,

EQUILIBRIO EN LOS SOLIDOS

eONTENIDOS

1. SÓLIDOS RíGIDOS Y . SÓLIDOS DEFORMABLES

2. EQUILIBRIO. PRINClPIOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA 2.1. Sólidos libres y sólidos

ligados. 2.2. Condiciones de equilibrio

de un sólido. 2.3. Rozamiento estático.

3. DIAGRAMA DE FUERZAS DEL SÓLIDO LIBRE

4; CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASAS

5. CLASES DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO

34

5.1. Equilibrio de sólidos suspendidos.

5.2. Equilibrio de sólidos apoyados.

AMPLIACiÓN. TEOREMAS DE GULDIN-PAPPUS

La idea fíSico-química de sólido, relacionada con un cierto estado de agrega­ción de la materia, no siempre coincide con lo que ese término indica acerca del comportamiento de un cuerpo frente a situaciones de acción de fuerzas , de equilibrio, etc. ¿Qué es lo que caracteriza el que un sólido sea rígido o deformable? ¿Pueden darse ambas situaciones para un cuerpo en concreto? ¿Puede, en un momento dado, considerarse a un sólido como si fuera una ma­sa puntual? ¿Qué ventajas e inconvenientes acarrea esta situación dentro de un estudio de la Mecánica? La presente Unidad te ofrece pautas de respuesta a éstas y a otras cuestiones.

1. SÓLIDOS RíGIDOS Y SÓLIDOS DEFORMABLES

El concepto físico de sólido corresponde a aquel estado de agrega­ción de la materia en el que las fuerzas de cohesión entre partículas (átomos, iones, moléculas) son tan grandes que éstas ocupan posicio­nes fijas (aceptando los posibles movimientos de vibración debidos a la agitación térmica) y mantienen una distancia constante entre ellas. Por tanto, un cuerpo sólido ha de poseer una estructura de orden (estructu­ra cristalina) que en algunos casos es apreciable externamente (forma cristalina).

Evidentemente, y así lo demuestra la experiencia, existen factores di­versos que pueden modificar esa distancia entre partículas y, en conse­cuencia, alterar el volumen del cuerpo. Tal es el caso, por ejemplo, de las dilataciones, consecuencia de un aumento de temperatura, o el de las compresiones o alargamientos debidos a esfuerzos de tracción.

En Mecánica el concepto de sólido es más amplio y, sin atender dema­siado a microestructuras atómicas o · moleculares, se relaciona con el com­portamiento del cuerpo frente a las fuerzas exteriores a las que se somete.

Según este comportamiento los sólidos pueden ser:

a) Deformables, si al aplicarles una fuerza exterior se deforman con fa­cilidad. Si la deformación producida es permanente, se les denomina sólidos plásticos; si únicamente se genera mientras actúa la fuerza deformadora y los cuerpos, al cesar ésta, recobran la forma y el volu­men primitivos, en ese caso se les llama elásticos.

En realidad no existen cuerpos perfectamente elásticos en la totalidad de su comportamiento ante las fuerzas exteriores, puesto que siem­pre habrá un límite (límite de elasticidad) a partir del cual el cuerpo sufre una deformación permanente (plástica).

b) Indeformables o rígidos, si las distancias entre sus partículas consti­tuyentes permanecen invariables con el tiempo cualesquiera que sean las fuerzas exteriores actuantes.

Al igual que sucedía con los cuerpos elásticos, no existen sólidos completa o totalmente rígidos pues siempre habrá fuerzas exteriores capaces de deformarlos.

La experiencia nos demuestra que si se tiene un sólido en equilibrio y después se le aplican dos fuerzas opuestas en puntos diferentes, siem­pre que pertenezcan a la misma línea de acción, el cuerpo no altera su equilibrio.

F ~--\--.- -- ------- - +---+ ..

o F

Este fenómeno nos permite entender que las fuerzas aplicadas a sólidos rígidos se comportan como vectores deslizantes, pudiendo afirmarse que:

Sistemas de fuerzas exteriores vectorial mente equivalentes producen efectos idénticos en sólidos indeformables.

Unidad 3

35

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

z

x

36

2. EQUILIBRIO. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA

Un cuerpo está en equilibrio cuando su aceleración es nula. Esto impli­ca que si está en reposo continuará indefinidamente en reposo, y si está en movimiento, éste habrá de ser rectilíneo y uniforme.

La Estática es la parte de la Física que estudia las fuerzas cuando existe equilibrio entre ellas o, mejor aún, cuando conducen a situaciones de equili­brio. Para ello, como se explicará en apartados posteriores, es necesario que la resultante general y el momento resultante de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo sean nulos. Ampliando ahora el concepto definiríamos la Estática como:

La parte de la Física que tiene por objeto determinar la resultante ge­neral y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para establecer en él las condiciones de equilibrio.

La Estática se basa en una serie de principios evidentes:

• Una fuerza sola actuando sobre un cuerpo no produce equilibrio. Se supone que el cuerpo -sólido rígido- está libre; en el caso de que estuviera sometido a enlaces (sólido ligado) aparecerían otras fuerzas y podrían acarrear una situación de equilibrio.

Por ejemplo: si aplicamos una fuerza a un bloque grande de hierro apoyado en el suelo y en reposo, seguirá en reposo. Ello es debido a que a la fuerza apl icada se opone otra fuerza: la de rozamiento del bloque contra el suelo.

• Dos fuerzas iguales y opuestas, actuando en la misma línea de ac­ción, producen equilibrio.

• En un cuerpo en equilibrio cada fuerza es igual y opuesta a la resul­tante de las demás.

En efecto, si R es la resultante del sistema formado por las fuerzas F1

y F2 , para que el sólido esté en equilibrio, según lo dicho antes, la fuerza F3 debe ser igual y opuesta a ella.

2.1. Sólidos libres y sólidos ligados

Se entiende por sólido libre aquél que no experimenta restricción alguna a su movimiento, como es el caso, por ejemplo, de un cuerpo que deslice por una superficie horizontal plana sin rozamiento y sin fricción con el aire.

En caso contrario, se dice que el sólido se encuentra sometido a enlaces o li­gaduras que, al disminuir sus grados de libertad, impiden la realización de algu­nos movimientos y, en consecuencia, modifican las condiciones de equilibrio.

Así, en el caso del disco representado en la figura, que puede girar en torno al eje OY, estando impedido su desplazamiento a lo largo de dicho eje y de los OX y OZ, así como también la rotación alrededor de éstos, pa­ra que esté en equilibrio sólo es necesario que: L Mi = O

y

2.2. Condiciones de equilibrio de un sólido

La existencia de equilibrio en un sólido rígido libre, sometido a un siste­ma de fuerzas exteriores, exige que la resultante general del sistema y el momento resultante sean cero (nulos).

Matemáticamente:

Estas igualdades vectoriales son equivalentes a las seis ecuaciones es­calares siguientes:

I,F¡x = O

I,M¡x =0

I,F¡y =0

I,M¡y =0

I,F¡z = O

I,M¡z =0

Las tres primeras ecuaciones ponen de manifiesto las condiciones nece­sarias para que el sólido no se desplace con aceleración a lo largo de los ejes coordenados (equilibrio de traslación); las otras, relativas a los mo­mentos, determinan que el cuerpo no gire alrededor de dichos ejes (equili­brio de rotación). Vemos, pues, que el equilibrio de un sólido indeformable está condicionado por seis parámetros que se conocen con el nombre de grados de libertad. Evidentemente, como se explicó en el apartado ante­rior, si el sólido está ligado, el número de grados de libertad disminuye y, en consecuencia, sus condiciones de equilibrio.

Por otra parte, si en vez de un sólido rígido se trata de una partícula ma­terial aislada (<<punto material»), al carecer de sentido el que un punto gire al­rededor de un eje que pase por él, las seis condiciones de equilibrio se re­ducen a las tres primeras:

En resumen:

• Para que una partícula material (<<punto») esté en equilibrio es necesa­rio y suficiente que la resultante general de todas las fuerzas que ac­túan sobre ella sea nula.

• Para que un sólido rígido libre esté en equilibrio es necesario y sufi­ciente que la resultante general y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él sean nulos.

2.2.1. Casos particulares

• Fuerzas concurrentes en el plano. Si todas las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido se encuentran situadas en un plano (por ejem­plo, el XY) y sus líneas de acción concurren en el punto 0, las condi­ciones de equilibrio antes citadas se reducen a las dos siguientes:

Es decir, un problema de estática plana de fuerzas concurrentes no puede tener más de dos incógnitas (pues son sólo dos las ecuaciones que tienen sentido).

Unidad 3

37

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS ...............................................................................................

z

o)--____ ___+_

Y

x

El momento respecto a cualquier punto P es nulo, pues Mo = O (por ser O el punto de concurrencia de las fuerzas) y R = O (por encontrarse el sólido en equilibrio), y al aplicar la expresión que relaciona los momen­tos respecto a dos puntos distintos, resulta:

Mp=Mo+PO/\R=O

• Fuerzas concurrentes en el espacio. Las ecuaciones de equilibrio son:

Para los momentos el razonamiento es análogo al caso anterior.

