09 OSEP Estimacion de Estado
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Estimación de estado en SEP
1er semestre de 2016Dr. Ignacio A. Calle
ELI-349
Operación de sistemas eléctricos de potencia
Universidad Técnica
Federico Santa María
Estimación de estado – Introducción
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
La supervisión de los sistemas eléctricos provee al operador con la información
sobre las condiciones de operación, de modo que esta es una función muy
importante para que sea posible la operación y control en tiempo real de los mismos.
La operación efectiva del sistema necesitará de cantidades medidas y los valores de
estas mediciones a su vez serán transmitidos a los centros de control, involucrando
esquemas que permiten supervisar tensiones, corrientes, flujos de potencia y el
estado de los interruptores de circuitos en el sistema eléctrico.
Además, otra información importante como la frecuencia, unidades generadoras y
posición del cambiador de derivación en transformadores también puede ser
procesada por estos sistemas de telemedición.
Toda esta información telemedida simultáneamente, sería imposible de ser
procesada dentro de un marco de tiempo razonable por un operador, es por ello que
sistemas de computo son utilizados en los centros de control para procesar la
información y generar alarmas para prevenir a los operadores cuando una variable
está alcanzando o violando un límite preestablecido.
2
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Estimación de estado en un sistema DC
Considere el sistema de tres nodos de la figura, el cual cuenta con tres mediciones
de potencia con las que se desea calcular los ángulos de fase de las tensiones, así
como toda la carga y la generación del sistema.
3
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
1. Supongamos que usamos las mediciones M13 y M32, y además supongamos que
dichas mediciones son perfectas, siendo los flujos de potencia medidos en las
respectivas líneas de transmisión:
El flujo en las líneas 1-3 y 3-2 será:
Definiendo el ángulo de referencia como q3 = 0 rad., y resolviendo el sistema de
ecuaciones, se obtiene:
4
13
32
5 0,05
40 0,40
M
M
MW pu
MW pu
13 1 3 13
13
32 3 2 32
32
1( ) 0,05
1( ) 0,40
f Mx
f Mx
q q
q q
pu
pu
1
2
0,02
0,10
q
q
rad.
rad.
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
2. Ahora analicemos que ocurre si tenemos las mismas tres mediciones pero con
ligeros errores:
Si, nuevamente, utilizamos las mediciones en las líneas 1-3 y 3-2, obtendremos:
Con estos resultados se alcanzan los flujos predichos por M13 y M23, pero el
resultado para el flujo calculado en la línea 1-2 (M12 = 58,25 MW) difiere del
valor medido.
Lo que necesitamos es un procedimiento que utilice la información disponible de
los tres medidores para producir la mejor estimación de los ángulos reales, los
flujos de línea, la carga y la generación.
5
12
13
32
62 0,62
6 0,06
37 0,37
M
M
M
MW pu
MW pu
MW pu
1
2
3
0,024
0,0925
0
q
q
q
rad.
rad.
rad.
Estimación de estado – Descripción del problema
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
La función principal de un estimador de estado es minimizar los errores e
inconsistencias en la información obtenida por medio de la medición de valores de
ciertas variables que caracterizan la operación de un sistema.
Basándose en lo anterior, el propósito de un estimador de estado para sistemas
eléctricos es combinar la información concerniente a la configuración de la red
eléctrica, mediciones en tiempo real y pseudomediciones, para estimar el estado
real de la operación del sistema. En sistemas eléctricos, tal estado es
completamente determinado por la magnitud de las tensiones nodales con sus
respectivos ángulos de fase.
La estimación estadística se refiere al procedimiento basado en el uso de muestras
que se utilizan para calcular el valor de uno o más estados o parámetros
desconocidos en un sistema dado. Cuando las muestras (o mediciones) son
inexactas, la estimación obtenida para el parámetro desconocido es también
inexacta. Esto conduce al problema de obtener una “mejor” estimación de los
parámetros desconocidos, dadas las mediciones o muestras disponibles de un
sistema para el cual se desea conocer sus condiciones de operación.
