eONTENIDOS

1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. LAS FUERZAS 1.1. Vectores. Elementos. 1.2. Clases de vectores. 1.3. Las fuerzas. Carácter

vectorial.

2. SISTEMAS DE VECTORES. APLICACiÓN A LAS FUERZAS 2.1. Sistema de fuerzas.

J , 3. DESCOMPOSICION DE

VECTORES

4. PRODUCTO Y COCIENTE DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 4.1. Vector unitario. 42L ¿ ¿k.,-t .. os vectores I ,}, •

4.3. Aplicación al cálculo de fuerzas resultantes.

5. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 5.1. Propiedades. 5.2. Cálculo.

6

VECTORES Y FUERZAS

El estudio de la ESTÁTICA, ciencia que trata de las fuerzas cuando conducen a situaciones de equilibrio, requiere el repaso (o la adquisición) de unos conoci­mientos previos siempre necesarios para interpretar los fenómenos objeto de investigación. ¿ Qué son las fuerzas y por qué únicamente se conocen por los efectos que ori­ginan?, ¿cómo definir correctamente y en toda su amplitud la acción de una fuerza? , ¿qué es un sistema de fuerzas y qué significa su resultante? ... La 'respuesta a estas cuestiones requiere unos conceptos, aunque mínimos, re­lativos al cálculo vectorial. El estudio y repaso de tales conceptos constituye el objetivo de esta Unidad; en la siguiente, profundizando en esta materia, abor­daremos la interpretación de los vectores momento.

Unidad 1 .............................................................................................. , 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. LAS FUERZAS

Existen muchas magnitudes físicas -como la masa, la temperatura o el trabajo- que con sólo conocer el valor numérico de su medida y la unidad en que ésta se expresa, su significado queda perfectamente explicitado. Decir, por ejemplo, que la masa de un cuerpo es 25 kg (núm~ro y unidad) es dato suficiente para interpretar con plena corrección lo que sé quiere expresar.

Otras magnitudes, en cambio, precisan para su correcta interpretación otros datos complementarios, como la línea de acción en la que actúan, el sentido que poseen, el punto donde se aplican. Tal es el caso, por ejemplo, de la velocidad, de la fuerza ...

A las primeras se las denomina magnitudes escalares (su representación gráfica se realiza en una escala) y a las segundas, vectoriales, puesto que gráficamente se representan mediante vectores.

1.1. Vectores. Elementos

Un vector es un segmento rectilíneo orientqdo. Su longitud, o módulo, indica el valor numérico, en la unidad elegida, de la magnitud representada; la dirección (mejor, línea de acción) corresponde a la recta a la que perte­nece el segmento; el sentido se indica mediante una punta de flecha; y el origen señala el punto donde se aplica la magnitud o punto de aplicación.

En la figura vemos que los vectores A y B tienen la misma línea de acción y el mismo sentido; en cambio, el módulo de B es doble del de A.

A B=2A -----.~ .

1.2. Clases de vectores

Los vectores pueden ser:

a) Iguales: si coinciden en todos sus elementos (punto de aplicación, lí­nea de acción, sentido, módulo).

b) Opuestos: si tienen igual módulo y línea de acción pero sus sentidos son contrarios.

c) Fijos: o ligados a un punto, si exigen la concreción del punto de apli­cación.

d) Deslizantes: o ligados a una recta, cuando, sin modificar su efecto, pueden trasladarse a lo largo de su línea de acción.

e) Libres: o ligados a un plano, si pueden trasladarse paralela­mente a sí mismos sin que va­ríe su efecto. Un vector libre viene determinado únicamente por el valor de su magnitud y por su línea de acción (módulo y cosenos directores), o, lo que es lo mismo, por sus tres componentes cartesianas (proyecciones del módulo so­bre los tres ejes coordenados).

f) Equipolentes: cuando tienen sus componentes cartesia­nas idénticas.

o - ---ª-º--------4 Y -------ª-+ ~

a y, Vectores Vectores Vectores iguales opuestos ' deslizantes

/ Az / ~ lY" A, /

Ax = A cos ex A = Ax + Ay +Az

Ay = Acosj3 Az = A cos 'Y A=VA~ + A~+A; Vectores libres

Notación vectorial

Un vector se representa por me­dio de una letra latina o griega que simboliza la magnitud a la que se refiere, y encima de ella, una flecha que indica el carácter vectorial de dicha magnitud.

