10.8 Vectores geométricos Análisis de elementos teóricos 1. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa,

justificando su determinación. 1.1 Si Eba 3, ∈

rr , con barr = y ba

rr // , entonces, barr =

r1.2 Si bar = , entonces, ba

rr =

1.3 Si barr = y ba

rr ≠ , entonces, necesariamente ar y br

son opuestos rr rr1.4 Si y ba // ba = y , entonces ba

rr ≠ barr −=

r r1.5 Si , entonces, ac r−= oac rr =−+ )( rr1.6 Si , entonces, siempre se cumple que 3, Eba ∈ baba

rrrr +=+ rrr1.7 Si baba

r+=+ para a ob rrr ≠, , entonces, necesariamente a b

rr // rr1.8 Si dc

rr > , entonces, siempre que se cumpla que dcdcrr −=+

1.9 Si y ofe rrr ≠, 0≠−=+ effe rrrr , entonces ferr + tiene el mismo sentido de f

r

rrrr1.10 Si ocba ≠,, y abccba rrrrrr −−=++ entonces: rrrNecesariamente a .//// cb r•

cba rr ,, tienen distinta dirección. r r

• a y b tienen sentido opuesto, al sentido de cr

rr•

bacr

+> necesariamente. •

cbacba rrrrrr ++=−+ • 2. En la figura se tiene un paralelogramo y puede asumirse que los vectores que se

observan como paralelos, evidentemente lo son. Si u APrr = y BPt

rr= , expresar los

vectores que aparecen con incógnitas en función de ur y tr . (A y B son puntos

medios de los lados respectivos).

3. Si ar > b

r y los vectores tienen sentidos opuestos, entonces:

tr

ur P

?

??

??

?

?A

B

3.1. Exprese el sentido de cada uno de los siguientes vectores en términos de los

sentidos de ar o de br

ar + br

, ar - br

, br

- ar , - ar - br

.

3.2 Calcule la magnitud de cada uno de los vectores anteriores en términos de ar y br

.

4. En las representaciones siguientes determine:

¿Cuando uno de los vectores corresponde a la suma de los otros dos? •

• ¿Cuando uno de los vectores corresponde a la diferencia de los otros dos?

4.1 ar 4.3 sr r c b m h r rr

4.2 4.4

r d

r u r

r

tr f n

r l 5. En las expresiones siguientes, determine el vector resultante:

5.1 →→→→→

+−−+ MDFKHFHMCK

5.2 →→→→→

−+−− CKDAKFFDCD 6. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa,

justificando su determinación. 6.1 Si ar RyE ∈∈ λ3 , entonces, arλ y ar pueden ser vectores opuestos.

r r6.2 Si a ll b y ,0,0 >> βλ entonces necesariamente arλ y b

rβ tienen el mismo

sentido. 6.3 Si 0≠λ , entonces, necesariamente aa rr >λ

r6.4 Si a ll br

y barr θλ = , entonces, necesariamente 0==θλ r

6.5 Si arλ y bβ tienen sentidos opuestos, entonces, necesariamente 0>λ y 0<β ó 0<λ y 0>β .

7. Utilice el criterio de colinealidad para determinar en cada numeral si los tres puntos

diferentes de O ("O" es un punto de referencia) son o no colineales.

7.1 +→

OA21

+→

OC21

=→

OB→→

+ OCBO56

54

7.2 →→→

=+ DOFOOC 352 Ilustración 35

En el trapecio ABCD, M, N son puntos medios de los lados no paralelos AD y BC respectivamente: Demuestre vectorialmente que:

→

MN = )(21 →→

+ DCAB

N M

D C →

MN = )(21 →→

+ DCAB

→

MN // →→→

CDMNyAB // B A Hipótesis i) ABCD trapecio ii) AB // DC iii) M punto medio de AD , N punto medio de BC Demostración

1. Suma generalizada en E3 →→→→

++= CNDCMDMN

2. Suma generalizada en E3 →→→→

++= BNABMAMN

3. Sumando 1 y 2, Ley uniforme de la suma →→→→→→→

+++++= BNABMACNDCMDMN2

4. . Conmutatividad y asociatividad en la suma en E3.

