10 9 Sitio 1, 2 y 3 - gob.mx · dr. Óscar a. fuentes mariles mi juan javier carrillo sosa mi...

Capítulo 5. Asesoría hidráulica en la restitución…

253

En la Fig. 5.14 se observa que existe una nivelación diferenciada entre ambas márgenes en la mayoría del cauce, lo que se traduce en que por tramos existe cierta protección de una margen mientras que en la margen frontal no la hay. Nuevamente se analizaron los tramos más bajos con ayuda de las imágenes de Google Earth (ver Figs. 5.15 a 5.17).

Figura 5.14. Perfil de la nivelación de bordos del río Grijalva

Figura 5.15. Margen izquierda del puente Grijalva II. Sitio 1

Sitio 1, 2 y 3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0+000 2+000 4+000 6+000 8+000 10+000 12+000

CADENAMIENTO

ELEV

AC

ION

ES (m

snm

)

MARGEN IZQUIERDA MARGEN DERECHA

Plan Hídrico Integral de Tabasco…

254

Figura 5.16. Margen izquierda del río Grijalva en la zona del Muelle. Sitio 2

Figura 5.17. Aguas arriba, margen izquierda del río Grijalva en la zona del Muelle. Sitio 3

En todos los casos anteriores, se observa que nuevamente coinciden las manchas de inundación de las Figs. 5.1 y 5.2, por lo que hay una correspondencia entre los sitios críticos y las zonas con bordos discontinuos resultantes de los levantamientos de campo.


255

3. ESTUDIOS HIDRÁULICOS Tanto la gerencia local de la CONAGUA como el INVITAB proporcionaron al IIUNAM dos planos, en los que se señalan las zonas afectadas por las inundaciones en octubre-noviembre de 2007. 3.1 Funcionamiento hidráulico de la Laguna Los Zapotes Ubicación. Se analizó el funcionamiento hidrológico de la zona denominada: Laguna Los Zapotes, con la finalidad de determinar su capacidad de regulación considerando los gastos de ingreso provenientes del sistema de los ríos de la Sierra, la precipitación sobre la laguna y los niveles del río Grijalva en sus gastos de egreso. El análisis realizado sirvió para la elaboración de una Nota Técnica relativa a la altura de los bordos de la zona del aeropuerto y los puentes Zapote I y II. El área de estudio se localiza al sureste de la Ciudad de Villahermosa, y tiene una extensión aproximada de 150 km2. En la Fig. 5.18 se muestra su ubicación en relación con la Ciudad de Villahermosa, Tabasco y los bordos: Aeropuerto (al norte) y Gaviotas (al oeste).

Figura 5.18. Ubicación de la laguna Los Zapotes en el área de estudio

UNDUACÁN

JALAPA

VILLAHERMOSA

iento:D. Est. de control

río Pichucalco

BordoGaviotas

Bordo Playas delRosario M.I.

CaminoP.del Rosario -Huasteca

CaminoJalapa - Astapa

CaminoAstapa - P.Nuevo

Caminoa San Isidro

Camino P. delRosario - P. Nuevo

M.I. río Grijalva

Est. de controlrío La Sierra

Bordo Derecho del caucealivio hasta El Mango y SanCipriano

Rectificación delrío Medellín

Bordo Parrilla

PARRILLA

Proyecto Lomitas

BordoAeropuerto

Canal hacia lalaguna Sabanilla

PUEBLONUEVO

PLAYAS DELROSARIO

Bermúdez

Rectificación decaminos

DR

EN C

EN

TRAL

No.

1 (P

AR

TE I)

DREN

CEN

TRAL

No. 1

(PAR

TE II

)

ESTRUCTURA DE CONTROLARROYO HONDO

ESTRUCTURA DE CRUCE

ESTRUCTURA DE CONTROLDREN CENTRAL No. 1

ESTRUCTURA DE CONTROLFELIPE GALVAN

CARRETERA FERDERAL


256

Capacidad de regulación. A partir de un levantamiento aerofotogramétrico, realizado en el año 2000 que proporcionó Comisión Federal de Electricidad (CFE), (Fig. 5.19), se elaboró la curva de Áreas-Capacidades de la zona de estudio.

Figura 5.19. Topografía con curvas de nivel de la zona de estudio.

Fuente: CFE, 2000 La curva de áreas-capacidades se muestra en la Fig. 5.20, en ella se puede observar que para una elevación de 10 m se cuenta con una superficie de 14 500 Ha (145 km2) y una capacidad potencial de 725 hm3. En el bordo aeropuerto, existen dos zonas de descarga de agua de la laguna Los Zapotes hacia el río Grijalva; dichas salidas dependen de la diferencia de niveles entre la laguna y el río Grijalva, por lo que su máxima capacidad de almacenamiento es únicamente teórica, ya que las salidas descargan un volumen considerable en tiempo real.