• Fuerzas coplanarias. Supongamos que las fuerzas están contenidas en el plano )0( (y no son concurrentes). Las condiciones de equilibrio son:

Fuerzas coplanarias

z

te, 1" h 0)--____ _

y

x

A efectos operativos, en un sistema plano como el de la figura tomar momentos respecto al eje l es lo mismo que respecto al origen de coordenadas, pues las distancias al eje l y al origen coinciden.

• Fuerzas paralelas en el espacio. Si, por ejemplo, las fuerzas tienen la dirección del eje l, las condiciones de equilibrio son:

Fuerzas paralelas en el espacio

I Ejemplos

38

1. Un cuerpo que puede considerarse puntual, de peso 100 pondios, cuelga de una cuerda que pasa por dos poleas muy ligeras, situadas a igual altura y a la distancia de 6 m. Para que el sistema esté en equilibrio en los extremos de la cuerda hay que colocar sendos pesos de 250 pondios.

¿A qué distancia h de la recta que une las poleas quedará el punto medio de la cuerda?

Solución:

Observando la figura se deduce que h = 3/tg a puesto que, al ser iguales las fuerzas que equilibran el peso de 100 pondios, el punto A donde concurren las tres fuerzas (punto medio de la cuerda) ha de estar debajo del punto medio del segmento que une las dos poleas.

6m 3m

h

250 p: 250 p

Si llamamos f a la tensión de cada cuerda, que descompondremos - Tx""" -~¡'<--~Tx en dos componentes rectangulares: Tx = T . sen a y Ty = T . cos a, 250 p A

estas dos tensiones, junto con el peso del cuerpo, constituyen un sistema de fuerzas concurrentes en el plano. Aplicando las condi­ciones de equilibrio, resulta:

100

tg a = ~

2, Fx = O => T . sen a - T · sen a = O ; 2, Fy = O => T . cos a + T . cos a - P = O

Sustituyendo datos numéricos en la segunda ecuación: 250· cos a + 250 . cos a -1 00 = O

de donde:

y de aquí:

cos a= 0,2 => a= 78,46° => tg a= 4,899

3m h=--=0612m

4,899 '

250 P

Unidad 3 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • ~ •••••••• • ••••••••••••••••••••• t

2.3. Rozamiento estático

Ya se sugirió al comienzo de este apartado que para interpretar el «apa­rente» incumplimiento, en algunos casos, del primer postulado de la Estática había que aceptar la presencia de unas fuerzas «no visibles» que se oponen al movimiento de un cuerpo sobre otro. Son las llamadas fuerzas de roza­miento cuyo origen, fundamentalmente, se debe al encaje de las asperezas superficiales que presentan los cuerpos, interviniendo, asimismo, la adhe­rencia y cohesión entre ellos.

Leonardo da Vinci, Charles Coulomb y Arthur Jules Morin, el primero en el si­glo )0,f y el último en el XIX, encontraron experimentalmente las siguientes leyes:

• El rozamiento es independiente del área de las superficies en contacto y de la velocidad de los cuerpos, siempre que ésta sea pequeña. Sin embargo, si la velocidad es muy alta se observa que el rozamiento disminuye.

• El rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto y del grado de pulimento de sus superficies ..

• El valor máximo de la fuerza de rozamiento (fuerza opuesta al movi­miento) es directamente proporcional a la reacción normal del plano sobre el que se desliza el cuerpo.

Matemáticamente:

F =J.1 · N rmáx

donde N representa la fuerza nor­mal de reacción del plano y J.1 es un coeficiente adimensional caracterís­tico de las superficies en contacto, denominado coeficiente de roza­miento.

Despejando en la ecuación anterior:

Fr . J.1=~

N Fíjate

Causas de rozamiento'

Con carácter general, se puede ad­miti r que el rozamiento se debe a:

- la rugosidad de las superficies en contacto.

-las interacciones moleculares.

En la figura se recoge una repre­sentaci.Ón típica de la fuerza de rozamiento en función de la rugo­sidad.

F,

... ~ Rugosidad

El aumento del rozamiento que se observa a la izquierda del mínimo se explica por las interpcciones moleculares que entran en juego cuando las distancias entre las moléculas son pequeñas y que se ponen de manifies!o, por ejem­plo, al soldar por presión dos su­perficies especulares. Por el con­trario, cuando la rugosidad es elevada, es ella precisamente quien juega un papel predomi­nante en el rozamiento.

Según esto: El valor máximo de la fuerza de rozamiento: Frm,x = J.1e . N se alcan­za cuando el movimiento es inminente. Así, en el caso de la figura

Coeficiente de rozamiento de un cuerpo sobre otro es la relación que existe entre el valor máximo de la fuerza de rozamiento y la reacción normal del plano de deslizamiento sobre el cuerpo.

La propia experiencia demuestra que se precisa mayor esfuerzo para iniciar el movi­miento de un sólido (rozamiento estático) que para mantenerlo en movimiento una vez inicia­do éste. De ahí que se definan dos coeficien­tes de rozamiento: el estático y el dinámico.

• El coeficiente de rozamiento estático J.1e es mayor que el coeficiente de roza­miento dinámico J.1d'

El conocimiento de ambos, lógicamente, es experimental.

la fuerza F trata de mover el bloque pris­mático. Hasta que lo consigue el valor de la fuerza de rozamiento es igual al de la fuerza aplicada. A medida que ésta va au­mentando también lo va haciendo la fuer­za de rozamiento, la cual alcanza su valor máximo (J.1e . N) en el momento en que el cuerpo empieza a moverse (movimiento inminente). Una vez que el bloque esté en movimiento, la fuerza de roza-

11_ F ~ .

Ñ

' F~ miento disminuye, mante­niéndose luego en un valor F'r=J.1d· N.

F, f1 .. N - -- - -- --- -- - ---- movimiento

inminente

La gráfica adjunta, que repre­senta la fuerza de rozamiento en función de la fuerza aplica­da, sirve de resumen de lo an­teriormente expuesto.

F; =f1d' N -------- -- ---- - -

F

39

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

I Ejemplos

1. Demuéstrese que el coeficiente de rozamiento estático de dos cuerpos, uno de doble masa que otro, es el mismo si puestos sobre el mismo plano inclinado los dos inician su movimiento con un ángulo de inclina-ción igual.

I

N F, Solución:

Consideremos un cuerpo de masa m, situado en un plano inclinado a gra- F

dos sobre la horizontal. a

El peso P = m . 9 del cuerpo (vertical hacia abajo) se descompone en -- mg cos a --

dos componentes rectangulares, una perpendicular al plano, que pro- a mg

voca la reacción normal de éste, N, y otra paralela al plano, F, que es causa del deslizamiento.

Evidentemente, el cuerpo iniciará su COEFICIENTES DE ROZAMIENTO ESTÁTICO DE ALGUNOS MATERIALES movimiento por el plano cuando la Material JLe fuerza que lo causa (F) contrarrestre a la de rozamiento (JL . N). Metales perfectamente limpios en el vacío >5

En la figura se observa que: Metales limpios en aire 0,8 - 2

F = m . 9 . sen ex; y N = m . 9 . cos ex Metales limpios en aire seco 0,5 - 1,5

Como Cuerda de cáñamo sobre roble seco 0,7

F = F,rnáx: m . 9 . sen ex = f.1 . m . 9 . cos ex Madera-madera con agua 0,7

Madera-madera seca 0,6 Despejando f.1 se tiene:

Metal-madera seca 0,5

sena f.1=--=tga

Cuero-madera en seco 0,47

cos a Madera-madera engrasada 0,2

Acero en cojinetes metálicos secos (plomo o bronce) 0,1 - 0,5 El coeficiente de rozamiento es inde-pendiente de la masa del cuerpo Metal-madera engrasada 0,1

que desliza. No lo es, en cambio, el Acero-cerámicos (zafiro-diamante) 0,1 - 0,5 valor de la fuerza de rozamiento.

Cerámicos-cerámicos 0,05 - 0,5 2. Un bloque de 20 kg se encuentra si- Polímeros-polímeros 0,05 - 1

tuado sobre un plano horizontal, sien-do los coeficientes de rozamiento es- Metales y cerámicos-polímeros 0,04 - 0,5

tático y dinámico entre el bloque y el plano 0,30 y 0,28, respectivamente. Hallar los valores de la fuerza de rozamiento cuando al bloque se le aplica una fuerza horizontal de: a) 20 N; b) 40 N; c) 60 N; d) 80 N; e) 100 N.

