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- UNIVERSIDAD DE PANAM FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA COLOQUIOS MATEMTICOS OPERADORES EN
ESPACIOS DE HILBERT. REPRESENTACION MATRICIAL EXPOSITORES PROFESOR
JORGE E. HERNNDEZ, Ph.D. ABRIL, 2013
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- RESUMEN En el presente trabajo presentamos los proyectores
(ortogonales) como una aplicacin del problema de la mejor
aproximacin y estudiamos sus propiedades fundamentales. Tambin
presentamos un teorema que caracteriza los proyectores.
Posteriormente utilizamos las propiedades de los proyectores para
descomponer un espacio de Hilbert como suma directa de un
subespacio cerrado y su complemento ortogonal. Basados en la
descomposicin representamos a los operadores lineales acotados
sobre H mediante una matriz y utilizamos esta representacin para
estudiar, desde un ngulo diferente, los operadores lineales
positivos.
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- Dado un espacio con producto interno X, un subconjunto no vacio
K de X y. Existir un tal que ?
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- A los elementos de este conjunto los llamaremos una mejor
aproximacin a x por elementos de K y a la funcin la llamaremos la
proyeccin (mtrica) sobre K.
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- Si para todo, entonces diremos que K es un conjunto proximal.
Si es un conjunto unitario para todo, entonces diremos que K es un
conjunto de Chebyshev. En este caso se puede considerar a como una
funcin univaluada donde es el nico elemento del conjunto
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- Preguntas: Existencia: Cules conjuntos son proximales?
Unicidad: Cules conjuntos son Chebyshev? Caracterizacin de la mejor
aproximacin: Cmo se reconocen? Error de la mejor aproximacin: Cmo
se calcula el error de la aproximacin d(x, K). Calcular la mejor
aproximacin. Continuidad de la mejor aproximacin.
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- Teorema (Existencia y Unicidad): Sean X un espacio con producto
interno y K un subconjunto no vaco convexo y completo X. Entonces,
para cada existe un nico tal que es decir K es un conjunto de
Chebyshev. Teorema (Caracterizacin): Sean X un espacio con producto
interno, K un subespacio completo de X y Entonces es decir,, para
todo
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- Corolario: Sean H un espacio de Hilbert y Y un subespacio
cerrado de H. Entonces Y es un conjunto de Chebyshev y
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- Del corolario anterior se tiene que si Y es un subespacio
cerrado de H, entonces para todo se tiene que x = y + z donde.
Luego como, se tiene que y si tal que entonces. Adems
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- Ejemplo: Sea Y un subespacio de dimensin finita n del espacio
de Hilbert H. Por el proceso de ortonormalizacin de Gram-Schmidt
podemos encontrar una base ortonormal de Y. Luego para cada se
tiene que Como para todo i = 1,..., n.
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- de donde Por consiguiente,
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- es lineal. Es un operador lineal acotado y
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- para todo ; o sea que o sea que es idempotente. o sea que es un
operador auto-adjunto.
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- Definicin: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal
acotado. P es una proyeccin (o una proyeccin ortogonal) si P es
autoadjunto e idempotente; o sea que Observaciones: 1. Si Y es un
subespacio cerrado de H, entonces son operadores proyecciones. 2.
Si P es una proyeccin sobre H, entonces Ran(P) es un subespacio
cerrado de H.
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- Teorema: Sean H un espacio de Hilbert y una proyeccin, entonces
Demostracin: Ker(P) es un subespacio cerrado de H. Como Ran(P) es
cerrado, As pues
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- Teorema: Sea una proyeccin. Entonces donde Y = Ran(P).
Demostracin: Sea entonces x = y + z con De donde P(x) = P(y) + P(z)
= P(y) = y. As pues
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- Definicin: Sean H un espacio de Hilbert y un operador lineal
acotado auto-adjunto T es un operador positivo si para todo En este
caso escribimos En base a la definicin anterior podemos definir una
relacin de orden parcial en el conjunto de los operadores lineales
acotados y auto-adjuntos definidos en un espacio de Hilbert H como
sigue
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- Se prueba sin mayor dificultad que si H es un espacio de
Hilbert complejo, entonces es reflexiva, antisimtrica y transitiva.
