>> Modelado – 1

Modelado-1 A. García-Alonso 1

>> Modelado – 1 <<Introducción, Geometría básica

http://www.sc.ehu.es/ccwgamoa/clases


Introducción

• Foley Cap. 11-12-20, Hearn Cap. 10

• Geometría básica

• Modelado geométrico– Modelos o representaciones de sólidos (F 12, H 10.1,14-17)

– Modelado de superficies (F 11, H 10.2-10.13)

– Blobby objects (F 20.8.4, H 10.5)

• Procedimientos (F 20.2)

– Fractales : modelos geométricos (F 20.3, H 10.18)

– Gramáticas (F 20.4, H 10.19)

– Sistemas de partículas (F 20.5, H 10.20)

– Physically based modeling (F 20.7, H 10.21)


Bibliografía adicional

• C. MacHover (Editor), “The CAD/CAM Handbook”, Ed. McGraw Hill, 1995

• C. McMahon, J. Browne, “CAD CAM form Principles to Practice”, Addison-Wesley, 1993


Geometría básica

• El vector

• El punto

• La recta

• El plano

• Cara (plana), polígono o faceta

• Volúmenes Contenedores


El vector

• Unidades– En variables

– En constantes y “#define”

– En interfaz de usuario

• Ángulo de dos vectores– Sin orientar

– Orientado


Angulo entre dos vectores

Angulo entre dos vectores (sin orientar) : 0 ≤ α ≤ π

|a|·|b|·cos α = a.b

α = acos(a.b / |a|·|b|)

Angulo con eje de un sistema de referencia (orientado) : -π ≤ α ≤ π

α = acos( bx / |b| )

if( by<0) α = -α

a

b

α

x

y

z (saliente)

b

b’

α

α’


...Angulo que forma el vector b con el vector a (orientado) : la orientación la define un eje perpendicular al plano definido por los dos vectores

eje

b

aα

eje

b

a

α

eje

b

a

α

ejeb

aα


La recta

• Modos de definir una recta– Ecuación implícita

– Dos puntos

– Punto y vector

– Ecuación implícita (2D)

– Estructuras de datos

• Distancia punto/recta

• Distancia-2D punto/recta

• Distancia-2D aproximada punto/recta

• Punto en recta : tolerancia

• Señalar segmento (2D) : tolerancia


Ecuación implícita de la recta (2D)

• Ecuación implícita de la recta (r)A · x + B · y + C = 0

• Vectores paralelos a la recta (pr) :

λ · ( -B, A ), λ / λ ℝ 0

• Vectores perpendiculares a la recta (nr) :

λ · ( A, B )

Los coeficientes de la recta definida por M, N :A = Ny – My ; B = Mx – Nx ; C = - [ (Ny – My) Mx + (Mx – Nx ) My ]

N

M

nr

pr


Distancia punto/recta

• Sea un punto cualquiera P, y una recta definida por dos puntos M y N

– La (distancia)2 de P a la recta se obtiene despejando δ2

– El cálculo de δ2 requiere: 10 (*), 13 (+), 1 (/)• Los módulos se elevan al cuadrado no se calculan

– Un dividendo se anula si M y N coinciden, pero en ese caso no definen un segmento.

MP

MN

MPMN 22

2

2

N

P

θM δ

P’MPPPMP

222

''


Distancia-2D punto/recta

• El cálculo de δ2 requiere: 7 (*), 8 (+), 1 (/)δ = MP · ( nr / | nr | )

• Sustituyendo y simplificando quedaδ2 = [ (Px - Mx) · A + (Py - My) · B ]2 / (A2 + B2 )

N

P

M δ

nr


Distancia-2D punto/recta

Ecuación implícita de la recta (r) : Ax + By + C = 0

Vectores paralelos a la recta (pr) : λ · ( -B, A ), λ ℝ / λ 0

Vectores perpendiculares a la recta (nr) : λ · ( A, B )

El cálculo de δ2 requiere: 7 (*), 8 (+), 1 (/)δ = MP · ( nr / | nr | )

Sustituyendo y simplificando quedaδ2 = [ (Px-Mx) A + (Py-My) B) ] 2 / (A2 + B2 )

N

P

M δ

nr

pr


Distancia-2D aproximada punto/recta

• Podemos usar una “distancia” evaluada en vertical

– El cálculo de δvert requiere: 3 (*), 4 (+), 1 (/), 1 (abs)

– Restringimos el cálculo a rectas de pendiente [-1,+1]

– Para rectas con pendiente de valor absoluto mayor que 1, se intercambian los ejes x e y

• Evita una degeneración del área de captura• Evita el problema de rectas con pendiente que tiende a infinito