Solución:

La fuerza normal de reacción del plano es N = m . g = 20 kg . 10 m/s2 = 200 N, Y el valor máximo de la fuer-za de rozamiento: F, . = f.1e . N = 0,30 . 200 N = 60 N.

max

Mientras la fuerza aplicada no alcance este valor, el bloque permanecerá en reposo, y la fuerza de roza- Fuerza aplicada Fuerza de rozamiento

miento será igual y de sentido contrario a la fuerza ex- 20 N 20 N (no hay movimiento) terior que se aplica. Una vez que el bloque inicie su

40 N 40 N (no hay movimiento) movimiento, la fuerza de rozamiento disminuye, y su valor será: 60 N 60 N (movimiento inminente)

F', = f.1d . N = 0,28 . 200 N = 56 N. 80 N 56 N (movimiento acelerado)

Se puede, por lo tanto, establecer la tabla adjunta: 100 N 56 N (movimiento acelerado)

40

3. DIAGRAMA DE FUERZAS DEL SÓLIDO LIBRE

Las condiciones de equilibrio establecidas en el apartado 2.2.:

son aplicables a los sólidos libres, entendidos como aquéllos cuyos movi­mientos no experimentan restricción alguna. Sin embargo, esto no suele su­ceder en la práctica. Lo más frecuente es que el sólido se encuentre ligado; es decir, sometido a ligaduras o enlaces, provenientes del exterior, que li­mitan sus posibilidades de movimiento y que van acompañados de un cierto efecto mecánico, que es la fuerza de enlace o de ligadura. Los módulos de estas fuerzas no se conocen a priori, pues dependen de las otras fuerzas aplicadas al cuerpo (fuerzas solicitantes); sin embargo, sí se conocen algu­nas características de ellas, como, por ejemplo, su dirección, lo que resulta de gran importancia a la hora de estudiar el equilibrio de dichos cuerpos.

Si queremos aplicar las condiciones de equilibrio a un sólido ligado, he­mos de aislarle del medio exterior, representando gráficamente las fuerzas solicitantes y de enlace que actúan sobre éL Se obtiene, de esta forma, el llamado diagrama de fuerzas del sólido libre, en el que figuran todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él -las de ligadura y las solicitantes.

Se debe tener en cuenta que las fuerzas interiores, que provienen de las acciones mutuas entre puntos o partes del sólido, constituyen sistemas de fuerzas cuya resultante es nula. Por ese motivo, no pueden figurar en los co­rrespondientes diagramas.

Las principales características de algunas fuerzas de enlace de uso fre­cuente, así como su representación gráfica, se recogen en la tabla de la pá­gina siguiente.

Conviene tener en cuenta los siguientes aspectos:

• Toda fuerza de enlace representa una ligadura o restricción de alguno de los grados de libertad del sólido. Las reacciones y los momentos­reacción son las causas que impiden, respectivamente, traslaciones y giros en los contactos del cuerpo o sistema con el medio exterior.

• Si al aislar el sistema se representan las fuerzas de enlace con que el medio exterior actúa sobre él, es necesario recordar que el sistema actúa también sobre el exterior con fuerzas de igual módulo y direc­ción, pero de sentidos contrarios. Es decir, las fuerzas de enlace son fuerzas de acción y reacción entre el sistema y el medio exterior. Lo mismo sucede con los momentos-reacción en los empotramientos.

• Para el planteamiento de las condiciones de equilibrio se debe elegir un sistema de ejes de referencia que resulte cómodo. Si todas las fuer­zas son coplanarias, se tomarán momentos con respecto a un eje per­pendicular al plano de las fuerzas; o, lo que es equivalente, con res­pecto al punto de intersección de dicho eje con el plano. Aunque este punto puede elegirse arbitrariamente, resulta por lo general aconseja­ble tomar como centro de momentos un punto por el que pase el ma­yor número de fuerzas desconocidas. De esta forma, se reduce al mí­nimo el trabajo de resolución del sistema de ecuaciones de equilibrio.

• En cada ejercicio de aplicación se debe comparar el número de ecuacio­nes independientes con el número de incógnitas, pues en muchos casos algunas de las condiciones de equilibrio pueden resultar superfluas.

Unidad 3

41

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

Tipo de enlace Dirección de la fuerza de enlace Representación gráfica

Apoyo simple Normal k ,

Apoyo móvil Normal ); Apoyo en un plano Normal al plano V Apoyo en una esquina Normal al sólido apoyado =1(N

~ Apoyo en un rincón Indeterminada (componentes horizontal y vertical) Nx

N N

Apoyo en una esfera Normal a la esfera (dirección radial)

T Cable, cuerda o tirante Dirección del cable

Pasador Indeterminada (componentes horizontal y vertical) ~'.N.

Articulación Indeterminada (componentes horizontal y vertical) Nx ~ Corredera Normal a la guía ~

"'-- . ~

~~-~~--Polea Indeterminada (componentes horizontal y vertical)

Ny --- , ------Fuerza de reacción de dirección indeterminada ~t N, Empotramiento (componentes horizontal y vertical) y momento-re- i

acción perpendicular al plano de éstas ) M ~

z Nx

Movimiento inminente ---.

Rozamiento La del posible movimiento (sentido opuesto) J I F,

42

Unidad 3

• La resolución del sistema de ecuaciones derivado de la aplicación de las condiciones de equilibrio proporcionará los valores de las fuerzas desconocidas. Si alguno de estos valores resulta negativo, se ha de interpretar que el sentido de la fuerza correspondiente es opuesto al que inicialmente se le había asignado.

• Cuando el sistema es deformable, pero consta de distintas partes rígi­das, es necesario aislar cada una de estas partes y aplicarles indivi­dualmente las condiciones de equilibrio. En estos casos, no hay que olvidar los enlaces entre una y otra parte del sistema, que se traducen en fuerzas que tendrán sentidos contrarios en cada una de las partes aisladas.

Ejemplos I 1. La figura representa una tabla sujeta horizontalmente en una pared ver­

tical por medio de dos anillas y dos escarpias en A y en B, y por medio de dos cuerdas CD y EF. Calcular la tensión de las cuerdas y las reac­ciones verticales en A y en B cuando la tabla y el objeto que soporta, situado simétricamente sobre la tabla, pesan en total 40 kp.

Solución:

El peso P = 40 kp, situado en el centro de la tabla (centro de gravedad), puede sustituirse por dos fuerzas paralelas, verticales hacia abajo, de 20 kp cada una, aplicadas en los puntos medios de AC y BE. De este modo, el problema se enfoca considerando uno sólo de los "enganches y apoyos": el ADC o el BFE.

Aislemos la tabla y construyamos el diagrama de fuerzas del sólido li­bre, en el que aparecerán el peso de la tabla y del objeto (20 kp), la ten­sión de la cuerda (T) y las componentes horizontal y vertical (H y V) de las reacciones de la pared en cada uno de los puntos de sujeción de la tabla. Eligiendo el sistema de ejes coordenados que se indica, la tensión de la cuerda se puede descomponer en dos componentes rectangulares en la dirección de los ejes:

Tx = T . cos a = T . cos 45 0

Ty = T . sen a = T . sen 450

Si el sistema está en equilibrio, habrá de cumplirse que:

¿, Fx = O => H -- Tx = O => H -- T . cos 450 = O

¿, Fy = O => V + Ty -- 20 kp = O => V + T . sen 45° -- 20 kp = O

¿,Mo =0=>H ·1m--20kp·0,5m=0

F

)-f---(f_.!....!!.!--'-~ E

D

E

Obsérvese (ecuación [3]) que, aunque se podría haber elegido otro punto diferente, hemos tomado mo­mentos respecto al punto O. De esta manera, los momentos de la tensión T y de la componente vertical V de la reacción de la pared son nulos; y resulta una ecuación muy sencilla, que permite el cálculo di­recto de H:

H= 10 kp

Sustituyendo este valor en la ecuación [1] Y recordando que sen 45° = cos 45° = ...J2 /2, se obtiene de las dos primeras ecuaciones:

V = 10 kp ; T = 10...J2 kp

43

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

44

2. El sistema de la figura está constituido por dos barras homogéneas de igual peso y longitud, que se encuentran en equilibrio en la posición in­dicada. El apoyo y el pasador están situados en los puntos medios de las barras respectivas. El peso del bloque A es de 16 kp. No existe ro­zamiento. Hallar el peso del bloque B que permite el equilibrio y las re­acciones en la pared y en el punto de contacto de las dos barras.

Solución:

Aislando las barras se obtienen los diagramas de fuerzas del sólido libre que aparecen representados en la figura.

Si se considera que la longitud de cada barra es 2L, los centros de gravedad de cada una de ellas (donde están aplicados sus pesos respectivos P) distarán L de cada extremo.

