Diseño de bloques completos al azar

1. Introducción En muchos problemas experimentales, es necesario diseñar el experimento de tal manera que la variabilidad proveniente de otras fuentes pueda ser sistemáticamente controlada. Si esta variabilidad no es controlada, el error experimental (variabilidad entre unidades experimentales

que son tratadas igual o 2 ) reflejará tanto el error experimental como la variación adicional de otras fuentes. Lo que queremos es que el error experimental sea tan pequeño como sea posible. Un diseño que nos ayuda a contabilizar y remover esta fuente adicional de variación es el diseño de bloques completamente al azar (DBCA). En el DBCA, las unidades experimentales están agrupadas primero en grupos homogéneos llamados bloques y los tratamientos están asignados al azar dentro de los bloques. Es llamado completo debido a que cada bloque recibe todos los tratamientos. La variabilidad no controlada por las fuentes extrañas es ahora controlada por el bloqueo. Esta estrategia de diseño puede mejorar la exactitud de las comparaciones entre tratamientos reduciendo la variabilidad entre las unidades experimentales. Note que los bloques proveen de una replicación del experimento. Factores de bloqueo comunes: localidad, tiempo, individuos.

2. Diseño

Bloqueo El objetivo primario de organizar las unidades experimentales dentro de bloques es el de

reducir la variación residual. Esta reducción se logra haciendo a la unidades experimentales lo mas parecido posible dentro de un bloque y los mas diferente posible entre bloques. Al asignar a los tratamientos dentro de cada bloque, las diferencias entre tratamientos son observadas usando la variación dentro de bloque, la cual es mas pequeña. En un DBCA las unidades experimentales son divididas en r bloques cada uno consistiendo de t unidades experimentales. Los bloques son construidos de tal manera que, las t unidades experimentales dentro de un bloque son similares y las unidades experimentales en bloques diferentes no lo son. El criterio final para juzgar un DBCA será su habilidad para reducir la varianza residual.

Asignación de tratamientos Tomando cada bloque, los t tratamientos son aleatoriamente asignados a los t unidades experimentales dentro de un bloque. En esencia, cada bloque es un diseño completamente aleatorio no replicado. Debido a que el DBCA describe como los tratamientos serán asignados al material experimental es otro ejemplo de un diseño experimental.

3. Modelo

Formula Estadística:

ijijij eBy i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., r

Donde:

ijy es la observación en el j-ésimo bloque recibiendo el i-ésimo tratamiento,

es la media general,

i es el efecto del i-ésimo tratamiento

jB es el efecto del j-ésimo bloque y

ije es el efecto residual en el j-ésimo bloque recibiendo el i-ésimo tratamiento.

La adición del efecto del termino bloque en la formula es un reflejo de la aleatorización restringida. Esto es, a diferencia del diseño completamente al azar, cada tratamiento esta presente exactamente una vez en cada bloque. En este punto diferiremos la discusión de efectos fijos o aleatorios para mas tarde.

1. Valor esperado

iijyE

La media de la variable dependiente será diferente para cada tratamiento. Esto asume que los bloques son aleatorios. Si los bloques son tratados como fijos, entonces debe añadirse él termino Bj al valor esperado. Además debemos tenemos que asumir que las diferencias entre tratamientos permanecen constantes a través de bloques, esto es:

'' iijiij yyE

2. Varianzas y covarianzas

22

BijyVar

La covarianza entre observaciones en el mismo bloque es 2

B . La covarianza entre

observaciones en diferentes bloques es cero. Esto es, observaciones en el mismo bloque son más

similares que observaciones en diferentes bloques. Si los bloques son fijos, la varianza sería 2 y todas las covarianzas sería cero.

3. Distribución Normal

Se han hecho un numero importante de supuestos. En el caso de que el efecto de bloque sea fijo, se asume que los efectos de bloques y tratamiento son aditivos. También se asume que la variabilidad es constante a través de bloques y tratamientos.

4. Estimación No existen diferencias en nuestros estimadores de diferencias entre tratamientos o sus

errores estándar. Existirá diferencia en el estimador de 2 y los grados de libertad.

5. Cuadro de análisis de varianza

Fuente gl SC CM E(CM) F

Bloques r-1 SCBloque CMBloque 22 Bt

Tratamiento t-1 SCTrt CMTrt 22 trk

CMerror

CMTrtF

Error (r-1)(t-1) SCerror CMerror 2

SCBloques = rt

y

t

yr

j j2

..1

2

.

SCTrt = rt

y

r

yt

i i2

..1

2

.

