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TRABAJO COLABORATIVO 2

MÉTODOS NUMÉRICOS

Erin Yesenia Murcia Franco Có!" ####2$$%$2

Bra&an Le'is Mu(o) Ri*as Có" #$2+$2,---

V.c/or 0ernano Mac.as Ra1.re)!Có"-,$+22#

Cris/ina Ca13ero có"

Jeni4er 5e(ue6a Có"

TUTOR"

MATIN 7OME8 ORDU8

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD IBA7UÉ

ESCUELA DE CIENCIAS B9SICAS TECNOLO7:A E IN7ENIER:A

IN7ENIER:A DE ALIMENTOS

#+;##;2$#,

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OBJETIVOS

OBJETIVO 7ENERAL

Aplicar los conocimientos adquiridos en: Método de eliminación de Gauss, Método de Gauss-

Jordán, Método de Gauss-Seidel, Polinomio de Interpolación de Lagrange, Polinomio de

Interpolación con dierencias di!ididas de ne"ton, Interpolación Polinomial de dierencias

initas de #e"ton, A$uste de cur!as % &ransormada discreta de 'ourier tra(a$ando en

e$ercicios propuestos de manera cola(orati!a)

OBJETIVOS ES5ECIFICOS

• Leer la documentación predispuesta para la acti!idad)•

*esol!er los e$ercicios propuestos so(re método de eliminación de Gauss, Método deGauss-Jordán, Método de Gauss-Seidel, Polinomio de Interpolación de Lagrange,

Polinomio de Interpolación con dierencias di!ididas de ne"ton, Interpolación

Polinomial de dierencias initas de #e"ton, A$uste de cur!as % &ransormada discreta

de 'ourier) 

*eali+ar una entrega cola(orati!o con los aportes reali+ados)

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DESARROLLO

) onstruir un cuadro comparati!o de las dierencias entre los sistemas lineales % los sistemas

 #. lineales con al menos un e$emplo) /0e(e ser original, no se admiten copia (a$adas de internet1)

Ecuación 6inea6 Ecuación NO 6inea62na ecuación de primer grado o ecuación

Lineal signiica que es un planteamiento de

igualdad, in!olucrando una o más !aria(les

a la primera potencia, que no contiene

 productos entre las !aria(les, es decir, una

ecuación que in!olucra solamente sumas %

restas de una !aria(le a la primera

 potencia)

Las lineales no de(en tener

e3ponenciales, por lo tanto cuando se

graica se orma una l4nea recta, por eso

Se llaman lineales) Por otra parte, en la

ma%or4a de los sistemas lineales la salida

sigue la misma orma de la entrada o por lo

menos

*ele$ar los mismos cam(ios generados en

la entrada)

5s cualquier ecuación que tenga alguna

!aria(le ele!ada al cuadrado, cu(o, etc)

Las no lineales, orman iguras, por e$emplo

una pará(ola o una 6ipér(ola) Las

caracter4sticas no lineales con recuencia son

introducidas de orma intencional en un

sistema de control para me$orar su desempe7oo suministrar un control ma%or)

5

 x−4=

  4

 x−3

5 ( x−3 )=4( x−4)

5 x−15=¿4x-16

15−16=5 x−4 x

{ x2+ y2=25 x+ y=7 }

Y=7-x

 x

2

+(7− x )2

=25

 x2+49−14 x+ x2=25

2 x2−14 x+24=0

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X=1

 x2−7 x

+12=0

# So6ucione e6 si

7auss?Joran & 7auss?Seie6! Co13are 6os resu6/aos & @a

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alculamos 3

 x10=

7.85

3=2.616

alculamos 38

 x2

0=−19.3−0.1(2.616)

7=−2.794

alculamos 39

 x30=

71.4−0.3 (2.616 )+0.2(−2794)10

  =7.005

Segunda interaccion)

 x11=

7.85+0.1 (−2.794 )+0.2(7.005)3

  =2.990

 x21=

−19.3−0.1(2.990 )+0.3(7.005)7

  =−2499

 x31=

71.4−0.3 (2.990 )+0.2(−2499)10

  =7.000

Se comprue(a entre la primera % segunda iteracion)

| x11− x1

0|=|2.990−2.616|=0.373

| x21− x20|=|2.794−(−2.499)|=0.294

| x31− x3

0|=|7.005−7.000|=0.005

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| xi1− xi

0|≤ε parai=1,2,3   no se cumple la condicion)

laculamos la ultima interaccion

 x12=

7.85+0.1 (−2.499 )+0.2(7.000)3

  =3.000

 x22=

−19.3−0.1(3.000 )+0.3(7.000)7

  =−2.499

 x32

=71.4−0.3 (3.000 )+0.2(−2.499)

