TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO 2. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

T1. TRAZADOS FUNDAMENTALESEN EL PLANO.

Paralelas Perpendiculares

ÁngulosMediatriz y BisectrizTeorema de Thales

Media, Tercera y Cuarta ProporcionalÁrco Capaz

TRAZADO DE LA PERPENDICULAR A UNA SEMIRECTA EN SU EXTREMO

T1. TRAZADOS EN EL PLANO. Trazados fundamentales, Arco capaz, Media proporcional...

O12345

Se toman cinco partes iguales sobre la semirrecta Or, tomando como origen O

O12345

Se traza un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 (estos números son

pitagóricos, se verifica:3 + 4 = 5 ).

Primero trazamos el arco O4

Trazamos el arco O5 desde el 3.Donde corta dicho arco al anterior tenemos el vértice P del triángulo

rectángulo

Uniendo O con P tenemos la perpendicular buscada

TRAZADO DE LAS RECTAS PARALELAS A OTRA A UNA DISTANCIA DADA

t distancia de las paralelas

Se toman dos puntos cualesquiera R y S de la recta r, y se trazan dos perpendiculares por ambos puntos.

En este caso se ha utilizado el método basado en la mediatriz, pero se pueden trazar con escuadra y cartabón

Con centro en R y S y radio t, se trazan los arcos que cortan a las perpendiculares anteriores en E, F, G y H

Las rectas s y u son las paralelas buscadas

TRAZADO DE LA RECTA QUE, PASANDO POR UN PUNTO P,SEA CONCURRENTE CON OTRAS DOS RECTAS r Y s QUE

SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO

Por P trazamos dos rectas cualesquiera Pm y Pn, que cortan a r y s respectivamente. bTrazamos el triángulo mnP.

A partir de un punto cualquiera m´ de r, trazamos el triángulo m´n´P´, cuyoslados son paralelos al triángulo construido anteriormente

La recta solución es P P´.

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B

El lugar geométrico de los puntosdel plano que equidistan de los

puntos A y B es la MEDIATRIZ DE AB

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CUYOS LADOS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO

r1.En primer lugar trazamos una

línea auxiliar que corte r y s

r2. La recta auxiliar forma cuatro ángulos

entre r y s.Trazamos las bisectrices de

dichos ángulos, que se cortarán en dos puntos A y BB

3. Unimos A y B y obtenemosla BISECTRIZ

TRAZADO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO MIXTILINEO

1. Trazamos paralelas a la recta r a unadistancia arbitraria d

2. Trazamos un radio cualquiera del arco s

3. Sobre dicho radio, y en la parte interna del arco, marcamos la distancia d tanta veces como

paralelas hemos hecho a r

4. Trazamos arcos de circunferencia con centro en Oy radio hasta cada una de las divisiones que hemoshecho con distancia d en la parte interna del arco.

Así, obtenemos los puntos 1, 2

5. Uniendo V con 1, 2... obtendremos la curva que equidista de r y s

6. Trazamos arcos a la misma distancia que losanteriores, pero ahora por la parte externa a s.

Así conseguimos los puntos 3 y 4

dTRAZADO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO MIXTILINEO

7. Unimos V con los puntos 3, 4... y obtenemos la segunda curva del resultado, que equidista de r y s

Cuantos más puntos hallemos, más podremosconcretar la curva resultado, que hemos de trazar

a mano o con plantilla de curvas

dTRAZADO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO MIXTILINEO

TRAZADO DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CURVILINEO

1. Aplicando el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior, realizamos

arcos internos y externos a r y s respectivamente, siempre a partir de

un radio auxiliar.Estos arcos se cortarán en los

puntos 1, 2 y 3

2. Uniendo el punto V con los puntos1, 2, 3, conseguimos la línea cuyos puntos

equidistan de los arcos r y s

CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON EL COMPÁS

Ángulo de 60º

Para hacer un ángulo de 60º nos basamos en la construicción de un triángulo equilátero. Los ángulos de un triángulo equilátero