Eligiendo los ejes coordenados que se indican, se pueden plan­tear las siguientes ecuaciones de equilibrio:

jI.Fx = O => N - N' . cos37° = O [1]

Barra oblicua I,Fy = O => N' · sen 3r - P - PA = O [2]

I, Me = O => N· L . cos 3r - PA . L . sen 3r = O [3]

{

I, Fx = O => N' . cos 3r - R x = O

Barra horizontal I, Fy = O => R y - P - PB - N' . sen 37° = O

. . I, M o = O => N' . L . sen 37° - PB . L = O , De la ecuación [3] se obtiene:

N = P A . tg 37° = 16 kp . 0,75 = 12 kp

y este valor, sustituido en la ecuación [1] conduce a:

[4]

[5]

[6]

N' = N = 12 kp = 15 kp cos 37° 0,8

Por último, de la ecuación [6] resulta:

P B = N' . sen 37° = 15 kp . 0,6 = 9 kp

Ñ' ,COS 37" 1\

_ - - - - - - - _: Ñ' N"sen 37°

NOTA: Procediendo con absoluto rigor, habría que considerar que el sistema está constituido no sólo por las dos barras sino también por los dos bloques (A y B), Y trazar para estos últimos los correspondientes diagramas de fuerzas. De esta manera, las fuerzas actuantes sobre los extremos de las barras no serían PA

y P B' sino las tensiones de los hilos correspondientes. Sin embargo, en condiciones de equilibrio estas tensiones coinciden con los pesos de los bloques y por ese motivo en la práctica se procede de la forma arriba mencionada.

3. Una varilla de vidrio de sección uniforme y longitud 3 R se apoya sobre el fondo y el borde de una cápsula de porcelana de forma semiesférica de radio R (véase figura). Considerando nulos los ro­zamientos, determinar el ángulo a que formará la varilla con la ho­rizontal en la posición de equilibrio.

Solución:

Aislemos la varilla y construyamos el diagrama de fuerzas del sólido libre. Las tres fuerzas que actúan so­bre ella son su peso P, y las reacciones contra ella en los puntos de apoyo, ÑA y ÑB . La reacción ÑA será normal a la superficie de la cápsula y la ÑB normal a la varilla.

Unidad 3

Dado el equilibrio existente, si tomamos como ejes de referen­cia la varilla y la perpendicular a ella, se ha de cumplir que:

I, Fx = O => NA' cos a - mg . sen a = O

I,Fy =O=> NA ·sen a+ Na -mg ·cos a =O

3R I,MA =0 => Na ·2Rcos a -mg · _ ·cosa =0 2

[1 ]

[2]

[3]

, , ,

ÑA

·sen oc, _ > _-A Ni_Q9S-cx- mg

x

De la ecuación [1] se obtiene: NA = mg · sen a , y este valor, sustituido en la ecuación [2], conduce a: cos a

sen2

a [ sen2

a l mg ·---+Na =mg ·cos a=> Na =mg · cosa----cos a cos a

Pasando a la ecuación [3]: 3

Na = '4 mg e igualando ahora los dos valores de Na resulta:

[ sen2 a l 3 sen2 a 3 cos2 a -sen2 a 3 cos2 a-1+cos2 a 3

mg · cos a ---- =-mg=>cosa- =-=> =-=> =-=> cos a 4 cos a 4 cos a 4 cos a 4

=>4·(2cos2 a - 1)=3cos a =>8cos2 a -3cosa-4=0 '

Resolviendo esta ecuación de segundo grado se obtienen dos valores para cos a : 0,9190 y - 0,5440, que corresponden a dos valores de a: a1 = 23,21 ° Y ~ = 122,96°

Lógicamente, sólo el primero de esos valores tiene significado físico: a= 23,21 °

4. El sistema de la figura está constituido por una barra homogénea AB de peso P, apoyada en una pared vertical rugosa (punto A) y en un suelo horizontal liso (punto B). Dicha barra se mantiene en equilibrio por medio de un hilo que pasa por una pequeña polea, y uno de cuyos extremos está sujeto a B, mientras que A

del otro cuelga un bloque de peso Q. Si el coeficiente de rozamiento estático en A es /1 = 0,2, hallar la relación entre los pesos P y Q que per­mite el equilibrio.

Solución:

En primer lugar, hemos de tener en cuenta que la tensión del hilo es igual al peso Q (la polea lo único que hace es cambiar la dirección de la fuerza).

A continuación, aislaremos la barra designando por L su longitud. La barra permanecerá en equilibrio mientras no inicie su movimiento, el cual podrá verificarse en dos sentidos: extremo A de la barra hacia arriba o hacia abajo. En cada uno de los dos casos el diagrama de fuerzas del sólido libre será diferente, debido al distinto sentido de la fuerza de rozamiento.

Q

Consideremos primero el movimiento inminente de la barra en A hacia arriba. En la figura se representa el correspondiente diagrama de fuerzas. Aplicando las condiciones de equilibrio, tenemos:

I,Fx =O=>Q-RA =O=>RA =Q

I,Fy =O=>Ra -P-/1 ·RA =0

I, M a = O => R A • L . sen 37° - P . ~ . cos 3r - /1 ' R A • L . cos 37° = O => 2

[1]

[2]

=> 0,6 RA -0,4 P-O, 16 RA = O => 0,44 RA = 0,4 P [3]

45

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

46

Resolviendo la ecuación [3] con la [1] se obtiene: P=.!2=11 Q 10 '

Consideremos, ahora, el movimiento inminente de la barra en A hacia abajo. El nuevo diagrama de fuerzas del sólido libre correspondiente a la barra se representa en la figura. Apliquemos las condiciones de equilibrio:

I,Fx =O~Q-RA =O~RA =Q [4]

LFy=O~RB-P+f.l . RA=O [5]

LMB = O ~ RA ·L· sen 37° + f.l' RA ·L ·cos 3r-p . ~ . cos 37° = O ~ 2

+----~A ~ 0,6 R A + O, 16 R A - 0,4 P = O ~ 0,56 R A = 0,4 P [6]

Resolviendo la ecuación [6] con la [4] se obtiene: ~ =. ~~ = 1,4

Por lo tanto, para que la barra esté en equilibrio se habrá de cumplir:

P 1,1:S; Q :s; 1,4

5. ¿Qué fuerza horizontal F es necesario ejercer sobre las cuñas By C, de peso despreciable, para que el bloque A, de 4 000 kp de pe­so, comience a elevarse? Los valores de los coeficientes de roza-miento estático son 0,25 entre las cuñas y el suelo y 0,20 entre las cuñas y A.

Solución:

Aislemos el bloque A y las cuñas B y e, y tracemos los correspon­dientes diagramas de fuerzas del sólido libre, aplicando a continua­

A

ción las condiciones de equilibrio. En realidad, consideraremos solamente una de las cuñas (por ejemplo, la B), ya que los sistemas de fuerzas que actúan sobre ambas son idénticos. Tendremos en cuenta, además? que, de acuerdo con el enunciado, los pesos de las cuñas son despreciables. .

N

p

, N' fL •

N

BloqueA

LFx = O ~ N ·cos 60 0 -N ·cos600+ f.lN ·cos 30° ­

- f.l N . cos 30° = O (lógico, por simetría)

. LFy = O~ 2N· sen 60 0 -2f.lN· sen 300 -P = O

Cuña B

L Fx = O ~ F - N · sen 30° - f.l N . cos 30° - f.l' N' = O

L Fy = O ~ N' + f.l N . sen 30° - N . cos 30° = O

[1 ]

[2]

[3]

[4]

Sustituyendo los valores de los coeficientes de rozamiento y de las fun­ciones trigonométricas, las ecuaciones [2], [3] y [4] se convierten en:

N.J3 = P + 0,2 · N

F = [5+.J3) . N +025 · N' 10 '

N' = 5.J3 - 1 . N 10

Resolviendo este sistema, se obtiene: F = '2 257 kp

[5]

[6]

[7]

e Actividades :::> 11 l. Hallar los valores de las fuerzas

ejercidas hacia arriba en cada extremo de la mesa de la figura.

Resultado: En el extremo de la iz­quierda, 1500 N; Y en el de la

derecha, 2 100 N

2. Dos esferas, ambas de radio R y 20 N de peso, quedan en equili­brio en la posición que se indica en la figura; de manera que la línea que une sus centros forma un ángulo de 30º con la hori­zontal. Calcular las fuerzas que ejercen las esferas en los apoyos A, By C.

Resultado: FA = 20 N; Fa = 30 N; Fc= 1013N

4. CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASAS

2000 N

1000 N

Hemos visto en apartados anteriores que para resolver algunos ejercicios propuestos como ejemplo se localizaba el peso del cuerpo en un punto carac­terístico denominado centro de gravedad. ¿Por qué puede hacerse esto?

Si tenemos un cuerpo cualquiera, podemos considerarlo integrado por muchísimas partículas materiales de masa muy pequeña, cada una de las cuales es atraída por la Tierra. Si el cuerpo en cuestión es lo suficientemente pequeño en comparación con la Tierra (yeso es lo que sucede en la prácti­ca) las fuerzas de atracción sobre sus partículas son prácticamente parale­las entre sí y se representan, además, por vectores fijos.