Para representar el módulo de un vector se utilizan letras normales (sin flechital, empleándose tam­bién esta notación cuando no se quiere insistir en el carácter vecto­rial de la magnitud. Otra forma de representar módulos consiste en escribir el símbolo del vector entre barras verticales.

Ejemplo:

v = vector velocidad

v, IVI = módulo del vector velocidad

Cosenos directores de un vector

z - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -~~;:

/' : Az ", :

, , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ I : :. , ,

y

, ,

------------------- - - -- - ~/;/ x

Cosenos directores de un vector son los cosenos de los ángulos a, f3 y r que forma el vector con ca­da uno de los ejes coordenados. Su valor, obtenido a partir de la figura, vendrá dado por:

A cosa= Á

A cos f3 =-y

A A

cos r =-L A

Se deduce fácil­mente que la su­ma de los cuadra­dos de los cosenos directores de un vector es igual a la unidad.

7

VECTORES Y FUERZAS

El sacacorchos sube al girar en el sentido

de la velocidad angular.

El vector A atraviesa la superficie pasando

de la cara interior a la exterior.

g) Axiales: si se utilizan para representar magnitudes que pueden consi­derarse como vectoriales y a las que, por convenio, hay que asignar­les un sentido. Tal es el caso, por ejemplo, de la velocidad angular cu­yo sentido viene definido por la regla de Maxwell (avance del sacacorchos) o el de una superficie (límite de separación de dos me­dios) cuyo sentido se fija suponiendo que el vector la atraviesa pasan­do de la cara interior (negativa) a la exterior (positiva).

1.3. Las fuerzas. Carácter vectorial

Vectores axiales.

El concepto de fuerza es intuitivo y surge de la propia experiencia cuan­do se intenta deformar un cuerpo o modificar su vector velocidad. El mero hecho, por ejemplo, de estirar un muelle para alargarlo nos exige la acción de una fuerza; fuerza que, a su vez, «provoca» la aparición de otra (reacción) en el propio muelle que tiende a que éste recupere su forma primitiva.

Podríamos decir, por tanto, que:

Toda fuerza es siempre una acción mutua ejercida entre dos cuer­pos (fuerzas exteriores) o entre dos partes de un mismo cuerpo (fuer­zas interiores).

Las fuerzas son magnitudes vectoriales; por tanto, para poder interpre­tar con exactitud sus posibles efectos hay que conocer, además del valor de su medida (número y unidad), el punto de aplicación, la línea de acción y el sentido en que actúan. Cuando se conceptúen como vectores libres bas­tará conocer su módulo y cosenos directores o, lo que es lo mismo, sus componentes rectangulares.

I Ejemplos

8

1. Una fuerza de 6,164 kp actúa sobre una anilla de acero, sujeta a una pared, de modo tal que forma los siguientes ángulos con cada uno de los ejes carte­sianos: a= 60,86°; f3= 71°; y= 35,8°. Calcula las componentes rectangulares de la fuerza aplicada y comprueba que la suma de los cuadrados de sus co­senos directores es igual a 1.

Solución:

Ax=A· cos a=6,164 kp· 0,487=3 kp

Ay=A . cos f3= 6,164 kp . 0,325 = 2 kp

Az=A· cos y=6,164 kp· 0,811 =5 kp

Por otra parte: (0,487t + (o, 325t + (0,811t = 1

z

y

2. Un bloque de 10 kg se encuentra situado sobre un plano inclinado 30° sobre la horizontal. Calcula las componentes del peso, normal y paralela al plano.

