1_ANTOLOGIA_SASHIDA_V2
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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN SEA UNIDAD PÁTZCUARO ANTOLOGÍA PARA LA ASIGNATURA DE DOCENTE DE ASESORIA: M. C. ELEAZAR SASHIDA ROJAS. PÁTZCUARO, MICHOACÁN., 2008 1
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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN
SEA UNIDAD PÁTZCUARO
ANTOLOGÍA PARA LA ASIGNATURA DE
DOCENTE DE ASESORIA:
M. C. ELEAZAR SASHIDA ROJAS.
PÁTZCUARO, MICHOACÁN., 2008
1
ÍNDICE
1. PRESENTACIÓN
2. FUNDAMENTACIÓN DIDÁCTICA
3
3. OBJETIVOS
4
4. SUSTENTO O ENFOQUE TEÓRICO METODOLÓGICO
4
5. UNIDADES TEMÁTICAS CONSIDERADAS
5
UNIDAD I. LÍMITES
7
TEMA 1.1. LÍMITES 8 1.1.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Y LÍMITES LATERALES 8 1.1.2. TEOREMAS (PROPIEDADES DE LOS LÍMITES) 10 1.1.3. LÍMITES DE FUNCIONES 15 1.1.4. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO 25 TEMA 1.2. TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 29 1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD 29 1.2.2. TEOREMAS DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS 33 AUTO VALUACIÓN 34 UNIDAD II. LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA 37 TEMA 2.1. LA DERIVADA 38 2.1.1. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA 38 2.1.2. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA 42 2.1.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 42 2.1.4. DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO 42 TEMA 2.2. REGLAS DE DERIVACIÓN 43 2.2.1. REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS 43 2.2.2. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
60
2.2.3. REGLA DE LA CADENA 80 TEMA 2.3. DERIVACIÓN IMPLÍCITA 85 2.3.1. DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS 85TEMA 2.4. ECUACIONES Y; LONGITUDES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA DERIVADA 90 2.4.1. ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y LA NORMAL 90 2.4.2. LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL 94 AUTO EVALUACIÓN 96 UNIDAD III. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS. 100 TEMA 3.1. APLICACIONES DE LA DERIVADA 101 3.1.1. CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS CON LA PRIMERA DERIVADA 101 3.1.2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 115 3.1.3. CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON LA SEGUNDA DERIVADA 118 3.1.4. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 129 3.1.5 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN 132 AUTO EVALUACIÓN 136 RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS AUTOEVALUACIONES 138RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES 146 6. BIBLIOGRAFÍA 149
7. GLOSARIO 149
2
1. PRESENTACIÓN
EL PROPÓSITO DE ESTA ANTOLOGÍA DE LA ASIGNATURA DE CÁLCULO DIFERENCIAL ES AYUDAR AL
ESTUDIANTE A COMPRENDER Y UTILIZAR LOS PROCESOS DE DERIVACIÓN Y APLICACIÓN DE LAS
DERIVADAS. AL DOCENTE COMO MATERIAL DIDÁCTICO DE DICHA ASIGNATURA DEL TRONCO
PROPEDÉUTICO, PARA QUE EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE TENGA RESULTADOS EFICIENTES EN
ESTE CAMPO MATEMÁTICO QUE ES DE SUMA IMPORTANCIA EN LA FORMACIÓN DEL ALUMNO.
EL CONTENIDO PROGRAMÁTICO DE ESTA ASIGNATURA ES DE TRES UNIDADES LAS CUALES SE
ORIENTARON ENTRE MÓDULOS PARA SU ESTUDIO QUE CONFORMAN EL CURSO DE CÁLCULO
DIFERENCIAL EN NIVEL MEDIO SUPERIOR. ESTA ANTOLOGÍA CONTIENE EJERCICIOS QUE VAN DE LO
SENCILLO A LO COMPLEJO, PARA CUBRIR LOS NIVELES DEL CONOCIMIENTO REQUERIDOS EN EL
PROGRAMA DEL COBAEM, CON LA INTENCIÓN DE AUXILIAR EN ESTE PROCESO EDUCATIVO.
ESTE MATERIAL ESTÁ ENMARCADO EN EL APARTADO DE ANÁLISIS DE FUNCIONES PARA SU DERIVACIÓN
Y APLICACIÓN, SE TRATA DE UN MATERIAL DE TRABAJO, DIRIGIDO TANTO AL PROFESORADO DEL NIVEL
MEDIO SUPERIOR DEL COBAEM, COMO APOYO A LA PROPUESTA DE TRABAJO DE DICHA ASIGNATURA EN
EL SEA-PÁTZCUARO.
EL PROPÓSITO DE SU ELABORACIÓN ES INFORMAR, ORIENTAR Y ASESORAR A LOS EDUCANDOS DEL
COLEGIO DE BACHILLERES DE MICHOACÁN, EN LA COMPRESIÓN Y EJERCITACIÓN DEL ANÁLISIS DE
DERIVADAS, ASÍ COMO DAR RESPUESTA A SUS INQUIETUDES DE APRENDIZAJE. ES DE SUMA
IMPORTANCIA HACER MENCIÓN QUE MUCHOS DE LOS CONTENIDOS DE ESTE DOCUMENTO HA SIDO
RECOPILACIÓN DE UN SIN NUMERO DE LIBROS Y DE AUTORES POR LO QUE AGRADEZCO LA
OPORTUNIDAD DE PODER HACER USO DE ELLOS, CON LA FINALIDAD DE ESTABLECER UNA FACILIDAD EN
EL USO Y LA ASIMILACIÓN DEL CONOCIMIENTO. VER LA BIBLIOGRAFÍA AL FINAL DE CADA UNIDAD.
AGREGANDO NOVEDADES ENCONTRADAS EN LA BIBLIOGRAFÍA CITADA.
2. FUNDAMENTACIÓN DIDÁCTICA
AL REALIZAR ESTA ANTOLOGÍA D ERIVADAS DE FUNCIONES DE LA ASIGNATURA DE CÁLCULO DIFERENCIAL
HE PROPUESTO ANTE TODO OFRECER A LOS ALUMNOS DEL COBAEM UN TRABAJO QUE REALMENTE LES
SEA DE UTILIDAD EN EL ESTUDIO DE ESTA ASIGNATURA. PERMITIENDO EL ANÁLISIS DE FUNCIONES PARA
ADQUIRIR HABILIDADES Y DESTREZAS PARA RESOLVER FUTUROS PROBLEMAS, ADEMÁS DE COMENZAR
CON EJERCICIOS SENCILLOS QUE LES PERMITE IR MEJORANDO Y AGREGANDO, POCO A POCO, LOS
TEMAS FUNDAMENTALES DE LA MATEMÁTICA. POR ESA RAZÓN DECIDÍ PRESENTAR UNA NUEVA
ANTOLOGÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL QUE NOS AYUDARA A TENER UN MEJOR DESEMPEÑO EN
NUESTRAS ASESORÍAS INDIVIDUALES O GRUPALES DEL SEA-PÁTZCUARO. SE FIJAN LOS CONCEPTOS E
IDEAS FUNDAMENTALES A TRAVÉS DE ESTOS EJERCICIOS, DESARROLLANDO LA CAPACIDAD DE
DESTREZA MENTAL O FACILITANDO EL REPASO DE LOS TEMAS QUE INCLUYEN LOS MATERIALES DEL
CURSO ESTÁNDAR DE CÁLCULO DIFERENCIAL. AGREGANDO TEOREMAS DE LA MATEMÁTICA
ENCONTRADAS EN LA BIBLIOGRAFÍA CITADA PARA SU DEMOSTRACIÓN. LA MECÁNICA DE TRABAJO QUE
HE SEGUIDO ES LA SIGUIENTE, ACORDE CON LAS PARTES DE ESTA ANTOLOGÍA PARA REPASAR LOS
CONCEPTOS, DEMOSTRACIONES Y APLICACIONES PRÁCTICAS, QUE SIRVAN COMO UNA INTRODUCCIÓN A
LOS TEMAS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CUYOS CONTENIDOS SE DETALLAN.
ESTE MATERIAL CONTIENE DEFINICIONES, TEOREMAS, AXIOMAS, CONCEPTOS Y EJERCICIOS DEL ANÁLISIS
DE DERIVADAS CON BIBLIOGRAFÍA DIVERSA. LA PRESENTE ANTOLOGÍA TENDRÁ UNA EVALUACIÓN
FORMATIVA Y LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PLANTEADOS UNA EVALUACIÓN SUMATIVA, LA CUÁL
3
TENDRÁN UN PESO ESPECÍFICO DE 1 A 2 PUNTOS ADICIONALES EN CASO DE APROBAR LA ASIGNATURA
EN EXAMEN ESCRITO POR ACUERDO DE ACADEMIA.
3. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA DE CÁLCULO DIFERENCIAL
EL ESTUDIANTE: RESOLVERÁ PROBLEMAS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD QUE CONFORMAN DERIVADAS Y DIFERENCIALES, A PARTIR DE LA GENERACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS EN UNA VARIEDAD DE FENÓMENOS CIENTÍFICOS DERIVADOS DE LAS CIENCIAS NATURALES, ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS Y SOCIALES; QUE PERMITAN LA APLICACIÓN Y DESARROLLO DE LOS PRINCIPIOS TEÓRICOS, REGLAS E INTERPRETACIÓN GRÁFICA, SOBRE LÍMITES, RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA, ASÍ COMO EL CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES QUE SE RELACIONEN ENTRE SÍ; COLABORANDO A GENERAR UN AMBIENTE DE APRENDIZAJE COLABORATIVO, REFLEXIVO Y ANALÍTICO.
4. SUSTENTO O ENFOQUE TEÓRICO METODOLÓGICO
UNA APROXIMACIÓN CONSTRUCTIVISTA ES LA QUE SE UBICA EN ESTA ANTOLOGÍA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL, EN PRINCIPIO, COMO UNA ACTITUD EN CONTRA DE LAS POSTURAS QUE CONCIBEN EL
CONOCIMIENTO COMO UNA COPIA DEL MUNDO O COMO ALGO YA DADO EN LA REALIDAD O EN EL
INTERIOR DEL SUJETO. SE AFIRMA, POR LO TANTO, LA PRESENCIA DE LA ACTIVIDAD DEL SUJETO
COGNOSCENTE EN EL PROCESO DE CONOCIMIENTO, ACTIVIDAD ENTENDIDA, EN EL MARCO DE LA
EPISTEMOLOGÍA GENÉTICA. CONOCER IMPLICA, ENTONCES, UN PROCESO DE CONSTRUCCIÓN
REALIZADO POR EL SUJETO EN SU INTERACCIÓN CON LO REAL; ASÍ, PUEDE AFIRMARSE QUE EL
CONOCIMIENTO SE CONSTRUYE, NO SE TRANSMITE. EL MERO SEGUIMIENTO DEL RECORRIDO
INTELECTUAL DE OTROS, NO GARANTIZA QUE SE DÉ UN PROCESO DE CONSTRUCCIÓN DEL
CONOCIMIENTO POR LO QUE ES A TRAVÉS DE ESTE TRATADO QUE DEMANDA ALTOS NIVELES DE
PROCESAMIENTO COMO ES LA HEURÍSTICA MODERNA QUE SE TRATA DE APLICAR CON LA PARTE
TEÓRICA Y PRÁCTICA A TRAVÉS DE LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN.
AL ASUMIR COMO PUNTO DE PARTIDA LAS CONCEPCIONES Y EL ENFOQUE TEÓRICO-METODOLÓGICO
EXPUESTOS EN EL APARTADO ANTERIOR, SURGE EL PLANTEAMIENTO DE UNA SERIE DE ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS PARA PROPICIAR LA CONSTRUCCIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS, MISMAS
QUE HABRÁN DE ESTAR PRESENTES EN LA ANTOLOGÍA Y QUE, DE ALGUNA MANERA, DETERMINARON
LAS CARACTERÍSTICAS DE SU DISEÑO, ORGANIZACIÓN Y FORMA DE UTILIZACIÓN.
A) ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
SE PARTE DE QUE EL ALUMNO NO ES UNA TABLA RAZA COMO TRATA LA PSICOLOGÍA EDUCATIVA "EL
PUNTO DE PARTIDA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CONCEPTOS Y MÉTODOS DEBERÁ SER EL
CONOCIMIENTO QUE EL JOVÉN POSEE"5. LA ESTRATEGIA DIDÁCTICA FUNDAMENTAL PARA LA
CONSTRUCCIÓN DE LOS CONOCIMIENTOS MATEMÁTICOS SERÁ EL TRATAMIENTO DE LOS CONTENIDOS
B) DISEÑO Y ORGANIZACIÓN
LOS CONTENIDOS DE LOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS PARA EL BACHILLERATO, Y EN
CONSECUENCIA PARA LA ANTOLOGÍA CORRESPONDIENTES, SE SELECCIONARON CON BASE EN EL
CONOCIMIENTO QUE ACTUALMENTE SE TIENE SOBRE EL DESARROLLO COGNOSCITIVO DEL JÓVEN
BACHILLER (A TRAVÉS DE ESTUDIOS PSICOGENÉTICOS CON UN ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA), Y SOBRE
LOS PROCESOS QUE ÉSTE SIGUE EN LA CONSTRUCCIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS
4
C) FORMA DE UTILIZACIÓN
CON LAS CARACTERÍSTICAS MENCIONADAS, LA ANTOLOGÍA DEJAN DE SER UN MATERIAL PARA SER
SOLAMENTE LEÍDO Y PASA A SER "UNA ANTOLOGÍA DE CONTENIDOS Y RELACIONES TEMÁTICAS PARA
SER CONSTRUIDAS" EN INTERACCIÓN ALUMNO-ASESOR, DURANTE LAS ASESORÍAS GRUPALES O
FORMACIÓN DE CÍRCULOS DE ESTUDIO; ESTA EXPERIENCIA DE CONSTRUCCIÓN EN EL APRENDIZAJE
DE LAS MATEMÁTICAS DEL QUINTO SEMESTRE. LAS ACTIVIDADES E INFORMACIÓN QUE VIENEN AL
FINAL DE CADA TEMA LOGRAN LLEGAR AL NIVEL DE CONOCIMIENTO REQUERIDO POR LO QUE SE
RECOMIENDA LEER LOS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Y LOCALIZAR LOS APRENDIZAJES UBICADOS.
DESARROLLO TEMÁTICO
EL TEMA CENTRAL ES LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES POR LO QUE SE ESTUDIA LA NOCIÓN DE FUNCIÓN
ESENCIAL PARA EL ESTUDIO DE LA DEPENDENCIA DE LAS MAGNITUDES VARIABLES QUE INTERVIENEN
EN CUALQUIER FENÓMENO, PROPORCIONANDO AL ESTUDIANTE UN INSTRUMENTO ÚTIL PARA
MODELAR Y ANALIZAR GRAN CANTIDAD DE SITUACIONES EN TODOS LOS CAMPOS DEL CONOCIMIENTO.
ASÍ, EL ESTUDIO DE LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES, EN EL QUINTO SEMESTRE DEL PLAN DE
ESTUDIOS DEL BACHILLERATO, POSIBILITA NO SÓLO QUE EL ESTUDIANTE CONCLUYA EL COMPONENTE
DE FORMACIÓN BÁSICA CONSOLIDANDO Y AMPLIANDO SUS CONOCIMIENTOS ALGEBRAICOS SOBRE
VARIABLES Y ECUACIONES INICIADO EN MATEMÁTICAS I; LOS DEL COMPORTAMIENTO DE LAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ABORDADOS EN MATEMÁTICAS II (UBICÁNDOLAS COMO UN TIPO
PARTICULAR DE FUNCIONES TRASCENDENTES) Y LOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES
ADQUIRIDOS MEDIANTE EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA EN MATEMÁTICAS III Y MATEMÁTICAS
IV (TEORÍA DE FUNCIONES) SINO TAMBIÉN, PERMITIRÁ QUE APLIQUE ESPECÍFICAMENTE DICHOS
CONOCIMIENTOS EN LA MODELACIÓN DE FENÓMENOS, EN LA ASIGNATURA DE FÍSICA II QUE SE
IMPARTE EN EL MISMO SEMESTRE Y, MÁS ALLÁ, CONSTITUYEN UNA BASE IMPORTANTE EN LOS
SEMESTRES SUBSECUENTES, PARA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL, MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Y PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA, EN EL COMPONENTE DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA.
5. CONTENIDOS DEL PROGRAMA DE CÁLCULO DIFERENCIAL
LOS CONTENIDOS GENERALES DE LA ASIGNATURA SON: FUNCIONES, INECUACIONES, LÍMITES,
CONTINUIDAD, REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES, ASÍ COMO
SUS APLICACIONES. POR SU UBICACIÓN EN EL MAPA CURRICULAR DEL BACHILLERATO GENERAL, EL
CÁLCULO DIFERENCIAL TIENE COMO INTENCIÓN EL CUMPLIR CON UNA FUNCIÓN PROPEDÉUTICA, DE
PREPARACIÓN PARA ASUMIR LOS RETOS QUE IMPONE EL NIVEL DE LICENCIATURA.
EL ENFOQUE METODOLÓGICO DEL CURSO ESTÁ INMERSO EN EL MODELO EDUCATIVO CENTRADO EN EL
APRENDIZAJE, QUE PRIVILEGIA LA ACTIVIDAD PERMANENTE Y SISTEMÁTICA DEL ESTUDIANTE PARA
GUIAR LA ACCIÓN PEDAGÓGICA CON UN SENTIDO ORIENTADOR Y DE FACILITACIÓN DEL APRENDIZAJE.
LO ANTERIOR IMPLICA QUE EL PROFESOR DEBE PLANEAR E INSTRUMENTAR CADA SESIÓN DE CLASE
PARA CONDUCIR EL PROCESO DE APRENDIZAJE CON MÉTODOS Y HERRAMIENTAS DE TRABAJO QUE
CONLLEVEN AL LOGRO DE LOS OBJETIVOS PLANTEADOS EN CADA UNIDAD, Y PERMITAN MONITOREAR
LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA QUE LOS ESTUDIANTES, A TRAVÉS DE GUÍAS (INSTRUCTIVOS,
LISTAS DE COTEJO, GUÍAS DE OBSERVACIÓN, DE LECTURAS, DE DISCUSIONES, ENTRE OTROS)
IDENTIFIQUE LOS REQUISITOS DE CALIDAD EN CADA UNA DE ELLAS Y ESTO SIRVA PARA DESARROLLAR
UN PROCESO EVALUATIVO CONTINUO; ANTES DE INICIAR UNA ETAPA DE APRENDIZAJE (EVALUACIÓN
DIAGNÓSTICA) QUE CONECTE EL CONOCIMIENTO PREVIO DEL ALUMNO CON LOS NUEVOS CONTENIDOS;
DURANTE EL PROCESO FORMATIVO QUE PERMITA IDENTIFICAR ACIERTOS, OMISIONES O ERRORES QUE
LO PREPAREN PARA PRESENTAR LAS EVIDENCIAS CRÍTICAS DE SU APRENDIZAJE CON FINES DE
5
ACREDITACIÓN O PROMOCIÓN ACADÉMICA. ESTE ENFOQUE SE RELACIONA CON LAS LÍNEAS DE
ORIENTACIÓN CURRICULAR QUE A CONTINUACIÓN SE DESCRIBEN.
ÍNDICE DE CONTENIDOS DEL PROGRAMA
UNIDAD I. LÍMITES p. 7
UNIDAD II. LA RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA p. 37
UNIDAD III. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES p.100
6
Límites
MÓDULO I PROPÓSITOS DE LA UNIDAD I
EL ALUMNO: RESOLVERÁ PROBLEMAS DE LÍMITES EN LAS CIENCIAS NATURALES, ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS Y
SOCIALES; MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LÍMITES Y EL EMPLEO DE SUS TEOREMAS MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU COMPORTAMIENTO GRÁFICO, CON UNA ACTITUD ANALÍTICA Y PARTICIPATIVA.
1.1 LIMITES 1.1.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LIMITE Y LIMITES LATERALES
OBJETIVOS DEL SUBTEMA: EL ESTUDIANTE: 1. IDENTIFICARA EL LIMITE A PARTIR DE SU NOCIÓN INTUITIVA. (DC, EA) 2. DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE LIMITE DE UNA FUNCIÓN Y LA FORMA EN QUE SE DENOTA. (DF, EA) 3. IDENTIFICARA A PARTIR DE EJEMPLOS DADOS LA FORMA COMO SE REPRESENTAN LOS LIMITES
LATERALES. (DC, EA) ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS LIMITES: LOS INICIADORES DEL CALCULO FUERON GUILLERMO LEIBNITZ E ISAAC NEWTON EN EL SIGLO XVI A
PARTIR DE LA NECESIDAD DE RESOLVER CIERTOS TIPOS DE PROBLEMAS, AUNQUE HUBO TRABAJOS PREVIOS QUE LE FUNDAMENTAN COMO LO FUE LA OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL CONO POR DEMOCRITO DE TRACIA Y LA DETERMINACIÓN POR PRIMERA VEZ DEL ÁREA DEL CIRCULO POR HIPÓCRATES (NADA QUE VER CON EL PADRE DE LA MEDICINA).
EL CONCEPTO COMPARTIDO EN AMBOS CASOS (TANTO EN EL CIRCULO COMO EN EL CONO) FUE EL DE LAS
APROXIMACIONES, DE LAS CUALES NACE LA PRIMERA IDEA DE LIMITE, CONCEPTO BÁSICO QUE FUNDAMENTE AL CALCULO.
EN EL CASO DEL CIRCULO HIPÓCRATES REALIZO LA INSCRIPCIÓN DE POLÍGONOS DENTRO DE UNA
CIRCUNFERENCIA, VIENDO QUE A MEDIDA QUE AUMENTABA EL NUMERO DE LADOS EL ÁREA DEL POLÍGONO AUMENTABA, ACERCÁNDOSE CADA VEZ AL VALOR DEL ÁREA DEL CIRCULO, MOTIVO POR EL CUAL POR MEDIO DE APROXIMACIONES DETERMINO QUE LLEGARÍA EL MOMENTO EN QUE EL VALOR DEL ÁREA DEL POLÍGONO INSCRITO SERIA IGUAL AL ÁREA DEL CIRCULO, ES DECIR QUE EL LIMITE DEL POLÍGONO INSCRITO ERA EL ÁREA DEL CIRCULO.
DEFINICIÓN DEL LIMITE DE UNA FUNCIÓN:
8
SI f ES UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN [a, b] CON LA POSIBLE EXCEPCIÓN DE c ∈ [a, b], DECIMOS QUE L ES EL LIMITE DE f CUANDO x TIENDE A c, SI DADO UN ARGUMENTO x MUY CERCANO A c (TAN PRÓXIMO COMO SE DESEE) HALLAMOS QUE SU IMAGEN ESTA TAMBIÉN MUY CERCA DE L.
NOTACIÓN DEL LIMITE DE UNA FUNCIÓN: EL LIMITE DE UNA FUNCIÓN SE PUEDE DENOTAR DE 2 FORMAS: 1. L)x(fim = QUE SE LEE: “EL LIMITE DE UNA FUNCIÓN f, CUANDO x TIENDL
cx→E A c, ES L”
. QUE SE LEE: “LA FUNCIÓN f EN x TIENDE A L, CUANDO x TIENDE A c”
IMITES LATERALES:
ON UNA HERRAMIENTA DESARROLLADA PARA DAR LUGAR A PRECISIONES.
EFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES:
ECIMOS QUE:
) L1 ES EL LIMITE DE f POR LA IZQUIERDA CUANDO x TIENDE A c, Y LO REPRESENTAMOS POR:
I CONFORME SE TO RGUMENTOS CERCANOS A c, CON x < c (A SU IZQUIERDA), SE OBSERVA QUE TAM
B) L2 ES EL LIMITE DE f POR LA DERECHA CUANDO x TIENDE A Y LO REPRESENTAMOS POR:
I CONFORME x SE APROXIMA A c CON x > c (A SU DERECHA), SE OBSERVA QUE TAMBIÉN f(x) SE APROXIMA A L
L LIMITE DE LA FUNCIÓN f EN x = c EXISTE, SI EXISTEN SUS LIMITES LATERALES Y ESTOS SON IGUALES. ASÍ, SI TENEMOS:
NTONCES:
cxcxcx →→→
N EJEMPLOS DE LIM TES EJEMPLOS:
im1x +−
ECHA
. LATERAL POR LA IZQUIERDA
. LATERAL POR AMBOS LADOS
2 cxsi,L)x(f →→ L S D D A
1cx −→
L)x(fLim =
S MAN ABIÉN f(x) SE APROXIMA A L1.
c,
2cx +→
L)x(fLim =
S2. PROPIEDAD DE LOS LIMITES LATERALES: E
)x(fLim)x(fLim
cxcx +− →→=
EfLim)x(fLim)x(fLim ==
+−)x(
SO ITES LATERALES LOS SIGUIEN 1. 2xL −
→ LATERAL POR LA DER3
4x5Lim8x
−−→
2
3 1x9Lim10x
−→
9
EMAS (PROPIEDADES) DE LOS LIMITES
BJETIVOS DEL SUBTEMA:
1. IDENTIFICARA LAS FORMAS COMO SE DENOTAN LAS PROPIEDADES O TEOREMAS DE LOS LIMITES DE
CONTENIDO:
MOS QUE EXISTEN Y EL , ENTONCES
TEN E I. LIMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES:
1.1.2 TEOR OEL ESTUDIANTE:
FUNCIONES. (DC, EA)
SEAN f Y g DOS FUNCIONES Y VERIFICA )x(fLim
cx→ )x(gLim
cx→DR MOS:
[ ( ) ( )] ( ) ( )xgLimxfLimxgcxxcx →→→
+=
NCIONES:
xfLim +c
II. LIMITE DE LA DIFERENCIA DE FU( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLim
cxcxcx →→→−=−
III. LIMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES: ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLim
cxcxcx →→→•=•
IV. FUNCIONES: LIMITE DEL COCIENTE DE
( )( )
( )( ) ( ) 0xgLimsi,xgLimxg
xfLimcx
cxcx
≠=⎥⎦
⎢⎣ →
→
→
xfLim⎤⎡
==
EL LIMITE DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A LA MISMA CONSTANTE. VI. LIMITE DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN:
cx→V. LIMITE DE UNA CONSTANTE
tetanconsksikkLimcx→
SI )x(fLim EXISTE, ENTONCES: cx→
( ) ( )xfLimkxfkLimcxcx →→
•=
ES DECIR, LAS CONSTANTES QUE MULTIPLICAN A UNA FUNCIÓN “ENTRAN “ O “SALEN” DEL LIMITE, SIN QUE ESTO LO ALTERE.
VII. LIMITE DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA: ( )NncxLim nn
cx∈=
→
VIII. LIMITE DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL: ( ) ( )cpxpLim
cx=
→
IX. LIMITE PARA FUNCIONES CON RADICALES: ( ) ( ) ( ) 0xfsixfLimxfLim
cxcx≥=
→→
PARA OBTENER EL VALOR DE UN LIMITE, DEBEMOS DE SUSTITUIR EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE
INDEPENDIENTE, EL RESULTADO QUE DEBEMOS DE OBTENER DEBE DE SER UN VALOR REAL, ES DECIR QUE NO PODEMOS ACEPTAR QUE EL RESULTADO DE UN LIMITE SEA INFINITO.
CUANDO LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE INDEPENDIENTE SEA INFINITO,
PODEMOS RECURRIR A LA FACTORIZACION PARA ROMPER LAS INDETERMINACIONES, EN CASO DE QUE NI CON LA FACTORIZACION PODAMOS ROMPER LAS INDETERMINACIONES, DIREMOS QUE EL RESULTADO DEL LIMITE NO EXISTE O QUE SU VALOR ES INFINITO.
LAS FACTORIZACIONES QUE MAS SE UTILIZAN EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES SON LAS SIG
UIENTES:
FAC POR
UN LIMITE FACTORIZACMAYORMEN ROS TIPOS DE FACTORIZACION, ES DECIR, QUE DESPU TIENEN QUE APLICAR LOS OTROS TIPOS DE FACTORIZACAL EJERCICDESPUÉS DTRINOMIO D
TOR COMÚN MONOMIO
LO GENERAL ESTA DEBE DE SER EL PRIMER TIPO DE FACTORIZACION QUE DEBEMOS DE APLICAR EN QUE NOS HA DADO COMO RESULTADO UNA INDETERMINACIÓN (∞). A VECES CON ESTA ION SE LOGRA ROMPER LA INDETERMINACIÓN, PERO A DECIR VERDAD, ESTA FACTORIZACION
TE SOLO SIRVE PARA DEJAR AL DESCUBIERTO A LO OTSÉS DE APLICAR EL FACTOR COMÚN MONOMIO SE ION QUE SE MENCIONAN MAS ADELANTE, ASÍ QUE POR ESO LO PRIMERO QUE SE LE DEBE HACER
IO DE LIMITE ES BUSCARLE SU FACTOR COMÚN A CADA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y REVISAR SI E ESTA FACTORIZACION APARECIÓ YA SEA UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS O UN EL TIPO x2 + bx + c O ax2 + bx + c.
10
EL PROC
ICIENTES DE TODOS LOS TÉRMINOS, ES DECIR EL NUMERO MAS GRANDE QUE PUEDA
DOS LOS COEFICIENTES DE TAL MANERA QUE LOS RESULTADOS DE TODAS LAS DIVISIONES SEAN NÚMEROS ENTEROS, POR EJEMPLO: SI TUVIÉRAMOS LA EXPRESIÓN: 24x4y2 + 36x3y + 72x2
LOS NÚMEROS QUE PUEDEN DIVIDIR AL 24, AL 36 Y AL 72 DANDO COMO RESULTADOS NÚMEROS S SON EL 2, 4, 6 Y EL 12. TODOS LOS NÚMEROS A ORES SON DIVISORES COMUNES
ERO EL MÁXIMO, O MAS GRANDE DE ELLOS ES EL DOCE, ESE ES EL QUE NOS INTERESA YA QUE
HAY UE CUMPLIR ES QUE SI SE
EDIMIENTO PARA FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN MONOMIO ES EL SIGUIENTE. EL FACTOR COMÚN ESTA FORMADO DE DOS PARTES, UNA PARTE NUMÉRICA Y UNA PARTE LITERAL, CADA UNA DE ELLAS SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE FORMA: PARTE NUMÉRICA: SE OBTIENE SACANDO EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE LOS COEFDIVIDIR A TO
ENTEROP
NTERI
ES EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR. ASÍ QUE LA PARTE NUMÉRICA DE SU FACTOR COMÚN ES 12. OTRA FORMA DE OBTENERLO ES CON LA FORMA CLÁSICA DE IR DIVIDIENDO LOS NÚMEROS ENTRE SUS FACTORES PRIMOS (2, 3, 5, 7, 11….ETC.) LO QUE CONOCEMOS COMO MITADES, TERCERAS, QUINTAS, SÉPTIMAS, ETC, LA ÚNICA CONDICIÓN QUE QSACA MITAD HAY QUE SACARLA A TODAS LOS NÚMEROS, SI A UNO NO SE LE PUEDE SACAR MITAD ENTONCES NO SE LE SACA MITAD A NINGUNO, PARA LOS NÚMEROS DEL EJEMPLO NOS QUEDARÍA ASÍ:
PARTE LITERAL: ESTA SE FORMA CON LAS VARIABLES DE LOS TÉRMINOS QUE APARECEN EN LA
LITERAL ES x
XPRESIÓN ES 12x . Y QUE TENER EN CUENTA QUE NO SIEMPRE LAS EXPRESIONES TENDRÁN LAS DOS PARTES,
NUMÉRICA O PARTE LITERAL E INCLUSO ALGUNAS NO ODRÁN FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN.
DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN ULTADOS DE ESTAS DIVISIONES SE
EL FACTOR COMÚN, ES OS, EN EL
MA QUE LA DE LA EXPRESIÓN INICIAL. NO DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN
EXPRESIÓN ALGEBRAICA, LA CONDICIÓN QUE TENEMOS QUE CUMPLIR ES QUE LAS VARIABLES SELECCIONADAS APAREZCAN EN TODOS LOS TÉRMINOS, UNA VEZ SELECCIONADAS LAS VARIABLES QUE APARECEN EN TODOS LOS TÉRMINOS, A CADA UNA DE ELLAS SE LE ASIGNARA EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE EN DICHOS TÉRMINOS. AHORA SI TOMAMOS ESTOS MISMOS TÉRMINOS 24x4y2 + 36x3y + 72x2 Y OBTENEMOS SU PARTE LITERAL, VEREMOS QUE LA ÚNICA VARIABLE QUE APARECE EN LOS 3 TÉRMINOS ES LA x, YA QUE LA y NO APARECE EN EL TERCER TERMINO. EL EXPONENTE QUE LE ASIGNAREMOS A LA x SERÁ EL DOS, YA QUE ESTE ES EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE, POR LO QUE LA PARTE
2.
