11 Elementos Del Movimiento

8/6/2019 11 Elementos Del Movimiento

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Elementos del movimiento

Unidad 11


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Contenidos (1)1.- Introduccin.

2.- Magnitudes escalares y vectoriales.

3.- Sistemas de referencia. Concepto de

movimiento.

4.- Operaciones con vectores.

5.- Trayectoria,posicin y desplazamiento.

6.- Velocidad media e instantnea (introduccin

al concepto de derivada).


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Contenidos (2)7.- Aceleracin media e instantnea.

8.-Componentes intrnsecas de la aceleracin:tangencial y normal..


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Magnitudes escalares y

vectoriales Escalares:Escalares: quedan perfectamente definidas

con una cantidad (nmero) y una unidad

Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg. Vectoriales (vectores):Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:

Mdulo: (cantidad y unidad). Se representa por

la longitud del vector. Es la parte escalar.

Direccin: es la recta que contiene el vector.

Sentido: indicado por la punta de la flecha.

Punto de aplicacin: origen de la flecha.

Ejemplo: la posicin, velocidad, fuerza...


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Sistema de referencia y movimiento

Es un punto del espacio respecto al cual

describimos el movimiento.

Un objeto se encuentra en movimientomovimiento sicambia su posicin respecto al sistema de

referencia.

Los sistemas de referencia cuentan a su vez conuno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z),

perpendiculares entre s, segn trabajemos en

una recta, en un plano, o en el espacio.


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Representacin de un sistema de

referencia tridimensional. Sobre cada eje se

toma como unidad de

medida los vectores

unitarios

(mdulo igual a 1):

i sobre el eje x j sobre el eje y

k sobre el eje z

j

x

y

zi

k


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Vectores

Se representan con una flecha encima de la letraque utilizada para dicha magnitud.

Se suelen expresar en forma cartesiana en donde

ax, ay y az son sus componentes cartesianas: p p p pa = ax i + ay j + az k

A partir de ahora, los vectores los escribiremos en

negrita y diferente color para mayor comodidad: a = ax i + ay j + az k

en donde i,j y krepresentan los vectores unitarios

sobre los ejes x, y, z.


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Sean dos vectores: a = ax i + ay j + az ky b = bx i + by j + bz k

El vector suma vendr dado por:

a + b = (ax + bx) i + (ay + by) j + (az + bz) k Ejemplo: Sean

a = 3 i + 2j

y b = 2 i3ja + b = (3+2) i + (2 3)j

= 5 ij

y

x

5

Suma de vectores

a

b


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Clculo del mdulo de un vector.

Sean un vector: a = ax i + ay j + az k

El mdulo de a, que se representa como |a| se

calcula aplicando el teorema de Pitgoras:

____________ |a| = ax

2 + ay2 + az

2

Ejemplo: En el vector anteriorc = a + b= 5 ij

____________ ____________ ___|a| = ax

2 + ay2 + az

2 = 52 + (1)2 + 02 = 26


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Vector Posicin ( r = r) .

Para un punto P de coordenadas (x,y,z)

el vector posicin viene dado por:

r = x i + y j + z k

r = 2 i + 2j


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v = x i + y j

v = x i + y j + z k

Representacin de vectores posicin

En dos

dimensiones

En tres

dimensiones


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Ecuacin del movimiento La ecuacin que proporciona la posicin de

un objeto con respecto al tiempo se llama

ecuacin del movimientoecuacin del movimiento:

r(t) = x(t) i + y(t) j +z(t) k

Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2t i + (1t) j + (3t2+4) k] m

En el S.I. la unidad ser el m.


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10

y

x

5

5 10

Ejercicio: Sea el movimiento definido por la si-guiente ecuacin r = 2t i + 8j en unidades del S.I.

