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S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACINY DESARROLLO TECNOLGICO

cenidet

CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCIN

UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

EN INGENIERA ELECTRNICA

P R E S E N T A

GERARDO CORTS LOZANO

DIRECTOR DE TESIS: Dr. GERARDO VICENTE GUERRERO RAMREZ

CO-DIRECTOR: M.C. PATRICIA CARATOZZOLO MARTELLITI

CUERNAVACA, MORELOS DICIEMBRE 2002

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INDICE

INDICE

Pg.

INDICE ILISTA DE TABLAS IIILISTA DE FIGURAS IV

CAPTULO IINTRODUCCIN

1

1.1 Estado del arte. 2

1.2 Justificacin. 5

1.3 Alcance 51.4 Aportacin... 6

1.5 Organizacin del trabajo de tesis. 6

CAPTULO IIMTODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCIN 8

2.1 Mtodos tradicionales de modelado del motor de induccin.. 8

2.2 Mtodo de Euler Lagrange... 10

2.2.1 La ecuacin Euler Lagrange.. 11

2.2.2 Modelo trifsico del motor de induccin.. 152.2.3 Teora del marco de referencia. 182.2.4 Modelo equivalente bifsico. 20

2.3 Simulaciones 22

CAPTULO IIIANLISIS, MODELADO Y SIMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO.

28

3.1 Modelo del sistema completo motor de induccin robot.. 28

3.2 Simulacin del sistema 36

CAPTULO IVCONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIN BASADO EN PASIVIDAD 41

4.1 Introduccin. 414.2 Planteamiento del problema 43

4.3 Diseo del controlador nominal.. 44

4.3.1 Diseo de las seales deseadas. 444.4 Anlisis de estabilidad. 51

4.4.1 Anlisis de estabilidad del subsistema elctrico... 52

4.4.2 Anlisis de estabilidad del subsistema mecnico. 55

I

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INDICE

4.5 Simulacin del sistema en lazo cerrado... 57

CAPTULO VCONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO

LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV

63

5.1 Tcnica de rediseo de Lyapunov... 64

5.2 Diseo del controlador robusto para el subsistema mecnico. 665.3 Anlisis de estabilidad del subsistema mecnico 68

5.4 Diseo del controlador robusto para el subsistema elctrico.. 715.5 Anlisis de estabilidad del subsistema elctrico.. 74

5.6 Simulacin del sistema 77

CAPTULO VIANLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES 85

6.1 Anlisis del ndice de desempeo 85

6.2 Conclusiones 94

6.3 Trabajos futuros... 96

REFERENCIAS 97

APNDICE A A-1

A.1 Funcin S, herramienta de Simulink de Matlab. A-1

A.2 Manual para el uso de los programas de simulacin.. A-3

II

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INDICE

INDICE DE TABLAS

Tabla Pg.

2.1 Ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de unmotor de induccin 10

2.2 Parmetros de simulacin para un M.I. de 1 hp. 24

2.3 Parmetros de simulacin para un M.I. de 3 hp. 252.4 Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por [Ong,98] 27

2.5Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por[Krause,95]

27

3.1Parmetros de los motores de induccin que accionan al robot rgidogiratorio de dos grados de libertad.

37

4.1Parmetros de los motores de induccin que accionan al robot rgidogiratorio de dos grados de libertad 58

5.1 Parmetros nominales del robot 77

5.2Parmetros nominales de los motores de induccin que accionan alrobot rgido giratorio de dos grados de libertad

79

A.1 Rutinas de la funcin S contenida en un archivo .M A-3A.2 Programas generados A-4

A.3 Parmetros de simulacin A-5

III

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INDICE

INDICE DE FIGURAS

Figura Pg.

1.1 Entradas y salidas de un circuito elctrico no lineal 3

2.1Mquina de induccin trifsica, simtrica, dos polos, conectada enestrella, (a) diagrama esquemtico; (b) diagrama elctrico de los

devanados de estator y rotor.

9

2.2Diagrama a bloques de flujo de datos para el programa de simulacin

del motor de induccin23

2.3 Corrientes de los devanados de a) estator; b) rotor 242.4 a) Velocidad; b) Par electromagntico generado 25

2.5 Corrientes de los devanados de a) estator; b) rotor 26

2.6 a) Velocidad; b) Par electromagntico generado 26

3.1Robot rgido giratorio accionado por motores de induccin, caso

particular de dos grados de libertad28

3.2Diagrama a bloques del programa de simulacin para el robot rgidogiratorio de dos grados de libertad accionado directamente por motores

de induccin

37

3.3 Corrientes de los devanados de a) estator motor 1; b) rotor motor 1 383.4 a) Velocidad del motor 1; b) Par electromagntico generado por el

motor 138

3.5 Corrientes de los devanados de a) estator motor 2; b) rotor motor 2 393.6 a) Velocidad del motor 2; b) Par electromagntico generado por el

motor 2 39

4.1 Diagrama a bloques del sistema pasivo 44

4.2 Representacin polar de los flujos del rotor 45

4.3Diagrama a bloques del controlador basado en pasividad para el robot

rgido giratorio accionado por motores de induccin58

4.4 Trayectoria de posicin deseada 59

4.5Primera, segunda y tercera derivada de la trayectoria de posicin

deseada59

4.6a)error de seguimiento de posicin motor 1 b)error de seguimiento de

velocidad motor 160

4.7a)error de seguimiento de posicin motor 2 b)error de seguimiento develocidad motor 2

60

4.8a)Corrientes de los devanados de estator motor 1 b)Corrientes de los

devanados de rotor motor 161

4.9a)Voltajes de alimentacin para el motor 1 b)Par electromagnticogenerado por el motor 1

61

4.10a)Corrientes de los devanados de estator motor 2 b)Corrientes de los

devanados de rotor motor 262

IV

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INDICE

4.11a)Voltajes de alimentacin para el motor 2 b)Par electromagntico

generado por el motor 262

5.1Diagrama a bloques para describir al sistema en lazo cerrado con

perturbaciones65

5.2 Diagrama a bloques del flujo de datos para el esquema de controlpropuesto 78

5.3a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 1 b)

Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 180





5.6a) Error del seguimiento de trayectoria de posicin para el motor 2 b)Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 2

81





5.9a) Corrientes en los devanados de estator del motor 1 b) Corrientes en

los devanados de rotor del motor 183

5.10a) Voltajes de alimentacin para el motor 1 b) Par electromagntico


5.11a) Corrientes en los devanados de estator del motor 2 b) Corrientes enlos devanados de rotor del motor 2

84

5.12a) Voltajes de alimentacin para el motor 2 b) Par electromagntico


6.1a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b)

ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 186







6.5a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b)ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1

88


ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 88


ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 289

6.8a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b)




6.10 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posicin del motor 1 b) 91

V

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INDICE


6.11a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b)ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2

92

6.12a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b)


6.13 a) Comparacin del seguimiento de trayectoria de posicin para elmotor 1 b) Comparacin del seguimiento de trayectoria de velocidad

para el motor 1

93

6.14a) Comparacin del seguimiento de trayectoria de posicin para elmotor 2 b) Comparacin del seguimiento de trayectoria de velocidad

para el motor 2

94

VI

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Simbologa

B Coeficiente de friccin viscosa en N m s/rad

B0 Regresor para la parte elctrica

c Constante positivaC Matriz de trminos de Coriolis

D Matriz de inercias

e Errores para el subsistema elctricof Fuerzas generalizadas

f Representa cualquier sistema trifsico de variables elctricasf, G Funciones continuas

fmm Fuerza magnetomotriz

g0 Vector independiente de los parmetros inciertos para la partemecnica

ge0 Vector independiente de los parmetros inciertos para la parte

elctricaI1 Momento de inercia para el eslabn 1 del robot

I2 Momento de inercia para el eslabn 2 del robot

iar, ibr, icr Corriente en las fases a, b, c del rotor

ias, ibs, ics Corriente en las fases a, b, c del estatorIn Matriz identidad de nxn

j Inercia del rotor en Kg m2

J Matriz antisimtricaK Matriz cuya diagonal es {e, 0}

Ks Matriz de transformacin de elementos de circuitos trifsicosestacionarios o variables a un marco de referencia arbitrario

Ks

-1 Matriz de transformacin inversa

l1 Longitud del primer eslabn del robotl2 Longitud del segundo eslabn del robot

lc1 Centro de gravedad del eslabn 1 del robot

lc2 Centro de gravedad del eslabn 2 del robot

Ll Inductancia de dispersinLm Inductancia de magnetizacin

Lr Matriz de inductancias de rotor, inductancia de rotor

Ls Matriz de inductancias de estator, inductancia de estatorlsr Valor mximo de la inductancia mutua

Lsr Matriz de inductancias mutuas

M Matriz constanteM Matriz de inercias combinadas

m1 Masa del eslabn 1 del robot

m2 Masa del eslabn 2 del robotNr Nmero de vueltas en los devanados de rotor

Ns Nmero de vueltas en los devanados de estator

p Momento generalizado

q Coordenada generalizadaQ Fuerzas externas

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qe Coordenada generalizada para la parte elctrica, carga elctrica

qm Coordenada generalizada para la parte mecnica, posicin angularqm Error de seguimiento de posicin

Rm Coeficiente de friccin viscosa del rotor

Rr Resistencia de los devanados de rotor

Rs Resistencia de los devanados de estatorT 32

Matriz de transformacin de Blondel

T* Co-energa cinticaT*r Co-energa cintica del robot

T*rr Co-energa cintica del robot debida a los movimientos rotacionales

T*rt Co-energa cintica del robot debida a los movimientostraslacionales

u Vector de entrada de un sistema no linealu1d1,u1d2,u2d1,u2d2 Voltajes deseados de estator para los motores 1 y 2

V Energa potencial, Funcin candidata de Lyapunov

var, vbr, vcr Voltaje en las fases a, b, c del rotor

vas, vbs, vcs Voltaje en las fases a, b, c del estatorw(t,x) Seal de control adicional para contrarrestar las incertidumbres

we Vector de seales de compensacin para la parte elctricawm Vector de seales de compensacin para la parte mecnica

x1,y1, x2, y2 Coordenada de posicin para el robot

y Vector de salida de un sistema no lineal

Y0 Regresor para la parte mecnica

1, 2, 3 Funciones de clase k

Indica variacin

Funcin continua que agrupa los trminos inciertos

e Parmetro de diseo para la parte elctricam Parmetro de diseo para la parte mecnica

e Matriz de ganancias positiva definida para el subsistema elctrico

s Matriz de ganancias definida positiva para el subsistema mecnico

Enlaces de flujo.

ar, br, cr Enlaces de flujo en las fases a, b, c del rotor

as, bs, cs Enlaces de flujo en las fases a, b, c del estator

Desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de

referencia arbitrario

Posicin real

0m Vector de parmetros nominales para la parte mecnica

e Vector de parmetros inciertos para la parte elctrica

e0 Vector de parmetros nominales para la parte elctrica

m Vector de parmetros inciertos para la parte mecnica

r Posicin angular de la flecha del rotor

ref Posicin de referencia

d Posicin angular deseada del vector de flujo

em Par electromagntico generado por el M.I. en N m.