ASÍ QUE EL FACTOR COMÚN DE TODA LA E 2
HAHAY ALGUNAS QUE SOLO TENDRÁN PARTETENDRÁN NINGUNA, ES DECIR QUE NO SE PUNA VEZ ENCONTRADO EL FACTOR COMÚN, CADA UNOINICIAL SE DIVIDE ENTRE EL FACTOR COMÚN, LOS RESCOLOCAN EN UN PARÉNTESIS EL CUAL SE MULTIPLICARA POR IMPORTANTE TENER EN CUENTA QUE SI INICIALMENTE LA EXPRESIÓN TENIA 3 TÉRMINPARÉNTESIS DEBEN DE HABER TAMBIÉN 3 TÉRMINOS, ES DECIR, LA CANTIDAD DE TERMINES EN EL PARÉNTESIS DEBERÁ SER LA MISTERMINANDO LA FACTORIZACION SE DIVIDE CADA UINICIAL ENTRE EL FACTOR COMÚN:
6x12x72xy3
x12yx36yx2
x1222
2=
yx242
2
2
3==
EMOS EN UN PARÉNTESIS EL CUAL ESTARÁ
ACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:
NA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS PRESENTA LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS:
) ESTA COMPUESTO DE DOS TÉRMINOS
C) UNO LA FORMA EN QUE SE FACTORIZA ES LA SIGUIENTE:
OS DE ESTAS RAÍCES SE COLOCAN EN PAREJAS EN DOS PARÉNTESIS Y EN EL
PRIMER PARÉNTESIS SE SEPARAN LAS RAÍCES CON UN SIGNO POSITIVO, MIENTRAS QUE EN EL SEGUNDO PARÉNTESIS LAS RAÍCES SE SEPARARAN CON UN SIGNO NEGATIVO. LAS RAÍCES DEL
24
LOS RESULTADOS DE LAS DIVISIONES LOS COLOCARMULTIPLICADO POR EL FACTOR COMÚN. EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 24x4y2 + 36x3y + 72x2 = 12x2 (2x2y2 + 3xy + 6)
F U AB) AMBOS TÉRMINOS TIENEN RAÍCES CUADRADAS EXACTAS
DE ESTOS TÉRMINOS ES NEGATIVO
SE LE SACAN RAÍCES CUADRADAS A LOS TÉRMINOS LOS RESULTAD
11
TERMINO QUE ERA NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS SON LAS QUE QUEDAN CON SIGNOS CONTRARIOS EN LOS PARÉNTESIS.
2
SACANDO AÍCES CUADRADAS DE LOS DOS TÉRMINOS DEL BINOMIO:
EJEMPLOS: 1.- x – 16 =
LAS R
xx2 = Y 416 =
COLOCANDO LAS RAÍCES EN LOS PARÉNTESIS, LA RAÍZ QUE QUEDARA CON DIFERENTE SIGNO EN LOS PARÉNTE
SIS SERÁ EL 4 YA QUE EL 16 ERA EL TERMINO NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS:
A O DE LA FACTORIZACION ES: – 16 = )
.- 4x – 9y =
( ) ( )4x4x −+ EL RESULT D
2 ( ) ( 4x4x −+ x
2 42
SACANDO LAS RAÍCES CUADRADAS DE LOS DOS TÉRMINOS DEL BINOMIO:
x2x4 2 = Y 24 y3y9 =
−⎠
2y3
DO DE LA FACTORIZACION ES:
+ 22 y3x2y3
TRINOMI
UN PAR DE NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS DEN EL VALOR DE c Y QUE AL MISMO
EJEMPLO 1.- x2 + 5
ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE INOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES POSITIVO, POR LO QUE EN EL
PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO POSITIVO. EL SIGNO QUE TENDRÁ EL SEGUNDO PARÉNTESIS SERÁ TAMBIÉN POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO COMO DIJIMOS ANTES ES POSITIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN POSITIVO, ASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMOS SIGNOS IGUALES EL
RESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ: x + )
EL Rx2 + 5x +
TESIS, LA RAÍZ QUE QUEDARA CON DIFERENTE SIGNO EN LOS PARÉNTESIS SERÁ EL 4 YA QUE EL 16 ERA EL TERMINO NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS:
⎛⎟⎞⎜⎛ + 2 x2y3x2
COLOCANDO LAS RAÍCES EN LOS PARÉN
⎟⎠⎞⎜
⎝⎝L RESULTAE
4x2 – 9y4 = ⎜⎝⎛ x2 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟
⎠⎞
O DE LA FORMA x2 + bx + c.
SE ESCRIBEN DOS PARÉNTESIS, EN CADA UNO DE ELLOS SE COLOCA UNA x, EN EL PRIMER PARÉNTESIS SE COLOCA EL SIGNO QUE TENGA EL SEGUNDO TERMINO (bx) MIENTRAS QUE EN EL SEGUNDO PARÉNTESIS SE COLOCA EL SIGNO QUE RESULTA DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS SIGNOS DE L SEGUNDO Y EL TERCER TERMINO. SE BUSCANTIEMPO SUMADOS O RESTADOS DEN b ESTOS DOS NÚMEROS SE COLOCARAN EN LOS PARÉNTESIS DONDE YA TENEMOS LAS x Y LOS SIGNOS, PROCURANDO QUE EL NUMERO MAS GRANDE SE COLOQUE SIEMPRE EN EL PRIMER PARÉNTESIS
S:
x + 6
COLOCAMOS LAS x EN DOS PARACUERDO AL TR
SIGNO(x + ) (
BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON IGUALES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR SUMADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 3 Y EL 2. (3) (2) = 6 y 3 + 2 = 5 COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 3 POR SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS:
(x + 3) (x + 2)
ESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 6 = (x + 3) (x + 2)
12
2.- x2 – 2
ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE NOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES NEGATIVO, POR LO QUE EN EL
PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO NEGATIVO. EL SIGNO QUE RÁ EL SEGUNDO PARÉNTESIS SERÁ POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO DIJIMOS ANTES ES NEGATIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN NEGATIVO,
EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: x2 – 2.- x2 – 2
ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE NOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES NEGATIVO, POR LO QUE EN EL
PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO NEGATIVO. EL SIGNO QUE NTESIS SERÁ POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO
ATIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN NEGATIVO, S SIGNOS IGUALES EL SIGNO
DO DE LA FACTORIZACION ES: = (x – 6) (x + 4)
A FORMA ax2 + bx + c
CAN POR PAREJAS UN FACTOR DEL PRIMER TERMINO POR UN FACTOR DEL TERCER
TERMINO LOS RESULTADOS DE LAS MULTIPLICAC MAD RESTADOS DEBEN DE DARNOS EL
SEGUNDO TERMINO ( bx ) DEL TRINOMIO, TENEMOS EL TERMINO LINEAL, ENTONCES HAY
TERMINO, LOS FACTORES SE AGRUPAN EN DOS PARÉNTESIS, R EN PARÉNTESIS DIFERENTES LOS FACTORES QUE SE
RON ENTRE SI PARA OBTENER EL SEGUNDO TERMINO EJEMPLO: 1.- 2x2 + 5x + 2
R DE CANTIDADES O PRIMER Y EL TERCER TERMINO).
2x
x – 24
COLOCAMOS LAS x EN DOS PARACUERDO AL TRI
TENDCOMOASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMOS SIGNOS IGUALES EL SIGNO RESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ: (x – ) (x + ) BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON DIFERENTES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR RESTADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 6 Y EL 4.
y 6 – 4 = 2 (6) (4) = 24 COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 6 POR
SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS: (x – 6) (x + 4)
2x – 24 = (x – 6) (x + 4)
x – 24
COLOCAMOS LAS x EN DOS PARACUERDO AL TRI
TENDRÁ EL SEGUNDO PARÉCOMO DIJIMOS ANTES ES NEGASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMORESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ: (x – ) (x + )
BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON DIFERENTES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR RESTADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 6 Y EL 4. (6) (4) = 24 y 6 – 4 = 2
COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 6 POR SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS: (x – 6) (x + 4)
EL RESULTA2x – 2x – 24
RINOMIO DE LT
SE FACTORIZA EL PRIMER Y TERCER TERMINO (ax2 Y c ) SE MULTIPLI
IONES SU OS OO B SI N O
QUE CAMBIAR DE ORDEN LOS FACTORES O LOS SIGNOS, SI NI ASÍ LO OBTENEMOS HAY QUE PROBAR CON FACTORIZAR AL PRIMERO Y TERCER TERMINO CON OTRAS CANTIDADES
TES. DIFEREN UNA VEZ OBTENIDO EL SEGUNDO
LO QUE DEBEN DE QUEDASOMULTIPLICA
FACTORIZANDO EL PRIMER Y TERCER TERMINO (SE BUSCAN UN PANÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EN CADA CASO EL
2 22x 2 x 1
13
El 2x2 SE FACTORIZA EN 2x Y x YA QUE (2x) (x) = 2x2, MIENTRAS QUE EL 2 SE DESCOMPONE O FACTORIZA EN 2 Y 1 YA QUE (2) (1) = 2
=
S LOS FACTORES EN FORMA LINEAL (2x) (2) = 4x y (x) (1) = x
NES
MULTIPLICANDO LOS FACTORES
x42PORx22x2 2
= x1PORx
ULTIPLICAMOM
LTADO DE LAS MULTIPLICACIO SUMANDO EL RESU
x5x1PORx =
x42PORx22x2 2
=
SUMAMOS EL RESULTADO DE LA MULTI x = 5x. EN ESTA OCASIÓN SI TENEMOS COMO RESULTADO DE TODO EL PROCESO EL VALOR ERMINO LINEAL bx (5x) DEL TRINOMIO
ACTOR DEL 2, EN ESTE CASO EL 1, DE IGUAL MANERA N EL FACTOR 1, ENTONCES SE DEBE AGRUPAR CON EL
FACTOR 2, POR LO QUE LA AGRUPACIÓN DE LOS FACTORES EN S PARÉNTESIS NOS QUEDA:
(2x + 1) (x + 2)
EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 2x2 + 5x + 2 = (2x + 1) (x + 2) 1.- 6x2 –
FACTORIZANDO EL PRIMER Y TERCER TERMINO (SE BUSCAN UN PAR DE CANTIDADES O NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN E CADA CASO EL PRIMER Y EL TERCER TERMINO).
PLICACIONES 4x + DEL T
QUE QUEREMOS FACTORIZAR, POR LO QUE YA ESTAMOS LISTOS PARA EL ULTIMO PASO QUE ES EL DE FORMAR LOS PARÉNTESIS.
AGRUPANDO LOS FACTORES EN PARÉNTESIS EN PARÉNTESIS. COMO EL FACTOR 2x SE MULTIPLICO CON EL FACTOR 2 PARA HALLAR EL COEFICIENTE DEL TERMINO LINEAL, ENTONCES DEBE DE AGRUPARSE CON EL OTRO F
MO EL FACTOR x SE MULTIPLICO COCOOTRO FACTOR, EN ESTE CASO ELLO
x – 12
N
6x2 –123x 3 2x 4
El 6x2 SE FACTORIZA EN 3x Y 2x YA QUE (3x) (2x) = 6x2, MIENTRAS QUE EL –12 SE DESCOMPONE O FACTORIZA EN 3 Y 4 YA QUE (3) (4) = 12, ES IMPORTANTE TENER EN CUENTA QUE COMO NUESTRO TERCER TERMINO ES –12 UNO DE LOS FACTORES EN QUE SE DESCOMPONGA DEBERÁ DE SER NEGATIVO PARA QUE PODAMOS OBTENER EL –12, PERO DE ESE SIGNO NOS OCUPAREMOS MAS ADELANTE, CUANDO HAGAMOS LAS MULTIPLICACIONES YA VEREMOS QUIEN NOS CONVENDRÁ QUE SEA NEGATIVO YA SEA EL 3 O EL 4.
NDO LOS FACTORES
CIONES
MULTIPLICA
x84PORx2x93PORx3
12x6 2
=−=−
−
MULTIPLICAMOS LOS FACTORES EN FORMA LINEAL (2x) (2) = 4x y (x) (1) = x
SUMANDO EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICA
12x6 2 −
xSUMAMOS EL RESULTADO DE LA MULTIPLICACIONES
x84PORx2x93PORx3
−=−=−
–9x +8x = –x. EN ESTA OCASIÓN SI TENEMOS COMO RESULTADO DE TODO EL PROCESO EL VALOR DEL TERMINO LINEAL bx (– x) DEL TRINOMIO
14
QUE QUEREMOS FACTORIZAR, POR LO QUE YA ESTAMOS LISTOS PARA EL ULTIMO PASO QUE ES EL DE FORMAR LOS PARÉNTESIS.
AGRUPANDO LOS FACTORES EN PARÉNTESIS EN PARÉNTESIS. COMO EL FACTOR 3x SE
AR EL COEFICIENTE DEL TERMINO LINEAL, ENTONCES DEBE DE AGRUPARSE CON EL OTRO FACTOR DEL –MULTIPLICO CON EL FACTOR –3 PARA HALL
12, EN ESTE CASO EL 4, DE IGUAL MANERA CON EL FACTOR 4, ENTONCES SE DEBE AGRUPAR CON EL
OTRO FACTOR, EN ESTE CASO EL FACTOR –3, POR LO QUE LA AGRUPACIÓN DE LOS FACTORES EN LOS PARÉNTESIS NOS QUEDA: (3x + 4) (2x – 3)
EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES:
2
TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES. OB S DEL SUBTEMA: EL ESTUDIANTE:
RESOLVERÁ EJERCICIOS DE LIMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES, TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES (FACTORIZACIONES: SOLO DE FACTOR COMÚN MONOMIO,
ITES. (PO, EC) S DE LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, LOGARÍTMICAS Y )
PLICACIÓN DE LOS TEOREMAS DE LIMITES.
ENCIÓN ESPECIAL AL TEOREMA V.
SOLVER L S SIGUIENTES LIMITES:
−→
6.
2.
3.
EJERCICIOS RESUELTOS:
COMO EL FACTOR 2x SE MULTIPLICO
6x – x – 12 = (3x + 4) (2x – 3)
1.1.3. RESOLUCIÓN DE LIMITES DE FUNCIONES: POLINOMIALES, RACIONALES,
JETIVO
1.
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS Y TRINOMIOS DE LA FORMA ( cbxx 2 ++ Y cbxax 2 ++ ). (PO, EA)
2. RESOLVERÁ EJERCICIOS DE OPERACIONES CON LIM3. RESOLVERÁ EJERCICIO
EXPONENCIALES. (PO, ECA HAREMOS UNA M RE O
4. 4x3Lim
→=
5. 10Lim = 7x
cx2500Lim→
=
EN TODOS LOS CASOS ESTAMOS CALCULANDO EL LÍMITE DE UNA CONSTANTE, DE ACUERDO AL TEOREMA
V, EL LIMITE DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A LA MISMA CONSTANTE, ASÍ QUE LOS RESULTADOS DE LOS LIMITES SON LOS SIGUIENTES:
1. 3
4x3Lim
→=
107x
10Lim−→
=
2500cx
2500Lim→
=
ASÍ QUE DE MANERA GENERAL PODEMOS DECIR QUE CUALQUIER CANTIDAD QUE NO TENGA VARIABLE
(CONSTANTE) NO SERÁ AFECTADA POR EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE (x) Y CUANDO SE LE CALCULE SU LIMITE EL RESULTADO SERÁ EL VALOR DE LA CONSTANTE.
HORA SI TRABAJAREMOS CON LIMITES EN LOS CUALES NO ES NECESARIO APLICAR LAS FACTORIZACIONES.
x5Lim
N ESTE CASO PARA HALLAR EL VALOR DEL LIMITE LO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR LA VARIABLE (x) POR EL VALOR AL QUE ESTA TENDIENDO, ES DECIR SOLO SUSTITUIMOS LA x POR 2 Y
ALIZAMOS LA MULTIPLICACIÓN CON LO CUAL OBTENEMOS EL VALOR DEL LIMITE.
x5Lim25x52x2
A
1.
→2x =
E
R
E
( ) 1010 =⇒==→→
Limx
15
2.
STE LIMITE ES MUY PARECIDO AL ANTERIOR LA DIFERENCIA ES QUE TENEMOS DOS TÉRMINOS Y UNO DE ELLO CONSTANTE (3) LA CUAL COMO DIJIMOS AL PRINCIPIO NO SERÁ AFECTADA POR EL VALOR AL QU IENDE LA VARIABLE, ASÍ QUE PARA RESOLVER EL LIMITE LO QUE HAY QUE HACER ES SUSTITUIR LA VAR
( ) =+→
3x2Lim5x
ES ES UNA
E TIABLE (x) POR 5, REALIZAR LA MULTIPLICACIÓN Y DESPUÉS SUMARLE 3, CON LO CUAL YA TENDREMOS EL
RESULTADO DEL LIMITE.
( ) ( ) ( ) 1313 =+⇒=+=+=+→→
3x2Lim3103523x2Lim5x5x
( )=+−
→1x4xLim 2
2x 3.
DESPUÉS DE RESOLVER LOS DOS PRIMEROS EJERCICIOS, DEBEMOS DE DARNOS CUENTA QUE PARA RESOLVER EL LIMITE, LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR LAS VARIABLES INDEPENDIENTES (VARIABLE QUE TIENDE A UN NUMERO) QUE APARECEN EN LA FUNCIÓN POR EL NUMERO AL QUE TIENDEN, SOLO LAS CONSTANTES NO SERÁN AFECTADAS POR EL VALOR DE ESTA VARIABLE.
( ) ( ) ( ) ( ) 33 −=+−⇒−=+−=+−=+−→→
1x4xLim18412421x4xLim 22x
222x
=+−
→ 2x2xLim
3x 4.
SE SUSTITUYEN LAS “x” POR 3 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS.
511
=−
⇒=−
=− 2xLim232xLim
5 +++ →→ 2x232x 3x3
.
x
4x 2 −54x
Lim22x +→
E SUSTITUYEN LAS “x” POR 2 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS. S
( )( )
00 =+
−⇒==
+−
=+
−=
+
−→→ 4x
4xLim80
4444
42
42
4x4xLim
2
2
2x2
2
2
2
2
x
6. ( )taatLim 22
4t+
→
SUSTITUYEN LAS “t” POR 4, YA QUE LA VARIABLE INDEPENDIENTE ES LA t, YA QUE ES LA QUE TIENDE A 4 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS.
( )
SE
( ) ( ) ( ) ( )2 164a16a =−⇒−=−=−=− taatLima416a4a4ataatLim 2222222 24aa −→→ 4t4
t
27. 4x
x25Lim −→
SE SUSTITUYEN LAS “x” POR 4, EL 4 SE ELEVA AL CUADRADO, AL RESULTADO SE LE RESTA AL 25 Y A LO QUE QUEDE SE LA SACARA RAÍZ CUADRADA.
( ) 33 =−⇒==−=−=−→→
24t
224t
x25Lim91625425x25Lim
EN ALGUNAS OCASIONES (LOS MAS FRECUENTES EN EXAMEN) AL REEMPLAZAR A x POR UN NUMERO
DETERMINADO a, LA FUNCIÓN f(x) ADOPTA ALGUNAS VECES LAS FORMAS 00
O DE ∞∞
; EXPRESIONES QUE
CO O NO REPRESENTAN NINGÚN VALOR DETERMINADO SE LE LLAMA A CADA UNA INDETERMINADA.
UNOS CASOS CON LA SUSTITUCIÓN DIRECTA SE OBTIENE COMO RESULTADO
M
EN ALG 00
, QUE ES UNA
IND C
S TENDREMOS EJERCICIOS EN DONDE SE APLICARAN FACTORIZACIONES PAR
ETERMINACIÓN; PARA EVITARLA Y SEGÚN PROCEDA, PODEMOS FACTORIZAR, RA IONALIZAR EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR, O SUSTITUIR LA RELACIÓN TRIGONOMETRICA POR OTRA EQUIVALENTE.
N LOS SIGUIENTES EJEMPLOE
A HALLAR EL RESULTADO.
16
8. 3x9xLim
2
3x −−
→
SI HACEMOS LA SUSTITUCIÓN DIRECTA DE x POR 3, VEREMOS UE EL RESULTADO DEL LIMITE SERÁ Q
∞ , PERO=00
NO PODEMOS DECIR QUE EL RESULTADO DE UN LIMITE ES INFINITO, POR LO QUE ESTOS
RESULTADOS SERÁN EL INDICADOR DE QUE TENEMOS QUE FACTORIZAR LAS EXPRESIONES DEL LIMITE PARA ROMPER LA INDETERMINACIÓN Y OBTENER COMO RESULTADO UN NUMERO REAL, ENTONCES POR LO PRONTO LA SUSTITUCIÓN DE LAS x POR 3 NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA:
( )
∞==−
=−
=−−
→ 00
099
339
3x9xLim
2
3x
−3 2
OMO DIJIMOS VAMOS A TENER QUE RECURRIR A LA FACTORIZACION PARA VER SI ROMPEMOS LA ENTA QUE EN EL NUMERADOR TENEMOS UNA
RIZAR EN PAGINA 4) EL CUAL PODEMOS S QUE SON IGUALES Y QUE SE
SOLVEMOS EL LIMITE, ES DECIR SE CAMBIAN LAS x PO N LO QUE CON ESO YA TENDREMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES EL SIG
9.
CINDETERMINACIÓN, SI VEMOS EL LIMITE NOS DAREMOS CUDIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS (FORMA DE FACTOFACTORIZAR. UNA VEZ FACTORIZADO SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIENCUENTRAN ARRIBA Y ABAJO Y CON LO QUE QUEDA RE
R 3, COUIENTE:
3x4x2x3xLim
2
2
1x ++
++−→
I HACEMOS LA SUSTITUCIÓN DE LAS x POR –1, TENDREMOS QUE EL RESULTADO SERÁ S ∞=0
S CONCENTRAREMOS EN LA FACTORIZACION Y NO PONDRE S EL PROCEDIMIENTO DE SUSTITUIR DIRECTAMENTE LAS x POR –1.
EN AMBOS CASOS, TANTO EN EL NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR TENEMOS TRINOMIOS DE LA
2
0, ASÍ QUE
NO MO
FORMA ++ (FORMA EN QUE SE FACTORIZA EN LA PAGINA 5), ASÍ QUE HACEMOS LA FACTORIZACION DE AMBOS TRI
cbxxNOMIOS, SE ELIMINAN LAS EXPRESIONES QUE SIENDO IGUALES SE ENCUENTRAN TANTO EN EL
NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR, CON LAS EXPRESIONES QUE NOS QUEDEN RESOLVEREMOS EL LIMITE, ES DECIR SUSTITUIREMOS LAS x POR –1, CON LO CUAL HALLAREMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:
10. 25x5xLim
25x −
−→
EN ESTE LIMITE EN EL DENOMINADOR TENEMOS UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS,
FACTORIZÁNDOLA PODREMOS ELIMINAR EL FACTOR (x – 5), SOLO QUE EL FACTOR (x + 5) QUE SOBRA SE ENCUENTRA EN EL DENOMINADOR, ASÍ QUE DESPUÉS DE LA ELIMINAC N DE FACTORES IGUALES LO QUE
NO
IÓ
S QUEDA ES 5x
1 EL UNO LO TENEMOS QUE PONER YA QUE EN LA PAR
+TE DE ARRIBA NO SOBRO NINGÚN
FACTOR, RESOLVEMOS EL LIMITE CON ESTA EXPRESIÓN SUSTITUYENDO LA x POR 5, EL PROCESO QUE SE SIGUE PARA RESOLVER ESTE LIMITE ES EL SIGUIENTE:
11. 24
2
4x x64x4x40x10Lim
−
−→
PARA EMPEZAR LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE, OBSERVAMOS QUE TODOS LOS TÉRMINOS DE AMB0S POLINOMIOS (TANTO EL DE ARRIBA COMO EL DE ABAJO) TIENEN LA VARIABLE x, ASÍ QUE SE LES PUEDE
( ) ( ) ( ) 6=+=+=−
−+=
−−
→→333xLim
3x3x3x
3x9xLim
3x
2
3x
( ) ( )( ) ( )
( )( ) 2
1=
+−+−
=++
=+
++=
++
++−→−→ 31
213x2x
Lim1x3x1x2x
3x4x2x3xLim
1x2
2
1x +
( )( ) ( ) 10
1=
+=
+=
+−−
=−
−→ 55
15x
1Lim5x5x
5x255x
5x25→ xxLim
7
FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ARRIBA ES 10x, MIENTRAS QUE EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ABAJO ES 4x2, POR LO QUE LA FACTORIZACION POR TERMINO COMÚN HACE QUE EL LIMITE QUEDE DE LA SIGUIENTE FORMA:
( )( )16xx4
4xx10Lim
x64x4x40x10Lim
224x244x
−=
−→→
AHORA PODEMO
2
−−
S SIMPLIFICAR LA DIVISIÓN 2x4
x10 LA CUAL NOS DA x2
5, AL 10 Y AL 4 SE LE SACARON
MITADES Y LAS x SE DIVIDIERON, COMO LA DE MAYOR EXPONENTE ESTA ABAJO POR ESO ES QUE LA x SE QU A EN LA PARTE DE ABAJO, SOLO SE RESTAN SUS EXPONENTES. DESPUÉS DE ESTO EL LIMITE TE QUEDA DE
ED LA SIGUIENTE FORMA:
( )( )
( )( )16xx216xx44 −−→
AHORA REVISANDO LOS PARÉNTESIS VEREMOS QUE EN EL PARÉNTESIS DE LA PARTE DE ABAJO TENEMOS UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS LA CUAL PODEMOS FACTORIZAR, HACIENDO ESTA FACTO
4x54xx10Lim
222−
=−
x
RIZACION EL LIMITE NOS QUEDA:
( )( )
( )( ) ( )4x4xx2
4x54x52 −+
−=
−
16xx −AHORA PODEMOS ELIMINAR LOS FACTORES (x – 4) Y CON LO QUE NOS QUEDA RESOLVEMOS EL LIMITE
SUSTITUYENDO LAS x POR 4 Y HACIENDO LAS OPERACIONES INDICADAS. LA ULTIMA PARTE DEL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DEL LIMITE ES:
EL PROCEDIMIENTO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE ES:
.
2
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 64
5==
+=
+=
−+−
→ 885
44425
4xx25Lim
4x4xx24x5
4x
( )( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 64
5==
+=
+=
−+−
=−
−=
−
−=
→→→ 885
44425
4xx25Lim
4x4xx24x5
16xx2
4x5
16xx4
4xx10Lim
x64x4x40x10Lim
4x2224x24
2
4x
−
−
x24x4x4x18x30x12Lim
23
234
3x −−
−−→
12
PARA EMPEZAR LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE, OBSERVAMOS QUE TODOS LOS TÉRMINOS DE AMB0S
PO MIOS (TANTO EL DE ARRIBA COMO EL DE ABAJO) TIENEN LA VARIABLE x, ASÍ QUE SE LES PUEDE FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ARRIBA ES 6x2, MIENTRAS QUE EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ABAJO ES 4x, POR LO QUE LA FACTORIZACION POR TERMINO COMÚN HACE QUE EL LIMITE QUEDE DE LA SIGUIENTE FORMA:
LINO
( )( )6xxx4
3x5x2x6
x24x4x4x18x30x12L
xim
2
22
23
234
3 −−
−−=
−−
−−→
HORA PODEMOS SIMPLIFICAR LA DIVISIÓN
x4x6 2
LA CUAL NOS DA 2x3
A , AL 6 Y AL 4 SE LE SACARON
MITADES Y LAS x SE DIVIDIERON, COMO LA DE MAYOR EXPONENTE ESTA ARRIBA POR ESO ES QUE LA x SE QU A EN LA PARTE DE ARRIBA, SOLO SE RESTAN SUS EXPONENTES. DESPUÉS DE ESTO EL LIMITE TE QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA:
ED
( )( )
( )( )6xx2
3x5x2x3
6xxx4
3x5x2x6Lxim
2
2
2
22
3 −−
−−=
−−
−−→
HORA REVISANDO LOS PARÉNTESIS VEREMOS QUE EN EL PARÉNTESIS DE LA PARTE DE ARRIBA TENEMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA Y EN LA DE ABAJO TENEMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA
LOS CUALES PODEMOS FACTORIZAR, HACIENDO ESTAS FACTORIZACIONES EL LIMITE NOS QU A:
A
cbxax2 ++
cbxx 2 ++ED
18
( )( )
( ) (( ) ( )
)2x3x23x1x2x3
6xx2
3x5x2x32
2
+−−+
=−−
−−
HORA PODEMOS ELIMINAR LOS FACTORES (x – 3) Y CON LO QUE NOS QUEDA RESOLVEMOS EL LIMITE SUSTITUYENDO LAS x POR 3 Y HACIENDO LAS OPERACIONES INDICADAS. LA ULTIMA PARTE DEL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DEL LIMITE ES:
L PROCEDIMIENTO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE ES:
A
E
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1063
==+
=+
+10
7952
169232
13233
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )1063
==+
=+
+=
++
=+−−+
→ 1079
52169
23213233
2x21x2x3Lim
2x3x23x1x2x
3x
3
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) =
++
=+−−+
=−−
−−=
−−
−−=
−−
−−→→ 2x2
1x2x3Lim2x3x23x1x2x3
6xx23x5x2x3
6xxx43x5x2x6
x24x4x4x18x30x12
3x2
2
2
22
23
234
3Limx
19
EJERCICIOS PROPUESTOS: I. RESUELVE LOS SIGUIENTES LIMITES (NO ES NECESARIO FACTORIZAR): 1. ( )=+−
→5x2x3Lim 2
0x
2. ( )=−+ 20x2x5Lim 23 →2x
3. ( )=−+−−→
9x5x2x2Lim 341x
4. ( ) =−−→10x
5.
21
2 5x2xLim
=++→
4xx4Lim 20x
6. =++→
x4x3x2Lim 231x
. 7 =−+→0x
8.
3 2 8x3xLim
=+−→
315x
3x2Lim
9. =−→ 1xxLim
0x
10. =−+
→ 1x21xLim
2x
11. =−−
−→ 4x2x3Lim
1x
12. =−→ 1x4
Lim1x
13. =−→ 1xx7Lim
2x
14. =+−→ x24
x2Lim
+ 4x5
5x
15. =−→ 1x0x
xLim
16. =−→ x2106x
17.
− 5xLim
=−−
→ 1x2x3Lim
2x
18. =− x310Lim −→ x53x
19. =−
+→ 36x x14
1x4Lim
20. =+++
−→ 5x24x2xLim
2
1x
21. ( )=
−++ 2x2x2 2
−→ x31Lim
3x
22. =+
++→ 3x
6xx7Lim2
0x
23. =−+
++−→ 2xx4
9x2x3Lim2
2
1x
24. =−+
+−→ 1x5x3
5x2x2Lim2
2
2x
25. =−+
−→ x3x3x4Lim
2
2x
26. =−→ 2x2 23x
27.
−− 4x9x7Lim2
=−−−→ 3x2x9
1Lim2
34x
28. =−
→
x5Lim20x
−+ 6x2x4
2
29. =−→ x2
1Lim
43x
30. =+−→ 4x2x3
1Lim2
21x
1.
II. RESUELVE LOS SIGUIENTES LIMITES (EN ALGUNOS CASOS ES NECESARIO FACTORIZAR):
=−+
→ 1x1x3Lim
0x
2. =+−→ 4x
Lim1x
− 2x
3. =−→ 1x4
4Lim1x
+x5
4. =−+ 4xLim
−→ x213x
5. =−−
→ 4xx210Lim
5x
6. =++
−→ 9x43x2Lim
2x
7. ( )1x
Lim1x −→
1xx −
8. =−
−
→ x2x32x3Lim
232x
9. ( )1x
1x2Lim
2
1x −−
→
10. =+
−−→ x5x
25xLim2
2
5x
11.( )
( )22x 2x
Lim−−→
23x +
12. ( )
=+
++−→ 2
2
3x 2x
25x10xLim 22.
13. ( )16x8x
1xLim
2
2
1x ++
+−→
14. =−
−− 10x3x 2
→ 25xLim
25x
15. =−
−+→ 1x
2xxLim2
2
1x
16. =++
+−→ 12x4x
2x3xLim2
2
3x
17. =−+
++−→ 10x3x
15x8xLim2
2
5x
18. =−−
−−→ 8x7x
32x4xLim2
2
8x
19. =−+
−−→ 15x2x
3x2xLim2
2
3x
20. =−−
+−→ 8x2x
4x5xLim2
2
4x
21. =−−
+−→ 18x3x
6x7xLim2
2
6x
=−+
−+→ 8x10x3
10x13x3Lim2
2
2x
23. =−+
−+→ 3x5x2
2x3x2Lim2
2
1x
24. =−+
−+
→ 6x7x515x22x5Lim
2
2
53x
25. =−+
−+→ 2xx3
6x7x3Lim2
2
2x
26. ( ) ( ) =−+−−
−→ 2x6x512x4x5Lim
2
56x
27. =++
++−→ 8x10x3
12x13x3Lim2
2
4x
28. =−−→ 10xx2
Lim25x
−+ 20x3x2 2
2
29. =−−
++
−→ 3x10x81x6x8Lim
2
2
41x
20
30. =+−
−+
−→ 5x11x610x7x6Lim
2
2
21x
TEOREMAS DE LIMITES DE OPERACIONES CON FUNCIONES (NO SE INCLUYE EN EL
EXAMEN DEPARTAMENTAL).
N LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SE HARÁN USO DE LOS PRIMEROS 4 TEOREMAS SOBRE LOS LIMITES, ESTOS TEOREMAS SE UTILIZAN PARA CUANDO SE COMBINAN 2 O MAS FUNCIONES LAS CUALES VAN A REALIZAR LAS ENTRE ELLAS LAS 4 OPERACIONES FUNDAMENTALES.
STOS TEOREMAS NOS DICEN QUE CUANDO SE BUSCA CALCULAR EL LIMITE DE OPERACIONES CON FUNCIONES, PRIMERO DEBEMOS DE CALCULAR EL LIMITE DE CADA FUNCIÓN Y DESPUÉS CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS REALIZAR LAS OPERACIONES QUE SE INDICABAN, ES DECIR, LOS RESULTADOS DE LOS LIMITES SE SUMARAN, RESTARAN, MULTIPLICARAN O DIVIDIRÁN SEGÚN SEA EL CASO.
