Colegio inglés 1

Valor esperado

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o perder.

Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable

aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza matemática es muy importante, ya que es

uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.

Si “X” es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad “f(x)”. Entonces el valor esperado de la variable aleatoria “X”, el cual se representa

por “E(X)”, está definido por )()( ii xfxxE

Lo anterior significa que para calcular E(x) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir

el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a la media o

promedio aritmético, los cuales se representan con la letra

De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:

)()( ii xfxxE

Ejemplo 1: Si se lanzan dos dados normales

La variable aleatoria “x” será la suma de los números que aparezcan al lanzar los dos dados, la distribución de probabilidad es:

)( ii xfx

Es decir:

La distribución de probabilidades es simétrica, el valor esperado coincide con el

valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución.

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

COLEGIO INGLÉS

DEPARTAMENTO NIVEL: CUARTO MEDIO PSU. UNIDAD: ESTADISTICA 5 PROFESOR: NATALIA MORALES A. ROLANDO SAEZ M. MIGUEL GUTIÉRREZ S.

JAVIER FRIGERIO B.

Colegio inglés 2

Ejemplo 2: Un casino le permite a un jugador que lance un dado normal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad de “k” pesos cada vez

que juegue. Calcular cuánto debe valer “k” para que el jugador ni pierda ni gane.

Sea x la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar el dado. Su distribución de probabilidad es:

xi 1 2 3 4 5 6

f(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

Xif(xi) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 3,5

En este caso el valor esperado es igual al valor de k, con lo que se espera que

el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la formula del valor esperado tenemos:

5,3)6/1(6)6/1(5)6/1(4)6/1(3)6/1(2)6/1(1)( ii xfx

El jugador debe pagar 3,5 pesos cada vez que participa en un juego.

Si la cuota k fuera 4 pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es

de $0,50 por juego , ya que k = 4 – 3,50 =$0,5. Como lo que recibe el jugador

en un solo juego no puede ser igual a $3,5(debe ser un número entero entre 1

y 6), entonces E(x) no necesariamente coincide con el resultado de un solo

juego.

El significado de E(x)=$3,5 , es que si el juego se realiza un gran número de

veces el cociente Ingreso total/número de juegos realizados debe ser

aproximadamente igual a $3,5.

VARIANZA

Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de

la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa

de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la

dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, y la segunda

por la varianza o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de

la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los

valores de la variable aleatoria x.

Por ejemplo, en un espacio muestral vemos que los valores: 5 , 10 y 15

tienen una media de 10 y que los valores 9,9 ; 10 y 10,1 tambien tienen una

media de 10.

Colegio inglés 3

Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran importancia. Por lo tanto , para tener un conocimiento

claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la varianza o

la desviación estándar de la distribución de probabilidad.

Las desviaciones x , toman valores )....().........(),( 21 ixxx , con

probabilidades respectivas: )(..........).........(),(),( 321 ixfxfxfxf . Sin embargo al

tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que:

0)()()()()()( iiiiiii xfxxfxfxxfxXE

Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas.

Para determinar una medida de dispersión , necesitamos considerar únicamente la magnitud de las desviaciones sin sus signos. Una manera de eliminar el signo de las desviaciones es considerar el cuadrado

de las mismas, es decir, 2)( ix.

Si obtenemos el valor esperado de las desviaciones elevadas al cuadrado,

obtenemos una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad, la

cual es conocida como varianza y se simboliza por 2 o )(xVar

La varianza de una variable aleatoria “X” se define como:

)()()()()( 222

ii xfxXExVarxV

A partir de ésta ecuación y mediante un pequeño desarrollo matemático se

obtiene la expresión : 222 )()( ii xfxxV

Si representamos a )(2

ii xfx por )( 2XE , podemos escribir:

22222 )()]([)()()( XEXEXExVarxV

Al usar la varianza como medida de dispersión se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoria son lineales, es decir, kilogramos, metros, litros ,……., por lo que )(XE también

será lineal, pero la varianza 2 está en unidades cuadráticas, es decir ,

kilogramos al cuadrado, metros al cuadrado, litros cuadrados, …..

En vista de lo anterior , si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos tomar la raíz cuadrada positiva de la varianza. A esta cantidad se le

conoce como desviación estándar y se representa por .