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Captulo I

INTRODUCCIN

Los motores de induccin (M.I.) son ampliamente utilizados en aplicacionesindustriales que requieren velocidades prcticamente constantes, esto debido a su

simplicidad de operacin, robustez, su necesidad prcticamente nula de mantenimiento y su

costo reducido en comparacin con otras mquinas.

Actualmente, debido a los avances en la teora del control no lineal, de mquinas

elctricas, de la electrnica de potencia y de los procesadores digitales, hay una tendencia abuscar un mejor desempeo dinmico en las mquinas elctricas a travs del diseo desistemas de control ms sofisticados.

En el caso de los motores de induccin existen ciertos desafos en la bsqueda pormejorar el diseo de sus sistemas de control. Esto debido principalmente a que: Su

dinmica exhibe no linealidades muy significativas, no todos los estados estn disponibles

para su medicin, es un sistema altamente acoplado y sus parmetros pueden variarsignificativamente de sus valores nominales durante su operacin.

En aos recientes, se han desarrollado una amplia variedad de tcnicas de control no

lineal para controlar a los motores de induccin tales como: El control vectorial, el controlbasado en pasividad, los controladores basados en la linealizacin por retroalimentacin,

etc., obteniendo muy buenas caractersticas de desempeo. Por lo anterior, los motores de

induccin han encontrado aplicacin en sistemas de alta precisin, anteriormentereservados nicamente a las mquinas de CD.

1

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CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIN UTILIZANDO LA TCNICA DE REDISEO DE LYAPUNOV

1.1 Estado del arte

En la actualidad existen diferentes mtodos de control del motor de induccin y

entre ellos se encuentran:

a). Control en rgimen permanente:

Considerado como un mtodo clsico, se basa en la linealizacin del modelo delmotor en un punto de operacin de rgimen permanente. Su ventaja principal consiste en

que es posible aplicar la teora de control lineal en el diseo del controlador; sin embargo,

el comportamiento dinmico es variable y depende de qu tan cerca est funcionando el

motor del punto de operacin supuesto [Taylor,94]. Algunos mtodos de control enrgimen permanente usados son el control voltaje / frecuencia (V/Hz.) constante y el

control de la frecuencia de deslizamiento y corriente del estator [Kosow,72].

b). Control no lineal:

Control vectorial:

Es el mtodo de control estndar para mquinas de induccin y utiliza el modelo nolineal del motor. Su objetivo es hacer que el motor de induccin se comporte como un

motor de CD de excitacin separada, con las variables par electromagntico y flujo

magntico desacopladas. En esencia, el mtodo consiste en una transformacin no linealde coordenadas (rotacin) y una retroalimentacin no lineal para lograr el desacoplamientodel par electromagntico y del flujo magntico. Algunas tcnicas de control vectorial son

el control por orientacin del flujo del rotor, del flujo del estator y del flujo de

magnetizacin [Blashke,72], [Vas,90], [Novotny,96].

Control no lineal moderno

1.- Diseo por linealizacin exacta [Taylor,94]:

Es uno de los diseos de control ms comunes para las mquinas elctricas actuales.

El concepto de diseo est basado en una estructura de dos lazos; en el primer paso de

diseo, se busca una compensacin no lineal, de manera que se cancelen las nolinealidades en el motor (sin considerarla para algn objetivo de control especfico); esta

compensacin es implementada como un lazo de retroalimentacin interior. En el segundo

paso de diseo, se obtiene una nueva compensacin sobre la base de la dinmica lineal

resultante del motor pre-compensado, de manera que se alcance algn objetivo de control

2

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CAPITULO I INTRODUCCION

definido; esta compensacin lineal es implementada como un lazo de retroalimentacin

exterior. La ventaja de una dinmica lineal en lazo cerrado es que la seleccin de losparmetros del controlador se simplifica de sobremanera y la respuesta transitoria es

predecible. Sin embargo, no todos los sistemas no lineales pueden ser controlados

mediante el uso de esta tcnica. La linealizacin exacta no es realmente una sola

metodologa, sino que existen dos nociones de linealizacin: Linealizacin entrada-salida,que puede ser aplicada solo a sistemas de fase mnima con grado relativo bien definido;

Linealizacin entrada-estado, que puede ser aplicada eliminando cualquier dificultad con la

dinmica interna del sistema, pero es menos intuitiva y por lo tanto ms difcil de aplicar enla prctica.

2.- Diseo basado en pasividad y el moldeo de energa [Sastry,99]:

Utilizan la formulacin de Euler-Lagrange para el modelo del motor de induccin,

considerando ciertas propiedades fsicas tales como la conservacin de la energa y

pasividad.La principal caracterstica que se obtiene al hacer uso de la tcnica de modelado de

Euler Lagrange es que tiene gran relacin con las caractersticas fsicas del sistema. Esto

facilita la interpretacin del modelo matemtico obtenido; adems, una gran variedad de

sistemas en ingeniera pueden ser tratados con esta metodologa. Otra propiedadimportante es que tambin provee automticamente las funciones de almacenamiento y

disipacin de la energa del sistema, que son de gran utilidad en el diseo de los sistemas de

control basados en pasividad.Para explicar brevemente el concepto de pasividad es necesario primero definir la

propiedad de disipatividad; este concepto est ntimamente relacionado con el fenmeno

de prdida y disipacin de la energa. Ejemplos tpicos de sistemas disipativos son loscircuitos elctricos, en los cuales parte de la energa elctrica es disipada en forma de calor

en las resistencias del circuito. Matemticamente, para definir la propiedad de

disipatividad es necesario introducir dos funciones: La razn de suministro de energa y lafuncin de almacenamiento, la cul mide la cantidad de energa que es almacenada dentro

del sistema. Estas funciones son relacionadas a travs de la desigualdad de disipacin, la

cul establece que un sistema disipativo no almacena ms energa que la que le es

suministrada desde el exterior, siendo la diferencia la energa disipada. Consideremos elejemplo del circuito elctrico no lineal como el que se muestra en la figura 1.1 [Sastry,99],

siendo las entradas un conjunto fuentes de voltaje y corriente independientes, y las salidas

los voltajes y corrientes dependientes.

Figura 1.1 Salidas y entradas de un circuito elctrico no lineal

3

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La cantidad u(t)T

y(t) es interpretada como la potencia instantnea de entrada al

circuito, con las direcciones de referencia mostradas en la figura. Se dice que el circuitoanterior es pasivo si la cantidad de energa en la entrada (integral de la potencia) no excede

el cambio en la cantidad de energa almacenada en el circuito. Si el circuito no lineal

comienza con todos sus elementos almacenadores (inductores y capacitores) descargados,

el circuito es pasivo si

Ttodapara0,y(t)dt(t)uT

0

T

3.- Diseo basado en backstepping [Taylor,94]:

Se divide al sistema en subsistemas de menor orden, se elige uno de stos y se le

disea un controlador por retroalimentacin como si no existieran otras dinmicas y seobtiene un pseudo control. Si en este proceso no aparece la seal de control verdadera, se

repite el procedimiento con los dems subsistemas hasta que sta aparezca.

4.- Diseo basado en redes neuronales y lgica difusa [Vas,99]:

Los desarrollos recientes en la teora de control son tales que las tcnicas

convencionales para el diseo de controladores estn siendo reemplazadas por alternativas

que adoptan estrategias diferentes. Estas estrategias hacen uso de lo que se llama

Inteligencia Artificial (redes neuronales, lgica difusa, redes neuro-difusas y algoritmosgenticos). Su principal caracterstica es que usan la experiencia de los humanos. En la

literatura, la mayora de las publicaciones sobre la aplicacin de la Inteligencia artificial en

mquinas elctricas describen aplicaciones a controladores de posicin y velocidad basadosen lgica difusa y redes neuronales. Tambin se describen problemas de estimacin de

parmetros, observadores y sensores.

5.- Diseo basado en modos deslizantes:

El objetivo del control basado en modos deslizantes es forzar al estado de una plantaa deslizarse sobre una superficie dada en el espacio de estado (superficie deslizante). En

este rgimen de deslizamiento, las trayectorias de estado estn localizadas en la superficie

deslizante y por lo tanto son invariantes, independientemente de los parmetros de la plantay disturbios externos [Buja,93]. Las caractersticas que hacen interesante la aplicacin de

la teora de los modos deslizantes en mquinas elctricas son: Alta precisin, respuesta

dinmica rpida, buena estabilidad, simplicidad en el diseo e implementacin y sobre todo

robustez. La robustez se refiere principalmente a baja sensitividad a desviaciones en losparmetros del sistema y disturbios externos. La teora de los modos deslizantes ha sido

aplicada al control de posicin y velocidad en motores de CD y sistemas de control de

posicin para motores de induccin y motores sncronos [Sen,87].