JERCICIOS RESUELTOS:
E
E
E
. SEA f(x) = 3x2 – 2x + 1, g(x)= x2 – 4 y h(x) = 4x – 3, HALLAR 1 { })x(h)x(g)x(fLim
2x−+
→
EN EL CASO DE SUMAS Y RESTAS SE PUEDEN SUMAR O RESTAR DIRECTAMENTE LAS FUNCIONES YA QUE
EL PROCESO DE REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES NO ES MUY TARDADO, PERO EN EL CASO DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN, ESTOS PROCESOS SI SON ALGO TARDADOS DE HACER, ASÍ QUE VAMOS A HACER EL EJERCICIO COMO LO SUGIEREN LOS TEOREMAS, ES DECIR VAMOS A HALLAR EL LIMITE DE CADA FUNCIÓN Y AL FINAL HAREMOS CON ESTOS RESULTADOS LAS OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS QUE SE NOS INDICAN PARA CADA FUNCIÓN.
ALCULAMOS PRIMERO EL LIMITE DE f(x), LO QUE HACEMOS ES TOMAR A LA FUNCIÓN f(x) Y LE SUSTITUIMOS LAS x POR EL 2 QUE ES EL VALOR AL QUE TIENDE x EN EL LIMITE:
C
( ) ( ) ( ) 9=+−=+−=+−=+−=→→
14121443122231x2x3Lim)x(fLim 222x2
ALCULAMOS AHORA EL LIMITE DE g(x), HACEMOS LO MISMO QUE CON EL LIMITE DE f(x), PERO AHORA CON LA FUNCIÓN g(x):
222x2
INALMENTE CALCULAMOS EL LIMITE DE h(x):
2x2
A TENIENDO EL VALOR DE LOS 3 LÍMITES REALIZAMOS LAS OPERACIONES QUE SE INDICAN EN EL EJERCICIO, SOLO SUSTITUIMOS EL VALOR OBTENIDO DE CADA LÍMITE:
2
L RESULTADO DEL EJERCICIO ES 4.
. SEA f(x) = 4x2 – 5x – 2 , g(x)= x3 – 4x y h(x) = 10x + 7, HALLAR
x C
( ) 0=−=−=−=→→
44424xLim)x(gLimx F
( ) 5=−=−=−=→→
383243x4Lim)x(hLimx Y
{ } 4=−+=−+
→509)x(h)x(g)x(fLim
x E
2 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ •
−→ )x(h)x(g)x(f
Lim1x
CALCULAMOS EL LIMITE DE f(x):
( ) ( ) ( ) 7=−+=−+=−−−−=−−=−→−→
2542514215142x5x4Lim)x(fLim 221x1x
CALCULAMOS EL LIMITE DE g(x):
−→411
1x1x
( ) ( )41x4xLim)x(g 33 3=+−=−−−=−=−→ 1x1
CALCULAMOS EL LIMITE DE h(x):
Limx
(Lim ) 3−=+−=+−=+=
−→−→71071107x10Lim)x(h
21
YA TENIENDO EL VALOR DE LOS 3 LÍMITES REALIZAMOS LAS OPERACIONES QUE SE INDICAN EN EL EJERCICIO, SOLO SUSTITUIMOS EL VALOR OBTENIDO DE CADA LÍMITE:
( ) ( )
7−=−→
Limx
=−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ •
− 321
337
)x(h)x(g)x(
1
L RESULTADO DEL EJERCICIO ES – 7.
f
E
22
EJERCICIOS PROPUESTOS: SEA f(x) = 2x – 3x + 5, g(x) = x – x + x , h(x) = 10 – 2x. HALLAR: A) { })x(h)x(g)x(fLim
3x−+
→
3 2 4 3 2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ •
−→ )x(h)x(g)x(f
Lim2x
B)
C) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
→ )x(h)x(g)x(f
Lim5x
D) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−•
→)x(f
)x(f)x(g)x(h
Lim1x
E) { })x(h)x(g)x(fLim5x
+−−→
IMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (NO SE
LINCLUYE EN EL EXAMEN DEPARTAMENTAL)
LA RESOLUCIÓN DE ESTOS LIMITES ES IGUAL A LOS ANTERIORES LIMITES, SOLO REQUIERE DE RECORDAR
N POCO DE LAS CARACTERÍSTICAS DE ESTE TIPO DE FUNCIONES. EJERCICIOS RESUELTOS HALLA EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LÍMITES: 1.
PARA RESOLVER ESTE LIMITE SOLO TENEMOS QUE SUSTITUIR LA x POR LOS 45°, ASÍ QUE LO QUE
ENEMOS QUE CALCULA ES EL VALOR DE LA Tan 45°, LA CUAL NOS DA 1, ASÍ QUE HACEMOS LA SUMA Y YA OMO SIGUE:
1145Tan1x
U
( ) =+°→
xTan1Lim45x
TTENEMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES C
( +
°→Tan1Lim
45x) 2=+=°+=
3
2. ( ) xCos2xSen1Lim +
0x °→ AL IGUAL QUE EL LIMITE ANTERIOR LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR EL VALOR DE x
PO ERO AL QUE ESTA TENDIENDO, EN ESTE CASO 0°, ASÍ QUE AL SUSTITUIR ESTE VALOR
Y HALLAMOS EL RESULTADO DEL LIMITE.
R EL NUMTENDREMOS QUE CALCULAR EL SENO DE 0° QUE ES IGUAL A CERO Y EL COSENO DE 0° QUE ES IGUAL A 1. DESPUÉS SOLO HACEMOS LAS OPERACIONES INDICADAS
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1==+=°+=+°
°→0x
N EL ULTIMO PASO SE APLICA LA REG
2123
0Cos23
xCos23
1010Sen1xSen1
LA DE EXPONENTES QUE DICE QUE NO IMPORTA A QUE EXPONENTE SE ELEVE EL 1, SU RESULTADO SIEMPRE SERÁ 1.
3
Lim
E
23
3. ( )x2x5x
eeLnLim •→
EN ESTE LIMITE PRIMERO VAMOS A HACER LA MULTIPLICACIÓN QUE SE SEÑALA DENTRO DEL PARÉNTESIS
LA CUAL NOS DA e3x. ENTONCES EL LÍMITE NOS QUEDA:
( ) ( )x35x
x2x5x
eLnLimeeLnLim→→
=•
AHORA APLICAMOS LAS LEYES O PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES,
QUE EN ESTE CASO PODEMOS APLICAR QUE COMO LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL e SON INVERSAS, ENTONCES SE CANCELAN QUEDANDO SOLO 3x, POR LO QUE SOLO CALCULAREMOS EL LIMITE DE 3X Y TENDREMOS ASÍ EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCESO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN SE DA A CONTINUACIÓN:
( ) ( ) ( ) 15====•
→→→53x3LimeLnLimeeLnLim
5xx3
5xx2x
5x
4. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x2Ln31xLn21xLn5x4LnLim
4x−−−++
→
PARA RESOLVER ESTE LIMITE NECESITAMOS APLICAR LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS QUE SE
VIERON EN MATEMÁTICAS IV, APLICANDO LAS PROPIEDADES TENEMOS QUE LOS LOGARITMOS SE VAN A CONVERTIR EN LA FRACCIÓN DE UN SOLO LOGARITMO, LOS QUE SON POSITIVOS SE PONDRÁN EN EL NUMERADOR DE ESTA FRACCIÓN Y QUEDARAN MULTIPLICÁNDOSE ENTRE ELLOS, AHORA LOS NEGATIVOS SE IRÁN A LA PARTE DE ABAJO Y QUEDARAN MULTIPLICÁNDOSE ENTRE ELLAS. SI EL LOGARITMO TENIA COEFICIENTE ESTE SE CONVERTIRÁ EN EXPONENTE DE LA FUNCIÓN, HACIENDO ESTOS CAMBIOS, EL LIMITE NOS QUEDARA COMO SIGUE.
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
+=−−−−++
→→x 3
5
4x4 3x22x3
1xx4LnLim3x2Ln32x3Ln1xLn5x4Ln
ORA PODEMOS SUSTITUIR EL VALOR AL QUE TIENDE x Y HACER LAS OPERACIONES INDICADAS, MULTIPLICACIÓN (PRIMER PARÉNTESIS), SUMA Y POTENCIA (SEGUNDO PARÉNTESIS), MULTIPLICACIÓN Y
E (T RCER PARÉNTESIS) Y MULTIPLICACIÓN, RESTA Y POTENCIA (CUARTO PARÉNTESIS). DESPUÉS ULTIPLICAMOS LO QUE NOS DIO EL PRIMER PARÉNTESIS POR LO QUE NOS DIO EL SEGUNDO Y TAMBIÉN ULTIPLICAMOS LO QUE NOS DIO EL TERCER PARÉNTESIS POR LO QUE NOS DIO EL CUARTO PARÉNTESIS,
DE ACIONES Y LES USAR UNA CALCULADORA PARA PODER HALLAR EL VALOR DEL LOGARITMO NATURAL QUE NOS QUEDO,
Lim
AH
RM
STA E
MSPUÉS SE DIVIDE EL RESULTADO DE AMBAS MULTIPLIC O ÚNICO QUE NOS QUEDA POR HACER
TODO ESTO SE LLEVA A CABO DE LA SIGUIENTE MANERA:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ===
−−=
−−
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
+→ 12510
312516Ln
510
312516Ln
38212
516Ln
342243
1444Ln
3x22x3
1xx4LnLim
33
5
3
5
3
5
4x
3.69≈== 688.340Ln250,1
000,50nL
24
1.1.4 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO OBJETIVOS: . IDENTIFICARA LA FORMA EN QUE SE DENOTAN LOS LIMITES INFINITOS Y LOS LIMITES EN EL INFINITO.
(DC, EA) RESOLVERÁ E OS DE LIMITES INFINITOS. (PO, EC)
3. RESOLVERÁ EJERCICIOS DE LÍMITES EN EL INFINITO. (SOLO ALGEBRAICAS). (PO, EA)
1
2. JERCICI
LIMITES INFINITOS: SEA f UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN TODO NUMERO REAL DE UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c
SALVO, POSIBLEMENTE, EN EL PROPIO c. LA EXPRESIÓN
∞=→
)x(fLimcx
SIGNIFICA QUE PARA TODO M>0 EXISTE UN δ>0 TAL QUE f(x)>M SIEMPRE QUE 0<|x – c|<δ (VÉASE FIGURA 1).
ANÁLOGAMENTE, LA EXPRESIÓN
NI A QUE PARA TODO N<0 EXISTE UN δ>0 TAL QUE f(x)<N SIEMPRE QUE 0<|x – c|<δ. PARA DEFINIR EL LIMITE INFINITO POR LA IZQUIERDA, BASTA SUSTITUIR 0<|x – c|<δ POR c – δ < x < c. Y PARA DEFINIR EL LIMITE INF
−∞=→
)x(fLimcx
SIG FIC
INITO POR LA DERECHA, BASTA SUSTITUIR 0<|x – c|<δ POR c < x < c + δ.
MAS ALLÁ DE LA DEFINICIÓN TAN COMPLEJA DE LOS LIMITES INFINITOS, LO QUE NOS INTERESA ES SABER
IDENTIFICAR LO QUE ES UN LIMITE INFINITO Y DE MANERA SENCILLA PODEMOS DECIR QUE UN LIMITE INFINITO ES CUANDO EL RESULTADO DEL LIMITE ES INFINITO, ES DECIR NO ESTA DETERMINADO. A CONTINUACIÓN PONEMO RDA COMO POR LA DERECHA O DE AMBOS L
1.
S UNOS EJEMPLOS DE LIMITES INFINITOS, TANTO POR LA IZQUIEADOS:
∞=x −+→ 1x1x
Lim
2. ∞=+− 4x
Lim −→ 4x
x
3. ∞=−
+→ 25x
5xLim25x
¡OJO! DE IGUALDAD EN LA EXPRESIÓN NO SIGNIFICA QUE EL LIMITE EXISTA,
ODO DE
∞=)( xfLim EL SÍMBOLO
Tf(x) CUAN
LO CONTRARIO, NOS INDICA LA RAZÓN DE SU NO EXISTENCIA: EL COMPORTAMIENTO NO ACOTADODO x TIENDE A c.
25
RESOLUCIÓN DE LIMITES INFINITOS (NO SE INCLUYE EN EL EXAMEN DEPARTAMENTAL) EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES INFINITOS LO QUE TENEMOS QUE DETERMINAR ES SI EL LIMITE SE VA
IR A + RA ELLO DEBEMOS DE TOMAR UN VALOR QUE ESTE MUY PRÓXIMO A EL (DE PREFERENCIA A MILÉ OS) Y VER CON QUE SIGNO QUEDA EL RESULTADO PARA ASÍ ASIGNARLE EL SIGNO AL ∞.
E ITES INFINITOS.
1.
∞ O A –∞. PAIMOS O MENS
N LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SE RESOLVERÁN LIM
=−−→ 2xx3Lim
2x
PARA RESOLVER ESTE LIMITE TENEMOS QUE ENTENDER QUE EL RESULTADO DE EST LIMITE ES ∞, YA QUE
SI SUSTITUIMOS EL 2 EN LUGAR DE x, LA FUNCIÓN PRESENTA UNA DIVISIÓN ENTRE CERO Y ESO HACE QUE EL RESUPARAPOR TOMAR UN NUMERO MUY PEGADO A 2 PERO QUE ESTE A SU IZQUIERDA, VAMOS A TOMAR 1.999 Y LO VAMOS A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA
LTADO SEA ∞, ASÍ QUE LO QUE TENEMOS QUE DETERMINAR ES SI LA FUNCIÓN SE VA A IR A +∞ O A –∞. ELLO TENEMOS QUE VER POR DONDE SE ACERCA EL VALOR AL QUE TIENDE x, SI POR LA IZQUIERDA O LA DERECHA, EN ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A DOS POR LA IZQUIERDA, COMO TENEMOS QUE
.
( )5997
001.029912−=
−=
−=
−
997.59.
999.13x
x
COMO PODEMOS VER EL RESULTADO ES NEGATIVO Y SE VA HACIENDO GRANDE, DE HECHO SI EN LUGAR DE 1.999, USAMOS 1.9999, ELQUE
3
RESULTADO SERÁ UN NUMERO NEGATIVO DE VALOR ABSOLUTO MAYOR QUE EL OBTUVIMOS AHORITA, ESO NOS INDICA QUE CONFORME NOS ACERCAMOS MAS A 2 POR LA IZQUIERDA EL
NUMERO SE VUELVE MAS PEQUEÑO (POR SER NEGATIVO) POR ESO PODEMOS ASEGURAR QUE EL RESULTADO DEL LIMITE ES –∞.
−∞=−−→ 2x2x
2.
x3Lim
=xLim
2
−+ x4 E A, COMO TENEMOS QUE TOMAR UN
NUMERO MUY PEGADO A 4 PERO QUE ESTE A SU DERECHA, VAMOS A TOMAR 4.001 Y LO VAMOS A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA.
→x 4
N ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A CUATRO POR LA DERECH
( )01.16008
001.0001.44x−=
−=
−−
008001.16001.44
2
COMO EL RESULTADO NOS QUE DO NEGATIVO, ENTONCES EL RESULTADO DEL LIMITE ES – ∞.
x 2=
−∞=−−→ x42
x 2
x
3.
Lim
=+− 3
−−→
1x5x2Lim
51x
EN ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A MENOS UN QUINTO POR LA IZQUIERDA, COMO TENEMOS QUE
TOMAR UN NUMERO MUY PEGADO A 51
− PERO QUE ESTE A SU IZQUIERDA, VAMOS A TOMAR –0.2001 Y LO
VAMO A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA.
S
( )( ) 4.6800
0005.04002.3
10005.134002.0
12001.0532001.02
1x53x2
=−−
=+−−−
=+−−−
=+−
COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN ES POSITIVO EL RESULTADO DEL LIMITE ES +∞.
+∞=+−
−→ 1x53x2Lim
2x
26
LIMITES EN EL INFINITO:
SEA L UN NUMERO REAL: 1 =
∞ SIGNIFICA QUE PARA CADA
DEFINICIÓN:
. x→
( ) LxfLim 0>ε EXISTE UN TAL QUE 0M > ( ) ε<−Lxf SIEMPRE
QUE2 SIGNIFICA QUE PARA CADA
Mx >
( ) LxfLimx
=∞−→
0>ε EXISTE UN 0N < TAL QUE ( ) ε<−Lxf. SIEMPRE
EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES INFINITOS SE UTILIZA FUNDAMENTALMENTE UN TEOREMA SOBRE
LIMITES, EL CUAL NOS DICE QUE EL LIMITE DE UNA CONSTANTE DIVIDIDA ENTRE UNA VARIABLE, CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO ES IGUAL A CERO.
MATEMÁTICAMENTE LO EXPRESAMOS DE LA SIGUIENTE MANERA:
Nx < QUE
0xCLim
x=
∞→, SI C = CONSTANTE
NTE:
SE DIVIDEN TODOS LOS TÉRMINOS ENTRE LA VARIABLE DE MAYOR EXPONENTE
UEDE UNA CONSTANTE DIVIDIDA ENTRE UNA VARIABLE SE AN, YA QUE DE ACUERDO AL TEOREMA DE LIMITES INFINITOS ESTOS TÉRMINOS SON IGUALES
4. LAS CANTIDADES QUE NOS QUEDAN SE DIVIDEN O SE REDUCEN PARA OBTENER ASÍ EL RESULTADO
LOS RESULTADOS QUE PODEMOS OBTENER AL RESOLVER UN LIMITE INFINITO SON LOS SIGUIENTES:
UMERADOR ES UN MÚLTIPLO DEL DENOMINADOR.
OR. NOMINADOR NOS DA CERO. ESTO VA A PASAR CUANDO SE ELIMINEN TODOS LOS
NADOR.
EJEMPLOS:
EL PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN LIMITE INFINITO ES EL SIGUIE 1. 2. SE EFECTÚAN TODAS LAS DIVISIONES 3. TODOS LOS TÉRMINOS EN DONDE NOS Q
ELIMINA CERO
DEL LIMITE
1. UN NUMERO ENTERO, SI EL N2. UNA FRACCIÓN SI EL NUMERADOR NO ES UN MÚLTIPLO DEL DENOMINADOR. 3. CERO, SI EL NUMERADOR NOS DA CERO. ESTO VA A OCURRIR CUANDO SE ELIMINEN TODOS LOS
TÉRMINOS DEL NUMERAD4. INFINITO, SI EL DE
ÉRMINOS DEL DENOMIT
HALLAR EL LÍMITE DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
1.
432444
2
4
3
4
4234x
x10
x8
x4
x86
x10
xx8
xx4
xx8
xx610x8x4x8x6
Lim++−+
=
++−+
=++−+∞→
DESPUÉS DE ESTO
4324444234634
x536x3x4x5x3
+−+−+−+−4
234
xxxxxxxx6x3x4x5x3 +−+−
APLICAMOS NUESTRO TEOREMA 0xx ∞→
FRACCIONES EN DONDE U
CLim = , CON LO CUAL TODAS LAS
N NUMERO ESTE DIVIDIDO ENTRE x VALDRÁN CERO Y SE ELIMINARA, ASÍ QUE EL LIMITE NOS QUEDA:
2==
66Lim 133
∞→x
COMO 63
ES UNA CONSTANTE, ENTONCES NO IMPORTA A CUANDO TIENDA x, EL RESULTADO DEL LIMITE
SERÁ LA MISMA CONSTANTE.
SI SE OBSERVA EL RESULTADO DE LA ELIMINACIÓN DE TÉRMINOS, SOLO NOS QUEDA
6COEFICIENTES DE LOS TÉRMINOS CUYA VARIABLE TIENE EL EXPONENTE MAS GRANDE (x
3, QUE SON LOS
4). ESTO SIEMPRE VA A OCURRIR, POR LO QUE NOS PODEMOS EVITAR TODOS LOS PASOS ANTERIORES, SI SOLO TOMAMOS LOS COEF IENTE DE LOS TERMINO CUYA VARIABLE TENGA EL MAYOR EXPONENTE DE TODA LA FUNCIÓN. IC
27
NADA MAS HAY QUE CONSIDERAR QUE LA VARIABLE DE EXPONENTE MAS GRANDE DEBE DE SER EL MISMO EN EL NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR, POR LO QUE SI ESTE EXPONENTE NO SE ENCUENTRA EN AMBOS PARTES (NUMERADOR Y DENOMINADOR), A LA PARTE QUE NO TENGA DICHA VARIABLE, CON ESE MAYOR EXPONENTE, LE ASIGNAREMOS EL VALOR DE CERO.
2. ∞==+−
∞→ 07
8x5x3x7Lim
2
x NO EXISTE
2 TA EN EL DENOMINADOR, ESTA PARTE VALE CERO.
3.
COMO x NO ES
5==+−
+−∞→ 2
10x8x10x2
4x3x10Lim34
34
x
4. 0==+
+∞→ 8
0x10x8
6x2Lim3
5x
R, ESTA PARTE VALE CERO.
5.
COMO x5 NO ESTA EN EL NUMERADO
1−=−
=107
−−∞→ x10
Lim3x
+ 106x10 3
1−=6. −
−+∞→ 1
xxxx
21
313x
MO
=+
=+ 1xxxxLim
21
31
3
CO31
21> , ENTONCES
21
ES EL MAYOR EXPONENTE.
EJERCICIOS PROPUESTOS ( I – D )
1. 5x3x6
Lim3x +∞→
x3x9x4 23
+
++
2. 5x3x53x5x10im
2
2 −+ Lx −+∞→
3.
3x5x103x72 −+ x5x4Lim
2
3
x +
−∞→ −
4. 5x3x5x14
x3x3x10Lim279
245
x ++−
+−∞→
xx
xx 44Lim−−5.
x 4 −∞→ +
4
28
1.2. TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.
O 1. IDENTIFICARA LAS 3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD QUE DEBE TENER UNA FUNCIÓN. (DC, EA) 2. R
D INUIDAD: CONT SATISFACEN LAS 3 CONDICIO
I. f(c) ESTA DEFINIDA
QUE UNA FUNCIÓN ES CONTINUA EN UN INTERVALO ABIERTO (a, b) SI ES CONTINUA EN CADA PUNTO DEL INTERVALO.
UNA FUNCIÓN QUE ES CONTINUA EN TODA LA RECTA REAL
1.2.1 CONDICIONES DE CONTINUIDAD.
BJETIVOS:
ESOLVERÁ EJERCICIOS DONDE SE APLIQUEN LAS 3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD. (PO, EC)
EFINICIÓN DE CONT
INUIDAD EN UN PUNTO: DECIMOS QUE UNA FUNCIÓN f ES CONTINUA EN c SI SE NES SIGUIENTES:
II. ( ) EXISTExfLimcx→
III. ( ) ( )cfxfLimcx
=→
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: DECIMOS
( )∞+∞− , SE LLAMA CONTINUA EN TODAS PART
SI NO SE CUMPLE CUALQUIERA DE LAS CONDICIONES ANTERIORES, ENTONCES LA FUNCIÓN SERÁ
DISC
1.- UNA DIVISIÓN ENTRE CERO. 2.- EXTRAER UNA CANTIDAD NEGATIVA. SI SUSTITUIMOS UN VALOR CUALQUIERA A LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y NO SE PRESENTA NINGUNO DE
LOS
UVARIAS DE LAS CONDICIONES DICHAS DE CONTINUIDAD.
ARA PODER SABER SI UNA FUNCIÓN ES CONTINUA EN UN PUNTO, DEBEMOS DE COMPROBAR QUE SE CUMPLAN LAS CON ONTINUIDAD, PARA ELLO SUSTITUIREMOS EL VALOR DEL PUNTO EN NUESTRA FUNCIÓN, OR AMBOS LADOS Y COMPROBAR LOS RESULTADOS OBTENIDOS.
NTOS QUE SE INDICAN:
ES. EXISTEN DOS TIPOS DE DISCONTINUIDAD, LAS EVITABLES Y LAS ESENCIALES. POR LO GENERAL, LA
DISCONTINUIDAD ES EVITABLE CUANDO SE ROMPE POR FACTORIZACION O CUANDO PODEMOS CAMBIAR ALGUNAS DE LAS CONDICIONES DE LA FUNCIÓN Y SERÁ ESENCIAL CUANDO NO PODAMOS HACER LO ANTERIOR.
ONTINUA EN ESE PUNTO. UNA FUNCIÓN ES CONTINÚA SIEMPRE QUE NO SE PRESENTE CUALQUIERA DE LOS SIGUIENTES CASOS:
RAÍZ DE ÍNDICE PAR A UNA
DOS CASOS ANTERIORES, LA FUNCIÓN SERÁ CONTINUA PARA ESE VALOR.
UNA FUNCIÓN f(x) SE DICE QUE ES DISCONTINUA EN EL P NTO x = x0 CUANDO NO SE CUMPLA UNA O
P
DICIONES DE CHALLAR SU LIMITE P
EJERCICIOS DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO (NO APLICAN PARA EL EXAMEN
DEPARTAMENTAL): DETERMINA SI LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON CONTINUAS O DISCONTINUAS, EN LOS PU
1. PARA x = 3, ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>=<
=3xSI,x3
3xSI,93xSI,x
xf
2
PARA PODER DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES CONTINÚA O DISCONTINUA, TENEMOS QUE REVISAR UNA
POR UNA LAS CONDICIONES DE CONTINUIDAD, REVISANDO LA PRIMERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD TENEMOS:
I. COMO x = 3, ENTONCES: f(3) = 9
29
II. , EL LIMITE 9x3Lim3x
=+→
POR LA DERECHA EXISTE
TES POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA PODEMOS DECI
EL PUNTO DADO DEBE DE SER EL MISMO QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN, EN ESTE CASO EL VALOR DE LA
NCIÓN EN LE PUNTO DADO ES 9 Y EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EN ESTE PUNTO TAMBIÉN ES 9, POR LO QUE LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN EL PUNTO x = 3
A x = 9,
x
9xSI,109xSI,x9
xf2
I. COMO x = 9, ENTONCES f(9) = 10
II. =−→
, EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE
O EL LIMITE TANTO POR LA DERECHA COMO POR LA IZQUIERDA ES EL MISMO (81), ENTONCES EL LIMITE DE LA FUNCIÓN SI EXISTE.
EL VALOR DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO x = 9 ES 10, MIENTRAS QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EN PUNTO ES 81. LOS ORES NO SON IGUALES, P QUE DECIMOS QUE LA FUNCIÓN NO ES
CONTINUA EN EL PUNTO x = 9, YA QUE NOS EST ALLANDO LA TERCERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD.
ARA ESTE EJERCICIO, PODEMOS DECIR QUE EXISTE UNA DISCONTINUIDAD EVITABLE, YA QUE SI
CAMBIAMOS LA CONDICIÓN f(x) = 10, SI x = 9, POR LA CONDICIÓN f(x) = 81, SI x = 9, LA TERCERA CONDICIÓN DE CONT DAD SI SE CUMPLIRÍA Y POR LO TANTO LA FUNCIÓN SI SERÁ CONTINUA EN EL PUNTO x = 9.
. PARA x = 3,
COMO x = 3, ENTONCES f(3) = 3(3) ⇒ f(3) = 9
. , EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE
, EL LIMITE POR LA DERECHA EXISTE
L LIMITE POR LA IZQUIERDA ES 18, MIENTRAS QUE EL LIMITE POR LA DERECHA ES 9, POR LO TANTO NO
PODEMOS DECIR QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EXISTA, YA QUE COMO SE DIJO ANTERIORMENTE EL VALOR DEL LIMITE ES ÚNICO Y NO PUEDEN SER DOS AL MISMO TIEMPO, ASÍ QUE COMO NOS FALLA LA SEGUNDA COND ÓN DE CONTINUIDAD, LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA PARA EL PUNTO x = 3.
. PARA x = 3,
9xLim 2
3x=
−→, EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE
DE ACUERDO A LOS RESULTADOS DE LOS LIMIR QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN ES 9. III. LA TERCERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD NOS DICE QUE EL VALOR DE LA FUNCIÓN EN
FU
2. PAR ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=<
=
9xSI,
81x9Lim
9x
81xLim9x
=+→
, EL LIMITE POR LA DERECHA EXISTE 2
COM
III.
DICHO VAL OR LO A F
P
INUI
3 ( )⎩⎨⎧
<≥
=3xSI,x63xSI,x3
xf
I. II 18x6Lim
3x=
−→
9x3Lim3x
=+→
E
ICI
4 ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
>
=−+
=
3xSI,x
3xSI,x3
3xSI,3x3x
xf2
COMO x = 3, ENTONCES f(3) =I. ( ) ( ) ( ) ∞=⇒=⇒−+
= 3f063f
33333f
ESTA DEFINIDO, POR LO ISCONTINUA EN x = 3.
PARA ESTE EJERCICIO TENEMOS QUE EL VALOR DE f(x) AL DARNOS INFINITO, NOQUE NOS FALLA LA PRIMERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD, ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES D
30
TAMBIÉN EN ESTE EJERCICIO SE NOS PRESENTA UNA DISCONTINUIDAD ESENCIAL, YA QUE TENDRÍAMOS RA FUNCIÓN PUEDA
SER CONTINUA.
JERCICIOS DE CONTINUIDAD EN UN INTERVALO (NO APLICAN PARA EL EXAMEN
AR RAÍZ DE ÍNDICE PAR A ALGUNA CANTIDAD NEGATIVA, ESTO SOLO PUEDE PRESENTARSE SI LA FUNCIÓN ES RACIONAL (EN EL CASO DE LA DIVISIÓN ENTRE CERO) O IRRACIONAL (EN EL CASO DE RADICALES). LA FUNCIÓN QUE NOS DAN ES LINEAL, ASÍ QUE NINGUNO DE LOS DOS CASOS DE DISCONTINUIDAD PUEDEN PRESENTARSE, POR LO TANTO: ESTA RVALO.
QUE CAMBIAR TODAS LAS CONDICIONES (HACER UNA NUEVA FUNCIÓN), PARA QUE NUEST
E
DEPARTAMENTAL): DETERMINA SI LA FUNCIÓN QUE SE DA ES CONTINÚA EN EL INTERVALO PROPUESTO: 1. ( ) ,2x3xf −= EN [0, 5]. LA FUNCIÓN SOLO SERÁ DISCONTINUA CUANDO AL SUSTITUIRLE ALGÚN NUMERO DEL INTERVALO
RESULTE O SE GENERE UNA DIVISIÓN ENTRE CERO O SE LE TENGA QUE SAC
FUNCIÓN ES CONTINUA EN TODO EL INTE
2. ( )3x2x3xf
+−
= , EN [–1, 3].
ESTA FUNCIÓN ES RACIONAL, ASÍ QUE PUEDE PRESENTARSE LA DIVISIÓN ENTRE CERO. LO QUE NOS
CONVIENE AVERIGUAR ES CUAL ES EL VALOR DE x QUE HACE QUE AL SUSTITUIRLO EN LA ECUACIÓN EL DENOMINADOR NOS DE CERO. COMO EL DENOMINADOR ES x + 3, ENTONCES EL ÚNICO VALOR DE x QUE HACE QUE ESTA ECUACIÓN DE CERO ES –3, ASÍ QUE COMO EN EL INTERVALO PROPUESTO NO ESTA INCLUIDO EL –3, LA FU ÓN ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO. NCI
3. ( )2x3x4xf
−−
= , EN [0, 6].
STA FUNCIÓN ES RACIONAL, COMO EL DENOMINADOR ES x – 2, ENTONCES EL ÚNICO VALOR DE x QUE HACE QUE ESTA ECUACIÓN DE CERO ES 2, ASÍ QUE COMO EN EL INTERVALO PROPUESTO ESTA INCLUIDO EL 2, LA FU CIÓN NO ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO.
E
N
4. ( )5x31xxf−−
= , EN [0, 3].
STA FUNCIÓN ES RACIONAL, COMO EL DENOMINADOR ES 3x – 5, ENTONCES EL ÚNICO VALOR DE x QUE
HACE QUE ESTA ECUACIÓN DE CERO ES
E
53
, ASÍ QUE COMO 53
ESTA UBICADO ENTRE 0 Y 1, EL INTERVALO
PROPUESTO ESTA INCLUIDO EL 53
, LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO.
4. ( ) 1xxf −= , EN [2, 7].
ESTA FUNCIÓN ES IR , PARA ESTE TIPO DE FUNCIONES LO QUE TENEM MPIEZAN A PRESENTAR CANTIDADES NEGATIVAS EN LA FUNCIÓN, PORQUE EL ULTIMO VALOR QUE HACE QUE LA FUNCIÓN SEA CONTINUA ES AQUEL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE CERO (YA QUE
RACIONAL, LA FUNCIÓN DENTRO DE LA RAÍZ ES x – 1OS QUE CALCULAR ES A PARTIR DE QUE VALOR DE x SE E
00 = ) Y EL PRIMER VALOR QUE HACE LA FUNCIÓN SEA DISCONTINUA ES AQUEL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE –1.
