12_Sistemas_Seguimiento

8/20/2019 12_Sistemas_Seguimiento

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SESIÓN 12SISTEMAS DE SEGUIMIENTO

Ismael Minchala Avila

CONTROL DIGITAL

Universidad de CuencaDepartamento de Ingeniería Eléctrica,

Electrónica y Telecomunicaciones


2/30

AGENDA

•

Introducción

• Sistema de Seguimiento con Integrador

• Seguimiento de Trayectorias con Entrada Cero

•

Actividad en Clase

2


3/30

INTRODUCCIÓN(1)•

Por lo general, en el sistema de seguimiento es necesario que elsistema tenga uno o más integradores dentro del lazo cerrado.

•

A menos que la planta tenga una propiedad integradora, a fin de

eliminar el error en estado permanente a entradas escalón.

•

Una forma de introducir un integrador en el modelo matemático de

un sistema en lazo cerrado, es introduciendo un nuevo vector de

estado, que integre la diferencia entre el vector de comando R y el

vector de salida Y.

•

El controlador integral está formado por m elementos integradores,uno por cada componente de la entrada de comando.

3


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SISTEMAS DE SEGUIMIENTO CONINTEGRADOR(1)

4

( ) ( )k k yk k k

Cx

HuGxx

=

+=+1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

11

111

1

++!+!=+

+!++=+

+!++=+

!+!=

k k k k k

k k k k k

k k k k

k k k k

rCHuvCGxv

HuGxCrvv

yrvv

yrvv

( ) ( ) ( )k k k vK xK u12

+!=


5/30


5

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )11

11

111

111212

12

12

+++!!+!!=+

++!+!++!=+

+++!=+

k k k k k

k k k k k k k

k k k

rK vK uCHK HK xCGK GK u

rCHuvCGxK HuGxK u

vK xK u

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )11

112122

21

12

++!!+!!=+

+=

+!=

k k k k

k k k

k k k

m rK uCHK HK IxCGK GK K u

uxK vK

vK xK u

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) [ ] ( )

( )!"

#$%

&=

!"

#

$%

&+

!"

#

$%

&

!"

#

$%

&

''''=

!"

#

$%

&

+

+

k

k k

k

k

k

k

k

m

u

x0Cy

r

K

0

u

x

CHK HK ICGK GK K

HG

u

x

1121221

1


6/30


6

( )

( )( )

( )( ) !"

#$%

&+!

"

#$%

&!"

#$%

&

''''=!

"

#$%

&

+

+

=

rK

0

u

x

CHK HK ICGK GK K

HG

u

x

rr

1121221

1

k

k

k

k

k

m

Estado de equilibrio: !"&'(

) &

*

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) [ ] ( )

( )!"

#$%

&''''=

!

"

#$

%

&+!

"

#$

%

&!

"

#$

%

&=!

"

#$

%

&

+

+

k

k k

k k

k

k

k

e

e

m

me

e

e

e

u

xCHK HK ICGK GK K w

wIu

x

00

HG

u

x

12122

0

1

1


7/30


7

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

[ ]

( ) ( ) ( )( ) ( )k k

k k k

k

k k

m

mmnm

mnmn

mne

e

!K w

wH!G!

CHK HK ICGK GK K K

IH

00

HGG

u

x!

ˆ

ˆˆ1

ˆ

0ˆ

ˆ

12122

!=

+=+

!!!!!=

"#

$%&

'=

"

#

$%

&

'=

"#

$%&

'=

(+

+(+

(

Se determina mediante la

técnica de ubicación de polos


8/30


8

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]m

n

m

n

I0CHCG

HIGK K K

CHK HK ICGK K GK K

CHK HK CGK K GK CHCG

HIGK K

!+"#

$%&

' !=

++!+!=

++!="#

$%&

' !

!!

!

!!

12

12122

1212212

ˆ

ˆ

[ ] [ ]( )

1

12 ˆ

!

"#

$%&

' !+=

CHCG

HIG

I0K K K

n

m!!


9/30

EJEMPLO SEGUIDOR – INTEGRADOR(1)

( )

( ) 321

32

12.001.01

5.0

!!!

!!

++!

+

=

z z z

z z

z U

z Y

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )k k

k k k

xy

uxx

015.0

1

0

0

101.012.0

100

010

1

=

!!!

"

#

$$$

%

&

+

!!!

"

#

$$$

%

&

''

=+


10/30


10

( ) ( ) ( )

( ) ( )k k

k k k

!K w

wH!G!

ˆ

ˆˆ1

!=

+=+

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

!!!!

"

#

$$$$

%

&

''=!

"

#$%

&=

1

0

0

0

ˆ

0000

1101.012.0

0100

0010

ˆ H00

HGG

( ) [ ]199.013.012.0ˆˆ0

1

4

!!==

=

!

