07 funciones algebraicas CM2 cat - Escola...

Matemàtiques I BATXILLERAT

FUNCIONS ALGÈBRIQUES

Matemàtiques I BATXILLERAT © grup edebé edebé

Una funció, y = f(x), és una relació de dependència entre dues o més variables que permet descriure fenòmens, predir resultats, etc. Quan poden ser expressades mitjançant sumes, restes, multiplicacions, divisions i potències d’exponent racional, diem que són funcions algèbriques.

Introducció


El temps que tarda a caure un objecte ve donat per una funció irracional.

L’energia mecànica de la Terra en orbitar al voltant del Sol ve donada pe r una funció racional.

L’evolució temporal dels preus es pot modelitzar suavitzant els vèrtexs mitjançant funcions polinòmiques.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Continguts

grau 1

FUNCIONS ALGÈBRIQUES

Polinòmiques Exemple:

f (x) = x 2 + x ! 1

Racionals Exemple:

f (x) = 4x ! 2

7x 2 + 5

Irracionals Exemple:

f (x) = 5x 3 + 7

Definides a trossos Exemple:

f (x) = !2x ! 9

Funcions d’interpolació lineal:

Exemple:

y ! 6 =

23

(x ! 10)

Una funció polinòmica és aquella l’expressió algèbrica de la qual és un polinomi: Anomenem n el grau de la funció polinòmica; és a dir, el grau és l’exponent més elevat al qual està elevada la variable x. Les tres funcions polinòmiques més senzilles són les de grau 0, 1 i 2.

f (x) = anxn + an!1xn!1 + ... + a1x + a0


Funcions polinòmiques

f (x) = k

!10

!10

!6

!6

!4

!4

!8

!8

!2

!2 0

2

2

4

4

6

6

8

8

Y

X

Grau 0: funció constant 1r grau: funció afí

f (x) = ax + b

!10

!10

!6

!6

!4

!4

!8

!8

!2

!2 0

2

2

4

4

6

6

8

8

Y

X

a < 0

a > 0

2n grau: funció quadràtica

f (x) = ax 2 + bx + c

!10

!10

!6

!6

!4

!4

!8

!8

!2

!2 0

2

2

a > 0

a < 0

4

4

6

6

8

8

Y

X

  Representació gràfica: recta de pendent a.

  Recorregut R(f) = R.

  Punts de tall amb els eixos: (0, b), (–b/a, 0).

  Monotonia: si a > 0, creixent;

si a < 0, decreixent.

  Si b = 0, l’anomenem funció lineal.

Funció afí Funció quadràtica

  Representació gràfica: paràbola.   Vèrtex:   Eix de simetria: x = –b/2a.   Monotonia: canvia a tots dos costats del vèrtex.   Curvatura: si a > 0, convexa;

si a < 0, còncava.

! b

2a,

b2 ! 4ac4a

"#$

%&'


Funcions polinòmiques: propietats

!5

!5

!1

!1

!2

!2

!3

!3

!4

!4

1

1

2

2

3

3

4

4

Y

X

a > 0

a < 0

!5

!5

!1

!1

!2

!2

!3

!3

!4

!4

1

1

2

2

3

3

4

4 5

Y

X

El domini de les funcions polinòmiques són tots els nombres reals.


Funcions racionals

Anomenem funció racional aquella funció l’expressió algèbrica de la qual és el quocient de dos polinomis:

f (x) =

P(x)Q(x)

En cas que el polinomi del denominador sigui 0, no és possible efectuar el quocient i, per tant, f(x) no existeix; així, el domini de f(x) seran tots els reals tret d’aquells valors de x per als quals Q(x) = 0.

Un exemple senzill és la funció de proporcionalitat inversa:

f (x) =

kx

L’únic valor de x per al qual s’anul·la el denominador és x = 0. En aquest valor, la funció té una discontinuïtat, que es manifesta en forma d'asímptota vertical.

!3

!3!4

!1

!1

!2

!2 0

1

1

2

2 3 4

Y

X

Exemple:

  D(f) = {x ∈ R | Q(x) ≠ 0}   Asímptotes: – Vertical en x = a si Q(a) = 0 i P(a) ≠ 0 – Horitzontal en:

•  y = 0 si n < m

•  y = an / bm si n = m

•  No existeix si n > m

– Obliqua: només si n = m + 1

  D(f) = R – {–3}, R(f) = R – {1}

  Punts de tall: (1, 0) i (0, –1/3)

  Punt de simetria: (–3, 1)

  Asímptotes: vertical x = –3; horitzontal y = 1

  Monotonia i curvatura: creixent; convexa en (–∞, –3), còncava en (–3, +∞).

f (x) =

x ! 1x + 3

=! 4

x + 3+ 1


Funcions racionals: propietats

f (x) =

P(x)Q(x)

=anxn + ... + a0

bm xm + ... + b0

Ampliació sobre aquestes funcions i asímptotes

!3!4!5!6!7

!2

!1

!4

!6

!2 0

2

1

4

6

Y

X

Les funcions irracionals són totes aquelles en què la variable independent x apareix sota el signe radical. La seva expressió algèbrica és del tipus:

– Índex n imparell. Podem calcular la imatge de qualsevol x ∈ R. Per tant, D(f) = D(g). És a dir, si g(x) és un polinomi, D(f) = R.