La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como:

22

1

222 )()()(

XExfxXVarN

i

ii

Colegio inglés 4

Ejemplo: Consideremos la distribución de probabilidad de ventas semanales de unidades de alta fidelidad de la marca A:

X=xi 0 1 2 3 4 5

f(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1

Encontrar la varianza y la desviación estándar

Basándonos en la distribución de probabilidad obtenemos la siguiente tabla:

ixX 0 1 2 3 4 5 Total

)(xf 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 1

)(xfxi 0 0,1 0,4 0,9 0,8 0,5 2,7

)(2 xfx i 0 0,1 0,8 2,7 3,2 2,5 9,3

Podemos observar entonces que por lo tanto la varianza es:

01,2)7,2(3,9)()( 2222 XExVar y la desviación estándar

es: 42,101,2

Colegio inglés 5

1. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad para una variable

aleatoria X. ¿Cuál es el valor esperado?

A) 6 B) 5

C) 3

10

D) 3

E) 10

1

2. Considerando la tabla anterior , ¿Cuál es el valor de la varianza?

A) 40,8

B) 34,8 C) 30,2 D) 6

E) 4,8

3. Una caja contiene esferas numeradas del 1 al 5, se extrae una esfera y se anota su valor, la siguiente tabla muestra la probabilidad de cada uno de los resultados:

El valor esperado para la variable X es: A) 3

B) 2,45 C) 2,35

D) 1,067 E) 0,47

4. Si )(XE es el valor esperado de una variable aleatoria , ¿Cuál (es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) Si todos los elementos del espacio muestral son iguales 0)( XE

II) Si todos los elementos del espacio muestral se multiplican por un número real K , entonces el nuevo valor esperado será: )(XEK

III) Si a todos los elementos del espacio muestral se suma un número real K, entonces el valor esperado será: )(XEK

A) Solo I y II

B) Solo I y III C) Solo II y III

D) I, II y III E) N.A

X 2 4 6 8 10

P(X=x) p 2p 4p 2p p

X 1 2 3 4 5

P(X=x) 0,2 0,4 0,25 0,05 0,1

Colegio inglés 6

5. Una variable aleatoria X tiene por función de distribución acumulada a los datos de la tabla adjunta. ¿Cuál es la esperanza de X?

A) 6

17

B) 3

2

C) 6

1

D) 3 E) 1

6. La siguiente tabla muestra una función de probabilidad para la variable

aleatoria X. ¿Cuál es el valor esperado? A) 2,5

B) 2,0 C) 1,8

D) 1,6 E) 1,4

X 0 1 2

)( xXP 2

1 6

5 1

X 0 1 2 3 4

P(X=x) 0,2 0,4 0,15 0,1 0,15

1.A 2.E 3.B 4.C 5.B 6.D

Colegio inglés 7

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Para variables aleatorias continuas x, La función de probabilidad es denominada, FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, es una función continua y la probabilidad de que la variable este comprendida en el intervalo

ba, , está dada por el área bajo la curva de la función entre los puntos a y b.

La distribución normal, una de las más importantes, recibe su nombre

debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución nos permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.

Cuando una variable continua tiene distribución normal, su grafico es similar al indicado más abajo, tiene forma de campana (denominado generalmente

campana de Gauss) y es simétrico con respecto a la media, además posee

pocos valores extremos. Se denota por );( NX donde es la media y

la desviación estándar o típica, sus características son:

El área bajo la curva es 1 Es simétrica con respecto a x , y deja un área bajo la curva igual a

0,5 a la izquierda y otra de 0,5 a la derecha, es decir, hay una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a la media y un 50%

de observar un dato menor a la media. Es asintótica al eje de las abscisas

La media, mediana y moda coinciden La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Colegio inglés 8

Si una población tiene media y desviación estándar , se tiene entonces

que:

a) El 68,26% de los individuos se encuentra en el intervalo: ,

68,26%

b) El 95,44% de los individuos se encuentra en el intervalo: 2,2

95,45%

2 2

c) El 99,73% de los individuos se encuentra en el intervalo: 3,3

99,73%

3 3

La distribución normal describe la distribución de datos, que en general se relacionan con mediciones relacionadas con variables , tales como el tamaño

de la especies, rendimiento intelectual , variables sociales, etc.