UEL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE 0, UNA VEZ HECHO ESTO TENEMOS QUE VERIFICAR QUE VALORES A PARTIR DE ESTE NUMERO S OS QUE DAN CANTIDADES POSITIVAS EN LA FUNCIÓN Y CUALES NEGATIVAS, PARA ENTENDERLO MEJOR, VAMOS AL EJERCICIO, EL VALOR DE x QUE HACE QUE LA ECUACIÓN x – 1 QUE ESTA DENTRO DEL RADICAL DE 0, ES 1. YA SABIENDO QUE EL QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE CERO ES 1, TENEMOS QUE REVISAR QUE NUMEROS SON LOS QUE DAN CANTIDADES POSITIVAS EN LA ECUACIÓN , SI LOS NUMEROS x MAYORES DE 1 O LOS NUMEROS x MENORES DE 1
ENTONCES LO QUE TENEMOS QUE CALCULAR PRIMERO ES AQ
ON L
1x −( )1x > ( )1x <
EL RESULTAD. SI TOMAMOS UN NUMERO MAYOR QUE 1, POR EJEMPLO
EL 2, Y LO SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN O ES 1, MIENTRAS QUE SI TOMAMOS UN NUMERO
EL INTERVALO. C MO EL INTERVALO EMPIEZA A PARTIR DE 2 Y LLEGA HASTA 7, LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO PORQUE NO HAY NINGÚN NÚMERO MENOR DE 1.
5.
MENOR QUE 1, POR EJEMPLO EL 0, EL RESULTADO NOS DA 1− , ESTO QUIERE DECIR QUE SI EN NUESTRO INTERVALO HAY ALGÚN NUMERO MENOR QUE 1 LA FUNCIÓN NO SERÁ CONTINUA EN TODO
O
( ) 4xxf += , EN [–8, 5].
31
EL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE 0, ES –4, POR LO QUE LOS NUMEROS MAYORES DE –4 SON LOS QUE HACEN CONTINUA A LA FUNCIÓN, MIENTRAS QUE LOS NUMEROS MENORES DE –4 SON LOS QUE LA HACEN CONTINUA, COMO EL INTERVALO DADO CONTIENE NUMEROS MENORES DE –4, ENTONCES LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO.
EJERCICIOS PROPUESTOS ( I – F )
NCIONES SON CONTINUAS EN EL PUNTO QUE SE INDICA:
1.
2.
⎧ −≤+=
4tSI,4t
4. 3
2sSI,3ssg
5
6. +
=3xSI,x103xI,1x2
xh
7.
8.
9.
⎪⎩
⎪
>− 2xSI,x4
g2
10.
⎩
⎪
>+
<
1xSI,2x
1xSIf
DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON CONTINUAS EN EL INTERVALO QUE SE INDICA:
11.
DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES FU
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−=−
>=
1xSI,31xSI,1
1xSI,2xf
( )⎩⎨⎧
≥<−
=1xSI,2
1xSI,2xf
3. ⎩⎨ −>− 4tSI,t4
tf ⎧ <− 2xSI,4x2
( )
( )⎩⎨⎧
−>−−≤+
=2sSI,s
)⎪
⎪⎨ == 2xSI,0t
. ( ) ⎧ + ,3x2⎪⎩
⎪⎨⎧
>−≤=
2xSI,x282xSI,xxf
2
( )⎩⎨⎧
≥−<S ⎪
⎨ == 1xSI,4x2
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=
<+=
1rSI,r271rSI,5
1rSI,3r2rg
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−>−
−=−<+
=
2tSI,t1
2tSI,02tSI,t3
tg2
2
(
( )
( ) [ ]5,1EN,3x53xf −+=
12. ( ) [ ]6,1EN7x6xxf
−−
=
13. ( ) [ ]5,1EN4x1xxf
−−
=
14. ( ) [ ]5,10EN10x11xxf −
−−
=
15. ( ) [ ]4,1EN11x21xxf −
−−
=
( ) [ ]1,1EN3x8
9xxf −−−
= 16.
17. ( ) [ ]10,6EN6xxf −=
( ) [ ]2,3EN2xxf −+= 18.
( ) [ ]7,3ENx3xf −= 19.
( ) [ ]2,5ENx5xf −+= 20.
32
1.2.2 TEOREMAS DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS OBJETIVOS 1. DEFINIR OS TEOREMAS DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS. (DF, EA)
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
[a, b] Y k ES CUALQUIER NUMERO ENTRE f(a) Y f(b), EXISTE AL MENOS UN NUMERO c EN [a, b], TAL QUE f(c) = k.
NOTA: EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO ASEGURA QUE AL MENOS EXISTE UN c, PERO NO
PROPORCIONA UN METODO PARA ENCONTRARLO. TALES TEOREMAS SE DENOMINAN TEOREMAS DE EXISTENCIA.
EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO ASEGURA LA EXISTENCIA DE AL MENOS UN NUMERO c EN EL
INTERVALO [a, b]. PUEDE CLARO HABER MAS DE 1 COMO SE INDICA EN LA FIGURA:
:
A L
SI f ES CONTINUA EN EL INTERVALO CERRADO
TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS:
ESTE TEOREMA NOS DICE QUE EN EL RECORRIDO DE LA FUNCIÓN ESTA DEBERA ALCANZAR UN VALOR
M YOR Y UN VALOR MENOR, ESTOS VALORES SON LOS VALORES EXTREMOS, ES DECIR LOS MAS ALEJADOS QUE TENDRA LA FUNCIÓN.
SI f ES CONTINUA ES UN INTERVALO CERRADO [a, b], ENTONCES f ALCANZA UN VALOR MÁXIMO Y
TAMBIEN UN VALOR MÍNIMO EN ESE INTERVALO.
A
33
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD I 1. ¿QUIÉNES FUERON LOS INICIADORES DEL ESTUDIO DEL CALCULO? 2. ¿QUE TRABAJOS PREVIOS SIRVIERON PARA FUNDAMENTAR AL CALCULO?, ¿QUIENES LO REALIZARON Y
QUE CONCEPTO BASICO Y FUNDAMENTAL DEL CALCULO SE DETERMINO A PARTIR DE ELLOS? 3. ESCRIBE LA DEFINICIÓN DE LIMITE. 4. RELACIONA LAS NOTACIONES DE LIMITE CON EL TIPO DE LIMITE QUE REPRESENTAN- A. ( ) LIMITE POR LA DERECHA
B. ( ) LIMITE DE UNA FUNCION
C. ( ) LIMITE POR LA IZQUIERDA
5.- REPRESENTA LA NOTACION DEL LIMITE DE LA FUNCIÓN f(x) = 3x – 2 CUANDO x TIENDE A 2, CUANDO x
TIENDE A 2 POR LA DERECHA Y CUANDO x TIENDE A 2 POR LA IZQUIERDA.
L)x(fLimcx
=→
1cx
L)x(fLim =−→
2cx
L)x(fLim =+→
34
6. LLENA LA SIGUIENTE TABLA, PONIENDO EL NOMBRE DEL TEOREMA DEL LIMITE O LA FORMA COMO SE
DENOTA EL TEOREMA SEGÚN LO QUE APAREZCA EN LA LDA, CHECA LA PRIMERA CELDA.
LIMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES
CE
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→
+=+
LIMITE DE LA DIFERENCIA DE FUNCIONES
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→
•=•
X. LIMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES:
LIMITE DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA
kkLimcx
=→
LIMITE DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
( ) ( ) ( ) 0xfsixfLimxfLimcxcx
≥=→→
( ) ( )xfLimkxfkLimcxcx →→
•=
7. HALLA EL VALOR DE LOS LIMITES QUE SE DAN:
A.4x24x −→
16xLim2 −
B. 3x
6x8x2Lim2 +−
3x −→
C. 16x
12xxLim24x −
−−→
2
D. 4x
Lim2
2x −−−→
E.
x2
9xxLim2
2
3x −+−→
F. 9x
3x2xLim2
2 ++x −∞→
G. 8x
9xxLim4
3
x −
++∞→
8. DESCRIBE BREVEMENTE LO QUE ES CONTINUIDAD EN UN PUNTO, EN UN INTERVALO Y EN TODAS PARTES.
35
9. ACOMPLETA LOS CONCEPTOS QUE SE DAN A CONTINUACIÓN: A. EL TEOREMA ______________________ NOS DICE: SI f ES CONTINUA EN EL INTERVALO CERRADO [a, b] Y k
ES CUALQUIER NUMERO ENTRE f(a) Y f(b), EXISTE AL MENOS UN NUMERO c EN [a, b], TAL QUE f(c) = k.
Y UN VALOR MENOR, ESTOS VALORES SON LOS VALORES EXTREMOS, ES DECIR LO
B. EL TEOREMA ______________________ NOS DICE QUE EN EL RECORRIDO DE LA FUNCIÓN ESTA DEBERA
ALCANZAR UN VALOR MAYOR S MAS ALEJADOS QUE TENDRA LA FUNCIÓN.
36
MÓDULO II
LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA
PROPÓSITOS DEL UNIDAD II
RESOLVERÁ PROBLEMAS SOBRE RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA, APLICANDO SUS
PRINCIPIOS, CONCEPTOS Y R EGLAS PARA LA INTERPRETACIÓN GRÁFICA EN CONTEXTOS DE LAS CIENCIAS NATURALES, ECONOMICO-ADMINISTRATIVOS Y SOCIALES,
CONTRIBUYENDO A GENERAR AMBIENTE ESCOLAR COLABORATIVO Y RESPONSABLE
37
2.1. LA DERIVADA
2.1.1. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA OBJETIVOS:
DIFERENCIA ENTRE RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E IN
. RESOLVERÁ EJERCICIO DE RAZÓN DE CAMBIO. (PO, EA)
EA f UNA FUNCIÓN TAL QUE y = f(x); SEAN x1 Y x2 UN PAR DE ARGUMENTOS DE f. DEFINIMOS LA RAZÓN DE CAMBIO DE y CON RESPECTO A x (CAMBIO PROMEDIO)
COMO:
1. EXPLICARA LA
TANTÁNEA. (DC, EA) S2 S RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO S
( ) ( )
12
22
12
12xx
xfxfxxyy
xy
−−
=−−
=∆∆
RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA SEA y = f(x) UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN TODOS LOS PUNTOS DEL INTERVALO [x, x + ∆x],
S ∆x > 0; EN EL INTERVALO [x + ∆x, x, ] SI ∆x < 0. DEFINIMOS LA “RAZÓN DE CAMBIO IN N N
I STANTÁNEO” DE LA FUNCIÓ x E EL ARGUMENTO x, CON EL SIGUIENTE LIMITE:
xyLim
0x ∆∆
→∆
O BIEN CON OTRA NOTACIÓN: ( ) ( )12
220x xx
xfxfLim
−−
→∆
DE ACUERDO A SUS DEFINICIONES LA DIFERENCIA ENTRE AMBAS ES QUE LA RAZÓN
DE CAMBIO PROMEDIO ES UNA RAZÓN DE INCREMENTOS, MIENTRAS QUE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA ES EL LIMITE DE UNA RAZÓN DE INCREMENTOS
DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN f(x) = 3x+1 EN EL INTERVALO DE VALORES DE x ∈ [3, 7]
A RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO SE DEFINE COMO
EJERCICIOS: 1.
L12
12xxyy
xy
−−
=∆∆ , ASÍ QUE LO QUE
TENEMOS QUE HALLAR SON LOS VALORES DE x∆ (INCREMENTO EN x) Y y∆ (I CREMENTO EN y), SABIENDO QUE Y
OS VALORES DE x QUE NOS SERVIRÁN PARA HALLAR
N 12 xxx −=∆ 12 yyy −=∆ . L x∆ , NOS LOS DAN EN EL
INTERVALO DE VALORES DE x, ASÍ QUE Y , ASÍ QUE 3x1 = 7x2 = x∆ SERÁ IGUAL A:
37xxxx 12
HORA PARA HALLAR LOS VALORES QUE NOS SERVIRÁN PARA HALLAR , HACEMOS USO DE LA IGUALDAD y = f(x), ASÍ QUE LA FUNCIÓN QUE NOS DAN LA PODEMOS ESCRIBIR DE LA FORMA y = 3x +1, ASÍ QUE PARA HALLAR LOS VALORES DE Y S ALORES DE x QUE NOS DIERON EN EL INTERVALO EN LA FUNCIÓN:
4∆x =⇒−=∆⇒−=∆
A y∆
1y 2y OLO TENEMOS QUE SUSTITUIR LOS V
38
( ) 10y1y1 9y133 11 =⇒+=⇒+=
R HALLAR HACEMOS LO MISMO PERO TOMAMOS EL VALOR DE
11 =⇒+=⇒+=
O A CON LOS VALORES DE Y HALLAMOS EL VALOR DE
PA A 2y 2x :
( ) 22y121y173y 2
AH R 1y 2y y∆ :
1022yyy 12
ALMENTE COMO LA RAZÓN DE CAMBIO PR MEDIO ES
12∆y =⇒−=∆⇒−=∆y
FIN O xy
∆∆ , SOLO TENEMOS QUE
DIVIDIR LO QUE NOS DIO ENTRE LO QUE NOS DIO y∆ x∆ :
3∆x∆y
=⇒=∆∆y
412
x
A RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN EN EL INTERVALO DADO ES 3.
. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN
L
( ) 6x22 x5xf 2 −+= EN EL INTERVALO DE VALORE DE x ∈ [–1, 4]
S VALORES DEL INTERVALO: Y TANTO:
1414xxx 12
O LOS VALORES DE Y , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN PARA HALLAR Y (PARA HALLAR USAMOS A Y PARA HALLAR USAMOS A ):
856215
61215y
2
2
2
22
2
1
1
1
21
=+=
−+=−+=
−=−=
−−=−−+
ALLAMOS AHORA
382∆y382yyyy 12
INALMENTE HALLAMOS
S DE LO , POR LO 1x1 −= x2 = 4
( ) 5∆x =⇒+=∆⇒−−=∆⇒−=∆ xx
1x 2x ( ) 6x2x5xf 2 −+= 1y 2y 1y
USAND1x 2y 2x
(1 −= ) ( )( )
( ) ( )( )
82y280y
68165y64245y
yCALCULANDO
3
CALCULANDOyyyy
H y∆ :
( ) 85∆y =⇒+=⇒−−=∆⇒−=∆
xy
∆∆ : F
17∆y85∆y∆x∆ 5x
=⇒=
3. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN ( ) 5x2xf += EN EL
INTERVALO DE VALORES DE x ∈ [2, 8]
E LOS VALORES DEL INTERVALO: Y , POR LO TANTO: D 2x1 = 8x2 =
6∆x =⇒−=∆⇒−=∆ 28xxxx 12
39
USANDO LOS VALORES DE Y , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN 1x 2x ( ) 5x2xf += PARA HALLAR 1y Y 2y :
( ) ( )
9y54y
516y52y
54y 2
1
1 +=+=+=
582yyCALCULANDO
7
522y
2
2
2
1
1
=+=
+=
=
+=
ALLAMOS AHORA
79yyyy
CALCULANDOy
y 21
y∆ : H
2∆y =⇒−=∆⇒−=∆ 12
FINALMENTE HALLAMOS xy
∆∆ :
31
∆x∆y
=⇒=∆ 6
2x
∆y
4. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN ( )3x5xxf
2
−+
= EN EL
INTERVALO DE VALORES DE x ∈ [5, 10]
Y , POR LO TANTO:
510xxxx 12
S NCIÓN
E LOS VALORES DEL INTERVALO: D 5x1 = 10x2 =
5∆x =⇒−=∆⇒−=∆
( )3x5xxf
2
−+
= ANDO LOS VALORES DE 1x Y 2x , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUU
PARA HALLAR Y : 1 2
y y
( )( )
( )( )
35y7
105y
310
15y2
30y
35
2
2
1
1
=
=
−
=
=
−
5100310
52535
+−
+−
y
510y
yCALCULANDOy
2
2
2
2
1
1
1
=
+=
=
ALLAMOS AHORA
1535yyyy 12
INALMENTE HALLAMOS
y
CALCULANDO55 2 +
=y
y∆ : H
20∆y =⇒−=∆⇒−=∆
y∆F : x∆
4∆x∆y
⇒=∆ 5
20x
∆y=
40
EJERCICIOS PROPUESTOS (2 – A1):
.
.
1. [ ]21xxy 2 ,, ∈= 2. [ ]511xxy 2 .,, ∈= 3. [ ]11xx2xy 2 ,, −−= ∈
18. ( )( ) [ 10x ],∈ 3x2xx5x3y 22 ,+−−=
19. [ ]21xx2xy 2 ,, ∈+=
20.
( ) [ ]501xx1xy 32 .,−+= ∈ ,
[ ]30xxy 3 ,, ∈= 4
5 [ ]244xxy 21
.,, ∈=
]3 .,
.
. ( ) [ 2x1xxy 2 , −−−= ∈6 5
7. ( ) [ ]5231xxy 2 .,, −−−= ∈
x
8 [ ]32xx1y 3 ,, ∈−= 9. ( ) [ ]12x2x3xxy 2 −−+−= ∈ ,, 10. ( ) [ ]31x3x7xy 2 ,, ∈−= 11. ( ) ( ) [ ]277x2x5x2y .,, ∈−−= 12. [ ]65x5xxy ,, ∈−= 13. [ ]577xxx21y 2 .,, ∈−−= 14. 15.
( ) [ ]111x3xxy 2 .,, ∈+=
( ) ( ) [ ]500x3x5xy 22 .,, ∈−+= 1 6. ( ) [ ]522x5xxy 2 .,, ∈+=
17. ( ) [ ]31x3x3x2y ,, ∈+−=
21. [ ]31x1x
xy ,, ∈+
=
2
22. [ ]31x1x
xy2
,, ∈−
=
23. [ ]11x
3x2xy ,, −−
= ∈
[ ]100x1x2
1x2xy2
.,, ∈+
−+= 24.
25. [ ]02x1xy 2 ,, −+= ∈
x 26. [ ]31x
x21x2y ,, ∈−+=
27. [ ]43x
7x2xx3y 2 ,, ∈−
+=
28. [ ]53x
1x52x73x2y ,, ∈−
−+= −
29. [ ]116x2x
x1y2
,, ∈−
−=
[ ]10xx52xy 3 2 ,, ∈+−= 30.
41
2.1.2 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
DEFINIRÁ A LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA. (DF, EA)
ERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
EA f UNA FUNCIÓN CONTINUA Y SUAVE EN UN INTERVALO [a, b]. SI x ES UN PUNTO D LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN TAL PUNTO SE REPRESENTA POR f ’(x) Y LA DEFINIMOS COMO
)
OBJETIVOS: 1. D SEL INTERVALO, ENTONCES
( ) ( ) (x
f∆
xfxxfLimx
0x
−∆+=′
→∆
ECORDAREMOS QUER ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ ; ENTONCES, PODEMOS COMPROBAR QUE LA DERIVADA PUEDE REPRESENTARSE TAMBIÉN COMO:
( )x0x ∆→∆
yLimx ∆=′
SÍ, LA DERIVADA ES EN SI UNA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO DE DOS VARIABLES RELACIONAD .
IN ERPRETARA GEOMÉTRICAMENTE A LA DERIVADA. (DC, EA)
RIVADA DE UNA FUNCIÓN f, PARA UN ARGUMENTO x, ES NUMÉRICAMENTE IGUAL A LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE DE LA CURVA DADA POR LA FUNCIÓN, EN EL P NTO (x, f(x))
f
AAS
2.1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
BJETIVOS: O . T1
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. LA DE
U LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN PUEDE REPRESENTARSE DE DIFERENTES FORMAS,
SON COMUNES LAS SIGUIENTES: NOTACIÓN DE DERIVADAS: ( )xf ' → EFE PRIMA DE x, MUY USADA EN FUNCIONES
dxdy D→ ERIVADA DE y CON RESPECTO A x, MUY USADA EN LOS FORMULARIOS
EXPLICARA LA DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO. (DC, EA)
N SE LLAMA DERIVACIÓN. UNA FUNCIÓN ES DERIVABLE ( U DERIVADA EN x EXISTE, Y
'y → YE PRIMA, LA MÁS USADA EN LA RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS.
2.1.4. DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO OBJETIVOS: 1. EL PROCESO DE HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓ
O DIFERENCIABLE) EN x SI S
42
DERIVABLE EN UN INTERVALO ABIERTO (a, b) SI ES DERIVABLE EN TODOS Y CADA UNO DE LOS PUNTOS DE ESE INTERVALO.
2.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
2.2.1 REGLA N DE FUNCIONES ALGEBRAICAS.
OBJETIVOS:
ICANDO INCREMENTOS (REGLA DE LOS 4 PASOS). (PO, EC)
PLI S FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS. (FO MULAS (PO, EA)
TO O DE DERIVACIÓN POR INCREMENTO (REGLA DE LOS 4 PASOS):
EN LA DEFINICIÓN DE DERIVADA
S DE DERIVACIÓ
1. OBTENDRÁ LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN APL
2. A CARA LAR 1–11)
É DM
STE MÉTODO DE DERIVACIÓN ESTA BASADO E
( ) ( )x
xfxxf( ) Limxyx
0x==
→∆Lim'f
0x ∆−∆+
∆∆
→∆. SI VEMOS DETENIDAMENTE LA ÚLTIMA NOTACIÓN, EN
ELLA ESTA BASADA LA REGLA DE LOS 4 PASOS, QUE SON LOS SIGUIENTES:
LES TENEMOS QUE S
1. . ESTE PASO NOS INDICA QUE A TODAS LAS VARIABLES x MAR SU INCREMENTO EN x ( xx
( )xxf ∆+
U ∆+ ), POR EJEMPLO SI LA FUNCIÓN ES x3xy 2 += , AL SUMARLE x UEDA x∆+ NOS Q ( ) ( )xx3xxy 2 ∆++∆+=
ÓN SE CAMBIARAN O SUST, EN OTRAS PALABRAS PODEMOS DECIR
QUE TODAS LAS x DE LA FUNCI ITUIRÁN POR . DESPUÉS DE AGREGAR LOS , TENEMOS QUE HACER LAS OPRESIONES ALGEBRAICAS CORRESPONDIENTES, COMO DESARROLLAR EL CUADRADO Y LA M DADO.
. S I DICA QUE A LA FUNCIÓN A LA QUE SE SUMO EL SE LE TIENE QUE RESTAR AHORA LA FUNCION INICIAL QUE EN ESTE CASO ES
FACTORIZA LA EXPRESION Y SE D
. DESPUES DE E APLICA EL
( )xx ∆+
( )xx ∆+
( )2xx ∆+
ULTIPLICACIÓN ( )xx3 ∆+ , EN EL CASO DEL EJEMPLO 2. − ESTE PASO NO N( )xf ( )xx ∆+
x3x2 + . 3. DESPUES DE RESTAR LA FUNCION INICIAL, SE
IDE TODO ENTRE x∆ . IV
LA DIVISION S4xyLim
0x ∆∆
→∆, CON LO CUALTODAS LAS
EXPRESIONES QUE TENGAN SE VAN A ELIMINAR Y LO QUE QUEDE SERA LA DERIVADA DE NUEST
JERCICIOS RESUELTOS:
ALLAR LE DERIVADA DE LA FUNCION , APLICANDO LA REGLA DE LOS 4 PASOS.
x∆RA FUNCION.
E
x3xy 2 +=H
SUMANDO LOS INCREMENTOS DE x:
( ) ( ) ( ) x3x3xxx2xy 2 ∆++∆∆++∆+=
T MOS AHORA LA FUNCION INICIAL:
xxx3xy 22 +=∆+∆+
RES A
( ) ( ) x3xxx2x3xx3x3xxx2xyy 2222 ∆+∆+∆+=−−∆++∆+∆+=−∆+ y
43
AHO NTRE x∆RA DIVIDIMOS E , PODEMOS HACERLO FACTORIZANDO POR TERMINO COMUN O SIMPLEMENTE DIVIDIR TERMINO POR TERMINO ENTRE x∆
( ) 3xx2
xx ∆∆x3xxx2 2
+∆−=∆+∆+∆
= y∆
xyLim
0x ∆∆
→∆ A LO QUE NOS QUEDO DE LA DIVISION. FINALMENTE APLICAMOS EL LIMITE
32x +=+∆−=
∆∆
→∆→3xx2Lim
xyLim
0x0x
∆
EJERCICIOS PROPUESTOS: HALLAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES APLICANDO LA REGLA DE LOS 4
PASOS. . y = 4 1
. y = 5x 2
3. y = x2 – 2x + 10 4. y = x3 – 2x2 + 5x – 7
3x10y −= 5. FORMULAS DE DERIVACIÓN
R ULAS BASICAS DE DERIVACION
1.
FO M
0Cdxd
= ; SI C = CONSTANTE
A DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A CERO.
.
L
1xdxd
= 2
LA DERIVADA DE x CON RESPECTO A x ES IGUAL A LA UNIDAD. 3. CCx
dx= d
A E UNA CONSTANTE, MULTIPLICADA POR LA VARIABLE x ELEVADA A LA U
LA DERIVAD DNO,CON RESPECTO A x, ES IGUAL A LA CONSTANTE.
1nn nxxdxd −= 4.
A DERIVADA DE x ELEVADA A UNA POTENCIA n, CON RESPECTO A x, ES IGUAL AL
PLRODUCTO DE n POR x ELEVADA A LA n – 1.
44
1nn nCxCx
dxd −= 5.
LA DERIVADA LEVADA A LA n, ES IGUAL AL DE UNA CONSTANTE MULTIPLICADA POR x E
PRODUCTO DE n POR LA CONSTANTE POR x ELEVADA A LA n – 1.
HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES QUE SE DAN A CONTINUACIÓN:
PARA EXPRESAR QUE ESTAMOS OBTENIENDO LA DERIVADA DE LA FUNCION, A LA DERIVADA DE y LA REPRESENTAREMOS COMO y’ (YE PRIMA).
RDO CON LA FORMULA 1 DE DERIVACIÓN:
EJERCICIOS RESUELTOS:
1. 10y =
DE ACUE SI: 10y = ⇒ y’ = 0
21y = 2.
DE ACUERDO CON LA FORMULA 1 DE DERIVACIÓN:
21y =SI: ⇒ y’ = 0
.
163y = 3
DE ACUERDO CON LA FORMULA 1 DE DERIVACIÓN:
SI: 163y = ⇒ y’ = 0
4. xy = DE ACUERDO CON LA FORMULA 2 DE DERIVACIÓN: SI: xy = ⇒ y’ = 1 5. x12y = DE ACUERDO CON LA FORMULA 3 DE DERIVA IÓN: SI: x12y = ⇒ y’ = 12
C
6. x25y −= DE ACUERDO CON LA FORMULA 3 DE DERIVACIÓN: SI: x25y −= ⇒ y’ = –25
45
7. 3xy = DE ACUERDO CON LA FORMULA 4 DE DERIVACIÓN: SI: 3xy = ⇒ y’ = ( )( ) 13x3 − ⇒ y’ = 2x3
58.
E ACUERDO CON LA FORMULA 4 DE DERIVACIÓN:
9. DE ACUERDO CON LA FORMULA 5 DE DERIVACIÓN:
0.
RIVACIÓN:
I: ⇒ y’ =
xy = D SI: 5xy = ⇒ y’ = ( )( ) 15x5 − ⇒ y’ = 4x5
2x4y =
SI: 2x4y = ⇒ y’ = ( )( )( ) 12x42 ⇒ y’ = x8
−
6x12y −= 1 DE ACUERDO CON LA FORMULA 5 DE DE S 6x12y −= ( )( )( ) 16x126 −− ⇒ y’ = 1.
: ⇒ y’ =
23 +−+−
DE ACUERDO CO ORMULAS 1, 3, 4 Y 5 DE DERIVACIÓN:
I: ⇒ y’ =
5x72−
10x4x5x3y 23 +−+= 1
E ACUERDO CON LAS FORMULAS 1, 3, 4 Y 5 DE DERIVACIÓN: D
10x4x5x3y 23 +−+= 4x10x9 2 −+ SI 12. xx10y 46 += 9x6x105x4
N LAS F
9x6x105x4xx10y 2346 +−+−+= 6x210x12x4x60 235 −+−+ S FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES QUE REALIZAN OPERACIONES
ALGEBRAICAS (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION) AHORA NOS ENFOCAREMOS A LAS DERIVADAS UN POCO MAS COMPLICADAS, LAS QUE
INVOLUCRAN FUNCIONES QUE REALIZAN OPERACIONES ALGEBRAICAS, EMPECEMOS POR LA SUMA Y LA RESTA:
...(v)dxd(u)
dxd...)v(u
dxd
++=++I. (SUMA Y RESTA)
OPERACIONES DE SUMA Y RESTA, LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES: SACAR POR SEPARADO LA DERIVADA DE CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA FUNCIÓN.
LICAREMOS LA FORMULA DE DERIVADA DE SUMAS Y RESTAS CUANDO:
. EN CASO DE QUE EXISTA UNA RAÍZ, ESTA NO CONTIENE MAS DE DOS TÉRMINOS.
PARA HALLAR LAS DERIVADAS DE FUNCIONES QUE NADA MAS REALIZAN
A
P
A. LA FUNCIÓN NO ESTA EN FORMA DE COCIENTE. B
46
C. SI LOS TÉRMINOS ESTÁN AGRUPAD EN UN PARÉNTESIS, ESTE PARÉNTESIS NO ESTA ELEVADO A UN EXPONENTE DIFERENTE DE UNO.
OS
1. 15x9x8x2y 23 −+−=
( ) ( ) ( ) ( )15dxdx9
dxdx8
dxdx2
dxdy 23 −+−=´
2' +−= 2.
y 916x8x
150x90x18x20y 246 −+−=
( ) ( ) ( ) ( )150dx90dx18dx20d´ 246 −+−= ydxdxdxdx
35 +− y
'= 180x72x120x
(u)dxdv(v)
dxdu(uv)
dxd
+=II. (MULTIPLICACIÓN)
QUIEN ES EL TERMINO U Y QUIEN ES EL TERMINO V. UNA VEZ DEFINIDOS ESTOS TÉRMINOS DEBEMOS DE SEGUIR EL SIGUIENTE PROCEDIMIENTO:
SUSTITUIR LOS VALORES DE u Y v EN LA FORMULA DE DERIVACIÓN. . DERIVAR LAS EXPRESIONES QUE TENGAN DELANTE DE SI EL OPERADOR
D
PARA OBTENER LA DERIVADA DE UN PRODUCTO, DEBEMOS DE EMPEZAR POR DEFINIR
AB
.
IFERENCIAL dxd
C. REALIZAR LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS DE SIMPLIFICACIÓN (SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES, DIV C.).
ISIONES, ET
( ) ( )3. v
x3x4u
5x8x3y −++= 223
STITUYENDO EN LA FORMULA: SU
( ) ( ) ( ) ( )dd 232223 5x8x3dx
x3x4x3x4dx
5x8x3´ ++−+−++=
ERIVANDO
y
: ( ) ( ) ( ) ( )x16x95x8x3DdxdxdY3x4x3x4d 2232 +=++−=− :
( )( ) ( ) ( )x16x9x3x43x85x8x3y 2223' +−+−++=
MULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS:
' −−++−+−+−=
DUCIEN O TÉRMINOS SEMEJANTES:
4.
23342334 x48x27x64x3615x40x24x64x9x24y
RE D
1540x72x92x60x y 234' −+−+=
( ) ( )v
x3x8u
10x9y = 343 −−
STITUYENDO EN LA FORMULA: S
U
47
( ) ( ) ( ) ( )10x9dxdx3x8x3x8
dxd10x9´y 334343 −−+−−=
DERIVANDO ( ) ( ) ( ) ( )232334 x2710x9dxdYx9x32x3x8
dxd
=−−=− :
( ) ( ) ( ) ( )234233 x27x3x8x9x3210x9´y −+−−=
MULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS:
REDUCIENDO TÉRMINOS SEMEJANTES:
I.
562356 x81x216x90x320x81x288y' −++−−=
2356 90x320x162x504xy' +−−=
( )
0v,v
(v)dxduu
dxdv
vu
dxd
2≠
−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛II (DIVISIÓN)
ARA OBTENER LA DERIVADA DE UN COCIENTE, AL IGUAL QUE EN LA MULTIPLICACIÓN,
P
LA LOS VALORES DE u Y v. COMO EN LA FORMULA SE V
PRIMERO TENEMOS QUE VER QUIEN ES EL TERMINO u Y QUIEN ES EL TERMINO v. EL PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:
. SUSTITUIMOS EN LA FORMUAAN A SUSTITUIR LOS VALORES DE
dxd (u) Y
dxd (v), PODEMOS SACAR ESTOS VALORES
A
DESPUÉS DE LAS MULTIPLICACIONES Y CAMBIOS DE SIGNOS, SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES.
. UNA VEZ REDUCIDO EL NUMERADOR SE PUEDE HACER UNA FACTORIZACION SI CON E IÓN DEL EXPONENTE DEL PARÉNTESIS DEL DENOMINADOR.
5.
NTES DE SUSTITUIRLOS EN LA FORMULA Y CON ESTO, LA DERIVACIÓN QUEDARÍA INCLUIDA EN ESTE PASO.
B. EN EL DENOMINADOR DE LA FORMULA DEBE DE IR EL VALOR DEL TERMINO v ELEVADO AL CUADRADO, PARA NO ESTAR REPITIENDO VARIAS VECES ESTE VALOR, PODEMOS ESCRIBIR NADA MAS v2 EN EL DENOMINADOR Y HASTA EL FINAL SUSTITUIMOS EL VALOR v YA ELEVADO AL CUADRADO. ESTO SE DEBE A QUE LAS OPERACIONES DE REDUCCIÓN SE REALIZAN EN EL NUMERADOR Y NO EN EL DENOMINADOR.
C. CUANDO SE HAGA LA MULTIPLICACIÓN DE LOS PARÉNTESIS DEL LADO DERECHO, DEBEMOS DE PONER LOS RESULTADOS DE ESTAS MULTIPLICACIONES ENCERRADOS TODOS EN UN PARÉNTESIS, YA QUE EL SIGNO NEGATIVO QUE ESTABA DELANTE DE ESTOS DOS PARÉNTESIS, VA A AFECTAR A TODOS ESTOS TÉRMINOS CAMBIÁNDOLES EL SIGNO.
