02 CyTA - Cálculos Básicos I

2014 (Actualizavión 2015)

© J.S. Ramírez-Navas 1

Ciencia y Tecnología de los Alimentos

Juan Sebastián Ramírez-Navas IQ, PhD Escuela Nacional del Deporte

Nutrición y Dietética Cali – Colombia

Bases matemáticas para la Ciencia y Tecnología de Alimentos

Juan Sebastián Ramírez-Navas IQ, PhD Escuela Nacional del Deporte

Nutrición y Dietética Cali – Colombia

CONTENIDO

CyTA

Contenido

Sistema Internacional de Unidades

Bases matemáticas para la Ciencia y Tecnología de los alimentos:

Proporciones, Fracciones, Porcentajes,

operaciones algebraicas, despeje de ecuaciones,

sistemas de ecuaciones, aplicaciones

Estequiometria y Ecuación Química

Bibliografía

jsrn

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CyTA

Resolución de problemas

• En primer término se tendrá un enunciado, que resume los requerimientos de algún problema real (en general, llegar al planteamiento de un enunciado en el que se indica claramente cuál es el problema que debe resolverse, es una tarea nada fácil cuando se trabaja en una planta)

jsrn




• Después del enunciado, la primera fase de la resolución será traducir el enunciado al lenguaje usado en ingeniería química, es decir, construir el diagrama de flujo, colocar los datos conocidos en las diferentes líneas de flujo y tratar de presentar en forma matemática la pregunta o preguntas que se espera sean contestadas por medio de la resolución

jsrn


• Inmediatamente se procederá a la resolución usando los conocimientos matemáticos, físicos o químicos a nuestro alcance y planteando ecuaciones matemáticas que nos lleven a una solución.

• En esta fase se evitará el uso de números y se trabajará únicamente con ecuaciones algebraicas y diferenciales.

jsrn


• Cuando ha sido posible plantear el resultado de esta manera, es fácil sustituir las variables algebraicas por los datos numéricos y así obtener el resultado, el cual por último deberá traducirse al mundo real, o sea, presentarse en forma escrita indicando los resultados y requerimientos con palabras y números

jsrn

Resolución

– Leer bien el enunciado del problema

– Resolución

• Traducción

• Planteamiento

• Sustitución y cálculos

• Resultados

jsrn

FRACCIONES

CyTA

Concepto

• Fracción

– Es la parte de un entero

• Número fraccionario

– todo número fraccionario representa el cociente exacto de una división en la cual el numerador representa el dividendo y el denominador el divisor.

jsrn



Partes de una fracción

3

4

Numerador

Denominador

Indica el número de partes en que se divide la unidad o el entero.

Indica el número de partes que se toman del entero.

jsrn

Tipos de fracciones

Propias

Impropias

Mixtas

Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador.

Son aquellas en las que el numerador es mayor o igual que el denominador.

Son aquellas que están compuestas por una parte entera y una fracción.

3

5

1

2

8

15

8

8

7

5

13

10

2

7 1

3

5 8

jsrn

Conversión de fracciones

jsrn

3

2 = 1

1

2

3

6

1

2

jsrn

Conversión de fracciones

Fracciones equivalentes

• Son aquellas que se escriben diferente, pero representan la misma cantidad.

1

2 2

4 3

6

jsrn

Comparación de fracciones

“Mayor que” “Menor que” “Igual”

jsrn

1

2

2

5

5 4



RAZONES Y PROPORCIONES

CyTA 3

2

66666,03

2

jsrn

Razones y proporciones

• Cuando decimos “la razón entre el número a y el número b es...” estamos diciendo lo siguiente: “la división entre el número a y el número b es ...” O de otra forma: “a dividido por b es la razón entre a y b”

• La palabra razón es sinónimo de división

• Realicemos la siguiente división

• Esto es, 2 divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3 (que es diferente a decir la razón entre 3 y 2) es

6

4

66666,03

2

32

22

6

4

jsrn


• La razón entre 2 y 3 es 0,66666.

• Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es

• No resulta complicado verificar que la “división” entre 4 y 6 tiene como resultado la misma razón entre 2 y 3

• Por lo demás,

• De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3 que entre 4 y 6.

3 metros

2 metros

jsrn


• ¿Por qué se debe utilizar, en algunos casos, la palabra razón más que la palabra división?

• Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud horizontal y la longitud vertical es de 2/3.

3 metros

2 metros

6 metros

4 metros

jsrn


• Si se construye una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud vertical de 6 metros

• Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra horizontal y la barra vertical que la antena más pequeña.

• De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña.

1000

17

jsrn

• Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una medida de relación entre a y b, se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas aplicaciones al entorno real

– Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de

– Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés.

– Entonces ¿por cada 2000 habitantes cuántos nacimientos ocurrirán durante el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recién nacidos y la barra vertical los habitantes)




1000 habitantes

17 recién nacidos

2000 habitantes

x recién nacidos 20001000

17 x 34

1000

172000 x

jsrn

• Ambas antenas, que representan esquemáticamente a la población, deben estar en la misma razón, esto es

• Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente.


4939843,92

126000 habitantes por kilómetro cuadrado

jsrn

• La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.

• Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados.

• Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de

• ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!


