modelado matemático

GOLPE DE ARIETE: SIMULACIN DEL TRANSITORIO AMORTIGUADO

Pablo G. Provenzanoa, Francisco J. Baronia y Roberto J. Aguerrea,b,c

aDepartamento de Tecnologa, Universidad Nacional de Lujn, (6700) Lujn, Buenos Aires, Argentina E-mail: [email protected]

bFacultad de Agronoma y Ciencias Agroalimentarias, Universidad de Morn, (CONICET)

cDepartamento de Ciencias Bsicas y Experimentales, Universidad Nacional del Noroeste de la Provincia de Buenos Aires, (6000) Junn, Buenos Aires, Argentina

Palabras Clave: Golpe de Ariete, oscilacin, Mtodo de las Caractersticas, amortiguacin.

oscilaciones, ms o menos importantes, de la presin del fluido y de su velocidad como consecuencia de un cambio en las condiciones de flujo provocado por una perturbacin (accidental o programada) aplicada al sistema. Estas oscilaciones producen deterioro en conducciones y accesorios de la instalacin, dislocaciones y ruptura de conductos. Las variaciones de presin pueden ser tan amplias que invalidan las suposiciones de homogeneidad y continuidad del fluido.

La produccin en investigacin, en las ltimas cuatro dcadas, indica que los esfuerzos por mejorar la prediccin del comportamiento de la presin transiente han sido puestos en la descripcin de la atenuacin del fenmeno. La bibliografa muestra que las simulaciones realizadas presentan discrepancias acumulativas tanto en amplitud como en fase.

En este trabajo se ha realizado el anlisis del fenmeno en un sistema simple reservorio-conduccin horizontalvlvula. Se ha modificado el modelo de Golpe de Ariete, introduciendo en el sistema de ecuaciones diferenciales hiperblicas que lo representan, un trmino que incluye todos los efectos disipativos de interaccin con las paredes de la conduccin.

Se introdujo en el algoritmo la ley de cierre de vlvula como condicin de contorno dinmica (extremo donde se emplaza la vlvula) y una condicin de contorno esttica, en el extremo opuesto (embocadura de conexin al tanque). La ley de cierre se ha modelado mediante una funcin potencial que relaciona el tiempo de cierre con la velocidad del fluido y permite simular el decrecimiento de la velocidad de flujo durante el cierre de vlvula para una amplia gama de casos. Las curvas resultantes se discretizaron obtenindose as poligonales que se utilizaron como condicin de contorno para obtener las soluciones correspondientes a cada caso.

Se ha resuelto el modelo mediante el Mtodo de las Caractersticas, lo que ha permitido predecir presiones y velocidades instantneas del transitorio. Tambin se ha obtenido la solucin analtica del mismo modelo aplicando la Transformada de LaplaceMelln y los postulados del Teorema de Cauchy. Los resultados de la simulacin se han contrastado utilizando registros experimentales de laboratorio, observndose una buena concordancia tanto en fase como en amplitud entre las ondas de presin experimentales y predichas.

Resumen. El Golpe de Ariete es un fenmeno conocido en todo sistema fluidodinmico por las

Mecnica Computacional Vol XXX, pgs. 485-496 (artculo completo)Oscar Mller, Javier W. Signorelli, Mario A. Storti (Eds.)