D.
ELLO SE PUEDE HACER UNA REDUCC
x3x2
5x3y2 +
+=
DEFINIMOS LO S VALORES DE u Y v Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS DERIVADAS ( u
dxd Y
vxd ’):
d
3x4vdx
v +=⇒→
d
3udxdu
x3x25x3
2
=⇒→
+
+ y =
48
, udxd Y v
dxdSUSTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, v :
( )( ) ( ) ( )
2
2
v3x45x33x3x2y ++−+
=′
EFEC
TUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
( )2
22
v15x20x9x12x9x6y +++−+
=′
CAMBIANDO LOS SIGNOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS:
2
22
v15x29x12x9x6 −−−+
=′
NDO EL VALOR DE v EN EL D
y
REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYEENOMINADOR:
( )22
2
( )22
2
3x2x +
1520x6x −−− O =′y3x2x +
N LA RESPUESTA OPCIONAL QUE SE DA, COMO TODOS LOS TERMINO
1520x6xy ++−=′
S DEL NUMERADOR SON NEGATIVOS, SE COLOCA DELANTE DEL RESULTADO UN SIGNO NEGATIVO Y CON ELLO TODOS OS SIGNOS DE LOS TERMINOS DEL NUMERADOR CAMBIAN DE NEGATIVOS A POSITIVOS. ESTO SE HACE MAS QUE NADA POR CUESTION DE ESTETICA YA QUE SEGÚN ALGUNOS AUTORES SE VEN MEJOR LAS CANTIDADES EXPRESADAS CON SIGNOS POSITIVOS, PERO DE CUALQUIER FORMA LOS DOS R
E
L
ESULTADOS SON CORRECTOS.
1x2x45x3x8y
2
2
−−
−+= 6.
DEFINIMOS LOS VALORES DE vu Y Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS DERIVADAS ( udxd Y
vdxd ’):
2x8vdx
v −=⇒→
SUSTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VAL
d
3x16udxdu
1x2x45x3x8
2
2 −=⇒→
−−
−+=
ORES DE u, v
y
, udxd Y v
dxd :
( )( ) ( )( )
2
22
v2x85x3x83x161x2x4 −−+−−−−
=′ y
EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
( )2
223223 16x6x32x12x64 −−+
v CAMBIANDO LOS SIG
10x40x6x24x16x643x +−−+−−−−=′
NOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS:
y
49
2
223223
v10x40x6x24x16x643x16x6x32x12x64y −++−+−−−−−+
=′
R
EDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYENDO EL VALOR DE v:
( )22 12x4x −−
2 1520x6x ++−=′ y
7. 3x22x3y
++
=
EFINIMOS LOS VALORES DE u Y v Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS D DERIVADAS ( u
dxd Y
vdxd ’):
2vdxdv
dx3x22x3y
=⇒→++
= 3udu =⇒→
SUSTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, v, u
dxd Y v
dxd :
( ) ( ) ( ) ( )
2v22x333x2y +−+
=′
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: E
( )4x69x6 +−+y2v
=′
AMBIAND LOS SIGNOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS: C O
2v4x69x6y −−+
=′
REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYENDO EL VALOR DE v:
( )232x5y+
−=′
8.
x23x23y −
= +
DEFINIMOS LOS VALORES DE u Y v Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS DERIVADAS ( u
dx Y d
vdxd ’):
50
2vdv
2udxdu
x23x23y
=⇒→
−=⇒→
+−
=
dx
USTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, v
, udxd Y v
dxd : S
( ) ( ) ( ) ( )
2v2x232x23y −−−+
=′
EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
( )2v
x46x4x6y −−−−=′
CAMBIANDO LOS SIGNOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS:
2vx4x6x46 +−− =′y
REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYENDO EL VALOR DE v:
( )22x3 +
12−=′ y
IV. (u)
dxdmu)(u
dx1mm −= (POTENCIA)
NO ES TAN COMPLICADO, YA QUE NO HAY Q ALGEBRAICAS DE REDUCCIÓN COMO EN LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN.
L PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:
A. EL TERMINO u VA A ESTAR FORMADO POR TODOS LOS TERMINOS QUE SE ENCUENTREN DENTRO DEL PARÉNTESIS, MIENTRAS QUE EL TERMINO m VA A SER EL E
ITUYEN LOS VALORES DE u Y m EN LA FORMULA DE DERIVACIÓN Y COMO EN LA PARTE FINAL DE DICHA FORMULA, NOS PIDEN LA DERIVADA DEL TERMINO u
d
OBTENER LA DERIVADA DE UNA POTENCIA UE HACER TANTAS OPERACIONES
E
XPONENTE QUE SE ENCUENTRA EN LA PARTE DE AFUERA DEL PARÉNTESIS. B. SE SUST
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ (u)dxd , PODEMOS ACAR DE UNA VEZ ESTA DERIVADA Y SUSTITUIRLA DE ESTA FORMA
EFORMULA DE DERIVACIÓN, LO UNICO
QUE HAY QUE HACER SON LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS DE REDUCCIÓN, EN ESTE CASO, SOLO TENEMOS QUE MULTIPLICAR LOS TERMINOS DE LOS PARÉNTESIS QUE NO TENGAN EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA.
.
S
N LA FORMULA DE DERIVACIÓN. C. UNA VEZ SUSTITUIDOS LOS VALORES EN LA
( )72 x5x3y += 9
DEFINIMOS LOS VALORES DE u, m Y (u)dxd :’
( ) m
u
x5x3y72
↓+= →
51
ENTONCES SI 5x6(u)dxdx5x3u 2 +=⇒+=
(u)dxdu, m Y : SUSTITUIMOS EN LA FORMULA LOS VALORES DE
( ) ( )
LTIPLICANDO EL NUMERO QUE TENEMOS AL INICIO POR LAS CANTIDADES CUYO PARÉNTESIS NO TIENE EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA:
L PARÉNTESIS QUE TIENE EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA,
10.
5x6x5x37y62' ++=
MU
( ) ( )62 5x3x3542xy' ++=
( )62 5x3x + , EPERMANECE IGUAL DURANTE EL PROCESO DE SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN.
( )623 x5x42x9y +−=
DEFINIMOS LOS VALORES DE u, m Y (u)d :’ dx
( ) m
u
x5x42x9y 23
↓+−=
ENTONCES SI
6→
5x6(u)dxdx5x3u 2 +=⇒+=
SUSTITUIMOS EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, m Y (u)dx
:
( ) ( )5x84x27x5x42x96y 2523' +−+−=
MULTIPLICANDO LAS EXPRESIONES CUYO PARÉNTESIS NO TIENEN EXPONENTE EN LA
PARTE DE AFUERA O QUE NO SE ENCUENTRAN DENTRO DE ALGUN PARÉNTESIS.
( )
d
( )5232 5x42x9x3048x162xy' +−+−= 11. ( ) 22 3x2y +=
(u)dxdDEFINIMOS LOS VALORES DE u, m Y :
( ) m
u↓
ENTONCES SI
5x222 →
+= y
x4(u)dxd5x2u 2 =⇒+=
(u)dxd : DE u, m Y SUSTITUIMOS EN LA FORMULA LOS VALORES
52
( )( )x43x22y 2' +=
N ESTE EJERCICIO NINGUNO DE LOS PARÉNTESIS TIENE EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA, POR LO QUE TODOS LOS TERMINOS SE TIENEN QUE MULTIPLICAR PARA HALLAR EL RESULTADO DE LA DERIVADA.
N MOS 2 OPCIONES PARA HACER LA MULTIPLICACION:
A. QUE EL 2 MULTIPLIQUE PRIMERO AL PARENTESIS
E
TE E
( )3x2 2 + Y EL RESULTADO DE ESTO SE MULTIPLIQUE POR Ó: ( )x4
B. QUE EL 2 MULTIPLIQUE PRIMERO AL ( )x4 Y EL RESULTADO DE ESTO SE
MULTIPLIQUE POR EL PARÉNTESIS ( )3x2 2 + .
O IMPORTA EL ORDEN EN QUE SE HAGA LA MULTIPLICACIÓN, SI SEN HIZO EN FORMA C INAL SERA EL MISMO. ORRECTA EL RESULTADO AL F
( )( ) ( )( ) 24x16xy 3' +=⇒+=⇒+= x46x4yx43x22y 22 ''
( ) ( ) ( ) ( ) 24x16xy 3' +=⇒+=⇒+= x83x2yx43x22y 22 ''
DERIVACIÓN DE
FR CCIONARIOS FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y EXPONENTES
A
SE REPRESENTA ASI:
A CUANDO TENGAMOS QUE DERIVAR FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES
NEGATIVOS, FRACCIONARIOS O AMBOS, TENEMOS QUE RECORDAR DOS LEYES DE EXPONENTES PARA EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
. PARA EXPONENTES NEGATIVOS: UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA QUE ESTE A
CTUANDO COMO FACTOR EN UN COCIENTE, PUEDE PASARSE DEL NUMERADOR AL DENOMINADOR SIEMPRE Y CUANDO LE CAMBIEMOS EL SIGNO AL EXPONENTE DE DICHO FACTOR.
ATEMÁTICAMENTE, LO ANTERIORM
mm
mm 1
aa B. PARA EXPONENTES FRACCIONARIOS: UN EXPONENTE FRACCION
aO1== −
−
ARIO NOS REPRESENTA O NOS VA O RAIZ. ESTO QUIERE DECIR QUE U UEDE CONVERTIR EN UNA RAIZ Y VICEVERSA, DONDE EL NUMERADOR DEL EXPONENTE FRACCIONARIO SE VA A CONVERTIR EN EL EXPONENTE DE LA BASE DENTRO DE LA RAIZ Y EL DENOMINADOR DEL EXPONENTE FRACCIONARIO SE VA A CONVERTIR EN EL INDICE DE LA RAIZ.
a
A DAR LUGAR A UN RADICAL NA POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO SE P
MATEMÁTICAMENTE, LO ANTERIOR SE REPRESENTE ASI:
naa mn
m
=
STAS DOS LEYES DE EXPONENTES NOS VAN SERVIR A VECES AL PRINCIPIO Y AL FINAL DEL PROCESO DE DERIVACION. AL PRINCIPIO PARA AYUDARNOS A QUE LA FUNCION PUEDA DERIVARSE POR MEDIO DE LA FORMULA DE POTENCIA
E
53
CUANDO LA VARIABLE QUE QUERAMOS DERIVAR SE ENCUENTRE EN EL
DENOMINADOR, ALGUNAS VECES PARA NO USAR LA FORMULA DE DERIVACIÓN DE UN COCIENTE, PODEMOS PASAR NUESTRA VARIABLE AL NUMERADOR Y CON ESTO, PODEMOS USAR MEJOR LA FORMULA DE DERIVADA DE UNA POTENCIA.
ALLAR EL VALOR DE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCH IONES, USANDO LA
FORMULA DE POTENCIA Y PROCURANDO QUE EL RESULTADO NO TENGA EXPONENTES N
E EMPLOS:
1.
EGATIVOS NI FRACCIONARIOS:
J
432 x
1x1
x1y −+=
COMO LOS TERMINOS SOLO ESTAN SUMANDOSE, ENTONCES SOLO TENEMOS QUE
HALLAR LA DERIVADA DE CADA UNO DE LOS TERMINOS, TODOS VAN A LLEVAR EL MISMOS PROCEDIMIENTO.
O PRIMERO QUE HAREMOS SERA PASAR LAS VARIABLES DEL DENOMINADOR AL N
QUE E
POR EJEMPLO EL EXPONENTE DEL PRIMER TERMINO ES –2 ASÍ QUE AL RESTARLE UNO LO QUE TENEMOS ES –2 –1 = –3, ESTO SUCEDERA SIEMPRE QUE DERIVEMOS A UNA V
−−− +−−
TIENEN EXPONENTES NEGATIVOS, LOS COEFICIENTES Y
LUMERADOR, DE ACUERDO CON LA LEY DEL EXPONENTE NEGATIVO, AL PASAR EL
TERMINO AL NUMERADOR, TENEMOS QUE CAMBIARLE EL SIGNO AL EXPONENTE. PASANDO LAS VARIABLES AL NUMERADOR LA FUNCIÓN NOS QUEDA:
432 xxxy −−− −+= AHORA YA PODEMOS DERIVAR CADA UNO DE LOS TERMINOS, SOLO DEBEMOS DE
TENER CUIDADO AL MOMENTO DE RESTARLE LA UNIDAD AL EXPONENTE YA EST AL SER NEGATIVO Y RESTARLE UNO, HACE QUE EL EXPONENTE Y EL UNO TENGAN SIGNOS IGUALES Y EN REALIDAD EN LUGAR DE RESTARLOS TENEMOS QUE SUMARLOS
ARIABLE CON EXPONENTE NEGATIVO. A DERIVADA NOS QUEDA: L
543 x4x3x2y' =
FINALMENTE SOLO TENEMOS QUE VOLVER A PASAR LAS VARIABLES AL
DENOMINADOR PARA QUE ASÍ YA NO TENGAN EXPONENTE NEGATIVO, SOLO PASAREMOS LAS VARIABLES QUE
LOS SIGNOS DE ESTOS PERMANECERAN EN EL NUMERADOR: EL RESULTADO DE LA DERIVADA ES:
543 x4
x3
x2
+−− y'=
EL PROCEDIMIENTO COMPLETO ES:
543 xxx+−=⇒++=⇒++=
432y'xxy
xxxy
2.
432y' −=⇒−−− −−−−−− 543432 x4x3x2x111
32
3x3x9
xy −++= 8
54
PARA ESTE EJERCICIO SOLO PASAREMOS A 3x AL NUMERADOR, ASÍ QUE LA FUNCIÓN NOS QUEDA
323 x3x9x8y −− ++=
EN LA FUNCIÓN TENEMOS DOS TERMINOS SEMEJANTES ( )33 x3Yx8 −− LOS CUALES
PODEMOS SIMPLIFICAR, ASÍ QUE LA FUNCIOS SERIA AHORA:
23 x9x11y += − DERIVANDO LA FUNCIÓN:
x18x33 4 +−= − y'
SANDO AL DENOMINADOR LA VARIABLE CON EXPONENTE NEGATIVO: PA
18xx4
+−= 33
EL PROCEDIMIENTO COMPLETO PASO A PASO ES:
y'
18xx33y'
4+−=⇒+−=⇒+=⇒++=⇒++= −−−−− x18x33y'x9x11yx3x9x8yx3x9
x8 423323323
y
. 3432 x4
941y +−= x5x2
PASAMOS AL NUMERADOR LAS VARIABLES (SOLO PASAN LAS x, SUS COEFICIENTES SE
QUEDAN EN EL DENOMINADOR)
4x9
5x4
2x 2−
y43 −−
++=
ERIVANDO: D
4x36
5x12
2x2y'
543 −−−−+−=
EN EL PRIMER Y EL TERCER TERMINO PODEMOS DIVIDIR EL COEFICIENTE ENTRE EL
DENOMINADOR:
54
3 x12 −−
− x95
x −+−=
ASANDO LAS VARIABLES NEGATIVAS AL DENOMINADOR:
y'
P
543 x9
5x12
x1y' ++−=
EL PROCEDIMIENTO COMPLETO ES:
543 x9
5x12
x1y' ++−=⇒−+−=⇒−+−=⇒+−=⇒+−= −
−−
−−−−−−5
43
543432
432x9
5x12xy'
4x36
5x12
2x2y'
4x9
5x4
2xy
x49
x54
x21y
55
4. 423 xxxy ++= 734
CIONARIO YA PUEDEN SER DERIVADAS, SOLO RECORDAMOS LA TECNICA BASICA DE DERIVACIÓN, EL EXPONENTE MULTIPLICA AL COEFICIENTE DE LA VARIABLE Y AL EXPONENTE DE LA VARIABLE SE LE RESTA UNA UNIDAD. COMO EL COEFICIENTE DE TODOS LOS TERMINOS ES UNO, ENTONCES AL MULTIPLICARLO POR EL EXPONE LA VARIABLE, NOS QUEDARA COMO COEFICIENTE DEL TERMINO LO QUE INICIALMENTE ERA EL EXPONENTE, EN LO QUE RESPECTA A RESTARLE UNA UNIDAD AL EXPONENTE, UNA TECNICA SENCILLA PARA OBTENER EL EXPONENTE DE LA VARIABLE ES QUE AL NUMERO DE ARRIBA LE RESTEMOS EL DE ABAJO Y AL RESULTADO LE PONGAMOS EL DENOMINADOR DE LA
FUNCIÓN, POR EJEMPLO PARA EL
ESTAS FUNCIONES AUNQUE TIENEN EXPONENTE FRAC
NTE DE
34
DE
AL 4 LE RESTAMOS 3, ASÍ QUE QUEDA 1, A ESTE 1
LE PONEMOS EL DENOMINADOR LA FRACCION, ASÍ QUE NOS DARIA 31 QUE ES EL
RESULTADO DE 311
34
=− , ENTONCES DERIVANDO U CIÓN: LA F N
43
21
31
x47x
23x
34y' = ++
MO SE DIJO ANTES NTE FRACCIO R NOS DA LUGAR A UN RADICAL, ASÍ QUE ELIMINAREMOS ESTOS EXPONENTES COLOCANDO A LAS VARIABLES DENTRO DE UN RADICAL, DONDE EL NUMERADOR DEL EXPONENTE FRACCIONRIO SE CONVERTIRA EN EL EXPONENTE DE x Y EL DENOMINADOR DEL EXPONENTE FRACCIONARIO SE CONVERTIRA EN EL INDICE DE LA RAIZ:
LIMINANDO EXPONENTES FRACCIONARIOS:
CO UN EXPONE NA IO
E
4 33 x47x
23x
34y' ++=
EL PROCEDIMIENTO COMP
LETO ES:
4 33 x47x
23x
34y' ++=⇒++=⇒++= 4
321
31
47
23
34
x47x
23x
34y'xxxy
.
5 41
37
211
xxxy ++=
ERIVANDO LA FUNCIÓN: D
43
34
29
17x11y'−
= xx ++
E QUE APLICAR LA REGLA DEL EXPONENTE N O IRA EN EL DENOMINADOR, ESTO P ENTE NEGATIVO.
432 HAREMOS AHORA EL PROCESO DE FORMAR LOS RADICALES, PERO SI OBSERVAMOS
EL TERCER TERMINO, SU EXPONENTE ES NEGATIVO, ASÍ QUE LA DIFERENCIA QUE TENDRA CON LOS OTROS ES QUE SE LE TIEN
EGATIVO, ASÍ QUE LA RAIZ DEL TERCER TERMINSARA CON TODAS LAS x QUE QUEDEN CON EXPONA
FORMANDO LOS RADICALES:
4 3
3 49 1x37x
211y' ++=
x4
56
COMO VERAN EL SIGNO DEL EXPONENTE DETERMINA DONDE QUEDARA LA VARIABLE
(Y EN CONSECUENCIA LA RAIZ, EN EL CASO DE RADICALES), SI EN NUMERADOR O EN EL DENOMINADOR.
EXISTEN FUNCIONES EN LAS CUALES PARA OBTENER LA DERIVADA DE LA MISMA,
TENEMOS QUE UTILIZAR VARIAS FORMULAS DE LAS DE OPERACIONES ALGEBRAICAS. EN ESTE TIPO DE EJERCICIOS DEBEMOS DE ANALIZAR QUE OPERACIÓN ESTA HACIENDO CADA FUNCION PARA QUE PODAMOS SELECCIONAR QUE FORMULAS VAMOS A UTILIZAR Y ALGO MUY IMPORTANTE, EN QUE ORDEN SE VAN A UTILIZAR DICHAS FORMULAS.
EL EJEMPLO QUE SE RESUELVA A CONTINUACIÓN, SE COMBINARAN VARIAS FORMULAS PARA OBTENER EL RESULTADO DE LA DERIVADA.
1.-
NDE CADA UNA DE LAS EXPRESIONES ES UNA POTENCIA.
EN
DERIVAR LA SIGUIENTE FUNCION:
( ) LA FUNCION QUE NOS DAN ES UNA MULTIPLICACIÓN DE DOS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS, DO
( )3342 3x55x3y ++=
RESOLVAMOS EL EJERCICIO COMO UN PRODUCTO:
( ) ( ) 3342
v
3x5
u
5x3y↓+
↓+=
( )42 5x3 + Y COMO TERMINO v A ( )33 3x5 +TOMANDO COMO TERMINO u A , SUSTITUIMOS
ESTOS VALORES EN LA FORMULA DE DERIVADA DE UN PRODUCTO:
( ) ( ) ( ) ( )42333342 5x3dxdx
PARA OBTEN
d3x53x5d5x3' +++++=
ER LAS DERIVADAS DE LOS TERMINOS
y
( )33 3x5 + Y ( )42 5x3 + , USAMOS LA FORMULA DE DERIVADA DE UNA POTENCIA, DONDE u VAN A SER LOS TERMINOS QUE ESTAN DENTRO DE LOS PARÉNTESIS Y LOS VALORES DE m VAN A SER 3 Y 4 RESPECTIVAMENTE. EN ESTE PAT
SO SE TERMINA EL USO DEL CALCULO DIFERENCIAL, ODO LO QUE HAGAMOS DESPUÉS DE ESTO, SERAN NADA MAS PROCEDIMIENTOS
ALGEBRAICOS DE SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DEL RESULTADO.
AQUEMOS LA DERIVADA DE LOS TERMINOS ( )33 3x5 + Y ( )42 5x3 + S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )232 35x45x +=+=+ 22333 x153x533x5dx
d
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 53x24x +=+=+ x65x345x3d 3242 dx SUSTITUYENDO ESTOS VALORES EN LA DERIVADA DEL PRODUCTO TENEMOS:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )323323242 5x3y' += 5x3x243x53x5x45 ++++
57
ESTA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES MUY COMPLEJA PARA DEJARLA COMO RESULTADO, ICARLA Y P
TERMINO COMUN. PARA DETERMINAR CUAL ES EL TERMINO COMUN, TENEMOS QUE VER QUE E
LLOS DEBERAN SUMARSE)
ASÍ QUE TENEMOS QUE SIMPLIF ARA ELLO RECURRIREMOS AL ALGEBRA.. PARA SIMPLIFICAR EL RESULTADO, PODEMOS FACTORIZAR POR
XPRESIONES APARECEN REPETIDAS EN LOS DOS TERMINOS (RECORDAR QUE EL SIGNO POSITIVO QUE TENEMOS ENTRE LOS PARÉNTESIS HACE QUE TENGAMOS DOS TERMINOS LOS CUALES DESPUÉS DE MULTIPLICARSE ENTRE E
( )5x3 2 + Y , LAS EXPRESIONES QUE APARECEN EN AMBOS TERMINOS SON ( )3x3 + , A CADA UNO DE LOS PARÉNTESIS LE PONDREMOS EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE EN AMBOS TERMINOS, ASÍ QUE EL TERMINO COMUN DE ESTA EXPRESIÓN ES ( ) ( )2332 3x55x3 ++ .
5
A QUE TENEMOS DEFINIDO EL TERMINO COMUN, LO QUE HAREMOS ES ESCRIBIRLO Y DESPUÉS DE EL ABRIREMOS UN CORCHETE DE LA SIGUIENTE MANERA:
Y
( ) ( ) [ ]
AHORA VIENE LA PARTE MAS COMPLICADA Y QUE CAUSA MAS CONFUSION, ASÍ QUE CUIDADO Y EN CASO DE NO ENTENDERLO, LES SUGIERO LEERLO VARIAS VECES O P N CLASE.
EAMOS PARA QUE NOS SIRVE EL TERMINO COMUN, EL HECHO DE SACAR UN TERMINO COMUN ES PORQUE A CADA UNO DE LOS TERMINOS QUE TENEMOS EN LA DERIVADA LE VAMOS A QUITAR ESTE TERMINO COMUN Y LO QUE NOS QUEDE ES LO Q
2332 3x55x3' ++= y
REGUNTAR E V
UE VAMOS A PONER DENTRO DEL CORCHETE, SUENA ENREDADO PERO VEAMOSLO ASÍ:
EN EL PRIMER TERMINO DE LA DERIVADA TENEMOS ( ) ( )( )3x5x455x3 ++ Y
NUESTRO TERMINO COMUN ES
23242
( ) ( )2332 3x55x3 ++ ESTO QUIERE DECIR QUE
( ) ( )( )23242 3x5x455x3 ++ LO VAMOS A DIVIDIR ENTRE ( ) ( )2332 3x55x3 ++ , ESTO ES
( ) ( ) ( )( ) ( )2332
23242 x455+
3x55x3
3x5
++
+ TENDRIAMOS LO
SIGUIENTE:
x3 , SI LO VEMOS PARÉNTESIS POR PARÉNTESIS
( )( )
( )5x3( )
5x332 +
5x3 242
+=+ ,
( )13x5
23=
+ , Y EL CASO DEL ( )2x45 NO TEN3x5
23 +EMOS NADIE
EN EL TERMINO COMUN QUE LO DIVIDA, ASÍ QUE DESPUÉS DE LA DIVISION QUEDARA IGUAL.
REVISEMOS AHORA EL RESULTADO DE LAS DIVISIONES PARA ENTENDER LO QUE
HICIMOS, PODEMOS DECIR QUE DE ACUERDO A SU EXPONENTE, TENIAMOS 4 PARÉNTESIS DE ( )5x3 2 + PERO COMO SACAMOS TRES PARA EL TERMINO COMUN, ENTONCES SOLO NOS QUEDA UNO PARA COLOCAR DENTRO DEL CORCHETE, DEL PARÉNTESIS ( )2x45 NO TENEMOS NINGUNO EN EL TERMINO COMUN, ASÍ QUE ESTE PARÉNTESIS SE QUEDARA EN EL CORCHETE Y FINALMENTE DE ( )3x5 3 + L PARÉNTESIS TENEMOS DOS DE ELLOS EN EL PRIMER TERMINO DE NUESTRO DERIVADA PERO COMO SACAMOS NO COMUN, NO NOS QUE DA NINGUNO PARA PONER EN EL CORCHETE, SI LO LOGRARON ENTENDER FELICIDADES, SI NO VEAMOES EL R
DOS PARA EL TERMI
ESULTADO DE LA DIVISION: ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( 22
2332)x455x3
3x55x3
3x+=
++
+ 23242 5x455x3 +
58
EL RESULTADO DE LA DIVISION ES LO QUE PONDREMOS DENTRO DEL CORCHETE,
ARA EL SEGUNDO TERMINO DE NUESTRA DERIVADA HAREMOS LO MISMO:
( ) ( )
P
)( ) ( ) ( ( ) ( )3x55x3
x3x243x52332
233
++
+x243x5
5 33
+=+
REGRESANDO A NUESTRA DERIVADA Y PONIENDO DENTRO DEL CORCHETE LOS
RESULTADOS DE LAS DIVISIONES TENEMOS:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x243x5x455x33x55x3y 3222332' +++++= LAS CANTIDADES QUE QUEDAN DENTRO DEL CORCHETE SE PUEDEN SIMPLIFICAR.
ERO MULTIPLICAMOS LOS PARÉNTESIS PRIM ( ) ( )22 x455x3 + Y ( )( )x243x5 3 + POR SEPARADO ENTRE ELLOS:
( ) ( ) [ x225x1353x55x3y 442332' +++= ]2 ++
ESPUÉS DE LAS MULTIPLICACIONES, AHORA LO QUE TENEMOS QUE HACER ES R UCIR LOS TERMINOS SEMEJANTES DE DENTRO DEL CORCHETE.
INALMENTE POR CUESTIONES DE ESTETICA CAMBIEMOS NUESTRO CORCHETE POR U O DE
ESTOS EJERCICIOS SON COMPLICADOS PORQUE APENAS ESTAMOS ADENTRÁNDONOS E LO QUE SON LAS APLICAC PRACTICAS DE LAS DERIVADAS, PERO SI PODEMOS R
DERIVAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
x72x120 DED
( ) ( ) [ ]x72x120x225x1353x55x3 4242332' +++++= y FN PARÉNTESIS Y YA TENDREMOS EL RESULTAD NUESTRA DERIVADA:
( ) ( ) ( )72x225x255x35x53xy' 242332 ++++=
N IONESESOLVERLOS Y MEJOR AUN COMPRENDERLOS, PODEMOS DECIR CON SEGURIDAD
QUE NOS VAMOS ACERCANDO AL DOMINIO Y CORRECTA APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS RELACIONADAS CON EL CALCULO DIFERENCIAL.
EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – C )
1. 0xxy ++= 2.
3 24
5. 53
2
x1
x41x8y ++= −
6.
653 2 x10x2y ++=
4x
3. 3 33 735 5
734
23
++= x5x9x5y
7.
x5x4x4y ++=
47
83
32
x49x
37x
43y ++=
6543
x6
x5x5x4y −−+= −− 4.
59
14. 8.
49
59
43
21
xxxx
9.
7521y −−−= 3x2y
+= 2x3 +
15. x1
xy+
=
( )5
3 74 73 5
x
9x8xxy −++=
0.
21
216. x2x2y −=
17.
( ) ( 3322 1x24xy −+= 1 )
1.21
21
x2y⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
18.
⎟⎞
⎜⎛
−=
( ) ( )3342 5x23xy −+=
19.
1 x23 +
12. ( )43 1xx3y +−=
13. ( )
x23y −=
21
2xx43y −+= 2
2
t32ts
−
+=
PRIMER PARCIAL
S TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
OBJETIVOS: . APLICARA LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
DIRECTAS. (FORMULAS 14–19). (NO USAR IDENTIDADES PARA REDUCIR EL RESULTADO). (P A)
LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. (FORMULAS 20–25) (PO, EC)
. APLICARA LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. (FORMULAS 26–29) (PO, EA)
NCIONES TRASCENDENTALES.
A DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTALES, LA PARTE COMPLICADA ES OBTENER LA DERIVADA DEL TERMINO u QUE ESTA PRESENTE EN DICHA FUNCION, M COMPLICADO SEA ESTE TERMINO u MAS COMPLICADO SERA OBTENER E NUESTRA DERIVADA.
SEÑ LAR QUE EN LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTALES TAMBIEN VAMOS A ENER QUE USAR VARIAS FORMULAS DE DERIVACIÓN, MAYORMENTE COMBINANDO LAS FORMULAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS CON LAS FORMULAS DE DERIVADS TRASCENDENTALES.
OS SI JERCICIOS SE DETALLAN EL USO DE ESTAS FORMULAS PARA OBTENER LA DERIVADA DE UNA FUNCION TRASCENDENTAL.
ARITMICAS
2.2.2 DERIVADAS DE FUNCIONE
1
O, E2. APLICARA
3
DERIVADAS DE FU EN L S
IENTRAS MAS RESULTADO DE L
CABE AT
EN L GUIENTE E
JEMPLOS:E
LOG
60
1. LA FUNCION QUE NOS DAN ES LOGARITMO COMUN, LA FORMULA PARA OBTENER SU
DERIVADA ES
3x4Logy =
1a,0aQUESIEMPRE
udxdelog
u1)u(log
dxd
aa
≠>
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= , TAMBIEN LA PODEMOS MANEJAR COMO
1a,0aQUESIEMPRE
elogu
dx)u(logx aa =
u
dd
≠>
EN LO PERSONAL LA PREFIERO DE ESTA FORMA, NO IMPORTA CUAL
S
d
E USE EL RESULTADO SERA EL MISMO. EL PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA DERIVADA ES EL SIGUIENTE:EL TERMINO u = 4x3,
POR LO QUE udxd = 12x2. PARA IVADA, SUSTITUIMOS OBTENER LA DER u
dxd EN LA
DERIVADA LOGARITMO COMUN, ESTO QUEDARA DIVIDIDO ENTRE u Y LE AGREGAMOS
u
ud
LA EXPRESIÓN Log e, LA FRACCION dx DEBE DE DIVIDIRSE Y CON ESO TENEMOS YA
EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA.
eLogx3y'=⇒= eLog
x4
x12y'3
2.
2
( )32 x5x16Logy += = LA FUNCION QUE NOS DAN ES LOGARITMO COMUN, LA FORMULA PARA OBTENER SU
DERIVADA ES
1a,0aQUESIEMPRE ≠
2 3
elog)u(log a=
L TERMINO u = 16x + 5x , POR LO QUE
udx a
>
udxd
d
E2
x15x32udxd
+= . PARA OBTENER LA DERIVADA,
SUSTITUIMOS uddx
EXPRESIONES QUE LLEVA LA RESPUESTA DE ESTA DERIVADA (Log e).
EN LA DERIVADA lOGARITMO COMUN Y COPIAMOS TODAS LAS
( ) eLogx5x16 +
x15x3232
2+
=
N
y'
PARA SIMPLIFICAR EL RESULTADO, FACTORIZAMOS POR TERMINO COMUN AL UMERADOR Y AL DENOMINADOR, EL TERMINO COMUN ES x, AL MENOS CON ESTO
LOGRAMOS ELIMINAR UNA x Y REDUCIR EL EXPONENTE DE LAS VARIABLES.
( )( ) eLog
5x16x32y'
+
+=⇒
+
+= eLog
x5x16xx1532xy'
. y = Ln 8x
15x22
E NOS DAN ES LOGARÍTMICA, PERO ESTA CORRESPONDE A UN
L LA FORMULA PARA OBTENER SU DERIVADA ES
33 A FUNCION QUL
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= udxd
u1)uIn(
dxd , OGARITMO NATURAL.