GMJK " C

T

n

z


11/30


11

[ ] [ ]( )

[ ] [ ]667.02323.012.0

0ˆ

015.00

1001.012.0

0110

0011

12

1

12

!=

"#

$%&

' !+=

""""

#

$

%%%%

&

'

!!

!

!

="#

$%&

' !

!

K K

CHCG

HIGIK K K

CHCG

HIG

!

!! n

m

n

[ ]2323.012.03

2

2

1

!=

=

K

K


12/30

SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(1)•

Cuando el vector de estados del sistema se encuentra siguiendoexactamente el vector de referencia de estado, el error es er(k ) = 0.

Esto significa que la trayectoria de estado que se está siguiendo es

una trayectoria de la planta con entrada cero.

•

Consideremos la figura siguiente, donde el generador de comandos

produce una trayectoria de la planta con entrada cero,

correspondiente a un vector de estado inicial xz(k ).

12

E B A, C + -)()1( k k z z Axx =+)(k er )(k u )(k x )(k y

)0( z x

Generador de Comandos


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SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(2) •

El vector de ganancias E ha sido calculado para ubicar los valorescaracterísticos de A – BE en lugares deseados, de manera similar al

problema de regulación.

•

Vamos a analizar el desempeño del sistema y mostrar que el vector

de estados x(k ) sigue al vector xz(k ) con error de estado estableigual a cero.

13

[ ])()()(

)()()1(

)()1(

k k k u

k uk k

k k

z

z z

xxE

B!xx

Axx

!

=

+=+

=+

( ) )(

)()(

)()()1(

k

k k

k uk k

erBEA

BEerAer

BAerer

!=

!=

!=+


14/30


Esa ecuación del error es homogénea y los valores característicosde A – BE se ubican dentro del círculo unitario, entonces x(k ) va a

seguir el vector xz(k ) con cero error de estado estable.

•

Teorema. Dado el sistema (A, B, C) controlable y observable. Si r(k )

es una entrada de referencia con transformada z dada por

R (z)=n(z)/d(z). Las raíces del polinomio d(z) son zi, i=1,…, p. Si estas

raíces son también valores característicos de A (incluyendo polos

repetidos), entonces r(k ) puede ser seguida con error de estado

estable cero por un regulador que no necesita dinámica adicional.

Si al menos una de las raíces zi no es un valor característico de A,entonces se tiene que utilizar dinámica adicional para lograr el

objetivo de error de seguimiento cero.

14


15/30

SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS CONENTRADA CERO(4)

•

Para agregar la dinámica al sistema de seguimientocuando las condiciones del teorema anterior no son

satisfechas, hacemos lo siguiente:

•

Si R (z) tiene polos z1,…,zm que no son valorescaracterísticos de A, tenemos que formar el polinomio:

• Utilizando el polinomio anterior, definimos el sistema con

dinámica adicional :

15

)())(()( 21 m z z z z z z z !!!= !

)( z

z m


16/30


•

Que se conecta a la planta para formar una planta dediseño como se muestra en la figura siguiente.

•

La planta de diseño aumentada va a satisfacer la

propiedad de seguimiento exacto del teorema anterior, y

entonces podremos diseñar un regulador para esa

planta aumentada que va a realizar el seguimientoexacto de la planta.

16

( )1,,, C B A aa)(k u )(k y

( )C B A ,,

)(k ya


17/30


•

La representación en espacio de estados de la dinámicaadicional se puede obtener utilizando la forma canónica

observable:

17

[ ] )()(001)()()()1(

k uk k yk uk k

aa

aaaa

+=

+=+

x

BxAx

!

!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

'

'

'

=

!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

'

'

'

'

=

'

m

a

m

m

a B A

(

(

(

(

(

(

(

!

"

"

!#!!!"

"

2

1

1

2

1

,

000

100

010

001


18/30


La estructura general del sistema de seguimiento con dinámicaadicional se muestra en la siguiente figura, donde el vector de

ganancias E se diseña para el sistema aumentado mostrado

anteriormente (la planta de diseño).

18

E +-

)()1( k k z d z

xAx =+

)(k x

)(t y

)0( z x

)(k z x

( )1,,, C B A aa

!#

$&

x

xa

D/A Planta

A/D

)(t ya


19/30


La descripción de espacio de estados de la planta aumentada (condinámica adicional y la planta original) se puede obtener como la

combinación en cascada de dos sistemas en espacio de estados:

•

Una vez que conocemos las condiciones bajo las cuales la entradade referencia puede ser obtenida a partir de una trayectoria de

estados de entrada cero, calculamos el vector inicial requerido:

[ ]C C B

B B

A BC

A A

d

a

d

a

a

d

0=

!"

#

$%

&=

!"

#

$%

&= ,

0

0

1

00

)1(

)1(

)0(

x

AC

AC

C

xW

!!!!

"

#

$$$$

%

&

==

!!!!

"

#

$$$$

%

&

' 'n

d d

d d

d

n

!!

(

(

(

!!!!

"

#

$$$$

%

&

'!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

!!!!