La resultante de todo este sistema de fuerzas paralelas es una única fuerza, llamada peso del cuerpo, cuya dirección es la vertical. Su punto de aplicación recibe el nombre de centro de gravedad (c.d.g.) del cuerpo.

Centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación del peso de dicho cuerpo. Su posición es tal que no se modifica al cambiar la orientación del cuerpo.

El cálculo de la posición del centro de gravedad resulta, en algunos casos, muy sencillo. Así, por ejemplo, si el cuerpo es homogéneo y posee un centro de simetría, el centro de gravedad y el centro de simetría coin­ciden.

Por otra parte, algunos cuerpos geométricos se pueden descomponer en franjas, cuyos centros de gravedad son fácilmente determinables, y compo­niendo los pesos de cada franja se puede llegar a determinar el centro de gra­vedad del conjunto. Así, por ejemplo, supongamos que queremos calcular la posición del centro de gravedad de una lámina triangular. Para ello descom­pongamos el triángulo en franjas muy estrechas paralelas al lado AB, cada

Unidad 3

47

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

e

A B

48

una de las cuales se puede considerar como un segmento con el centro de gravedad en su punto medio. La recta que une dichos puntos medios, que es la mediana correspondiente al lado AB, contendrá al centro de gravedad del triángulo. Ya que se puede repetir el razonamiento descomponiendo el triángulo en franjas paralelas a otro lado, por ejemplo el AC, resulta, como conclusión final, que el triángulo tiene su centro de gravedad en el punto donde se cortan sus medianas (baricentro).

Si se trata de un cuadrilátero cualquiera, se trazan sucesivamente sus dos diagonales y así queda descompuesto en dos parejas de triángulos cuyos centros de gravedad se pueden determinar fácilmente. Uniendo a continua­ción dos a dos los centros de gravedad de cada pareja, se obtienen dos seg­mentos cuyo punto de intersección es el centro de gravedad del cuadrilátero.

e

A

A

A

e

~a ~N p

e

B

B

En general, salvo en estos casos sencillos, el cálculo de la posición del centro de gravedad es un problema analítico bastante complejo. Si traza­mos un sistema de ejes coordenados respecto a los cuales podamos referir el cuerpo, el vector de posición (G Y las coordenadas xi;; , Y G' zG del centro de gravedad vienen dadas por las siguientes expresiones:

siendo (¡ , Xi' y¡, Z¡ y p¡ el vector de posición y las coordenadas y peso, res­pectivamente, de cada uno de los puntos materiales en que podemos consi­derar dividido el cuerpo.

Como p¡=m¡· g, si suponemos 9 constante, las expresiones anteriores quedan reducidas a:

"" m· . z · z - k.. I I

G- M

siendo M la masa total del cuerpo.

Se deduce de lo anterior que las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo no dependen de que se encuentre o no situado en un campo gra­vitatorio, ya que en las expresiones correspondientes no aparece el valor de 9 (siempre que sea constante, lo cual sólo sucede cuando el tamaño del

Unidad 3

cuerpo es reducido). Por otra parte, hablando con entero rigor, el centro de gravedad no es un punto perfectamente definido, ya que no son exactamen­te paralelos los vectores representativos de los pesos de las partículas. Por ello las ecuaciones anteriores definen un punto que en la actualidad se suele designar con el nombre más correcto de centro de masas.

Es fácil la deducción de las fórmulas anteriores. Hagámoslo con la prime­ra, ya que para las demás el razonamiento será análogo.

Supongamos un cuerpo en forma de lámina, referido a un sistema de dos ejes coordenados y descompuesto en partículas de masas, m1, m2 , • • • ,

mi' ... , mn y pesos respectivos P1' P2' ... , Pi' ... , Pn, que forman un sistema de fuerzas paralelas al cual podemos aplicar el teorema de Varignon, tomando los momentos con respecto al origen de coordenadas:

m1· g ,x1 +m2· g ,x2 + ... +mn · g ,x n =xG ·[m1· g+m2· g+ ... +mn · g]

Sacando 9 factor común en ambos miembros:

gLm¡. x¡ =xG ·gLm¡

de donde:

Tratándose de cuerpos homogéneos descomponibles en otros de formas geométricas sencillas cuyos centros de gravedad sean conocidos, se trazan unos ejes coordenados y se aplican las fórmulas anteriores, teniendo en cuenta que ahora Xi' y¡, Z¡ son las coordenadas de los centros de gravedad de cada una de las figuras parciales.

Además, si el cuerpo tiene forma lineal , la masa es proporcional a la lon­gitud; si es laminar, a la superficie, y, por último, si se trata de un cuerpo tri­dimensional, al volumen; por lo que en los cálculos se puede sustituir la ma­sa por la longitud, la superficie o el volumen, respectivamente.

y

~------------------------------------------------------1. Determinar la posición del centro de gravedad de la lámina homogénea de la figura.

Solución:

Tracemos unos ejes coordenados como se ve en la figura y descom­pongamos la lámina en dos rectángulos ABCD y EFGH. Los centros de gravedad de ambos rectángulos, fácilmente determinables por geome­tría, son: G1 (3,5) Y G2 (3,2) Y sus superficies S1 = 12 cm2 y S2 = 8 cm2, siendo la superficie total S = 20 cm2

•

Aplicando las fórmulas:

x _ Lm¡ ,x¡ _ LP ' s¡ ,x¡ _ LS¡ ,x¡ . LS¡, y¡ G - M - p .S - S ' YG = S .

resulta:

12 cm2 . 3 cm + 8 cm2

. 3 cm 3 xG = 20c~ = cm

12 cm2 ·5 cm + 8 c~ ·2 cm 3 8 Y G = 20 c~ = , cm

y

6cm

p

Ejemplos

2cm

x

Luego, las coordenadas del centro de gravedad de la lámina son (3;3,8) lo cual significa que dicho punto está situado sobre el eje de simetría, a 3,8 cm de la base.

I

49

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

Si en vez de tratarse de partículas aisladas, el cuerpo es continuo, se descompone en elementos infinitesimales de volumen, dV, cada uno de los cuales tendrá una masa dm = p . dV, siendo p la densidad. Procediendo de esta forma, las sumas que aparecen en las expresiones anteriores se con­vierten en integrales, resultando:

Si el cuerpo es homogéneo, al ser su densidad constante en todos los puntos, se puede expresar como factor fuera de la integral, y como M = V . p fI/ = volumen total del cuerpo) tendremos:

Si, además, el cuerpo es de forma laminar, con un espesor, e, constante, como dV = e . dS y V = e . S (siendo S la superficie total de la lamina, y dS un elemento infinitesimal de dicha superficie), resulta:

YG =~J y·dS;

Por último, si el cuerpo tiene forma lineal, como un hilo o un alambre, las coordenadas del centro de gravedad serán:

YG =iJ y ·dl;

donde L es la longitud total del hilo y dI un elemento infinitesimal de longitud.

I Ejemplos

50

1. Hallar la posición del centro de gravedad de un triángulo rectángu- y

lo cuyos catetos de 10 Y 8 cm están situados sobre los ejes OX y OY, respectivamente:

Solución:

La ecuaCión de la recta que define la dirección de la hipotenusa del triángulo es 4x + 5y - 40 = O. Aislemos en él una franja ele­mental paralela al eje de abscisas, como indica la figura, y de su­perficie dS=x · dy. Como el área de todo el triángulo es 40 cm2

,

resulta:

YG = ~J y·dS= ~J Y.X.dY=~J:(10-¡y } .dY =

[ 3]8 5 2 5y

=-.!J8(10y-~y2)dY= y -12 o =2,67cm S o 4 40

Aislando ahora otra franja elemental paralela al eje de ordenadas, al ser su superficie dS = y . dx, tenemos que:

5 I----~~=T= dy (1)

y

o x x 10cm

y

dx

E x o

(1)

y - -- -- -- -- -,--G:

o I+-----:;-;c------+j X 10cm

Unidad 3

XG = ~ J x · dS= i J x· y·dx = ~ J~o x .( s-~X )dX =

[4 2 4X

3]10

= ~ J 10 (sx _ ± x2) dx = x -15 O = 3,33 cm S o 5 40

El centro de gravedad del triángulo es el punto (3,33; 2,67) cm. Precisamente se trata del baricentro del triángulo.

2. Hallar la posición del centro de gravedad de un aro semicircular de radio R y grosor despreciable.

Solución:

Escojamos un sistema de ejes coordenados tal que el origen coincida con el centro del arco. De esta manera, por simetría x G = O, Y sólo es preciso calcular y G.

