100412_195_Trabajo_Fase_3
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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
ECBTI 100412-
ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO N°3
ECUACIONES DIFERENCIALES
LINA DANIELA REYES
JESSICA LORENA OLAYA
EUDY FERNEY GONZALEZ
JUAN CLIMACO PINILLA OSPITIA
CODIGO 100412_195
ADRIANA GRANADOS COMBA
TUTORA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
COLOMBIA
2014
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA
ECBTI 100412-
ECUACIONES DIFERENCIALES
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la
interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber,
aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de
algún conjunto de parámetros. En el presente trabajo colaborativo efectuaremos aplicaciones de la
unidad 3 del módulo de Ecuaciones Diferenciales usaremos las series matemáticas y en especial la
serie de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. En los Ejercicios que se
establecen a continuación se evidenciaran todo lo estudiado en esta unidad ya sí mismo a través de
los juegos lúdicos presentados de manera creativa aprenderemos más de este fascinante mundo de
las ecuaciones diferenciales.
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias
1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:
3y” – 2xy’ + 8y = 0, y (0) = 3, y´ (0) = 0
1
1. Revisar la convergencia de las siguientes series
2.
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Convergencia de
Luego tenemos Como el factorial es positivo siempre
Criterio del cociente
Ahora
Como la serie converge a cero
Convergencia de ;
Es positivo siempre
Criterio del cociente
→ se divide por todos los términos
Luego
→
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La serie se converge
3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0:
4. Resolver por series la ecuación diferencial
Son puntos singulares y los son puntos ordinarios.
Trabajemos con el punto ordinario , los candidatos a la solución son de la forma
Debemos hallar las : derivamos dos veces:
Pasamos a sustituir y en la ecuación diferencial original:
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Homogenizamos las potencias de
Haciendo
Todo en términos de :
Ahora homogenizaremos el índice de las series:
Luego:
Comparando coeficientes:
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Formula de recurrencia para los coeficientes:
Iteremos la fórmula de recurrencia:
Volviendo a:
La solución general:
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Siendo dos soluciones linealmente independientes.
El ejercicio resuelto, solo tiene validez para la ecuación diferencial con condiciones iniciales. Si la condición inicial esta en , utilizamos las series Maclaurin y si la condición inicial
esta en , utilizamos la serie Taylor.
5. Encuentre para la ecuación diferencial dos soluciones en serie de potencias en torno al punto ordinario x=0 que sean linealmente independientes.
Suponemos la solución de la forma
Reemplazando en la ecuación original
Expandiendo algunos términos
Igualando términos se obtiene
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Luego
Son dos soluciones linealmente independientes
Tercera actividad: Los estudiantes deben proponer un problema que permita la participación y el ejercicio de solución a una situación planteada por ellos mismos, teniendo en cuenta los siguientes elementos:
Definir el problema: el grupo debe identificar el problema que desean resolver o la demostración que pueden realizar posteriormente continúan con el análisis del problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparación y discusión en grupo, solución del problema
Un cohete con masa estructural m1, contiene combustible de masa inicial m2; se dispara en línea recta hacia arriba, desde la superficie de la tierra, quemando combustible a un índice constante a (es decir , donde m es la masa variable total del cohete) y expulsando los productos de escape hacia atrás, a una velocidad constante b en relación al cohete. Si se desprecian todas las fuerzas exteriores excepto la fuerza gravitacional mg, donde g la suponemos constante; encontrar la velocidad y la altura alcanzada en el momento de agotarse el combustible (velocidad y altura de apagado).
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Pero teníamos y como el tiempo de apagado se produce cuando m = m1 ya que no hay combustible, es decir Por
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lo tanto o sea que
cuando = velocidad de apagado.
Sustituyendo, queda que
De la misma manera se encuentra que = altura alcanzada al acabarse el combustible.
=
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CONCLUSION
� Resolvimos la ecuación diferencial mediante el uso de series de potencias,operando el
símbolo sumatoria para operaciones básicas como son la derivación y enfasamiento de tal
forma que se puedan encontrar los coeficientes inderminados de la solución en forma de
serie de potencias para el caso particular de una ecuación de segundo orden, la cual luego se
procede a verificar mediante separación de variables
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Gómez, R (2012).Modulo de Ecuaciones Diferenciales. Palmira
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