"

#

$$$$

%

&

'

=

'

'

'

)1(

)1(

)0(

)1(

)1(

)0( 1

1

1

0 0

nn n

d d

d d

d

(

(

(

(

(

(

!!!

AC

AC

C

Wx


20/30

EJEMPLO SEGUIDOR(1)

•

Para el sistema digital siguiente, supongamos que tenemos unaseñal de referencia con forma de onda triangular unitaria con

período de 2 segundos.

•

Ya que esta señal no tiene una transformada de Laplace racional,

hacemos una expansión de Fourier y tomamos los primeros 2

términos:

20

[ ]01

0952.0

0048.0

9048.00

0952.01=

!"

#

$%

&=

!"

#

$%

&= C B A

!"

#$%

&'= )3(8

1)(8888.0)( t sent sent


21/30

EJEMPLO SEGUIDOR(2)

•

La transformada de Laplace es:

•

Los polos de esta función se encuentran en:

•

Utilizando mapeo de polos y ceros, tenemos que:

21

!"

#$%

&''(

)**+

,

+

-+

=2222 )3(

3

8

18888.0)(

.

.

.

. /

s s

s

!

!

34,3

2,1

j s

j s

±=

±=

iee z

iee z

jTs

jTs

809.05878.0

309.09511.0

)1.0(3

4,3

)1.0(

2,1

4,3

2,1

±===

±===

±

±

!

!


22/30

EJEMPLO SEGUIDOR(3)

•

Y el polinomio de la dinámica adicional es:

•

El sistema con la dinámica adicional nos queda:

22

))()()(()( 4321 z z z z z z z z z P !!!!=

10777.32361.40777.3 234

+!+!= z z z z

[ ] 100011

0777.3

2361.4

0777.3

0001

1000777.3

0102361.4

0010777.3

==

!!

!!

"

#

$$

$$

%

&

'

'=

!!

!!

"

#

$$

$$

%

&

'

'=

aa

aa

d C

B A


23/30

EJEMPLO SEGUIDOR(4)

•

El modelo de diseño resulta de la combinación en cascada delmodelo de dinámica adicional más la planta, esto es:

•

Con el vector de estados:

23

[ ]C0C

B

BB

ABC

0AA

=

!"

#$%

&=!

"

#$%

&=

d

a

d

a

a

d ,

!"

#$%

&=

)(

)(

)( k

k

k

a

d

x

x

x


24/30

EJEMPLO SEGUIDOR(5)

24

[ ]010000

0952.0

0048.0

10777.3

2361.4

0777.3

,

948.000000952.0

0952.010000048.0

000001001000777.3

000102361.4

000010777.3

=

!!!!!!

!!

"

#

$$$$$$

$$

%

&

'

'

=

!!!!!!

!!

"

#

$$$$$$

$$

%

&

'

'

=

d

d d

C

BA


25/30

EJEMPLO SEGUIDOR(6)

•

Si elegimos un tiempo de estabilización =1 seg. y mapeamos lasraíces de un polinomio de Bessel de sexto orden al plano

#

,

tenemos que:

•

El vector de ganancias de retroalimentación que ubica esas raíces,

se encuentra dado por:

25

0711.04855.0

2278.04837.0

4486.04786.0

454.11205.7

6,5

4018.42613.6

4,3

53.72169.4

2,1

±==

±==

±==

±!

±!

±!

j

j

j

e z

e z

e z

[ ]6551.12715.40732.017.01459.09673.0 !!=e


26/30

EJEMPLO SEGUIDOR(7)

•

Para calcular el vector de condiciones iniciales $#

%&' necesitamoslas primeras seis muestras de

%('

:

•

Para calcular el vector inicial$

#

%&'

necesitamos la matriz de

observabilidad:

26

[ ][ ]191069.068479.04168.018479.00

)5()4()3()2()1()0(

=

=

T

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

5

0

d d

d d

d

AC

AC

C

W!


27/30

EJEMPLO SEGUIDOR(8)

•

Y el vector $#

%&' nos queda:

27

!!!!!

!!!

"

#

$$$$$

$$$

%

&

'

'

==

'

6835.1

0

4961.1

7769.0

1598.7

0821.5

)0( 1

0 !Wx z


28/30

EJEMPLO SEGUIDOR(9)

28


29/30

ACTIVIDAD EN CLASE(1)

•

El modelo presentado pertenece a un motor decorriente continua con un tiempo de muestreo

de 50 ms. Diseñe un controlador integral para

éste sistema.

29

( )21

21

3448.0245.11

58.3129.26

!!

!!

+!

+

=

z z

z z z HG p


30/30

** Las respuestas al escalón de estos sistemas tienen un tiempo de estabilización de 1

segundo. Si se desea un tiempo diferente, se deben escalar las raíces. Para lograr unti d t bili ió d d l t l i i i d b d di idi

Raíces de polinomios Normalizadosde Bessel

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