61
TAMBIEN LA PODEMOS MANEJAR C MO Ou
udxd
)uIn(dxd
= EN LO PERSONAL LA PREFIERO DE
ESTA FORMA, NO IMPORTA CUAL SE USE EL RESULTADO SERA EL MISMO. EL PROCEDIMIENTO PARA OBTENER SU DERIVADA VA A SER EL MISMO QUE EL DEL
LOGARITMO COMUN, DE HECHO, LA RESPUESTA SOLO DIFIERE DE LA LOGARITMO COMUN EN QUE EL RESULTADO NO VA A LLEVAR LA EXPRESIÓN Log e.
3EL TERMINO u = 8x , POR LO QUE ud = 16x2. PARA OBTENER LA DERIVADA,
dx
SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA LOGARÍTMICA NATURAL Y LUEGO DIVIDIMOS ESTO
E SI LA FRACCION QUE NOS RESULTE SE PUEDE SIMPLIFICAR.
NTRE u: DEBEMOS REVISAR
3x8=
MPLIFICANDO LA FRACCION (DIVIDIENDO):
2x24y'
SI
x3y'=
–2 4. LA
D
y = Ln 3x
FUNCION ES DE TIPO LOGARITMO NATURAL. LA FORMULA PARA OBTENER SU
ERIVADA ES u
dx)uIn(dxd
= . u
L TERMINO u = 3x–2, POR LO QUE
d
E udxd = – 6x–3. PARA OBTENER LA DERIVADA,
SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA LOGARÍTMICA NATURAL Y LUEGO DIVIDIMOS ESTO
ENTRE u: DEBEMOS REVISAR SI LA FRACCION QUE NOS RESULTE SE PUEDE SIMPLIFICAR.
2
3x6y'−−
= x3 −
SIMPLIFICANDO LA FRACCION (DIVIDIENDO):
x2y' −=
PARA NO COMETER UN ERROR EN LA SIMPLIFICACIÓN DE LA FRACCION, SE ECOMIENDA QUE CUANDO LAS VARIABLES A SIMPLIFICAR TENGAN EXPONENTE
NEGATIVO, ES MEJOR CONVERTIR DICHOS EXPONENTES A POSITIVOS CAMBIANDO DE LUGAR A LAS VARIA DO LAS LEYESLAS DERIVADAS DE CON EXPONEN
R
BLES, UTILIZAN DE EXPONENTES QUE SE VIERON EN VARIABLES TES NEGATIVOS. SI MOVEMOS LAS
VARIABLE ANTES DE LA DIVISION LA FRACCION NOS QUEDA:
62
3x3
COMO SE PUEDE OBSERVAR LA x OMINADOR Y SE CONVIERTE EN x
2x6−=
–3 SE PASA AL DEN
Y LA x PASA AL NUMERADOR Y SE CONVIERTE EN x . DESPUÉS DE ESTO SE HACE LA
XPONENCIALES
y'
3 –2 2
SIMPLIFICACIÓN.
E
.
3x10ay −= 5
LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE a. LA FORMULA QUE USAREMOS ES
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= udxdaIna)a(
dd uu , QUE TAMBIEN LA PODEMOS EXPRESAR DE LA FORMA: x
aInaudxd)a(
dxd uu ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= , DE PREFERENCIA PODEMOS MANDAR EL TERMINO ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ udxd DE TODAS
LAS FORMULAS DE DERIVACION TRASCENDENTE AL PMANERAS AL SUSTITUIRLAS EL ULTIMO PASO SIEMPRE ES MANDA
RINCIPIO, PUES DE TODAS R LA EXPRESIÓN
⎟⎠dx
ERIVACIÓN YA TENDRAN ESTE CAMBIO CUANDO LA MENCIONEMOS.
3
⎞⎜⎝
⎛ u AL PRINCIPIO DE LA DERIVADA, DE AQUÍ EN ADELANTE TODAS LAS FORMULAS DE
D
EL TERMINO u ES EL EXPONENTE DE LA FUNCIÓN, ASÍ QUE u = –10x , POR LO QUE
d
udxd
=udxd –30x2. PARA A DERIVADAOBTENER L , SUSTITUIMOS EN LA DERIVADA
EXPONENCIAL DE BASE a Y COPIAMOS TODAS LAS EXPRESIONES QUE LLEVA LA R TESPUES A DE ESTA DERIVADA ( )aInau .
LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE a. LA FORMULA QUE USAREMOS ES:
aLna30xy'
6. 3x72x16ay +−=
310x2 −−=
aInaudxd)a(
dxuu ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= d
EL TERMINO u = –16x2 + 7x3, POR LO QUE =udxd –32x + 21x2. PARA OBTENER LA
DERIVADA, SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA EXPONENCIAL DE BASE a Y COPIAMOS
TODAS LAS EXPRESIONES QUE LLEVA LA RESPUESTA DE ESTA DERIVADA.
( ) aLna21x32xy'37x216x2 +−+−=
udxdDEBEMOS DE TENER CUIDADO CON LA RESPUESTA YA QUE COMO TIENE DOS
T
QUE
ERMINOS DEBEMOS AGRUPARLOS EN UN PARÉNTESIS, YA QUE EL RESULTADO DE LA DERIVADA DEBE DE SER UN PRODUCTO, ESTO LO TENDREMOS QUE HACER SIEMPRE
udxd TENGA DOS O MAS TERMINO, CUANDO TIENE UN SOLO TERMINO NO ES
NECESARIO USAR EL PARÉNTESIS.
63
7. 72x9ey += LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE e. LA FORMULA QUE USAREMOS ES
uu eudxd)e(
dd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
u = 9x2 + 7, POR LO QUE
x
EL TERMINO =udxd 18x. PARA OBTENER LA DERIVADA,
SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA EXPONENCIAL DE BASE e Y LA UNICA EXPRESIÓN
QUE SE LE AÑADE A udxd ES LA FUNCIÓN 72x9e + QUE ES LO QUE TENIAMOS AL INICIO.
729xe18xy' +=
8. 3x34x10ey −−= LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE e. LA FORMULA Q EUE USAREMOS S
uu eudx
)e(x
⎟⎠
⎜⎝
=
EL TERMINO u = 10x
dd
⎞⎛
– R LO QUE
d
4 – 3x3, PO =udxd 3 2 –40x – 9x . PARA OBTENER LA
DERIVADA, SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA EXPONENCIAL DE BASE e Y LA UNICA
EXPRESIÓN QUE SE LE AÑADE A udx
ENIAMOS AL INICIO.
( ) 33x410x23 e9x40x −−−−=
d ES LA FUNCIÓN QUE ES LO QUE
T
OTRA FORMA DE ESCRIBIR EL RESULTADO ES DEJAR A LOS TERMINOS DEL PRIMER PARÉNTESIS, PARA ELLO DEBEREMOS DE CAMBIAR EL SIGNO DE LAS CANTIDADES DE A ARÉNTESIS Y TAMBIEN EL SIGNO DE AFUERA DEL PARÉNTESIS (EN ESTE CASO AL NO HABER SIGNO A
1.- y = Log ( 3x2 – 5 )
2.- y = Ln ( x + 3)
3x34x10e −−
y'
FUERA DEL PDELANTE DEL PARÉNTESIS, ASUMIREMOS QUE EL SIGNO DE
FUERA DEL PARÉNTESIS ES POSITIVO), APLICANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE LA DERIVADA TAMBIEN PUEDE SER:
( ) 33x410x23 e9x40x −−+−= y'
EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – D ) HALLAR LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS, EN ALGUNOS CASOS HARAS USO DE LAS FORMULAS DE DERIVADAS DE OPERACIONES ALGEBRAICAS:
2
64
6.- x
21
ey−
=
7.- 2xey =
2x3
.- ay =
.- y = Ln ( 4x – 5 )
8
9
10.- ( ) 21
2x3Ln − 11.- y = Ln 3x5
x5ey = 13.-
14.-
3xey = 16.-
2x3y −= 17.- exey = TRIGONOMETRICAS DIRECTAS EN ESTE TIPO DE DERIVADAS SE REALIZA EL MISMO PROCEDIMIENTO QUE EN LAS
DERIVADAS TRASTRABAJO FUERT
CENDENTALES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, ES DECIR QUE EL E ES OBTENER LA DERIVADA DEL TERMINO u Y UNA VEZ QUE
TENGAMOS LA DERIVADA DE ESTE TERMINO, LA FORMULA DE DERIVACIÓN NOS DIRA P
.
O
R LO QUE
OR QUE FUNCION TRIGONOMETRICA CAMBIA LA DERIVADA CON RESPECTO A LA FUNCION TRIGONOMETRICA QUE TENIAMOS AL PRINCIPIO
1. y = Sen 10x3
LA FUNCION TRIG NOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION SENO, EL
TERMINO u = 10x3, PO udxd u
dxd= 30x2. SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE
D ucosudxd)ERIVADA DE LA FUNCION SENO, usen(
dx⎜⎝
=d
⎟⎠
⎞⎛ , ESTA FORMULA NOS INDICA QUE
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO DE u CAMBIA A FUNCION COSENO DE u AL DERIVARLA, ASÍ QUE LA DERIVADA NOS DA:
ONOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION COSENO, EL
TERMINO 3
32 10xCos30xy'=
–3 2. y = Cos 4x
LA FUNCION TRIG
udxd = 30x2. SUSTITUIMOS u
dxdu = 10x , POR LO QUE EN LA FORMULA DE
DERIVADA DE LA FUNCION COSENO usenudx
)u(cosdx
⎟⎠
⎜⎝
−= , Edd ⎞⎛ STA FORMULA NOS INDICA
QUE LA NCIÓN COSENO DE u CAMBIA A FUNCION SENO DE u AL D ADA NOS DA:
x –3
DERIVADA DE LA FUERIVARLA, ASÍ QUE LA DERIV y’= – (– 12x –4 ) Sen 4
65
COMO LA DERIVADA DE LA FUNCION COSENO ES NEGATIVA, MULTIPLICAMOS LOS S
y’= 12x Sen 4x –3
PLICANDO LA LEY DE EXPONENTES PARA ELIMINAR LOS EXPONENTES NEGATIVOS
O
IGNOS NEGATIVOS DE LOS FACTORES:
–4
ABTENES EL RESULTADO FINAL:
34 x4Sen
x12y'=
3. y = Tan 20x2
LA FUNCION TRIGONOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION TANGENTE, EL
TERMINO 2u = 20x , POR LO QUE udxd = 40x. SUSTITUIMOS u
dxd EN LA FORMULA DE
DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE usecudxd)u(tan
dxd 2⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= , ESTA FORMULA NOS INDICA
QUE LA DERIVADA G TE DE u CAMBIA A FUNCION SECANTE CUADRADA DE u AL DERIVARLA, ASÍ QUE LA DERIVADA NOS DA:
LA FUNCION TRIGONOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION COSECANTE,
E
DE LA FUNCIÓN TAN EN
y’ = 40x Sec2 20x2
. y = Csc ( 50x3 + 7x ) 4
L TERMINO x7x50u 3 += , POR LO QUE udxd = 150x2 + 7. SUSTITUIMOS u
dxd EN LA
FORMULA DE DERIVADA DE LA FUNCION COSECANTE, uCotuCscudxd)uCsc(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= , ESTA
FORMULA NOS INDICA QUE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE DE u CAMBIA A FUNCION COSECANTE DE u POR COTANGENTE DE u, ASÍ QUE LA DERIVADA NOS DA:
y 2 + 7 ) Csc ( 50x3 + 7x ) Cot ( 50x3 + 7x )
HORA PASAREMOS A ALGO UN POCO MAS COMPLEJO LLAMÉMOSLO COMBINACIÓN
’ = – ( 150x A
DE FORMULAS, ASÍ QUE CUIDA
DO.
ODEMOS TENER DOS CASOS:
QUE ESTE DENTRO DE LA OTRA. EN ESTE CASO LAS DERIVADAS TRASCENDENTES PUEDEN COMBINARSE ENTRE
EN ESTE CASO LO MAS SEGURO ES QUE ESTEN REALIZANDO ALGUNA OPERACIÓN BRAIC SE PUEDE CONVERTIR (DEPENDIENDO DEL
PODEMOS TENER Y EL MAYOR DOLOR DE CABEZA, YA QUE PODEMOS ENCONTRAR EJERCICIOS DE DERIVACIÓN EN QUE NO
VARIAS FORMULAS D D SCENDENTES
P 1. QUE UNA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES NO SEA INDEPENDIENTE, ES DECIR
ELLAS, ES DECIR EN UN EJERCICIO DE DERIVACIÓN PODEMOS USAR AL MISMO TIEMPO FORMULAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS, EXPONENCIALES Y TRIGONOMETRICAS.
2. QUE DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES SEAN INDEPENDIENTES LA UNA DE LA
OTRA, ESTO ES QUE AL COMBINAR DOS FUNCIONES TRASCENDENTES UNA NO ESTA DENTRO DE LA OTRA
ALGE A, ASÍ QUE ESTO A VECESEJERCICIO) EN LA PEOR PESADILLA QUE
SOLO TENGAMOS QUE USAR E ERIVADAS TRA
66
SINO QUE TAMBIE N A E USAR FORMULAS DE OPERACIONES N TE G MOS QU
ALGEBRAICAS ( muyvuv,u • ).
VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE ESTE TIPO DE DERIVACION:
DERIVAR:
DENTRO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA.
BÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN SENO DE u, DONDE
1. 3x10eSeny =
EN ESTE EJERCICIO TENEMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN TRIGOMETRICA Y UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL. ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ESTA
3x10eu , ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO DE u: =
ucosudxd)usen(
dd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= . x
PROCEDIMIENTO: COMO TENEMOS QUE HALLAR 3x10eu = u
dxd
BASE e, PARA
, PERO COMO u ESTA
FORMADA POR UNA FUNCION EXPONENCIAL DE PODER HALLAR uu eu
dxd)e(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=ud TENEMOS Qd
UE USAR LA FORMULA , ENTONCES: x
COMO: 3x10eu = USANDO LA FORMULA uu eu
dxd)e(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⇒ 3x102 ex30u
dxd
=
AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y
3x10eu = EN LA FORMULA
DE LA DE LA FUNCION SENRIVADA DE O ucosudx
)usen(dx
⎟⎠
⎜⎝
RESULTADO DE LA DERIVADA DE . eCose
EN ESTE EJERCIC FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS
SON UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y UNA FUNCIÓN LOGARITMICA. ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN LOGARITMICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.
dd ⎞⎛= , POR LO QUE EL
310x230xy'= 310x
2. x3Lnay =
IO TAMBIEN TENEMOS DOS
BÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE
BASE a ELEVADA A LA u, DONDE x3Lnu = , ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a ELEVADA A LA u,
aInaudxd)a(
dxd uu ⎟
⎞⎜⎛= .
⎠⎝
PROCEDIMIENTO: COM TENEMOS QUE HALLAR
O x3Lnu = udxd , PERO COMO u ESTA
F NA FUNCION LOGARITMO NATURAL DE u, PARA PODER HALLAR ORMADA POR U
udxd TENEMOS QUE USAR LA FORMULA
u
udxd
)uIn(dxd
= , ENTONCES:
67
COMO: x3Lnu = USANDO LA FORMULAu
udxd
)uIn(d= ⇒
x1ud3ud
=⇒= dxx3dxdx
AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y x3Lnu = EN LA FORMULA DE
LA D DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a ELEVADA A LA u, ERIVADA
aInaud)a(d uu ⎟⎞
⎜⎛= ., POR LO QUE EL E
dxd ⎠⎝R SULTADO DE LA DERIVADA
x ES .
aLna
x1y' 3xLn=
3. y = Tan ( Ln 8x4 )
N ESTE EJERCICIO TAMBIEN TENEMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA Y UNA FUNCIÓN LOGARITMICA. ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN L
E
OGARITMICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA. BÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN TANGENTE DE u,
DONDE u = Ln 8x4, ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
TANGENTE DE u, usecudxd)u(tan
dxd 2⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= .
COMP udxdROCEDIMIENTO: O u = Ln 8x4 TENEMOS QUE HALLAR , PERO COMO u ESTA
FORMADA POR UNA FUN ION LOGARITMO NATURAL DE u, PARA PODER HALLAR C
udxd
u
udxd
)uIn(dxd
=TENEMOS QUE USAR LA FORMULA , ENTONCES:
OMO: u = Ln 8x4 USANDO LA FORMULACu
udxd
)uIn(dxd
= ⇒ x4u
dxd
x8x32u
dxd
4
3=⇒=
AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y u = Ln 8x4 EN LA FORMULA
DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE DE u, usecudxd)u(tan
dxd 2⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= .POR LO QUE EL
RESULTADO DE LA DERIVADA ES .
42 8xLnSecx4y'=
.
EMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y UNA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA. ESTA DERIVADA P CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.
ÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e ELEVADO A LA u, DONDE u = Sec 15x, AS OS LA FORMULA DE LA
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e ELEVADO A LA u
4 x15Secey = EN ESTE EJERCICIO TAMBIEN TEN
ERTENECE AL PRIMER
B
Í QUE USAREM
, uu eudxd)e(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= .
68
PROCEDIMIENTO: COMO u = Sec 15x TENEMOS QUE HALLAR udx
, PEd RO COMO u ESTA
F A FUNCION SECANTE DE u, PARA PODER HALLAR ORMADA POR UN udxd TENEMOS QUE
USAR LA FORMULA utgusecudxd)u(sec
dxd
= , ENTON
OMO: u = Sec 15x USANDO LA FORMULA
CES:
C utgusecudx
) = ⇒ du(secdxd x15tgx15sec15u
dx= d
R SUSTITUIMOS
udxd AHO A QUE ACABAMOS DE OBTENER Y u = Sec 15x EN LA FORMULA
DE LA DE A LA u,
DE BASE e ELEVADO RIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL uu d ⎞⎛= eu
dx)e(
d⎟⎠
⎜⎝
. POR LO QUE EL RESULTADO DE . xd LA DERIVADA ES
( )15xSece15xtg15xsec15y'=
. Ln Cos 8x
N ESTE EJERCICIO TAMBIEN TENEMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN LOGARITMICA Y UNA FUNCIÓN. TRIGONOMETRICA ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN LOGARITMICA.
ÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL DE u, DONDE , ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE
LA FUNCIÓN LOGARITM DE u
25
E
B
2x8Cosu =
O NATURAL , u
udxd
)uIn(dxd
= .
ROCEDIMIENTO: COMO TENEMOS QUE HALLAR
P 2x8Cosu = udxd
R HALLAR
, PERO COMO u ESTA
FORMADA POR UNA FUNCION COSENO DE u, PARA PODE udxd TENEMOS QUE
USAR LA FORMULA usenudxd)u(cos
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= , ENTONCES:
OMO USANDO LA FORMULA: 2x8Cosu = usenudxd)u(cos
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ⇒ 2x8Senx16udxd
−= C
AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y EN LA FORMULA
DE LA
2x8Cosu =
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL DE u, u
)uIn(dx
= . POR LO QUE u
dxd
d
EL RESULTADO DE LA DERIVADA ES:
2x8Cosy' −=
2x8Senx16
MISMO ANGULO (8x2) PODEMOS USAR LAS IDENTIDADES TRIGINOMETRICAS PARA
SIMPLIFICAR EL RESULTADO. EN ESTE CASO USAREMOS LA IDENTIDAD
COMO EN EL RESULTADO NOS QUE DAN DOS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS CON EL
αα
=αCosSen
Tan , ASÍ
69
QUE LA EXPRESIÓN 2x8Cos
x8Sen SE PUEDE CAMBIAR POR 2x8Tan , ASÍ QUE EL RESULTADO
DE LA DERIVADA ES:
28xTan16xy' −=
2
6. y = Sen 4x – Cos 15x2
O TAMBIEN APARECEN DOS FUNCIONE TRASCENDENTES, PERO A DIFERE
MO LAS FUNCIONES ESTAN REALIZANDO UNA OPERACIÓN ALGEBRAICA, TENEMOS QUE SACAR LA DERIVADA DE ESTA OPERACIÓN ALGEBRAICA, EN ESTE CASO UNA DIFERE UNA SUMA O RE
EN ESTE EJERCICI SNCIA DE LOS EJERCICIOS 1, 2, 3, 4 Y 5, EN QUE UNA FUNCION ESTABA O ERA UNA
PARTE DE LA OTRA, LAS FUNCIONES SON INDEPENDIENTES LA UNA DE LA OTRA Y SOLO ESTAN REALIZANDO UNA OPERACION ALGEBRAICA, EN ESTE CASO UNA DIFERENCIA.
CO
NCIA, ASÍ QUE LA FORMULA QUE VAMOS A USAR ES LA DE DERIVADA DESTA: ...)v(
dxd)u(d...)vu(d
±−=±− dxdx
COMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN DIFERENCIA, POR
LO Q 2UE u = Sen 4x Y v = Cos 15x . PARA OBTENER LA udx
TENEMOS QUE UTILIZAR LA
FORMULA DE DERIVADA DE LA FUNCION S
d
ENO ucosudxd)usen(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= , MIENTRAS QUE
PARA OBTENER LA vdxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA SACAR LA DERIVADA DE
LA FUNCION COSENO usenudxd)u(cos
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= .
ucosudxd)usen(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⇒ x4Cosx4udxd
= COMO: u = Sen 4x USANDO LA FORMULA
COMO: v = Cos 15x2 USANDO LA FORMULA vsenvdxd)v(cos
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ⇒ 2x15Senx30vdxd
−= . EN
ESTE CASO POR MANEJO DE FORMULA, ESTAMOS SUPONIENDO QUE v = u, POR ESO TODAS LAS u DE LA FORMULA DE LA DERIVADA DEL COSENO FUERON CONSIDERADAS COMO v.
HORA SUSTITUIMOS A udxd Y v
dxd EN NUESTRA FORMULA DE SUMA O RESTA:
...)v(dxdxx
d)u(...)vu(d
±−=±− CON LO QUE OBTENEMOS:
y’= 4 Cos 4x – (– 30x Sen 15x2 ) MULTIPLICANDO LOS SIGNOS DEL SEGUNDO PARENTESIS:
A OPERACIÓN LGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN PRODUCTO, QUE T N PRODUCTO
d d
y’ = 4 Cos 4x + 30x Sen 15x2 7. y = Tan 10x3 Cos 20x2 L A POR LO ENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE U
)u(dxdxx
dv)v(du)uv(d
+= . d
70
COMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN PRODUCTO, POR LO QUE u = Y . PARA OBTENER LA 3x10Tan 2x20Cosv = u
dxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA
FORMULA DE DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE usecudxdx ⎠⎝
QUE PARA OBTENER LA
d)u(tand 2⎟⎞
⎜⎛= , MIENTRAS
vdxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA SACAR LA DERIVADA
DE LA FUNCION COSENO usenudxd)u(cos
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= .
COMO: 3x10Tanu = USANDO LA FORMULA usecudx
)u(tandx
2⎟⎠
⎜⎝
= ⇒ dd ⎞⎛ 322 x10secx30udx
=
x
d
COMO 20Cosv = USANDO LA FORMULA: 2 usenudxd)u(cos
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ⇒ 2x20Senx40vdxd
−= .
IMOS , AHORA SUSTITU 3x10Tanu = 322 x10secx30u
dxd 2= , Y x20Cosv = 2x20Senx40v
dxd
−= ,
EN NUESTRA FORMULA DE PRODUCTO )u(dx
vdx
u)uv(dx
+= CON LO QUE OBTENd)v(dd EMOS:
( ) ( )322223 x10secx30x20Cosx20Senx40x10Tany' +−=
PARA TENER LISTO EL RESESTO ES, LAS CANTIDADES A E
ULTADO VAMOS A PASAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES, LGEBRAICAS QU NO ESTAN DENTRO DE ALGUNA FUNCIÓN
TRIGONOMETRICA (– 40x Y 30x2) POR CUESTION DE ESTETICA, COMO EL PRIMER TERMINO ES NEGATIVO, MEJOR CAMBIAMOS EL ORDEN DE LOS TERMINOS, PARA QUE EL PRIMER TERMINO SEA EL POSITIVO Y EL SEGUNDO EL NEGATIVO. APLICANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:
−=
233222 20xSen10xTan40x10xSec20xCos30xy'
8. x20Cot
y =
e x4
LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN COCIENTE, POR LO QUE T DERIVADA ALGEBRAICA DE UN PRODUCTO ENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE
( )0v,
v
)v(dxduu
dxdv
vu
ddx 2
≠−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ .
OMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN COCIENTE, POR LO Q
CUE x4 Y x20Cotv = . PARA OBTENER LA eu = ud TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA
DE DERI ADdx
V FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e ELEVADO A LA u, A DE LAuu eu
dxd)e(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ., MIENTRAS QUE PARA OBTENER LA vdxd
TANGEN
TENEMOS QUE UTILIZAR LA
FORMULA SACAR LA DERIVADA DE LA FUNCION CO TE uCscudxd)uCot(
dxd 2⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−= .
COMO: x4eu = USANDO LA FORMULA uu eudxd)e(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⇒ x4e4ud=
dx
MO USANDO LA FORMUL
: x20Cotv = A uCscudxd)uCot(
dxd 2⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ⇒ x20Csc20vdxd 2−= . CO
71
AHORA SUSTITUIMOS x4eu = , x4e4ud
= , x20Cotv = Y x20Csc20vd 2−=dx
, EN NUESTRA dx
FORMULA DE COCIENTE ( )
0v,)v(
vdxduu
dxdv
2≠
−= CON LO QUE OBTENEMOS:
vu
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
( ) ( )2
2x4x4
v
ARA TENER LISTO EL RESULTADO VA
x20Csc20ee4x20Cot −−=
MOS A PASAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES, ESTO ES, LAS CANTIDADES ALGEBRAICAS QUE NO ESTAN DENTRO DE ALGUNA FUNCIÓN TRIGOMOTRICA (4 Y –20). REALIZAMOS LA MULTIPLICACIÓN DE SIGNOS EN EL SEGUNDO TERMIN
y'
P
O DEL NUMERADOR Y AGREGAMOS EL VALOR DE v, QUE QUEDARA ELEVADO AL CUADRADO. REALIZANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:
( )22x4x4
x20Cot
x20Csce20x20Cote4y'
+=
TERMIN
PARA TERMINAR PODEMOS FACTORIZAR EL NUMERADOR POR TERMINO COMUN, EL
O COMUN ES x4e4 , ENTONCES EL RESULTADO FINAL DE LA DERIVADA ES:
( )20xCot
20xCsc520xCote4y'2
24x=
4
LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, YA QUE Sen 8x = (Sen 8x4)3 POR LO QUE TENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA
DE UNA POTENCIA PRODUCTO
+
9. y = Sen3 8x
3 4
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= − udxdum)u(
dxd 1mm .
C N ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, POR LO QUE Y . PARA OBTENER LA
COMO DIJIMOS LA OPERA IÓ
4x8Senu = 3m = udxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA
DE DERIVADA DE LA FUNCION SENO ucosudxd)usen(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= .
COMO USANDO LA FORMULA: 4x8Senu = ucosudxd)usen(
dxd
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ⇒ 43 x8Cosx32udxd
=
AHORA SUSTITUIMOS 4x8Senu = , 3m = Y 43 x8Cosx32u
dxd
= , EN NUESTRA FORMULA DE
POTENCIA ⎟⎞
⎜⎛= − u
dxdum)u(
dxd 1mm , CON LO QUE OB
⎠⎝TENEMOS:
)
ARA TENER LISTO EL RESULTADO VAMOS A MULTIPLICAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES (3 Y 32x3). Y COLOCAREMOS EL RESULTADO DE ESTE PRODUCTO AL INICIO, TAMBIEN COLOCAREMOS EL EXPONENTE DE AFUERA DEL PARÉNTESIS DE LA FUNCIÓN SENO ARRIBA DE LA FUNCIÓN SENO, PARA FORMAR LA EXPRESIÓN SENO CUADRADO, REALIZANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:
( ) x8Cosx32x8Sen3y = ( ) ( 4324
P
72
4423 8xCos8xSen96xy'=
10.
y = Sec7 15x4
A OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, POR LO QUE TENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE UNA POTENCIA
P ODUCTO
L
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= − udxdum)u(
dxd 1mmR .
EBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, POR LO Q . PARA OBTENER LA
OMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGC
UE Y4x15Secu = 7m = udxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA
DE DERIVADA DE LA FUNCION SECANTE uTguSecudxd)uSec(
dxd
= .
COMO: USANDO LA FORMULA4x15Secu = uTguSecu
dxd)uSec(
dxd
= ⇒
443 x15tgx15secx60udxd
=
HORA SUSTITUIMOS , A 4x15Secu = 7m = Y 443 x15Tgx15Secx60u
dxd
= , EN NUESTRA
FORMULA DE POTENCIA ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= − udxdum)u(
dxd 1mm , CON LO QUE OBTENEMOS:
)x15Tgx15Secx60
A TENER LI TO EL RESULTADO VAMOS A MULTIPLICAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES (3 Y 32x3). Y COLOCAREMOS EL RESULTADO DE ESTE PRODUCTO AL INICIO, O TENEMOS DOS FUNCIONES SECANTE DE 15X4, PODEMOS JUNTARLAS EN UNA SOLA, COMO UNA ESTA ELEVADA A LA 6 Y LA OTRA A LA UNO, ENTONCES PODEMOS PONER SOLO UNA ELEVADA A LA 7.TAMBIEN COLOCAREMOS EL EXPONENTE DE AFUERA DEL PARÉNTESIS DE LA FUNCIÓN SENO ARRIBA DE LA FUNCIÓN SENO, PARA FORMAR LA EXPRESIÓN SENO CUADRADO, REALIZANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:
=
( ) ( ) 64x15Sec7= ( 443y'
PAR S
COM
4473 15xTg15xSec420xy'
73
EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – E )
.- y = Sen 3x + Cos 2x
.- y = Tan x2
.- y = Tan x
.- y = Cot ( 1 – 2x2 )
.-
1 x4Csc
41y =
2
2 3 4
5 21
3 xSecy =
6.- ( ) 21
x2Cosy = 7.- y = x2 Senx
.- 8x
9.- y = 3 Sen 2x
xCos=y
10.-
x21Cos4y =
11.- y = 4 Tan 5x 12.- x4Cot
41y =
14.-
n x – (x Cos x) + x2 + 4x + 3
16.-
15.- y = Se
x2Seny =
217.- y = Cos ( 1 – x )
19.- y = Sen ( 3x – 2 )
18.- y = Cos ( 1 – x )2
2
13.- x
31Sec9y =
20.- x2SenxTan21y =
COMBINADAS: II – D
3.- y = Ln ( x + 3 ) → ESTO ES LO MISMO QUE
2
( )[ ]23 2xLny += 4.- y = Ln ( x3 + 2 )(x2 + 3 )
15.-
5.- y= Ln Sen 3x 12.- y = Ln ( Sec x + Tan x )
x3Seney =
74
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS (NO APLICA AL EXAMEN DEPARTAMENTAL) DERIVAR: 1. y = Arc Sen ( 2x – 3 ) LA FUNCION QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCION ARCO SENO
2u1)usenarc(
x −= .
udx
d
SE SIGUE EN ESTE EJERCICIO PARA HALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCION DADA ES EL SIGUIENTE:
u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS VALORES QUE NOS INDICA LA FORMULA DE LA DERIVADA FUNCION ARCO SENO, ESTOS VALORES SON
dd
EL PROCEDIMIENTO QUE
SE DEFINE CUAL ES EL VALOR DE
udxd Y u2. EL VALOR DE u = 2x – 3, POR LO QUE EL VALOR DE u
dxd
LA F
= 2 Y u2 =
(2x – 3)2. VALORES LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA DERIVADA DE UNCION
A2u1
udxd
)usenarc(d= . RCO SENO
dx −
( )23x21
2 y'−−
=
ESARROLL MOS LA EXPRESIÓN (2x – 3)2, LA CUAL NOS DA 4x2 – 12x + 9, PERO POR EL SIG O QUE ESTA DELANTE DEL PARÉNTESIS TODOS LOS TERMINOS CAMBIAN DE SIGNO.
D A
NO NEGATIV
( ) 9x12x41
2y'9x12x41 2 +−−
22 −+−
=⇒= y'
REDUCIMOS LOS TERMINOS SEMEJANTES DENTRO DEL RADICAL (1 – 9 = –8).
8x12x4
2y' =2 −+−
L TRINOMIO QUE ESTA DENTRO DE LA RAIZ CUADRADA, LO FACTORIZAMOS POR
TERMINO COMUN, EL TERMINO COMUN ES 4. E
( )2x3x4
2y' = 2 −+−
EL CUATRO TIENE RAIZ CUADRADA EXACTA, POR LO QUE LE SACAMOS RAIZ
CUADRADA (2) Y EL RESULTADO SE COLOCA YA EN LA PARTE DE AFUERA DE LA RAIZ CUADRADA.
2x3x2
2= y'
2 −+−
QUE ESTA EN EL NUME OMINADOR. EL RESULTADO DE LA DIVISIÓN ES UNO, POR LO QUE NOS QUEDARA UNO EN EL NUMERADOR.
HACEMOS UNA SIMPLIFICACIÓN YA QUE PODEMOS DIVIDIR EL 2
RADOR ENTRE EL 2 QUE ESTA EN EL DEN
75
23xxy'
2 −+−= 1
= Arc Cos x2 2. y LA FUNCION QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCION ARCO COSENO
2u1
udxd
)ucosarc(dxd
−−= .