miden 60º.Trazamos un arco arbitrario desde V, obteniendo el punto 1

60º60º

Ángulo de 60º

Trazamos un arco 1V y obtenemos el punto 2

Ángulo de 60º

Uniendo V2 obtenemos el lado del ángulode 60º que buscamos

Ángulo de 30º

Se comienza realizando un ángulo de 60ºcomo se ha visto anteriormente

Ángulo de 30º

Se realiza la bisectriz del ángulo 2V1,y ya tenemos el ángulo de 30º

Ángulo de 30º

Ángulo de 15º

Comenzamos por hacer un ángulo de 30,para ello hacemos la bisectriz al de 60 (2V1)

Ángulo de 15º

30º 15º

Ángulo de 90º

Ángulo de 75º

Se comienza realizando un ángulo de 90ºcomo se ha visto anteriormente

Ángulo de 75º

Se traza una recta V2 como si trazáramos un ángulo de 60º

Ángulo de 75º

El ángulo 5V2 es de 30º. Si le hallamos la mediatriz obtendremos 15º, que sumados

a los sesenta anteriores son 75º

Ángulo de 75º

2 75º35

El ángulo 5V2 es de 30º. Si le hallamos la mediatriz obtendremos 15º, que sumados

a los sesenta anteriores son 75º

Ángulo de 37º 30´

2 75º35

37º30´ son la mitad de 75º, por tantotrazamos un ángulo de 75º y le hacemos

la bisectriz

37º30´ son la mitad de 75º, por tantotrazamos un ángulo de 75º y le hacemos

la bisectriz

60º 37º30´75º3

Ya tenemos el ángulo de 37º30´

Ángulo de 45º

Se realiza un ángulo de 90º

Ángulo de 45º

Se realiza la bisectriz del ángulo 5V1 de 90º,y ya tenemos el ángulo de 45º

Ángulo de 105º

Se obtiene sumando 90 + 15,por tanto hacemos el de 75 y sumamos

los 15 que restan entre el de 90 y el de 75

Ángulo de 105º

Ángulo de 120º

Comenzamos como si trazáramos el ángulo de 60ºpero al otro lado del vértrice, en este caso a la izquierda.

Ángulo de 120º

2 30º

60º 90º

De esta menera tendremos 90 + 30 =120.

Ángulo de 120º

60º 120º

De esta menera tendremos 90 + 30 =120.

Ángulo de 135º

Trazamos un ángulo de 90º

Ángulo de 135º

Hallamos la bisectriz del ángulo recto de la izquierda,así conseguimos 45º que sumados a los 90º

anteriores suman 135º

135º45º

Ángulo de 135º

Hallamos la bisectriz del ángulo recto de la izquierda,así conseguimos 45º que sumados a los 90º

anteriores suman 135º

Ángulo de 150º

Trazamos un ángulo de 90º

Ángulo de 150º

Si a 90º le sumamos 60º por el método explicado anteriormente, tendremos 150º

Ángulo de 150º

Si a 90º le sumamos 60º por el método explicado anteriormente, tendremos 150º

150º60º

Ángulo de 180º

El ángulo de 180º es aquel cuyos lados estánen la misma línea recta. Son dos ángulos de 90º

consecutivos

Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB bajo un ángulo recto

El lugar geométrico de los puntosdel plano desde los que se ve el

segmento AB bajo un ángulo rectoes UN ARCO CAPAZ DE 90º,

es decir, UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN LA

MEDIATRIZ DE AB

ARCO CAPAZ

Determina el ARCO CAPAZ de 60º para el segmento AB

Arco Capaz de un segmento AB bajo un ángulo Ves el lugar geométrico de los puntos del plano desde