Rosario, Argentina, 1-4 Noviembre 2011

Copyright 2011 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

1 INTRODUCCION La extensa bibliografa que comprende los ltimos 50 aos indica que los esfuerzos en el

modelado del Golpe de Ariete han sido puestos mayoritariamente en la descripcin de la atenuacin del transitorio. La friccin es la principal causa de la atenuacin del fenmeno y el grado de amortiguamiento est en relacin directa con la magnitud de los esfuerzos cortantes. Aunque se conocen intentos anteriores (Schnyder, 1929; Bergeron, 1932; Angus, 1935; Wood, 1938) el modelo de Zielke (1968), merece especial mencin puesto que permite una descripcin acabada del fenmeno en rgimen laminar: introduce la friccin en el modelo mediante un trmino que se compone del estacionario ms uno agregado que integra los cambios de velocidad en instantes pasados incorporando una funcin de peso que retiene cada variacin de velocidad del flujo para emplearla en la determinacin de sucesivos valores de esa variable. Sin embargo, en rgimen turbulento no se ha llegado an a la obtencin de una solucin acabada como en el caso laminar puesto que el trmino de friccin es no lineal en este rgimen, la friccin depende del cuadrado de la velocidad de flujo (Mataix Plana, 1983; Streeter y Wylie, 1988; Murga y Molina, 1997; Bergant y Tijjseling, 2001).

El modelo matemtico de Golpe de Ariete est constituido por un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden, que se obtienen a partir de las expresiones de Continuidad y de Movimiento aplicadas a un elemento diferencial de flujo (Lai, 1961; Streeter y Wylie, 1988; Wylie y Streeter, 1993). Las ecuaciones que definen la propagacin de transitorios de presin y sobrepresiones en un sistema de tuberas pertenecen a este grupo. La resolucin de este tipo de ecuaciones puede ser abordada en forma analtica mediante aplicacin de herramientas como la Transformada de Laplace, e incluyendo la ley de cierre de vlvula como condicin de contorno, logrando un buen ajuste en la amplitud y fase de la onda (Provenzano y col, 2011), no obstante el paso de antitransformacin para la obtencin del resultado en el campo temporal es un proceso complejo. Los mtodos numricos permiten resolver sistemas no lineales con razonable grado de aproximacin.

El Mtodo de las Caractersticas es una tcnica particularmente apropiada para la solucin numrica de ecuaciones diferenciales parciales hiperblicas (Abbott, 1966). El trmino que introduce la friccin en el modelo ha sido, tradicionalmente, tomado del trmino de friccin no lineal propio del sistema en rgimen estacionario (modelo de la Teora Clsica). Su resolucin, aplicando el Mtodo de las Caractersticas, da resultados aceptables en transientes suaves pero se observan discrepancias en la atenuacin y fase en transientes rpidos. El primer pico de presin es descripto correctamente pero se observan discrepancias en amplitud de onda y en fase de los picos sucesivos (Streeter y Wylie, 1988; Bergant y Simpson, 2001; Bergant y Tijsseling, 2001). Este modelo es el ms difundido, emplendose en clculos de ingeniera y en paquetes de software.

Ms reciente, el modelo de Friccin Transiente (Brunone y col., 2000) para rgimen moderadamente turbulento incorpora un segundo trmino sumado al estacionario de friccin bajo la dependencia de un factor k obtenido empricamente por prueba y error o analticamente mediante el coeficiente de decaimiento de Vardy (desarrollado para conducciones lisas y suaves) mejorando notablemente el ajuste en la amortiguacin del fenmeno (Brunone y col., 2000; Bergant y col., 2001; Bergant y Simpson, 2001).

Para todos estos modelos de ecuaciones del tipo hiperblico el Mtodo de las Caractersticas es una tcnica sugerida. Ezekial y Paynter (1957), Abbott (1966) y Streeter ( 1967, 1969, 1972) con distintos colaboradores han encontrado til trabajar con esta tcnica. En Europa, Fox (1968), Evangelisti (1969) y Swaffield (1970) han sido los precursores en el uso de este Mtodo aplicado a distintos casos.

En la actualidad, paralelamente, se est incursionando en el desarrollo y prueba de

P. PROVENZANO, F. BARONI, R. AGUERRE486


herramientas como el Mtodo de los Volmenes Finitos. El objetivo de este trabajo es: Evaluar la performance del modelo de Friccin Transiente comparando con el modelo

tradicional o de la Teora Clsica, de uso comn en aplicaciones hidrulicas. Evaluar las cualidades de los mtodos de resolucin: de las Caractersticas y Analtico en

la descripcin del Golpe de Ariete.