→→→→→→→

+++++= DCABBNCNMAMDMN )()(2

5. y CN ¿Por qué? →→→

=+ oMAMD→→→

=+ oBN

6. Sustitución 5 en 4. →→→→→

+++= DCABooMN2

7. Propiedad modulativa de la suma en E3. →→→

+= ABDCMN2

8. )(21 →→→

+= ABDCMN . Propiedad, producto de un real por un vector libre.

9. )(21 →→→

+= DCABMN Definición igualdad de vectores libres en 8.

10. →→→

+= DCABMN21 Propiedad de un producto de un real por un vector libre

en 9.

11. )(21 →→→

+= DCABMN Teorema desigualdad triangular en 10. Por tener y

el mismo sentido.

→

AB→

DC

12. Teorema. Criterio del paralelismo de la hipótesis ii). →→

= ABDC λ

13.

+=

→→→

ABABMN λ21 Sustitución de 12 en 8.

14.→→ +

= ABMN2

)1( λ Propiedad del producto de un real por vector libre en 13.

15. // Teorema. Criterio del paralelismo en 14. →

MN→

AB

16. // Transitividad en le paralelismo de la hipótesis ii) y de 15. →

MN→

DC Ilustración 36

El cuadrilátero PQRS es un paralelogramo, A es el punto medio de PS , 21

=TQAT

Demuestre vectorialmente que →

=RT→→

+ )(32 RQRS

Q

R S

T

A

P Demostración

1.

+=

→→→

RARQRT 231 Teorema de la proporción, de la hipótesis

2. Suma en →→→

+= SARSRA 3E

3. →→

= SPSA21 Criterio del paralelismo, de la hipótesis.

4. →→→

+= SPRSRA21 Sustitución de 3. en 2.

5. Teorema Propiedad del paralelogramo, de la hipótesis. →→

= RQSP

6. →→→

+= RQRSRA21 Sustitución de 5. en 4.

7.

++=

→→→→

RQRSRQRT212

31 Sustitución de 6. en 1.

8.

+=

→→→

RQRSRT32 ¿Por qué?

Ilustración 37

En el triángulo ABC de la figura se tiene:

{ }3212

2

1

1 ,52,

31 PBPCP

CPAP

BPAP

=== I

Determine vectorialmente la razón en la que el punto P3 divide al segmento CP1 y al segmento BP2.

B

λ

β

P1 P3

A P2C

Demostración.

1. Designemos la razón βλ

=23

3

PPBP Convención adoptada

2. ( )

+

+=

→→→

CBCPCP βλβλ 23

1 Teorema de la proporción de 1

3. Teorema Criterio del paralelismo →→

= 13 CPCP θ

4.

+=

→→→

CACBCP 341

1 Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis.

5.

+=

→→→

CACBCP 343θ Sustitución 4 en 3

6. →→

= CACP75

2 Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis.

7. ( )

+

+=

→→→

CBCACP βλβλ 7

513 Sustitución 6 en 2

8. ( )

+

+=

+

→→→→

CBCACACB βλβλ

θ7

5134

Transitividad entre 5 y 7

9. ( )→→

−

+=

+

− CACB4

37

54

θβλ

λβλ

βθ Propiedad del producto de un

real por un vector libre.

10. ( ) 04

=+

−βλ

βθ De 9. ¿Por qué?

( ) 04

37

5=−

+θ

βλλ

11. 521

=βλ Despejando en 10.

12. 1310

=θ Despejando en 10.

13. En consecuencia: 521

23

3 =PP

BP y 1310

1

3 =CPCP esto es,

310

13

3 =PP

CP

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demuestre vectorialmente el teorema de la paralela media.

2. Demuestre vectorialmente que los puntos medios de un cuadrilátero son los vértices

de un paralelogramo.

3. Demuestre vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su

punto medio.

4. Demuestre vectorialmente que las medianas en cualquier triángulo se cortan en un

punto ubicado sobre cada mediana a 2/3 del vértice y a 1/3 del lado sobre el cual la

mediana incide.

5. Demuestre vectorialmente que en un paralelogramo los segmentos que unen un

vértice con los puntos medios de los lados opuestos, dividen la diagonal en tres

segmentos de igual medida.