4

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1.2 Justificacin

Actualmente los mtodos de control no lineal son aplicados cada vez con mayorfrecuencia a procesos industriales, debido a que se obtienen mejores desempeos

dinmicos. En el caso de los motores de induccin (M.I.), algunos de sus parmetrosvaran durante su operacin, debido a esto se utilizan mtodos de control que puedanenfrentar estas incertidumbres. Dentro de estas tcnicas estn: El control adaptable, el

control por modos deslizantes, los controles basados en lgica difusa y redes neuronales, y

el control robusto, por citar algunos.

En el Cenidet existe una tesis previa para el control de motores de induccin en la

cual se consider conocido el modelo del motor, en esa tesis se dise un controlador

nominal basado en pasividad [Miguel,01]. Ahora, en el presente trabajo se considera quelos modelos del M.I. y de la carga no son conocidos con precisin, para lo cul se propone

el uso de la tcnica de rediseo de Lyapunov. Utilizando esta tcnica se disearn seales

de control que son agregadas a la ley de control nominal para hacer frente a lasincertidumbres paramtricas del sistema. Por considerarla de inters prctico y de

complejidad aceptable, la carga utilizada es un robot rgido giratorio de 2 grados de

libertad, sin embargo, el planteamiento se hizo de manera general, siendo aplicable al casode n grados de libertad.

1.3 Alcance

El objetivo de la tesis es el estudio de un esquema de control no lineal robusto en eldominio del tiempo con la capacidad de hacer frente a las variaciones paramtricas

inherentes a los motores de induccin. Adicionalmente se considera la incertidumbre en

los parmetros de la carga, para ste trabajo la carga considerada es un robot rgidogiratorio de dos grados de libertad.

Como alcances se tienen los siguientes:

a).- Obtener el modelo matemtico del sistema completo motor de induccin robot

rgido giratorio.

b).- Disear un controlador robusto para lograr el seguimiento de trayectorias (posicin

y velocidad) de un robot rgido giratorio accionado por motores de induccin.

c).- Validar el sistema resultante mediante simulaciones en computadora.

5

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1.4 Aportacin

El trabajo de tesis intenta darle solucin al problema de la incertidumbreparamtrica en los motores de induccin, el cul ya ha sido resuelto utilizando algunas

otras tcnicas como lo son el control adaptable [Marino,91] y el control inteligente, asaber, lgica difusa y redes neuronales. El uso de estos mtodos tiene la desventaja deaumentar el orden del sistema controlador-planta, mientras que utilizando el control

robusto se obtiene una ley de control que no incrementa el orden del sistema.

La tesis aportar bases slidas en la aplicacin de la tcnica de rediseo deLyapunov para el diseo de controladores robustos, adems de contribuir en la lnea de

investigacin de mquinas elctricas y de control no lineal en las que se trabaja en este

centro de investigacin.

1.5 Organizacin del trabajo de tesis

El captulo 2 presenta diferentes mtodos de modelado del M.I., en l se describenlas tcnicas de modelado tradicionales y se hace una breve exposicin del mtodo de

modelado basado en la tcnica variacional, con una breve explicacin sobre la obtencin de

la ecuacin de Euler Lagrange. Posteriormente se obtiene el modelo matemtico del M.I.

aplicando esta ltima tcnica. De manera que se simplifique el modelo del M.I., se aplicala teora del marco de referencia para obtener una representacin bifsica del modelo del

M.I. Por ltimo, en ste captulo se simula la operacin del M.I. en lazo abierto.

El captulo 3 consiste del anlisis y modelado del sistema completo, motor - carga,que para este trabajo consiste de un robot rgido giratorio de dos grados de libertad

accionado por M.I. acoplados directamente a sus uniones; tambin se simula la operacin

del sistema en lazo abierto.

En el captulo 4 se plantea el problema de control para posteriormente disear elcontrolador del M.I. basado en pasividad. Este controlador recibe la denominacin de

nominal ya que se considera que los parmetros del sistema son completamente conocidos,

adems se exponen los resultados de simulacin.

En el captulo 5 se hace una breve exposicin sobre el mtodo de diseo que utiliza

la tcnica de rediseo de Lyapunov; sta tcnica de control robusto se utiliza para hacer

frente a las incertidumbres paramtricas del sistema motor-carga. Para este trabajo lasincertidumbres consideradas son: Los valores de resistencia del estator y del rotor, y

adems los parmetros del robot rgido de dos grados de libertad, tales como las inercias,

6

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las masas y los centros de gravedad. Para finalizar con el captulo se muestran los

resultados de simulacin al aplicar el controlador robusto en el sistema.

Para concluir, en el captulo 6 se hacen las observaciones sobre el desempeo delcontrolador robusto, el anlisis comparativo de los controladores nominal y robusto y las

conclusiones.

7

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Captulo II

MTODOS DE MODELADO DEL MOTORDE INDUCCIN

En el modelado de sistemas fsicos, existen dos tcnicas para la obtencin de las

ecuaciones que describen el comportamiento de los sistemas [Wellstead,78]; una es

utilizando las leyes de fuerzas ya sea mecnicas, elctricas, etc., la segunda tcnica es

mediante la aplicacin de principios variacionales para seleccionar las funciones de energa.Para sistemas que tienen slo elementos de la misma naturaleza la primera tcnica es

usualmente suficiente. De hecho, para sistemas puramente mecnicos o puramente

elctricos, por ejemplo, aplicando la segunda ley de Newton y las leyes de Kirchhoffrespectivamente, obtendremos las ecuaciones deseadas. Este mtodo puede an ser usado

en sistemas de naturaleza mixta, es decir que incluyen sistemas de diferente naturaleza,

como por ejemplo sistemas electromecnicos, electroneumticos, etc. En este caso lasfuerzas de interaccin se obtienen mediante mtodos de desplazamientos arbitrarios y

conservacin de la energa. Pero este mtodo tiene varios inconvenientes, como por

ejemplo, que es necesario hacer un estudio muy profundo sobre los tipos de sistemasinvolucrados, sobre todo en problemas ms complicados. A fin de obtener las ecuaciones

que describan a un sistema de una manera sistemtica, se requiere de un mtodo ms

general, esta es la meta de la tcnica variacional.

En este captulo se presenta el modelado del M.I. utilizando las tcnicas

tradicionales y el procedimiento de modelado utilizando la metodologa de Euler-Lagrange;

adems se simula la operacin del M.I. sin carga acoplada y en lazo abierto.

2.1 Mtodos tradicionales de modelado del M.I.

El anlisis completo del motor de induccin comprende la determinacin de las

fuerzas magnetomotrices (fmm) resultantes en el entrehierro de la mquina, las densidadesde flujo magntico, los enlaces de flujo, adems del conocimiento de los parmetros de la

mquina, como son las inductancias propias y mutuas, las resistencias, etc.

8

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CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION

Una vez conocidos los parmetros fsicos de la mquina se plantean las ecuaciones

de los voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados, y a partir de stas sepueden determinar las dems variables de inters como son las corrientes, el par

electromagntico, la velocidad, etc.

A continuacin se presenta el esquema fundamental del M.I. que se estconsiderando [Krause,95]; obsrvese la disposicin fsica de los devanados del estator y del

rotor cilndrico, y el diagrama elctrico de los mismos:

eje cs

eje bs

eje as

eje cr

eje br

eje ar

cs bs

as

cr

br

ar

csbs

as

crbr

ar

r

r

(a)

vbs

ibs

i cs

i as v as

v cs+

+

+

Ns

Ns

Ns

Rs

Rs

Rs v cr

i cr

ibr

i ar

v ar

vbr+

+

+

Nr

Nr

Nr

Rr

RrRr

(b)

Figura 2-1 Mquina de induccin trifsica tipo jaula de ardilla, simtrica, dos polos, conectada enestrella, (a) diagrama esquemtico; (b) diagrama elctrico de los devanados de estator y rotor.

La inclinacin intencional del circuito elctrico de la derecha en la figura 2-1 (b) escon la finalidad de enfatizar el defasamiento existente entre estator y rotor.

Utilizando las leyes de Ohm y Kirchhoff se obtienen las ecuaciones diferenciales

que describen al sistema. (Tabla 2.1)

9

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Tabla 2.1. Ecuaciones de diferenciales que describen el funcionamiento del M.I.

Ecuaciones de voltaje en los devanados de

fase del estator:

Ecuaciones de voltaje en los devanados de

fase del rotor:

dt

dRiv

dt

dRiv

dt

dRiv

csscscs

bssbsbs

assasas

+=

+=

+=

dt

dRiv

dt

dRiv

dt

dRiv

crrcrcr

brrbrbr

arrarar

+=

+=

+=

donde: a, b, c, denotan las tres fases del M.I.,

s denota a las variables y parmetros asociados al estator,

r denota a las variables y parmetros asociados al rotor,

son los enlaces de flujo,R son las resistencias en los devanados de estator y rotor,v es el voltaje aplicado a cada una de las fases,

i es la corriente en cada fase,

y para la parte mecnica del M.I. se obtiene la siguiente expresin

Lrr

em Bdt

dj ++= , (2.1)

donde: j es la inercia del rotor en Kg m2,

B es el coeficiente de friccin viscosa en N m s/rad,

res la velocidad angular del rotor en rad/seg,Les el par de la carga en N m,emes el par electromagntico generado por el M.I. en N m.

La solucin de las ecuaciones diferenciales anteriores, permite determinar el

comportamiento del M.I. en sus diferentes regmenes de operacin.