3

33

3

3

3

3

3

3

6

7

7

7

7

7

7

7

5

5

5

5

6

6

6

6

67

7

7

7

7

7

7

7

77

Laguna el Oshal

2 0

PUB LO NUE VO DE LA S RAICES

RÍ O

TAC

OTA L

P AN

FCO. J. STA. MARIA

A V IL LA HERMOSA A V IL LA B ENI T O JUAREZ

RÍO

TA

CATALP

A

a rch

r ia sa

n mi

guel

a en

tronq

ue c

arre

tera

a lo mas

t rist e

s

A RROY O EL Z AP OTE

A RROY O E L Z A P OTE

JALAPA

RÍ O

TAC

OTA

LPA

1010

11

1 2

1 2

12

121 2

1 2

12

12

1 2

13

13


257

Figura 5.20. Curva de Elevaciones-Capacidades de la laguna Los Zapotes Puentes Los Zapotes. Los puentes Zapotes I y II son las salidas de la Laguna. En octubre de 1999, la Gerencia Estatal de la CONAGUA, aforó las secciones de los Puentes denominados Zapotes I y Zapotes II, los cuales se ubican sobre el bordo Aeropuerto (Fig. 5.21)

Figura 5.21. Ubicación de los puentes Los Zapotes I y II

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 500 600 700 800

VOLUMENES (Mm3)

ELEV

AC

ION

ES (m

snm

)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

100 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 16,000

AREAS (ha)

ELEV

AC

ION

ES (m

snm

)

VOLUMENES AREAS

RIO GRIJALVA

PUENTE ZAPOTES I

PUENTE ZAPOTES II

LAGUNA LOS ZAPOTES


258

Tabla 5.1. Registro de aforos en los Puentes Zapotes I y II

FECHA GASTO AFORADO (m3/s)

ZAPOTES I ZAPOTES II

28/10/99 10:00 horas 278.81 29/10/99 10:00 horas 500.62 283.27 29/10/99 16:00 horas 452.87 30/10/99 10:00 horas 373.71 249.61 31/10/99 10:00 horas 311.21 160.59 01/11/99 12:00 horas 288.49 133.01

También se analizaron los registros y niveles de las estaciones hidrométricas relacionadas con los Zapotes: Porvenir y Las Gaviotas (Fig. 5.22). La primera de ellas en el río de la Sierra y la segunda sobre el río Grijalva, aguas abajo de la conexión de agua del río Pichucalco con el río Grijalva desde los Puentes Zapotes I y II.

Figura 5.22. Ubicación de las Estaciones Hidrométricas Gaviotas y Porvenir


259

En la Fig. 5.23 se presentan gráficamente los registros de las estaciones antes mencionadas correspondientes a las fechas de la Tabla 5.1, con la finalidad de hacer una comparación de los niveles de agua de la laguna Los Zapotes, y las estaciones Porvenir y El muelle.

Figura 5.23. Registros hidrométricos de las estaciones Porvenir, El Muelle y laguna Los Zapotes

3.2 Funcionamiento hidráulico de los principales ríos del sistema del drenaje

superficial Para hablar de los principales ríos del sistema de drenaje superficial, es necesario considerar el sistema Grijalva-Usumacinta, el cual pertenece a la Región Hidrológica No. 30 y es la más importante del país. La RH 30 está ubicada en el sureste de la República Mexicana y comprende parte de los estados de Chiapas, Tabasco, Campeche y Oaxaca. Una porción importante de sus escurrimientos proviene de la República de Guatemala. La zona de la planicie que conforman los ríos Grijalva y Usumacinta, antes de su desembocadura al Golfo de México, está formada por una gran cantidad de ríos, arroyos y lagunas. Tanto por su conformación topográfica como por la ocurrencia de fenómenos meteorológicos locales, así como por los grandes caudales que escurren normalmente desde las partes altas, se considera una zona susceptible de ser inundada a partir del mes de agosto y hasta los meses de enero y febrero. El desarrollo de los asentamientos humanos y la generación de actividades productivas en la zona han sido determinados en gran medida por esa condición y, a su vez, este desarrollo ha afectado la capacidad de regulación natural existente en la planicie.

5.505.705.906.106.306.506.706.907.107.307.50

19/O

ct 1

2:00

a.m

.

20/O

ct 1

2:00

a.m

.

21/O

ct 1

2:00

a.m

.

22/O

ct 1

2:00

a.m

.

23/O

ct 1

2:00

a.m

.

24/O

ct 1

2:00

a.m

.