Solución:

De acuerdo con la figura los dos ángulos alfa son iguales por ser ángulos agudos de lados perpendiculares. El ángulo beta es el complementario de alfa y su valor es 60°. El peso m . 9 del cuerpo es 1 00 N.

En consecuencia:

N=P· cos 30°= 100 N· 0,866= 86,6 N

F = p . cos 60° = 100 N . 0,5 = 50 N

2. SISTEMAS DE VECTORES. APLICACiÓN A LAS FUERZAS

Varios vectores constituyen un sistema cuando actúan simultáneamen­te sobre un mismo punto. Cada uno de ellos recibe el nombre de compo­nente y aquel vector que realiza el mismo efecto que el sistema -y, por tanto, puede sustituirlo- se denomina vector resultante o vector suma. El simbolismo R = a + E + 8 + ... indica que el vector R es la suma de los vectores componentes a, E, 8, .. . y, en consecuencia, puede sustituir al sis-tema formado por ellos.

Para determinar gráficamente el vector resultante de un sistema se aplica la llamada regla del polígo­no: el vector que une el origen del primero del sistema con el extremo de la línea formada al trazar, unos a continuación de otros, vectores equipolentes a los dados, es el vec­tor resultante.

La suma de vectores posee las propiedades conmutativa:

R=A+B+C=C+B+A y asociativa, según se observa en la figura adjunta.

---- --R

En el caso de dos vectores concurrentes el módulo del vector resul­tante se deduce por aplicación del teorema del coseno a uno de los trián­gulos formados por un vector componente, el equipolente al otro y el vector resultante:

y como cos f3 = - cos a, por ser ángulos suplementarios:

R = ~ A2 + 8 2 + 2 A8 cos a

Para aquellos casos de sistemas formados por varios componentes se aplica la propiedad asociativa a parejas de dos vectores.

2.1. Sistema de fuerzas

Componer un sistema de fuerzas consiste, en principio, en obtener su resultante general. De hecho, implica también el cálculo del momento re­sultante (se explicará más adelante) pero como en la mayoría de los casos éste es nulo, el problema queda reducido simplemente a la determinación de la fuerza resultante tal como se explicó para el caso general de vectores.

r----------------------------------------------------------------1. Calcular el módulo de la resultante de dos fuerzas de igual valor cuyas direcciones forman: a) un ángulo de 90°; b) un ángulo de 60°. .

Solución:

a) R = ~ F2 + F2 + 2 . F . F . cos 90° = ~ 2 . F2 = F.J2

b) R = ~ F2 + F2 + 2 · F . F . cos 60° =.J3.F2 = F.J3

Unidad 1

Ejemplos I

9

VECTORES Y FUERZAS

f f ~OON

:p •

A 1m 1m B

100 kp

A~~ ____ ~~-'-7B 40° .R=P

"", ",,40° 00° '

T

P=100 kp

10

2. Un cuadro está colgado en una pared mediante una cuerda que pasa por un clavo sujetándolo en un punto medio y cuyas mitades forman un ángulo de 90°. Se sabe que la máxima fuerza que puede soportar la cuerda sin romperse es 100 N. Con estos datos, ¿qué máximo peso puedetenerel suadro?

Solución:

Las dos fuerzas (tensiones) que han de soportar cada una de las cuerdas son iguales, formando un sistema cuya resultante es una fuerza opuesta al peso del cuadro. Al ser perpendiculares ambas fuerzas, el valor de la resultante (máximo peso del cuadro) será, según el ejercicio anterior:

R = F· .f2 = 1 00 N . .f2 = 141,4 N

3. Desde dos puntos de una misma horizontal, distantes entre sí 2 m, cuelgan dos cables iguales que forman con la horizontal ángulos de 40° y soportan un peso de 100 kp tal como se indica en la figura. Cal­cula la tensión de cada cable, y la distancia entre la horizontal y el punto de suspensión.