2.2 Mtodo de Euler Lagrange

La liga comn entre los diferentes subsistemas que conforman a un sistema denaturaleza energtica mixta, es que todos estos subsistemas transforman la energa. Por lo

tanto, parece natural formular el problema del modelado en trminos de cantidades de

energa. El punto de inicio del mtodo variacional [Pierre,69] [Ortega,98] es la definicin

de funciones de energa en trminos de conjuntos de variables generalizadas,posteriormente, este procedimiento nos lleva a la definicin de la funcin Lagrangiano, as

como al planteamiento de la ecuacin de Euler Lagrange. Para obtener finalmente las

10

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ecuaciones diferenciales que describen el funcionamiento del sistema, slo es necesario

resolver la ecuacin de Euler-Lagrange, para cada una de las variables generalizadas.

2.2.1 La ecuacin Euler Lagrange

La configuracin de un sistema fsico es descrita generalmente por un conjunto de

cantidades llamadas coordenadas. Por ejemplo, para una sola partcula de masa en elespacio, las coordenadas necesarias para describir su configuracin podran ser un vector

tridimensional que describa la posicin de la partcula respecto a un punto de referencia enun sistema coordenado. Desde un punto de vista dinmico, se puede ver a un sistema

fsico como formado por varias partculas, las cuales estn interconectadas, de lo que

resultan ciertas restricciones en el comportamiento del sistema. Ya que un sistema fsicofrecuentemente es una parte aislada de un sistema mucho ms grande, el medio circundante

tambin impone ciertas restricciones en su comportamiento, o dicho en otras palabras, un

sistema fsico puede ser visto como un conjunto de subsistemas, los cuales estn de ciertamanera interconectados, esto genera ciertas restricciones y dependencias. El medio

ambiente tambin impone ciertas restricciones al comportamiento del sistema.

Para sistemas en equilibrio esttico, las coordenadas generalizadas bastan paradescribir completamente al sistema; cuando el sistema tiene un comportamiento dinmico,

es necesario definir un conjunto extra de variables dinmicas que nos den informacin

acerca de cmo la configuracin del sistema cambia con el tiempo. Una opcin para esteconjunto extra de coordenadas es utilizar las primeras derivadas de las coordenadas

(velocidades generalizadas) [Ortega,98][Drazin,92].

Cuando se considera a un sistema como un conjunto de subsistemas

interconectados, es posible que las restricciones surgidas de estas interconexiones reduzcan

el nmero de variables usadas para describir al sistema, esto debido a que estasrestricciones generan relaciones entre las diferentes variables que no son independientes.

En el caso de las restricciones llamadas holonmicas [Wellstead,78], stas son

expresadas como relaciones entre coordenadas o velocidades y tienen la forma fj(q1,,qn;t)= 0 para j = 1,,m, donde qi = 1,,n, es el nmero de coordenadas y m el nmero de

restricciones.

Es posible seleccionar un conjunto de n - m coordenadas independientes o

generalizadas (el nmero de grados de libertad) tales que eliminen la necesidad de las

ecuaciones de las restricciones.

Una vez seleccionadas las coordenadas generalizadas se define el Lagrangiano (Ver

apndice B) cmo L(q1,,qn; q ), con el conjunto de velocidades

generalizadas, que caracteriza al sistema, dependiente de las coordenadas, de las

velocidades y del tiempo, pero no de la trayectoria seguida para ir de un estado inicial aotro final. La diferencial total de L es [Guerrero,00]:

t;q,..., n1 && n1 q,...,q &&

11

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( ) dtt

Lqd

q

Lt;q,...,q;q,...,qdL k

n

1k k

n1n1 +=

=

&&

&& , (2.2)

con k = 1,,n.

En el caso de sistemas conservativos, para determinar L se elige una trayectoria deintegracin que mantiene todas las variables q (velocidades generalizadas) constantes para

la integracin con respecto a las qk

&

k (coordenadas generalizadas) y mantiene todas las qk

constantes para la integracin con respecto a las , adems las integraciones pueden ser

desarrolladas para un valor especfico de tiempo t. As:kq&

( =t;q,...,q;q,...,q

t;0,...,0;q,...,q

t;0,...,0;q,...,q

t..,0;0,...0;0,.n1n1

n1n1

n1

n1

t;q,...,q;q,...,qdLL&&

&& ) , (2.3)

donde () identifica a las variables auxiliares de integracin. Sustituyendo (2.2) en (2.3) y

separando trminos se obtiene

( ) ( )

( )

=

=

+

=

n1

n1

q,...,q

0,...,0

n

1k

k

k

n1n1

q,...,q

0,...,0

n

1k

k

k

n1n1n1

qdq

t;q,...,q;q,...,qL...

dqq

t;0,...,0;q,...,qLt;q,...,q;q,...,qL

&&

&&

&&

&&

(2.4)

y se observa que el primer trmino de la derecha depende de las coordenadas y del tiempopero es completamente independiente de las velocidades, y el segundo trmino es funcin

de los valores finales de las coordenadas y de las velocidades. Si se definen las fuerzasgeneralizadas fk como las derivadas parciales del Lagrangiano con respecto de lasposiciones generalizadas:

( ) ( )

k

n1n1k

q

t;0,...,0;q,...,qLt;q,...,qf = , (2.5)

la energa potencial V es:

( )( kq,...,q

0,...,0

n

1k

n1k dqt;q,...,qfVn1

=

= ) , (2.6)

El momento generalizado pkse define como la derivada parcial del Lagrangiano con

respecto de las velocidades generalizadas [Ortega98]:

( ) ( )

k

n1n1n1n1k

q

t;q,...,q;q,...,qLt;q,...,q;q,...,qp

&

&&&& = , (2.7)

12

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y la co-energa cintica T*

(( =

=n1 q,...,q

0,...,0k

n

1k

n1n1k qdt;q,...,q;q,...,qpT*&&

&&& ))

)

)

(2.8)

el Lagrangiano L se define como la diferencia entre la co-energa cintica y la energapotencial:

( ) ( ) ( ) V*Tt;q,...,qVt;q,...,q;q,...,q*Tt;q,...,q;q,...,qL n1n1n1n1n1 == &&&& (2.9)

que se puede utilizar para cualquier tipo de sistema, independientemente de su naturalezaenergtica.

Ahora bien, el principio de Hamilton establece que [Ortega,98] la trayectoria

dinmica real de un sistema descrito por el Lagrangiano, desde un tiempo t1hasta el tiempo

t2es tal que la integral de lnea es un extremo, por lo que laprimera variacin I de la integral de lnea I, que es independiente del tiempo, debe serigual a cero, esto es [Sage77][kwong77]:

(=2

1

t

t n1n1 t;q,...,q;q,...,qLI &&

( 0dtt;q,...,q;q,...,qLI 21

t

tn1n1 == && (2.10)

sujeta a las restricciones q(t1)=0 y q(t2)=0 . Evaluando esta variacin e igualando acero, se obtiene:

= =

=

2

1

t

t

n

1k

k

kk

0,dtqqL

dtd

qLI

& (2.11)

El extremo I = 0 debe mantenerse para toda variacin qkde cualquier coordenadaqky como stas son independientes, el trmino entre parntesis de la ecuacin (2.11), debe

ser igual a cero para toda k, por lo que se obtiene la ecuacin:

0,q

L

dt

d

q

L

kk

=&

(2.12)

conocida como ecuacin Euler Lagrange (EL) .

Para extender el anlisis anterior al caso de sistemas no conservativos se deben

considerar las fuerzas no conservativas (externas al sistema conservativo) Q que

pueden ser de 3 tipos: Las acciones de control, la disipacin y las interacciones del sistema

con el medio ambiente. Se supone que las acciones de control (consideradas como fuerzasimpulsoras aplicadas a la parte conservativa del sistema e independientes de las

coordenadas y velocidades generalizadas) entran linealmente al sistema en la forma

nR

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nRMu , donde es una matriz constante y es el vector de control. Las

fuerzas disipativas (dependientes de las velocidades generalizadas) son de la forma

unxnRM unRu ( )

,q

qF

&

&

donde es la funcin de disipacin de Rayleigh. Las fuerzas de interaccin con el

ambiente pueden ser usadas para modelar el efecto de las perturbaciones. As,para sistemas no conservativos la ecuacin EL toma la siguiente forma [Ortega,98]:

(F )q&

Q

n

R

( ) ( )Mu

q

qq,L=

&

&

q

qq,

&

&

eq en

Lem+ ( )V* mm + ) ( VV em+T=

( )Q

q

qFL

dt

d+

&

&

(2.13)

donde q = [q1,,qn]T y q son los vectores de coordenadas y velocidades

generalizadas, respectivamente.

[ Tn1 q,...,q &&= ]

Por otro lado, si el nmero de entradas de control es igual al nmero de grados de

libertad (nu= n), se dice que el sistema es completamente actuado y en el caso contrario (nu< n) es subactuado, esto es, existen algunas coordenadas generalizadas a las cuales no se les

aplica una fuerza externa. Por ltimo, el desarrollo de la ecuacin EL proporciona lasecuaciones que gobiernan el comportamiento del sistema dinmico.

Para el caso de sistemas electromecnicos es necesario establecer qu variables

pueden ser elegidas como variables generalizadas. Para la parte mecnica est bien

definido el significado de coordenada, velocidad, fuerza y momento, por lo que es usual

elegir los desplazamientos mecnicos mnm Rq como coordenadas generalizadas. Sinembargo, para la parte elctrica no existe esta correspondencia y se tiene la opcin de elegir

como coordenadas generalizadas a las cargas elctricas enR a los enlaces de flujo

R [Guerrero,00]. En este trabajo se elige a las cargas elctricas como lascoordenadas generalizadas para la parte elctrica.