6
Estimación de estado – Descripción del problema
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El desarrollo de la idea de estimación de estado dependerá del criterio estadístico
seleccionado para resolver el problema. De los criterios que se han desarrollado y
utilizado en varias aplicaciones, tres son los más favorecidos:
1. El criterio de máxima probabilidad, donde el objetivo es maximizar la
probabilidad de que la estimación de la variable de estado sea el valor real del
vector de variables de estado.
2. El criterio de mínimos cuadrados, cuyo propósito es minimizar la suma de los
cuadrados de las diferencias entre las mediciones estimadas y las mediciones
actuales.
3. El criterio de mínima varianza, cuyo fin es minimizar el valor esperado de la
suma de los cuadrados de las diferencias entre las componentes estimadas del
vector de variables de estado y las correspondientes componentes reales.
7
Estimación de estado – Error en las mediciones
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El criterio de máxima probabilidad asume que se conoce la función de densidad de
probabilidad (FDP) de los errores en las mediciones. La estimación usando el
método de mínimos cuadrados también requiere que la función de densidad de
probabilidad de los errores en la medición se conozca, para lo cual, se asume que la
función de densidad de probabilidad del error en la medición es una función de
distribución normal (Gaussiana).
Tomando cuidadosamente muestras (o mediciones) de un sistema dado,
inevitablemente se involucra algún ruido en forma aleatoria dentro del proceso de
medición, lo cual distorsiona en menor o mayor grado los resultados. Sin embargo,
repetidas mediciones de una misma cantidad bajo cuidadosas condiciones
controladas, revelan ciertas cantidades estadísticas desde las cuales el valor real
puede ser estimado.
Matemáticamente:
donde zmedida es el valor proporcionado por el aparato de medición, zreal es el valor
real de la cantidad medida, y h es el error de la medición.
8
medida realz z h
Estimación de estado – Error en las mediciones
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El valor de h modela el error del aparato de medición. Si el error en la medición es
imparcial, la función de densidad de probabilidad de h usualmente se considera
como una distribución normal:
donde FDP(h) describe el comportamiento de h, s es la desviación estándar y s2 es
la varianza de h.
La FDP(h) está centrada en cero, lo que significa que el valor esperado del error en
la medición es cero.
9
2
2
1( ) exp
22FDP
hh
ss
2
2
1( ) exp
22FDP
hh
ss
( )prob a bh ( )FDP h
3 2 0 2 3s s s s s s a b
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Se estimará el valor de la tensión de la fuente xreal, utilizando como aparato de
medición un amperímetro, el cual proporciona un error a la medición con una
desviación estándar conocida.
El amperímetro proporciona una lectura
Cuando el valor de h es cero, entonces se sabe que el valor de z1medida es igual a
z1real, es decir, se trata de una medición perfecta. La FDP para z1
medida será:
10
1 1 1
medida realz z h
2
1 11 2
11
( )1( ) exp
22
medida realmedida z z
FDP zss
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Si se asume que el valor de la resistencia r1 es conocida, puede transformarse en:
Volviendo a la definición del estimador de máxima probabilidad, buscamos un xest
que maximice la probabilidad de que la medida observada realmente ocurra. La
probabilidad de obtener en la lectura z1medida, se determina en la forma:
Como dz1medida
0, entonces:
11
1
21
1
1 2
11
1( ) exp
22
medida
rmedidaz x
FDP zss
1 1
11 1 1( ) ( )
medida medida
medida
z dzmedida medida medida
zprob z FDP z dz
1 1 1( ) ( )medida medida medidaprob z FDP z dz
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El procedimiento de máxima probabilidad entonces requiere que se maximice el
valor de prob(z1medida), que es función de x:
una transformación conveniente puede usarse en este punto, al maximizar el
logaritmo natural de FDP:
o
Como el primer término es constante, éste no es optimizable. Además, como el
segundo término tiene un coeficiente negativo, puede escribirse:
12
1 1 1max ( ) max ( )medida medida medida
x xprob z FDP z dz
1max ( )medida
xLn FDP z
1
21
1
1 2
1
max 22
medida
r
x
z xLn s
s
1 1
2 21 1
1 1
1 2 2
1 1
max 2 min2 2
medida medida
r r
xx
z x z xLn s
s s
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
De donde el valor de x que minimiza la ecuación se obtendrá de:
o
que es un resultado obvio.
