Universidad Tecnológica de la Selva

Desarrollo de Habilidades del Pensamiento Matemático

TEORÍA DE CONJUNTOS

UNIDAD I

INTRODUCCIÓN RELACION DE PERTENENCIA DETERMINACION DE CONJUNTOS DIAGRAMAS DE VENN CONJUNTOS ESPECIALES RELACIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS UNION DE CONJUNTOS INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS DIFERENCIA DE CONJUNTOS DIFERENCIA SIMÉTRICA COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO PROBLEMAS

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido.

Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.

Ejemplo:

En la figura adjunta tienes un Conjunto de personas

NOTACIÓN

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante comas o por punto y coma.

Ejemplo:

El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:

L={ a, b, c, …, x, y, z}

Ejemplo:

A= {a,b,c,d,e} su cardinal n(A)=

B= {x,x,x,y,y,z} su cardinal n(B)=

En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:El conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente será { x, y, z }.

Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).

5

3

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo:

Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}

2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M

5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M

I) POR EXTENSIÓN

Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.

A = { 6,8,10,12,14,16,18 }

B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10.

B = {-9,-7,-5,-3,-1 }

II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:

se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

P = { los números dígitos }

Otra forma de escribir es: P = { x / x es un dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “

Ejemplo:

Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.

Por Extensión :

D = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

Por Comprensión :

D = { x | x es un día de la semana }

Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.

A MT

7

23

6

9

aei

o

u (1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)84

1 5

Números Naturales ( N ) N={1,2,3,4,5,....}

Números Enteros ( Z ) Z={…,-2,-1,0,1,2,....}

Números Racionales (Q) Q={…,-2,-1, ,0, , , 1, ,2,....}

Números Irracionales ( I ) I={…; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )R={...;-2;-1;0;1 ; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( C )C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 3

12

N

ZQ

I

RC

EJEMPLOS:

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

A ) 2P x N /x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0

2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

RESPUESTAS

INDICE

𝑇={34

}

B={}

76

556

A B

El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

B

AUB AUB

76

556

A B

El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

A B x /x A x B

Ejemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

AB AB=B

B

AB=Φ

76

556

A B

El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

76

556

A B

El conjunto “B menos A” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

B A

B A x /x B x A

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

B A 8;9

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

Si A y B son conjuntos disjuntos

U

U

U

A

A

A B

B

A - B A - B

B

A - B=A

INDICE

76

556

A B

El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).

A B

A B x /x (A B) x (B A)

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4 8;9

También es correcto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A BA-B B-A

A B

Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.

Notación: A’ o AC

Ejemplo:

U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y

Simbólicamente: A ' x /x U x A

A’ = U - A

12 3

45

6

78

9

U AA

A’={2;4;6,8}

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO1. (A’)’=A

2. A U A’=U

3. AA’=Φ

4. U’=Φ

5. Φ’=U

INDICE

27

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.

A × B = { (x,y) / x A ^ y B }

28

Producto Cartesiano Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }

Note que A tiene 3 elementos

B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

29

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { oro, copa, basto, espada }

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

A x B = { (oro, 1), (oro,2),…,(oro,12), (copa,1), (copa,2), …,(copa,12), …,(espada,12) }

Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

30

Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

31

Producto CartesianoRepresentación en forma de Diagrama Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

32

Producto Cartesiano

Ejemplo:

A = { , } B = { , , }

33

Gráfico cartesiano Dados los conjuntos

A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 }

el gráfico cartesiano de A x B es:

La primera componente de cada

elemento del producto cartesiano es la

abscisa

La segunda componente de cada

elemento del producto cartesiano es la

ordenada

34

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R –1 x 1 } B = R

35

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x R 2 x < 5 }B = { x / x R 1 < x 3}