La funcin de energa total (el Lagrangiano) es una combinacin de las funciones de

energa de los subsistemas [Wellstead,78]:

( ) ( ) V,*T*T*TV*TLL emee =+== (2.14)

donde los subndices e y m se usan para denotar cantidades de los subsistemas elctrico y

mecnico respectivamente; nm+ ne= n, T* es la co-energa cintica total y V la energa

potencial total. En el subsistema elctrico, la co-energa cintica est relacionada con loscampos magnticos y la energa potencial con los campos elctricos. Para el tipo de

sistemas de inters se supone que la funcin de co-energa cintica total tiene la forma:

( )mm

T

mee

T

e qDq2

1q(q)Dq

2

1qq,*T &&&&& += (2.15)

14

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donde De(q) = DeT(q) > 0 y Dm > 0 son las matrices de inercias generalizadas, de los

subsistemas elctrico y mecnico, respectivamente. La funcin de energa potencial slodepende de las coordenadas generalizadas y est acotada por debajo, esto es, existe un

tal que V(q)Rc > c para todo q [Ortega,98].R.cyRn

Hay que tener en cuenta que la co-energa del subsistema mecnico generalmente nodepende de las coordenadas elctricas, pero la co-energa del subsistema elctrico s

depende de las coordenadas mecnicas.

2.2.2 Modelo trifsico del M.I.

El M.I. est formado por ne = ns + nr devanados en el estator y rotorrespectivamente. Tambin son consideradas fases simtricas y devanados de fase

senoidalmente distribuidos. La permeabilidad del ncleo se considera infinita, adems, la

saturacin, las prdidas en el hierro y el efecto de las ranuras son despreciados. Slo sonconsiderados materiales magnticos lineales, y adems se asume que todos los parmetros

son constantes y conocidos.

Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores, la aplicacin de las leyes de Gauss y

Ampere dan como resultado las siguientes relaciones entre los vectores enlaces de flujo ycorrientes :eq&

eme q)(qD &= (2.16)

con la posicin angular mecnica del rotor, yD [ ] [

,q,...,qq,,...,

T

n1e

T

n1 ee&&&

== ]mn

m Rq e(qm) = De

T(qm) > 0 la matriz de inductancias de los devanados.

Si se definen las coordenadas generalizadas del sistema como las cargas elctricas

qi, i = 1,...,ne, y la posicin angular del rotor qm, la co-energa del campo magntico puedeser calculada como (con denotando la variable de integracin):

eme

T

e

n

1i

i

q

0iime

*

e q)(qDq2

1'qd)'q()q,q(T

ei

&&&&& &

===

(2.17)

y la co-energa cintica mecnica como 2mmm*m qD2

1)q(T && = , donde Dm > 0 es la inercia

rotacional del rotor.

Despreciando los efectos capacitivos en los devanados del motor, y considerando

una flecha rgida, la energa potencial V del sistema es solamente debida a las interacciones

entre materiales magnticos en el estator y el rotor, o sea V = V(qm). Esta contribucin deenerga es cero si hay solamente materiales magnticos en una sola parte (estator o rotor) de

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la mquina, y las propiedades de reluctancia de la otra parte son uniformes, este es el caso

del M.I. tipo jaula de ardilla, por lo que V (qm) = 0.Para modelar las fuerzas externas, se asumir que los efectos disipativos son lineales

e invariantes en el tiempo. Estas fuerzas externas son: Para la parte elctrica, las

resistencias en los devanados Rei > 0, i = 1,...,ne, y para la parte mecnica, al coeficiente de

friccin viscosa Rm > 0. Por lo tanto las funciones de disipacin de Rayleighcorrespondiente a las partes elctrica y mecnica del modelo toman la siguiente forma:

( ) m2

mmme

T

eee Rq2

1qFyqRq

2

1)q(F &&&&& == e (2.18)

donde Re= diag { R1, ..., Rne} > 0.

Las fuerzas de control son los voltajes aplicados a los devanados , nsnRu s

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,

LLL

2

1L

2

1

L2

1LLL

2

1

L2

1L

2

1LL

L

mslsmsms

msmslsms

msmsmsls

s

+

+

+

= (2.21)

,

LLL2

1L

2

1

L2

1LLL

2

1

L2

1L

2

1LL

L

mrlrmrmr

mrmrlrmr

mrmrmrlr

r

+

+

+

= (2.22)

3

2,

)cos()cos()cos(

)cos()cos()cos(

)cos()cos()cos(

lL

rrr

rrr

rrr

srsr =

+

+

+

= (2.23)

Ls, Lr, Lsr representan a las matrices de inductancias de los devanados del estator, rotor y

mutuas respectivamente; Ll y Lm representan a las inductancias de dispersin y de

magnetizacin, respectivamente, lsr es el valor mximo de la inductancia mutua y res laposicin angular de la flecha del rotor.

Del anlisis anterior resulta el modelo matemtico para un motor de induccin

trifsico que consta de 8 ecuaciones diferenciales no lineales acopladas, 6 referentes a laparte del subsistema elctrico y 2 referentes al subsistema mecnico, que deben resolverse

para determinar el comportamiento dinmico del M.I. en cualquier condicin de operacin,

, estas ecuaciones desarrolladas son [Miguel,01]:

[ ] [ ]

[ ] ++

+++++=

Lrbrcsarbscrasrsrp

arcscrbsbrasrsrpcrcsbrbsarasrsrpr

Biiiiii)3

2sen(l2n

iiiiii)

3

2sen(l2niiiiiisenl2n

J

1

dt

d

rndt

dp

r =

17

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+++++

+++

=

+++++

+++

=

+++++

+++

=

+++++

++

=

+++++

++=

+++++

++

=

crcrrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas

brmrarmrcsrsrbsrsrasrsr

rlr

cr

brbrrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas

crrmarrmcsrsrbsrsrasrsr

rlr

br

ararrrsrrpcsrsrrpbsrsrrpas

crmrbrmrcsrsrbsrsrasrsr

rlr

ar

csrsrrpcrrsrrpbrrsrrparcss

crrsrbrrsrarrsrbsmsasms

sls

cs

bsrsrrpcrrsrrpbrrsrrparbss

crrsrbrrsrarrsrcsmsasmssls

bs

asrsrrpcrrsrrpbrrsrrparass

crrsrbrrsrarrsrcsmsbsms

sls

as

viRsenlni)3

2sen(lni)

3

2sen(lni

iLiLicosli)3

2cos(li)

3

2cos(l

)L(L

1

dt

di

viR)3

2sen(LnisenLni)

3

2sen(Lni

iLiLi)3

2cos(LicosLi)

3

2cos(L

)L(L

1

dt

di

viR)3

2sen(lni)3

2sen(lnisenlni

iLiLi)3

2cos(li)

3

2cos(licosl

)L(L

1

dt

di

vsenlni)3

2sen(lni)

3

2sen(lniiR

icosli)3

2cos(li)

3

2cos(liLiL

)L(L

1

dt

di

v)3

2sen(lnisenlni)

3

2sen(lniiR

i)3

2

cos(licosli)3

2

cos(liLiL)L(L

1

dt

di

v)3

2sen(lni)

3

2sen(lnisenlniiR

i)3

2cos(li)

3

2cos(licosliLiL

)L(L

1

dt

di

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

(2.23a)

en donde res la posicin angular de la flecha del rotor, res la velocidad de la flecha delrotor, ia, ib, icson las corrientes en cada una de las fases tanto de estator como de rotor y npes el nmero de pares de polos.

2.2.3 Teora del marco de referencia

Como pudo observarse en la seccin anterior, el modelo matemtico del M.I. es

muy complicado (debido al nmero de ecuaciones y a la dependencia de stas con eltiempo), para reducir la complejidad de estas ecuaciones frecuentemente se utiliza uncambio de variables que resulta en un modelo matemtico similar pero con un nmero

menor de ecuaciones. Existen diferentes cambios de variables que estn contenidos en una

transformacin general que refiere las variables de la mquina a un marco de referencia elcul gira a una velocidad angular arbitraria. Todas las transformaciones reales son

obtenidas de esta transformacin general simplemente asignando la velocidad de rotacin

del marco de referencia.

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Un cambio de variables, el cul formula una transformacin de elementos de

circuitos trifsicos estacionarios o variables a un marco de referencia arbitrario puede serexpresado por [Krause,95]:

fqd0= Ksfabcs (2.24)

con:

(fqd0s)T= [ fqs fdsf0s]

(fabcs)T= [ fasfbsfcs]

donde f : representa a cualquier sistema trifsico de variables elctricas (voltajes,

corrientes, pares, etc.,) defasadas 120 elctricos entre si,

abc: sistema de variables originales,

qd0: sistema de variables resultantes.

+

+

=

2

1

2

1

2

13

2sin

3

2sinsin

3

2cos

3

2coscos

3

2Ks (2.25)

(0)()dt

0+= (2.26)

donde: es una variable auxiliar de integracin, es un desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de referenciaarbitrario,

es la velocidad angular del marco de referencia arbitrario.

La transformacin inversa es:

+

+

=

13

2sin

3

2cos

13

2sin3

2cos

1sincos

)(K 1s (2.27)

19

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2.2.4 Modelo equivalente bifsico

Considerando las suposiciones acerca de los devanados del estator y del rotor

(simtricos, balanceados y senoidalmente distribuidos) es posible encontrar un conjunto

equivalente de devanados que produzca efectos elctricos y magnticos equivalentes en elM.I. Se ha encontrado que dos devanados equivalentes en el estator y dos en el rotor son

suficientes para representar a una mquina trifsica, por lo que es posible obtener una

representacin equivalente con un nmero menor de ecuaciones, y en consecuencia, se hacems sencillo el anlisis matemtico [Krause,95]. Si se parte del modelo trifsico del Motor

de Induccin, el modelo equivalente de dos fases se obtiene aplicando la transformacin deBlondel [Mndez,01], [Ortega,98]:

=sinsin0

coscos1

3

2T23

(2.28)

Es importante observar que la transformacin anterior es equivalente a latransformacin general utilizando argumentos de proyeccin de variables.