1

3 130000

xrazón =

estudiantes enfermos

número de estudiantes =

130000

3x 43333x

jsrn

• Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la razón de enfermedades bronquiales es que se enfermará un estudiante de cada tres

• Si la población estudiantil de la ciudad de Cali es de 130000 estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente?

• ¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este invierno!


REGLA DE TRES

CyTA

Regla de tres

• Es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita.

jsrn

Regla de tres

Directa

Inversa

Mixta

Regla de tres

Simple y directa

A B

X Y

X BY

A

simple inversa

jsrn

A B

X Y

A BY

X



Regla de tres simple directa

• Si necesito 2 litros de leche para el desayuno de 8 niños, ¿Cuántos litros de leche se necesita para 15?

• De los 800 estudiantes universitarios, han viajado por tierra (en bus) 600 estudiantes. ¿Qué porcentaje de estudiantes ha ido de viaje por tierra (en bus)?

jsrn

8 2

15 Y

15 2 30Y 3,75

8 8

800 100%

600 Y

600 100%Y 75%

800

Regla de tres simple inversa

• Si 8 trabajadores realizan todo su trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán 3 trabajadores en realizar la misma cantidad de trabajo?

• Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

jsrn

8 10

3 Y

8 10Y 26,67

3

25 300

75 Y

25 300Y 100

75

PORCENTAJE

CyTA

Porcentajes

• El cálculo de porcentajes forma parte de las actividades cotidianas, por ejemplo, en el pago de impuestos, en la interpretación de estadísticas o en los descuentos.

• A pesar de su uso frecuente,

muchas personas, grandes y

chicas, tienen dificultad para

calcularlo.

jsrn

¿Qué significa Porcentaje?

45(120) 54

100

36(215) 77,4

100

El a por ciento de N se denota por: a % de N

Y se define como: a

a% de N (N)100

Ejemplos:

Calcule el 45% de 120

Calcule el 36% de 215 soles

jsrn

Porcentajes Porcentajes

• No se puede realizar sumas o restas:

100 + 25%

2x – 10%

• Siempre debe estar referido a una cantidad.

250 + 15%(200)

jsrn



Literal Simbólico Fraccionario Decimal

25%(N) 0,25(N)

60 por ciento de N

60%(N) 0,60(N)

16%(N) 0,16(N)

122 por ciento de N

25

N100

60

N100

122

N100

jsrn

Porcentajes Calcular 35% de 60

CALCULADORA NO CIENTÍFICA

Deberás teclear:

60 x 35 %

y aparecerá el resultado en la pantalla

21

CALCULADORA CIENTÍFICA

La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es:

60 x 35 SHIFT =

SHIFT activa la segunda función de las teclas

Tecla = contiene % como segunda función

SHIFT

=

%

SHIFT + = %

jsrn

Cálculo de porcentajes: con calculadora

Aumentos y descuentos

• Si una cantidad N aumenta en a%, se obtiene:

• Ejemplo

– Si una cantidad C se aumenta en 15%, se obtiene:

• Si una cantidad N disminuye en a%, se obtiene:

• Ejemplo

– Si una cantidad P se disminuye en 15%, se obtiene:

100 15

P 0,85 P100

a 100 a

N N N100 100

100 15

C 1,15 C100

a 100 a

N N N100 100

jsrn jsrn

¿Cuánto queda si una cantidad x .....?

Literal Simbólico Decimal

Disminuye en 10%

Disminuye en 40%

Disminuye en 42%

Disminuye en 35%

Aumenta en 10%

Aumenta en 30%

Aumenta en 15%

Aumenta en 23%

90% x

110% x

130% x

65% x

115% x

58% x

123% x

60% x

0,90 x

1,10 x

1,30 x

0,65 x

1,15 x

0,58 x

1,23 x

0,60 x

100%x - 10%x

100%x - 40%x

100%x + 10%x

100%x + 30%x

100%x - 35%x

100%x + 15%x

100%x - 42%x

100%x + 23%x

Variación porcentual

• Ejercicio

• En el mes de diciembre, un trabajador recibe 2400 soles de remuneración, en enero su remuneración es de 2600 soles. – Calcule la variación de su sueldo:

– Calcule la variación porcentual de su sueldo:

2600 – 2400 = 200 soles

jsrn

2600 2400

100 8,34%2400

Aplicación

• Dos personas siguen dietas diferentes y después de dos meses sus pesos fueron los siguientes:

• ¿Cuál fue la variación en peso de cada persona?, ¿Quién bajó más? • ¿Cuál fue la variación porcentual en el peso de cada persona?,

¿Quién bajó más?

Antes Después

Persona 1 70 kg. 60 kg.

Persona 2 60 kg. 51 kg.

jsrn



FRACCIÓN MÁSICA

CyTA

jsr jsrn

Fracción másica

• Es la masa (el peso) m de la sustancia dividida entre la masa (el peso) total de todas las sustancias presentes.

• Aunque lo que se pretende expresar es la fracción en masa, suele usarse el término fracción en peso.

i

masa de ix

masa total

jsr jsrn

Ejemplo

Un limpiador de cañerías de grado industrial contiene 5,00 kg de agua y 5,00 kg de NaOH. ¿Cuál es la fracción

en masa (peso) y el porcentaje de cada uno de los componentes dentro del recipiente del limpiador de

cañerías?

jsr jsrn

Resolución

Base de cálculo: 10 kg de disolución total

Componente kg Fracción en peso Porcentaje

H2O 5

NaOH 5

10

jsr jsrn

Resolución

Base de cálculo: 10 kg de disolución total

Componente kg Fracción en peso Porcentaje

H2O 5 5/10 = 0,5 50%

NaOH 5 5/10 = 0,5 50%

10 1,0 100%

METROLOGÍA

CyTA



Metrología

• Del griego μετρoν, medida y λoγoς, tratado.

