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Reconocimiento Del Curso Y Actores
ASTRID ELENA MUÑOZ BELTRAN
Código: 1061774916
Calculo Diferencial
Universidad Nacional Abierta Y A Distancia
Ingeniería De Telecomunicaciones
Popayán 19 de agosto de 2015
ASTRID ELENA MUÑOZ BELTRAN
1061774916
Calculo Diferencial
Ingeniero:
Oscar Carrillo
Tutor y director
Universidad Abierta Y A Distancia – UNAD
Ingeniería De Telecomunicaciones
Popayán 19 de agosto del 2015
Introducción
Es este documento se darán a conocer los datos de los participantes pertenecientes al curso,
Calculo Diferencial, dando a conocer cada uno de sus datos tales como coreos, nueros de
teléfono…ETC.
También se dará a conocer un mapa conceptual donde se mostrara la estructura del Calculo
Diferencial, desprendiendo cada una de sus ramas y los temas que toca cada una de estas.
Además de la solución de tres ejercicios de Limites en el cálculo utilizando dos métodos de
solución.
Desarrollo
Mapa Conceptual Estructura Del Calculo Diferencial
Taller Desarrollado Límites
Problemas con límites
Límites problema #1
lim𝑥→4
𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑥2 − 2𝑥 − 8
Lo primero a realizar es evaluar la función (la ecuación) en el valor que nos dan (4), entonces el 4
entraría a ocupar el lugar de la x quedando de la siguiente manera:
lim𝑥→4
(4)2 − 5(4) + 4
(4)2 − 2(4) − 8
=16 − 120 + 4
16 − 8 − 8
=0
0
Siguiendo las operaciones llegamos a cero, cero sobre cero se denomina una indeterminación,
ya que esto no se puede aceptar como respuesta, hay que buscar la manera de que obtener un
número, una respuesta para lo cual se va a utilizar la Factorización.
Entonces vamos a factor izar tanto el nominador como el denominador de la expresión quedando
de la siguiente forma.
Donde vamos a aplicar el caso del trinomio de la forma 𝑥2+ bx+c
Abrimos los paréntesis,
la raíz cuadrada el primer término seria X, la cual repartimos en cada paréntesis
multiplicamos los signos de los números en parejas donde +x por -5 da como resultado
un – y menos -5 por +4 nos da –
buscamos dos números que multiplicados nos den 4 y cuya suma nos de -5
sabiendo que los dos son negativos los números serian -4 y -1
Abajo vamos a aplicar exactamente el mismo caso.
Paréntesis
Raíz cuadrada de 𝑥2 la repartimos en cada paréntesis
Multiplicación de signos
Buscamos dos números que multiplicados nos den -8 y sumados entre si nos de -2
Sabiendo por los signos que uno de ellos es negativo y el otro positivo pues entonces los
números serian -4 y +2
= lim𝑥→4
(𝑥 − 4)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 4)(𝑥 − 2)
En ese caso podemos encontrar que (x-4) es un factor que se repite arriba y abajo por lo tanto lo
podemos eliminar, y de esa manera vamos a tener el límite de una expresión, que muy
seguramente ya no se va a indeterminar (el resultado no va a ser cero)
¿Porque?, porque x-4 era el factor problema, ósea el causante de que nuestro resultado fuera cero
Como paso final lo que hacemos es volver a evaluar la expresión en 4
= lim𝑥→4
𝑥 − 1
𝑥 − 2
= lim𝑥→4
4 − 1
4 − 2=
3
6=
1
2
Limites problema #2
Vamos a solucionar este límite, para lo cual primero vamos a evaluar la expresión sabiendo que
x es 0.
Remplazamos la x con el 0
Realizamos las operaciones donde 4 + 0 nos daría 4 menos 2 sobre 0
lim𝑥→0
√4 + 0 − 2
0
lim𝑥→0
√4 − 2
0
Raíz de 4 nos da 2 menos 2 sobre 0
2 menos 2 nos da cero y esta es una forma indeterminada o una indeterminación , algo
que como ya vimos no se puede dejar como respuesta por lo que utilizaremos
lim𝑥→0
√2 − 2
0
= lim𝑥→0
√2 − 2
0
= lim𝑥→0
0
0
En este caso la operación que vamos a utilizar para dar solución a este caso va a ser la
racionalización del numerador, más exactamente se utilizara lo que se llama la conjugación.
Veamos cómo se hace:
lim𝑥→0
√4 + 𝑥 − 2
𝑥
Copiamos la expedición nuevamente y la vamos a multiplicar por el conjugado , del
numerador, que en este caso sería la raíz de 4 mas x más 2
(Para un ejemplo recordemos que el conjugado de (a+b) es (a-b) hay que recordar que el
objetivo de la conjugación es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia cuando
multiplicamos una suma por una diferencia (-) eso nos da una diferencia de cuadrados a al
cuadrado menos b al cuadrado,)
Escribiendo la expresión tanto arriba como debajo de la siguiente manera.