2 FORMULACIN DEL MODELO Se trabaj en el modelado del fenmeno en un sistema simple: tanque de abastecimiento-

conducto-vlvula. El anlisis del Golpe de Ariete en sistemas presurizados se realiza bajo los siguientes supuestos: - El flujo en la conduccin es unidimensional, con velocidad y presin uniformes en la

seccin. - La conduccin esta llena y permanece en esa condicin durante el transitorio. - No se produce separacin de columna durante el transitorio, es decir, la presin es mayor

que la presin de vapor del lquido en todo instante. - La cantidad de gas libre en el fluido es pequea, por lo que la velocidad de propagacin de

la onda puede considerarse constante. - El lquido y las paredes de la conduccin se comportan como linealmente elsticas. - Los cambios de presin debidos a la interaccin con la estructura son pequeos comparados

con la onda de presin del golpe de ariete.

2.1 Modelos de Golpe de Ariete a) Teora Clsica:

Partiendo de la ecuacin de Continuidad

2

1 .sin 0a V H HL V Vg x x t

= + + +

= (1a)

y de la ecuacin de Cantidad de Movimiento

2 02fV VH V VL g V

x x t D

= + + + =

(1b)

Donde a es celeridad de onda, V es la velocidad del fluido, H es la altura piezomtrica, g es la aceleracin de la gravedad, x es la coordenada axial y t es el tiempo. b) Friccin Transiente: Se utiliza la ecuacin (1a) junto con la ecuacin de Cantidad de Movimiento modificada:

( )2 0

u

q

f

H V V k D A V VL g V f a sign Vx x t V V t t

= + + + + + =

(2)

Donde fq es el componente del trmino de friccin tomado del estado estacionario y fu es el correspondiente al estado transitorio, donde se contabilizan con la aceleracin convectiva instantnea y la aceleracin local instantnea del fluido en los instantes previos. La funcin

Mecnica Computacional Vol XXX, pgs. 485-496 (2011) 487


sign(V) = V/|V| ha sido introducida en el modelo por Vitkowsky, donde sign(V) = +1 para V 0 y 1 para V < 0 (Vitkowsky y col., 2000). Donde 2k C= , siendo C = 0.0476 para flujo laminar, y ( )0,05log 14,3 ReC = 7.41 Re para flujo turbulento

Cuando se asigna valor cero al factor k, se anula el trmino fu y solo subsiste el trmino fq obtenindose as la expresin del modelo de la Teora Clsica.

2.2 Adecuacin del Modelo La obtencin de los valores de H(t) se logra al integrar las ecuaciones del modelo. Para tal

fin, se aplic el Mtodo de las Caractersticas. Se trabaj con el modelo de Friccin Transiente, sistema de ecuaciones (1a) y (2): La combinacin lineal de las ecuaciones (1a) y (1b) tambin tiene la misma solucin que dichas ecuaciones, luego . 1 2L L L= +

( )2

sin 02

V Va V V H H H V V k D A V VL V g V f a sign Vg x x t x x t D V V t t

= + + + + + + + + + =

(3)

que pueden reordenarse obteniendo:

( ) ( )2

sin 0 2

V VH H a V V k D A V VL V g V V f a sign Vx t g x t D V V t t

= + + + + + + + + + =

(4)

Donde:

xV gt

+ =

2a xVg t

+ =

(5)

y se reemplazan esos factores por x t en la ecuacin (4), sta puede reescribirse en funcin de las derivadas totales:

( )sin 0 2

V VdH dV k D A V VL V f a sign Vd t d t D V V t t

= + + + + + = (6)

obtenindose una ecuacin diferencial ordinaria que reemplaza a la ecuacin (4), vlida solamente a lo largo de las curvas x t . Igualando las expresiones (5):

2

a aV g Vg g

+ = + = (7)

Reemplazando los valores de hallados, en la ecuacin (6) se tiene:

( )sin 02 V VdH a dV a k D A V VV a f a sign V

dt g dt gD g V V t t + + + + + =

(7a)



( )sin 02 V VH a V a k D A V VV a f a sign V

t g t gD g V V t t + + + + =

(7b)

Que es el sistema Modelo de Golpe de Ariete a resolver.