6. En un cuadrilátero ABCD sean: E, F, G, H los puntos medios de los lados

DAyCDBCAB ,, . Demuestre vectorialmente que: →→→→→

=+++ ODECHBGAF

7. En el trapecio ABCD, M, N son los puntos medios de las diagonales. Demuestre

vectorialmente:

7.1 )(21 →→→

−= ABDCMN

7.2 )(21 →→→

−= ABDCMN

7.3 →→→→

DCMNABMN ||,||

8. En la figura se tiene: O Punto de referencia, P Punto medio de AD , →

→

DB

CD=2/1

C

Demuestre vectorialmente que OP =→ →→→

++ OCOBOA61

31

21

O

P

A

D

B

9. En la pirámide triangular de base en el ∆ ABC y vértice Q, M, N y L son puntos

medios de AB , BC y AC→

+QB

respectivamente. Demuestre vectorialmente que

→→→→→

+=++ QCQAQLQNQM

M N

L

Q

A

C

B

10. Sean E3, // , y tales que ∈→→

ts ,→

s→

t→→→

≠ ots , ststs rrrrr 7335 θθλ

−+=+−

Determine vectorialmente los valores de λ y θ.

10.9 Vectores Coordenados

Ilustración 38

Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el

punto A(-2, 1, 3) y es paralela al vector →

DT , siendo D(4, 0, -1) y T(2, -3, 1).

Solución

Designemos esta recta por

→

DTAL ,

Sea P(x, y, z) tal que P∈ ; esto es P representa un punto genérico de la

recta.

→

DTAL ,

Determinemos los vectores de posición P y

rrA respectivamente.

→

DTAL ,

D A

A T

P

z P

y O

x

Tenemos ahora que: 1. P = A + AP 2. AP = λDT Con λ ∈ a R. ¿3. P = A + λDT Sustituc4. DT = T – D ¿Porqué5. P = A + λ(T - D), λ∈R} Ecuació6. L(A, DT) ={P (x, y, z) / P = A + λ Como DT = T – D (2,-3,1)-(4, 0, - Por la correspondencia entre vectores 7. P (x, y, z) = (-2,1,3) + λ(-2,-3,2)

(x, y, z)= (-2 -2λ, 1-3λ, 3+2λ) y d

x = -2 -2λ y = 1 - 3λ λ ∈ R. Ecuacio z = 3 + 2λ

Porqué? ión de 2 en 1. ? n vectorial de esta recta. (T - D), λ∈R}

1); esto es DT (-2,-3,2)

de posición y vectores coordenados tenemos de 5:

e la igualdad de n-tuplas se obtiene:

nes paramétricas de esta recta.

8. Despejando el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores y por la

transitividad en la igualdad tenemos:

23

31

22 −

=−−

=−+ zyx Ecuaciones simétricas de esta recta.

Ilustración 39 Determine para la recta de la ilustración anterior:

Sus interceptos con los planos zyx ↔↔↔ yz,x , • Su intersección con el plano de ecuación cartesiana 2x-y+3z=5 •

Solución: La ecuación cartesiana del plano yx ↔ corresponde a: 0x +0y+z=0; y sustituyendo las coordenadas respectivas, de las ecuaciones paramétricas en esta ecuación tenemos: 3 + 2λ=0 y λ= -3/2, evaluando para este valor, las ecuaciones paramétricas, se obtiene: X=-2+2 (3/2) =1 Y= 1 + 3(3/2)= 11/2 Z=0 En consecuencia (1, 11/2, 0) corresponde al punto de intersección de la recta con el plano yx ↔ . Determine el intercepto con los otros dos planos. Veamos ahora el intercepto con el plano de ecuación 2x-y+3z=5 2(-2 -2λ)-(1-3λ)+3(3+2λ)=5 -4 - 4λ-1+3λ+9+6λ=5 4+5λ=5, λ= 1/5; evaluando las ecuaciones paramétricas con este valor, obtenemos el punto (-8/5, 8/5, 17/5), correspondiente a la intersección. Ilustración 40 Dadas las rectas L1 y L2 en el espacio y de ecuaciones:

x = -2 +3λ L1: y = 5 - λ λ ∈ R.