Para llevar a cabo este cálculo podemos seguir el siguiente procedi­miento. Como el arco es homogéneo:

YG =lJ y·dl

y

Descompongamos el arco en elementos de longitud dI. Como y = R . sen ep, dI = R . dep, L = 'Ir R, resulta:

1 J 1 J" RJ" R ,, 2R YG =- y ·dl=- Rsenep ·R·dep=- senepdep=-[-cosep] =-L 'lrR o 'Ir o 'Ir o 'Ir

El centro de gravedad está situado sobre el eje de simetría del aro y dista de su centro

2R

'Ir

3. Determinar la posición del centro de gravedad de una lámina plana homogénea en forma de semicírculo de radio R.

Solución:

Lo mismo que en el ejemplo anterior, por simetría, xG = O. Para el cálculo de YG tendremos en cuenta que como se trata de una superficie homogénea:

YG = ~J y ·dS

y

x

x

Descomponiendo la superficie semicircular en aros de radio r y grosor dr, como el centro de gravedad de cada uno de estos aros tiene de ordenada: y = 2 rln (véase ejemplo anterior) y, además, dS = 'Ir r dr, y S=nR2/2, resulta:

1 J 1 JR2r 4 JR 2 4 [r3

]R 4R y G = S y . dS = 'Ir R2 o ---;¡ . 1TT . dr = 'Ir R2 o r dr = 'Ir R2 "3 o = 3'1r

2 El centro de gravedad de la lámina está situado sobre su eje de simetría y dista de su centro

4R 3'1r

Si un cuerpo homogéneo posee en su estructura zonas huecas geométrica­mente definidas, el cálculo de la posición de su centro de gravedad se lleva a cabo considerando que estas zonas huecas poseen masa, volumen o superficie negativos. El próximo ejemplo puede servir para poner en claro el procedimiento que se sigue.

51

EQUILIBRIO EN LOS SÓLIDOS ..............................................................................................

I Ejemplos

52

1. Determinar la posición del centro de gravedad de la superficie ho­mogénea sombreada de la figura. y

Solución:

Por simetría, el centro de gravedad de la superficie está situado so­bre el eje OY, de manera que xG = O, Y sólo es preciso calcular YG.

Para llevar a cabo este cálculo, se puede considerar a la superficie constituida por una chapa semicircular, de área S, = rcR2/2; cuyo centro de gravedad está situado en y, = 4RI3rc (véase ejemplo ante­rior); con un hueco u orificio en forma de triángulo de área S2 = - ~ y con centro de gravedad en Y2 = R13.

x

Es aconsejable, para realizar los cálculos con mayor comodidad, tabular los datos correspondientes a las distintas partes que componen el sistema:

Parte del sistema Ordenada del

Superficie centro de gravedad

Chapa semicircular 4R nR2

- --3n 2

Hueco triángular ~R _R 2

3

La ordenada del centro de gravedad de la superficie rayada será:

nR2

"4R _R2 .2R _LS¡ "Y¡ _S,.y,+S2 ·Y2 _ 2 3n 3 -0584R k- - - -,

S S, +S2 nR2 _R2 2

Por lo tanto, el centro de gravedad es el punto G (O; 0,584 R).

Para que un cuerpo suspendido esté en equilibrio es necesario que el centro de suspensión y el centro de gravedad estén en la misma vertical, ya que en ambos puntos actúan la tensión del hilo (o la reacción del apo­yo) y el peso del cuerpo respectivamente, y ambas fuerzas han de ser iguales y de sentido contrario. Se deduce de esto que para determinar ex­perimentalmente la posición del centro de gravedad de un cuerpo (sea ho­mogéneo o no) basta suspenderlo de dos puntos distintos, trazando, en cada caso, la vertical correspondiente: el centro de gravedad estará situa­do en el punto de intersección de ambas rectas.

Si se trata de un cuerpo de forma alargada, como, por ejemplo, una barra o una varilla, y queremos saber a qué distancia de sus extremos se encuentra el centro de grave-

dad, lo que se hace es apoyarlo ~ sobre una cuña e ir desplazándo-lo hacia uno u otro lado, hasta conseguir que quede en posición horizontal.

Unidad 3

I Ejemplos

1. El alambre de la figura es homogéneo y tiene la forma y dimensiones que se indican. Hallar:

a) La posición de su centro de gravedad.

b) Al suspenderlo por O, ¿qué ángulo formará la parte recta de AB con la vertical cuando el alambre al­cance el equilibrio?

o A L.:...:....--'-----, B

Solución:

OA = AB = 20

Be = 10

a) Descompongamos el alambre en las tres partes homogéneas que lo constituyen. Tomando un sistema de ejes coordena­dos como el que se señala en la figura, una vez calculadas las longitudes de cada una de las partes y las posiciones de sus centros de gravedad respectivos, podemos construir una tabla como la siguiente:

X; y;

Trozo semicircular 10 20ht

TrozoAB 30 O

Trozo Be 40 -5

Las coordenadas del centro de gravedad del alambre son:

e

y

o

1;

101t

20

10

x = LX; ./; = 10 ·10n+30 ·20+40 · 10 = 100+10n = 214 G L 1 O n + 20 + 10 3 + n '

20 '" . / - ·10n+0·20+(-5) · 10 15 _ .~_J; i _ n ----244

Y G - L - 1 O n + 20 + 10 - 3 + n - ,

El centro de gravedad es el punto G (21,4; 2,44).

b) Al suspenderlo por O (véase figura), el centro de gravedad se situará en la vertical que pasa por O.

Se cumplirá: tg cp = 2,44 = 0,114 , de donde se obtiene el valor del ángulo cp: 21,4

<p = 6,50

B x

e

e B

53

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

e Actividades ::::>

5A

1. ¿Es cierto que el centro de gravedad de un cuerpo ha de estar situado siempre sobre algún elemento material? ¿O es falso? ¿Por qué? Explí­calo, si quieres, con un ejemplo.

2. Calcular la posición del centro de gravedad del alambre homogéneo de la figura.

Resultado: G (1 ,778 R; 0,389 R)

3. Sobre los vértices de una pirámide de 6 m de altura y base cuadrada de 4 m de lado se encuentran las masas puntuales de la figura. Hallar la posición del centro de gravedad del ~istema.

Resultado: G (2, 38/15, 2)

4. Determinar la posición del centro de gravedad de un cono recto, maci­zo y homogéneo, de altura H.

Resultado: El centro de gravedad está situado sobre la altura del cono, distando de su base

1/4 de la longitud de la altura.

5. Calcular la posición del centro de gravedad de un disco circular homo­géneo de radio R con un orificio taladrado de radio R/4, como se in­dica en la figura.

Resultado: G (O, - R/60)

6. Determinar la posición del centro de gravedad de una semiesfera ma­ciza homogénea de radio R.

Resultado: Está situado sobre el eje de simetría de la semiesfera y dista de su vértice 5/8 R

7. Si la lámina plana y homogénea representada en la figura se suspende del punto A, ¿cuál es el ángulo que forma el lado AB con la vertical en la posición de equilibrio?

Resultado: a = 50,r

2R

z

x

y

y

16

x

Y=vx A

B

x

x

5. CLASES DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO

Un sólido puede disfrutar de tres clases de equilibrio:

a) Estable: Es aquél que posee un cuerpo que, separado ligeramente de su posición de equilibrio, la recobra al dejarlo posteriormente en liber­tad (caso de un cono de madera apoyado sobre su base).

b) Inestable: Cuando, al efectuar la misma operación, el cuerpo se aleja todavía más de su posición de equilibrio, hasta alcanzar la de equili­brio estable (conQ apoyado sobre su vértice).

c) Indiferente: Es el equilibrio que posee un cuerpo que, al desplazarlo un poco de su posición de equilibrio, se encuentra de nuevo en equili­brio (cono apoyado sobre su generatriz).

Para que un cuerpo pesado esté en equilibrio es condición necesaria que se le aplique una fuerza vertical cuya línea de acción pase por el centro de gravedad y neutralice el peso del cuerpo. Así se cumple que L F¡ = O y L M¡ = O {las dos condiciones de equilibrio) Esto se puede con­seguir de dos formas: suspendiendo el cuerpo o apoyándolo sobre una superficie.

5.1. Equilibrio de sólidos suspendidos

Para que un cuerpo suspendido esté en equilibrio es necesario que el centro de suspensión S y el centro de gravedad G estén en la misma verti­cal. Ahora bien:

R R

s R , ,

r: S G

Equilibrio estable Equilibrio inestable

a) Cuando S está por encima de G el equilibrio será estable, pues una pequeña separación origina un par que hace que el cuerpo recobre la primitiva posición de equilibrio.

b) Si G está por encima de S, el equilibrio es inestable, dado que una pequeña desviación da lugar a la aparición de un par de fuerzas que hace que el cuerpo alcance la posición de equilibrio estable.

c) Por último, si coinciden S y G el equilibrio es indiferente; en este caso, las fuerzas P (peso del cuerpo) y R (reacción del apoyo o ten­sión del hilo) están aplicadas en el mismo punto y son iguales y de sentido contrario, anulándose mutuamente, por lo que no originan par alguno.