Las curvas xt

: se obtienen asignando a el valor a yg g

+ a en las expresiones (5):

x V at

= +

(a)

x V at

=

(b)

(8)

Estas curvas se denominan C+ y C , a lo largo de las cuales son vlidas las ecuaciones (7a) y (7b) respectivamente.

Figura 1: Curvas caractersticas

Cada ecuacin, (7a) y (7b) contiene dos incgnitas, H(t) y V(t), para cualquier punto de las curvas C+ y C pero en el punto P, los valores de las incgnitas deben satisfacer ambas ecuaciones, por lo tanto pueden resolverse hallndose los valores de H(t) y V(t) (Streeter y Wylie, 1988; Abreu y col, 1995).

2.3 Modelo de Friccin Transiente Se aplic el Mtodo de las Caractersticas en la resolucin del modelo de Friccin

Transiente, ecuaciones (7a) y (7b). El mtodo permite determinar valores de las variables presin instantnea y caudal instantneo en puntos equidistantes de la conduccin y para intervalos de tiempo prefijados durante el transitorio. Se establece una grilla de la variable x (que representa la longitud de la conduccin) en funcin del tiempo. Se divide la conduccin en N segmentos de igual longitud (x). Los valores iniciales de H(t) y V(t) se conocen pues son los valores de esas variables en estado estacionario (condiciones iniciales). La determinacin del incremento temporal (t) se fija teniendo en cuenta previamente que a>>V, entonces la curva, entonces el paso temporal es, como consecuencia, las pendientes de las curvas C+ y C- son a y a respectivamente, siendo ahora rectas. Tomando dos puntos R y S (figura 1), desde R se traza la curva C+ que responde a la Ecuacin (8a) y desde S se extiende la curva C- dada por la Ecuacin (8b). Ambas se intersectan en P. Cada ecuacin del modelo contiene dos incgnitas: H(t) y V(t), vlidas a lo largo de las C+ y C-, respectivamente. Pero en el punto P ambas tienen la misma solucin porque P es un punto comn a las dos rectas. As se obtienen los valores Hp y Vp.



El procedimiento se repite en nuevos puntos de interseccin de las rectas C+ y C-. Se van hallando nuevos valores para H y V, para el mismo instante de tiempo y para tiempos posteriores, como muestra la siguiente grilla (figura 2):

Figura 2: Grilla de clculo

Integrando las ecuaciones (7a) y (7b) a lo largo de las rectas C+ y C- y expresando V como relacin entre el caudal volumtrico y la seccin del conducto, Q/A, se obtiene:

( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 121 1

( ) sin2

ipi i pi i i i i i i i

i i

Q ta x a k D AH H Q Q f Q Q Q Q a sign Q Q QgA A gDA g Q Q

+ + + + + =0 (9a)

( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 1 121 1

sin 02

ipi i pi i i i i i i i

i i

Q ta x a k D AH H Q Q f Q Q Q Q a sign Q Q QgA A gDA g Q Q

++ + + + + + + ++ +

+ + + = (9b)

De donde, se obtiene:

( ) ( ) ( )

( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12

1 1 1 11 1

1 sin 2 2p i i i i i i i i i i i

i i i ii i

a t xH H H Q Q Q Q f Q Q Q QgA A gDA

a k D A Q Q a sign Q Q Qg Q Q

+ + + + +

+ + + +

+ +

= + +

+ +

(10)

Para obtener valores de la otra variable afectada, Q(t), las ecuaciones (9a) y (9b) se restan y luego se procede de la misma manera que en el clculo de H(t), desarrollado a continuacin.