Solución:

Las dos fuerzas (tensiones) ejercidas por cada cable han de ser iguales, formando sus direcciones un ángulo de 100° (recuérdese que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°). Según lo explicado:

de donde:

1002 = T 2 + T 2 + 2 T . T . cos 1000

1002 = 2 T 2 - 0,3473 T 2 = 1,6527 T 2

T= 77,8 Kp

Por otra parte se observa en la figura que:

tg 400 =a/1 m

de donde:

a = 1 m· tg 400 = 0,84 m

3. DESCOMPOSICiÓN DE VECTORES

Descomponer un vector en otros varios (componentes) es hallar un siste­ma cuyo vector resultante sea el dado; es decir, un sistema que produzca el mismo efecto que el vector propuesto.

De hecho, así planteado el concepto (y el problema), el número de so­luciones posibles es infinito. Esto exige, si se pretende una sola solu­ción, el que se concreten previamente algunos datos (valores de alguno de los componentes, ángulos formados por ellos, etc.), siendo muy fre­cuente la exigencia de que los vectores componentes del sistema sean perpendiculares entre sí (componentes rectangulares o cartesianas). Estos componentes rectangulares no son otra cosa que las proyecciones del vector dado sobre cada uno de los ejes de un sistema de coordena­das cartesianas (véase lo explicado en 1.2. y los ejercicios resueltos en ese apartado).

Unidad 1 ..............................................................................................

4. PRODUCTO Y COCIENTE DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

El producto -o cociente- de un vector por un número escalar es otro vector de la misma dirección y sentido que el dado, cuyo módulo es el pro­ducto -o el cociente- del vector inicial por el escalar.

ir 3a --+- . 3 = --.;....:;.-...,.~

Evidentemente, si se conocen las componentes rectangulares de un vec­tor, al multiplicar éste por un escalar n, aquellas también se verán multiplica­das por el mismo número.

n·A=n ·A +n·A +n ·A x y z

4.1. Vector unitario

Lo explicado anteriormente permite considerar a todo vector como múlti­plo de otro cualquiera de su misma dirección y sentido. Si este vector de re­ferencia tiene de módulo la unidad se le denomina vector unitario, cum­pliéndose que:

A =A · üA

donde A representa al vector, A es su módulo, y üA es el vector unitario dirigido según la dirección y sentido de A. De esa expresión se deduce que:

_ A uA =-

A

4.2. Los vectores 7,], k Con esas letras se simbolizan los vectores unitarios situados respectiva­

mente en las direcciones de los ejes X, Y, Z y sentido positivo (hacia adelan­te, hacia la derecha, hacia arriba).

Como todo vector puede descomponerse en sus componentes rectan­gulares y éstas, según lo explicado ahora, pueden expresarse como múlti­plos de sus correspondientes unitarios 7, 7, o k; se tiene que:

A = Ax + Ay + Az = Ax . 7+ Ay ·7+ ~ . k cumpliéndose, según lo explicado, que:

• A = I A2 + A2 + A2 "'IJ x y z

(cosenos directores)

• La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a la unidad.

4.3. Aplicación al cálculo de fuerzas resultantes

La resolución de un sistema de fuerzas se simplifica muchísimo si éstas se descomponen previamente en sus componentes rectangulares y se ex­presan en función de los vectores unitarios 7, 7, k. Basta, en estos casos, su­mar algebraicamente los coeficientes que afectan respectivamente a lo~ vectores unitarios y deducir, finalmente, el vector resultante (o expresarlo sin más en función de 7, 7, k).

Expresión algebraica del vector unitario

Si en la expresión del vector uni­tario üA :

sustituimos A en función de sus componentes, resulta:

_ A} +Ay7 +A){ uA = A =

A - A - A ­=......!5...i+.......Lj+---Lk=

A A A = cosa T + cosf3 7 + cosy k

Las componentes de un vector unitario son los cosenos directo­res de dicho vector.