13
1 1
21 1
1 1
2 2
1 1 1
02
medida medida
r rz x z xd
dx rs s
1 1
est medidax r z
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Veamos qué ocurre cuando en lugar de una medición se tienen dos, como muestra
la figura:
En este análisis, se supone que ambas resistencias, r1 y r2, , son conocidas. De
manera similar al caso anterior, cada lectura de medición se modela como la suma
del valor real y su error.
14
1 1 1
2 2 2
medida real
medida real
z z
z z
h
h
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Suponiendo que los errores son independientes y con funciones de densidad de
probabilidad:
Escribiendo éstas en función de z1medida y z2
medida, tenemos:
15
2
11 2
11
2
22 2
22
1( ) exp
22
1( ) exp
22
FDP
FDP
hh
ss
hh
ss
1
211
1 2
11
2122
2 2
22
( )1( ) exp
22
( )1( ) exp
22
medida
rmedida
medidamedida r
z xFDP z
z xFDP z
ss
ss
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Si se considera que los errores h1 y h2 son variables independientes, la probabilidad
de obtener z1medida y z2
medida, puede escribirse como:
Maximizando esta función:
El mínimo se encuentra obteniendo la derivada e igualando a cero, esto es:
16
1 2 1 2
1 1 2 2
( , ) ( )· ( )
( ) · ( )
medida medida medida medida
medida medida medida medida
prob z z prob z prob z
FDP z dz FDP z dz
1 2
2 21 1
1 2
1 2 2 2
1 2
max ( , ) min2 2
medida medida
r rmedida medida
xx
z x z xprob z z
s s
1 2 1 2
2 21 1 1 1
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
02 2
medida medida medida medida
r r r rz x z x z x z xd
dx r rs s s s
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Obteniéndose:
Si uno de los amperímetros es de calidad superior, entonces la varianza de éste
será mucho más pequeña que la del otro amperímetro. Por ejemplo, si s12 << s2
2,
entonces la ecuación para el valor estimado queda:
De lo anterior, se observa que la estimación de parámetros desconocidos utilizando
el método de máxima probabilidad recae en las mediciones de acuerdo a su calidad.
17
1 22 2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1
medida medida
est
z z
r rx
r r
s s
s s
1 1
est medidax r z
Estimación de estado – Concepto de máxima probabilidad
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Generalizando lo anterior, si se estima el valor de un solo parámetro x usando Nm
mediciones, se puede escribir la siguiente expresión:
donde
fi es la función usada para calcular el valor que está siendo medido por el i-ésimo
aparato de medición;
si2 es la varianza para la i-ésima medición;
J(x) es la medición residual;
Nm es el número de mediciones independientes;
zimedida es la i-ésima medición.
Si se desean estimar Ns estados desconocidos, usando Nm mediciones, se obtiene:
(1)
18
2
21
minm
medidaNi i
xi i
z f xJ x
s
1 2
2
1 2
1 2 2, ,...,
1
, ,...,min , ,...,
ms
sNs
medidaN
i i N
Nx x x
i i
z f x x xJ x x x
s
Estimación de estado – Método de mínimos cuadrados
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Si las funciones fi son lineales, entonces se puede escribir:
Colocando todas las fi en un vector:
donde
[H] es una matriz de Nm x Ns conteniendo los coeficientes de las funciones lineales fi;
Nm es el número de mediciones;
Ns es el número de variables a estimar.
