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Unidad No. 1: Funciones 1
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Armado y diseño de la unidad: Prof . Andrea Gandolf i
Página web: http://acgandolf i .w ix.com/matematica
Unidad No. 1
Funciones I
Nombre: ………………………….………………
5to. Año 2020
C a s a S a l e s i a n a
J u a n S e g u n d o F e r n á n d e z
Casa Salesiana León XIII 4to. Año Técnico
Unidad No. 1: Funciones 1
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CJSF 5to. Año 2020
Unidad No. 1: Funciones 1
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: / ( )f A B y f x
Nombre de la función
Relación entre las dos variables
Dominio
Codominio
Unidad 1: Funciones I
Repaso Funciones:
Una función “f” de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento del primer conjunto ( x A ) uno y solo un elemento del segundo conjunto ( y B ), llamado Imagen de x, y se escribe
Al decir uno y solo uno queremos decir que:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. (propiedad de existencia)
La imagen de cada elemento del primer conjunto debe ser única. ES decir ningún elemento del dominio debe tener más de una imagen. (propiedad de unicidad)
Dominio: Son todos los elementos del primer conjunto que tienen imagen . En el caso de una función es el primer conjunto.
Conjunto imagen: Es el formado por todos los elementos del segundo conjunto B que son imagen de algún elemento del dominio.
Análisis de funciones;
Raíces o ceros de una función 0C :
Los ceros o raíces de una función son aquellos
valores del dominio cuya imagen es cero.
Gráficamente: son todos los puntos donde la función corta al eje de abscisas
Analíticamente: los podemos calcular resolviendo la siguiente ecuación: 0f x .
Conjunto de positividad (negatividad) ;C C : Se denomina así al formado por
los puntos del dominio que tienen imagen mayor que cero (menor que cero).
Analíticamente los podemos calcular resolviendo las siguientes inecuaciones: 0f x
o 0f x
Intersección con el eje de ordenadas: Es el punto donde la función corta al eje de ordenadas.
Analíticamente se obtiene calculando la imagen de 0, es decir corresponde al par 0; 0f
Intervalos de crecimiento (decrecimiento) ;I I : Es un subconjunto del
dominio para el cual a mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores (menores) de la variable dependiente.
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1. Dados los siguientes gráficos de funciones, se pide su análisis: a.
Calcular analíticamente C0, C+ y C-
b.
Calcular analíticamente C0
c.
Calcular analíticamente C0
0
:
Im:
:
:
:
:
:
:
Dom
C
C
C
I
I
eje ord
0
:
Im:
:
:
:
:
:
:
Dom
C
C
C
I
I
eje ord
0
: Im:: :: :
: :
DomC CC II eje ord
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f
d.
Calcular analíticamente C0
Función lineal
Fórmula : /f f x mx b Forma Factorizada: : bf x m x
m
Pendiente: Gráficamente muestra la inclinación de la recta (si m es positiva, la recta crece; si m es negativa la recta decrece y si m es nula la recta se mantiene constante)
1 0
1 0
y y ym
x x x
Muestra el incremento de la variable dependiente ( y) , con respecto a un
incremento de la variable independiente ( x).
Ordenada al origen: b (indica la intersección con el eje de ordenadas)
Rectas paralelas: Si tienen igual pendiente.
Rectas perpendiculares: Si tiene sus pendientes opuestas e inversas. ( Forman un ángulo de 90º)
Intersección entre dos rectas: Sistema de ecuaciones
método de igualaciónmétodo de sumas y restasmétodo de sustituciónmétodo de determinantes
¿Cómo encontrar la ecuación de una recta dados dos puntos?
Si nos presentan un gráfico, tendremos que encontrar la pendiente y la ordenada al origen.
Para calcular la pendiente, determinamos cual es el incremento de un punto a otro.
x y
-3 2
1 3
x y
0
: Im:: :: :
: :
DomC CC II eje ord
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Por ahora la formula está dada por: Para calcular la ordenada al origen, (la imagen de cero) podemos generar una ecuación, reemplazando en
la fórmula algún “punto seguro”, por ejemplo ;
2. Hallen analíticamente la ecuación que corresponde a cada recta: a.
b.