z = 2λ x = 3 - β

L2: y = 5 +2β β ∈ R.

z = β

Determine el conjunto L1∩L2 e interprete geométricamente sus posiciones relativas:

Veamos inicialmente si L1//L2, por ser muy sencillo el criterio que lo determina. •

•

•

Sea u (3,-1,2) con // L1 ¿Porqué? →

1 ↔→

1u

Sea u (-1,2,1) con //L2 →

2 ↔→

2u

L1//L2 si y solo si // u ¿Porqué? →

1u→

2

Pero u si y solo si u . Teorema. Criterio del paralelismo. →→

21// u→→

= 21 uθ

Asumamos, a prueba de hipótesis u . Esto es (3,-1,2) = θ(-1,2,1); si esto se diera tendríamos que:

→→

= 21 uθ

→

1→

2u 1L 2L

Generando un sistema inconsistente; lo que nos permite concluir que u ╫

y en consecuencia ╫

3= -θ -1= 2θ 2 = θ

Procedemos ahora a determinar 1L 2L∩ . 1) βλ −=+− 332 1) 3 5=+ βλ 2) βλ 255 +=− 2) 02 =−− βλ 3) βλ =2 3) 2 0=− βλ Aplicando el método de reducción de Gauss - Jordan se tiene:

−−−

1221

13 0 5 5

0

5→ 12E

−121321

0

0 → +− 213 EE

−−

5050

21

0

0

→ +− 32 EE

−0050

21

− 550

Lo que nos permite afirmar que el sistema es inconsistente y en consecuencia ∩ = .

1L

2L Φ

-E1 -2E1+ E3

Este ultimo resultado y la conclusión previa de que ╫ , nos permite concluir, según la teoría, que las rectas y se “cruzan en el espacio”.

1L 2L

1L 2L Ilustración 41 Dados los planos π1, π2 y π3 de ecuaciones cartesianas en su orden: π1 : x – y +2z = 1 π2 : x + 3y – z = 2 π3 : 2x + 6y – 2z = 3

Determine e interprete geométricamente 1. π1 ∩ π2 2. π2 ∩ π3 3. π1 ∩ π2 ∩ π3 Veamos para el primer conjunto. Por el método de reducción de Gauss Jordan

−

−131

211

21

→ +− 21 EE

−

−340

211

11

→ 24/1 E

−

−4/310

211

4/1

1

→ + 12 EE

− 4/310

4/501

4/14/5

Sistema equivalente reducido. 1. x +5/4z = 5/4 2. y -3/4z = 1/4 x = 5/4 - 5/4λ

1. y = 1/4+ 3/4λ λ ∈ R Solución del sistema 2. z = λ

Esto significa que π1 ∩ π2 = L( A, ), donde A(5/4, 1/4, 0) y (-5/4, 3/4, 1) →

t→

t Ilustración 42

Dados S (-4,-2,6) y (2,1,2) →

n ↔Determine:

1. La ecuación vectorial del plano que pasa por S y es perpendicular al vector ;

que designamos por π( , S).

→

n→

n2. La ecuación cartesiana de este plano. 3. La distancia de un punto Q(3,4,-2) a este plano. 4. Las coordenadas correspondientes a la proyección ortogonal de Q sobre el

mismo plano. 5. Las coordenadas del punto simétrico de Q respecto al plano inicial.

6. El ángulo entre el plano π( , S) y el plano de ecuación 5x -2y + z = -3 →

n

Solución:

1. Sea P(x, y, z) ∈ π( , S). →

n

Entonces ⊥ y por lo tanto →

SP→

n

n

S

P

2. →

S

→

S

3. S

Calc

•

→ →

SP . = o n Ecuación vectorial.

= ( x+4, y+2, z-6) P→→

− SP ↔

. = 2 (x + y) + (y + 2) + 2(z – 6) = 0 P→

n

Ecuación cartesiana.