19
1 2 1 1 2 2, ,..., ...s s si N i i i iN Nf x x x f h x h x h x x
1
2
mN
f
fH
f
x
xf x x
x
Estimación de estado – Método de mínimos cuadrados
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Introduciendo las mediciones dentro de un vector:
Se puede escribir la ecuación (1) de forma más compacta como
(2)
donde [R] se conoce como la matriz de covariancia de errores en la medición, la cual
contiene la desviación estándar de cada una de las mediciones. Esta matriz tendrá
solamente elementos diferentes de cero en la diagonal si las desviaciones estándar en las
mediciones son independientes entre si.
20
1
2
m
medida
medida
medida
medida
N
z
z
z
z
1minT
medida medidaJ R xx z f x z f x
2
1
2
2
2
0 0
0 0
0 0mN
R
s
s
s
Estimación de estado – Método de mínimos cuadrados
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Para obtener la expresión general del mínimo en la ecuación (2), se expande la
expresión y se sustituye f(x) por [H]x, obteniéndose:
El mínimo de J(x) se obtiene cuando ∂J(x) / ∂xi = 0, Ɐ i =1, …, Ns; lo cual es lo
mismo que decir que el gradiente de J(x), xJ(x), es exactamente cero.
dando como resultado
Esta ecuación es válida cuando Ns < Nm, es decir, cuando el número de parámetros o
variables de estado que serán estimados es menor que el número de mediciones
hechas.
21
1 1
1 1
minT
T
Tmedida medida T medida
Tmedida T
J R H R
R H H R H
xx z z x z
z x x x
1 12 2T TmedidaH R H R H J x z x 0
1
1 1T Test medidaH R H H R
x z
Estimación de estado – Método de mínimos cuadrados
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Cuando Ns = Nm, el problema de estimación se reduce a:
Cuando Ns > Nm, por lo general implica que pueden ser hallados muchos valores
diferentes para xest, que cumplan fi (xest) igual a zi
medida Ɐ i =1, …, Nm. El objetivo es
encontrar xest tal que la suma de los cuadrados de xiest es mínima:
sujeta a fi (xest) = [H]x = zmedida. La solución cerrada bajo estas condiciones es:
22
1est medidaH
x z
2
1
minsN
T
i
i
x
x
x x
1
T Test medidaH H H
x z
La obtención de la inversa de las ecuaciones anteriores, no siempre es posible. En
los dos primeros casos, la singularidad implica que se tiene un sistema
“inobservable”. En el caso subdeterminado, la singularidad implica que no existe
solución única al problema.
Estimación de estado – Método de mínimos cuadrados
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Caso Descripción Solución Comentario
Ns < Nm Sobredeterminado
xest es la estimación de
máxima probabilidad de x
dadas las mediciones
zmedida
Ns = Nm
Completamente
determinado
xest se ajustará
exactamente a las
mediciones zmedida, con
todo y sus errores.
Ns > Nm Subdeterminado
xest es el vector de norma
mínima que adapte las
cantidades medidas a las
mediciones, exactamente.
23
11
1
Test
T medida
H R H
H R
x
z
1est medidaH
x z
1
T Test medidaH H H
x z
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Volvamos al ejemplo inicial:
Del desarrollo anterior se sabe que los estados q1 y q2 pueden ser estimados
minimizando el residuo J(q1, q2). Considérese que todas las mediciones tienen las
siguientes características:
• Valor del medidor a plena escala: 100 MW
• Precisión del medidor: ± 3 MW
24
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Esto se interpreta como la media de que los medidores proporcionen una medición
en el rango de ± 3 MW del valor medido para el 99% de las mediciones.
Matemáticamente se dice que el error esta distribuido de acuerdo con una función
de distribución normal de probabilidad con una desviación estándar s.
Se asume que la precisión del medidor es igual a 3s, entonces la desviación
estándar será s = 1 MW = 0,01 pu.
25
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
La fórmula para la estimación de estado es:
Para el sistema de tres nudos se tiene:
Para derivar la matriz H se requiere escribir las mediciones como una función de las
variables de estado q1 y q2. Estas funciones son dadas en por unidad como:
26
1
1 1T Test medidaH R H H R
x z
1
2
est
est
estx
q
q
12 12 1 2 1 2
13 13 1 3 1
32 32 3 2 2
15 5
0,2
12,5
0,4
14
0,25
M f
M f
M f
q q q q
q q q
q q q
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El ángulo de referencia es q3, por lo que se considera igual a cero. Por tanto:
La matriz de covariancia de las mediciones R, es:
Dado que los coeficientes de la matriz H están en por unidad, por tanto los valores
de R y zest también deben estar en por unidad.