3. Representen en un sistema de ejes, sin tabla de valores las siguientes funciones. (teniendo en cuenta la pendiente y la ordenada al origen) y completar analíticamente el conjunto de ceros y la forma factorizada:
a. : / ( ) 3 3g g x x
ImDom
0CCC
II
ejeod
Forma factorizada:
La ecuación de la recta buscada es:
f x
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b. : / ( ) 2 1h h x x
Función cuadrática
Eje de simetría:
21bx
2a 2x x
Vértice:
b bV ,f2a 2a
Raíces: 2
21b b 4acx ;x 2a
Intersección con el eje de ordenadas:
0,c
4. Indicar cuál de las siguientes fórmulas hay que usar la fórmula de Bhaskara y en cuáles no es necesario. Calcular las raíces y la concavidad:
a. 24 16f x x
b. 24 3f x x x
Forma Polinómica 2( )f x ax bx c
2( ) 2 3f x x x
Forma Factorizada 1 2( ) ( )f x a x x x x
( ) 1. 1 ( 3)f x x x
Forma Canónica
2( ) v vf x a x x y
2( ) 1 4f x x
ImDom
0CCC
II
ejeod
Forma factorizada:
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c. 3 2 4f x x x d. 22 1f x x
e. 22 53f x x x
f. 2 42f x x x
5. Grafica las siguientes funciones cuadráticas encontrando:
a. 2: / 2 53f f x x x
b. 2: / 42f f x x x
0:/ :
Im
CDom Eje deSVértice C
CI FFI FC
ejeod FP
0:/ :
Im
CDom Eje deSVértice C
CI FFI FC
ejeod FP
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3 ‐15 24 ‐12
Función Polinómica
Podemos ampliar los conceptos que se vieron para la función cuadrática . Dada la función: 1 2
1 2 1 0... :n nn n nP x a x a x a x a x a n a
Si la función tienen n raíces simples, podemos escribirla como:
1 2n nP x a x x x x x x
Si la función tienen j raíces múltiples, podemos escribirla como:
1 2
1 2kjk k
n nP x a x x x x x x
Si una raíz es de multiplicidad ……………….. , la gráfica de la función llega allí, roza y sigue para el
mismo lado.
Si una raíz es de multiplicidad ……………….., la gráfica cruza allí al eje de abscisas.
Hallar la expresión factorizada de 3 2p x 3x 15x 24x 12
Para llegar a la expresión factorizada, utilizaremos la teorema de Gauss, la regla de Ruffini y la fórmula de Bhaskara para factorizar el polinomio.
Regla de Gauss: Sea P(x) un polinomio de grado n con todos sus coeficientes enteros.
Si el número racional p
q, escrito de manera irreducible, es raíz de P(x); siendo “p”
divisores del término independiente y q divisores del coeficiente principal.
p 12, 6, 4, 3, 2, 1
q 3, 1
Las posibles raíces racionales son: 4 2 1p 4, 12, 2, 6, , 4, 1, 3, ,3 3 3
Buscamos( utilizando el Teorema del Resto), las raíces del polinomio.
3 2p 3 15 24 12 3 15 241 1 1 12 54 x 1 no es una ra1 íz
3 2p 3 15 24 12 3 15 24 12 01 1 1 1 x 1 es una raíz
Aplicamos la regla de Ruffini:
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Aplicamos la fórmula resolvente o fórmula de Bhaskara, para encontrar las otras raíces.
Por lo tanto las raíces son: x y x= (raíz doble)
La expresión factorizada es:
6. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas indicando intersecciones con los ejes coordenados, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de ellas y forma factorizada.
a. 22T u 2u u 3 u 2
b. 32M r 2r r 2 r 1
Función Racional
Se llama función racional a la formada por la división de dos polinomios
a x
p : A /p x con b x 0b x
P x 3. x x
0
Im
:
CDomC
ejeod CGrado
0
Im
:
CDomC
ejeod CGrado
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ImDom
Dentro de esta familia de funciones se encuentra las Funciones Homográficas , que se las define como división de dos funciones lineales.
7. Indicar cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones homográficas y/o racionales:
a. 3f x x b.
2
1
x
f xx
c. 1xf x
x
d.
3 11
xf xx
e.
2
3( )2 3
xf xx x
f.
31
xf xx
g. 1
xf xe h.
21( ) 2 32
f x x x i.
12
f x
Función Homográfica
E l área de un rec tángu lo es de 1 m2 ¿Cuá les pueden ser las med idas de sus lados?
La s igu iente tab la muestra a lgunos va lores pos ib les para las med idas de la base y la a l tura :
A l tura (h) Base (B) Área
1/4
1/3
1/2
1
2
3
4
Llamaremos función de proporcionalidad inversa a la función cuya fórmula es kf xx
con k es constante y 0k .