los cuales se ve el segmento bajo ese ángulo

ARCO CAPAZ

1. Trazamos un ángulo de 60ºutilizando como uno de sus lados el segmento AB y como vértice

el punto A

ARCO CAPAZ

2. Prolongamos el lado r del ángulo y utilizando de nuevo el vértice A, trazamos un ángulo recto sobre r

ARCO CAPAZ

3. Trazamos la mediatriz de AB, que corta a la recta anteriormente

trazada en el punto O, centrodel arco capaz que buscamos

ARCO CAPAZ

4. Trazamos el arco OA u OB,que es el arco capaz de 60º del

segmento AB

ARCO CAPAZ

5. Todos los ángulos que tracemoscon vértice en la circunferencia

y los lados pasen por A y B, medirán 60º

5. Todos los ángulos que tracemoscon vértice en la circunferencia

y los lados pasen por A y B, medirán 60º

ARCO CAPAZ

Construye un TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES sabiendo que LA HIPOTENUSA = 66mm

Al tratarse de un triángulo rectángulo, sabemosque el ángulo opuesto a la hipotenusa ha de ser

de 90º. Haciendo un arco capaz de 90º podremossituar la curva donde se encontrará el vértice

opuesto.Además, se trata de un triángulo isósceles, por tanto

los dos catetos serán iguales y tendrán su vértice común en la mediatriz de la hipotenusa

BA66 mm

APLICACIÓN DEL ARCO CAPAZ en la construcción de TRIÁNGULOS

66 mmBA M

El centro del arco capaz de 90º se encuentra siempre en el punto

medio de dicho segmento

BA M66 mm

cA M66 mm

Dados los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a, traza el triángulo ABC

Sobre una línea auxiliar, trazamos el segmento a, cuyos puntos

extremos serán B y C a

Bajo el segmento a y con vértice en B,

trazamos el ángulo A a

Trazamos la mediatriz del segmento BC

Trazamos sobre la recta r un ángulo recto con

vértice en B, que cortará a la mediatriz anterior en elpunto O, centro del arco

capaz buscado

Con centro en O, trazamosel arco capaz de radio OB

Trazamos el arco de centro Cy distancia el lado b,

que corta al arco capaz en elpunto A

Uniendo ABC tenemosel triángulo buscado

La segunda solución seríatrazando el arco de centro B

y distancia el lado b

APLICACIONES DEL ARCO CAPAZ

Determinar EL PUNTO V desde el que se VEN LOS SEGMENTOS AB y BC BAJOÁNGULOS DE 45º y 120º RESPECTIVAMENTE

120ºC

Determinar los ángulos de 75º cuyos vértices equidistan de las rectas a y b y los lados contengan, uno al punto P y el otro al punto Q. Todos los trazados deben quedar dentro del espacio destinado al ejercicio

a1. Para que los puntos que

buscamos equidisten de las rectas a y b, deben pertenecer

a la bisectriz de ambas, portanto aplicamos el procedimiento

de trazado de bisectriz en un ángulode vértice desconocido.

En primer lugar trazamos unalínea auxiliar que corte a y b

a2. La recta auxiliar forma cuatro ángulos

entre a y b.Trazamos las bisectrices de

dichos ángulos, que se cortarán en dos puntos C y DD

3. Unimos C y D y obtenemosla BISECTRIZ

P 75º

4. Unimos los puntos P y Q paraformar un segmento al que trazaremos

un arco capaz de 75º

5. Trazamos un arco de 75º el segmento PQ, prolongamos el lado nuevo del ángulo y trazamos una

perpendicular al mismo en el punto P.Donde esta perpendicular corte a la mediatriz de PQ tendremosel centro del arco capaz de 75º

6. Al trazar el arco capaz, éste cortará ala bisectriz en dos puntos solución:

V1 y V2.