Dibujar los vectores posicin en los instantes 0, 2,4 y 6 segundos.

t (s) r (m)

0 8j (0,8) 2 4 i + 8j (4,8)

4 8 i + 8j (8,8)

6 12 i + 8j (12,8)


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Ecuaciones paramtricas. Son las ecuaciones que relacionan cada

componente cartesiana con el tiempo.

x = f(t); y = g(t); z = h(t)

Son ecuaciones escalares (no vectores).

Ejemplo:Ejemplo: En el vector:

r(t) = [2ti + (1t) j + (3t2+4)k] m

las ecuaciones paramtricas seran:

x = 2t ; y = 1 t ; z = 3t2 + 4


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Trayectoria Es la lnea que sigue

el movimiento.

Los diferentes

puntos de dicha

lnea se obtienen

dando valores a ten la ecuacin del

movimiento

(paramtricas).

x

y


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Ecuaciones de la trayectoria.

Se obtienen despejando el parmetro (tiempo) en

una ecuacin y sustituyendo el valor en la otra.

Son ecuaciones escalares (no vectores).

Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2ti + (1t) j + (3t2+4)k] m

x = 2t ; y = 1 t ; z = 3t2 + 4

t = x/2

y = 1 x/2 ; z = 3x

2

/4 + 4 En el caso del espacio bidimensional, nicamente

existe una ecuacin de la trayectoria: y = f(x).


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Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramtricasy de la trayectoria del siguiente movimiento

expresado por la ecuacin:r(t) = [(t 2)i + (2t2 + 4t 3 )j] m

Ecuaciones paramtricas:

x = t 2 ; y = 2t2 + 4t 3

Despejando tde la 1 ecuacin: t = x + 2

Y sustituyendo en la segunda:

y = 2 (x + 2)2 + 4(x + 2) 3

y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4(x + 2) 3

y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 3

Ecuacin de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13


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18Ejercicio: Determina el valor del vector posicin delvector : r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m en los

instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula elmdulo de dichos vectores y la ecuacin de la

trayectoria.

Ejercicio: Determina el valor del vector posicin delvector : r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m en los

instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula elmdulo de dichos vectores y la ecuacin de la

trayectoria.t (s) r(t) (m) r(t) (m)

0 6j (6)2 = 6,00

2 6 i + 2j 62 + 22 = 6,32

4 12 i + 26j 122 + 262 = 28,646 18 i + 66j 182 + 662 = 68,41

Despejando t de x = 3 t t = x/3, ysustituyendo en y = 2 t2 6 queda:

y = 2(x/3)2

6; y = 2xy = 2x22

/9/9 66


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19Ejercicio: Representa grficamente la ecuacinanterior: (0,6); (6,2); (12,26); (18,66).

50

y

x

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5 10 15


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Vector desplazamiento ((r = (r)Vector desplazamiento ((r = (r) Es el vector diferencia de dos vectores de

posicin en dos momentos distintos.

Sean r0 = x0 i + y0j + z0 k

y r1 = x1 i + y1j + z1 kdos vectores posicin.

(r = r1r0 == (x1x0) i + (y1y0)j + (z1z0) k=

= (x i + ( yj + (z k



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21Ejercicio: Cul ser el vector desplazamiento ycunto valdr su mdulo en la ecuacin anterior:

r(t) = 3t i + (2t2

6) j en unidades del S.I entrelos instantes t = 2 s y t = 4 s.

Ejercicio: Cul ser el vector desplazamiento ycunto valdr su mdulo en la ecuacin anterior:

r(t) = 3t i + (2t2

6) j en unidades del S.I entrelos instantes t = 2 s y t = 4 s.

r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) mr2(t= 4 s) = (12 i + 26j) m

(r = r2r1 = (x i + ( yj + (z k= [(12 6) i + (26 2)j] m

(r = (6 i + 24j) m

(r= 62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m24,74 m


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Espacio recorrido ((s)Espacio recorrido ((s) Es una magnitud escalar que mide la longitud de

trayectoria recorrida.