25/O

ct 1

2:00

a.m

.

26/O

ct 1

2:00

a.m

.

27/O

ct 1

2:00

a.m

.

28/O

ct 1

2:00

a.m

.

29/O

ct 1

2:00

a.m

.

30/O

ct 1

2:00

a.m

.

31/O

ct 1

2:00

a.m

.

01/N

ov 1

2:00

a.m

.

ELEV

AC

ION

ES (m

snm

)

EH Porvenir contínuo EH Porvenir Estimación Laguna Los Zapotes E El Muelle


260

Hoy en día, a pesar de que el escurrimiento del río Grijalva está prácticamente controlado antes de entrar en la zona de la llanura, gracias a los grandes almacenamientos de las presas La Angostura y Malpaso, el peligro de inundación en la ciudad de Villahermosa, así como en otras zonas urbanas y rurales en el estado de Tabasco, sigue latente. Incluso, los daños potenciales se han incrementado por el crecimiento urbano descontrolado, por el incremento de la erosión en sus partes altas y por el cambio de uso de suelo con fines productivos y de comunicación, en zonas que en forma natural permitían la regulación y el drenaje de las crecientes. El esquema de drenaje de la zona de estudio se divide en tres sistemas principales: El sistema Mezcalapa-Samaria, que permite la conducción hasta el mar de los escurrimientos excedentes provenientes de la cuenca alta del río Grijalva; el de los ríos de la Sierra, que conduce los excedentes de dichos ríos a la región lagunar de la cuenca baja de los ríos Grijalva y Usumacinta; y, por último, el Carrizal-Medellín, que conduce los escurrimientos del río Carrizal hacia el mar, por medio de la rehabilitación de un pequeño cauce del río Medellín. De esta manera se utilizó la cartografía existente, en formato digital como impresa para obtener un plano base de trabajo (Fig. 5.24) de la red de drenaje superficial del Estado.

Figura 5.24. Red de drenaje superficial del Estado de Tabasco

T A B A S C O

RÍO TULIJA

L. STA. ANA

INSTITUTODE INGENIERÍAUNAM

RED DE DRENAJE PRINCIPAL Y SECUNDARIAPROGRAMA HÍDRICO INTEGRAL TABASCO 2008

DR. ÓSCAR A. FUENTES MARILES MI JUAN JAVIER CARRILLO SOSA

MI FAUSTINO DE LUNA CRUZMI JUAN ANSBERTO CRUZ

MI JUAN GABRIEL LÓPEZ

NOVIEMBRE 2008

TALLER DE MODELOSMATEMÁTICOS EN RIOS YPLANICIES DE INUNDACIÓN


261

3.3 Modelación matemática para estimar zonas inundables La resolución de problemas con información y datos recolectados de fenómenos físicos adquiere día a día mayor auge como herramienta en la solución de problemas de carácter nacional. La modelación matemática de ríos y llanuras en las condiciones en que se encuentre la zona de estudio sirve por un lado para calibrar los resultados de la modelación y, por otro lado, una vez que se ha desarrollado un diagnóstico de las condiciones actuales y de escenarios asociados a diferentes periodos de retorno, para proponer las acciones estructurales y estrategias para disminuir los efectos negativos que pudieran ocasionar las crecientes y desbordamientos en poblaciones e infraestructura. Asimismo, los resultados numéricos de los modelos hidráulicos pueden utilizarse para obtener resultados gráficos más dinámicos y aplicables a la cartografía básica de la planeación, el desarrollo de proyectos y la toma de decisiones en las estrategias como el ordenamiento territorial y los planes de protección civil. 3.3.1 Cálculo de flujo unidimensional en ríos con flujo permanente empleando el

método del Instituto de Ingeniería En el IIUNAM, se aplicó un método desarrollado en esa institución para el cálculo del flujo permanente en cauces naturales por medio de un programa de cómputo. Este método consta de tres partes. En la primera de ellas reconoce los datos correspondientes a las secciones transversales disponibles para generar en cada una de ellas para distintos tirantes, variables hidráulicas tales como son: áreas hidráulicas, radio hidráulico, perímetro mojado y ancho de superficie libre. La segunda parte se aboca a la interpolación entre secciones transversales, para disponer de tramos de ríos que sean tengan longitud menor a una que se considere razonable para el estimado de las pérdidas de carga por fricción. El producto de esta parte del programa se puede entender como si se tratase de incluir secciones transversales adicionales a las existentes. En la última, se consideran datos como el tirante en la frontera aguas abajo, el coeficiente de rugosidad de la fórmula Manning; y el gasto. Con base en esta información se obtiene el perfil del flujo permanente gradualmente variado y los valores en las secciones transversales proporcionadas de los tirantes, área hidráulica, ancho de superficie libre, velocidades medias entre otros. Como son conocidas las cotas de los barrotes del río en las secciones, se dibujan junto con las de la superficie libre el agua y el fondo del cauce (talweg). A continuación se describen los principales aspectos del modelo numérico desarrollado en el IIUNAM.


