TRABAJO COLABORATIVO UNO AUMENTAR DE UN PUNTO SEGÚN LA JERARQUÍA.

POR:

SANTIAGO ALBEIRO BUILES HINCAPIE CÓDIGO: 1.1128.398.328

CRISTIAN FELIPE AGUDELO

DANY JOSE CALDERON

GLORIA AIDÉ VELASQUEZ VILLA CÓDIGO: 43.704.569

YONATAN JIMENEZ

PRESENTADO A:

DIEGO FRANCISCO MARTINEZ TUTOR

ALGEBRA LINEAL

CÓDIGO GRUPO: 100408_291

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD 29 DE SEPTIEMBRE DE 2015

INTRODUCCIÓN

En este curso se estudian los conceptos básicos sobre Álgebra Lineal. Se explica

que es una matriz, los tipos de matrices existentes, las operaciones básicas (suma

y multiplicación), las operaciones fila, la permutación de los arreglos matriciales,

los sistemas de ecuaciones y otros temas fundamentales que permitirán al

estudiante afianzarse en los espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

OBJETIVOS

Reconocer la estructura de espacio vectorial y de transformación lineal en

diferentes contextos.

Calcular el rango de sistemas vectoriales utilizando tanto métodos.

Reconocer la dimensión de un espacio vectorial

Representar transformaciones lineales en lenguaje matricial.

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. 0225;5 u

b. 060;3 v

Ux = 5 . Cos 225 º

= 5 . - _2_

2

= - 5 _2_

2 Uy = 5 . Sen 225 º

= 5 . - _2_ 2 = - 5 _2_ 2 Componentes

-_5___2__ . - _5___2__ 2 2 Vx = 3 . Cos 60 º

= 3 . 1 = 3 2 2 Vy = 3 . Sen 60º = 3 . 3 = 3 3 2 2 3 . 3 3 2 2

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

1.1. vu

62

2 -_5___2__ . - _5___2__ - 6 3 . 3 3 2 2 2 2

-5 2 -5 2 + -9 -9 3

2

= - 5 2 -9 -5 2 - 9 3 2 = 16,07 -14,86 1.2. uv

3 , 3___3_ - -5 2 , - 5 2 2 2 2 2 = 3 , 3___3_ + 5 2 , 5 2 2 2 2 2 = 3 +5 _ 2_ , 3 3 + 5 2 2 2 2 2 = 5, 03 , 6,13

1.3 uv

76

= 6 3 , 3___3_ - 7 -5 2 , - 5 2 2 2 2 2 9 , 9 3 + 35 2 + 35 2 = 2 2

= 9 + 35 2 , 9 3 + 35 2 2 2 = 33 , 74

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores

2.1 2 9u i j 6 9v i j

. 12 81 69u v

. . cosu v u v

69 4 81. 39 81cos

69 85. 117 cos

69cos

85. 117

1 69cos

85. 117

46.21

2.2 5w i j 7 4z i j

. 35 4 39w z

. . cosw z w z

39 25 1. 49 16 cos

39 26. 65 cos

39cos

26. 65

1 39cos

26. 65

18.43

3. Dada la siguiente matriz, encuentre empleando para ello el método Gauss-

Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

C =

Se calcula el determinante de la matriz para verificar si la matriz A es invertible

|C| =

|C| = [(2*0*-3)+ (8*-1*8) + (0*-3*1)] – [(8*0*0) + (1*-1*2) + (-3*-3*8)] |C| = (2*0*-3)+ (8*-1*8) + (0*-3*1) – (8*0*0) - (1*-1*2) - (-3*-3*8) |C| = (0)+ (-64) + (0) – (0) - (- 2) - (72) |C| = -64 + 2 - 72 |C| = -62-72 |C| = -134

Por ser |C| <> 0 es posible hallar la matriz inversa. Multiplicamos la fila 1 por ½ 2 8 0 1 0 0