10   =6.999

omparamos los resultados)

| x12− x1

1|=|3.000−2.990|=0.009

| x22− x2

1|=|−2.499−(−2.499)|=0.0003

| x32− x3

1|=|6.999−7.000|=0.0002

| xi2− xi

1|≤ ε parai=1,2,3   como o(ser!amos aun no se cumple la condicion)

 Se 6ace otra interacion)

 x13=

7.85+0.1 (−2.499 )+0.2(6.9999)3

  =3.000

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 x23=

−19.3−0.1 (3.000 )+0.3(6.999)7

  =−2.500

 x33=

71.4−0.3 (3.000 )+0.2(−2.500)

10

  =7.000

omparando los !alores o(tenidos)

| x13− x1

2|=|3.0000−3.000031|=0.00003

| x23− x2

2|=|−2.500−(−2.499)|=0.00001

| x33− x3

2|=|7.000−6.999|=0.000001

iendo que la condicion se cumple el resultado es

 x1=3.0

 x2=−2.5

 x3=7.0

omo se puede compro(ar no se tiene un n;mero e3acto de iteraciones para encontrar una

solución) 5n este e$emplo, se 6icieron 9 iteraciones, pero a menudo se necesitan más

iteraciones)

9) Solucione el siguiente e$ercicio utili+ando los Método de eliminación de Gauss,

Gauss-Jordán % Gauss Seidel)

ompare los resultados % 6aga un peque7o análisis)

< = > 8 =8 > 9 =9 ? @

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 > @ = B 8 =8 > 8 =9 ? 8

 > @ = > @ =8 B 88 =9 ? 9 2tili+ar un C ? @D

Solución

*eescri(amos el sistema de ecuaciones en la orma de una matri+ % lo resol!amos por

el método de eliminación de Gauss % Gauss-Jordán

  < -8 -9 @

-@ 8 -8 8-@ -@ 88 9

0i!idamos -ésimo por <

  -8E< -9E< @E<-@ 8 -8 8-@ -@ 88 9

0e 8F 9 ilas sustraigamos la l4nea, multiplicada respecti!amente por -@F -@

  -8E< -9E< @E< 9

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  -8E< -9E< @E< -HE9< @HE9< -H@E< 9@HE< 9E<

0e F 9 ilas sustraigamos la 8 l4nea, multiplicada respecti!amente por -8E

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 x2=66635/3527

 x3=47205 /3527

! 56an/ee & so6ucione un e=ercicio u/i6i)ano 6os M/oo e e6i1inación e 7auss>

7auss?Jorn & 7auss?Seie6! Co13are 6os resu6/aos & @a

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5n seguida, se normali+a el segundo renglón di!idiendo entre 7.00333:

*educiendo los términos en X2 de la primera % la tercera ecuación se o(tiene:

5l tercer renglón se normali+a di!idiéndolo entre 10.010:

'inalmente, los términos con X3  se pueden reducir de la primera % segunda ecuación para

o(tener:

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Las !enta$as % des!enta$as de la eliminación gaussiana se aplican tam(ién al método de

Gauss-Jordan)

DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ELIMINACIN

) DIVISIN ENTRE CERO

2na de sus des!enta$as es que durante el proceso en las ases de eliminación %

sustitución es posi(le que ocurra una di!isión entre cero) Se 6a desarrollado una

estrategia del pi!oteo para e!itar parcialmente estos pro(lemas) Ksta se de$a como

in!estigación al alumno)

8) ERRORES DE REDONDEO

La computadora mane$a las racciones en orma decimal con cierto n;mero limitado de

ciras decimales, % al mane$ar racciones que se transorman a decimales que nunca

terminan, se introduce un error en la solución de la computadora) 5ste se llama error por 

redondeo)

uando se !a a resol!er solamente un peque7o n;mero de ecuaciones, el error por 

redondeo es peque7o % generalmente no se aecta sustancialmente la presición de los

resultados, pero si se !an a resol!er simultáneamente muc6as ecuaciones, el eecto

acumulati!o del error por redondeo puede introducir errores relati!amente grandes en la

solución) Por esta ra+ón el n;mero de ecuaciones simultáneas que se puede resol!er 

satisactoriamente con el método de eliminación de Gauss, utili+ando de a d4gitos

signiicati!os en las operaciones aritméticas, se limita generalmente a @ o 8)