262

3.3.1.1 Secciones transversales Como los cauces naturales tienen secciones irregulares, el método numérico considera que dichas secciones están definidas por una serie de puntos contenidos en un plano vertical. Por tanto, se proporcionan las coordenadas de esos puntos de manera que permitan definir con una adecuada aproximación a la forma de la sección transversal. Para una sección transversal se pueden escoger hasta 50 puntos. En la Fig.5.25 se presenta un ejemplo de una sección real y la configuración generada a partir de 15 puntos; a ésta última se le denominará en adelante sección discretizada.

Figura 5.25. Sección de río, sección real y sección discretizada

En la Fig. 5.26 se muestra el dibujo de la sección discretizada del cauce del río. Se identifican las abscisas X(i) y las ordenadas Z(i) respecto a un sistema de ejes cartesiano ubicado a la izquierda de la sección transversal.

Figura 5.26. Tirantes considerados en cada sección discretizada del cauce natural

De acuerdo con la Fig. 5.26, se considera que en cada sección transversal el tirante se define como:

)i(T

TΔ

x

z


263

( ) ( ) TiiT Δ−= 1 (1)

3.3.1.2 Variables hidráulicas Para cada tirante de interés )(iT se obtienen las variables hidráulicas siguientes: el ancho de superficie libre B, está definido por:

∑=N

)m(bB1 (2)

el área hidráulica A, a partir de trapecios, es:

∑=N

)m(aA1 (3)

y el perímetro mojado P, es igual a:

∑=N

)m(pP1 (4)

donde )(mb y )(ma son el ancho de la superficie libre y área del trapecio m , la contribución al perímetro mojado del trapecio m y, N es el número de trapecios (ó triángulos al inicio y al final de las sumas) formados en la sección transversal para el tirante )( jT . Para cada tirante )( jT se dispone de los valores correspondientes de B(j), A(j), P(j) . con lo cual se forma una tabla para cada sección transversal. 3.3.1.3 Factor de fricción La pendiente de la línea de fricción se obtiene a partir de la fórmula de Manning de la manera siguiente:

34

22

r

nVS f = (5)

En términos del gasto se escribe como:

342

22

2

2

34

22

rA

nQAA

r

nVS f == (6)

Por lo que la pérdida de carga por fricción, está dada por:


264

dlrA

nQhj

jf ∫+

=1

342

22

(7) Si la integral se resuelve en forma numérica mediante la regla trapezoidal resulta

LrA

nQ

rA

nQhjjjj

f Δ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

++3

42

22

34

12

1

22

21

(8) la hf es función del gasto (cuando no hay ingresos ni egresos laterales no cambia), el área hidráulica y radio hidráulico en las secciones transversales en los extremos del tramo de cauce natural en análisis ( j y 1+j ) así como del coeficiente de fricción de Manning. 3.3.1.4 Energía específica La energía específica en flujo permanente a superficie libre está dada como:

2

2

2 AgQyE α+=

(9) Generalmente en los ríos de planicie se presenta régimen subcrítico, de cumplirse con esto, el tirante en cada una de las secciones transversales del río en estudio es mayor al tirante crítico (tc) de ella. Por lo que en los cálculos necesarios para obtener los tirantes no conocidos, se considera en cada sección transversal que el valor mínimo del tirante es mayor al tirante crítico, tc, de la sección para el gasto de interés. Para obtener el mínimo de la función de energía específica se derivó la ec. 9 con respecto al tirante y se igualó a cero dando:

01 3

2

=−=dydA

AgQ

dydE α

(10) Ya que para cualquier sección la derivada del área respecto al tirante es igual al ancho de la superficie libre:

BdydA

= (11)

al sustituir la expresión anterior, se tiene:


265

01 3

2

=− BAgQα

(12) o bien,

023

=−g

QBA α

(13) Como el área hidráulica y el ancho de superficie libre son función del tirante, se tiene que )(yAA = y )(yBB = , la ecuación queda como:

023

=−g

Q)y(B)]y(A[ α

(14) Para encontrar el tirante y que cumpla con la ec. 14, que es precisamente el tirante crítico Yc, se empleó el procedimiento numérico de bisección (Fuentes, 1989). El cálculo de )(yA y )(yB se realiza a partir de los valores discretos del tirante

)(iyy = por medio de una interpolación lineal. • Ecuación de conservación de la energía para flujo permanente a superficie libre

en régimen subcrítico. La Fig. 5.27 representa la ecuación de la conservación de la energía entre las secciones y y y+1.

