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Gua 3. Mat. III (Q)

1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

a) 3 12 4y y b) 2 3

dyx y

dx

c) sinxdy x x y dx

d) 1 0x xdy

e e ydx

e) xdy

y edx

f) 32y xy x

g) 22 5y y x h) 34

dyx y x x

dx i) cot 2cos

dyy x x

dx

j) 2 4 2dy

xy y xdx

k) 2 23y x y x

l) dx

x ydy

m) 2 1x y xy n) cos sin 1

dyx y x

dx o) 3 21 3

dyx x y

dx

p) 21 x y xy x x q) sec cosdy

y x xdx

r) 3xdy

y edx

s) 2y

y xx

t) 3 2dy x y

dx x

u) 2 1xy e y

v) xdy e y

dx x

w) 32xy y x x x)

2

2 1yy

x x

y) 2 3xdy

e ydx

z) 1

1 xdy

ydx e

1) 2 3y x dx xdy

2) 4 2

2 1

dy y

dx x x 3)

1

3y

x y 4) 3 1

ye x y

Universidad de Oriente Ncleo de Sucre

Escuela de Ciencias

Departamento de Matemticas

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2.- Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

sujeto a la condicin inicial dada

a) 5 20, (0) 2dy

y ydx

b) 3 22 , (0) 2x xy y x e e y

c) 1 ln , (1) 10dy

x y x ydx

d) , (1) 2xxy y e y

e) 2 2 0, (3) 6x x y y y f) sin cos 0, 1

2

dyx x y y

dx

g) 2cos 1, (0) 3dy

x y ydx

h) 2 sin ; (2) 1dy

x y x ydx

i) 1 ; (1) 0dy

x xy y ydx

j) ; (3) 01

yy x y

x

3.- Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales de primer orden tipo Bernoulli

a) 2

1

yy

dx

dyx b) 2yey

dx

dy x

c) 13 xyydx

dy d) 21 xyyx

dx

dyx

e) xyydx

dyx 22 f) 1213 32 yxy

dx

dyx

g) 42 32 yxy

dx

dyx ,

2

11 y h) 40,12321 yy

dx

dyy

i) 0)1(,11 2 ydx

dyxyxy j) 11,2

2 y

y

x

x

y

dx

dy

k) 2 22 ; (1) 2dy

x y x y ydx

l) 2 2 0xxy y y e

m) 3 1 ln 0xdy y xy x dx

n) 2

2

2dy y xy

dx x

3

4.- Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

a) Un punto ,P x y se mueve sobre una curva de tal modo que la razn de cambio de la

ordenada con respecto a la abscisa es proporcional a la ordenada ,dy

ky kdx

.

Encontrar la ecuacin de la curva si su pendiente en 2,3P es 3/2.

b) Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300 F. Tres minutos despus, su

temperatura es de 200 F. Determinar la temperatura del pastel para cualquier instante

posterior a su salida del horno, si la temperatura del ambiente es de 70 F.

c) Suponga que la poblacin de cierta comunidad aumenta a una rapidez proporcional al

nmero de personas presentes, en cualquier instante. Encuentre la poblacin ( )P t para

cualquier instante, si la poblacin se ha duplicado en 5 aos. En cunto tiempo se

triplicar, y en cuanto se cuadruplicar?

d) La poblacin ( )y t de una cierta ciudad satisface la ley logstica 28

1 1

100 10

dyy y

dt,

donde el tiempo t se mide en aos. Suponiendo que la poblacin de esta ciudad es 100000

en 1980, determine

i) La poblacin como una funcin del tiempo t

ii) La poblacin en el ao 2000

iii) El ao en que se duplicar la poblacin de 1980

iv) El comportamiento de la poblacin cuando t

e) Este es el modelo para la propagacin de una infeccin o un rumor en una poblacin fija.

Supngase que un estudiante portador de un virus de gripe regresa a un campus

universitario, aislado, que tiene 1000 estudiantes. Supongamos que la rapidez con que el

virus se propaga es proporcional, no slo al nmero de estudiantes contagiados sino

tambin al nmero de estudiantes no contagiados. Determinar el nmero de estudiantes

contagiados despus de 6 das, si adems se observa que despus de 4 das ya eran 50 los

contagiados.

f) En 1950 se hicieron excavaciones en Nipur (Babilonia) en los cuales se encontraron

muestras de carbn que reportaron 4.09 desintegraciones por minuto y por gramo. Una

muestra actual report 6.68 desintegraciones por minuto y por gramo. Se sabe que la

primera muestra se form en la poca del reinado de Hammurabi. Con estos datos,

determine hace cuanto tiempo Hammurabi rein en Babilonia.