2x + y +2z = 2 2x + y +2z = 2

ea A ∈ π( , S); en particular →

nA (0, 0, 1) está en el plano

d(Q, π( , S)) = HQ →

n

•=

==

→

→→

→

→→→

2

n

nAQ

n

AQprATHQ

Por tanto →

→

→→→

= nn

nAQHQ 2

. = →

→→

n

nAQ..

= 33.19

4=

ulemos las coordenadas del punto H

Podemos afirmar que { H } = π( , S) ∩ L (Q, ). ¿Por qué? →

n→

n

Si P (x, y, z) ∈ L (Q, ), entonces P = Q + λ y sus ecuaciones paramétricas son:

→

n→

n

1. x = 3 + 2λ 2. y = 4 + λ R∈λ 3. z = -2 +2λ ( ) ( ) ( ) 22224232 =+−++++ λλλ 9/4−=∴λ

y

−

=922,

932,

919H

Designemos Q´ por el punto simétrico de Q respecto al plano π( , S), se cumple en consecuencia que:

→

n

Q´ = Q + QQ´ ¿Porqué? Q´ = Q + 2QH ¿Porqué? QH = H – Q ↔ )9/4,9/4,9/8( −− Q´ (3, 4, -2) + (-16/9, -8/9, 8/9) Q´ = (11/9, 28/9, -10/9)

→

n

H

O

A

Q

Q´

H

´

Determinemos perpendicular al plano de ecuación 5x – 2y + z = -3, en particular

; y por lo tanto el ángulo entre los planos corresponde a:

→

t

( 2,− )1,5↔→

t

=→→

→→

−

tn

tn .cos 1α ¿Por qué?

º51,52309

10cos 1 =

×

= −α

Ilustración 43 Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwarz.

Si , entonces, 3, Eba ∈→→

..→→→→

≤ baba

Demostración

1. αcos.→→→→

= baba Definición de producto escalar.

2. αcos.→→→→

= baba Tomado de valor absoluto en 1

3. αcos.→→→→

= baba Propiedad de valor absoluto y magnitud de un

vector libre. 4. − 1cos1 ≤≤ α Rango de la función coseno 5. 1cos ≤α Propiedad del valor absoluto de 4

6. →→→→

≤ baba αcos ¿Por qué?

7. →→→→

≤ baba . ¿Por qué?

Ilustración 44 Sea ∆ABC con ángulo recto en AHCAB ;ˆ altura. Demuestre vectorialmente que:

1. HBCBAB→→

=→ 2

2. CHCBAC→→

=→ 2

3. →→

=→

CHBHAH2

A

B C H

Solución

1. ABABAB→→

=→

.2

Definición de producto escalar.

→→→2. CACBAB −= Diferencia de E3

3. HAHBAB→

−→

=→

Diferencia de E3

4. De 2 y 3

→−

→→−

→=

→→HAHBCACBABAB ..

5. Propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma

→→→→→→→→→→

+−−= HACAHBCAHACBHBCBABAB .....

6. CB ¿Por qué? 0. =→→

HA

7. Sustitución de 6 en 5 →→→→→→→→

+−= HACAHBCAHBCBABAB ....

8. Distributividad del producto escalar

respecto a la suma.

+−+=

→→→→→→→

HAHBCAHBCBABAB ...

9.→→→

=− BAHBHA ¿Porque?

10. Sustitución de 9 en 8 →→→→→→

+= BACAHBCBABAB ...

11.CA ¿Por qué? 0. =→→

BA

12. º0. CosHBCBABAB→→→→

= Sustitución de 11 en 10. y

definiciones de producto escalar.

13.→→→

= HBCBAB2

¿Por qué?

Ilustración 45

Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores

)3,1,9(),1,2,3(),2,0,5( −−↔−↔−↔→→→

cba Solución:

Volumen de este paralelepípedo determinado por los vectores = ),,(→→→

cba

(Producto mixto de ) ¿Por qué? →→→

cba ,,

319123205

),,(−−

−−

=→→→

cba = 5

Luego el volumen del paralelepípedo es igual a 5 unidades cúbicas. Calcular el volumen del tetraedro, determinado por estos mismos vectores. Ilustración 46 Si A, B, C son puntos distintos y no colineales, demuestre que una ecuación vectorial para el plano π (A, B, C) es:

0),,( =→→→APACAB ; siendo P un punto genérico del plano.