Despejar la pendiente (m) y el pie (b) :

My = m·Mx-b

Ny = m·Nx-b

N

P

M

δv = abs( Py – (m·Px-b) )

x

y

Py

m·Px-b

b

m = tg θ


Señalar segmento (2D) : tolerancia

• El sistema informa de qué píxel se ha señalado

• Comprobamos si ese punto es interior a un área para:

– Evitar problemas de precisión

– Mejorar ergonomía: facilitar al operador la acción de señalar

• El punto no es próximo al segmento si :

– Es exterior al contenedor rectangular “recrecido en ξ”

– Su distancia a la recta soporte es superior a ξ

• Numerosos segmentos : técnicas de ordenación espacial

Área de captura “ideal” Área de captura que implementamos

ξ

ξ


El plano

• Modos de definir un plano– Ecuación implícita

• Interpretación de “las ecuaciones” de un plano : vector normal• Semi-espacios definidos por un plano• Distancia plano a origen

– Tres puntos

– Punto y vector normal, punto y dos vectores

– Elementos geométricos

• Distancia punto/plano

• Punto en el plano : tolerancia

• Señalar plano


Ecuación implícita del plano

• Un plano está formado por todos los puntos P que satisfacen la ecuación: A·Px + B·Py + C·Pz + D = 0

• Existen infinitas descripciones del plano λ·(A, B, C, D)

• λ·(A, B, C) representa las componentes de todos los vectores normales al plano. De ellos, sólo dos son unitarios

• Si el plano está asociado a una cara de un sólido, se suele usar la normal unitaria hacia el exterior

• Conocido un vector normal (nx , ny , nz) y un Punto P del plano:

A = nx, B = ny, C = nz, D = - (nx · Px+ny · Py+ nz · Pz)

Normal unitaria hacia el exterior Normales al plano


Semiespacios definidos por un plano

semiespacio - En A (corte eje z con el plano),

x = y = 0 nz · z + D = 0

y como, nz > 0 y z < 0 D>0

O está en el semiespacio +

nz > 0

semiespacio +

A

y

zO

semiespacio -

nz > 0semiespacio +

B

y

zO

En B, x = y = 0 nz · z + D = 0

y, nz > 0 y z > 0 D<0

O está en el semiespacio -

Sea P(x,y,z) un punto cualquiera del espacio

Sea el plano (nx, ny, nz, D)

La función F(P) = nx · Px + ny · Py + nz · Pz + D

Divide el espacio en dos semiespacios,

En uno se verifica que F(P)>0 y en el otro F(P)<0


Distancia punto/plano

• Sea M un punto cualquiera del plano, y n un vector normal al plano, unitario.

• Se cumplirá :δ = abs( MP · n)

n

P

M

δ


Caras (planas), polígonos o facetas

• Modos de definir una cara– xxx

• Punto interior a una cara

• Clasificación

• Forma adecuada

• Cálculo del vector normal


Clasificación

• Cóncavas y convexas

• Múltiplemente conexos

• Cruces de aristas


Forma adecuada

• Problemas de precisión

• Rapidez de cálculo

• Evitar polígonos– Cóncavos

– Ángulos muy agudos o próximos al recto (180º)

– Con aristas tangentes o secantes

– Con desproporción en las magnitudes de los lados

• Triángulos y cuadriláteros fomentar – Formas equiláteras

– Fomentar formas isósceles o rectangulares


Cálculo del vector normal

• Método simple– Usar tres primeros vértices

– Problemas• Polígonos cóncavos• Vértices no coplanarios• Vértices alineados

• Uso método ponderado (Foley 11.1.3)nx = 0.5 · (zi + zi1 ) · (yi1 - yi )

ny = 0.5 · (xi + xi1 ) · (zi1 - zi )

nz = 0.5 · (yi + yi1 ) · (xi1 - xi )( i: 1 n )


Volúmenes contenedores

• Geometría– Caja contenedora

• El menor prisma rectangular de caras paralelas a los planos coordenados que contiene al cuerpo dado

• Para poliedros :– Inicializar valores min-max con un vértice del cuerpo– Recorrer la geometría recreciendo esos valores iniciales

– Esfera

– Envolvente convexa

xmax

z

yxmin

zminzmax

x

yminymax


...

• Sistema de referencia– Modelado, mundo, cámara

• Jerarquías : dependiente/independiente del tiempo

• Pre-procesado / regenerado (cuándo)– Sistema modelado : varía forma

– Sistema mundo : cambio de posición o forma

– Sistema cámara : cambio posición relativa o forma

>> Modelado – 1

Documents

Transcript of >> Modelado – 1