El valor de Hpi corresponde a un instante posterior al de valores Hi-1 y Hi+1 empleados en la ecuacin (10). Sucesivamente, tomando valores de H(t) en pares, hallados para un instante de tiempo determinado se van determinando valores de H(t) para el paso de tiempo inmediato posterior, obtenindose un conjunto de datos de la variable estudiada, pertenecientes a cada punto discreto en que originalmente se dividi la conduccin (Streeter y Wyllie, 1988; Abreu y col., 1995).

Para evaluar los valores de H(t) y de Q(t) en los nodos 1 y N+1 (Figura 2) que constituyen los extremos del conducto se requieren adicionalmente dos condiciones de contorno. Aguas arriba, en el nodo 1, empleando la ecuacin (9b) junto con la condicin de contorno Hp1 = Ho (presin hidrosttica) en la embocadura conducto-tanque (extremo del conducto) se obtiene el valor Qp1. La condicin de contorno a aplicar en el otro extremo, donde se emplaza la vlvula, es un valor de caudal QPN+1 conocido, que, junto con la ecuacin (9a) permite evaluar el valor



de HPN+1. Se emplea, para este caso, la siguiente expresin:

1 2PN d v PNQ C A gH+ = 1+ (11)

que se obtiene representando la vlvula como una obstruccin, por ejemplo un orificio de placa delgada.

La resolucin del modelo de la Teora Clsica se obtiene resolviendo el modelo de Friccin Transiente y asignando valor cero al coeficiente k que multiplica al trmino no estacionario, anulndose este trmino y quedando el trmino estacionario solamente. Luego, el modelo de la Teora Clsica constituye un caso particular del modelo de Friccin Transiente.

2.4 Solucin analtica Se utiliza el siguiente sistema de ecuaciones:

0 p V FVx t

+ + =

(12a)

21 0 p V

t xa + =

(12b)

Donde es la densidad del fluido y p es la presin. Se incluy la friccin en el modelo mediante la adicin del trmino FV que contempla

todos los efectos disipativos que contribuyen a la atenuacin del fenmeno. Realizando algunos pasos algebraicos y aplicando la Transformada de Laplace se obtuvo:

( ) ( )2

22 V VQ s V s V F Q V s

tx V = + + +

(13)

Con las siguientes condiciones iniciales: para t = 0, V= V0 y 0 0V t = = 0. Entonces:

( ) ( )2 02 V QV s F Qs Vs FVx

= + + +

(14)

resolviendo, se tiene:

0sinh cosh Vx xV A Ba a

= + s+ (15)

Derivando la expresin (15):

cosh sinhV xA B xx a a

= + (16)

Donde



La ecuacin (15) es la solucin general en el Campo de la Transformada. La solucin particular se obtiene aplicando las condiciones de contorno:

2Q s FQ s = + (17)

1 en t = V = V0 2 para t > x = 0 H = H esttica = cte. (18)3 para 0 < t x = L V = 0

Aplicando estas condiciones de contorno se obtuvo la expresin de la presin en el campo de la Transformada

0 02

xsinhV FVaP

L s sQs cosha

=

0x P+

(19)

El proceso de antitransformacin, en el Campo Complejo permiti obtener la solucin:

( ){ } ( ) ( )( )

( )( )

0 0

12 2 2

1022

1 2

( , )

1 1 2 1 1 22 22

1 1 11 2

22

F t

n

n

p x t P V Fx

F x Fsin t sin n eLV a

Q L F

=

=

+ + + +

+ +

(20)

donde es igual a ( ) ( ) 1/22 22 1 2 2n a L F + . La ecuacin (20) que describe la presin durante el transitorio para todo punto de la

conduccin y para todo instante en que transcurre el fenmeno, para un cierre instantneo o cuasi-instantneo.