Porque no podemos alterar la expresión original, es como si a la larga, la expresión hubiera sido
multiplicada por 1, en otras palabras cuando lo de arriba es lo mismo de abajo es un 1 por lo tanto
nuestra expresión original no se está alterando.
lim𝑥→0
√4 + 𝑥 − 2
𝑥.√4 + 𝑥 − 2
√4 + 𝑥 − 2
A continuación vamos entonces a multiplicar en el numerador y aplicamos lo que
acabamos de mencionar.
Al multiplicar una suma por una diferencia nos va a quedar el primero al cuadrado, menos
el segundo al cuadrado
Abajo anotamos simplemente el producto de X por la ecuación de debajo colocándola en
un paréntesis, por ser un binomio , por tener dos términos
lim𝑥→0
(√4 + 𝑥 )2
𝑥.
(2)2
(√4 + 𝑥) − 2
Primero vamos a trabajar la parte de arriba
En el numerador el cuadrado elimina la raíz cuadrada, por lo tanto queda libre 4+x
lim𝑥→0
4 + 𝑥 − 4
𝑥. √4 + 𝑥 − 2
Siguiendo vemos que 4 menos 4 nos da 0 , por esto se cancelan y queda solamente la X
Seguido ya interactuamos con la ecuación de la parte de abajo y entonces x es igual a x
por lo cual se cancela.
lim𝑥→0
𝑥
𝑥. √4 + 𝑥 − 2
Y de esa manera estamos dándole solución al problema del cero sobre cero, que nos da al
comienzo, veamos porque.
Como x tiende a cero, si arriba X vale 0 y abajo X vale 0, esos son los causantes del 0 sobre 0
que nos estaba dando al comienzo pero que ya se nos van de manera licita por lo tanto nos queda
de la siguiente manera.
lim𝑥→0
1
√4 + 𝑥 − 2
Es decir que finalmente el límite pueda convertido en lo siguiente, y esa expresión la vamos a
evaluar nuevamente en base a 0
lim𝑥→0
1
√4 + 𝑥 − 2
Vamos a hacerlo: 4+0 nos da 4 +2
La raíz de cuatro es 2 + 2
Entonces nos queda 4
Quedando la respuesta de la siguiente forma
lim𝑥→0
1
√4 + 𝑥 − 2=
1
4
Limites problema # 3
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
√𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝟑
√𝒙 − 𝟐 − √𝟐
Vamos a resolver este límite algebraico donde necesitamos saber que le sucede en esta función
cuando X tiende o se aproxima a 4
Lo primero que debemos hacer es evaluar esta expresión ósea la función, justamente
cuando X toma el valor 4
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
√𝟏 + 𝟐(𝟒) − 𝟑
√(𝟒) − 𝟐 − √𝟐
Enseguida resolvemos las operaciones, veamos cómo nos queda
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
√𝟏 + 𝟐(𝟒) − 𝟑
√(𝟒) − 𝟐 − √𝟐=
𝟎
𝟎
Con esta resultado llegamos a lo que se lama , una indeterminación algo que debemos
solucionar, porque el resultado de un límite no puede quedar de esta manera, tenemos que
dar solución a este problema, llamado indeterminación
La estrategia que vamos a utilizar, para solucionar este problema de la indeterminación, es
racionalizar el numerador y el denominador de la expresión y esto lo vamos a conseguir
mediante un procedimiento que se llama conjugación, veamos en que consiste.
Si tenemos una expresión (a+b) entonces su conjugado es (a-b) y viceversa el conjugado de (a-b)
es (a+b), el objetivo de la multiplicación es que al conjugar estas dos cantidades, podamos contar
con 𝑎2 − 𝑏2 lo que se conoce como una diferencia de cuadrados efectos, esto es lo que en
algebra se conoce como un producto notable, llamado, suma por diferencia, y que da origen a una
diferencia de cuadrados.
Pues bien este es el procedimiento que vamos a utilizar para racionalizar el numerador y el
denominador de nuestra expresión, vamos a, multiplicar y dividir por el conjugado, de cada
expresión para de esa manera, conservar la función original.
Vamos entonces con el conjugado del numerador.
Observe que únicamente cambia en signo que conecta las dos cantidades, en este caso como
tenemos – el conjugado es con + pero las dos expresiones o las dos cantidades deben conservar
sus componentes, el primer signo no debe cambiar (+) únicamente el signo intermedio (-). Como
decíamos multiplicamos y dividimos por la misma expresión para garantizar que la función
original no se altere.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 − 𝟑
√𝒙 − 𝟐 − √𝟐 .
√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
Allí mismo vamos a multiplicar por el conjugado, del denominador de la parte de abajo, que será
la raíz cuadrada de x-2 +raíz de 2
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 − 𝟑
√𝒙 − 𝟐 − √𝟐.
√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑.