NO hay que confundir

con el vector desplaza-

miento, aunque en tra-

yectorias rectilneas y

que no cambien de sen-tido el movimiento

(s = (r



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p

Velocidad media (vm = vm)

p

Velocidad media (vm = vm) (r (x i + ( yj + (z kvm = = (t (t

(x (y (zvm = i + j + k(t (t (t

vm = vmx i + vmyj + vmz k

El mdulo del vector vm toma el valor:

v

m= v

mx

2 + vmy

2 + vmz

2


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Velocidad media (continuacin) La direccin y el sentido son los mismos que los del

vector desplazamiento (r ya que (t es un escalar.

NO hay que confundirvm con el escalar (s/(t que, en

Fsica, llamaremos rapidez o celeridad media.

Ni siquiera vmtiene porqu coincidir con la rapidez oceleridad media.

Ejemplo: un corredorque da una vuelta completa a un circuitotendr vm = 0 ya que (r = 0. Sin embargo tiene una rapidez queviene determinada por la longitud de la pista ((s) dividido porel tiempo empleado en cubrir la vuelta ((t).

En el S.I. la unidad ser el m/s.


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Ejercicio: Calcular la velocidad media entre losinstantes t = 2s y t = 5, as como su mdulo en el

movimiento: r(t) = [(2t2 4) i + (1 4t) j] m

r1 (t =2 s) = (4 i 7j) m

r2(t =5 s) = (46 i 19j) m

(r (2sp5s) = r2r1 = (42 i 12j) m(r (42 i 12j) m

vm (2sp5s) = = = (14 i 4j) m/s(t 5 s 2 s

vm (2sp5s)= (14 m/s)2 + ( 4 m/s)2 = 14,56 m/s


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pVelocidad instantnea (v = v)

pVelocidad instantnea (v = v)

Es el valor lmite que toma la velocidad media cuando

los intervalos de tiempo (t van aproximndose a 0.


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Ejemplo: Calcular la velocidad instantnea aproxima-da (( t = 0,1 s) en el instante t = 2s, as como su

mdulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t26)j] m

Sea ( t = 0,1 s, suficientemente pequeo:deberemos conocer la posicin en r1 (t =2 s) y en

r2(t =2,1 s) r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) m

r2(t =2,1 s) = (6,3i + 2,82j) m

(r = r2

r1

= (0,3 i + 0,82j) m

(r (0,3 i + 0,82j) mvaprox (t=2 s) = = = (3 i + 8,2j) m/s

(t 0,1 s

vaprox (t=2 s)= 32 + 8,22 m/s = 8,73 m/s


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Ejercicio: Calcular la velocidad instantnea msaproximada en el instante t = 2s, as como su mdulo

en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2 6) j] m Si queremos calcularv (t=2 s) de forma ms aproximada

deberemos tomar un ( t an menor, por ejemplo 0,01 s,y conocer la posicin en r1 (t =2 s) y en r3 (t =2,01 s).

r1 (t =2 s) = (6 i + 2j) m

r3 (t =2,01 s) = (6,03i + 2,0802j) m

(r = r3r1 = (0,03 i + 0,0802j) m (r (0,03 i + 0,0802j) mvaprox (t=2 s) = = = (3 i + 8,02j) m/s

(t 0,01 s

vaprox (t=2 s)= 32 + 8,022 m/s = 8,56 m/s


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Componentes cartesianas de la

velocidad instantnea v

Componentes cartesianas de la

velocidad instantnea v (r (x i + ( yj + (z k

v = lim = lim (tp0 (t (tp0 (t

dr dx dy dzv = = i + j + k

dt dt dt dt

v = vx i + vyj + vz k


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Velocidad instantnea (cont.)

La direccin de v es tangente a la trayectoria en

el instante en el que calculemos la velocidad.

El sentido es el del movimiento.


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Ejemplo: Calcular la expresin del vectorvelocidad del movimiento anterior:

r(t) = [3t i + (2t2

6) j] m y la velocidad enlos instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.