El caso que se analiza a continuacin responde al Golpe de Ariete en un sistema simple, para un cierre cuasi-instantneo, por lo tanto la solucin (20) ha sido aplicada en el modelado analtico del fenmeno.

Para evaluar el Golpe de Ariete en los casos donde el cierre de vlvula es gobernado por una ley no instantnea, por ejemplo, lineal, convexo, cosenoidal o cncavo, se ha utilizado una ecuacin o ley de cierre potencial,

( )m

i 0 i V = V -V 1- +V

(21)

que permite introducir una amplia gama de funciones de cierre en el algoritmo (Provenzano y col., 2011).

Los resultados del modelado mediante los modelos Friccin Transiente, de la Teora Clsica y Analtico se exhiben en la Figura 3. Se observa una notable mejora en la descripcin del comportamiento de la presin mediante el modelo de Friccin Transiente respecto de las discrepancias que exhibe el modelo Clsico, bsicamente en la amplitud de los ciclos y en especial desde los ciclos medios a finales del transitorio.



Figura 3: Amortiguacin del golpe de ariete en una conduccin de polietileno y su modelado. Caractersticas: L = 352 m, D = 0.094 m, e = 0.008 m, V0 = 0.729 m/s, tc = 2.607 s, = 0.06 s,

a : 270 m/s (Brunone y col., 2000) El primer pico de presin es correctamente modelado. Persiste an corrimiento de fase

desde los ciclos medios a finales y desajuste por exceso en la descripcin de los valles en los hemiciclos negativos, pero en grado menor.

El modelo analtico describe adecuadamente la amplitud de onda de cada ciclo y mantiene la fase en todos ellos.

Los dos primeros modelos, basados en el Mtodo de las Caractersticas, como tambin el modelo analtico no describen el cambio progresivo de forma de la onda que se observa normalmente en los registros experimentales de Golpe de Ariete cuando el material del conducto presenta alta tendencia a la deformacin, para esfuerzos de expansin y de contraccin (por ejemplo materiales polimricos). En el caso analizado el primer ciclo muestra una forma similar a la de onda cuadrada, con sesgo leve a la derecha, caracterstico de funciones de cierre cuasi-instantneos, pronunciadamente convexos y pronunciadamente cncavos (Provenzano y col., 2011). Esta forma va evolucionando a trapezoidal desde el segundo ciclo para ir avanzando hacia un contorno triangular de la onda en los ciclos medios y finales. El cambio de forma observado se debera a la absorcin selectiva de las armnicas superiores (altas frecuencias) que componen la onda, originalmente cuadrada o marcadamente trapezoidal. El material del conducto estara actuando como filtro pasabajos absorbiendo en cada ciclo armnicas superiores, subsistiendo las frecuencias medias y bajas del conjunto que constituyen la onda cuadrada del primer ciclo.



3 CONCLUSIONES El modelo de la Teora Clsica es el ms difundido para el clculo de sobrepresiones en

estructuras fluidodinmicas de todo tipo, sin embargo muestra notorias discrepancias por exceso en el modelado de la atenuacin de la presin. El modelo de Friccin Transiente introduce un ajuste importante en la atenuacin de picos como de valles de sobrepresin pudiendo afirmarse que el modelo de la Teora Clsica queda superado en cuanto a sus prestaciones. Constituye un paso importante la inclusin de un trmino de friccin no estacionario que contempla los cambios instantneos de la velocidad del fluido en aquel modelo.

El Mtodo de las Caractersticas, por su parte, resulta una herramienta adecuada y verstil en la descripcin de transientes rpidos, mostrando estabilidad, efectividad y sencillez relativa para la resolucin de ecuaciones de clase hiperblica en derivadas parciales de segundo grado.

Friccin Transiente, sin embargo, no corrige el desfasaje de onda progresivo observado en el modelo de la Teora Clsica. Esto podra ser atribuible a una propagacin de errores parcialmente acotada en la formulacin de estos modelos.