Colegio inglés 9

La distribución normal o tipificada , es aquella que tiene media 0 y desviación

estándar 1. Se denota por )1;0(NX

Sus características son:

Para calcular la probabilidad en distribuciones normales, cuando los límites de

las variables sean distintos de la media o más menos desviaciones estándar, se deben usar las tablas que presentan las áreas bajo la curva y que permite determinar la probabilidad en ese intervalo, dada a continuación:

Colegio inglés 10

TABLA DE DISTRIBUCION NORMAL )1,0(N

x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586

0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535

0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409

0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173

0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793

0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240

0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490

0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524

0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327

0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891

1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214

1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298

1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147

1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774

1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189

1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408

1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,98053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449

1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327

1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062

1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670

2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169

2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574

2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899

2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158

2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361

2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520

2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643

2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736

2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807

2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861

3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900

3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929

3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950

3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965

3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976

3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983

3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989

3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992

3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995

3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

4,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

Colegio inglés 11

Ejemplo: Para una variable aleatoria continua X con distribución normal estándar )1,0(N Calcular la probabilidad de que tome un valor menor o igual a 1,87?

Solución: Se pide determinar el valor de ?)87,1( xP De acuerdo a la tabla anterior este seria 0,96926 o lo que es lo mismo que

96,926%, gráficamente lo siguiente:

87,1

Para una variable aleatoria X con distribución normal ),( N Los datos se pueden estandarizar o normalizar utilizando la variable aleatoria:

xZ

Con distribución normal )1,0(N

Entonces la probabilidad en términos de la variable X puede calcularse en

términos de Z, utilizando las tablas de distribución tipificadas, es decir:

)()(

xZPxXP

Ejemplo: Sea la variable aleatoria X con distribución )5,23(N ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor :

a) Mayor que 30

b) Entre 24 y 26

Solución:

a) )30(1)30( XPXP

5

23301)30( ZPXP

23 30

)4,1(1)30( ZPXP 91924,01)30( XP

08076,0)30( XP

Colegio inglés 12

b) )24()26()2624( xPxPXP

)

5

2324()

5

2326()2624(

ZPZPXP

)2,0()6,0()2624( zPZPXP

57926,072575,0)2624( XP

14649,0)2624( XP

Colegio inglés 13

Las siguientes figuras nos facilitan entender la probabilidad a calcular:

Colegio inglés 14

Ejemplo: El resultado de una prueba de cuarto medio, tiene una distribución

)6,0;3,5(N . El total de estudiantes que rindió la prueba es

de150.¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este haya obtenido más de un 6,0?

Calculamos la probabilidad de que el alumno tenga menos de un 6,0; para facilitar el uso de la tabla, el complemento será lo buscado.

16,16,0

3,50,6

xZ , en la tabla corresponde a 0,87698; por lo tanto

1 – 0,87698 = 0,12302, probabilidad de obtener un alumno con nota superior

a 6,0 , o bien 12,3% de los alumnos obtuvo una nota perteneciente a ese intervalo o 1845,18150%3,12 de alumnos.

Ejemplo 2: La media de los pesos de 500 estudiantes es 70 kg y la desviación

típica es 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente. ¿Cuántos estudiantes pesan entre 60 y 65 kg?

Sabemos que la tipificación es:

xZ , donde se debe cumplir

que: )( 21 xXxP , además 601 x y 652 x , ahora remplazamos en la

formula:

Por lo tanto )3

5

3

10(

3

7065

3

7060(

zpzp

xZ

=

)33,3()67,1()67,133,3( zpzpzp

))33,3(1()67,1()33,3()67,1( zpzpzpzp

47647,47550095094,00043,095524,0)99957,01(95524,0

Es decir 476 alumnos

Colegio inglés 15

Ejercicios

1. Las longitudes , en cm , de los palillos que fabrica una empresa , tiene

una distribución )3,0;10(N

¿Cuál es la probabilidad de que un palillo mida menos de 10cm? A) 1

B) 0,7 C) 0,5

D) 0,4 E) 0,3

2. En una distribución normal estándar maXP )( ; entonces ?)( aXP

A) –m

B) m C) m-1 D) 1-m

E) No se puede determinar

3. Si )1,0(NX , entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) La probabilidad )0( XP es 50%

II) )1,2(1)1,2( XPXP

III) 0)5,0( XP

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I , II y III

4. En una distribución normal )15,90(N , ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) 3413,0)10590( xP

II) 4772,0)9060( xP

III) 1359,0)120105( xP

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo II y III D) I , II y III

E) N.A

Colegio inglés 16

5. En una distribución estándar )1,0(NX , ¿Cuál de las alternativas es la

correcta?