Q

yj+ 1

y jZ j

lΔ

Figura 5.27. Perfil de las secciones j y j+1

De esta manera, se establece la ec. 15.


266

fj

jjj

j hg

vyz

gv

y ++=Δ++ ++ 22

221

1 (15)

donde jj zzz −=Δ +1 en términos del gasto, por lo que:

fj

jjj

j hgAQyz

gAQy ++=Δ++

++ 2

2

21

2

1 22 (16) Sustituyendo:

LrA

nQ

rA

nQgAQyz

gAQy

jjjjjjj

jj Δ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+++=Δ++

++++

342

22

34

12

1

22

2

2

21

2

1 21

22 (17)

Ya que 1/r2/3 = (P/A)2/3 al factorizar se tiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ++=Δ++

+

+

++ 310

34

3101

341

22

2

2

21

2

1 222 /j

/j

/j

/j

jjj

jj A

PAPLnQ

gAQyz

gAQy

(18) Agrupando los términos y+1 y los y, se llega a:

310

3422

2

2

3101

341

22

21

2

1 2222 /j

/j

jjj/

j

/j

jj A

PLnQgAQyz

APLnQ

gAQy Δ

++=Δ+Δ

−++

+

++

(19)

j

/

j

j

jjj

jj

jj zLn

AP

gAQyF

gAQy

gAQy Δ−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ +

++

++ 22

121

21 2

34

2

2

121

2

121

2

1

(20) La ecuación 20 se puede escribir de la forma siguiente:

jjj

jjj

j zFgA

QyFgA

Qy Δ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ +

++ 2

121

2

2

121

2

1

(21)

−+1jε

+jε

jjj zΔ−= +−

+ εε 1


267

Sí 3/41

3/41

2

1 2 +

++

Δ=

j

jj A

PLnF y 3/4

3/42

2 j

j

APLnF Δ

= (22)

Como en flujo subcrítico son conocidas las condiciones en la sección aguas abajo ( y) se sabe el valor de +

jε y dado que también se tiene el valor de jzΔ , sea

jjj zK Δ−= +ε . Se trata de proponer un valor de 1+jy y con el calcular 1+jA y 1+jF de tal manera que se cumpla la ecuación:

021

121

2

1 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ +

++ jj

jj KF

gAQy

(23) Una vez que se determina el tirante 1+jy y se dispone de −

+1jε se obtiene ++1jε por

medio de 111 2 +−+

++ += jjj Fεε , para asignar a y el valor de 1+y y repetir el proceso de

cálculo tantas veces como sea necesario. Los resultados de este modelo se presentan en los Capítulos 7 y 8. 3.3.2 Cálculo de flujo no permanente gradualmente variado De igual forma, que para el flujo permanente, el programa de cómputo para el cálculo del flujo no permanente se compone de tres partes esenciales: la primera es el preproceso donde se leen las condiciones iniciales o de frontera, se definen las variables hidráulicas y se realiza un cálculo de calentamiento con un gasto base calculado en el flujo permanente gradualmente variado. La segunda o proceso consiste en calcular las variables hidráulicas dentro del cauce como son, por ejemplo, los perfiles del flujo, áreas, gasto, velocidades con respecto al tiempo. La tercera o posproceso permite ver en forma gráfica los hidrogramas de entrada al sistema de ríos, mostrando el avance de cálculo de los mismos; los perfiles del fondo; bordos del cauce y del flujo; las secciones transversales con su correspondiente nivel de superficie libre; las secciones en planta que tienen derrames; y en forma tabular, para cada sección el cadenamiento, elevación del fondo del cauce, bordos, superficie libre del agua, tirantes, áreas, velocidades, gastos de entrada al cauce, gastos de derrame derecho e izquierdo. El modelo matemático descrito considera como flujo unidimensional al movimiento del agua en el cauce natural y se limita al flujo en cauces y volúmenes de control constantes en el espacio, en los que sólo se modifica el tirante hidráulico. El modelo matemático resuelve las ecuaciones de continuidad y conservación de la cantidad de movimiento utilizando diferencias finitas en su forma implícita:

( )tYB

xAV

∂∂

=∂

∂

(24)


268

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

+∂∂

−=∂∂

fStV

gxV

gV

xY 1

(25)

donde Y elevación de la superficie del agua respecto a un plano horizontal de

referencia (suma del tirante más la cota de plantilla), en m A área hidráulica, en m2 V velocidad media, en m·s-1 B ancho de la superficie libre, en m g aceleración de la gravedad en, m·s-2

fS pendiente de la línea de energía, adimensional x distancia longitudinal, en m t Tiempo, en s

Para representar en diferencias finitas a la ec. 25 se toman en cuenta los volúmenes de control, según la Fig. 5.28.