-3 0 -1 0 1 0

8 1 -3 0 0 1

1 4 0 ½ 0 0

-3 0 -1 0 1 0

8 1 -3 0 0 1

Multiplicamos 3 veces la fila 1 por la fila 2 1 4 0 ½ 0 0

0 12 -1 3/2 1 0

8 1 -3 0 0 1

Multiplicamos la fila 2 por 1/12 1 4 0 ½ 0 0

0 1 -1/12 1/8 1/12 0

8 1 -3 0 0 1

Multiplicamos la fila 1 por (-8) por la fila 3 1 4 0 ½ 0 0

0 1 -1/12 1/8 1/12 0

0 -31 -3 -4 0 1

Multiplicamos la fila 3 por (-1/31) 1 4 0 ½ 0 0

0 1 -1/12 1/8 1/12 0

0 1 3/31 4/31 0 -1/31

Multiplicamos la fila 2 por (-1) por la fila 3 1 4 0 ½ 0 0

0 1 -1/12 1/8 1/12 0

0 0 67/372 1/248 -1/12 -1/31

Multiplicamos fila 3 por (372/67) 1 4 0 ½ 0 0

0 1 -1/12 1/8 1/12 0

0 0 1 93/4154 -93/201 -372/2077

Multiplicamos a la fila 3 por (1/12) y sumamos a la fila 2 1 4 0 ½ 0 0

0 1 0 527/4154 3/67 -31/2077

0 0 1 93/4154 -31/67 -372/2077

Multiplicamos la fila 2 por -4 y sumamos la fila 1 1 0 0 -31/4154 -12/67 124/2077

0 1 0 527/4154 3/67 -31/2077

0 0 1 93/4154 -31/67 -372/2077

La matriz inversa de C es -31/4154 -12/67 124/2077

C-1= 527/4154 3/67 -31/2077

93/4154 -31/67 -372/2077

4. Encuentre el determinante de la matriz describiendo paso a paso la operación

que lo va modificando.

5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello determinantes

(Recuerde: AdjADetA

A *11 )

Nota: Describa el proceso paso por paso (Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la forma

b

a y NO con sus representaciones decimales).

513

403

152

C

Paso 1

Se encuentra la determinante C y verificamos que es diferente 0:

Det C = (-2) (0) (-5) + (3) (5) (-4) + (1) (3) (1) – (-1) (0) (3) – (-5) (5) (3) – (-2) (1) (-4)

Det C = 4

Paso 2

Matriz adjunta

Adj C = 0 -4 - 3 -4 3 0

1 -5 3 -5 3 1

5 -1 -2 -1 -2 5

1 -5 3 -5 3 1

5 -1 - -2 -1 -2 5

0 -4 3 -4 3 0

Adj C = 4 3 3

24 13 17

-20 -11 -15

Paso 3

Se encuentra la transpuesta de Adj C

(Adj (C)) T = 4 24 -20

3 13 -11

3 17 -15

Paso 4

Por último se halla la matriz inversa con A:

AdjADetA

A *11

AdjADetA

A *11

=

1 4 24 -20 4 3 13 -11

3 17 -15

1 6 -5

3 13 -11 4 4 4 Matriz Inversa 3 17 -15 4 4 4

CONCLUSIONES

Con este ejemplo el alumno llega a un sistema de ecuaciones lineales

particular, sin conocer a lo que conducía el ejercicio; es decir llega a

un conocimiento apoyándose en lo que sabe. Después de esto, puede

utilizando los conocimientos adquiridos en Matemática y generalizar su

pensamiento sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales, para así ampliar el

concepto que es el álgebra.

Los profesores no tienen que demostrar solamente que tienen un

buen dominio de los conocimientos de la asignatura, sino que saben extraerle a

estos las potencialidades para trabajar y desarrollar en el alumno métodos de

razonamientos válidos para la vida y ahí está el aporte de esta asignatura a

la AUMENTAR DE UN PUNTO SEGÚN LA JERARQUÍA.

BIBLIOGRAFIA

Zúñiga, C., & Rondón, J., (2010) Modulo Algebra Lineal. Unidad 1. Vectores,

Matrices y Determinantes UNAD. Recuperado de: URL

http://campus04.unad.edu.co/campus04_20152/mod/lesson/view.php

Instructivo UNAD recuperado de URL:

(https://dl.dropboxusercontent.com/u/1656862/ejemplo.wmv)