– Índex n parell. No és possible calcular l’arrel d’índex parell d’un nombre negatiu. Per tant, D(f) = {x ∈ R/ g(x) ≥ 0}.

La resta de les propietats de f(x) (extrems, monotonia, curvatura…) dependran del comportament de g(x).

Podem distingir-ne dos casos: f (x) = g (x)n


Funcions irracionals

Com trobar el domini d’una funció irracional d’índex parell.

Estudiem ara el domini de les funcions irracionals següents:

Com que n és parell, la funció només estarà definida quan el radicand, 5(x – 1), sigui 0 o positiu.

5(x ! 1) " 0 x ! 1 " 0 x " 1La funció només està definida per a x més gran o igual que 1.

Si n és imparell, D(f) serà el mateix que el del radicand.

El radicand és un polinomi el domini del qual és el conjunt de tots els nombres reals i, per tant, D(f) = R.

f (x) = 5(x ! 1) f (x) = 5(x ! 1)3


Funcions irracionals: exemples

!1

1

2

4

3

!1 10 2 3 4

Y

X

!3

!1

!1

!2

!3

!2 0

1

1

2

3

2 3

Y

X

Una funció definida a trossos és aquella que té expressions diferents per a diferents intervals del domini de definició. Per exemple:

Per trobar la imatge d’un valor de x, hem de descobrir a quin interval pertany i substituir-lo a l’expressió corresponent.

f (x) =!3 si x " !4!x ! 1 si ! 4 < x " 0x 2 ! 1 si x > 0

#$%

&%

Les propietats d’una funció definida a trossos són, per a cada interval de definició, les de la funció que correspon a aquest interval.


Funcions definides a trossos

!5!7 !6

!1

!1

!2

!2

!3

!3

!4

!4 0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

7

6

Y

X

Més informació sobre aquest tipus de funcions

f (x) =

!f (x) si f (x) < 0f (x) si f (x) " 0#$%

Un exemple concret de funció definida a trossos és el valor absolut d’una funció. Aquesta funció es pot transformar en una funció definida a trossos determinant els intervals en què f és positiva o negativa:

En els intervals en què la funció és negativa, es canvia de signe.

En els intervals en què la funció és positiva, es deixa tal com està.

Si f (x) = x ! f (x) = x = "x si x < 0

x si x # 0$%&


Funcions definides a trossos: Valor absolut d’una funció

!5

!1

!1!2!3!4 0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

Y

X

Per practicar amb funcions definides a trossos

Presentació: Funcions algèbriques Projecte i edició: grup edebé Direcció General: Antoni Garrido González

Direcció d’Edició de continguts educatius: Maria Banal Martínez Direcció de l’àrea de Ciències i Tecnologia: Josep Estela Herrero Direcció Pedagògica: Santiago Centelles Cervera Direcció de Producció: Joan López Navarro

Equip d’edició d’edebé: Edició: Pau Barberà Fàbregas i Manuel Martín Domènech Correcció: Rosana Rodríguez Marzo Maquetació i il·lustració: Míriam Gastón Pérez Disseny gràfic: Lluís Vilardell Panicot

Col·laboradors: Redacció: Santiago Manguan Esteban i Joaquim Monton Garrido Correcció: Núria Vila Ortells

Fotografia: Thinkstock by Getty Images La presentació inclou una selecció acurada d’enllaços de pàgines web que edebé considera que poden ser d’interès. Tanmateix, aquestes pàgines no li pertanyen. Per tant, edebé no pot garantir-ne la permanència, ni la variació dels seus continguts i tampoc no es pot fer responsable dels possibles danys que es puguin derivar de l’accés o de l’ús de les pàgines. Els editors han fet tot el possible per localitzar els titulars dels materials que apareixen citats en l’obra. Si involuntàriament se n’ha omès cap, els editors repararan l’error quan sigui possible.

És propietat del grup edebé © grup edebé, 2015 Passeig de Sant Joan Bosco, 62

08017 Barcelona www.edebe.com


07 funciones algebraicas CM2 cat - Escola...

Documents

Transcript of 07 funciones algebraicas CM2 cat - Escola...