• Es la materia matemática y técnica que estudia las mediciones de las magnitudes garantizando su normalización mediante la trazabilidad.

• Acota la incertidumbre en las medidas mediante un campo de tolerancia.

• Incluye el estudio, mantenimiento y aplicación del sistema de pesos y medidas.

jsrn

Metrología

• Actúa tanto en los ámbitos científico, industrial y legal, como en cualquier otro demandado por la sociedad.

• Su objetivo fundamental es la obtención y expresión del valor de las magnitudes empleando para ello instrumentos, métodos y medios apropiados, con la exactitud requerida en cada caso.

jsrn

Metrología

• Tiene dos características muy importantes:

– el resultado de la medición y

– la incertidumbre de medida

• Su campo de acción

– Acuerdos internacionales para patrones de medida

– Aseguramiento de la calidad en mediciones

– Certificación (Empresas de certificación)

– Calibraciones

jsrn

SISTEMAS DE UNIDADES

CyTA

Sistema de unidades

• Se entiende por Sistema de Unidades el conjunto sistemático y organizado de unidades adoptado por convención.

• Definen un conjunto básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto.

• Es un sistema coherente ya que el producto o el cociente de dos o más de sus magnitudes da como resultado la unidad derivada correspondiente.

jsrn

Sistema de unidades

• Existen varios sistemas de unidades:

– Sistema Internacional de Unidades o SI

– Sistema métrico decimal

– Sistema cegesimal o CGS

– Sistema Natural

– Sistema técnico de unidades

– Sistema anglosajón de unidades

jsrn



Otros sistemas de unidades

• Gravitatorios: Técnico - Terrestre

• Norteamericano De Ingeniería

• MKSC

• MKSA

• Practico

• Británico de Unidades

• Técnico Gravitacional

• Ingles Absoluto

• Británico

• Inglés

• Técnico Británico

• Técnico Inglés

jsrn

Sistema métrico

• Fue una de las muchas reformas aparecidas durante el periodo de la Revolución Francesa.

• A partir de 1790, la Asamblea Nacional Francesa, hizo un encargo a la Academia Francesa de Ciencias para el desarrollo de un sistema único de unidades

jsrn

Sistema métrico

• El establecimiento internacional del Sistema Métrico Decimal comenzó en 1875 mediante el tratado denominado la Convención del Metro

jsrn

Sistema métrico

“....nada más grande y ni más sublime ha salido de las

manos del hombre que el sistema métrico decimal”

Antoine de Lavoisier

jsrn

Sistema MKS

• En 1935, en el Congreso Internacional de los Electricistas celebrado en Bruselas, Bélgica, el ingeniero italiano Giovanni Giorgi propone y logra que se acepte su sistema.

jsrn

Sistema MKS

• Este sistema es llamado absoluto, pues como magnitud fundamental se habla de la masa y no del peso de los cuerpos, este sistema recibe el nombre de MKS, cuyas iniciales corresponden al metro, al kilogramo y al segundo como unidades de masa, longitud y tiempo respectivamente.

jsrn




• En 1889 se estableció una organización internacional denominada Conferencia General de Pesas y Medidas, que actualmente cuenta con representantes de la mayoría de los países del mundo.

jsrn


• En virtud de que en el mundo científico se buscaba uniformidad en un solo sistema de unidades que resultara práctico, claro y acorde con los avances de la ciencia, en 1960, científicos y técnicos de todo el mundo, se reunieron en Ginebra, Suiza en la XXI Conferencia General de Pesas y Medidas, y acordaron adoptar el llamado Sistema Internacional de Unidades (SI).

jsrn

Sistema Internacional de unidades

• El sistema de unidades definido por esta organización, basado en el Sistema Métrico Decimal tiene seis unidades fundamentales: metro, kilogramo, segundo, ampere, Kelvin y candela

• En 1971 se agregó la séptima unidad fundamental: el mol.

jsrn

Sistema Internacional de unidades

• El SI presenta coherencia porque:

– Define las unidades en términos referidos a algún fenómeno natural constante e invariable de reproducción viable.

– Logra una considerable simplicidad en el sistema al limitar la cantidad de unidades base.

jsrn

SI en Colombia

Si bien desde 1967 (Decreto 1731 del 28 de septiembre) se adoptó legalmente el SI, y se lo ratificó por medio del Decreto 3464 de 1980, sólo hasta la expedición de la Ley 1512 de 2012 (6 de febrero) el Congreso de la República aprobó el ingreso de Colombia como miembro pleno a la Convención del Metro, convirtiéndose en el país firmante número 84.

jsrn

SISTEMA INTERNACIONAL

CyTA



Definiciones

• Las dimensiones son el conceptos básicos de medición, como longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.

• Las unidades son la forma de expresar las dimensiones, como pies o centímetros para la longitud, u horas o segundos para el tiempo.