La re lac ión entre la base y la a l tura es una relación de ……………………………… .………… ………………… . .
En este caso , la constante de proporc iona l idad es………… .
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Analicemos este tipo de funciones: 1h x
x
Dominio: Conjunto Imagen:
0C
C
C
El gráfico de este tipo se llama:
Asíntotas
Asíntota horizontal: Es la recta horizontal y k si a medida que aumenta x , f x se
acerca a k. Asíntota Vertical ; Es la recta vertical x k si fk Dom y a medida que x toma
valores cada vez más cercanos a k , f x toma valores cada vez mayores en valor absoluto.
¿Cómo será el gráfico de la función, cuya fórmula
sea 1g xx
?:
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Desplazamientos de la función cuya fórmula es 1h xx
8. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones homográficas de la forma:
1f x
x a, completar la tabla y sacar conclusiones.
9. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones homográficas, completar la tabla y sacar conclusiones.
Completar la siguiente tabla: Si tenemos una función de la forma,
Dominio
.AV
Conjunto Imagen
.AH
¿Crece o decrece?
1
2f x
x
1
3g x
x
12 1
i xx
15
i xx
1 3
2f x
x
2
3 52
xf xx
1 1
2 2h x
x
24
2 4xh xx
Dominio
.AV
Conjunto Imagen
.AH
Dominio .AV .AH Conjunto Imagen
ax bf xcx d
1g x p
cx d
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Dada la siguiente función homográfica la función cuya fórmula es
3 12 1
xf xx
Calcular el dominio:
Calcular:
100000f 100000f
¿Cuál es su asíntota vertical?
¿Cuál es su AH?
Calcular analíticamente el conjunto de positividad:
Graficar la función con el y verificar la solución.
Analicemos este tipo de funciones
1: / 13
f A f xx
Dom
0C
Calcular analíticamente el conjunto de negatividad:
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
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10. Indicar las asíntotas de las siguientes fórmulas de funciones Homográficas:
a.
1
4f x
x b.
3 4f xx
. :AV
. :AH
. :AV
. :AH
c. 4 3
2f x
x d.
2 3
2f t
t
. :AV
. :AH
. :AV
. :AH
e.
5
2 1uf u
u f.
3
3pf p
p
. :AV . :AH . :AV . :AH
11. Realicen los gráficos de las siguientes fórmulas de funciones homográficas. Hallar analíticamente intersecciones con los ejes y su dominio.
a. 4 3
2f x
x
b.
4 52 1xf xx
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
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i. Calcular analíticamente el conjunto de positividad:
c.
3 6
2xf x
x
i. Calcular analíticamente el conjunto de positividad:
d. 41xf x
x
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
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i. Calcular analíticamente el conjunto de negatividad
e.
2 3
4xf x
x
i. Calcular analíticamente el conjunto de positividad
f.
1
1xf x
x
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
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i. Calcular analíticamente el conjunto de negatividad
12. ¿Es posible encontrar la fórmula de una función homográfica que tenga más de una asíntota vertical?
13. ¿Es posible encontrar la fórmula de una función racional que tenga más de una asíntota vertical?
14. ¿Es posible dividir dos funciones lineales y que su grafico de cómo resultado otra función lineal?
15. ¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función racional cuya fórmula es 2
23 10
6x xg xx x
?
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16. ¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función racional cuya fórmula es 2 6
3x xj x
x
?
17. Grafiquen las siguientes funciones y realicen su análisis.
a. 2 2 3: / ( )
1x xf A f x
x
b.
2
3: / ( )2 3
xf A f xx x
ImDom
0CCC
II
ejeod
ImDom
0CCC
II
ejeod
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c. 3 24 6: / ( )
2x x xf A f x
x
d.
2
1: / ( )2
xf A f xx x
Función Módulo
El valor absoluto o módulo de un número real x, se simboliza por x , y se define de la siguiente manera:
0:
0x si x
x x x si x
x h(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
ImDom
0CCC
II
ejeod
ImDom
0CCC
II
ejeod
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18. Escribe en el comando la siguiente fórmula f x a x b c :
a. Analiza en el gráfico que pasa cuando se varia los valores de A, B y C . ¿Qué representa en el gráfico?