Se incluyo un tercer desarrollo, de carcter analtico, que presenta un ajuste an mayor en la atenuacin y una eficiente performance en la fase de onda, que se mantiene sin desfasaje durante todos los ciclos del fenmeno. Este modelo ha sido empleado como referencia y elemento de comparacin para el modelo numrico analizado. Los resultados obtenidos por Friccin Transiente son similares al del modelo Analtico en la atenuacin del fenmeno indicando una performance adecuada para el anlisis del transitorio. Su resolucin por el mtodo de las Caractersticas agrega sencillez en el tratamiento matemtico respecto del algoritmo Analtico.

Ninguno de los tres modelos describe el cambio de forma de onda que muestra el registro experimental. Ello se atribuira a la atenuacin prematura de las armnicas de altas frecuencias durante el transitorio debido al retardo en la restitucin de la energa potencial que se da cuando el material de la conduccin presenta propiedades de deformacin a esfuerzos menores (materiales polimricos). Los modelos analizados no describen este aspecto. Este tema est en estudio por parte de los autores del presente trabajo.

4 REFERENCIAS Abbott, M., An introduction to the Method of Characteristics. American Elsevier, New

York,1966. Abreu, J; Guarga, R.; Izquierdo, J., Transitorios y Oscilaciones en Sistemas de Impulsin.

Unidad Docente Mecnica de Fluidos, Dpto. Ing. Hidrulica y Medio Ambiente, Universidad Politcnica de Valencia Espaa, 1995.

Angus, R., Simple Graphical Solution for Pressure Rise in Pipes and Pums Discharge Lines. Journal of Eng. Inst., Canada, 18: 72-81, 1935.

Aguilar Rosas, J., Anlisis de las Energas en el Movimiento Oscilatorio Amortiguado. Depto. de Matemticas y Fsica, Universidad Nacional de Guadalajara,Mxico, 2005.

Bergant, A., Simpson, A., Developments in Unsteady Pipe Flow Friction Modelling. Journal of Hydraulic Research, 39: 249-257, 2001. Bergant, A., Tijsseling, A., Parameters Aftecting Water Hammer Attenuation: Shape and

Timing. 10th International Meeting of The Work Group of The Behaviour of Hydraulic Machinery Under Steady Oscillation Conditions, 2001.



Bergant A, Vitkowsky J., Simpson A., Lambert M., Valve Induced Transient Influenced by Unsteady Pipe Flow Friction. 10th International Meeting of The Work Group of The Behaviour of Hydraulic Machinery Under Steady Oscillation Conditions, 2001.

Bergeron, L., Variations in Flow in Water Conduits. Comptes rendres des travaux de la Soc. Hyd. de France, Paris, 1932.

Brunone B., Golia U., Greco M., Some Remarks on the Momentum equation for Fast Transient. Meeting of Hydraulic Transient with Column Separation, 9th Round Table, IAHR , Valencia, Spain, 1991.

Brunone B., Karney B., Mecarelli M., Ferrante M., Velocity Profiles and Unsteady Pipe Friction in Transient Flow. Journal of Water Resources Planning and Mannagement, 2000.

Evangelisti, G., Waterhammer Analysis by the Method of Characteristics. L'Energia Elettrica, 46:673-692, 1969.

Ezekial, F.D. y Paynter, H.M., Computer Representation of Engineering Systems Involving Fluid Transients. Trans. ASME., 79: 1840-1850, 1957.

Fox, J.A., The Use of the Digital Computer in the Solution of Waterhammer Problems. Proc. I.C.E., Vol 39, 127.,1968.

Lai, Ch., A Study of Water Hammer Including Efect of Hydraulic Losses. Thesis, Department of Civil Engineering, University of Michigan, 1961.

Martnez, C., Generalidades Sobre Sistemas. Facultad de Ciencias, Universidad de la Repblica, Uruguay , 2003.