El modelo resultante es conocido como y su caracterstica principal es que lasvariables equivalentes tienen un defasamiento de 90 elctricos entre s y estn referidas a

su parte correspondiente (estator o rotor), esto es, los ejes del estator tienen una posicinfija mientras que aquellos correspondientes al rotor estn girando a la velocidad angular

elctrica del rotor. Las matrices anteriormente descritas (ecuaciones 2.19 y 2.20), toman la

siguiente forma al aplicarles la transformacin de Blondel:

,ILel

elIL)(qD

2r

qn

sr

qn

sr2smemp

mp

J

J

= (2.29)

T

2

2

e

2r2

22s

e J01

10J,

0

IM,

IR0

0IRR =

=

=

= , (2.30)

con:

Tqnqn

mpmp

mpmpqJn)(ee,

)qcos(n)qsin(n

)qsin(n)qcos(ne mpmpmp

JJ =

= , (2.31)

donde, como fue definido anteriormente: Ls, Lr, lsr> 0 son las inductancias de estator, rotor

y la inductancia mutua respectivamente, Rs, Rr > 0 son las resistencias de estator y rotor

respectivamente. I2es una matriz identidad de 2x2, J es una matriz antisimtrica, e es

una matriz de rotacin y M

mpqJn

ees la matriz de entrada.

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uMqRqqWqD eeeemee =++ &&&&& (2.39)

Lemmmmm qRqD =+ &&& (2.40)

con:

e

T

eem qWq2

1 &&= (2.41)

y

==

0Jeln

Jeln0

dq

dDW

mp

mp

qJn

srp

qJn

srp

m

e (2.42)

donde todos los parmetros fueron descritos anteriormente (ecuaciones. 2.29, 2.30 y 2.31),

adems Dmes la inercia rotacional del rotor, Rmes el coeficiente de friccin viscosa de la

flecha del rotor, Les el par de carga que es aplicado a la flecha del motor y emes el parelectromagntico generado por el M.I.

2.3 Simulaciones

Para la simulacin del sistema se obtuvo la representacin en espacio de estado del

modelo matemtico del M.I. obtenido anteriormente (ecuaciones 2.39, 2.40), donde se

considera tanto la parte elctrica como la parte mecnica.

La forma general de la representacin en espacio de estado es la siguiente:

t)ug(x,t)f(x,x +=& (2.43)

]

Para este trabajo la representacin en espacio de estado que se obtuvo es:

[ ] kuMqWDqTT

1 ++= &&& (2.44)

en donde:

}D,diag{DDme

= (2.45)

[ ] [ mTrTsT

meT qqqqqq &&&&&&&&&&&& == , (2.46)

( )

+=

11m1x4

4x144em

TR0

0RqWW

x

x&

, (2.47)

22

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32/116


=

2

2

T0

IM (2.48)

con W definida por la ecuacin (2.42), Dm es la inercia rotacional del rotor, Rm es elcoeficiente de friccin viscosa del rotor y donde k es un vector donde aparece el par de

carga aplicado al M.I., esto es:

[L-0000k= ]

T (2.49)

Todas las simulaciones realizadas en este trabajo, fueron hechas utilizando la

funcin S [apndice A], que es una herramienta de Simulink de Matlab. La siguiente figura,

describe en que forma se hizo la simulacin utilizando la funcin S de Simulink de Matlab:

Motor de Induccin

bifsico

Alimentacin

Trifsica

Conversin de

3 a 2 fases

(Transformacin de

Blondel)

Funcin S

Corrientes de estator

Corrientes de rotor

Subsistema

Mecnico

Subsistema

Elctrico

Posicin de la flecha del rotor

Velocidad de la flecha del rotor

Par de carga

Par electromagntico generado

-

Salida

a graficar

Par electromagntico

Motor de Induccin

bifsico

Alimentacin

Trifsica

Conversin de

3 a 2 fases

(Transformacin de

Blondel)

Funcin S


Corrientes de rotor

Subsistema

Mecnico

Subsistema

Elctrico

Posicin de la flecha del rotor

Velocidad de la flecha del rotor

Par de carga


-

Salida

a graficar

Par electromagntico

Figura 2.2. Diagrama de flujo de datos para el programa de simulacin del M.I.

Con la finalidad de hacer comparaciones para poder validar el desempeo de este

modelo, los resultados fueron comparados con los esquemas de simulacin propuestos en

1.-[ Ong,98] y 2.- [ Krause,95 ].

1.- Los parmetros fsicos de una mquina trifsica de 1 hp, 60 Hz y alimentada

con 200 V son [Ong,98]:

23

7/25/2019 129MC_gcl.pdf

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Tabla 2.2 Parmetros de un M.I. de 1 hp

Parmetro ValorResistencias de estator 3.35 ohms

Resistencias de rotor 1.99 ohms

Inductancia de estator 252.535 mH

Inductancia de rotor 252.535 mH

Inductancia mutua 245.595 mH

Coeficiente de friccin

viscosa

0

Inercia del rotor 0.1 Kg m2

No. de pares de polos 4

Carga 0

Los resultados de simulacin utilizando el modelo obtenido en este trabajo, para la

mquina de 1 hp son los siguientes:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25


tiempo seg.

Corriente

Amp.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Corrientes de rotor

tiempo seg.

Corriente

Amp.

a) b)

Figura 2.3 a) Corrientes de los devanados de estator, b) Corrientes de los devanados de rotor

24

7/25/2019 129MC_gcl.pdf

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

10

Velocidad

tiempo seg.

Velocidad

rad

/seg.

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-5

0

5

10

15

20

25

Par electromagtico generado

tiempo seg.

Parelectromagntico

Nm

a) b)

Figura 2.4 a)Velocidad, b) Par electromagntico generado

2.- Los parmetros fsicos de una mquina trifsica de 3 hp, 60 Hz y alimentada

con 220 V son los siguientes [Krause,95]:

Tabla 2.3 Parmetros para un M.I. de 3 hp.

Parmetro ValorResistencias de estator 0.435 ohms

Resistencias de rotor 0.816 ohmsInductancia de estator 105.965 mH

Inductancia de rotor 105.965 mH

Inductancia mutua 103.965 mH

Coeficiente de friccinviscosa

0



Carga 0

Los resultados de simulacin para el motor de 3 hp, utilizando el modelo obtenido

en este trabajo, son los siguientes:

25

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26

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-8

-6

-4

-2

10


tiempo seg.

Corriente

Amp.

00

0

0

0

0

20

40

60

80

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Corrientes de rotor

tiempo seg.

Corriente

A

mp.

a) b)

Figura 2.5 a) Corrientes de los devanados de estator, b) Corrientes de los devanados de rotor

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

10

Velocidad

tiempo seg.

Ve

locidad

rad/seg

00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-20

0

20

40

60

80

100

120

140


tiempo seg.

Parelectromagntico

Nm

a) b)

Figura 2.6 a) Velocidad, b) Par electromagntico generado

Como se esperara en un ensayo experimental de un M.I., los resultados desimulacin, tanto del motor de 1 hp como del motor de 3 hp, muestran que:

Cuando un M.I. es arrancado con la tensin nominal aplicada a las terminales delestator, desarrollar un par de arranque que determinar un aumento de velocidad. Cuando

la velocidad aumenta desde el reposo, su deslizamiento disminuir y su par aumentar hasta

aquel valor de deslizamiento en que se desarrolla el par mximo, esto determina que la

velocidad aumente an ms reduciendo el deslizamiento y el par desarrollado por el motor

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de induccin simultneamente. Tanto el par desarrollado en el arranque como el

correspondiente valor de deslizamiento que produce el par mximo son superiores al paraplicado de la carga. La velocidad del motor aumentar, por consiguiente, hasta que el

valor de deslizamiento sea tan pequeo que el par desarrollado se reduzca a un valor igual

al par aplicado. Este comportamiento se puede observar en las figuras 2.4 b y 2.6 b,

primero se alcanza un valor mximo de par que disminuye paulatinamente hasta el valor dela carga aplicada a la flecha del rotor, que en este caso es igual a cero, es decir, el motor se

encuentra trabajando en vaco. Debido a esto, el deslizamiento es muy pequeo (inferior al

1 %) y la frecuencia del rotor, la reactancia del rotor y la fem inducida en el rotor, son muypequeas, por consiguiente, la corriente en estado estable de rotor, es pequea y suficiente

nicamente para producir el par en vaco necesario.

Ya que en las dos mquinas simuladas se tienen 4 pares de polos, la velocidad

generada es de 1800 rev/min. 94 rad/seg. (figuras 2.6 a y 2.4 a)

Con lo anterior y adems en base a las comparaciones de los resultados obtenidos

por el modelo obtenido del M.I. en este trabajo y los de [Ong98] (tabla 2.1) y[Kraus95](tabla 2.2) se puede concluir que el modelo es funcional para la simulacin de

diferentes tipos de motores.

Tabla 2.4 Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por [Ong98]Corriente de estatoral arranque

Corriente deestator en estadoestacionario

Parelectromagnticomximo

Par electromagnticoen estado estacionario

Velocidad enestadoestacionario

Ong 21 Amp. 1.8 Amp. 18 Nm. 0 1800 rev/min.Tesis 22 Amp. 1.5 Amp. 20 Nm. 0 1800 rev/min.

Tabla 2.5 Comparacin de resultados contra el esquema propuesto por [Kraus95]

Corriente de estatoral arranque Corriente deestator en estadoestacionario

Parelectromagnticomximo

Par electromagnticoen estado estacionario Velocidad enestadoestacionario

Kraus 85 Amp. 8.3 Amp. 120 Nm. 0 1800 rev/min.Tesis 90 Amp. 7.5 Amp. 135 Nm. 0 1800 rev/min.