• Magnitud: todo aquello que puede ser medido.

jsrn

Definiciones

• Magnitud fundamental: cada una de las magnitudes que en un sistema, se aceptan por convención como funcionalmente independiente una respecto de otro.

• Magnitud derivada: su nombre lo dice, es aquella que se deriva de las fundamentales y están ligadas mediante relaciones matemáticas bien definidas.

• Magnitud suplementaria: lo que se agrega para completar.

jsrn

Definiciones

• Las magnitudes derivadas resultan de multiplicar o dividir entre sí las magnitudes fundamentales.

– Por ejemplo al multiplicar la magnitud fundamental de la longitud por sí misma, nos da la longitud al cuadrado que en el sistema Internacional es metro cuadrado (m2), que corresponde al área o superficie.

– Al multiplicar longitud por longitud por longitud obtenemos metros cúbicos (m3), que es una de las unidades con la cual se expresa el volumen.

jsrn

Definiciones

• Unidad de Medida: Valor de una magnitud para la cual se admite, por convención, que su valor numérico es igual a uno (1). Se fija la unidad de medida de una magnitud para hacer posible la comparación cuantitativa entre diferentes valores de una misma magnitud.

jsrn

Definiciones

• Al anexar unidades a todos los números que no son fundamentalmente adimensionales, se obtienen los siguientes beneficios prácticos: – Menor probabilidad de invertir, sin darse cuenta, una parte

del cálculo.

– Reducción en el número de cálculos intermedios y en el tiempo durante la resolución de problemas.

– Un enfoque lógico del problema, en lugar de limitarse a recordar una fórmula e insertarle números.

– Fácil interpretación del significado físico de los números empleados

jsrn jsrn

Unidades fundamentales del SI

Unidad Símbolo

Longitud Metro (m)

Masa Kilogramo (kg)

Tiempo Segundo (s)

Temperatura Kelvin (º K)

Intensidad de corriente eléctrica Ampere (A)

Intensidad luminosa Candela (cd)

Cantidad de sustancial Mol (mol)



• En 1889 se definió el metro (m) patrón como la distancia entre dos finas rayas de una barra de aleación platino-iridio.

• El interés por establecer una definición más precisa e invariable llevó en 1960 a definir el metro como “1 650 763,73 veces la longitud de onda de la radiación rojo-naranja del átomo de kriptón 86 (86Kr)”.

jsrn

Longitud Longitud

• Desde 1983 se define como "la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz, durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 segundos".

jsrn

1 m

1 segundo

299,792,458 t

• La primera definición de kilogramo (kg) fue “la masa de un litro de agua destilada a la temperatura de 4°C”.

• En 1889 se definió el kilogramo patrón como “la masa de un cilindro de una aleación de Platino-Iridio”.

jsrn

Masa Masa

• Este estándar es el único que requiere comparación para validar un artefacto.

• En la Oficina Internacional de Pesos y Medidas hay una copia del estándar

• En la actualidad se intenta definir de forma más rigurosa, expresándola en función de las masas de los átomos.

jsrn

Tiempo

• Su primera definición fue: "el segundo es la 1/86 400 parte del día solar medio".

• Con el aumento en la precisión de medidas de tiempo se ha detectado que la Tierra gira cada vez más despacio, y en consecuencia se ha optado por definir el segundo en función de constantes atómicas.

jsrn

Tiempo

• Desde 1967 se define como "la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133".

jsrn

Reloj atómico de fuente de cesio: El tiempo primario y la frecuencia estándar

para el USA (NIST)



Corriente eléctrica

• El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a una distancia de un metro uno del otro en el vacío, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2 x 10-7 newton por metro de longitud.

jsrn

Temperatura

• Hasta su definición en el Sistema Internacional el Kelvin y el grado Celsius tenían el mismo significado.

• El Kelvin (K), unidad de temperatura, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

jsrn

Intensidad luminosa

• La candela (cd) es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertz y de la cual la intensidad radica en esa dirección es 1/683 watt por estereoradian.

jsrn

• La candela (cd) comenzó definiéndose como la intensidad luminosa en una cierta dirección de una fuente de platino fundente de 1/60 cm2 de apertura, radiando como cuerpo negro, en dirección normal a ésta

jsrn

Intensidad luminosa

Ángulo sólido

• El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

jsrn

Cantidad de materia

• Antes no existía la unidad de cantidad de sustancia, sino que 1 mol era una unidad de masa "gmol, kmol, kgmol“

• Ahora el mol se define como la cantidad de sustancia de un sistema que contiene un número de entidades elementales igual al número de átomos que hay en 0,012 kg de carbono-12

• NOTA: Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones …

jsrn



Unidades derivadas sin nombre especial

Magnitud Nombre Símbolo

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Densidad de masa kilogramo por metro cúbico kg/ m3