√𝒙 − 𝟐 − √𝟐
√√𝒙 − 𝟐 + √𝟐
Entonces allí estamos alistando todo para aprovechar, este producto notable, que nos va a generar
diferencia de cuadrados. Esto nos va a quedar entonces así:
En la parte superior vamos a efectuar el producto de las primeras dos expresiones
superiores (la primera y la del medio) donde en la segunda encontramos la suma y en la
primera la diferencia o resta y como están multiplicando, nos va a quedar :
La primera, la raíz cuadrada de 1 + 2x todo esto al cuadrado menos la segunda que seria 3
también al cuadrado.
Todo esto lo protegemos por un corchete y va a quedar multiplicado por la tercera
expresión, que vamos a proteger con paréntesis, y vamos a dividir.
vamos al denominador allí vamos a efectuar el producto entre la primera expresión
inferior la última, encontrando en la primera la diferencia
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 − 𝟑
√𝒙 − 𝟐 − √𝟐.
√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑.
√𝒙 − 𝟐 + √𝟐
√√𝒙 − 𝟐 + √𝟐
entonces tendremos en la primera expresión inferior la raíz cuadrada de la primera
cantidad al cuadrado menos, la última cantidad que es raíz cuadrada de 2 también elevada
al cuadrado.
Protegemos con corchetes y esto va a quedar multiplicado por la expresión del medio (
recordemos guiándonos en la primera ecuación resuelta en la conjugación), que vamos a
proteger con paréntesis
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
[(√𝟏 + 𝟐𝑿𝒙 )𝟐(−𝟑)𝟐]. (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)
[(√𝒙 − 𝟐)𝟐 − (√𝟐)𝟐]. (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑)
Continuamos con las operaciones y vemos que en la primera ecuación superior vemos que
el cuadrado elimina la raíz quedando 1+2-3 al cuadrado que es 9
Y escribimos la expresión que tenemos enseguida
Nos vamos a la parte inferior donde el cuadrado elimina la raíz, quedando x-2 -2,
protegemos con paréntesis , y escribimos la siguiente ecuación
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
(𝟏 + 𝟐 − 𝟗). (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)
(𝒙 − 𝟐 − 𝟐). (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
Realizamos la primera operación en la primera expresión y la segunda se queda tal cual
Pasamos al denominador donde dejamos x y operamos los otros dos número y la segunda
se queda también intacta
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
𝟐𝒙 − 𝟖. (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)
(𝒙 − 𝟒). (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
Ahora tenemos la posibilidad de factor izar 2x-8,binomio al cual podemos extraerle factor común
2, entonces 2 es factor de x-4
De esta manera vemos que ya es posible eliminar el factor x-4, que se encuentra en la parte de
arriba y en la parte de abajo, este es justamente el factor problema, el que estaba ocasionando al
principio la indeterminación 0 sobre 0, entonces al cancelar ese factor logramos ya superar el
problema de la indeterminación.
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
𝟐(𝒙 − 𝟒). (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)
(𝒙 − 𝟒). (√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
𝟐 (√𝒙 − 𝟐 + √𝟐)
√𝟏 + 𝟐𝒙 + 𝟑
Enseguida lo que debemos hacer es evaluar este límite, vamos a remplazar x cuando toma el
valor 4, en esta expresión, vamos como nos que:
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
𝟐 (√(𝟒) − 𝟐 + √𝟐)
√𝟏 + 𝟐(𝟒) + 𝟑
Procedemos a resolver las operaciones dentro de la ecuación:
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
𝟐 (√𝟐 + √𝟐)
𝟑 + 𝟑=
𝟐. 𝟐√𝟐
𝟔=
𝟒. √𝟐
𝟔
Como no podemos continuar con las operaciones podríamos simplificar los números
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟒
𝟒. √𝟐
𝟔=
𝟐√𝟐
𝟑
Conclusiones:
El tener conocimientos como los que te da el cálculo , son una gran herramienta ya que como se
puede ver en los tres ejemplos desarrollados, se puede encontrar una respuesta aunque la respuesta
sea 0
Para poder realizar un buen trabajo y la entrega de un gran producto es necesario conocer a las
personas con quienes trabajaras, conocer sus fortalezas como también sus falencias para poder
realizar una buena distribución de trabajo y apoyarse unos a otros
Si hay algo que quieres entender o conocer debes conocer primero su marco de presentación, sus
ideas generales, en este caso su estructura.
Referencias:
Extraído el día 19/08/2015
https://www.youtube.com/watch?v=PCdmkSiEP9A&feature=youtu.be
Extraído el día 19/08/2015
https://www.youtube.com/watch?v=zviGs6hbLvA&feature=youtu.be
Extraído el día 19/08/2015
https://www.youtube.com/watch?v=0X6YADNjNow&feature=youtu.be
Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_ (1Universidad Abierta Y A Distancia UNAD)
Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_2(1Universidad Abierta Y A Distancia UNAD)
Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_3_1 (1Universidad Abierta Y A Distancia UNAD)
Modulo_Calculo_Diferencial_I_2010_Unidad_3_Parte_2 (1Universidad Abierta Y A Distancia
UNAD)