Equilibrio indiferente

Unidad 3

55

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

Estable Indiferente

5.2. Equilibrio de sólidos apoyados

En este caso, considerando como base de sustentación el menor con­torno convexo que encierra todos los puntos de apoyo sobre el suelo, el equilibrio será:

a) estable, cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad pasa por la base de sustentación.

b) inestable, cuando pasa por la líneas límite de dicha base.

c) indiferente, cuando la base de sustentación es tal que la vertical del centro de gravedad siempre pasa por ella.

Cuando un cuerpo apoyado disfruta de equilibrio estable, su estabilidad dependerá de la posición del centro de gravedad y de la superficie de sus­tentación.

La estabilidad de un cuerpo apoyado es tanto mayor cuanto mayor sea la base de sustentación y más bajo esté situado su centro de gravedad.

Tanto en los cuerpos apoyados como en los suspendidos, la energía po­tencial depende de la altura a la que se encuentra situado el centro de gra­vedad. La posición que corresponde al equilibrio estable es la de menor energía potencial; la de equilibrio inestable, la de mayor, y la de equilibrio in­diferente es la de energía potencial constante. Por lo tanto, podemos resu­mir todas las consideraciones anteriores diciendo que:

La estabilidad de un cuerpo es tanto mayor cuanto menor sea su ener­gía potencial y, por consiguiente, cuanto más bajo está situado su centro de gravedad.

Dicho con otras palabras: los cuerpos buscan el equilibrio y éste corres­ponde a aquella posición en la que el centro de gravedad está lo más bajo posible.

e Actividades ::::>

56

1. Siéntate en una silla con la espalda recta y coloca las pier­nas de modo que formen un ángulo recto o ligeramente ob­tuso. Apoya las manos en las rodillas e intenta levantarte sin doblar la espalda. ¿Qué observas? ¿Cómo explicas este hecho?

2. ¿Son estables las tres posiciones de la caja de la figura? ¿En cuál de ellas es mayor la estabilidad?

3. ¿Quién tiene mayor estabilidad, un vaso completamente lleno de agua o el mismo vaso con agua hasta la mitad? Justifica la respuesta.

B~---- - - - --[di , ~ - ------ - -

" " (a) (b) (e)

.----_____ A m pi ia ción TEOREMAS DE GULDIN-PAPPUS

Los dos teoremas que vamos a enunciar a continuación, debidos al matemático y físico suizo Paul Habakuk Guldin (1577-1643) Y ba­sados en los trabajos del griego Pappus (siglo IV), son de gran interés para la determinación de los centros de gravedad d~ líneas y superfi­cies planas que al girar en torno a un eje dan lugar a figuras de revo­lución.

• Primer teorema. "El área de la superficie engendrada por una curva plana que gira alrededor de un eje que no la corta es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud de la circunferen­cia que describe su centro de gravedad".

Este primer teorema es útil para calcular el centro de gravedad de una línea que, al girar, origina una superficie. Apliquémoslo para de­terminar el centro de gravedad de un arco semicircular de radio R y grosor despreciable. Una semicircunferenci~ cuya longitud es n R, al girar en torno a su diámetro, engendra una superficie esférica, de área 4 n R 2

• Si designamos por y G la distancia del centro de gravedad del arco semicircular al centro de la circunferencia a la que pertene­ce, tenemos:

de donde:

• Segundo teorema. "El volumen del sólido engendrado por una superficie plana que gira alrededor de un eje que no la corta es igual al producto del área de dicha superficie por la longitud de la circunfe­rencia que describe su centro de gravedad".

Este segundo teorema se puede utilizar para determinar los cen­tros de gravedad de superficies planas que, al girar, engendran un volumen. Supongamos que queremos calcular el centro de gravedad de una lámina plana homogénea en forma de semicírculo, de radio R. El área del semicírculo es nR2/2, y el volumen de la esfera que origina al girar es 4/31tR3

• Por lo tanto: .

de donde resulta:

57

laboratorio

DETERMINACiÓN DE COEFICIENTES DE ROZAMIENTO

a) Método del tribómetro

Material:

• 1 tablero.

• 3 bloques prismáticos de madera de masas diferentes.

• 1 platillo.

• 1 caja de pesas.

• Cuerda fina y polea ligera.

Método:

Ñ

mg

• Disponer el tablero sobre la mesa; sujetar un extremo de la cuerda a una base del prisma y el otro a un platillo.

• Colocar el prisma de madera sobre el tablero e ir poniendo pesas en el platillo hasta conseguir que el mo­vimiento del bloque sea uniforme.

• Cuando se cumpla esa circunstancia tendremos que el valor del peso que cuelga (pesas y platillo) es igual a la fuerza de rozamiento 11 m 9 (m = masa del cuerpo de madera).

Por tanto: PCUelga = 11' m . 9

de donde:

b) Método del plano inclinado

El tribómetro también puede convertirse en un plano inclinado de inclinación variable, cuyo giro se facilita con una o varias bisagras.

. Colocar horizontalmente el tablero e ir inclinándolo poco a poco hasta que el bloque situado encima empiece a deslizar con movimiento uniforme.

En ese caso la aceleración es nula y por tanto:

O = 9 sen a - 11 9 cos a

de donde:

9 sen a t 11= = ga gcosa

El coeficiente de rozamiento coincide con el valor de la tan­gente del ángulo preciso para que el cuerpo deslice con movi­miento uniforme.

NOTA: Repetir en cada caso la experiencia tres veces en bloques distintos. Tabular los resultados y calcular el valor más probable como la media aritmética de los valores hallados.

58

Unidad 3 ...•........•.....•.•....•.......••....••..••••••..••...•........•.....•..••...••••....•.......

!tctividades de Síntesis

1. Calcular la tensión en cada cuerda de la figura, sabiendo que el peso del cuerpo suspendido es de 1 000 N.

(a)

A

(e)

e

B e

(d)

Resultados: a) A= B= C= 1000 N; b) A=732 N; B=896,6 N;

C= 1000 N; c) A= 1 000 N; B= 1414 N; C= 1 000 N; d) A=2 732 N; B=3 346 N; C= 1000 N;

e) A=833 N; B=291,7 N; C=625 N

2. La viga AB de la figu-ra, de peso despre­ciable, está articula­da en A, y su otro extremo se encuen­tra unido al punto O por medio del tirante BO. Está sometida, además, a las cargas p= 1 500 N Y Q=4 000 N. Hallar la reacción de la articulación y la tensión del tirante.

B

3m 7

Resultado: T=3 000 N; Rx = 1 500 -{3 N; Ry= 1 000 N

3. El semicilindro de la fi­gura pesa 1 000 kp. Sa­biendo que no existe ro­zamiento entre el plano inclinado y el semicilin­dro, determinar la fuerza horizontal necesaria para equilibrar dicho semi­cilindro, así como su punto de aplicación.

Resultado: F = 5 658 N

4. La barra AB de la figura, de peso despreciable, lleva suspendida en su punto medio una masa de 20 kg. El extremo A está unido a un desliza­dar que se puede mover en una ranura vertical, y el otro extremo, B, tiene un soporte de pasa­dor. Hallar el valor de las reacciones en A yen B.

4m

~: A

Resultado: A= 130,7 N; Bx = 130,7 N; By= 196 N

5. Una escalera uniforme, de 10 m de longitud y de 600 N de peso, con su centro de gravedad en el punto medio, se encuentra en equilibrio con un extremo en A, sobre el suelo áspero, y el otro en B, a 8 m sobre el suelo, y apoyado con­tra una pared vertical sin rozamiento . Se pide calcular las reacciones de la pared y del suelo, así como sus direcciones respectivas.

Resultado: Reacción en la pared = 225 N, norma l a ella;

reacción en el suelo = 640,8 N, formando un ángulo de 69,440 con el suelo

6. Las bisagras A y B de una puer-ta de 500 N de peso distan en-tre sí 2 m y la anchura de la puerta es 1 m (véase figura). E Sabiendo que todo el peso de C\I

la puerta lo soporta la bisagra superior, se desea saber los va-lores de las fuerzas ejercidas sobre la puerta en sus bisagras. A

Resultado: En la bisagra R=:::;1C=:m:==+1 superior, R=515,4 N, Y en la

inferior, 125 N

7. Una barra de 1 500 N de peso está soportada por un poste y un cable, según se observa en la figura. Todas las superficies son lisas. Hallar la tensión del cable y las reacciones sobre la barra en las superficies de contacto.

59

I

I

EQUILIBRIO EN LOS SÓLIDOS ..............................................................................................

Actividades de Síntesis

Resultados: Tensión del cable = 642,9 N; Reacción en el suelo = 1 .017,8 N;

Reacción en el poste = 803,6 N

8. Dos bloques M 1 y M 2 se apoyan so­bre los p lanos in­clinados de la figu­ra y están unidos por medio de un hilo ideal que pasa por la polea P. Los coeficientes de ro­zamiento de los bloques sobre los planos son J.l1 y J.l2' Calcular entre qué valores puede variar la relación M,IM2 para que el sistema permanezca en equil ibrio.