Velocidad lineal metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

jsrn

Unidades derivadas del SI

jsrn


Unidades derivadas sin nombre especial


Ángulo plano Radian rad

Ángulo sólido Esteroradian sr

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

jsrn


Unidades derivadas con nombre especial


Frecuencia hertz Hz

Fuerza newton N

Presión pascal Pa

Energía, trabajo joule J

Potencia watt W

jsrn


Unidades derivadas con nombre especial


Resistencia eléctrica ohm Ω

Voltaje volt V

Flujo luminoso lumen lm

Iluminación lux lx

Ejemplo de construcción de unidades derivadas

m kg s

m3

kg·m/s2 m/s

jsrn

Unidades aceptadas que no pertenecen al SI


Masa tonelada t

Tiempo minuto min

Tiempo hora h

Tiempo día d

Temperatura grado celsius °C

Volumen litro L ó l

jsrn



Unidades aceptadas que no pertenecen al SI


Angulo plano grado °

Angulo plano minuto ’

Angulo plano segundo ’’

jsrn

Unidades en uso temporal con el SI


Energía kilowatthora kWh

Superficie hectárea Ha

Presión bar Bar

Radioactividad curie Ci

Dosis adsorbida Rad rd

jsrn

Unidades desaprobadas por el SI


Longitud fermi fermi

Presión atmósfera atm

Energía caloría cal

Fuerza Kilogramo-fuerza kgf

jsrn

Múltiplos y submúltiplos decimales

Múltiplos Submúltiplos

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1018 exa E 10-1 deci d

109 giga G 10-2 centi c

106 mega M 10-3 mili m

103 kilo k 10-6 micro μ

102 hecto h 10-9 nano n

101 deca da 10-18 atto a

jsrn

Reglas generales para el uso del SI

• Todo lenguaje construye reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicación

• El Sistema Internacional de Unidades - SI construyó sus propias reglas

• Cambiar o alterar las reglas causan ambigüedades

jsrn

Reglas para usar los símbolos

• No se colocarán puntos luego de los símbolos de las unidades SI, sus múltiplos o submúltiplos. Ejemplo: kg

• El símbolo de la unidad será el mismo para el singular que para el plural. Ejemplo: 1 kg - 5 kg

• No se acepta la utilización de abreviaturas para designar las unidades SI. Ejemplo: grs

• Los símbolos se escriben a la derecha de los valores numéricos separados por un espacio en blanco. Ejemplo: 10 A

jsrn



• Cuando se deba escribir (o pronunciar) el plural del nombre de una unidad SI, se usarán las reglas de la gramática española. Ejemplo: metro - metros

• No deberán combinarse nombres y símbolos al expresar el nombre de una unidad derivada. Ejemplo: metro/s

• Cada unidad y cada prefijo tiene un solo símbolo y éste no puede ser alterado de ninguna forma. No se debe usar abreviaturas. Ejemplo:

Correcto incorrecto 30 kg 30 kgrs 5 m 5 mts

jsrn

Reglas para usar los símbolos Reglas para usar los símbolos

• Los símbolos se escriben a la derecha de los valores numéricos separados por un espacio en blanco. Ejemplo: 10 A - 30 m - 40° 30’ 20’’

• Todo valor numérico debe expresarse con su unidad, incluso cuando se repite o cuando se especifica la tolerancia. Ejemplo: 30 m ± 0,1 m

• Luego de un símbolo no debe escribirse ningún signo de puntuación, salvo por regla de puntuación gramatical, dejando un espacio de separación entre el símbolo y el signo de puntuación. Ejemplo: 7,1 m .

jsrn

La coma como marcador decimal

• La coma es reconocida por la Organización Internacional de Normalización - ISO- como único signo ortográfico en la escritura de los números utilizados en documentos y normalización.

• La importancia de la coma para separar la parte entera de la decimal, es enorme.

• La grafía de la coma se identifica y distingue mucho más fácilmente que la del punto.

• El punto facilita el fraude, puede ser transformado en coma, pero no viceversa.

jsrn

Uso del nombre de las unidades

• El nombre completo de las unidades SI se escribe con letra minúscula, con la única excepción de grado Celsius, salvo en el caso de comenzar la frase o luego de un punto. Ejemplo: metro - kilogramo - newton - watt

• Las unidades, los múltiplos y submúltiplos, solo se podrán designarse por sus nombre completos. Ejemplo:

• m (metro)- kg (kilogramo) - K (kelvin)

• Las unidades cuyos nombres son los de los científicos, no se deben traducir, deben escribirse tal como en el idioma de origen. Ejemplo: newton - joule - ampere

jsrn

Escritura de numeros en documentos

• En números de muchas cifras, éstas se agrupan de tres en tres, a partir de la coma, tanto para la parte entera como para la decimal. Ejemplo: 1 234 567,890 12

• La primera cifra a la izquierda de la coma decimal tiene, como valor posicional, el de la unidad en la que se expresa el número. Ejemplo: 34,50 m (la cifra 4 indica metros)

• Si un símbolo que contiene un prefijo está afectado por un exponente, éste (el exponente) afecta toda la unidad. Ejemplo: 1 cm2 = (0,01m)2

jsrn

Uso de los prefijos

• Todos los nombres de los prefijos del SI se escriben con letra minúscula. Ejemplo: kilo - mega - micro

• Los símbolos de los prefijos para formar múltiplos se escriben con letra griega mayúscula, salvo el prefijo kilo, que por convención se escribe con letra (k) minúscula. Ejemplo: exa E - giga G - kilo k

• Los símbolos de los prefijos para forma submúltiplos se escriben con letra latina minúscula, salvo el símbolo del prefijo micro, para el cual se usa la letra griega mu minúscula ( µ ). Ejemplo: mili m - micro µ

jsrn



Representacion del tiempo

• El día está dividido en 24 horas, por lo tanto las horas deben denominarse desde las 00 hasta las 24.