(r (x i + ( yj + (z kv = lim = lim

(tp0 (t (tp0 (t

3(t+(t) 3t [2(t+(t)26 [2t26]v = i + j =

(t (t

3t + 3(t 3t [2t2

+ 4t (t + 2((t)2

6][2t2

6]= i + j =(t (t

v = dr/dt = 3i + 4tj Ecuacin de laya que (t p 0 velocidad


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32Ejemplo (continuacin): Calcular la expresindel vector velocidad del movimiento anterior

r(t) = [3t i + (2t2

6) j] m y la velocidad en losinstantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.

Ecuacin de la velocidad: v = 3i + 4tj

t (s) v(t) (m/s) v(t) (m/s)0 3 i 32 = 3

2 3i + 8j 32 + 82 = 854

4 3 i + 16j 32 + 162 = 1628

6 3i + 24j 32 + 242 = 2419


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Aceleracin media (am = am) La definicin es similar a la de la velocidad,

si bien tiene un significado totalmentedistinto, pues indica la variacin de velocidad

con el tiempo.

(v (vx i + ( vyj + (vz kam = =

(t (t

am = amx i + amyj + amz k

En el S.I. la unidad ser el m/s2.


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Aceleracin instantnea (a = a). (v (vx i + (vyj + (vz ka = lim = lim

(tp0 (t (tp0 (t

dv dvx dvy dvza = = i + j + kdt dt dt dt

a = ax i + ayj + az k

La direccin y el sentido de a son los mismosque los del vector incremento de velocidad(v ya que (t es un escalar.


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35Ejemplo: Calcular la expresin del vector acelera-cin del movimiento anteriorr(t) = 3ti + (2t26)j,

cuyo vector velocidad era v = 3i + 4tj en los

instantes 0, 2, 4 y 6 s as como su mdulo.

Ecuacin del movimiento(de la posicin): r(t) = 3ti + (2t26)j

Ecuacin de la velocidad: v = 3 i + 4tj

Ecuac. de la aceleracin: a = dv/dt = 4j

Para todos los valores de tiempoa = 4j m/s2, ya que se observa que a nodepende de t.

a

(m/s2

) =

42

m/s2

= 4 m/s2


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Componentes intrnsecas de la

aceleracin nicamente en los movi-mientos rectilneos a tiene

la misma direccin y sen-

tido que v. En general, atiene una direccin y sen-

tido hacia dentro de la

curva, con lo que normal-mente se descompone en

dos vectores at (acel. tangencial) y an (acel.

normal) tangente y perpendicular a la

trayectoria.


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Componentes intrnsecas de la

aceleracin (at

y an

) a = at + an = at ut + anun

siendo ut y un los vectores unitarios tangente yperpendicular a la trayectoria en el punto en el

que calculamos la aceleracin. (v dv v2

at=at= lim = ; an=an= (tp0 (t dt R

siendo Rel radio de curvatura de la trayectoria.

Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R

Igualmente llamamos a = a= at2

+ an2


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38Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pistacircular de 1 km de radio. El mdulo de la velocidad

aumenta segn la ecuacin: v(t) = 7 t, en unidades del SI.

Calcula: a)a) la aceleracin tangencial; b)b) la aceleracin

normal y el mdulo del vectora a los 6 s.a)a)

dv 7(t+(t) 7t 7t + 7 (t 7t 7 (tat = = = = = 7 m/s

2

dt (t (t (t

aatt = 7 ut m/s2

b)b)v2 49 t2 m2s-2

an = = = 0,049 t2 m/s2R 1000 m

an (t= 6 s) = 0,049 62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; aann = 1,76 un m/s

2

a (t= 6) = at2

+ an2

= 72

+ 1,7642

m/s2

= 7,2 m/s2


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Mtodo prctico de derivacin de

polinomios Ejemplo:Ejemplo:

x = 5 t3+ 4 t23 t + 2

dx/dt = 15 t2 + 8t 3

En general, sea y = a xn + b xn1 + ... + f x + g

La derivada dy/dx se obtiene:

dy/dx = na xn1 + (n 1)b xn2 + ... + f

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