Plataforma Educativa UNIDEG Material de estudio

Materia: Clculo I

Mdulo 1

1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Para determinar una expresin que ayude a calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera,

toma los siguientes dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que al situarlos en el plano cartesiano

quedan de la siguiente forma:

Como se puede apreciar en la Figura 1, la distancia entre los puntos P1 y P2 es la hipotenusa del

tringulo rectngulo con catetos y , de esta forma, si aplicas el Teorema de Pitgoras para

determinar la longitud de la hipotenusa del tringulo formado encontrars la distancia entre los

puntos P1 y P2,

Hipotenusa2 = cateto

2 + cateto

2 (Teorema de Pitgoras)

Debido a que la hipotenusa representa la distancia entre los puntos P1 y P2, la representars con

la letra d.

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Si despejas d, finalmente obtienes la frmula de la distancia entre dos puntos, es decir,

Ejemplo 1: Observa la figura siguiente, iniciars el clculo de la distancia entre dos puntos

retomando B (-6, -3) y E (2, -1).

Solucin:

Para aplicar la frmula de la distancia es necesario decidir qu punto (B E) ser P1 y P2; toma a

B como P1 y a E como P2, de esta manera:

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La distancia buscada es unidades de longitud. Si no es necesaria demasiada precisin,

se puede utilizar su valor aproximado d=8.24.

Cul sera la distancia entre B y E si se hubiera elegido B como P2 y E como P1? Acertaste!, es

la misma distancia.

Ejemplo 2: Calcula la distancia entre los puntos (2, 3) y (4, 5). Toma P1 (2,3) y P2 (4,5).

Solucin:

La distancia entre los puntos (2, 3) y (4, 5) es unidades de longitud.

PUNTO MEDIO

En ocasiones, es necesario conocer las coordenadas del punto que divide un segmento de recta

exactamente a la mitad; a este punto se le conoce como punto medio. Las frmulas para

determinar las coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuando se conocen las

coordenadas de los extremos del segmento son:

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Ejemplo 3: Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos

son (2, 3) y (5, 6).

Solucin:

As, el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (2, 3) y (5, 6) es (3.5, 4.5)

En la siguiente grfica se muestran los tres puntos del segmento de recta.

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Ejemplo 4: Determina las coordenadas del punto medio del segmento de recta cuyos extremos

son (-3, 3) y (-5, 5).

Solucin:

As, el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son (-3, 3) y (-5, 5) es (-4, 4)

Fuente: UVEG (2012). Matemticas. Mxico: UVEG