EL PROCEDI IENTO QUE SE SIGUE EN ESTE EJERCICIO PARA HALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCION DADA ES EL SIGUIENTE:
CUAL ES EL VALOR DE u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS VALORES QUE NOS INDICA LA FORMULA DE LA DERIVADA FUNCIÓN ARCO COSENO,
M
SE DEFINE
ESTOS VALORES SON udxd Y u2.
x2, POR LO QUE EL VALOR DE u’ = 2x Y u2 = (x2)2 ⇒ u2 = x4 EL VALOR DE u =
YA QUE TENEMOS LOS VALORES DE u
dxd Y u2 LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA
DERIV DA2u1
udxd
A DE LA FUNCIÓN ARCO COSENO )ucosarc(dxd
−−= , QUE ES UNA DERIVADA
NEGATIVA.
( )4x1
x2y'−
−=
SOLO QUE N CUENTA QUE DELANTE DE u2 HAY TAMBIÉN UN SIGNO
NEGATIVO, POR LO QUE EL VALOR u2 CAMBIARA DE SIGNO. HAY QUE TENER E
4x1
2xy' −= −
3. y = Arc Tan 3x2
NCIÓN QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO TANGENTE LA FU
2u1+
udxd
)utanarc(d= .
d
RTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS VALORES
x SE DEFINE CUAL ES EL VALOR DE u Y A PA
udxd Y u2.
L VALOR DE u = 3x2, POR LO QUE EL VALOR DE u
dxdE = 6x Y u2 = (3x2)2 ⇒ u2 = 9x4.
L OS VALORES DE u
dxd Y u2 LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA
FUNCIÓ2u1
udxd
)utanarc(d= . N ARCO TANGENTE
dx +
49x16xy'+
=
76
4. x
2CosArcy = 1
DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO COSENO LA FUNCIÓN QUE TENEMOS PARA
2dx)ucos−
−= . u1
ud
arc(dxd
DE u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS V
SE DEFINE CUAL ES EL VALOR ALORES u
dxd Y u2.
EL VALOR DE x21
= , POR LO u QUE EL VALOR DE 21u
dxd
= Y 222
2 x41ux
21u =⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= .
E
udxdD Y u2 LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO
C2u1
udx)ucosarc(d
−= . OSENO d
dx −
44
OS TÉRMINOS QUE TENEMOS DENT
x
2y'1
2y'22
=⇒
−
= 1
1
x1
1
−
RO DE LA RAÍZ CUADRADA, LOS SUMAMOS S
LIGUIENDO LAS REGLAS DE LA SUMA DE FRACCIONES.
21
4x4 2−
y' =
CUADRADA, SOLO EL DENOMINADOR (4) TIENE RAÍZ CUADRADA EXACTA, ASÍ QUE LE SACAMOS RAÍZ CU
DE LA FRACCIÓN QUE NOS QUEDA DENTRO DE LA RAÍZ
ADRADA.
2x4
1
2−
ODEMOS HACER LA LEY DEL “SÁNDWICH”, CON ESTO YA ELIMINAMOS LA FRACCIÓN
Q
2y' =
PUE TENÍAMOS EN EL DENOMINADOR.
2x42
2y'−
=
MINADOHACEMOS LA DIVISIÓN DEL 2 DEL NUMERADOR CON EL 2 DEL DENO R Y YA
TENEMOS EL RESULTADO DE LA DERIVADA.
77
2x4 −
1=
.
y'
x3TanArcy = 5
LA FUNCIÓN QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO TANGENTE
2u1+
udxd
)utanarc(d
= .
E DEFINE CUAL ES EL VALOR DE u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS V
dx SALORES DE u
dxd Y u2.
EL VALOR DE x3u = , ES DECIR u = 3x–1, POR LO QUE EL VALOR DE u
dxd = –3x–2 ES DECIR
2x3ud
−= Y 2
22
2 9u3u =⇒⎟⎞
⎜⎛= .
xx ⎠⎝dx LOS VALORES DE u
dx Y u LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMd 2 ULA DE LA DERIVADA DE LA
F2u1
udxd
)utanarc(dxd
+= . UNCIÓN ARCO TANGENTE
2
2
x91
x3
y'+
−=
OS TÉRMINOS QUE TENEMOS EN EL DENOMINADOR, LOS SUMAMOS SIGUIENDO LAS REGLAS DE LA SUMA DE FRACCIONES APLICANDO LA LEY DE LOS SIGNOS DE LA DIVISIÓN LA FRACCIÓN NOS QUEDA NEGATIVA.
L
2
2
x9x +
2x3
−=
S QUE APLICAR LA LEY DEL “SÁNDWICH”.
y'
ARA PODER REDUCIR LA FRACCIÓN TENEMOP
( )9xx 22 += x3
ERIVADA.
2y'
HACEMOS LA DIVISIÓN DE LA x2 DEL NUMERADOR CON LA x2 DEL DENOMINADOR (LA
QUE ESTA FUERA DEL PARÉNTESIS) Y YA TENEMOS EL RESULTADO DE LA D
9x3y'
2 +=
78
EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – F )
1.-xaSenArcy =
2.- axSenArcy =
4.-
3.- y = Arc Tan ( 2x – 4 )
2x53CscArcy −
=
5.-
axCosArcy =
.-6cxTanArcy =
7.- 21
xSenArcy =
x8.- y = arc Sec e 9.-
2TanArcy = x53 −
10.-
( )1
5TanArcy = 22 x10x −
79
2.2.3 DERIVACIÓN APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA
ES (P
STE TIPO DE DERIVADAS RELACIONAN A DOS FUNCIONES DEPENDIENTES QUE SE T CIONES LAS VAMOS A DENOMINAR COMO LA FUNCIÓN u Y LA FUNCIÓN y.
L PRINCIPIO, ESTAS DOS FUNCIONES SON DEPENDIENTES, LA FUNCIÓN u ES DEPENDIENTE DE LA VARIABLE x MIENTRAS QUE LA FUNCIÓN y DE LA F
A FORMULA PARA RESOLVER UNA DERIVADA DE FUNCIÓN DE FUNCIÓN ES LA S
OBJETIVOS: 1. APLICARA LA FORMULA DE LA REGLA DE LA CADENA PARA DERIVAR FUNCIONO, EA) EIENEN QUE DERIVAR AL MISMO TIEMPO. ESTAS FUN
COMO SE DIJO A
UNCIÓN u. LIGUIENTE:
dxdudx•=
dudydy
N ESTE TIPO DE DERIVADAS NOS VAN A DAR EL VALOR DE y Y TAMBIÉN EL VALOR DE u Y DESPUÉS AMBAS DERIVADAS SE MULTIPLICAN Y DESPUÉS SE SUSTITUYEN D S u POR SU VALOR INICIAL Y SE HACEN TODAS LAS REDUCCIONES ALGEBRAICAS QUE SEAN POSIBLES PARA OBTENER LA RESPUESTA.
JEMPLOS:
R IV IGUIENTES FUNCIONES APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA:
. HALLAR LA
E. AMBAS FUNCIONES SE DERIVAN
TO AS LA
E HALLA LA DER ADA DE LAS S
dudy1 SI y = 3u2 – u Y u = 7x2 – 5x
COMO PRIMER PASO TENEMOS QUE DERIVAR POR SEPARADO CADA UNA DE LAS
FUNCIONES QUE NOS ESTÁN DANDO:
1u6dudy
uu3y 2 −=⇒−=
5x14dxdux5x7 2 −=u −=⇒
AS EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA CADENA Y DESPUÉS MULTIPLICAMOS ESTAS DERIVADAS:
SUSTITUIMOS LOS VALORES DE LAS DERIVADAS OBTENID
( ) ( ) 5x14u30xu84dxdy
5u30x14xu84dxdy
5x141u6dx
+−−=⇒+−−=⇒−−=
AHORA SE SUSTITUYEN LAS u QUE N
dy
OS HAYAN QUEDADO POR SU VALOR INICIAL (u = 7x – 5x):
2
=dxdy 84x ( 7x2 – 5x ) – 30 ( 7x2 – 5x ) – 14x + 5
DESPUÉS DE LA SUSTITUCIÓN DE LOS VALORES DE u, LO QUE SIGUE A CONTINUACIÓN
S AR D
ON SOLAMENTE PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS DE REDUCCIÓN QUE VAN A VARI ACUERDO AL TIPO DE FUNCIÓN QUE NOS DEN. E
80
MULTIPLICAMOS LOS PARÉNTESIS.
=dydx
588x3 – 420x2 – 210x2 + 150x – 14x + 5
EDUCIMOS LOS TÉRMINOS SEMEJANTES: R
=dx
588x – 630x + 136x + 5 dy 3 2
3
ERIVANDO LAS FUNCIONES:
2. y = 2u2 + 1 Y u = ( x + 2 ) D
u4du
1u2y 2 =⇒−= dy
( ) ( )23 2x3dx
2xu +=⇒+= du
USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: S
=dxdy ( 4u )[ 3 ( x + 2 )2 ]
ULTIPLICANDO LAS DERIVADAS OBTENIDAS: M
=dudy 12u ( x + 2 )2
SUSTITUYENDO EL VALOR INICIAL DE u:
=dx
12 ( x + 2 )3 ( x + 2 )dy 2
ÁN MULTIPLICANDO, APLICANDO LA LEY DE EXPONENTE (an) (am) = an+m, SOLO SUMAMOS LOS EXPONENTES DE ESTAS B
TENEMOS DOS BASES IGUALES (x +2) QUE SE EST
ASES:
=dx
12 ( x + 2 )5 dy
3. xuYuy == DERIVANDO LAS NCION FU ES:
u21dy1dy
u1dyuyu 2
121
=⇒=⇒=⇒=⇒=−
ydu
u2du2du
21
x21
dxdu1
dxdux
21
dxduxyxu
122 =⇒=⇒=⇒=⇒=
x2 2
11−
DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: SUSTITUYENDO EN LA FORMULA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x21
u21
dxdy
81
MULTIPLICANDO LAS DE IVADAS OBTENIDAS:
R
xu4dx=
dy 1
NDO EL VALOR INICIAL DE u: SUSTITUYE
xx4
1dy=
dx
x SI MULTIPLICAMOS LOS ÍNDICES DE LAS DOS RAÍCES, PODEMOS UNA SOLA RAÍZ. SI MULTIPLICAMOS LOS ÍNDICES ( 2•2 )
OBTENEMOS UNA RAÍZ CUARTA, POR LO QUE LA FRACCIÓN NOS QUEDA:
EN EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESIÓN: LA RAÍZ CUADRADA DE LA RAÍZ
CUADRADA DE , EXPRESARLO COMO
xx4
ARA PODER SIMPLIFICAR LAS RAÍCES, ES MEJOR PASAR LAS RAÍCES A SU FORMA DE
1dy4
=
POTENCIA:
dx
P
⎟⎟⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛
21
41
xx4dx
⎠⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
=1
BASES IGUALES, POR LO QUE SI APLICAMOS LAS LEYES DE EXPONENTES, LO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUMAR LOS EXPONENTES DE AMBAS BASES, ENTONCES EL PRODUCTO DE LAS DOS x NOS VA A
D
dy
LAS RAÍCES NOS QUEDAN COMO EL PRODUCTO DE DOS
AR 4x . 3
31dy
= dx
4x4 PASANDO ESTA FORMA DE POTENCIA A SU FORMA DE RAÍZ, EL RESULTADO DE LA
DERIVADA ES:
4 3x4
1dy=
x2 – 3
FUNCIONES:
dx
4. y = u3 – u2 – u Y u = 2 DERIVANDO LAS
=dudy y´= 3u2 – 2u – 1 Y =
dxdu 4x
USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: S
=dxdy ( 3u2 – 2u – 1 ) ( 4x )
ULTIPLICANDO LAS DERIVADAS OBTENIDAS: M
82
=dxdy 12 xu2 – 8xu – 4x
USTITUYENDO EL VALOR INICIAL DE u: S
=dxdy 12x ( 2x2 – 3 )2 – 8x ( 2x2 – 3 ) – 4x
ESARROLLANDO EL EXPONENTE DEL PRIMER PARÉNTESIS: D
=dxdy 12x ( 4x4 – 12x2 + 9 ) – 8x ( 2x2 – 3 ) – 4x
LIMINANDO PARÉNTESIS POR MEDIO DE LA MULTIPLICACIÓN: E
=dxdy 48x5 – 144x3 + 108x – 16x3 + 24x – 4x
EDUCIENDO TÉRMINOS SEMEJANTES: R
=dxdy 48x5 – 160x3 + 128x
3 2 3 2
LAS FUNCIONES:
5.- y = 2u – 4u Y u = 5x – 2x +3x DERIVANDO
=dy 6u2 – 8u Y =
du 15x2 – 4x + 3 du dx
USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: S
=dxdy ( 6u2 – 8u ) ( 15x2 – 4x + 3 )
MULTIPLICANDO LAS DERIVADAS OBTENIDAS:
=dx
90x2u2 – 24xu2 + 18u2 – 120x2u + 32xu – 24u
dy
SUSTITUYENDO EL VALOR INICIAL DE u:
=dy 2 3 2 2
dxx( 5x3 – 2x2 +3x ) –
90x ( 5x – 2x +3x ) – 24x( 5x3 – 2x2 +3x )2 + 18( 5x3 – 2x2 +3x )2 – 120x2( 5x3 – 2x2 +3x ) +
3 24( 5x3 – 2x2 +3x)
ADO, PODEMOS FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN (TC) LA EXPRESIÓN, EL TC ES ( 5x3 – 2x2 +3x ):
2 PARA NO TENER QUE DESARROLLAR LOS EXPONENTES DE LOS PARÉNTESIS QUE
ESTÁN ELEVADOS AL CUADR
=dydx
32x – 24] LIMINANDO PARÉNTESIS POR MEDIO DE LA MULTIPLICA
( 5x3 – 2x2 +3x ) [90x2( 5x3 – 2x2 +3x ) – 24x( 5x3 – 2x2 +3x ) + 18( 5x3 – 2x2 +3x ) – 120x2 +
CIÓN: E
83
=dxdy ( 5x3 – 2x2 +3x ) [450x5 – 180x4 + 270x3 – 120x4 + 48x3 – 72x2 + 90x3 – 36x2 + 54x –120x2 +
32x – 24] REDUCIENDO LOS TÉRMINOS SEMEJANTES DE ADENTRO DEL CORCHETE:
=dx
( 5x3 – 2x2 +3x ) ( 450x5 – 300x4 + 408x3 – 228x4 + 86x – 24)
dy
PODEMOS DEJAR ASI EL RESULTADO, PERPERACIONES ALGEBRAICAS QUE NOS AY
O TODAVÍA PODEMOS SEGUIR HACIENDO O UDEN A REDUCIR EL RESULTADO OBTENIDO, SI QUEREMOS SEGUIR REDUCIE DO, TENDREMOS QUE MULTIPLICAR L
NDO EL RESULTAOS TERMINO DE LOS DOS PARÉNTESIS:
=dx
72x3 + 48x2 + 1350x6 – 900x5 + 1224x4 – 684x3 + 258x2 – 7
dy 2250x8 – 1500x7 + 2024x6 – 1140x5 + 430x4 – 120x3 – 900x7 + 600x6 – 816x5 + 456x4 –
1 2x
IENDO TÉRMINOS SEMEJANTES: REDUC
=dy 8 7 6 5 4 3
dx2250x – 2400x + 3990x – 2856x + 2110x – 976x + 306x2 – 72x
JERCICIOS PROPUESTOS ( II – G )
R LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES APLICANDO LA DERIVADA DE LA CADENA:
Y u = 2x + 1.
E OBTENE
.- SI y ES IGUAL A u2 + 3 1
2.- SI
1u1uy
+−
= Y u = x
.- SI y = u3 + 4 Y u = x3 2 + 2x
3 3
4.- SI y = u3 Y u = x2 – 3x 5.- SI y = u Y u = 5x – 10x
84
2.3 DERIVACION IMPLICITAS
S DE FUNCIONES IMPLICITAS
. OBTENDRA LA DERIVADA DE UNA FUNCION IMPLÍCITA. (PO, EA)
ASTA AHORA SOLO HEMOS VISTO DERIVADAS DE FUNCIONES EXPLICITAS, PERO TAMBIEN PODEMOS SA AS A LAS FUNCIONES IMPLÍCITAS.
NES IMPLÍCITAS, PODEMOS DECIR QUE T IGUIENTE:
SE DERIVAN TODOS LOS TERMINOS DE LA FUNCION, NO IMPORTANDO EL TIPO DE NO DE VARIABLE
y, HAY QUE AGREGARLE AL RESULTADO DE SU DERIVADA LA EXPRESIÓN y ’ O
2.3.1 DERIVADA OBJETIVOS 1 H
CARLES DERIVAD PARA OBTENER LA DERIVADA DE FUNCIOENEMOS UN METODO A SEGUIR, QUE ES EL S 1.
VARIABLE QUE TENGAN, SOLO QUE CUANDO DERIVEMOS UN TERMI
dxdy .
dxdy2. LOS TERMINOS QUE NO TENGAN LA EXPRESIÓN y ’ O , SE PASARAN AL SEGUNDO
MIEMBRO (LADO DERECHO) DE LA ECUACIÓN.
3. SE FACTORIZAN LOS TERMINOS QUE DEJAMOS EN EL PRIMER MIEMBRO DE LA
ERMINO COMUN LA EXPRESIÓN y ’ O dxdyECUACIÓN, TOMAMDO COMO T .
4 TODOS LOS TERMINOS QUE QUEDAN ENCERRADOS EN EL PARÉNTESIS, QUE ESTA .
MULTIPLICADO POR y’ O dxdy , SE PASAN AL SEGUNDO MIEMBRO. COMO ESTE
PARÉNTESIS ESTA MULTIPLICANDO, PASARA AL SEGUNDO MIEMBRO DIVIDIENDO.
5. HAY QUE REVISAR SI LA FRACCION QUE SE NOS FORMA EN EL SEGUNDO MIEMBRO SE PUEDE SIMPLIFICAR POR ALGUNA FACTORIZACION DE SU NUMERADOR Y
EA POSIBLE, LA FRACCION SERA EL .
EN UN TERMINO, TANTO A LA VARIABLE x COMO A LA VARIABLE y, PARA DE QUE UTILIZAR LA FORMULA DE LA D RODUCTO.
y SE PONE y´ O
DENOMINADOR, EN CASO DE QUE ESTO NO SRESULTADO DE NUESTRA FUNCION IMPLICITA
CUANDO TENGAMOS
RIVAR ESTE TERMINO TENDREMOS ERIVADA ALGEBRAICA DE UN P EJERCICIOS: OBTENER LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES IMPLÍCITAS:
dxdy , USAREMOS
dxdy 1. – 3x2 + 5y + 8x + 9y4 = 0 PARA
DERIVAMOS LA FUNCIÓN, CUANDO DERIVEMOS ALGUNA y LE AGREGAREMOS LA
EXPRESIÓN dxdy :
– 6x + 5 dydx
+ 8 + 36y3
dxdy = 0
RO A LOS TERMINOS QUE NO TIENEN
dxdy CAMBIANDO DE MIEMB
85
5dxdy + 36 y3
dxdy = 6x – 8
FACTORIZANDO POR TERMINO COMUN (dxdy )
( 5 + 36 y3 ) dx
´ = 6x – 8 dy
AHORA DESPEJAMOS A dxdy
336y5 +
8−
VARIABLE x Y A LA VARIABLE y, POR LO QUE PARA OBTENER EMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA A DE LA MULTIPLICACIÓN, DONDE u = 9x2 Y v = y4.
ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN:
9x
6xdy=
dx
2. 4x3 – 8y4 – 9x2y4 = 0 EL TERMINO 9x2y4 TIENE A LA
SU DERIVADA TENDRLGEBRAICA
USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADAS
2) ( dxd (y4) + (y4)
dx
ERIVANDO LOS PARÉN
d ( 9x2)
TESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPERADOR DIFERENCIAL:
9x2) (4y
D
3 dy ) + (y4) (18x)
LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:
( dx
MULTIPLICANDO
36x2y3
dxdy + 18xy4
YA QUE TENEMOS LA DERIVADA DE ESTE TERMINO, LO SUSTITUIMOS Y DERIVAMOS
LOS OTROS TÉRMINOS DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA:
2x2 – 32y31dxdy – ( 18xy4 + 36x2y3
dxdy ) = 0
EL SIGNO NEGATIVO QUE ESTA DELANTE DEL PARÉNTESIS, LE VA A CAMBIAR DE
SIGNO A LOS TÉRMINOS QUE ESTÁN DENTRO DE ÉL.
12x2 – 32y3
dxdy – 18xy4 – 36x2y3
dxdy = 0
SEGUNDO MIEMBRO A LOS TÉRMINOS QUE NO TIENEN
ASANDO ALdxdy : P
– 32y3
dxdy – 36x2y3
dxdy = 18xy4 – 12x2
ACTORIZANDO POR TERMINO COMÚN (y’) Y DESPEJANDO A y’:
F
86
( )( ) 323
24
y18x16y6x9xy
dxdy
+
−−=⇒
+−
−=⇒
−−
−=
323
24
323
24
yx18y162
x6xy92dxdy
yx36y32
x12xy18dxdy
N LOS DO ÚLTIMOS PROCEDIMIENTOS, E S SOLO SE BUSCA REDUCIR LA RESPUESTA,
P NO COMÚN, PARA EL NUMERADOR EL TERMINO COM MINADOR EL TERMINO COMÚN ES M
ESIS, SE DIVIDEN Y POR LEYES DE SIGNOS DE VA.
2y3
O E x Y A LA VARIABLE y, POR LO QUE PARA O UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA A
.
A ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN: (10x3
ARA ELLO FACTORIZAMOS POR TERMIÚN ES DOS, MIENTRAS QUE PARA EL DENO
ENOS 2. LAS CANTIDADES QUE QUEDAN FUERA DEL PARÉNT
LA DIVISIÓN LA FRACCIÓN NOS QUEDA NEGATI
. 10x3y3 + 9x2y4 – 5x3y2 = 4x3
ODOS L S TÉRMINOS TIENEN A LA VARIABLTBTENER SU DERIVADA TENDREMOS QUEGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN. L
ARA 10x3y, TENDREMOS QUE u = 10x3 Y v = y3P
USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADS
) dxd (y3) + (y3)
dxd (10x3)
RADOR DIFERENCIAL:
0x ) (3y
ERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPED
3 2 dy(1
dx
ULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:
) + (y3) (30 x2)
M
30x3y2
dxdy + 30x2y3
PARA 9x2y4, TENDREMOS QUE u = 9x2 Y v = y4. SUSTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN: (9x2)
dxd (y4) + (y4)
dxd (9x2)
DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPERADOR DIFERENCIAL:
x2) (4y3(9dx
dy ) + (y4) (18x)
ULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:
2
M
6x y33dx
+ 18xy
PARA 5x3y2, TENDREMOS QUE u = 5x3 Y v = y2.
USTITUYENDO EN LA FORMULA DE D
dy 4
ERIVADA ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN:
x
S
3(5 ) d 2 2
dx (y ) + (y )
dx
d 3 (5x )
87
DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPERADOR DIFERENCIAL:
5x3) (2y(dxdy ) + (y2) (15x2)
ULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO: M
10x3ydxdy + 15x2y2
PARA 4x2y3, TENDREMO QUE u = 4x2 Y v = y3.
USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN:
2
S
S
) dxd (y3) + (y3)
dxd(4x (4x2)
PERADOR DIFERENCIAL:
2) (3y
DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL O
2
dxdy ) + (y3) (8x) (4x
MULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:
12x2y2
dxdy + 8xy3
SUSTITUIMOS LOS VALORES DE NUESTRAS DERIVADAS EN LA FUNCIÓN, LAS
D SIGNO NEGATIVO.
ERIVADAS OBTENIDAS DEL TERMINO 5x3y2, VAN A CAMBIAR DE SIGNO, PORQUE DELANTE DEL TERMINO HAY UN
30x3y2
dxdy + 30x2y3+ 36x2y3
dxdy + 18xy4´ – 15x2y2 – 10x3y
dxdy = 8xy3 + 12x2y2
dxdy
dxdyAGRUPANDO EN EL PRIMER MIEMBRO A LOS TÉRMINOS QUE TIENEN Y EN EL
S NEN dxdy : EGUNDO MIEMBRO A LOS QUE NO TIE
30x3y2
dxdy 2y3+ 36x
dxdy – 10x3y
dxdy – 12x2y2y´= 8xy3 – 30x2y3 – 18xy4 + 15x2y2
ACTORIZANDO POR TERMINO COMÚN
F (dxdy ) A LOS TÉRMINOS DEL PRIMER MIEMBRO Y
DESPEJANDO A dxdy :
2233222
224323
yx12yx10yx36yx30
yx15xy18yx30xy8dxdy
−−+−
+−−=
COMO TODOS LOS TÉRMINOS TIENEN AL MENOS UNA x O UNA y, PODEMOS
FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN ES xy
( )( ) 12xy10x36xy30xy
15xy18y30xy8ydxdy
22
322
−−+−
+−−=⇒
−−+−
+−−=
xy12x10xy36xy30xy
xy15y18xy30y8xydxdy
22
322
88
EJERCICIOS PROPUESTOS( II – H )
ALLAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES IMPLÍCITAS, CONSIDERANDO x COMO LA VARIABLE INDEPENDIENTE:
. y2 = 4px
. x2 = 4py
. b2x2 – a2y2 = a2b2 4. x2 – y2 = xy 5. x3 + y3 = 2nxy
H
1 2 3
6. ayx =+ 7. 3 23 23 2 ayx =+
2 – xy + y2 = 3
8. x2y – xy2 + x2 + y2 = 0 9. x
89
2.4 EC AC NES LONGITUDES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA
D
.1 ECUACIÓN D LA TANGENTE Y LA NORMAL
O TENDRA LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA FUNCION EN UN PUNTO DADO. (PO, EA)
GENTE Y LA NORMAL
DERIVADA DE UNA FUNCION GEOMÉTRICAMENTE HABLANDO ES IGUAL AL VALOR DE LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE ES TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO D I A CURVA.
PARA HALLAR EL VALOR DE LA PENDIENTE DE LA FUNCION, TENDREMOS QUE DERIVAR A ESTA FUNCION Y SUSTITUIR EL VALOR DE x EN EL PUNTO DE TANGENCIA P (x1 , y1).
ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE APLICAREMOS LA FORMULA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
y1 = m ( – x1 )
ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL APLICAREMOS LA FORMULA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
U IO YERIVADA 2.4 E OBJETIVOS: 1. B
ECUACIÓN DE LA TAN LA
E D CH
P
y – x P
( )11 xx
m1yy −−=−
E DONDE m ES LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE, x1 Y y1 SON LOS VALORES DEL PUNTO DE TANGENCIA.
OR DEFINICIÓN LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL ES PERPENDICULAR A LA RECTA TANGENTE, POR ESO ES QUE PARA OBTENERLA USAMOS EL VALOR DE LA PENDIENTE PERO DE FORMA INVERSA Y DE SIGNO CONTRARIO.
JEMPLOS:
ALLAR EL VALOR DE LA PENDIENTE Y LAS ECUACIÓNES DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
.- y = 3x2 + 5x – 2 EN EL PUNTO ( –2, 3 )
BTENIENDO LA DERIVADA DE LA FUNCION:
’ = 6x + 5
SANDO LA IGUALDAD DE DERIVADA Y PENDIENTE:
= y’
USTITUYENDO y’ EN LA FORMULA DE LA PENDIENTE:
= 6x + 5, COMO x = –2
D
P
E H
1 O y U m S m
90
SUSTITUYENDO EL VALOR DE x:
= 6 ( –2 ) + 5 = –12 + 5
REDUCIENDO TERM m = –7
ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUA IÓN DE LA RECTA:
3 = –7 ( x + 2 ) PLIFICANDO NOS QUEDA:
3 = –7x – 14
MODA DO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:
x + y – 3 + 14 = 0 ⇒ 7x + y + 11 = 0
PARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA, SOLO QUE EL VALOR QUE USAREMOS PARA LA PENDIENTE S
m
INOS:
P
C y –
IMS – y
ACO N
7
71m = : ERA:
( )2x
713y +=−
EL 7 SE CAMBIA DE MIEMBRO Y PASARA A MULTIPLICAR A LA EXPRESIÓN y – 3,
MIENTRAS QUE EL 1 MULTIPLICARA A LA EXPRESIÓN x + 2
(y – 3) = 1 ( x + 2 )
y – 21 = x + 2
O N A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 N
– 7y +21 +2 = 0 ⇒ x – 7y + 23 = 0
.- y =
7 SIMPLIFICANDO NOS QUEDA: 7
COM DA DO DE ACUERDOAOS QUEDA: x
x ⇒ y = 21
x P.T.( 4, – 2 )
D ADA DE LA FUNCION:
2
BTENIEN O LA DERIVO
x21'yxy 2 =⇒=
1
USANDO LA IGUALDAD DE DERIVADA Y PENDIENTE: m = y´ SUSTITUYENDO y’ EN LA FORMULA DE LA PENDIENTE:
91
x2m = Y x = 4 1
DE x: SUSTITUYENDO EL VALOR
41m
221m
421m =⇒
•=⇒=
ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LP A RECTA TANGENTE, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA
ECUACIÓN DE LA RECTA:
( )4x41y −=+ 2
ISTRIBUYENDO EL VALOR DE LA PENDIENTE:
( y + 2 ) = 1 ( x – 4 )
IMPLIFICANDO NOS QUEDA:
y + 8 = x – 4
COMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:
– 4y – 8 – 4 = 0 ⇒ x – 4y – 12 = 0
ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA NORMAL, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA m = – 4:
+ 2 = – 4 ( x – 4 )
IMPLIFICANDO NOS QUEDA:
+ 2 = –4x – 16
COMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:
x + y + 2 + 16 = 0 ⇒ 4x + y + 18 = 0
.- y = Sen x EN EL PUNTO ( 0, 1 )
BTENIENDO LA DERIVADA DE LA FUNCION:
’ = Cos x
SANDO LA IGUALDAD DE DERIVADA Y PENDIENTE:
= y ’
USTITUYENDO y’ EN LA FORMULA DE LA PENDIENTE:
= Cos x , COMO x = 0
STITUYENDO EL VALOR DE x:
D 4 S 4 A
x P
y S y A
4 3 O y U m S m SU
92
m HA
= Cos 0 LLANDO EL VALOR DEL COSENO DE CERO:
= 1
RA OBTENER LA ECUACIÓN USTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA:
– 1 = 1( x – 0 )
MPLIFICANDO NOS QUEDA:
– 1 = x
OMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:
– y + 1 = 0
RA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA, m SERA IGUAL A –1.
– 1 = –1( x – 0 )
SIMPLIFICA y – 1 = –
OMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:
+ y – 1 = 0
EMPLOS PROPUESTOS ( II – A )
LLAR EL VALOR DE LA PENDIENTE Y LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE DE LAS SIGUIENTES CURVAS EN LOS PUNTOS DE TANGENCIA QUE SE INDICAN:
. y = x – 2x + 4 EN EL PUNTO ( 2, 4 )
2 + 5 EN EL PUNTO ( 1, –3 )
y = 10x4 – 20x3 EN EL PUNTO (–1, –5 )
m PA DE LA RECTA TANGENTE, S
y SI y AC
x PA
y
NDO NOS QUEDA:
x AC
x EJ HA
3 21
2. y = 5x – 4x 3. 4. y = –3x4 – 4x3 + 10x2 – 5x + 10 EN EL PUNTO (–2, 1 ) 5. 3 2 4xy += EN EL PUNTO ( 2, 4 )
. y = 23x5 + 5x3 + 2x – 4 EN EL PUNTO ( 3, 4 ) 6 7. y = 5x3 + 2x2 + 4x + 10 EN EL PUNTO ( 1, 2 )
. y = 3x2 + 5x3 – 2x + 15 EN EL PUNTO ( 2, 3 )
. y = 15x4 + 12x2 + 8x + 5 EN EL PUNTO ( 6, 4 )
8 9
93
10. 52
xy = EN EL PUNTO ( –1, 6 ) .4.2. LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL
BJETIVOS:
DE LA SUBNORMAL A UNA F NCION EN UN PUNTO DADO. (PO, EC)
ONGITUDES DE LA TANGENTE, NORMAL, SUBTANGENTE Y SUBNORMAL. (NO APLICA A
FINE COMO LA LONGITUD DEL SEGMENTO DE TANGENTE COMPRENDIDO ENTRE EL PUNTO DE C
A LONGITUD DEL SEGMENTO DE NORMAL COMPRENDIDO ENTRE EL PUNTO DE TANGENCIA Y EL EJE x. LA LONGITUD DE LA PROYECCIÓN DE ESTE SEGMENTO SOBRE EL EJE x RECIBE EL NOMBRE DE LONGITUD DE SUBNORMAL (SN).
2 O 1. CALCULARA LA LONGITUD DE LA RECTA SUBTANGENTE YU LL EXAMEN DEPARTAMENTAL) LA LONGITUD DE TANGENTE A UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS SE DE
ONTACTO Y EL EJE x. LA PROYECCIÓN DE ESTE SEGMENTO SOBRE EL EJE x RECIBE EL NOMBRE DE LONGITUD DE SUBTANGENTE (TS).