• El tiempo se expresará utilizando dos cifras, para expresar los valores numéricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden: hora, minuto, segundo.

• Ejemplo: 12h 05 min 30s - 00h 30 min 05 s

jsrn

Representacion de la fecha en forma numerica

• Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrán utilizarse sólo dos cifras.

Ejemplo: 1990 ó 90 2003 ó 03

• Se utilizarán dos cifras para representar los días y los meses. Al escribir la fecha completa se representará el orden siguiente: año, mes, día y se usará un guión para separarlos.

• Ejemplo: 15 de octubre de 2003 - 2003-10-15 ó 03-10-15

jsrn

Ejemplos

Correcto

s

g

L/min

km/h

cm3

50 gramos

50 g

10 m x 20 m x 50 m

de 10 g a 550 g

Incorrecto

Seg seg

GR grs grm

LPM

KPH

cc cmc c m3

50 gramo

50 gr 50 grs

10 x 20 x 50 m

de 10 a 550 g

jsrn

Ejemplos

Correcto

de 10 g a 550 g

(30,5 ± 0,01)m

30,5 m ± 0,01 m

1,23 nA

123,45

0,876

1,25

123 456,123

Incorrecto

de 10 a 500 g

30,5 ± 0,01 m

30,5 m ± 0,01

0,001 23 µA

123.45

,876

1¼

123.456,234

jsrn

Ejemplos

Correcto

1,234 567

N.m

kg.m

N/m2

m

Pa

kg

Hz

Incorrecto

1,234567

Nm

Kgm

N:m2

m

Pa

KG

hz

jsrn

Ejemplos

Correcto

K

newton

joule

ampere

watt

Incorrecto

k

niutonio - nuton

julio

amperio

vatio

jsrn



Unidades a la colombiana

• Bulto - papas, repollo, maíz • Caja - tomate, pepino • Racimo - plátano ;

submúltiplo gajo • Chuspa (bolsa) - leche • Atado - cebolla, panela • Guango – leña • Carga – café • Eche: 20 (gasolina) • Chipa – hierro • Kilo(s)

• Libra(s) - papa, carne, puntillas

• Tabaco - medir distancias • Poma – guarapo • Arroba • Manojo • Mate (manjar blanco) • Puño • En las ferreterías se utiliza el

sistema inglés

jsrn

CONVERSIÓN DE UNIDADES

Procesos industriales

Reglas para manejar las unidades

• Las reglas para manejar las unidades son en esencia muy sencillas:

– Suma, resta, igualdad: Sólo es posible sumar, restar o igualar cantidades si las unidades de dichas cantidades son las mismas

– Multiplicación y división: Podemos multiplicar o dividir unidades distintas a voluntad

jsrn

Unidades y conversiones

• Por medio de las equivalencias podemos convertir unidades de un sistema a otro, como se ve en la tabla siguiente.

jsrn

Factor de conversión

• Los FC son expresiones de valores equivalentes de diferentes unidades del mismo sistema o de sistemas distintos

• El FC es la expresión de una cantidad con sus respectivas unidades, que es usada para convertirla en su equivalente en otras unidades de medida establecidas en dicho factor.

• En cualquier equivalencia de unidades de medida se pueden obtener dos factores de conversión.

jsrn

Procedimiento para convertir unidades

• Escriba la cantidad a convertir.

• Defina cada unidad en términos de la unidad deseada.

• Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como el recíproco del otro.

• Multiplique la cantidad a convertir por aquellos factores que cancelarán todo menos las unidades deseadas

jsrn



Ejemplo 1: Convertir 12 in. a centímetros dado que 1 in. = 2,54 cm

Paso 1: Escriba la cantidad a convertir.

12 in.

Paso 2. Defina cada unidad en términos de la unidad deseada.

1 in. = 2,54 cm

Paso 3. Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como el recíproco del otro.

1 in.

2,54 cm

2,54 cm

1 in.

jsrn

Del paso 3. o 1 in.

2,54 cm

2,54 cm

1 in.

2.54 cm12 in. 30.5 cm

1 in.

Ejemplo 1: Convertir 12 in. a centímetros dado que 1 in. = 2,54 cm

21 in. in.12 in. 4.72

2.54 cm cm

¡Mala elección!

Paso 4. Multiplique por aquellos factores que cancelarán todo menos las unidades deseadas. Trate algebraicamente los símbolos de unidades.

¡Respuesta correcta!

jsrn

Ejemplo 2: Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado 1 mi = 5280 ft y 1 h = 3600 s.

Paso 1: Escriba la cantidad a convertir.

Paso 2. Defina cada unidad en términos de las unidades deseadas.

mi60

h

Nota: Escriba las unidades de modo que los numeradores y denominadores de las fracciones sean claros.

1 mi. = 5280 ft

1 h = 3600 s

jsrn


Paso 3. Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como recíproco del otro.