Figura 5.28. Secciones a lo largo del cauce en diferencias finitas Debido a que las elevaciones y velocidades varían con el tiempo y la posición, los distintos términos de las ecuaciones de continuidad y conservación de la cantidad de movimiento en su forma implícita, se escriben en diferencias finitas como:

( ) ( )jiYjiYixjiYjiY

ixxY

,,11

1,1,1 −+Δ−

++−++Δ≅

∂∂ θθ

(26)

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+Δ

++++≅∂∂

jiUjiVixg

jiUjiV

tV

gV

,,121,1,1

(27)

[ ]),1,()1,11,(2

11jiVjiUjiVjiU

tgtV

g ++−++++Δ≅

∂∂

(28)

ΔxΔxPHC

Yi+1,j

Vi+1,,j

Ui, j

Yi, j

Ui-1,jVi, j

Yi-1,j(i+1)

(i)

(i-1)

Gi,j


269

)(41

1,11,,1.3/4,

2

++++ ++≅ jijijijiji

f VUVUrnS

(29)

i

jijijiji

xUAVA

xAV

Δ

−≅

∂∂ ++++ 1,,1,1,1)(

(30)

[ ])()(4 ,,11,1,1

,,1jijijiji

i

jiji YYYYx

BBtYB +−+

Δ

+≅

∂∂

+++++

(31) Donde θ , es un factor de peso que sirve para calcular promedios ponderados en el tiempo con la finalidad de mejorar la aproximación de las derivadas temporales. Sustituyendo estas, se obtiene:

( )jijijijijijijijiji YYYYFVAUA ,,11,1,1,1,1,11,, −−+=− ++++++++ (32)

jijijijijijiji DYYVCUC ,1,1,11,1,1,, +−=− ++++++ (33) donde

( )jijii

ji BBt

xF ,,1, 4+

ΔΔ

= + (34)

jijiji

iijijiji VU

rnx

tgx

gVU

C ,1,3/4,

2,1,

, 422 ++ +

Δ−

ΔΔ

−−

=θθθ

(35)

)(2

)(1,,,,1, jiji

ijijiji VU

tgxYYD +Δ

Δ−−

−= + θθ

θ

(36) Así, se forma un sistema lineal no homogéneo en 1, +jiU y 1,1 ++ jiV , cuya solución se escribe como:

jijijijijiji RYQYPU ,1,,1,1,1, ++= ++++ (37)

jijijijijiji WYTYSV ,1,,1,1,1, ++= ++++ (38) En estas expresiones


270

)( ,1,,

1

,1,

,,

jijiji

i

jiji

jiji AAC

AAA

FP

+

+

+ ++

+=

(39)

)( ,1,,

,1

,1,

,,

jijiji

Ji

jiji

jiji AAC

AAA

FQ

+

+

+ ++

+=

(40)

)()(

)( ,1,

,,1,

,1,,

,1,,

jiji

jijiji

jijiji

jijiji AA

YYFAAC

ADR

+

+

+

+

+

+−

++=

(41)

)()( ,1,

,

,1,,

,,

jiji

Ji

jijiji

jiji AA

FAAC

AS

++ +−

+=

(42)

jiji

Ji

jijiji

jiji AA

FAAC

AT

,1,

,

,1,,

,,

++ ++

+=

(43)

)()(

)( ,1,

,,1,

,1,,

,1,,

jiji

jijiji

jijiji

jijiji AA

YYFAAC

ADW

+

+

+

+

+

++

++=

(44) Cuando la relación de continuidad se establece en la sección i (ver Fig. 5.30), se obtiene

1,1,,1,1,, )1( ++++ =−++ jijijijijiji VAGGUA θθ (45) Sustituyendo las ecuaciones 39 a 44 en la 45, se obtiene:

jijiji

jijijijijijijijiji GGA

RWYPYSQYT ,1,,

,,1]1,1.1,,1,1, )1((1)( θθ −++−=+−+ +−+++−−− (46)

La ec. 46 se plantea en las secciones intermedias, pero cuando el flujo es subcrítico, se requieren dos ecuaciones adicionales, una en cada extremo del río, mismas que se desarrollan más adelante. Estas tres ecuaciones, forman un sistema de ecuaciones lineales tridiagonal, cuyas incógnitas son las elevaciones iY en la etapa de cálculo 1+j . Una vez obtenidas las elevaciones, las velocidades de llegada 1, +jiV y de partida 1, +jiU , se calculan con las ecuaciones descritas. En las secciones inicial y final deben fijarse las condiciones de frontera, las cuales se determinan de acuerdo con el problema en estudio. Por ejemplo, para el caso particular de flujo subcrítico la condición de frontera aguas arriba se obtiene de la manera siguiente:


