1
5
2 +=
+
+
( ) ( ))4()900(40000
90049004
400002
s s A
s
B
s
A
s s
++=
++=
+
" = B003; = 1003
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( ) ( )9001
9
100
4
1
9
400
9004
400002 +
−=+ s s s s
{ }( )
( )
)5.......(..........9
100
9
100
900
1
9
1001
9
100
900
1
9
100
4
1
9
400
900
2
11
2
2
t ei
s L
s Li
s s
i L
−
−−
−=
+−
=
+−=
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&ara i7
( )900
8000
5805
55100
1005
1005
100
}{ 3 +=
+
+
+
= s s
s
s
s
s
s
i L
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27/29
( ) ( ))()900(8000
900900
8000
Bs s A
s
B
s
A
s s
++=
++=
+
" = D03; = D03
( ) ( ){ }
( )( )
t ei
s L
s Li
s s
i L
s s s s
900
3
11
3
3
9
80
9
80
900
1
9
801
9
80
900
1
9
801
9
80
900
1
9
801
9
80
900
8000
−
−−
−=
+−
=
+
−=
+−=
+
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