VALOR ABSOLUTO

Universidad CentroccidentalLisandro AlvaradoDecanato de Administración y ContaduríaM.Sc. Jorge E. Hernández H.

VALOR ABSOLUTO

En esta clase vamos a presentar un nuevo concepto que tiene su origen en la geometría clásica, cuando medimos una distancia. Para

ciertos aplicaciones de la ciencia necesitamos valores numéricos representativos de la cantidad.

VALOR ABSOLUTO

Contenido de la Presentación

Definición de Valor AbsolutoPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades con valor absolutoEjerciciosFin de la Presentación

VALOR ABSOLUTO

Definición de Valor Absoluto.

Dado un número real x cualquiera, el valor absoluto de éste es un nuevo número definido de la siguiente forma:

⎩⎨⎧

<−≥

=0x,x0xx

x si si ,

A veces es común encontrar lossiguiente

2xx =

VALOR ABSOLUTO

Definición de Valor Absoluto.

Hagamos una interpretación de ladefinición dada.El símbolo | . | representa la noción devalor absoluto del contenido que estádentro de las barras.

Este valor absoluto será el mismo queestá dentro de las barras cuando seapositivo o cero, y será el mismo valormultiplicado por -1 cuando seanegativo.

VALOR ABSOLUTO

Definición de Valor Absoluto.

De acuerdo a esta definición, veamosque número es

Respuesta: Según la definición es lo que está,exactamente, dentro de las barras, si es mayoro igual a cero, ó lo que está dentro de lasbarras multiplicado por si es menor que cero:

3 −x

⎩⎨⎧

<−−−≥−−

=−03x),3x(03x3x

3x si si ,

VALOR ABSOLUTO

Propiedades del Valor Absoluto.

Para cualesquiera números reales x,yse cumplen las siguientespropiedades:

0 , )

.. )

)

0 )

≠=

=

+≤+

≥

yyx

yxd

yxyxc

yxyxb

xa

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Desigualdades con Valor Absoluto.

De importancia fundamental para laresolución de desigualdades convalor absoluto son las siguientes:

axaxaxd

axaxaxc

axaaxb

axaaxa

−≤≥⇔≥

−<>⇔>

<<−⇔≤

<<−⇔<

ó )

ó )

)

)

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

Resolver:

.25x ≤−

Solución: Leyendo la expresión dadaencontramos una forma que contiene elsímbolo menor o igual, entonces, paraencontrar una desigualdad equivalente sin lasbarras de valor absoluto usamos la parte a) delas propiedades anteriores:

25x225x ≤−≤−⇔≤−

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

La solución a esta inecuación la encontramosresolviendo las siguientes:

7y 3 52y 5225y 52

≤≤+≤≤+−≤−−≤−

xxxxxx

Cuyas soluciones son

[ ) ( ]7,y ,3 ∞−∈∞∈ xx

Solución General: [ ]7,3 ∈x

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

Resolver:

.1 2 3 ≥−x

Solución: Leyendo la expresión dadaencontramos una forma que contiene elsímbolo mayor o igual, entonces, paraencontrar una desigualdad equivalente sin lasbarras de valor absoluto usamos la parte c) delas propiedades anteriores:

12x312x312x3 −≤−≥−⇔≥− ó

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

La solución a esta inecuación la encontramosresolviendo las siguientes:

3/1 ó 1 213 ó 213123 ó 123

≤≥+−≤+≥−≤−≥−

xxxxxx

Cuyas soluciones son

[ ) ( ]3/1, ó ,1 ∞−∈∞∈ xx

Solución General: ( ] [ )∞∞−∈ ,13/1, ∪x

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

Resolver:

1 2 3 +≤− xx

Solución: Usaremos la definición segunda devalor absoluto

( ) ( )( ) ( )

124129123

123

1 23

22

22

22

++≥+−

+≥−

+≥−

+≥−

xxxxxx

xx

xx

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

03148124129

2

22

≥+−

++≥+−

xxxxxx

Factorizando:

( )( ) 03214 ≥−− xx

Usando Sturm:

( ] [ )∞∞−∈ ,3/24/1, ∪x

VALOR ABSOLUTO

Fin de la Presentación

Gracias por la atención prestada.

M.Sc. Jorge E. Hernández H.