Demostración

),,( CBAΠ

1. Sea P(x, y, z) , P∈π(A, B, C) B

2. Determinemos →→→

APACAB ,,

3. ),,(,, CBAAPACAB π⊂→→→ P A

de la hipótesis y de 1.

4. ¿Por qué? 0)( =•→→→

APxACAB C 5. La ecuación vectorial anterior

Corresponde al plano ),,( CBAπ

etermine, utilizando este resultado, una ecuación vectorial y la ecuación cartesiana del Dplano ),,( SNMπ ; cuando M(-5, 2, 1), N Ilustración 47

(3, -1, 0), S(4, -3, -1).

emuestre vectorialmente que para ;

Demostración

D 3, Eba ∈→→

0,, =

−+

→→→→→

bbaba

1. Definición

producto mixto.

2. .

Distributividad del producto vectorial respecto a la suma.

3.

. Sustitución 3 en 2

5. . Distributividad

del producto escalar respecto a la suma.

6. ición del producto vectorial.

y

8. Sustitución de 7 en 5.

ustración 48

de la ilustración 40, determine la distancia entre ellas (transversal ínima).

×

−•

+=

−+→→→→→→→→→

bbababbaba ,, .

−+ aba ,

→

×−ו

+=

→→→→→→→→→→→

bbbababb ,

- =× Obb ¿Por qué? →→→

4. = bb ,

ו

+

−+

→→→→→→→→→

babaaba ,

→→

ו+

ו=

−+

→→→→→→→→→

babbaabbaba ,,

⊥× aba y ⊥× bba . Defin→→→ →→→

7. 0=× b ¿Por qué? 0=

ו

→→→

baa

•

→→→

ab

→

0,, =

−+

→→→→

bbaba

Il Para las rectasm Solución.

1. Designemos por A y →t un punto particular y un vector paralelo a la primera

recta obteniendose A(-2, 5, 0) y →t ↔ (-1,2,1).

Designemos por B y s elemen álogos en2. tos an la segunda recta, obteniéndose

3.

→

,2,1B(3, 5, 0) y ( )1−↔s →

,

→→

→→→

→→

×

=

st

stABsBLtALd

,,,,, ¿Por qué?

(Justifique la fórmula y su aplicación en esta situación)

4. ( )0,0,5↔−= ABAB →→→

25)5(5121213005

,, −=−=−

−=

→→→

stAB

5. →→→

→→→

→→

+−−=−

−=× kjikji

st )5()5()5(121213

)5,5,5( −−↔×→→

st ; 75=×→→

st

6. 88.27525

)),(),,(( =−

=→→

sBLtALd unidades de longitud

Ilustración 49 En el ∆ABC, P y Q son puntos medios de AB y BC respectivamente, G es el baricentro. Demuestre vectorialmente que: Área (∆PQG)= 1/12 Área (∆ABC) C Q

G A B P Solución

1. Área (∆PQG) = →→

× PGPQ21 ¿Por qué?

2. →→

= ACPQ21 Teorema de la paralela media.

3. →→→

−== CPPCPG31

31 ¿Por qué?

4.

+=

→→→

CBCACP21 Teorema de la proporción, de la hipótesis.

5. Área (∆PQG) =

+−×

→→→

CBCAAC61

21

21 Sustitución 2, 3 y 4 en 1

6. Área (∆PQG) =

+−×

→→→

CBCAAC241 Propiedad del producto vectorial y

magnitud de un vector.

7. Área (∆PQG) =

−×+

−×

→→→→

CBACACAC241 Distributividad del producto

vectorial, respecto a la suma.