9) SISTEMAS MAL CONDICIONADOS

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La o(tención de la solución depende de la condición del sistema) 5n sentido matemático,

los  sistemas bien condicionados  son aquellos en los que un cam(io en uno o más

coeicientes pro!oca un cam(io similar en la solución) Los sistemas mal condicionados

son aquellos en los que cam(ios peque7os en los coeicientes pro!ocan cam(ios grandes

en la solución)

2na interpretación dierente del mal condicionamiento es que un rango amplio de

respuestas puede satisacer apro3imadamente al sistema) a que los errores de redondeo

 pueden inducir cam(ios peque7os en los coeicientes, estos cam(ios artiiciales pueden

generar errores grandes en la solución de sistemas mal condicionados)

MÉTODO DE 7AUSS?SEIDEL

5l método de eliminación para resol!er ecuaciones simultáneas suministra soluciones

suicientemente precisas 6asta para @ o 8 ecuaciones) 5l n;mero e3acto depende de las

ecuaciones de que se trate, del n;mero de d4gitos que se conser!an en el resultado de las

operaciones aritméticas, % del procedimiento de redondeo) 2tili+ando ecuaciones de error, el

n;mero de ecuaciones que se pueden mane$ar se puede incrementar considera(lemente a más

de @ o 8, pero este método tam(ién es impráctico cuando se presentan, por e$emplo, cientos

de ecuaciones que se de(en resol!er simultáneamente) 5l método de in!ersión de matrices

tiene limitaciones similares cuando se tra(a$a con n;meros mu% grandes de ecuaciones

simultáneas)

La secuencia de pasos que constitu%en el método de Gauss-Seidel  es la siguiente:

) Asignar un !alor inicial a cada incógnita que apare+ca en el con$unto) Si es posi(le

6acer una 6ipótesis ra+ona(le de éstos !alores, 6acerla) Si no, se pueden asignar 

!alores seleccionados ari/raria1en/e) Los !alores iniciales utili+ados no

aectarán la con!ergencia como tal, pero aectarán el n;mero de iteraciones

requeridas para dic6a con!ergencia)

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8) Partiendo de la primera ecuación, determinar un nue!o !alor para la incógnita que

tiene el coeiciente más grande en esa ecuación, utili+ando para las otras

incógnitas los !alores supuestos)

9) Pasar a la segunda ecuación % determinar en ella el !alor de la incógnita que tieneel coeiciente más grande en esa ecuación, utili+ando el !alor calculado para la

incógnita del paso 8 % los !alores supuestos para las incógnitas restantes)

) ontinuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el !alor calculado

de la incógnita que tiene el coeicniente más grande en cada ecuación particular, %

utili+ando siempre los ;ltimos !alores calculados para las otras incógnitas de la

ecuación) /0urante la primera iteración, se de(en utili+ar los !alores supuestos

 para las incógnitas 6asta que se o(tenga un !alor calculado1) uando la ecuación

inal 6a sido resuelta, proporcionando un !alor para la ;nica incógnita, se dice que

se 6a completado una iteración)

@) ontinuar iterando 6asta que el !alor de cada incógnita, determinado en una

iteración particular, diiera del !alor o(tenido en la iteración pre!ia, en una

cantidad menor que cierto seleccionado ar(itrariamente) 5l procedimiento

queda entonces completo)

*eiriéndonos al paso @, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, ma%or será la

 precisión de la solución) Sin em(argo, la magnitud del epsilon no especiica el error que puede

e3istir en los !alores o(tenidos para las incógnitas, %a que ésta es una unción de la !elocidad

de con!ergencia) Mientras ma%or sea la !elocidad de con!ergencia, ma%or será la precisión

o(tenida en los !alores de las incógnitas para un dado)

5J5MPL.

*esol!er el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utili+ando un ?

))

) = B

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5n la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

omparando los !alores calculados entre la primera % la segunda iteración

omo podemos o(ser!ar, no se cumple la condición

5ntonces tomamos los !alores calculados en la ;ltima iteración % se toman como supuestos para la

siguiente iteración) Se repite entonces el proceso:

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omparando de nue!o los !alores o(tenidos

omo se o(ser!a toda!4a no se cumple la condición

As4 que 6acemos otra iteración

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omparando los !alores o(tenidos

0ado que se cumple la condición, el resultado es:

= ? 9)=8 ? -8)@=9 ?

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 L3 ( x)=( x−1 ) ( x−3 ) ( x−5 )(7−1 ) (7−3 ) (7−5 ) =

( x−1)( x−3)( x−5)48

P(x) = -2.