Mataix Plana, C., Mecnica de Fluidos y Mquinas Hidrulicas. 2 edicin, Oxford University Press, 1982.

Mayer, O., Vibraciones. Mecnica Aplicada, Depto. Ing. Mecnica, UBA, Argentina, 2002. Mendiluche Rosich, E., El Golpe de Ariete en Impulsiones. Ed. Bellisco, 1987. Mitosek M. Chorzelsky M. Malesinska A., Experimental Analysis of Natural Frequency of

Water Column due to Water Hammer in Series Pipe Systems. Warsaw, University of Technology, 1998.

Murga, N., Molina, N., Sistema de proteccin de bombas y caeras en oleoductos sometidos a flujos transitorios, Universidad Nacional del Sur, Baha Blanca, 1997.

Provenzano, P.; Baroni, F.; Aguerre, R., The Closing Function in the Water Hammer Modeling. Latin American Applied Research, 41: 43-47, 2011.

Rich, R., Water Hammer Analysis by the LaplaceMellin Transformation. Transaction of the ASME, 67: 361-376, 1945.

Schnyder, O., Waterhammer in Pump Discharge Lines. Schweizerische Bauxeitung, 94: 22-23, 1929.

Sotelo Avila, G., El Golpe de Ariete en estaciones de bombeo. Universidad Poitcnica de Catalunya, 1995.

Streeter, V.L. y Wylie, E.B. Mecnica de Fluidos. McGraw-Hill, 1988. Swaffield J., A Study of Column Separation Following ValveClosure in a Pipelline Carrying

Aviation Kerosene. Thermodynamic and Fluid Mechanic Convention, Steady and Unsteady Flows, 57 Proceeding I. Mech. Eng., Vol.184, 1970.

Vardy, A.E., y Hwang, K.L., A characteristics model of transient friction in pipes. Journal of Hydraulic Research, 29: 669-684, 1991.

Vitkowsky, A; Lambert, J; Simpson,A., Bergant, A., Advances in unsteady friction modelling in transient pipe flow. Pressure Surges. Safe design and Operation of industrial pipe systems, Anderson Ed., Profesional Engineering Publishing Ltd., Bury St. Edmunds, England 471 482, 2000.

Wood, F.M., Application of Heaviside's operational calculus to the solution of waterhammer



problems. Trans. ASME., 59: 703-713, 1938. Wyllie, B., Streeter, V., Fluid Transients in sistems. Prentice Hall Inc., 1993. Zielke, W., Frequency dependent friction in transient pipe flow. Jour. Basic Eng., Trans.

ASME., 90: 109-115, 1968.

5 NOMENCLATURA a A C D e EM Ew f F g H H0 Hestat L p Q Re s t tc Td V wd wo x

celeridad de onda [m/s] seccin de la conduccin [m2] coeficiente de Decaimiento de Vardy dimetro del conducto [m] espesor de pared del conducto [m] mdulo de elasticidad del conducto mdulo de compresibilidad del agua factor de friccin de Darcy Weisbach factor disipativo aceleracin de la gravedad [m/ s2] altura piezomtrica [m] altura piezomtrica del primer pico de presin sobrepresin [m] altura piezomtrica esttica [m] longitud de la conduccin [m] presin [Pa] caudal [m3/ s] nmero de Reynolds [adimensional] variable en el campo de la Transformada de Laplace tiempo [s] tiempo crtico [s] periodo real de la onda de presin transitoria en el sistema [s] velocidad del fluido [m/s] frecuencia real de la onda de presin transitoria en el sistema [s-1] frecuencia natural de la onda de presin transitoria en el sistema [s-1]. coordenada axial [m] densidad del fluido [kg/m3] factor de amortiguamiento (refleja el efecto de la friccin en w) [s-1]. constante (s) ngulo de inclinacin de la conduccin [rad] tiempo de cierre de vlvula [s]



modelado matemático

Documents

Transcript of modelado matemático