Teorema: Sea H un espacio de Hilbert y Y un subespacio cerrado de
H. Entonces es un operador positivo. para todo
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- Representacin Matricial de Operadores Lineales Acotados en
Espacios de Hilbert. Denotemos por el conjunto de los operadores
lineales acotados positivos sobre el espacio de Hilbert H. Sea Y un
subespacio cerrado de H. Entonces Denotemos por la proyeccin sobre
Y y sea T un operador lineal acotado sobre H. Entonces
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- PTP + PT(I P) + (I P) TP + (I P) T (I P) = PT + PT PTP+TP PTP +
T TP PT + PTP = T o sea que T= PTP + PT(I P) + (I P) TP + (I P) T
(I P)
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- Denotemos
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- Sea entonces Por lo tanto,
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- As podemos hacer la identificacin Si entonces Por lo tanto
podemos escribir donde
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- Note adems que para todo. para todo. Por consiguiente
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- Si entonces y por lo tanto donde
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- Si entonces donde
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- Sea ahora un operador idempotente tal que T(H) = Y. Entonces
T(y) = y para todo Por lo tanto, As pues donde
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- entonces
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- Si y a, d son operadores invertibles, entonces Por lo tanto, A
es un operador invertible y
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- Si y a, d son operadores invertibles, entonces Por lo tanto A
es un operador invertible y
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- En general, si se prueba que si, los correspondientes
operadores son invertibles, entonces En efecto,
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- Sea un operador lineal positivo en un espacio de Hilbert
complejo H. Entonces un operador auto-adjunto es llamado raz
cuadrada de T si Si adems entonces A es llamado la raz cuadrada
positiva de T y lo denotamos por
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- Ejemplo: T es lineal T es un OLA,
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- Sea Luego Y es un subespacio cerrado de y Note que
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- Como, se tiene que Si entonces As pues
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- Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador
lineal acotado positivo. Entonces T posee una nica raz cuadrada
positiva A. Adems si es tal que LT = TL, entonces LA = AL.
Propiedades: Sea H un espacio de Hilbert complejo y un operador
positivo. Entonces 1. 2. 3.
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- Teorema: Sea H un espacio de Hilbert complejo y Entonces i. ii.
iii. R(T) es cerrado s y slo s
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- Teorema (Teorema de Douglas): Sea H un espacio de Hilbert
complejo y sean Los siguientes enunciados son equivalentes a.
Existe un tal que AD = B b. c. Existe un nmero real positivo tal
que Si una de estas condiciones es satisfecha, entonces existe un
nico operador tal que AX = B; N(X) = N(B) y Ms an X es llamado la
solucin reducida de la ecuacin AX = B.
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- Teorema: Sean H un espacio de Hilbert complejo y con
representacin matricial entonces i. Ii.
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- Sean H un espacio de Hilbert complejo y. Definamos la funcin
Propiedades:
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- es una forma sesquilineal acotada y no negativa.
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- no es un producto interno sobre H. Como A es inyectivo es
inyectivo. Si A es inyectivo, entonces es un producto interno sobre
H.
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- Teorema: Sea invertible. Entonces es un producto interno
equivalente a de donde Como A es invertible,
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- Definicin: Sean y,. El A-ortogonal de S se denota por y se
define por Propiedades: 1. 2. Si Y es un subespacio cerrado de H,
entonces
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- Definicin: Sean y. Un operador es un A-adjunto de T si para
todo Propiedades: Sean y 1. W es un A-adjunto de T 2. Si A es
invertible, entonces todo operador posee un A-adjunto
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- Definicin: Sean y. T es A-autoadjunto si Definicin: Sean y Z un
subespacio cerrado de H. El par (A, Z) es compatible si, donde
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- Problema: Sean M, N subespacios cerrados de H. 1. 2. 3.
Sea
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- Analisis Matricial II Operadores en Espacios de Hilbert Matrix
Analysis Generalized Orthogonal Projections and Shorted Operators
Oblique Projections and Abstract Spliner Soluciones Reducidas de
Ecuaciones Tipo Douglas y Proyecciones Oblicuas BIBLIOGRAFA [1].
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Espacios de Hilbert. Espaa, 2008. [2]. Bhatia, R.: Matrix Analysis,
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