Desde ambos, el segmento PQ se verábajo ángulos de 75º

En todo cuadrilátero inscrito, son iguales los ángulos que forman las diagonales con dos lados opuestos

Un cuadrilátero está INSCRITOen una circunferencia cuando sus

cuatro vértices están en ella

CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES EN UNA CIRCUNFERENCIA

CUADRILÁTEROS INSCRIPTIBLES EN UNA CIRCUNFERENCIA. Aplicacciones

Construir el trapecio isosceles inscrito en la circunferencia dada del que el segmento AC es una de sus diagonales y sabiendo que el ángulo que forman la otra diagonal BD

y el lado BC es de 22º 30´

En un trapecio isósceles, uno de los lados iguales forma con

una diagonal el mismo ángulo que el otro lado igual forma

con la otra diagonal.Esto permite hallar el

vértice D, ya que el lado ADformará con la diagonal AC ángulo de 22º30´ (mitad de

un ángulo de 45º)O

22º30´22º3

1. Trazamos un ángulo de22º30´sobre la diagonal AC

dada.Ya que el ángulo a trazar es

la mitad de un ángulo de 45º, podemos trazar un ángulo recto, practicarle la bisectriz y posterior-mente aplicamos la bisectriz al

ángulo de 45º

22º30´22º3

2. Al tratarse de un trapecio isósceles, las dos diagonales son

iguales, por tanto, si trazamos desde D un arco de radio la medida de la diagonal AC,

dicho arco cortará a la circunferencia en el punto B,único vértice que nos queda

por calcular.

22º30´22º3

gonal D

gonal A

3. Unimos ABCD y ya tenemosel trapecio que buscamos

22º30´22º3

Construir el cuadrilátero inscrito en la circunferencia dada siendo AB uno de sus lados y sabiendo que el ángulo que forma el lado AB con la diagonal AC es de 30º y el que forma

el lado BC con la diagonal BD es de 45º.Deducir, antes de efectuar los trazados, cuánto valdrá el ángulo del cuadriláterode vértice C

C = C =

C = 180º - A = 180º - ( 30º + 45º) = 105º En todo cuadrilátero inscrito, son iguales los ángulos que forman las diagonales

con dos lados opuestos

1. Sabiendo que AB forma 30º con la diagonal AC, determinamos C

CA lanogaid

2. Sabemos que el lado BC y la diagonal BD forman 45º, por tanto

sabemos que la diagonal ACy el lado AD forman también 45º

2. Sabemos que el lado BC y la diagonal BD forman 45º, por tanto

sabemos que la diagonal ACy el lado AD forman también 45º

CUARTA PROPORCIONAL A TRES SEGMENTOS AB, CD y EF

1. Sobre una línea auxiliar, trazamos los segmentos AB y CD de forma consecutiva

2. A partir de A, trazamos una línea auxiliarcon ángulo arbitrario, y sobre ella trazamos el segmento EF,

haciendo coincidir E con A

3. Unimos F con C

4. Trazamos una paralela a FC que pase por D.Así obtenemos el punto G

5. El segmento FG (x) es la cuarta proporcional delos segmentos dados

TERCERA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD

1. Sobre una recta auxiliar dibujamos el segmento AB

2. A continuación de AB trazamos el segmento CD, haciendocoincidir C y B en el mismo punto

3. Desde A, trazamos una recta auxiliar con ángulo arbitrario

CC´ D

4. Sobre dicha recta, volvemos a trazar el segmento CD (C´D´),en este caso haciendo coincidir C con A

CC´ D

5. Unimos D´ con C

6. Trazamos una paralela a D´C que pase por D, que cortará a la recta auxiliar en E

CC´ D

7. El segmento D´E (x) es tercera proporcional de los segmentos dados

MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD. TEOREMA DE LA ALTURA

1. Sobre una recta, dibujamos los segmentos AB - CD consecu-tivamente, unidos por uno de

sus extremos.El segmento resultante es AD

A DBCM

2. Hallamos la mediatriz de AD

A DBCM

3. Trazamos la semicircunfe-rencia de radio MA

4. Trazamos una perpendicular a AD desde el punto de unión de los dos segmentos C=B, que corta a la semicircunfe-

rencia en el punto E

5. La distancia EC = EB es laMEDIA PROPORCIONAL DE

AB - CD. Dicha distanciaes la altura del triángulo

rectángulo ADE

5. La distancia EC = EB es laMEDIA PROPORCIONAL DE

AB - CD. Dicha distanciaes la altura del triángulo

rectángulo ADE

TEOREMA DE LA ALTURA:La altura sobre la hipotenusaes media proporcional entre

los segmentos en que la divide

MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD. TEOREMA DEL CATETO

DC1. Sobre una recta, trazamos

el segmento AB

DC2. Dentro de AB, y haciendo

coincidir uno de sus extremos, dibujamos el segmento CD.