1 mi = 5280 ft

1 h = 3600 s

1 mi 5280 ft o

5280 ft 1 mi

1 h 3600 s o

3600 s 1 h

El paso 3, que se muestra aquí por claridad, en realidad se puede hacer mentalmente y no se necesita escribir.

jsrn

Paso 4. Elija factores para cancelar las unidades no deseadas.

mi 5280 ft 1 h60 88.0 m/s

h 1 mi 3600 s

Tratar algebraicamente la conversión de unidades ayuda a ver si una definición se usará como multiplicador o como divisor.

jsrn


Más ejemplos

• La distancia que hay del home al jardín central de un campo de beisbol es de 400 pies (ft), convierta esta cantidad a metros.

• Convierta una longitud de 1500 millas a kilómetros.

jsrn

400 pies0,304m

*1pie

400*0,304m 121,92m

1

1500 millas1609m

*1milla

1500*1609m 2412000m

1



Más ejemplos

• Convertir una velocidad de 110 km/h a m/s.

jsrn

km110

h

1000m*

1km

1h*

110*1000 m m30,55

3600s 3600 s s

EXPONENTES

CyTA

Exponente

• Término utilizado en matemáticas para indicar el número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por sí misma.

• Un exponente se escribe normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior derecha de la expresión.

– Ejemplo: • x2

• (x+y)3

jsrn

an

denota

el producto a.a.a…a

(n factores)

Exponente

jsrn

Leyes de los exponentes

m n m n

mm n

n

0

m n mn

a (a ) a

aa

a

a 1

(a ) a

2 4 2 4 6x x x x 7 8 7 8 15w w w w

88 2 6

2

xx x

x

14

14 8 6

8

zz z

z

8

3 3 8 24x x x 4

9 9 4 36w w w

0x 1 0k 1

jsrn jsrn

Leyes de los exponentes

m m m

m m

m

m

m

m m

(ab) a b

a a

b b

1a

a

a b

b a

8 8 8wt w t

4 4 4 4xyz x y z

5 5

5

x x

y y

3 3

3

w w

r r

7

7

1x

x

2

2

1w

w

9 9z g

g z

3 3r t

t r



ECUACIONES LINEALES

CyTA

Ecuación

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas, cada una de ellas escrita a los lados del signo igual.

7x 5 12 3x

Ecuación

jsrn

Ecuación

7x 5 12 3x

La expresión que se escribe a la izquierda de la igualdad recibe el nombre de “primer miembro de la ecuación”, y la expresión de la derecha “segundo miembro”.

Primer miembro Segundo miembro

jsrn

7x 5 12 3x

Los términos que llevan x se denominan “términos en x” y aquellos que no van multiplicando a la x se llaman términos independientes.

Términos en x

Términos independientes

Ecuación

jsrn

Ecuación lineal

• Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación de la forma

donde a y b son números reales y a≠0

• Resolver una ecuación consiste en encontrar un valor para la incógnita que al sustituirlo en la ecuación haga que la igualdad se cumpla.

ax b 0

jsrn

Ecuación lineal

La ecuación lineal ax + b = 0

(donde a≠0) tiene exactamente una solución

jsrn

b

a

7x 5 12 3x

7x 3x 12 5

10x 7

7x

10



5x 2x 11 2 x 8

3x 11 x 6

3x 11 x 6

3x x 6 11

2x 5

5x

2

Ecuación lineal

jsrn

SISTEMAS DE ECUACIONES

CyTA

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas son dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que han de verificarse a la vez

Se escribe

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

''' cybxa

cybxa

Se llaman coeficientes

Se llaman términos independientes

Sistemas de ecuaciones lineales

jsrn

Una SOLUCIÓN del sistema

''' cybxa

cybxa

es cualquier pareja de valores (x, y)

que verifique las dos ecuaciones

Dos sistemas son EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones

14

32

yx

yx

2.1- 5 = -3

4.1- 5 = -1

Ejemp

lo

El par (1, 5) es una solución de este sistema porque:

1x

5y

jsrn

''' cybxa

cybxa

• Si

''' c

c

b

b

a

a

Sistema compatible indeterminado

Infinitas soluciones

• Si

• Si

''' c

c

b

b

a

a Sistema incompatible

No tiene solución

'' b

b

a

a

Sistema compatible determinado

Tiene una única solución

Clasificación de los sistemas

jsrn

Ejemplo

643

82

yx

yx

yx 28

64)28(3 yy 3y

328 x

2x

jsrn

Métodos de resolución • Método de sustitución

– Se despeja una incógnita en una ecuación

– Se sustituye esa expresión en la misma incógnita de la otra ecuación

– Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve ésta.

– El valor de esa incógnita se sustituye en la expresión donde estaba despejada la otra incógnita



Ejemplo

x 2 y 8

3x 4 y 6

yx 28

3

4628

yy

3y

328 x 2x

3

46 yx

yx 28

jsrn

Métodos de resolución • Método de igualación

– Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones – Se igualan esas dos expresiones – Se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Se resuelve

ésta. – El valor de esa incógnita se sustituye en cualquiera de las dos

expresiones, para calcular el valor de la otra.

Ejemplo

643

82

yx

yx

3y

832 x 2x

643

2463

yx

yx 3por

3010 y

82 yx

jsrn

Métodos de resolución • Método de reducción (Eliminación de una incógnita)

– Se multiplican una o las dos ecuaciones por números de manera que los coeficientes de una misma incógnita sean opuestos

– Se suman esas dos ecuaciones, eliminando así una de las incógnitas – Se resuelve la ecuación resultante. – Se sustituye ese valor en cualquiera de las dos ecuaciones para calcular el

valor de la otra incógnita.