19. Grafica las siguientes funciones con el Geogebra y completa:
Escribir las funciones del ejercicio anterior como funciones partidas:
f x
g x
h x
i x
j x
k x
Hallar analíticamente 0C de la función 3 2 1k x x
A B C
Vértice de la función
Imagen
¿En qué punto del dominio cambia el
crecimiento?
Escribir la ecuación de la rectas
2f x x
2 4i x x
2 3j x x
3 2 1k x x
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Hallar analíticamente C de la función 3 2 1k x x
Hallar analíticamente C de la función 3 2 1k x x
20. Las siguientes funciones son desplazamientos de : /f f x x , se pide:
i. Grafíquenlas,
ii. Escribir como funciones partidas.
iii. Análisis: conjunto imagen, 0C (analíticamente), ,C C y ,I I
a. : / 2f f x x
f x
0CCCII
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b. : / 2 1f f x x
c. : / 3. 2 1f f x x
f x
f x
Funciones Partidas o por tramos
Una función partida o por tramos es una función tal que para definirla se necesitan distintas fórmulas para distintos subconjuntos del dominio
Ejemplo: 2
3 2: / 4 2 1
1 2 12
x si xf A f x si x
x x si x
¿Cuál es el dominio de la función?
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21. Dada la siguiente función
2
2 2 1
: / 4 1 4
6 4
x si x
h h x x x si x
si x
.
a. Calculen 5h b. Calculen 3 h c. Calculen 2 h
d. Calculen 1 h e. Calculen 6 h f. Calculen 4 h
22. Calculen el dominio y el conjunto imagen de : de las siguientes funciones partidas
a. b.
c.
d.
ImDom
ImDom
ImDom
ImDom
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23. Graficar las siguientes funciones Hallar dominio, conjunto imagen
a.
3 5: / ( )
7 5
x xf A f x
x x
b.
1 0: / ( )
2 0x
f A f x x x
c.
2 1
: / ( ) 2 11
x xf A f x x x
x
d.
2
2: / ( )
2
x xf A f x
x x
e.
2 3 2: / ( ) 2 2 0
1 0
x xf A f x x
x xx
f.
2 3 1: / 1 2 1 2
1 22
x si xf A f x x si x
x si xx
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Repaso para la evaluación
1. Dadas las siguientes funciones:
a.
2: / ( ) 31
f A f xx
b.
2 1: / ( )
3xf A f x
x
i. Calcular analíticamente C
ImDom
0CCC
II
ejeod
ImDom
0CCC
II
ejeod
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c.
1 2: /
5 1xf A f x
x
i. Calcular analíticamente C
d.
2
2: /4
xf A f xx
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
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e.
2
1: /2 1
xf A f xx x
f. 2 2 3: / ( )
1x xf A f x
x
g.
3 22 5 4 3: / ( )1
x x xf A f xx
ImDom
0CCC
II
ejeod
ImDom
0CCC
II
ejeod
0
Im. :. :
Dom
AVAHCCCII
ejeod
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2. Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen.
a. El dominio de la función cuya fórmula es
4 22 3
f xx
es 2dom
b. El gráfico de la función
2
3: / ( )5 6
xf A f xx x
es una recta con un punto abierto en
3; 1 .
c. El conjunto de ceros de la función cuya fórmula es
3 4
3 2f x
xes
porque su
: 0AH y
3. Dado el siguiente gráfico de la siguiente función : a. Indicar la fórmula de la función módulo
b. Indicar la fórmula como función partida
c. Calcular analíticamente las raíces de la función:
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4. Graficar la siguiente función: : / 3 2 1g g x x y Calcular analíticamente las raíces de la
función:
5. Dado el siguiente gráfico, completar:
a. Escribir su fórmula, justificar:
: / ( )f A f x
b. Escribir su fórmula, justificar:
: / ( )f A f x
ImDom
Im
::
Dom
AVAH
0CCC
II
ejeod
ImDom
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6. Dadas las siguientes funciones, se pide:
a.
2 11
: / 2 1 1 13 1
x si xx
f A f x x si xsi x
Graficar y completar:
b.
2
3 22
: / 2 3 2 12 1 1
x si xx
f A f x x x si xx si x
Graficar y completar:
Im
::
Dom
AVAH
0CCC
II
ejeod
2
1
0
fff
Im
::
Dom
AVAH
0CCC
II
ejeod
2
1
0
fff
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c. 2
3 0: / 4 3 0 3
33
si xf A f x x x si x
x si xx
Im
::
Dom
AVAH
0CCC
II
ejeod