271

En la primera sección 1=i , se propone como condición que el gasto de ingreso es conocido, de modo que el gasto 1G promedio es igual al de salida 1,1,1 +jjUA , esto es:

[ ]jijiji

jjjijji GGA

RYPYQ ,1,,

,1,1.,1, )1((1 θθ −++−=+ + (47)

Como condición de frontera aguas abajo, se considera que la elevación de la superficie libre del agua conocida es 1fY , por lo que las velocidades en el último tramo son las siguientes:

jMjMMFjMjM RYQYPU ,1,1,1,11,1 −−−−+− ++= (48)

jMjMjMjMMjM WYTYSV ,21,2,21,121,1 −+−−+−−+− +−= (49) Ahora bien sí se propone la ecuación de continuidad en la penúltima sección

1−= Mi se tiene:

[ ] FjMjMjMM

jMjMjMijMijMjMjM YPGGA

RWYSQYT ,1,11,11

,1,2,1,2,11,2,2 )1(1)(3 −−+−−

−−−−−+−− −−+−−=−+ θθ(50)

Para asegurar que la descarga de esta sección sea con una elevación del agua mayor o igual a la mínima (la asociada al tirante crítico cjy para el instante j ), se emplea la ecuación siguiente:

gV

BA Mj

cj

cj = (51)

donde: cjA área correspondiente al tirante crítico en m2

cjB ancho de la superficie libre correspondiente al tirante crítico en m

mjV velocidad de entrada en la sección M para el instante j en m·s

FY , queda definido de la manera siguiente:

=FY Ff Zy + , sí cjF yy > (52) Fcj Zy + , sí cjF yy ≤

donde

FZ elevación del fondo de la sección Mi = , en m FY es el tirante conocido de la sección, en m


272

El procedimiento de cálculo aquí descrito se aplica en el modelo matemático desarrollado por el IIUNAM y sirve para determinar los volúmenes de desbordamiento a partir de los hidrogramas en las secciones transversales del cauce. 3.3.3 Modelo numérico para simular inundaciones en llanuras Para determinar las áreas de inundación, profundidades, velocidades y direcciones del flujo, se presenta un modelo numérico que permite obtenerlos y, a partir de ello, elaborar mapas de inundación. El modelo numérico desarrollado en el Instituto de Ingeniería, hace la simulación numérica de inundaciones provocadas por avenidas en planicies; por lo que fue aplicado en este estudio. El carácter dinámico de las inundaciones hace necesario emplear modelos matemáticos que, por lo menos, incluyan ecuaciones de flujo en dos dimensiones (Fuentes, et al 1997), a través de las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento (ecs. 53 y 54) y ecuación de continuidad (ec. 55).

xz

xh

h

uuntu

g ∂∂

−∂∂

−=+∂∂

3/4

21

(53)

yz

yh

h

vvntv

g ∂∂

−∂∂

−=+∂∂

3/4

21

(54)

0=∂∂

+∂∂

+∂∂ vh

yuh

xth

(55) donde

3/4

2

h

uunSfx =

3/4

2

h

vvnSfy =

pendiente de fricción en las direcciones x y y , adimensional

g aceleración de la gravedad, en m·s-2 u v componentes de la velocidad en las direcciones x y

y , adimensional h nivel de la superficie libre del agua con respecto al

nivel del terreno, en m n En, s·m-1/3 x y z direcciones del sistemas de ejes cartesiano derecho t Tiempo, en s

Para calcular el flujo en una planicie de inundación se debe resolver el sistema de ecuaciones anterior considerando condiciones iniciales y de frontera. Dado que no


273

existe un método analítico para encontrar la solución, se propone un método numérico de diferencias finitas. Sea el área de inundación en proyección horizontal dividida en celdas con longitud a lo largo del eje x )( xΔ y del eje y )( yΔ (Fig. 5.29).