A) 9773,0)2( xP

B) 9773,0)2( xP

C) 02275,0)2( xP

D) 9773,0)2( xP

E) 0456,0)22( xP

6. El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa ,

se distribuye en forma normal con media 1020 horas y desviación estándar 51 horas. ¿Cuál es la probabilidad en porcentajes de que dure más de 1173 horas?

A) 0,27%

B) 2,7% C) 0,027º% D) 0,135%

E) 13,5%

7. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a tres distribuciones de probabilidad normal con la misma media y diferente desviaciones estándar?

Colegio inglés 17

8. Si X es una variable aleatoria de una distribución ),( N , entonces

)33( xp significa que la variable x, se encuentra

Aproximadamente entre el :

A) 68,26%

B) 87,95%

C) 95%

D) 99,72%

E) N.A

9. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de Junio sigue una distribución normal , con media de 23° y desviación típica de 5°.

¿Cuál es el porcentaje aproximado de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 23° y 28°?

A) 24% B) 34% C) 44%

D) 68% E) 95%

10. El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de

5 días y desviación típica 1 día. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de empleados que realizan la tarea entre 5 y 7 días

A) 30%

B) 45%

C) 48%

D) 68%

E) 95%

11. El tiempo medio de los electricistas de una empresa en realizar el montaje de un determinado cuadro eléctrico es de 4 días, con una desviación típica

de 1 día. Se supone que se distribuye según una distribución normal. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de electricistas que tardan menos de 3 días?

A) 12%

B) 14%

C) 25%

D) 15,8%

E) 31,2%

Colegio inglés 18

12. Una población normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de un valor localizado entre 75 y 90?

A) 20% B) 38%

C) 40% D) 50%

E) 60% 13. Con los datos del ejercicio anterior ¿cuál es la probabilidad aproximada de

un valor menor de 66?

A) 10%

B) 13% C) 16%

D) 30% E) 38%

14. Los promedios de los alumnos de un colegio , en su último semestre de Cuarto Medio, tiene una distribución )8,0;5(N ¿Cuál (es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Aproximadamente , el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8

II) Aproximadamente , el 2,3% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4 III) Un 13,6% , aproximadamente , tiene promedio entre 5,8 y 6,6

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III E) I , II y III

15. Sea una distribución normal )6,2;6,18(N ,entonces ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) La desviación estándar es igual a 2,6 B) El promedio de la muestra es 18,6

C) 5,0)6,18( xP

D) 5,0)6,2( xP

E) %26,68)2,2116( xP

Colegio inglés 19

16. Sean );( 111 N y );( 222 N distribuciones normales. Es correcto afirmar

que:

I) Si 21 , entonces

21

II) Si 21 , entonces sus medianas son iguales

III) Si 21 , entonces las curvas tienen las mismas alturas

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III

E) Solo II y III

17. En una distribución normal definida de manera tal que )11,120(N , si se

escoge un dato al azar , ¿Cuál es la probabilidad que el numero escogido

sea menor que 120?

A) 0

B) 4

1

C) 3

1

D) 2

1

E) 4

3

18. En la figura se encuentra representada la distribución normal estándar

)1,0(NZ de cierta variable aleatoria X. La probabilidad que un dato se

encuentre en el intervalo destacado es:

A) 0,085 B) 0,850

C) 0,900 D) 0,976

E) 0,985

Colegio inglés 20

19. Una empresa instala en una ciudad 20.000 ampolletas para su iluminación. La duración de una ampolleta sigue una distribución normal

con una media de 302 días y una desviación estándar de 40 días. Para

saber cuántas ampolletas es de esperar que se fundan antes de 365 días, la variable Z debe tipificarse:

A) 000.20

302365 Z

B) 40

365302 Z

C) 40

302365 Z

D) 000.20

365302 Z

E) 400

302365 Z

20. Un consultorio de salud , realizo un estudio para determinar la masa(peso) de la población femenina adulta de su comuna, obteniendo

una distribución )5,62(N , ¿alrededor de que porcentaje de la población

adulta tiene masa entre 57 y 62 k? A) 99%

B) 95% C) 68%

D) 34% E) 24%

1.C 2.D 3.E 4.D 5.C 6.D 7.A 8.D

9.B 10.C 11.D 12.C 13.C 14.E 15.D 16.E

17.D 18.A 19.C 20.D