BASE DE CÁLCULO

CyTA

Base de cálculo

• Este concepto es crucial tanto para entender cómo debe resolverse un problema como para resolverlo de la manera más expedita.

• La base de cálculo es la referencia que se elige para los cálculos que se planea efectuar para resolver un problema

jsrn

Base de cálculo

La base de cálculo puede ser un tiempo -horas, por ejemplo- o cierta masa de material -como 5 kg de CO,- o alguna otra cantidad conveniente.

jsrn

Base de cálculo

• Al seleccionar una base de cálculo se debe hacer las siguientes preguntas:

– ¿De qué se va a partir?

– ¿Qué respuesta se requiere?

– ¿Cuál es la base de cálculo más conveniente?

jsrn



ESTEQUIOMETRIA Y EC. QUÍMICA

Industria de Alimentos

La estequiometria

• Se ocupa de la combinación de elementos y compuestos.

• Las relaciones que se obtienen de los coeficientes numéricos de la ecuación química son los cocientes estequiométricos que nos permiten calcular los moles de una sustancia en relación con los moles de otra sustancia que interviene en la ecuación química

jsrn

La Ecuación Química

• Proporciona información cuantitativa y cualitativa indispensable para calcular las cantidades de sustancias que se combinan en un proceso químico

jsrn


• Un caso general de Ec. Qca sería: a A + b B → c C+ d D • donde:

– A, B, C, D, representan los símbolos químicos o la fórmula molecular de los átomos o moléculas que reaccionan (lado izquierdo) y los que se producen (lado derecho).

– a, b, c, d, representan los coeficientes estequiométricos, que deben ser ajustados de manera que sean reflejo de la ley de conservación de la masa.

• La interpretación física de los coeficientes estequiométricos, si estos son números enteros y positivos, puede ser en átomos o moles.

jsrn


• La Ec Qca indica cuáles son las relaciones estequiométricas: – 1 mol (no lbm ni kg) de heptano reacciona con 11 moles de oxígeno

para dar 7 moles de dióxido de carbono y 8 moles de agua.

– Estos moles pueden ser Ib mol, g mol, kg mol o cualquier otro tipo. Se forma un mol de CO2 a partir de cada 1/7 mol de C7H16.

– Además, se forma 1 mol de H2O con cada 7/8 mol de CO2.

– Así, la ecuación indica en términos de moles (no de masa) las proporciones entre los reactivos y los productos.

jsrn


• Si la base de cálculo que se escoge es una masa (Ibm, kg) en lugar de moles, se recomienda usar el siguiente procedimiento para resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones químicas: 1. Use el peso molecular para calcular el número de moles de

la sustancia que equivalen a la base de cálculo; 2. Obtenga de este número de moles el número

correspondiente de moles del producto o reactivo deseado multiplicándolo por el cociente estequiométrico correcto, según la ecuación química, y

3. Convierta el número de moles de producto o reactivo en una masa.

jsrn



Ejemplo

• Si 10 kg de C7H16 reaccionan por completo con la cantidad estequiométrica de O2, ¿cuántos kg de CO2 se obtendrán como producto?

jsrn

Resolución

Base de cálculo: 10 kg de C7H16

R/. 30,8 kg CO2

7 16 2 27 16 2

7 16 7 16 2

1 kgmol C H 7 kgmol CO 44 kg CO10kg C H * * * 30,8 kg CO

100,1kg C H 1 kgmol C H 1 kgmol CO

jsrn

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Industria de Alimentos

Bibliografía

• Libros – FELDER, R.M. Y ROUSSEAU, R.W. Elementary Principles of

Chemical Processes. 3 ed.: John Wiley & Sons, 2004. 702 p.

– HENLEY, E.J.A., ROSEN, E.M. Y VÁZQUEZ, F.M. Cálculo de balances de materia y energía: (métodos manuales y empleo de máquinas calculadoras). Reverté, 1973. 596 p.

– HICKS, T.G., HICKS, S.D. Y LETO, J. Manual de cálculos de ingeniería química. 3 ed.: McGraw-Hill, 1998. 1632 p.

– HIMMELBLAU, D.M.A. Y GARCÍA, R.L.E. Principios básicos y cálculos en ingeniería química. 6 ed.: Prentice Hall : Pearson Educación, 1997. 728 p.

jsr jsrn

Bibliografía

• Libros – MCCABE, W.L. Y SMITH, J.C. Operaciones Básicas De

Ingeniería Química. Reverté, 1981. 498 p. – OCÓN GARCÍA, J. Y TOJO BARREIRO, G. Problemas De

Ingeniería Química: Operaciones Básicas. Aguilar, 1986. – PERRY, R. Manual del Ingeniero Químico. 7 ed. USA: McGraw-

Hill, 1997. – REKLAITIS, G.V. Y SCHNEIDER, D.R. Balances De Materia Y

Energía. Interamericana, 1986. 649 p. – WATSON, H., HOUGEN, O.A., WATSON, K.M. Y RAGATZ, R.A.

Principios de los Procesos Químicos. Reverte, Editorial S.A., 1982. 560 p.

jsr jsrn

02 CyTA - Cálculos Básicos I

Documents

Transcript of 02 CyTA - Cálculos Básicos I