27
5 5
2,5 0
0 4
H
2
12
2
13
2
32
0,0001
0,0001
0,0001
M
M
M
R
s
s
s
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El estimado de q1 y q2 se calcula como:
28
11
1
2
1
0,0001 5 55 2,5 0
0,0001 2,5 05 0 4
0,0001 0 4
0,0001 0,625 2,5 0
0,0001 0,065 0 4
0,0001 0,37
est
est
q
q
1
1
2
312500 250000 32500 0,028571
250000 410000 45800 0,094286
est
est
q
q
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Con los valores estimados de los ángulos de fase se puede calcular los flujos en
cada línea de transmisión y la generación neta o demanda en cada nodo.
29
12
13
32
5·0,028571 5·( 0,094286) 0,614
2,5·0,028571 0,0714
4·( 0,094286) 0,377
f
f
f
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Considérese ahora que el equipo de medición M13 tiene mayor precisión con
respecto al resto de los equipos.
• Valor del medidor a plena escala: 100 MW
• Precisión del medidor: ± 0,3 MW s = 0,1 MW = 0,001 pu.
30
11
1
2
1
0,0001 5 55 2,5 0
0,000001 2,5 05 0 4
0,0001 0 4
0,0001 0,625 2,5 0
0,000001 0,065 0 4
0,0001 0,37
est
est
q
q
1
2
0,024115
0,097003
est
est
q
q
Estimación de estado – Ejemplo
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Con los nuevos valores estimados de los ángulos de fase, se pueden calcular los
flujos en cada línea de transmisión y la generación neta o demanda en cada nodo.
31
12
13
32
5·0,024115 5·( 0,097003) 0,605
2,5·0,024115 0,06
4·( 0,097003) 0,388
f
f
f
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El estado de un sistema eléctrico es expresado por las magnitudes de tensión y
ángulo de fase de las tensiones nodales. Estos datos son procesados por el
estimador de estado, que consiste en un programa de ordenador que calcula las
magnitudes de tensión y sus respectivos ángulos de fase.
En una aplicación típica de un estimador de estado en tiempo real, muchas
cantidades de interés son medidas y enviadas a través de canales de comunicación
periódicamente cada pocos segundos a los centros de control de energía.
• Flujos de potencia real y reactiva en elementos de transmisión.
• Magnitudes y ángulos de tensiones nodales.
• Inyección de potencia real y reactiva nodales.
Debido a varias consideraciones, no todas las cantidades de kV, MW, y Mvar son
medidas. El criterio para seleccionar el grupo de las cantidades a ser medidas
depende del tamaño del sistema de potencia, el nivel de redundancia requerido, y
también el costo de los sistemas de telemedición.
32
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Se demostró que mediante la aplicación del criterio de máxima probabilidad a la
estimación de estado, es posible definir un cálculo de mínimos cuadrados para
mediciones provenientes de un sistema lineal, mediante la minimización de la suma
del residuo de las mediciones.
(3)
En el caso de un sistema lineal, las funciones fi (x) son lineales y se pueden resolver
al minimizar directamente J(x), pero en una red de CA las ecuaciones para el flujo de
potencia en una línea de transmisión no son funciones lineales de la tensiones de
nodo (módulo y ángulo de fase), por lo tanto las funciones fi (x) serán no lineales,
excepto para la medición de la magnitud de tensión.
33
2
21
minm
medidaNi i
i i
z fJ
s
x
xx
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Para las medidas de la potencia activa y reactiva en una línea de transmisión, se
tendrán los siguientes términos de J(x):
y
La medición de la magnitud de tensión daría el siguiente término en J(x):
donde:
Vi es la magnitud de la tensión del nodo i;
di es el ángulo de la tensión del nodo i;
s2MW es la división estándar de la medición en MW.