4

g) Una barra metlica a una temperatura de 100F se pone en un cuarto a una temperatura

constante de 0F. Despus de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50F.

i) Cunto tiempo tardar la barra para llegar a una temperatura de 25F?

ii) Cul ser la temperatura de la barra despus de 10 minutos?

h) Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una temperatura

constante de 1F. Si despus de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40F y despus

de 40 minutos la temperatura del cuerpo es de 20F, hallar la temperatura inicial de ste.

i) Un tanque contiene inicialmente 60 galones de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de 2

gal/min, salmuera que contiene 1 libra de sal por galn, y la solucin (perfectamente

mezclada) sale de l a razn de 3 gal/min. Obtenga el nmero de libras A t de sal que hay

en el tanque en un instante cualquiera. Cunto demorar el tanque en vaciarse? Cul es la

mxima cantidad de sal que llega a tener el tanque?

j) Una cierta presa, en su mxima capacidad, contiene 1000 millones de metros cbicos de

agua. En un instante dado, estando llena la presa, tiene una masa de 2 toneladas de

contaminantes, distribuida en forma homognea. Suponga que en temporada de lluvias

entra agua a la presa a razn de 10 millones de metros cbicos por da, con una masa de

contaminantes de 0.09% toneladas por milln de metros cbicos de agua y sale con la

misma rapidez. Determine la cantidad de contaminantes en la presa en cualquier instante.

En cunto tiempo se reducir la contaminacin total de la presa a 1.2 toneladas?

k) Un tanque contiene inicialmente 100 decilitros de agua, en el cual se disuelven 80Kg de

sal. Se introduce en el tanque agua pura a velocidad de 4 dl/min y la mezcla, conservada

homognea mediante agitacin, sale a la misma velocidad y va a parar a un segundo tanque

que contiene al principio 100 dl de agua pura. Agitando se mantiene homognea la mezcla

que sale de este segundo tanque a la misma velocidad ya citada. Hallar la cantidad de sal en

el segundo tanque al cabo de 1 hora.

l) Encuentre las trayectorias ortogonales para la familia de curvas dadas

i) xy Ce ii) 2 2 2x y Cx

Trace la grfica de algunas curvas de la familia y de las trayectorias ortogonales.

m) Determine el miembro de la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas

dadas, que pasa por el punto indicado

i) sin ; 0,2y C x ii) 1

; 2,3ln

yCx

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n) El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si

inicialmente hay 10 grs y despus de 2 horas se ha perdido el 5% de su masa original, hallar

i) La cantidad restante de uranio como funcin del tiempo

ii) La cantidad de uranio despus de 5 horas

) Cierto material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad

existente en cada instante. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observ

que despus de 3 horas, solamente permaneca el 80% de su masa original. Hallar

i) La cantidad restante de masa en cualquier instante

ii) Qu cantidad de material hay despus de 5 horas?

iii) Cunto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de material sea un cuarto

de la cantidad inicial?

o) Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a

la cantidad de radio presente. Su vida media es de 1600 aos. Qu porcentaje desaparecer

en un ao?

p) Se sabe que un material radiactivo se desintegra con una rapidez proporcional a la

cantidad presente en cualquier instante. Si inicialmente hay 100 mg de material y, despus

de 2 aos, se observa que el 5% de la masa original se desintegr. Determine

i) Una expresin para la masa en el instante t

ii) El tiempo necesario para que se desintegre el 10% de la masa original

q) Un material radiactivo se desintegra dos tercios en 1000 aos. Determine su vida media.

r) Se ha detectado que el 0.5% de una sustancia radiactiva desaparece en 12 aos

i) Qu porcentaje desaparecer en 1000 aos?

ii) Cul es la vida media de dicha sustancia?

s) Se encontraron huesos fsiles de un animal. Se analizaron y se detect que cada hueso

contena una centsima parte de C-14 radiactivo. Determine la antigedad aproximada de

los huesos encontrados.

Junio, 2013