Cabe hacer la aclaracin que los valores obtenidos con el esquema de simulacin

utilizado en esta tesis y los esquemas contra los que se compar, a pesar de que los

parmetros de los M.I. son similares, no arrojaron los mismos resultados. Esto puede tenervarias razones: Los mtodos de integracin, el tamao de los pasos de integracin, el

programa utilizado para hacer las simulaciones, etc., adems de que los modelos

matemticos utilizados no son iguales. Sin embargo, el objetivo de hacer estascomparaciones no era el de establecer una correspondencia exacta entre los diferentes

esquemas comparados, sino simplemente mostrar que estos resultados son similares a los

resultados obtenidos por otros autores.

27

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Captulo III

ANLISIS, MODELADO Y SIMULACINDEL SISTEMA MOTOR-CARGA EN LAZO

ABIERTO

En este captulo, siguiendo el mtodo de modelado basado en la formulacin deEuler-Lagrange, se obtiene el modelo completo del sistema motor carga, adems sesimula la operacin del sistema resultante en lazo abierto.

3.1 Modelo del sistema completo motor de induccin robot

El sistema a modelar es un robot rgido accionado directamente por M.I en cada una

de sus uniones, el esquema bsico se muestra en la siguiente figura:

l2

m2,I2y

lc2

qm2

l1

Motor 2m1,I1

lc1

qm1

xMotor 1

Figura 3-1 Robot rgido giratorio accionado por motores de induccin, caso particular de 2 grados delibertad.

28

7/25/2019 129MC_gcl.pdf

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CAPITULO III ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIN DEL SISTEMA MOTOR CARGA EN LAZO ABIERTO

Como se vi en el captulo anterior, el punto de inicio de esta metodologa es ladefinicin de las funciones de energa del sistema, por lo tanto, la co-energa cintica delsistema completo es:

*rk

*mk

*ek

* TTTT ++= , k = 1,,n (3.1)

definiendo:

Tek*: es la co-energa cintica de la parte elctrica del k-simo motor,

Tmk*: es la co-energa cintica de la parte mecnica del k-simo motor,

Tr*: es la co-energa cintica del robot,

ekmkekTek

*ek q)(qDq2

1T &&= , (3.2)

2

mkkm

*

mk qD2

1

T &

= , (3.3)

con Dek las matrices de inductancias (ecuacin 2.29) y Dmk las inercias de los rotores decada uno de los motores, siendo este valor un escalar; cabe hacer la aclaracin de que parael desarrollo del modelo completo del sistema se utilizar el modelo a dos fases del M.I quefu obtenido en el captulo anterior (seccin 2.2.4).

Para el caso particular descrito en la figura 3.1, un robot planar de dos grados delibertad, son necesarios dos motores de induccin que son acoplados directamente a cadauna de las uniones del robot. Para este trabajo en particular, tambin se considera que elrobot se mueve en un plano horizontal. Los parmetros fsicos necesarios para describir alrobot rgido giratorio son los siguientes: I1, I2son los momentos de inercia de los eslabones1 y 2 respectivamente, l1y l2 son las longitudes de los eslabones, la posicin angular dellazo 11con respecto del eje horizontal es qm1y la del eslabn 2 con respecto al eslabn 1 esqm2. Se supone que las masas m1 y m2 de los eslabones estn concentradas en susrespectivos centros de gravedad lc1y lc2. Se considera la energa cintica total del robot(Tr*) debida a los movimientos traslacionales (Trt*) y rotacionales (Trr*). Lascoordenadas y velocidades (traslacionales) de los centros de gravedad de los eslabones son[Spong,89]:

x1= lc1cos qm1

x2 = l1cos qm1+ lc2cos (qm1 + qm2) (3.4)

y1= lc1sin qm1y2= l1sin qm1+ lc2sin (qm1+ qm2) (3.5)

derivando, para obtener las expresiones para las velocidades

29

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m1m1c11 qsinqlx && = (3.6)

m1m1c11 qcosqly && = (3.7)

)q)sin(qqq(lsinqqlx m2m1m2m1c2m1m112 ++= &&&& (3.8)

)q)cos(qqq(lcosqqly m2m1m2m1c2m1m112 +++= &&&& (3.9)

de donde se obtiene:

2m1

2c1

21

21

21 qlyxv &&& =+= (3.10)

m2m2m1m1c212

m2m12c2

2m1

21

22

22

22 q)cosqq(ql2l)qq(lqlyxv &&&&&&&& ++++=+= (3.11)

que se usan para determinar la co-energa cintica traslacional dada por:

222

211rt vm2

1vm

2

1*T += (3.12)

y ya que la co-energa cintica debida al movimiento rotacional (usando como referencia lacoordenada x) es [Spong,89]:

( ,qqI2

1qI

2

1T

2

m2m122m11

*rr

&&& ++= ) (3.13)

sustituyendo v12y v2

2 en (3.12) y sumando esta nueva expresin a (3.13), la energa cintica

total del robot, para el caso particular de 2 grados de libertad, es:

( ) ( )[ ]

( )2m2m122m11

m2m2m1m1c21

2

m2m12c2

2m1

212

2m1

2c11

*r

qqI2

1qI

2

1

cosqqqql2lqqlqlm2

1qlm

2

1T

&&&

&&&&&&&

+++

++++++= (3.14)

ya que para este trabajo se considera que el sistema se mueve en un plano horizontal, laenerga potencial del sistema V = 0

Ahora, para el sistema completo que considera el robot rgido y los motores deinduccin, se obtiene el Lagrangiano, que es determinado por la diferencia de la co-energacintica y la energa potencial, L = T*-V. Ya que en este caso en particular se hace laconsideracin de que el sistema se mueve en un plano horizontal, la energa potencial delsistema es igual a cero, por lo tanto el Lagrangiano es igual a la co-energa cintica total delsistema:

30

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...qD2

1qD

2

1qDq

2

1qDq

2

1L 2m2m2

2m1m1e2e2

Te2e1e1

Te1 ++++= &&&&&&

( ) ( )[ ] ( )2m2m122m11m2m2m1m1c212m2m12c22m12122mi2c11 qqI21

qI2

1qcosqqql2lqqlqlm

2

1qlm

2

1&&&&&&&&&& +++++++++

(3.15)

donde los subndices 1 y 2 indican que el trmino corresponde a la unin del motor 1 con eleslabn 1, o a la unin del motor 2 con el eslabn 2 respectivamente.

El siguiente paso para obtener las ecuaciones diferenciales que describen al sistemaes plantear la ecuacin de Euler Lagrange para posteriormente resolverla para cada unade las coordenadas generalizadas. Recordando, las coordenadas generalizadas son para elsubsistema elctrico las cargas elctricas y para el subsistema mecnico las posicionesangulares de los eslabones del robot. Las ecuaciones a resolver para la parte elctrica sonlas siguientes (es decir la ecuacin Euler Lagrange, que viene de la ecuacin 2.13, sinperturbaciones externas):

11e1

e1

e1e1

uMqF

qL

qL

dtd =

+

&& (3.16)

22e2

e2

e2e2

uMq

F

q

L

q

L

dt

d=

+

&&

(3.17)

Para la ecuacin (3.16) se tiene:

e1m1m1

ee1e1

e1

e1e1

e1

qqq

DqD

q

L

dt

d

qD

q

L

&&&&&

&&

+=

=

0q

L

e1

=

(3.18)

Las fuerzas de disipacin de Rayleigh correspondientes son:

e1e1e1

e1e1

e12e1e1e1

qRq

)q(F

Rq2

1)q(F

&&

&

&&

=

=

(3.19)

31

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para ecuacin (3.17), se tiene:

e2m2m2

ee2e2

e2

e2e2e2

qqq

DqD

q

L

dt

d

qDq

L

&&&&&

&&

+=

=

0q

L

e2

=

(3.20)

Las fuerzas de disipacin de Rayleigh correspondientes son:

e2e2e2

e2e2

e22e2e2e2

qRq

)q(F

Rq

2

1)q(F

&&

&

&&

=

=

(3.21)

Las ecuaciones a resolver para la parte mecnica son:

em1m1

m1

m1m1 q

F

q

L

q

L

dt

d=

+

&&

(3.22)

em2m2

m2

m2m2 qF

qL

qL

dtd

=+

&& (3.23)

con respecto a las coordenadas generalizadas correspondientes a la parte mecnica. Para laecuacin (3.22) se tiene:

m2m2c21m2m1c212m22m12m11m2m2c21

m2m1c212m12c22m1

212m1

2c11m1m1

m1

m22m12m11m2m2c21

m2m1c212m12c22m1

212m1

2c11m1m1

m1

qsinqllsinqqll2mqIqIqIcosqqll

cosqqll2mqlmqlmqlmqDq

L

dt

d

qIqIqIcosqqll

cosqqll2mqlmqlmqlmqDq

L

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

&&&&

&&&&&&

++++

+++++=

++++

+++++=

32

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e1m1

e1Te1

m1

qq

Dq

2

1

q

L&&

=

(3.24)

Las fuerzas de disipacin de Rayleigh para la parte mecnica son:

m1m1m1

m1m1

m1m1Tm1m1m1

qRq

)q(F

qRq21)q(F

&&

&

&&&

=

=

(3.25)

para la ecuacin (3.23) se tiene:

m2m1c212m22m12m2m1c212m22c22m1

2c22m2m2

m2

m22m12m2m1c212m22c22m1

2c22m2m2

m2

qsinqllmqIqIqcosqllmqlmqlmqDq

L

dt

d

qIqIqcosqllmqlmqlmqDq

L

&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&

+++++=

+++++=

m2m2m1c212m22m1c212e2

m2

e2Te2

m2

sinqqqllmsinqqllmqq

Dq

2

1

q

L&&&&&

=

(3.26)

Las fuerzas de disipacin de Rayleigh son:

m2m2m2

m2m2

m2m2Tm2m2m2

qRq

)q(F

qRq2

1)q(F

&&

&

&&&

=

=

(3.27)

Las ecuaciones que describen el comportamiento dinmico del sistema completoson:

1e1e1e1e1m1m1

ee1e1 uMqRqqqDqD =++ &&&&& (3.28)

2e2e2e2e2m2m2

ee2e2 uMqRqqq

DqD =+

+ &&&&& (3.29)

33

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++++++++ m12m11m2m2c21m2m1c212m12c22m1

212m1

2c11m1m1 qIqIcosqqllcosqqll2mqlmqlmqlmqD &&&&&&&&&&&&&&&&

m2m2c21m2m1c212m22 sinqqllsinqqll2mqI &&&& + e1m1

e1Te1 qq

Dq

2

1&&

em1m1m1 qR =+ & (3.30)

+++++ m2m1c212m22m12m2m1c212m22c22m1

2c22m2m2 sinqqllmqIqIcosqqllmqlmqlmqD &&&&&&&&&&&&&

m2m2m1c212m22m1c212e2

m2

e2Te2 sinqqqllmsinqqllmqq

Dq

2

1&&&&& ++

em2m2m2 qR =+ & (3.31)

Para una mejor visualizacin y por facilidad para la simulacin, se arregla el grupode ecuaciones anteriores en forma matricial, adems, tambin se separan los subsistemaselctrico y mecnico.