Funciones similares se pueden obtener para inyecciones de potencia en un nodo.
34
2
2
cos cos
ij
medidos
ij i ij i ij j i j ij
MW
MW VY V Vq d d q
s
2
2
sin sin
ij
medidos
ij i ij i ij j i j ij
Mvar
Mvar VY V Vq d d q
s
2
2
i
medidos
i i
V
V V
s
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Si no tenemos relaciones lineales entre las variables de estado y las ecuaciones de
los flujos de potencia en la red, la solución de (3) ya no podrá obtenerse por la
simple resolución de un sistema de ecuaciones lineales, por lo que se necesitará un
método iterativo para minimizar J(x).
Un técnica utilizada en sistemas de potencia, es calcular el gradiente de J(x) y luego
forzarlo a ser cero usando el método de Newton.
Como se dedujo previamente, el gradiente de J(x) es:
35
1 2
21 1 1 11
1 1
1 22 22
22 2 2 2
1 22
1( )
1( )
2
1( )
m
m
m
ms s s
N
N
x
N
Ns N N N
ff fJ
x x xxz f
fJ f fz f
x x x xJ
J ff f
x x x x
s
s
s
x
xx
xx
x
m mN Nz f
x
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Poniendo las funciones fi (x) en forma de vector y calculando el Jacobiano de f(x),
obtenemos:
Donde su traspuesta es:
36
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
( )
s
s
m m m
s
N
N
N N N
N
f f f
x x x
f f f
x x x H
f f f
x x x
f x
x
1 2
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
m
m
m
s s s
N
N
T
N
N N N
ff f
x x x
ff f
x x xH
ff f
x x x
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Además:
Entonces podemos reescribir el gradiente de J(x) como:
Para hacer el gradiente de J(x) igual a cero, aplicamos el método de Newton,
obteniendo:
37
2
1
2
2
2
mN
R
s
s
s
1 1
1 2 22
m m
T
x
N N
z f
z fH R
z f
x
xJ x
x
1
x
x
JJ
xx x
x
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
El Jacobiano del gradiente de J(x) se calcula pensando [H] como una matriz
constante, entonces:
Luego, x tendrá la forma:
38
1 1
1 2 2
1
1
2
2
2
m m
Tx
N N
T
T
z f
z fH R
z f
H R H
H R H
x
xJ x
x x
x
1 1
11 1 2 2
1 1
11 1 2 2
2 2
m m
m m
T T
N N
T T
N N
z f
z fH R H H R
z f
z f
z fH R H H R
z f
x
xx
x
x
x
x
Estimación de estado – SEP
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
La ecuación anterior se aplica para resolver el problema de estimación de estado en
redes de CA. En la figura se muestra el algoritmo de solución para este problema,
donde se observa que el proceso iterativo es similar al usado por el método de
Newton en la solución de flujos de potencia.
39
Leer Mediciones z i , para i N m 1 , . . . ,
Formar Y BUS (empaquetada)
Resolver z f i i , para i N m 1 , . . . ,
Formar la matriz Jacobiana: H
(empaquetada)
Calcular: H R z f T
i i
1
Calcular: H R H T 1
INICIO
x
x
ersidad)
Resolver:
H R H H R z f T T
i i
1 1
(utilizando disp
Calcular: max x i , para i N s 1 , . . . ,
Actualizar : xk x
TERMINAR max x i SI
NO
x x
x xk+1
Estimación de estado – Mediciones erróneas
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
La habilidad para detectar e identificar mediciones erróneas es muy valorada por los
operadores de sistemas de operación. Los transductores, el medidor o la
transmisión pueden no funcionar correctamente así que simplemente las mediciones
son erróneas.
El residuo J(x) se utiliza para detectar mediciones erróneas, ya que un J(x) pequeño
implica ausencia de mediciones erróneas. Por el contrario, la presencia de
mediciones erróneas provocan que el valor del residuo sea mayor de los esperado.