SCerror = rt

y

t

y

r

yy

t

i

r

j

r

j j

t

i i

ij

2

..

1 1

1

2

.1

2

.2

Las media y varianza de un tratamiento pueden obtenerse de la siguiente manera:

.2.2.1.1.2.1 eBeBEyyE

.2.121 eeE

21

.2.121.2.1 eeVaryyVar

rr

22

Lo importante aquí es que al comparar medias de tratamiento el efecto del bloque se elimina.

6. Eficiencia del bloqueo

La efectividad del bloqueo puede ser juzgado usando la tasa de la varianza residual usando

bloques ( 2

BA ) con la varianza residual sin bloqueo ( 2

CA ), esto es:

2

2

CA

BA

La cual es llamada eficiencia relativa y es el numero de replicas de un diseño completamente al azar necesarios para obtener el mismo error estándar como una replicación única de un DBCA. Por ejemplo, una eficiencia relativa de 1.2 indicaría que por cada 5 replicaciones de un DBCA se necesitarían 6 = 1.2 x 5 replicas de un diseño completamente aleatorio para obtener el mismo error estándar. Un estimador de la eficiencia relativa puede obtenerse utilizando la siguiente ecuación:

CMerrorrt

CMerrortrCMBloquerre

1

11

7. Ejemplo Objetivo: Comparar la tasa de emergencia de semillas de soya, 3 tratamientos (2 tratamientos y un

control sin tratamiento).

El siguiente arreglo fue usado:

Rep 1 Rep 2 Rep 3

Diseño de tratamiento:

- Factor tratamiento: Semillas tratadas

- Niveles de tratamiento:Tres (Control, Arasan y Aspergon)

Diseño Experimental: - El terreno esta localizado en una pendiente - Los bloques se forman basándose en la elevación - 3 parcelas por cada elevación - 3 replicas de un DBCA

Los datos consisten del numero de plantas que emergen de un total de 100 que fueron plantadas. Note que quizá una distribución Binomial podría ser una selección más adecuada.

Formula estadística

ijijij eBy

Donde:

ijy es la tasa de emergencia de las semillas tratadas con el i-ésimo tratamiento en el j-

ésimo bloque, es la media general de la tasa de emergencia,

i es el incremento en la tasa de emergencia de la semillas tratadas con el i-ésimo tratamiento,

jB es el incremento en la tasa de emergencia para las semillas en el j-ésimo bloque y

ije es el incremento en la tasa de emergencia por usar el i-ésimo tratamiento en el j-ésimo

bloque.

Datos: Bloque Trartamiento Resp 1 1 2.9 1 2 2.5 1 3 2.1 2 1 1.7 2 2 1.4 2 3 1.1 3 1 2.0 3 2 1.5 3 3 1.0

Codificación para el análisis: Proc glm;

Classes blk trt;

Model resp=blk trt;

lsmeans trt;

run;

Resultados: The GLM Procedure

Class Level Information

Class Levels Values

blk 3 1 2 3

trt 3 1 2 3

Number of observations 9

The GLM Procedure

Dependent Variable: resp

Sum of

Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 4 3.18000000 0.79500000 79.50 0.0005

Error 4 0.04000000 0.01000000

Corrected Total 8 3.22000000

R-Square Coeff Var Root MSE resp Mean

0.987578 5.555556 0.100000 1.800000

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

blk 2 2.22000000 1.11000000 111.00 0.0003

trt 2 0.96000000 0.48000000 48.00 0.0016

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

blk 2 2.22000000 1.11000000 111.00 0.0003

trt 2 0.96000000 0.48000000 48.00 0.0016

The GLM Procedure

Least Squares Means

trt resp LSMEAN

1 2.20000000

2 1.80000000

3 1.40000000

The GLM Procedure

Dependent Variable: resp

Contrast DF Contrast SS Mean Square F Value Pr > F

t1 vs t2 1 0.24000000 0.24000000 24.00 0.0080

t2 vs t3 1 0.24000000 0.24000000 24.00 0.0080

Resumen

DCA vs DBCA - La mayor ventaja del DCA es su simplicidad - Si los bloques se construyen adecuadamente, la ventaja del DBCA es que obtenemos mayor

precisión - Con un numero grande de tratamientos puede resultar difícil formar bloques efectivos - En paso de análisis es la aleatorización usada la que conduce a que análisis usar. - En algunas ocasiones del DCA es un mejor diseño:

o El formar bloques únicamente por hacerlos no es una buena idea o Bloquear incorrectamente empeora las cosas.