(−( x−3 ) ( x−5 ) ( x−7 ))

48 +1

(( x−1 ) ( x−5 ) ( x−7 ))

16 +2

(−( x−1 ) ( x−3 ) ( x−7 ))

16

-3(( x−4 ) ( x−3 ) (c−5 ))

48

P(x) =

 x2

−448

( x−7)¿ +10x-27)

! De/er1ine e6 5o6ino1io e In/er3o6ación Usano 6a In/er3o6ación e Di4erencias

Di*iias e Ne'/on> e in/er3o6e en e6 3un/o G H

alculando las dierencias di!ididas se o(tiene:

x y

7 1430

6 908 522

4 278 315 69

2 40 119 49 4

-4 -242 47 9 4 0

EG36icación"

908−14306−7

=−522−1

=522

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278−9084−6

=−630−2

=315

Por lo tanto, el polinomio queda de la siguiente manera:

1430+522( x−7 )+69 ( x−7) ( x−6)+4 ( x−7 ) ( x−6 ) ( x−4 )

 Interpolación del polinomio, para x = 3:

1430+522 (−4 )+69 (−4 ) (−3 )+4 (−4 ) (−3 ) (−1 )

1430+(−2088 )+828+(−48 )

1430−2088+828−48=122

-! 5ara 6a si

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0espués o(tenemos:

G &

- --8E9 -98EH EH-E9 -E9 EH EH  -8 8E9 -8EH -8E9

5l polinomio que se o(tiene es:

−4+4

9 (   s1 ! )+ 49 ( s ( s−1 )2!   )− 23 ( s ( s−1 ) ( s−2 )3!   )=−19 s3+ 59 s2−4

alculando el !alor de s para de$ar la e3presión en unción de x :

s= x− x0

h  =

 x−(−1)1

3

=3 x+3

*eempla+ando la ecuación se o(tiene:

−19(3 x+3)3+

5

9(3 x+3)2−4=−3 x3−4 x2+ x−2

s= x− x0

h  =

−1415

−(−1)

1

3

=

−14+1515

1

3

=  3

15=1

5

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Para determinar 3nQ a partir de las muestras espectrales se calcula la  I0'&)

 x [n ]=  1 N  ∑ K =0

 N −1

 X  [ K  ].  ! 2"

 N  kn=n=0,1,2,3

 x [0 ]= 14∑ K =0

3

 X  [ K  ]= 14=[2+(1+  )+0+(1− ) ]=1

 x [1 ]=14 ∑ K =0

3

 X  [ K ] .  ! 2"

4 k =1

4=[2+ (1+ ! ) .  !

"

2 +0+ (1− ! ) .  ! 3"

2 ]=0

 x [2 ]=14 ∑ K =0

3

 X  [ K ] .   2"

42k =

1

4=[2+(1+  ) .  

 "

2 +0+(1−  ) .  3"

2 ]=0

 x [3 ]=14∑ K =0

3

 X [ K ] .  !2"

4 3k =1

4=[2+(1+ ! ) .  !

"

2 +0+ (1− ! ) .  ! 3"

2  .3 ]=1

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?  Ejemplo2:  X  [n ]= {1,2,1,0}

N ?  X t  [0 ]=∑ x [n ]=1+2+1+0=4

N ?

¿4− !¿

− !∏ ¿=− !2−2 !∏ ¿=1+2exp  (∏ ¿2¿)+exp¿

 X t  [1 ]=∑ x [n ]exp¿

N ? 8

2/4− !¿

− !2∏ ¿=0− !2∏ ¿=1+2exp  ("¿)+exp¿

 X t  [2 ]=∑ x [ n ] exp¿

N ? 9

3 /4

− !¿− !3∏ ¿= !2

−2 !∏ ¿=1+2exp  (3∏ ¿2¿)+exp¿ X t  [3 ]=∑ x [n ]exp¿

Por tanto la 0'& de  X  [n ] s X T  [ K ]= {4,− !2,0, ! 2} parak =0,1,2,3

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CONCLUSIONES

  Se logró aplicar los conocimientos adquiridos de la 2nidad 8) 53actitud % *a4ces de

5cuaciones Sistema de ecuaciones lineales, no lineales e interpolación)  Se reali+ó un (uen tra(a$o cola(orati!o, gracias el compromiso % apo%o por parte de los

estudiantes % al tutora)• .(tu!imos ma%or conocimiento acerca de las operaciones lineales % no lineales)• 5l uso de dierentes métodos para la solución de sistemas de ecuaciones pueden

dierenciar en sus procedimientos % e3actitud, sin em(argo el método de gauss % Gauss-

Jordan comparten una similitud al utili+ar un sistema matricial % reducir este, sin em(argo

Gauss-Jordan de$a las incógnitas completamente despe$adas a dierencia de gauss)

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REFERENCIAS BIBLIO7RAFICAS

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