¿Qué magnitud del residuo J(x) indica la presencia de mediciones erróneas?
Debido a que el error en las mediciones son valores aleatorios, el valor de J(x) es
también aleatorio. Si se asume que todos estos errores son descritos por sus
respectivas funciones de densidad de probabilidad normal, entonces se puede
demostrar que J(x) tiene una función de densidad de probabilidad llamada
distribución de Pearson, conocida como distribución Chi-cuadrado, la cual se
identifica como c2K,a. El parámetro K es conocido como los grados de libertad de la
distribución Chi-cuadrado, y a es el nivel de significancia, o la probabilidad con la
cual J(x) excede a c2K,a. El parámetro K se define como:
40
m sK N N
Estimación de estado – Mediciones erróneas
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
En la figura se muestra la gráfica de distribución Chi-cuadrado para un valor
pequeño de K, en la cual se observa que no es simétricamente distribuida. El área
bajo la curva a la derecha de c2K,a en esta figura, es igual a a, y el área restante, (1 -
a), es la probabilidad con que J(x) con K grados de libertad debe ser menor que
c2K,a.
Basándose en esta ecuación, el valor con el cual J(x) es menor que c2K,a, puede ser
determinado usando valores tabulados de c2K,a.
41
2
, 1Kprob J ac a x
Estimación de estado – Mediciones erróneas
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Por ejemplo, para un nivel de significancia a = 0,01 y con K = 2, el valor con el cual
J(x) es menor que c2K,a, con probabilidad (1 – 0,01) o 99 %, es cuando c2
K,a = 9,21.
De esta manera, la distribución Chi-cuadrado proporciona una prueba para la
detección de mediciones erróneas.
42
Estimación de estado – Procedimiento de detección
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
En la detección de mediciones erróneas se puede llevar a cabo un procedimiento de
prueba, en el cual se incluyan los aspectos estadísticos aquí mencionados. Este tipo
de prueba es conocido formalmente como Prueba de Hipótesis, la cual puede
resumirse en los siguientes pasos:
1. Usando el vector de mediciones zmedida para un sistema determinado, estimar xest,
aplicando la técnica de mínimos cuadrados;
2. Evaluar
3. Para un apropiado número de grados de libertad K = Nm – Ns, y un determinado grado
de confianza, determinar J(x) < c2K,a de acuerdo a la tabla de valores de la distribución
Chi-cuadrado. Si J(x) < c2K,a, entonces se concluye que la estimación es aceptable.
4. Si J(x) > c2K,a, entonces por medio de J(xi) se determinan los datos (mediciones) que
son erróneos y se eliminan. A continuación se evalúa nuevamente la estimación de
estado. Si el nuevo valor de J(x) es menor que c2K,a, entonces se concluye que los
datos omitidos han sido suficientes para obtener una buena estimación de estado.
43
2
21
mmedidaNi i
i i
z fJ
s
x
x
Estimación de estado – Mediciones y pseudomediciones
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
En una operación convencional de un sistema eléctrico de potencia, es necesaria
una mayor supervisión del sistema en tiempo real para optimizar su operación y
ofrecer una buena calidad del servicio a los consumidores. Sin embargo,
desafortunadamente, estas mediciones son limitadas y casi siempre insuficientes
para llevar a cabo un control en tiempo real, ya que no es posible medir cada
cantidad y enviarla al SCADA del centro del control.
Afortunadamente, se cuenta con datos históricos disponibles que pueden ser
utilizados para pronosticar la carga de los alimentadores y transformadores de
distribución. Otra opción es realizar un estudio de flujos de potencia que será usado
para obtener una solución aproximada y emplearla dentro del grupo de mediciones.
Estos datos son tratados como pseudomediciones. Los pesos asignados (desviación
estándar) para las pseudomediciones, son mayores que los asignados para las
mediciones actuales.
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Estimación de estado
ELI 349 - Operación de sistemas eléctricos de potencia IAC/2016
Centro de operaciones del CDEC-SIC
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