11

VECTORES Y FUERZAS

I Ejemplos

12

1 . . Una fuerza de 400 N actúa verticalmente hacia arriba sobre un cuerpo. Otra fuerza, simultánea con la ante­rior, y de valor 250 N, actúa sobre el mismo cuerpo formando un ángulo de 60°, hacia arriba, con la hori­zontal. Calcula: a) la fuerza que tiende a elevar el cuerpo; b) la fuerza total que actúa sobre él.

Solución: #

Admitiendo que las fuerzas son coplanarias y actúan en el plano XV, sus respectivas componentes rectangulares son:

F = O . T + 400 ·7 (SI)

F' = 250 cos 60° T + 250 cos 30° 7 = 125 T + 216,57 (SI)

a) La fuerza que tiende a elevar el cuerpo corresponde a la resul­tante de las componentes rectangulares verticales:

Ry= Fy+ F;= 4007 + 216,57 = 616,57 (SI)

b) La fuerza total que actúa sobre el cuerpo es:

R=F +F' =4007 + 125 T + 216,57= 125 T + 616,57 (SI)

siendo su módulo:

y

400T

216,5T

t·~ 10 cD ,.... co

1251 x

y

R

1251 x

2. Un bloque de peso P está suspendido de una cuerda de 20 m de cuyo punto medio se tira horizontalmen­te, mediante otra cuerda, con una fuerza igual a la cuarta parte del peso del bloque. Calcular cuánto se desviará el bloque lateral y verticalmente.

Solución:

Sobre .el punto donde se aplica la fuerza horizontal actúan las siguientes fuerzas:

• la horizontal aplicada: F = - P ¡ x 4

• el peso del cuerpo: - P ·7

• la tensión T de la cuerda que cuelga y que se descompone en dos componentes rectangulares:

Cuando el sistema está en equilibrio la resultante de las fuerzas ha de ser nula, cumpliéndose que:

Tcos cp-P/4=0 ; Tsen cp-P=O

Por otra parte vemos en la figura que:

sen cp=y/10

Sustituyendo valores:

cos cp=x/10

Fx

T . ~ - P =0 10 4

y T ·--P=O

10 ~+ 1=100

Resolviendo el sistema se tiene:

x=2,425 m; y=9,70 m

- ---,,~- y E Ty

o 4' Tx ,.... Fx x

E o

E ,.... o ,....

p O p

Por lo tanto, el bloque se desvía horizontalmente 2,425 m y verticalmente: 10m - 9,70 m = 0,30 m

Unidad 1 .............................................................................................. ,

e Actividades ::::> 1. ¿Es posible que la resultante de un sistema de dos fuerzas, de valores 5 N Y 7 N, sea 2 N? ¿Y 12 N? ¿Y 14 N? Razo­

na la respuesta en cada caso.

2. Un poste del tendido eléctrico complementa su .sujeción en el suelo mediante dos tensores de acero que, partiendo de un mismo punto del suelo, alcanzan al poste formando con él ángulos de 40° y 60° soportando tensiones, respectivamente, de valores 100 kp y 60 kp. Si ambos tensores se sustituyen por un solo cable, ¿qué ten­sión soportaría? ¿Qué ángulo formará con el poste?

Resultado: T = 157,7 kp; a= 47,48°

3. Para elevar a velocidad constante una viga de hierro de 1 tonelada de masa, una grúa de las habitualmente empleadas en la construcción utiliza un dispositivo como el representado en la figura. Si la máxima tensión que soportan los cables de suje­ción, sin llegar a la ruptura, es de 5 000 N cada uno, ¿podrá llevarse a cabo la operación sin peligro alguno?

Resultado: No, puesto que la tensión que debiera soportar cada cable es 5 773,5 N

5. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Se denomina así (y se simboliza como A . B) al número que resulta de multiplicar entre sí los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman sus líneas de acción. Matemáticamente:

A . B = A . B . cos cp

Como el producto B . cos cp representa la proyección del vector B sobre la dirección del vector ,4,. el producto escalar también puede definirse como el producto del módulo de uno cualquiera de los vectores por la proyección del otro sobre él (véase figura).