Figura 5.29. Arreglo de celdas considerado en el método numérico para el área de inundación

3.3.3.1 Ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento Las ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento son:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+xz

xh

tu

guu αα 1

(56)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−=∂∂

+yz

yh

tv

gvv αα 1

(57) donde

2

3/4

nh

=α (58)

Así, para el componente de la velocidad en dirección del eje x (ec. 59), se puede expresar en diferencias finitas del modo siguiente:


274

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

Δ

−+

Δ

−−=

Δ

−+ ++

++

++

+++

++ x

zzx

hh

tg

uuuu jiji

pji

pjip

ji

pji

pjip

jip

jip

ji,,1,,1

,2/1,2/1

1,2/1

,2/11

,2/11

,2/1 αα

(59) En la ec. 59, i y j son subíndices que se emplean para ubicar en el espacio a las literales de interés (Fig. 5.29) y p es un superíndice que representan el instante en que se considera a dichas literales. Reescribiendo la ec. 59, se tiene

01,2/1

1,2/1

1,2/1 =++ +

+++

++ x

pjix

pji

pji CuBuu

(60) siendo

tgB

pji

x Δ= + ,2/1α

( ) p

ji

pji

jijip

jip

ji

pji

x utg

zzhhx

C ,2/1,2/1

,,1,,1,2/1

++

+++

Δ−−+−

Δ=

αα

(61) donde

2,2/1

3/4,,1

,2/11

2 ji

pji

pjip

ji n

hh

+

++ ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +=α

y 2,1,

,2/1jiji

jinn

n ++

+=

(62) Para resolver la ecuación anterior se consideran dos casos:

0≤xC La velocidad 1

,2/1++p

jiu tiene que ser positiva, esto es ( )21,2/1

1,2/1

1,2/1

++

++

++ = p

jip

jip

ji uuucon lo cual la ecuación queda como una ecuación de segundo grado, cuya solución es:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−=+

+ xxxp

ji CBBu 421 21

,2/1 (63)

0>xC

La velocidad 1

,2/1++p

jiu tiene que ser negativa, esto es ( )21

,2/11

,2/11

,2/1++

++

++ −=−− p

jip

jip

ji uuucon lo cual la ecuación 6.9 queda como una

ecuación de segundo grado, cuya solución es:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=+

+ xxxp

ji CBBu 421 21

,2/1 (64)


275

Siguiendo un razonamiento similar para el componente de la velocidad en dirección del eje y (ec. 61), se tiene:

012/1,

12/1,

12/1, =++ +

+++

++ y

pjiy

pji

pji CvBvv

(65) siendo:

tgB

pji

y Δ= + 2/1,β

, ( ) p

ji

pji

jijipji

pji

pji

y vtg

zzhhy

C 2/1,2/1,

,1,,1,2/1,

++

+++

Δ−−+−

Δ=

ββ

(66) donde

22/1,

3/4,1,

2/1,1

2 +

++ ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +=

ji

pji

pjip

ji n

hhβ

y 21,,

2/1,+

++

= jijiji

nnn

(67) De esta forma para:

0≤yC ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−=+

+ yyyp

ji CBBv 421 21

2/1, (68)

0>yC

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=+

+ yyyp

ji CBBv 421 21

2/1, (69) 3.3.3.2 Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad se puede expresar en diferencias finitas del modo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )0

221,,

12/1,,1,

12/1,,1,

1,2/1,,1

1,2/1,

1, =

Δ

+−++

Δ

+−++

Δ

− −+−+

++−

+−+

++

+

yhhvhhv

xhhuhhu

thh p

jipji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

(70) Ordenando términos se llega a:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji

pji hhvhhv

ythhuhhu

xthh 1,,

12/1,,1,

12/1,,1,

1,2/1,,1

1,2/1,

1, 22 −

+−+

++−

+−+

++

+ +−+ΔΔ

−+−+ΔΔ

−= (71)


276

Con las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de u , v y h en el tiempo ( ) tp Δ+1 para las celdas ubicadas en el interior de la zona donde ocurre la inundación. 3.3.3.3 Condiciones para resolver las ecuaciones Condiciones iniciales Para comenzar los cálculos en el modelo matemático en el tiempo inicial 0t es necesario asignar los valores a las variables u , v y h . En este caso, si la zona aledaña al río está sin agua, a estas variables se les asigna cero, por el otro lado, cuando existe un cuerpo de agua, estos valores serian diferentes de cero y las profundidades h corresponderían a los tirantes conocidos en dichos cuerpos de agua. Condiciones de frontera Se considera que las velocidades en las fronteras izquierda, derecha, superior e inferior son igual a cero. Hidrograma de entrada El sitio de entrada del hidrograma puede ser cualquiera de las celdas, para ello se requiere conocer el gasto Q que ingresa a la malla durante cada intervalo tΔ . El gasto se considera igual a:

qBQ = (72) donde

B longitud por donde entra el gasto ( xΔ o yΔ ), en m q gasto unitario, en m3·s-1·m-1

En las orillas de las celdas donde entra el gasto que produce la inundación se especifica el gasto unitario q . 3.4 Planos de zonas inundables Los resultados de la modelación matemática aplicando los modelos numéricos desarrollados por el IIUNAM, se presentan en los Capítulos 7 y 8 “Caracterización del evento y evaluación y reformulación del PICI”.

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