Resultado:

sen f3 - J.l2 . cos f3 M1 sen f3 + J.l2 . cos f3 ---'----'-"----'- < - < ----'---''--''----'-sen a + J.l1 . cos a - M2 - sen a - J.l1 . cos a

9. Una escalera de 8 m de longitud y 50 kp de pe­so está apoyada en una pared lisa vertical y en un suelo horizontal con el que forma 60°. Un hombre de 70 kg dese'a subir hasta su extremo superior sin que la escalera se deslice. Determi­nar:

a) Coeficiente de rozamiento mínimo escalera­suelo que permite esta circunstancia.

b) Reacciones en la pared y en el suelo.

Resultados: a) J.le = 0,457; Reacción en la pared = 54,85 kp; Reacción en el suelo = 131,9 kp

10. Una puerta de 2 m de ancho, 1 m de alto y 500 N de peso, con su centro de gravedad en el mismo centro geométrico, está unida al ma rco por dos bisagras (véase figura). Se dispone el cable CD,

60

cuya tensión va aumentando paulatinamente hasta que la fuerza horizontal sobre la bisagra A sea nula.

a) ¿Cuál es la tensión del cable CD?

b) ¿Cuál es el valor de la componente horizon­tal de la fuerza en la bisagra B?

c) ¿Cuál es la fuerza vertical ejercida en su conjunto por las bisagras A y B?

e

11. El pescante OA de la figura forma 60° con la horizontal, tiene 4 m de largo y pesa 500 kp . Calcu­lar la tensión del ca­ble horizontal que lo sujeta a la pared y las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida sobre el pescante en el punto O.

E

2m

Resultados: a) T = 268 N; b) F' =232 N; c) F=366 N

Resultados: T = 750{3 kp; Rx = 750{3 kp; Ry = 2 500 kp

12. Un hombre quiere subir una caja a lo largo de una pendiente con movimiento uniforme. Para arrastrarla tira de una cuerda atada a la caja. ¿Qué ángulo debe formar la cuerda con la pen­diente para que la fuerza con que debe tirar sea mínima? El coeficiente de rozamiento es J.l=0,2.

Resultado: qJ = 11,3°

Unidad 3

Actividades de Síntesis

13. El bloque A de la figura tiene una masa de 4 kg Y descansa sobre un bloque B de 8 kg. Ambos , bloques están unidos por una cuerda 'por pasa por la acanaladura de una polea sin rozamiento. Entre los bloques A y B Y entre este último y el suelo el coeficiente de rozamiento dinámico es 0,25. Hallar el valor de la fuerza F necesaria para arrastrar el bloque B hacia la derecha a veloci­dad constante.

Resultado: F= 5 kp

14. Determinar el módulo y el sentido de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque de 100 kg representado en la figura , si la fuerza aplica­da Fes:

a)F=600 N

b)F=200 N

Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el

F

bloque y el plano valen 0,20 y 0,15, respectiva­mente. Las fuerzas se aplican con el bloque ini­cialmente en reposo.

Resultados: a) Fr = 29,6 N, hacia abajo del plano;

b) Fr = 142,3 N, hacia arriba del plano

15. La barra AB de la figura, de 50 kg de masa y 4 m de longitud, está apoyada en los puntos A y C. Determinar el ángulo a en la posición de equi­librio, así como las reacciones en "-

A

B

1m

A Y C. Se consideran nulos los rozamientos.

Resultado: a= 52,53°;

RA =375,6 N; Rc=617,4 N

16. Hallar la mínima fuerza horizontal que es nece­sario aplicar sobre un bloque prismático de 500 kg de masa, situado sobre un plano de 30° de inclinación para que no descienda. El coeficien­te de rozamiento estático entre el bloque y el plano es 0,2.

Resultado: F= 1658 N

17. ¿Cuál ha de ser el mínimo valor del ángulo a para que la pila formada por los tres cilindros iguales de peso P= 26,5 kp, dispuestos como in­dica la figura, no se deshaga? Se desprecian los rozamientos.

Resultado: a = 10° 54'

18. El bloque homogéneo prismático de la figura , de masa m, anchura b y altura H, está situado sobre una superficie horizontal y sometido a una fuerza horizontal F, aplicada a una altura h sobre la superficie, que lo hace deslizar sobre ella a velocidad constante. El coeficiente de ro­zamiento dinámico entre el bloque y la superfi­cie es J.ld' Hallar el valor máximo que puede te­ner h para que el bloque deslice sin volcar.

b

H

I

F

h

I

b Resultado: h = 2

J.ld

61

EQUILIBRIO EN lOS SÓLIDOS

¡qctividades de Síntesis

19. Para manejar tubos de acero calientes se utili­zan las tenazas de la figura. Si la apertura de las mordazas es igual a 30°, ¿cuál es el valor míni­mo del coeficiente de rozamiento estático entre el tubo y las mordazas que permite que las te­nazas sujeten el tubo sin deslizamiento?

Resultado: ·f.le = 0,268

20. El coche representado en el esquema tiene una masa de 2 000 kg, Y el coeficiente de rozamien­to estático entre los neumáticos y el pavimento es f.le= 0,8. Determinar la fuerza F que es nece­sario ejercer sobre el parachoques trasero, para conseguir que el automóvil deslice:

0,4

a) Si las cuatro ruedas están bloqueadas.

b) Si sólo están bloqueadas las ruedas traseras.

c) Si sólo están bloqueadas las ruedas delan­teras.

Resultados: a) F= 15680 N; b) F= 5 37Q N; c) F= 11 000 N

21. ¿Qué fuerza F se debe ejercer sobre la cuerda para conseguir que el tablón de 100. k¡¡¡ de masa y 6 m de longitud comience a deslizan sobre los

~m 6m

soportes en los que se apoya? El coeficiente de rozamiento dinámico entre el tablón y cada so­porte es 0,50.

22. El cilindro de la fi ­gura tiene una masa de 2 kg y su coefi­ciente de rozamien­to con el bloque es f.l,. La masa del .blo­que es también de 2 kg, y su coeficiente de rozamiento con

Resultado: F= 795 N

el plano es f.l2' Hallar los valores de f.l, y f.l2 para que:

a) El cilindro pueda deslizar sobre el bloque sin que éste se mueva.

b) El bloque pueda deslizar sobre el plano arrastrado por el cilindro.

Resultados: a) f.l, = 1/3; f.l2 ~ 14/27;

b) f.l, ~ 1/3; f.l2 = 14/27

23. Un alambre homogéneo tiene la forma de la fi­gura. Si el radio del aro es de 5 cm, ¿cuánto de­be valer L para que el centro de masas del siste­ma sea el punto G?

~>--~ __ L ___ I

Resultado: L= 17,72 cm

24. Hallar la posición del centro de gravedad de la superficie rayada homogénea de la figura.

y

y=yx

4 X

3,6m Resultado: G(~,~)

62

Unidad 3

,Llctividades de Síntesis

25. Hallar la posición del centro de gravedad de la lámina plana homogénea de la figura.

y

R

x

Resultado: G[ 3R ,!!..] 2(4+v'3) 2

26. Hallar la posición del centro de gravedad de la superficie de la figura, supuesta homogénea.

y

(0,20) 1r-r7""7"7""7""7""7""'" (20, 20)

x

Resultado: G (8,15; 9,64)

27. Hallar la posición del centro de gravedad de la chapa agujereada de la figura, sabiendo que su radio es R= 24 cm.

y

Resultado: G (-4 cm; O)

28. Una varilla homogénea de 56 cm de longitud se dobla en ángulo recto por un punto que la divi­de en dos partes de 32 cm y 24 cm. Situar su centro de gravedad . Esta varilla doblada se

cuelga de un clavo por el vértice del ángulo rec­to. ¿Qué ángulos formará la vertical que pasa por el clavo con los brazos de la barra en la po­sición de equil ibrio?

Resultado: ({J, = 60,660; ({J2 = 29,340

29. Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 100 con la horizontal se quiere colocar un ci­lindro recto y homogéneo de 20 m de altura, en equilibrio sobre su base. ¿Cuál debe ser el radio mínimo de dicho cilindro para conseguirlo?

Resultado: R= 1,76 m

30. En un bidón de chapa de aluminio (densi­dad = 2 700 kg/m 3

) de forma cilíndrica, de 1 m de altura y 0,5 m de diámetro de la base, colo­cado verticalmente y sin tapa superior, se desea echar agua hasta que su estabilidad sea máxi­ma. ¿Hasta qué altura se debe llenar? El espe­sor de la chapa es de 2 mm.

Resultado: h = 16,5 cm.

31. El cuerpo sólido homogéneo de la figura está constituido por una semiesfera de radio R y un cono cuya base tiene el mismo radio. Calcular el valor de la altura H del cono si se desea que el cuerpo esté en equilibrio.

(O,R,O) y

x Resultado: H= Rf3

63