5.1. Propiedades

• El producto escalar de dos vectores cumple la propiedad conmutati­va y la propiedad distributiva respecto a la suma:

A·B=B·A

A· (B+C) =A· B+A· C • El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo (cos 90° = O).

A·S = A·B cOS<p

B . cos <p

• El producto escalar es máximo si los vectores tienen la misma dirección (cos 0° = 1)

• El ángulo que forman entre sí dos vectores cualesquiera viene dado por la expresión:

Proyección de un vector sobre otro

De la expresión correspondiente al producto escalar:

5.2. Cálculo

A-B cp = arc cos -­

A ·B

Si los vectores A y B se expresan en función de los unitarios 1, }, k, el producto escalar de ambos viene dado por la expresión:

A . B =Ax· Bx+Ay· By+Az· Bz deducida a partir del producto

(Ax I+AJ+Azk) . (Bx 1+ BJ+BJ)

y teniendo en cuenta que los productos

A . B = A . B cos qJ

se deduce (véase figura):

Proy A B = B· cos qJ = - - -kB A - --

=B·--=-·B=B,uA kB A

La proyección de un vector so­bre otro es igual al producto es­calar del vector que se proyecta por un vector unitario en la di­rección sobre la que se proyecta.

13

VECTORES Y FUERZAS

I Ejemplos

14

1. Una argolla, sujeta al suelo mediante una plataforma horizontal , es­tá sometida a la acción de dos fuerzas:

F\ = 25 7+ 147 + 18 k (SI)

F2 = 40 7 - 92 7 + 16 k (SI)

Deduce qué ángulo forman entre sí y calcula el módulo de su resul­tante.

Solución:

a) El producto escalar F1 . F2 es:

25 . 40 + 14 . ( - 92) + 18 . 16 = O

lo que indica que las líneas de acción de ambas fuerzas son perpendiculares.

b) La fuerza resultante de ambas viene dada por:

R = F1 + F2 = 65 7- 787 + 34 k siendo el valor de su módulo:

NOTA: El módulo de R también puede deducirse calculando previamente los módulos de F1 y F2 y, al ser las fuerzas de direcciones perpendiculares, aplicar la expresión:

R= ~F,2 +~2

2. Dos vectores A y B cumplen la condición: lA + B I = lA - B l. Demostrar que A y B son perpendiculares.

Solución:

Consideremos que los vectores A y B vengan dados por:

A=Ax 7+Ay7+Azk B=B)+By7+Bz k

Como A+B=(Ax+Bx) 7+ (Ay+By) 7+ (Az+Bz) k

A -B = (Ax-Bx) 7+ (Ay-By) 7 + (Az -Bz) k

los módulos de la suma y de la diferencia de ambos vectores serán:

Como estos módulos han de ser iguales, se cumplirá:

es decir:

(Ax+Bx)2+ (Ay+By)2+ (Az+Bz)2= (Ax-Bx)2+ (Ay-By)2+ (Az -Bz) 2

Simplificando la expresión a~terior, resulta: Ax . Bx + Ay . By + Az . Bz = O, es decir: A . B = O, laque pone de manifiesto que los vectores A y B son perpendiculares.

Unidad 1

,Llctividades de Síntesis

1. Identificar el carácter vectorial o escalar de las siguientes magnitudes: masa, trabajo, veloci­dad, peso, potencia mecánica, presión yacelera­ción.

2. ¿Cómo se podría representar vectorialmente el movimiento del minutero de un reloj de agujas?