8. ¿Por qué? →→→

=−× OACAC

9. ¿Por qué? →→→→

×=−× CBCACBAC

10. Área (∆PQG) = →→

×CBCA241 Sustitución 8 y 9 en 7

11. Área (∆PQG) = 121 Área (∆ABC) ¿Por qué?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sean ( ) ( ) ( ) ( 1,2,1,1,0,0,,21,2

1 ,1,1,1,0 −↔−↔−↔−↔→→→→

dcba )

Determine las coordenadas de los vectores: →→→→

+−= cbas 32 y→→→→→

+−−= dcbat 22

Determine los cosenos y los ángulos directores de →

s

Determine el ángulo entre y . →

s→

t Determine un vector de magnitud igual a 2/5 en la dirección y en el sentido de

→

t

2. Identifique cada una de los siguientes conjuntos de puntos en R2

2.1 { }( ) Ryxyx ∈+−−= θθθ ),7,4()0,3)(1(),/(,

2.2

∈+−=

→→→

RPPPyxP βββ ,)1(/),( 21

2.3

∈= Rxyyx ,

53/),(

2.4 [ ){ }+∞∈+−= ,0),5,2()1,3(),/(),( θθyxyx 2.5 [ ]1,0),5,2()1,3(),/(),({ }∈+−= θθyxyx

3. Sean P1 (x1,y1,z1) , P2 (x2,y2,z2). Determine vectorialmente las coordenadas del punto medio del segmento 21PP .

4. Determine las ecuaciones: vectorial, paramétricas y cartesianas de cada uno de

los siguientes planos. 4.1π ( siendo A ( 0,-2,1), C ( -4,1,-1), K (5,0,2). ),,, KCA

4.2 π ( , siendo D ( -1,1,2), u ),,→→

tuD )5,1,2(),1,0,3( −↔−↔→→

t4.3 el plano que pasa por T(-1,0,2) y contiene a la recta

L: 1. x = 3-λ

2. y =2λ R∈λ 3. z = 1-5λ 5. Sean: 0: 11111 =+++ dzcybxaπ π 0: 22222 =+++ dzcybxa

Demuestre que π1//π2 si y solo si existe R∈λ tal que λ===1

2

1

2

1

2

cc

bb

aa

6. Demuestre vectorialmente la ley del coseno. 7. Demuestre vectorialmente que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 8. Demuestre vectorialmente la desigualdad triangular.

Para →→→→→→→

+≤+∈ babaEcba ,,, 3

9. Sea A un vértice de un cubo. Desde A se trazan una diagonal del cubo y una diagonal de una de las caras. Calcule el ángulo entre estas dos diagonales.

10. Establezca un criterio vectorial para determinar cuando cuatro puntos distintos

del espacio son coplanarios. Utilice dicho criterio para determinar si A ( 1,2,1), B (-3,1,2), C (-4,-1,1) y D (-3,-2,0) son coplanarios.

11. Una pirámide cuyo vértice es P; tiene como base el cuadrilátero ABCD.

Calcule el volumen de esta pirámide si se tiene: P ( 0,0,8); A ( 3,0,-1); B ( 2,9,3); C ( -2,0,4); D ( -4,-6,4) .

12. Demuestre la identidad de Jacobi: →→→→→→→→→→

=××+××+×× Obacacbcba )()()( sug: Utilice la relación de Gibas

13. Resuelva para →

X el siguiente sistema.

1. →→→

=× cbX

2. =•→→

aX α sugerencia: Utilice la relación Gibbs 14. Dado el tetraedro ABCP.

Sean vectores normales a cada cara y de magnitud igual al área de la cara respectiva.

43,2,,1 ,→→→→

nnnn

Demuestre que = O 432,1

→→→→

+++ nnnn→

→

2

→

n

C A

3

→

n

B

P 1

→

n

4n 15. Demuestre la identidad de Lagrange.

Para 3,,, Edcba ∈→→→→

→→→→

→→→→→→→→

••••=ו×

dbcbdacadcba )()( Sugerencia: Utilice las propiedades del

Producto mixto.

16. Sean linealmente independientes y →→→

cba ,,→→→→

++= cbad γβλ

Demuestre que ),,(

),,(, →→→

→→→

=cba

cbdλ ; =β ),,(

),,(, →→→

→→→

cba

cda ; ),,(

),,(, →→→

→→→

=cba

dbaγ

17. Utilice el resultado anterior para resolver el siguiente sistema: ( Regla de Cramer ) . 1. 532 =−+ γβλ 2. − 222 =−+ γβλ 3. 34 =−+− γβλ