3. Hallamos la mediatrizde AB

4. Trazamos la semicircun-ferencia MA

5. Levantamos en D (extremo del segmento menor) una

perpendicular a AB que cortaa la semicircunferencia

en el punto E

media p

roporc

6. El segmento AE ( = CE) es la MEDIA PROPORCIONALde AB - CD. Es el cateto del

triángulo rectángulo ABE

media p

roporc

ional: CATETO

6. El segmento AE ( = CE) es la MEDIA PROPORCIONALde AB - CD. Es el cateto del

triángulo rectángulo ABE

TEOREMA DEL CATETO:Cada cateto es media proporcional

entre la hipotenusa y suproyección sobre ella

CEn este procedimiento se obtiene la media proporcionalsabiendo que la potencia de un punto respecto de una

circunferencia es igual al cuadrado de la tangente trazadadesde el punto a la circunferencia

MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS AB y CD. TERCER PROCEDIMIENTOBASADO EN LA POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

1. Dibujamos los segmentoa ay b como si fueramos a calcular

su diferencia, y hallamos la mediatriz de la diferencia entre ambos segmentos

MEDIA PROPORCIONAL A DOS SEGMENTOS a y b. TERCER PROCEDIMIENTOBASADO EN LA POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

2. Trazamos una circunferencia condiámetro d-b (centro en M)

3. Hallamos la tangente desde elextremo común de a y b

( A=C) a la circunferencia

El resultado es el segmento x

T1. TRAZADOS EN EL PLANO. Trazados fundamentales, Arco capaz, Media proporcional...T1. TRAZADOS EN EL PLANO. Trazados fundamentales, Arco capaz, Media proporcional...

RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA

RECTIFICACIÓN DE MEDIA CIRCUNFERENCIA

Triángulo inscritoen la circunferenciaO

Triángulo inscritoen la circunferencia

Cuadrado inscritoen la circunferenciaO

RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA COMPLETA

O1 2 3 4 5 6 7

Sección áurea del segmento AB y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB

1. Trazamos una perpendicular a AB desde uno de sus

extremos

2. Trazamos la mediatriz de AB

3. Se traza el arco BM, que corta a la primera perpendi-cular trazada en el punto C

4. Unimos A con C mediante una recta

D½ AB

5. Trazamos el arco CB, que corta a la recta

anteriormente trazadaen el punto D

D½ AB

BA aeruá nóicces

6. El segmento AD es laSECCIÓN ÁUREA de AB.

D½ AB

sección áurea AB

7. Abatimos AD sobre ABpara tener la sección áurea

sobre el segmento

D½ AB

sección áurea AB

8. Para calcular el segmento delcual es sección áurea AB, completamos el arco CBD

en una circunferencia

sección áurea AB

9. La recta que pasaba por A, Dy C, se prolonga y corta la

circunferencia trazada en elpunto E

sección áurea AB

segmento del que es sección áurea AB

10. El segmento AE es el segmento del cual es sección

áurea AB

AB y BCD son dos varillas articuladas. A es un punto fijo, B es una charnela y C se deslizapor la recta r. Hallar el lugar geométrico de los puntos B y D, cuando C, partiendo de A,

se aleja el máximo de él

Justifica las ecuaciones abajo expresadas:

= 1............................................................

1.............................................................

11..........................................................

Justifica las ecuaciones abajo expresadas:

= PERPENDICULAR ENTRE LADOS

1CUERDA AB

1 : CUERDA AC

11 : CONSECUENCIA de lo anterior

Aa ES LA BISECTRIZ DE 1 + 1

TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO 2. DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO

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