3. Calcular el vector resultante (módulo) de dos vec­tores fuerza de 9 y 12 N aplicadas en un punto O, formando un ángulo de: a) 30°, b) 45°, c) 90°

Resultados: a) Fa =20,3 N, b) Fb=19,43 N, c) Fc=15 N

4. El vector resultante de dos vectores fu.erza de direcciones perpendiculares vale 10 N. Si una de las fuerzas componentes es 8 N, ¿cuál es el valor de la otra?

Resultado: F2 = 6 N

5. Descomponer un vector fuerza de 100 N en dos componentes rectangulares tales que sus mó­dulos sean iguales.

Resultado: Fx = Fy = 70,7 N

6. Un muchacho tira de una cuerda atada a un cuerpo con una fuerza de 200 N. Si la cuerda forma un ángulo de 30° con el suelo horizontal, ¿cuál es el valor de la fuerza que tiende a elevar verticalmente el cuerpo?

Resultado: Fy = 100 N

7. Dos hombres tiran horizontalmente de sendas cuerdas atadas a un poste, las cuales forman entre sí un ángulo de 45°. Si el hombre A ejerce una fuerza de 750 N Y el B una fuerza de 500 N, hallar el valor de la resultante y el ángulo que forma con la tracción ejercida por el hombre A.

Resultados: R= 1 160 N; <p= 17,8°

8. Dado el vector A = 3 7+ 27+ 51<:: a) Representarlo gráficamente. b) Calcular su módulo. c) Calcular

. sus cosenos directores.

Resultados: b) A = 6,164; c) cos a= 0,487; cos f3= 0,324; cos y= 0,811

9. Deducir el valor de x para que los vectores A (5,1, - 2) Y B (2, x, 6) sean perpendiculares:

Resultado: x= 2

10. Dos vectores A y B v ienen expresados por: A = 3 7+47+ k; B = 4 7-57+ 8 k. Deducir si son perpendiculares.

Resultado: Sí, porque A . B = O

11. Calcular los módulos y los cosenos directores de los vectores anteriores.

Resultados: A=5,1; 8=10,25; cos a = 0,5883; cos f3= 0,7844; cos y = 0,1961;

cos a ' = 0,3904; cos f3' =-0,4879; cos y' = 0,7807

12. Dados los vectores A (3, - 2, O) Y B (5, 1, -2), deducir: a) Sus módulos. b) Su producto escalar. c) El ángulo que forman.

Resultados: a) A=m, 8=..f30, b) A · B= 13; c) <p=48,83°

13. Hallar un vector que sea perpendicular al vector A = 7 + 7 + k, que cumpla la condición de que su componente sobre el eje Z sea nula y que su­mado con el vector ( - 3,0, - 1) se obtenga de primera componente el valor cero.

Resultado: V = 3 7 - 37

14. Hallar un vector cuyos componentes sean pro­porcionales a 2, 3 Y 4, respectivamente, y cuyo módulo sea -ff16

Resultado:A=±(47+ 67+ 8k)

15. Hallar la tangente del ángulo que forman los vectores A = 3 7 - 7 + 2 k y B = 7+ k.

Resultado: tg <p = -/3/5

16. Comprobar que los vectores A = 3 7+27 - k; -B=7+37-5k y c=2 7-7+ 4kforman untrián­gulo rectángulo.

17. Un barco navega hacia el norte con una velocidad de 12 km/h y las corrientes lo arrastran hacia el es­te con una velocidad de 9 km/h. ¿Cuál es el valor, dirección y sentido de la velocidad real del barco?

Resultado: v= 15 km/h hacia el nordeste formando un ángulo de 53,13° a partir del este

18. ¿Qué fuerza paralela a un plano inclinado, de pen­diente 27,8 %, se debe ejercer para conseguir que un cuerpo de 90 kg colocado en él no deslice?

Resultado: F= 250,2 N

19. Dados los vectores A (3,-1,2) Y B (1,1,-2) cal­cular a) su producto escalar, b) el ángulo que forman sus direcciones.

Resultados: a) A · 8=-2; b) 102°36'

20. Empleando el cálculo vectorial, demostrar que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

15