Para el subsistema elctrico se obtiene:

uM

M

q

q

R0

0R

qW0

0qW

q

q

D0

0D

e2

e1

e2

e1

e2

e1

m22

m11

e2

e1

e2

e1

=

+

+

&

&

&

&

&&

&&

(3.32)

en donde

m1

e11 q

DW

= (3.33)

y

m2

e22 q

DW

= (3.34)

Para el subsistema mecnico, ecuaciones (3.30) y (3.31), se observa que aparecen 2tipos de trminos relacionados con las coordenadas generalizadas correspondientes a laparte mecnica. El primer tipo incluye la segunda derivada de las coordenadasgeneralizadas. El segundo tipo incluye trminos cuadrticos de las primeras derivadas delas coordenadas generalizadas. stos ltimos tambin se pueden clasificar en dos tipos:aquellos que incluyen un producto del tipo q son llamados centrfugos, mientras que

aquellos que envuelven un producto del tipo q donde i j, son llamados trminos de

Coriolis [Spong,89].

2i

&

i&

jq&

Arreglando las ecuaciones (3.30) y (3.31) de una manera matricial y tomando en

cuenta los tipos de trminos descritos anteriormente se obtiene:

( ) ( )( )

+

+++

++++++++

m2

m1

22c222m2c21

2c22

2m2c212c2221m2c21

2c2

212

2c11

m2

m1

m2

m1

q

q

IlmI)cos(qlllm

I)cos(qlllmII)cos(ql2lllmlm

q

q

D0

0D&&

&&

&&

&&

34

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=

+

++

em2

em1

m2

m1

m2

m1

m2

m1

m1m2c212

m2m1m2c212m2m2c212

q

q

R0

0R

q

q

0q)sin(qllm

)qq)(sin(qllmq)sin(qllm&

&

&

&

&

&&&

(3.35)

En forma abreviada, la ecuacin del subsistema elctrico (ecuacin 3.32) puede serexpresada de la siguiente forma:

uMqWRqD eeeee =+ &&& (3.36)

en donde De=diag {De1,De2}, , W=diag{W[TT

e2Te1e qqq &&&&&& = ]

)

1 m1q& ,W2 m2q& }, Re=diag{Re1,Re2}

y Me= [ Me1Me2]T.

La ecuacin del sistema mecnico que combina tanto la parte mecnica de losmotores, como la dinmica del robot (ecuacin 3.35), tambin es posible expresarla de unamanera abreviada como sigue:

emmm qCqM =+ &&& (3.37)

en donde:

( ) (( )

+++

++++++++

=

22c222m2c21

2c22

2m2c212c2221m2c21

2c2

212

2c11

m2

m1

IlmI)cos(qlllm

I)cos(qlllmII)cos(ql2lllmlm

D0

0DM

(3.38)

+

+

= m2

m1

m1m2c212

m2m1m2c212m2m2c212

R0

0R

0q)sin(qllm

)qq)(sin(qllmq)sin(qllm

C &

&&&

(3.39)

e22Te2em2

e11Te1em1

qWq2

1

qWq2

1

&&

&&

=

= (3.40)

adems y [ Tm2m1m qqq &&&&&& = ] e = [em1 em2]T el vector de pares electromagnticos

generados por los M.I.

El modelo completo para el sistema motor de induccin robot rgido est definidopor las ecuaciones (3.36) y (3.37). Cuando este grupo de ecuaciones describe a un sistemadel cual todos sus parmetros son conocidos, se dice que son las ecuaciones del sistemanominal.

El modelo obtenido correspondiente a la parte del subsistema mecnico tiene ciertaspropiedades muy interesantes y que son muy tiles para el diseo del sistema de control,estas caractersticas son las siguientes [Spong,89], [Bekkouche,98]:

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Propiedad 1.- La matriz de inercias M es simtrica y positiva definida.

Propiedad 2.- Hay una entrada de control independiente para cada grado de libertad(rigidez).

Propiedad 3.- Definiendo la matriz:A = M(q( mm q,q & ) )

)

m)-2C ( (3.41)mm q,q &Entonces A es antisimtrica.

Propiedad 4.- Todos los parmetros constantes tales como las masas, momentos deinercia, aparecen como coeficientes de funciones conocidas de las coordenadasgeneralizadas. Definiendo cada coeficiente como un parmetro diferente, una relacinlineal resulta, de manera que se puede rescribir la ecuacin dinmica como

( q,q,qY)g(qq)q,C(qq)M(q mmmmmmmmm &&&&&&&

=++ (3.42)

en dondeY

es una matriz llamada el regresor, y es un vector de

parmetros.

rn.

mmm Rq,q,q

&&&

Las propiedades 3 y 4 mostradas, como se ver ms adelante, son de gran utilidad

para el diseo del controlador.

3.2 Simulacin del sistema

Los parmetros de simulacin fueron similares a los que utiliz [Bekkouche,98],siendo la diferencia principal de que en el presente trabajo no se tom en cuenta los efectosde la friccin. Los parmetros son los siguientes:

Para la combinacin de las dinmicas del motor y robot (ecuacin 3.37):

( ) ( )( )

+

+

++=

03.00

003.0

3.8qcos7.58.3

q5.7cos3.8q11.4cos20.5

m2

m2m2M

( ) 2m1

m2m1m2m2 00q

)qq(qqsin7.5 +

+=

&

&&&

C ,

donde 02es una matriz de ceros de 2x2, que, de acuerdo a la ecuacin (3.39) corresponde alos valores de los coeficientes de friccin viscosa de los motores. Cabe aclarar que los

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valores mostrados anteriormente, son resultado de combinaciones entre los diferentesparmetros del robot, a saber, masas, centros de gravedad, longitudes e inercias.

Los parmetros de los motores que accionan a este robot de dos grados de libertadse muestran en la tabla 3.1.

Tabla 3.1 Parmetros de los motores de induccin que accionan al robot rgido giratorio de dos gradosde libertad.

Parmetro ValorResistencias de estator 0.687 ohmsResistencias de rotor 0.842 ohmsInductancia de estator 84 mHInductancia de rotor 81 mHInductancia mutua 81 mHCoeficiente de friccinviscosa

0



La siguiente figura, describe como se hizo la simulacin en Simulink de Matlab,utilizando la funcin S.

Robot rgido giratorio de 2 grados de libertad

accionado directamente por M.I.

Alimentacin

Trifsica

Conversin de

3 a 2 fases

(Transformacin de

Blondel)

Funcin S


Corrientes de rotor

Subsistema mecnico

combinado

Subsistema

Elctrico

motor 1

Posiciones

Velocidades

Par

electromagntico

generado

Salida

a graficar

Subsistema

Elctrico

motor 2

Par

electromagntico

generado

Pares electromagnticos

Motores 1 y 2

Robot rgido giratorio de 2 grados de libertad

accionado directamente por M.I.

Alimentacin

Trifsica

Conversin de

3 a 2 fases

(Transformacin de

Blondel)

Funcin S


Corrientes de rotor

Subsistema mecnico

combinado

Subsistema

Elctrico

motor 1

Posiciones

Velocidades

Par

electromagntico

generado

Salida

a graficar

Subsistema

Elctrico

motor 2

Par

electromagntico

generado

Pares electromagnticos

Motores 1 y 2

Figura 3.2 Diagrama a de flujo de datos del programa de simulacin para el robot rgido de dos grados

de libertad accionado directamente por M.I.

Las simulaciones fueron realizadas tomando al sistema en lazo abierto, es decir, sise hiciera experimentalmente sera lo siguiente: Ya que el robot est en lazo abierto, seespera que los motores al arrancar, se comporten como lo haran con cualquier carga

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acoplada. Esto es, los eslabones del robot comenzaran a girar en su respectivo eje, sinseguir ninguna trayectoria, las seales internas generadas por el motor no distaran muchode lo que se observara si se tuviera una carga constante. Cabe hacer la aclaracin, quedebido a la configuracin del sistema, el motor 1, carga una masa mayor que la del motor 1.Esto debido a que el motor 1 carga con los dos eslabones del robot, as como con el

segundo motor. Los resultados de simulacin son los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7-2

-2

-1

-1

-5

10

15

20

25

Corrientes de estator motor 1

Tiempo seg.

C

orriente

Amp.

050

00

50

00

0

0

50

0

0

0

0

0 1 2 3 4 5 6 7-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Corrientes de rotor motor 1

Tiempo seg.

C

orriente

Amp.

a) b)

Figura 3.3 a) Corrientes de los devanados estator del motor 1 b) Corrientes de

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