LA LONGITUD DE NORMAL SE DEFINE COMO L
LA LONGITUD DE LA SUBTANGENTE ESTARÁ DADA POR: my
TS 0=
LA LONGITUD DE LA SUBNORMAL ESTARÁ DADA POR: SN = my0 NOTA: LAS LONGITUDES DE SUBTANGENTE Y SUBNORMAL SON SEGMENTOS
DIRIGIDOS. ALGUNOS AUTORES SOLO CONSIDERAN SUS MÓDULOS (VALOR ABSOLUTO)
my 0 Y 0my RESPECTIVAMENTE. POR ELLO EN LAS SOLUCIONES NO SE MANTENIDO EN
CUENTA MAS QUE DICHOS MÓDULOS. EJERCICIOS RESUELTOS: 1. HALLAR LA LONGITUD DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL A LA CURVA xy +2x
– y = 5 EN EL PUNTO (2, 1). PRIMERO TENEMOS QUE DERIVAR LA CURVA, HAY QUE TENER EN CUENTA QUE
TENEMOS UNA DERIVADA IMPLÍCITA.
x12y
dxdy
1x2y
dxdy
2ydxdy
dxdy
x0dxdy
2dxdy
xy−+
=⇒−−−
=⇒−−=−⇒=−++
COMO dxdy
m = , ENTONCES x12y
m+
= , SUSTIT−
UIMOS LOS VALORES DEL PUNTO DE
TANGENCIA EN LA ECUACIÓN DE m.
3m3m21=⇒=⇒
+=
121−
−−
m
94
CALCULAMOS LA LONGITUD DE LA SUBTANGENTE (LSTG):
31LSTG =⇒
−=⇒=
31LSTG
my
LSTG 0
CALCULAMOS LA LONGITUD DE LA SUBNO OR): RMAL (LSN
( ) ( ) 3LSNOR =⇒−=⇒−=⇒= 3LSNOR13LSNORmyLSNOR 0
OMO VERÁN,C LA OBTENCIÓN DE LAS LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SECDERO
A ENTE Y LA SUBNORMAL DE LAS FUNCIONES
E
UBNORMAL ESTA BASADA EN EJERCICIO PARECIDOS AL DE LA OBTENCIÓN DE LA UACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL, SOLO TENEMOS QUE
IVAR LA FUNCIÓN QUE NOS DEN, IGUALAR LA PENDIENTE CON LA DERIVADA BTENIDA Y LUEGO USAR LA FORMULA CORRESPONDIENTE. EJERCICIOS PROPUESTOS: (CAL-B)
LLAR LAS LONGITUDES DE LA SUBTANGHN EL PUNTO QUE SE INDICA.
. 3x2 – 2y2 = 5, EN EL PUNTO (–2, 1). SOL. 1/3 Y 3 1
. 5y2 – 9y + x2 – x – 2 = 0, EN EL PUNTO (3, 1) sol. 1/5 y 5 2
3. xa2
y−
= , EN EL PUNTO (a, a) sol. a/2 y 2a
ay = x2, EN EL PUNTO (a, a) a/2 y 2a
2 2
x2
4.
. x – 4y = 9, EN EL PUNTO (5, 2) 16/5 y 5/4
3
5
95
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD II PRIMER PARCIAL
1. LA EXPRESIÓN xy∆ RE
∆PRESENTA LA RAZON DE CAMBIO _____________________,
MxyLim ∆IENTRAS QUE LA EXPRESIÓN
0x ∆→∆ REPRESENTA LA RAZON DE CAMBIO
_ ___.
VALO DADO.
∈
C.
_________________ 2. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS HALLA LA RAZON DE CAMBIO PROMEDIO DE LA
FUNCIÓN EN EL INTER A. [ ]4,1x,1x2xy 2 ∈+−= B. [ ]1,2x,x2xy −−= 3
[ ]1,2x,2531x2x1y 2 −+−= ∈
LUEGO PUEDE DECIR QUE TAMBIEN ES UNA RAZON DE CAMBIO IN
L
3. LA _____________________ DE UNA FUNCION ES EL COCIENTE DEL INCREMENTO DE
LA FUNCION ENTRE EL INCREMENTO DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE, CUANDO ESTE TIENDE A CERO,
STANTANEO. 4. ESCRIBE A MENOS 3 DE LAS FORMAS COMO SE DENOTA UNA DERIVADA- 5. EL PROCESO DE HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SE LLAMA
_____________________. UNA FUNCIÓN ES _____________________ (O DIFERENCIABLE) EN x SI SU DERIVADA EN x EXISTE, Y _____________________ EN UN INTERVALO ABIERTO (a E INTERVALO.
. APLICA LA REGLA DE LOS 4 PASOS PARA OBTENER LA DERIVADA DE LAS
S
, b) SI SE PUEDE DERIVAR EN TODOS Y CADA UNO DE LOS PUNTOS DE ES
6IGUIENTES FUNCIONES: A. 10x6x4x3y 23 +−−=
B. 1x1xy
+= −
C. 1x2y −= 7. HALLA LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES ALGEBRAICAS: A. y= 3x3 – 5 x4 – 3x5+6x6
B.
432 x1
x1
x1y −+=
C. y = (5x3+4x2) (8x2 –3 x3)
96
D. 32
23 x4x5y +=
x3x8 −
. y = (14x3 2+6x)10 E –15x
. ( ) ( )2x41x3y −−= 45F
G. ( ) ( )( )423 xx −
625 xx3x2y −−=
( ) ( )H. ( ) ( )34 5x62x5 +−
43 1x21x −−y =
I. ( ) 1x51xy 2 −= −
.
3x −J3x +
y =
97
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD II SEGUNDO PARCIAL
. HALLA LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRASCENDENTALES:
C. D.
.
⎞⎛
8 A. x20ay = B
. x52x10ey −=
3x25Cotx10Seny −=
xSeney =
4x5SecLny = E
F. ( )x3Cosey ⎟⎠
⎜⎝
=
2x4
G. 3x4Sec
x5Tany =
2
. ⎞⎜⎛= ( )x6Cscey 32x ⎟H
⎠⎝
( )( )I.23
x23 exCosy−
= xSen
J. 2xTanArcy =
9. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS APLICA LA REGLA DE LA CADENA PARA OBTENER
dx. d
A. y=u3 + u2 + 3 Y u = 3x + 5
y
B. y=3u2 + u Y u = 3x2 – 6x
10. OBTEN LA dx
DE LAS SIGUIENTES FUdy NCIONES IMPLICITAS:
A. 3x2 – 5y3 + 4y = 0
0
C. 3x2y3 – 5xy4 – 3y = 0
ENDIENTE DE LA RECTA QUE ES TANGENTE A LA CURVA DADA EN EL PUNTO DE TANGENCIA SEÑALADO EN CADA CASO, HALLAR LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A ESE PUNTO DE TANGENCIA.
B. –2x3 + 4y3 – 5x4 + 6y2 =
11. HALLAR EL VALOR DE LA P
98
A. y = 2x2 + 5x, EN EL PUNTO x=3. B. y = x3. EN EL PUNTO (2, 8)
.C xy = , EN EL PUNTO (16, 4)
2. HALLAR LAS LONGITUDES DE LAS RECTAS SUBTANGENTE Y SUBNORMAL A LA CURVA DADA EN EL PUNTO INDICADO.
, 1).
B. EN EL PUNTO (1, 1)
1
A. xy +2x + y = 5 EN EL PUNTO (2
2x4x3y 2 +−=
C. xy = EN EL PUNTO (4, 2)
99
MÓDULO III
“VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES “
L ALUMNO:
ALCULARÁ NIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN; M N DE LOS CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA, ANALIZANDO DIFERENCIALMENTE, LOS INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE O
SU GRAFICADO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y APROXIMACIÓN, MOSTRANDO UNA ACTITUD REFLEXIVA Y DE COOPERACIÓN.
PROPÓSITO DE LA UNIDAD III E C LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍEDIANTE LA APLICACIÓ
DECRECIENTE, CÓNCAVA O CONVEXA E IDENTIFICANDO LA EXISTENCIA DE PUNTOS DE INFLEXIÓN, PARA
100
3.1. APLICACIONES DE LA DERIVADA 3.1.1 CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS CON EL CRITERIO DE LA
PRIMERA DERIVADA.
A
NTO x = x0 , IÓN PARA LOS PUNTOS INMEDIATAMENTE ANTERIORES Y POSTERIORES AL CONSIDERADO.
EN LA FIG.1, LA CURVA TIENE TANGENTE HORIZONTAL EN LOS PUNTOS R, S Y T. LOS
VALORES DE x, (r, s Y t) PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN f(x) ES ESTACIONARIA (f’(x) = 0), ECIBEN EL NOMBRE DE VALORES CRÍTICOS Y LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES DE
R, S Y T) EL DE PUNTOS CRÍTICOS.
OBJETIVOS: 1. CALCULARA LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN, PLICANDO EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. (PO, EC) MÁXIMOS Y MÍNIMOS (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA) UNA FUNCIÓN y = f ( x ) TIENE UN MÁXIMO O UN MÍNIMO RELATIVO EN UN PU
UANDO f ( x0 ) ES MAYOR O MENOR QUE LOS VALORES DE LA FUNCC
RLA CURVA (
EN LA FIG. 1, R [( r, f(r)] ES UN MÁXIMO RELATIVO DE LA CURVA YA QUE f(r) ES MAYOR
QUE CUALQUIER f(x). EN ESTAS CONDICIONES, y = f(x) TIENE UN MÁXIMO RELATIVO IGUAL A f(r) EN x = r. EN LA MISMA FIGURA, T [( t, f(t)] ES UN MÍNIMO RELATIVO DE LA CURVA PUESTO QUE f(t) ES MENOR QUE CUALQUIER f(x). POR TANTO, y = f(x) TIENE UN
ÍNIMO RELATIVO IGUAL A f(t) EN x = t. OBSÉRVESE QUE R ES EL PUNTO DE UNIÓN DE UN CO AR ASCENDENTE f’(x) > 0), Y OTRO RB DESCENDENTE (f’(x) < 0), MIENTRAS QUE T
U
RMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN f(x) CONTINUA PODEMOS USAR EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.
ADA
MAR
NE UN ARCO CT DESCENDENTE (f’(x) < 0) CON OTRO TU ASCENDENTE f’(x) > 0). EN EL PUNTO S, SE UNEN DOS ARCOS DESCENDENTES Y, POR CONSIGUIENTE, EN EL NO HABRÁ NI MÁXIMO NI MÍNIMO RELATIVO.
PARA DETE
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIV
RA EL CASO DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN, LOS PODREMOS HALLAR SIGUIENDO LOS CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA O LA SEGUNDA DERIVADA.
PA
101
LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN SE LOCALIZAN EN LOS
PUNTOS DE TANGENCI RIZONTAL, ES DECIR EN LOS PUNTOS EN LOS CUALES LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SE ANULA, ES DECIR, ES IGUAL A CERO. POR LO T A DERIVADA SE OBTIENE UNA ECUACIÓN CUYAS SOLUCIONES CONTIENEN A LOS VALORES CRÍTICOS.
f’(x) = 0
E ACUERDO CON LAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES:
ÓN ES DECRECIENTE Y DESPUÉS DE EL, LA DUCE QUE SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE
NEGATIVA A POSITIVA, TENDREMOS UN MÍNIMO. ANTES DE UN MÁXIMO LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DESPUÉS DE EL, LA FUNCIÓN
CE QUE SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE POSITIVA
L PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA F RIMERA DERIVADA, ES EL SIGUIENTE:
1 SE SACA LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.
VADA SE IGUALA A CERO.
. LA ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR FACTORIZACION). LOS VALORES DE x QUE SATISFAGAN A LA ECUACIÓN, RECIBIRÁN
S EN ELLOS DONDE PROBABLEMENTE SE OS DE LA FUNCIÓN.
UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, SE REALIZA UNA PEQUEÑA RECTA ESCOGER LOS VALORES VAMOS A
LOR CRITICO. VAMOS A TOMAR UN VALOR CUALQUIERA ANTERIOR Y UNO POSTERIOR AL VALOR CRITICO (DE PREFENCIA ENTEROS) SIEMPRE Y CUANDO ESTOS VALORES NO REBASEN A OTRO VALOR CRITICO.
. UNA VEZ DEFINIDOS LOS VALORES QUE SERVIRÁN PARA EVALUAR A LOS PUNTOS CRÍTICOS, ESTOS VALORES SE SUSTITUIRÁN EN LA ECUACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA (DE PREFERENCIA EN LA ECUACIÓN FACTORIZADA), Y DE ACUERDO A
AN LOS SIGUIENTES CRITERIOS:
A NEGATIVA, ENTONCES TENDREMOS UN
IVA A POSITIVA, ENTONCES TENDREMOS UN
CAMBIO DE SIGNO, ES DECIR QUE VAYA DE ES EN ESE VALOR
CRITICO NO TENDREMOS NI MÁXIMO NI MÍNIMO.
. HASTA ESTE INSTANTE, YA SABEMOS EN QUE PUNTOS SE LOCALIZAN LOS MÁXIMOS SABEMOS TODAVÍA CUAL ES EL VALOR DE
CADA UNO, PARA HALLAR EL VALOR, TANTO DEL MÁXIMO COMO DEL MÍNIMO, UE SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS EN LA ECUACIÓN ORIGINAL, ES
A HO
ANTO: IGUALANDO A CERO LA PRIMER
D
A) ANTES DE UN MÍNIMO LA FUNCI
FUNCIÓN ES CRECIENTE, DE LO QUE SE DE
B)ES DECRECIENTE, DE LO QUE SE DEDUA NEGATIVA, TENDREMOS UN MÁXIMO.
EUNCIÓN, USANDO EL CRITERIO DE LA P .
2. ESTA PRIMERA DERI 3
EL NOMBRE DE VALORES CRÍTICOS Y ELOCALIZARAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIM
4.
NUMÉRICA, LA CUAL NOS SERVIRÁ PARAUTILIZAR PARA EVALUAR CADA VA
5
LOS SIGNO OBTENIDOS, SE APLIC A) SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE POSITIVA
MÁXIMO RELATIVO EN ESE VALOR CRITICO. B) SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE NEGAT
MÍNIMO RELATIVO EN ESE VALOR CRITICO. C) SI LA FUNCIÓN NO PRESENTA UN
NEGATIVA A NEGATIVA O DE POSITIVA A POSITIVA, ENTONC
6
Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN, PERO NO
TENEMOS Q
102
DECIR, EN LA ECUACIÓN QUE TENÍAMOS AL PRINCIPIO ANTES DE HACER LA DERIVACIÓN.
EJERCICIOS RESUELTOS: HALLAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES,
APLICANDO EL MÉTODO DE LA PRIMERA DERIVADA:
. f(x) = x + 3x – 9x + 3 SACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
S:
x + 6x – 9 = 0 ⇒ 3(x + 2x – 3) = 0 ⇒ 3 (x + 3) (x – 1) = 0 Y x = 1.
PONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:
3 21
f’(x) = 3x2 + 6x – 9 IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS
VALORES CRÍTICO
2 23DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = – 3
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3
LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR CRÍTICO SERÁN:
–2
ARA HACER ESTA EVALUACIÓN, LO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR P + 3) (x – 1).
L PRIMER PARÉNTESIS NOS DA –1 Y EN SEGUNDO NOS DA –5, DE ESTOS RESULTADOS LO ÚNICO QUE NOS INTERESA ES EL SIGNO DE CADA RESULTADO, YA QUE ESTOS SIGNOS SON LOS QUE VAMOS A MULTIPLICAR PARA VER COMO ES LA FUNCIÓN ANTES DEL VALOR CRITICO, SI NEGATIVA O POSITIVA.
E CON ESTO SABREMOS COMO ES LA FUNCIÓN DESPUÉS DEL VALOR CRITICO, SI POSITIVA O NEGATIVA.
OS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
OMO VALOR ANTERIOR: x = –4 Y COMO VALOR POSTERIOR x =C
PRIMERO 4x −= EN LA ECUACIÓN 3(x
L HACER ESTA SUSTITUCIÓN EN EA
LO MISMO SE HARÁ CON x = –2, YA QU
L
EV UANDO EL VALOAL R CRITICO x = 1
HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR CRÍTICO SERÁN:
OMO VALOR ANTERIOR: x = –2 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 2
OS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA
C LOS PROCEDIMIENT
103
S EN LA FUNCIÓN INICIAL , H
x = –3:
f(–3) = –27 + 3(9) – 9(–3) + 3 EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: f(–3) = –27+ 27 + 27+ 3
FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
–3) = 30
x = 1:
1) = (1)3 + 3(1)2 – 9(1) + 3
ESARROLLANDO LOS EXPONENTES:
1) = 1 + 3(1) – 9(1) + 3
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
1) = 1 + 3 – 9 + 3
AS SUMAS Y RESTAS:
PARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO = 30 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (–3, 30) PARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2
DOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2).
[ 3x9x3xf(x) 23 +−+= ]SUSTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICO
ALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.
USTITUYENDOS (–3) = (–3)3 + 3(–3)2 – 9(–3) + 3 f
ESARROLLANDO LOS EXPONENTES: D
E f( SUSTITUYENDO f( D
f( E f( EFECTUANDO L f(1) = – 2 LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:
ESCRIBIÉN 2. 8x6x
21x
31y 23 +−+=
SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
y’ = x2 + x – 6
O PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
IGUALANDO y’ A CERO Y FACTORIZAND
104
x ⇒ ( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0
N:
x = – 3 Y x =
EL EJE DE LAS ABSCISAS:
2 + x – 6 = 0 POR LO QUE LOS VALORES CRÍTICOS SO
2 PONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3 OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR
C
COMO VALOR ANTERIOR: x = –4 Y COMO VALOR POSTERIOR x = –2
LRÍTICO SERÁN:
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2
OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR CRÍTI
OMO VALOR ANTERIOR: x = –2 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 3
L
CO SERÁN: C
8x6x21x
31y 23 +−+=SUSTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL ,
HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.
USTITUYENDO x = –3: S ( ) ( ) ( ) ( ) 8363
23ESARROLLANDO EXPONENTES:
1313 23 +−−−+−=− y
D ( ) ( ) ( ) ( ) 8369
2127
313y +−−+−=−
EFECTUANDO MULTIPLICACIONES: ( ) 8189273y +++−=−
23 SIMPLIFICANDO FRACCIONES:
105
( ) 8182993 +++−=−
EDUCIENDO CANTIDADES ENTERAS:
y
R ( )
29173 +=−
EALIZANDO LA SUMA:
y
R ( )
2433 =−
USTITUYENDO AHORA x = 2:
y
S ( ) ( ) ( ) ( ) 82621212 23 +−+= y
23
ESARROL AND EXPONENTES: D L O ( ) ( ) ( ) ( )264
218
32y +−+ 81
=
EFECTUANDO MULTIPLICACIONES: ( ) 812
24
382y +−+=
P ACCIONES: SIM LIFICANDO FR ( ) 8122
38
+−+2 =
DU
y
RE CIENDO LAS CANTIDADES ENTERAS: ( )
3822y +−
=
EALIZANDO LA DIFERENCIA: R( )
322y =
A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: ARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO =
LP
243
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −2433, ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA:
P
32 ARA x = 2, TENEMOS UN MÍNIMO =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛322, ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA:
3. f(x) = 6x4 – 8x3
ACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
(x) = 24x3 – 24x2
S f’
106
IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
4x3 – 24x2 = 0 ⇒ 24x2 (x – 1) = 0
E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0 Y x = 1.
ONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:
2 D P
VALUANDO EL VALOR CRITICO x = 0 E OS VALOREL S QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR
COR: x = –1 Y COMO VALOR POSTERIOR x =
RÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERI 1
2EN ESTE EJERCICIO, PARA EVALUAR AL VALOR CRITICO x = 0, NOS VEMOS EN LA
NECESIDAD DE TOMAR
, ES DECIR x = 0.5.
UNA CANTIDAD FRACCIONARIA COMO VALOR POSTERIOR, ESTO S QUE ÉSTE ES UN VALOR CRITICO Y C DEBEMOS DE REBASAR A OTRO, NO P
E DEBE A QUE NO PODEMOS TOMAR AL UNO, YAMO PARA EVALUAR A UN VALOR CRITICO, NO O
ODEMOS TOMAR A LOS NUMEROS QUE ESTÁN A LA DERECHA DEL UNO PARA EVALUAR A x = 0.
LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
VALUANDO EL VALOR CRITICO x = 1 E OS VALORL ES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR
COMO VALOR ANTERIOR: x =
RÍTICO SERÁN:
21 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 2
ITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
C
LOS PROCEDIMIENTOS DE SUST
LTADOS OBTENIDOS EN LA EVALUACIÓN DE LOS VALORES CRÍTICOS, SOLO VAMOS A SUSTITUIR EL VALOR CRITICO EN LA FUNCIÓN IN x8 YA QUE EN
DE ACUERDO CON LOS RESU
1x =ICIAL 4x6f(x) −= , 3 0x = , COMO SE VIO NO HAY NI MÁXIMO NI MÍNIMO. SUSTITUYENDO x = 1
( ) ( )34 1816)1f( −=
107
DESARROLLANDO LOS EXPONENTES:
−=
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
−=
:
4 3 2
+ 48
UALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
2x – 4) (x – 3) = 0
R ICIO ES LA FACTORIZACION P
O ORES CRÍTICOS SON x = – 2, x = 2 Y x = 3
ONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:
( ) ( )1816)1f(
E f( 86)1 EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS
2)1
−= f(
LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: PARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2). 4. y = x – 4x – 8x + 48x + 10 SACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN: y’ = 4x3 12x2 – x– 16 IG
4x3 – 12x2 – 16x + 48 = 0 ⇒ (4x3 – 12x2) + (– 16x + 48) = 0 ⇒ 4x2(x – 3) – 16(x – 3) = 0 ⇒ (4x2 – 16) (x – 3) = 0 ⇒ (2x + 4) ( LA FACTORIZACION QUE SE REALIZA PARA ESTE EJE C
R AGRUPAMIENTO. O DE ACUERD A LA FACTORIZACION, LOS VAL P
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2 LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR
CRÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERIOR: x = –3 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 0
NOS LLEVAN A: LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x =
2
OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR C
LRÍTICO SERÁN:
108
25COMO VALOR ANTERIOR: x = 0 Y COMO VALOR POSTERIOR x = O x = 2.5
OS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A: L
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 3 OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR
C
COMO VALOR ANTERIOR: x =
LRÍTICO SERÁN:
25 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 4
LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
S CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL EL VALOR DEL MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS
RELATIVOS.
2 +−+
ONENTES:
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
++−−=
ESARROLLANDO LOS EXPONENTES:
++−−=
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
++−−=
SUSTITUYENDO LOS VALORE
,10x48x8x4x 234 ++−− HALLAMOSy =
SUSTITUYENDO x = –2: ( ) ( ) ( ) (82422y 34 −−−−−=− ) ( ) 102482
DESARROLLANDO LOS EXP ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y +−+−−−=−
E ( ) +−−+=−y 10963232162
E ( ) 702 −=− y
USTITUYENDO x = 2: S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )234y 10248282422
D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y
E ( ) 10963232162y
109
EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
=
NDO x = 3:
23 ++−
70 SCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = (– 2, – 70).
S UN MÁXIMO = 58 SCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (2, 58)
ARA x = 3, TENEMOS UN MÍNIMO = 55 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 3, 55).
SACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
R LOS V
PO
( ) 582y
SUSTITUYE ( ) ( ) (3433y 4 −= ) ( ) ( ) 1034838
DESARROLLANDO LOS EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1034898274813y ++−−=
EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: ( ) 1014472108813y ++−−=
EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: ( ) 553y =
LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: PARA x = – 2, TENEMOS UN MÍNIMO = –E PARA x = 2, TENEMOE P
5. f(x) = x2 – 10x – 3
f’(x) = 2x – 10
UALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAIGALORES CRÍTICOS: 2x – 10 = 0 ⇒ 2(x – 5) = 0 DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 5
NIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:
ALUANDO EL VAL
V OR CRITICO x = 5
LOCRÍ
CO
DIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
E
S VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR TICO SERÁN:
MO VALOR ANTERIOR: x = 4 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 6 LOS PROCE
110
STITUYENDO LOS VALORES CRÍSU TICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL H
SU
DE
DO LAS SUMAS Y RESTAS:
ÍNIMO = – 28
CA A
DA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS V
2 – 4) = 0 ⇒ 4x(x + 2) (x – 2) = 0
0, x = –2 Y x = 2
3x10xf(x) 2 −−= , ALLAMOS EL VALOR DEL MÍNIMO RELATIVO.
STITUYENDO x = 5:
( ) ( ) 35105)5f( 2 −−=
SARROLLANDO EL EXPONENTE:
( ) 351025) −−= 5f( EFECTUANDO LA MULTIPLICACIÓN:
35025)5f( −−=
FECTUANE
28)5f( −= A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: L
PARA x = 5, TENEMOS UN M ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 5, –28). . y = x4 – 8x2 + 10 6
A NDO L DERIVADA DE LA FUNCIÓN: S
’ = 4x3 – 16x y
UALANDO LA PRIMERA DERIVAIG
ALORES CRÍTICOS:
x3 – 16x = 0 ⇒ 4x(x4
E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x =D
ONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS: P
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2 LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR
CRÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERIOR: x = –3 Y COMO VALOR POSTERIOR x = –1
111
LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 0 LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR
CRÍTICO SERÁN:
TOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
COMO VALOR ANTERIOR: x = –1 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 1 LOS PROCEDIMIEN
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2
OS VALO ES Q E TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR C
VALOR POSTERIOR x = 3
USTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:
L R URÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERIOR: x = 1 Y COMO LOS PROCEDIMIENTOS DE S
ENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL H L MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS RELATIVOS.
PONENTES:
ULTIPLICACIONES:
NDO LAS SUMAS Y RESTAS:
10x8xy 24 +−= SUSTITUY
ALLAMOS EL VALOR DE SUSTITUYENDO x = –2: ( ) ( ) ( ) 102822y 24 +−−−=−
DESARROLLANDO LOS EX ( ) ( ) 1048162y +−=−
EFECTUANDO LAS M ( ) 1032162y +−=−
EFECTUA ( ) 62y −=−
SUSTITUYENDO x = 0:
112
( ) ( ) ( ) 100800y 24 +−=
DESARROLLANDO LOS EXPONENTES:
2 +
UN MÍNIMO = – 6 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = (– 2, – 6).
ARA x = 0, TENEMOS UN MÁXIMO = 10 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (0, 10) PARA x = 2, TENEMOS UN MÍNIMO = – 6 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 2, – 6).
( ) ( ) 100800y +−=
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: E
( ) 10000y +−=
EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: ( ) 100y =
SUSTITUYENDO x = 2: ( ) ( )4 −= ( ) 102822y
ESARROLLANDO LOS EXPONENTES: D
( ) ( ) 1048162 +−= y
EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: ( ) 1032162 +−= y
FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: E
( ) 62 −= y
LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:
ARA x = – 2, TENEMOSP
P
113
EJERCICIOS PROPUESTOS (II–3) HALLAR LOS VALORES DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA SIGUIENTES FUNCIONES,
A ITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. 1. f(x) = x2 + 2x – 3
3. f(x) = x3 – 12x + 7 4. f(x) = 3x4 – 4x3 – 72x2
5.
PLICANDO AHORA EL CR
2. f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 8
2x6x
25x
31 23 +++
7. f(x) = 2x3 – 9x2 – 24x + 20 8. f(x) = x4 – 18x3 + 81x2
9. y = x – 4x + 1 10. y = 8 – 12x + 6x2 – x3
6. f(x) = x4 – 8x2
2
114
3.1.2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
BJETIVOS: 1. OBTENDRÁ DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCIONES ALGEBRAICAS.
(MÁXIMO Y’’’’). (PO, EA) . OBTENDRÁ DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCIONES TRASCENDENTES.
(MÁXIMO Y’’’’). (PO, EC) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O SUCESIVAS
EMOS VISTO QUE, EN GENERAL, LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE x ES TAMBIÉN UNA FUNCIÓN DE x. PUEDE OCURRIR QUE ESTA FUNCIÓN SEA TAMBIÉN DERIVABLE; EN ESTE CASO LA DERIVADA DE LA PRIMERA DERIVADA SE LLAMA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN PRIMITIVA. ANÁLOGAMENTE, LA DERIVADA DE LA SEGUNDA DERIVADA SE LLAMA LA TERCERA DERIVADA, Y AXIAL, SUCESIVAMENTE, HASTA LA ENÉSIMA DERIVADA.
ESTE TIPO DE DERIVADAS SE CONOCE TAMBIÉN COMO DERIVADAS SUCESIVAS, PARA
OBTENER EL RESULTADO DE ESTAS DERIVADAS TENEMOS QUE DERIVAR VARIAS VECES LA FUNCIÓN QUE NOS ESTÁN DANDO.
EMPLOS:
R EL ORDEN DE DERIVADA QUE SE PIDE EN CADA FUNCIÓN:
R y’’’, SI
SACANDO PRIMERA DERIVADA:
y’ = 2
SACANDO SEGUNDA DERIVADA:
y’’ = 2 ( 2 = 4
SACANDO TERCERA DERIVADA
HA 5 4 3 – 5x2 + 3x
x + 3
’’ = 80x – 36x + 24x – 10
ACANDO TERCERA DERIVADA:
O
2
H
EJ HALLA 1.- HALLA x2ey =
x2e
x2e ) x2e
y’’’ = 2 ( 4 2xe ) = 8 2xe 2.- LLAR y’’’’, SI y = 4x – 3x + 4x SACANDO PRIMERA DERIVADA: y’ = 20x4 – 12x3 + 12x2 – 10 SACANDO SEGUNDA DERIVADA:
3 2 y
S y’’’ = 240x2 – 72x + 24 SACANDO CUARTA DERIVADA:
115
y’’’’ = 480x – 72
OS EJERCICIOS ANTERIORES FUERON MUY SENCILLOS PORQUE SOLO SE USARON D S O TRASCENDENTALES POR SEPARADO, PERO TAMBIÉN SE PUEDEN UTILIZAR DERIVADAS ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTALES EN UN M
ULAS, LA F
LERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICA
ISMO EJERCICIO COMO EN EL EJERCICIO QUE SIGUE A CONTINUACIÓN: .- HALLAR y’’, SI y = Sen 8x3 3
PARA OBTENER LA PRIMERA DERIVADA UTILIZAMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE
LA FUNCIÓN SENO: ’ = 24x2 Cos 8x3 y
PARA SACAR LA SEGUNDA DERIVADA TENEMOS QUE UTILIZAR DOS FORM
EBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN )u(dxdv)v(
dxdu)uv(d
=ORMULA DE LA DERIVADA ALGdx
+ y
L ( )A FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO uSenudx
uCosdx
−=
USTITUYENDO EN
dd
NUESTRA FORMULA DE PRODUCTO )u(dxdv)v(
dxdu)uv(
dxd
+= :
2
S
y’’ = ( 24x )dx
( Cos 8x ) + ( Cos 8x ) d 3 3
dxd ( 24x2 )
CIAL
dxd , DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE AL OPERADOR DIFEREN
PARA DE Cos 8x3 USAMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DEL COSENO
RIVAR LA EXPRESIÓN ( ) uSenu
dxduCos
dxd
−=
2 2 x3 ) + ( Cos 8x3 )( 48x )
CANDO LAS EXPRESIONES QUE NO DEPENDEN DE NINGUNA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA Y COLOCÁNDOLOS DELANTE DE CADA TÉRMINO:
NDO LA EXPRESIÓN POR TÉRMINO COMÚN:
’’ = 48x ( –12x3 Sen 8x3 + Cos 8x3 )
DERIVADAS SUCESIVAS EN FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES FRA
4.- HALLAR y’’’’, SI
y’’ = ( 24x )( – 24x Sen 8 MULTIPLI
’’ = – 576x4 Sen 8x3 + 48x Cos 8x3 y
FACTORIZA y TAMBIÉN PODEMOS TENER
CCIONARIOS:
625
710
35
x4x8x3y −−= SACANDO PRIMERA DERIVADA:
619
73
32
619
73
32
x350x
780x5yx4
673 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝
25x810x35 '' −−=⇒⎟⎞
⎜⎛−⎟
⎞⎜⎛−⎟
⎞⎜⎛=
SACANDO SEGUNDA DERIVADA:
y
116
613
74
31
613
74
31
x18950x
49240x
310yx
350
619x
780
73x5
32y '''' −−=⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−−−−
ACANDO TERCERA DERIVADA: S
67
711
34
67
711
34
x108
12350x343960x
910yx
18950
613x
49240
74x
310
31y '''''' −+−=⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−−−−
SACANDO CUARTA DERIVADA:
61
718
37
61
718
37
x648
86450x2401
10560x2740´yx
10812350
67x
343960
711x
910
34y '''''''' −−==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−−−−
ES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y TRANSFORMANDO LAS VARIABLES DE SU FORMA DE POTENCIA A SU FORMA DE RAÍZ:
PASANDO LAS VARIABL
67 183 7
x648
86450
x2401
10560
x27
´40y '''' −−=
JERCICIOS PROPUESTOS ( II – I )
HALLAR LA DERIVA DEL ORDEN QUE SE INDICA:
.- HALLAR y’’’, SI y = x
2.- HALLAR y’’’’’, SI y = 6x
4.- HALLAR y’’, SI
E
41
5
3.- HALLAR y’’’, SI y = arc Tan x
22 xay −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= 2x1xLny 5.- HALLAR y’’’, SI
6.- HALLAR y’’, SI y = 2xy – x2 – 1
7.- HALLAR y’’’, SI
R y’’, SI y = x Arc Cos x
R y’’, SI y = x Arc Tan x
LAR y’’’’, SI y = x3 Ln x
xSeney x3=
8.- HALLA 9.- HALLA 10.- HAL
117
.1.3 CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON EL CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA
BJETIVOS:
. CALCULARA LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN, APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. (PO, EA)
:
COMO SE MENCIONO EN EL SUBTEMA ANTERIOR, LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UN FUNCIÓN, LOS PODEMOS OBTENER APLICANDO EL CRITERIO DE LA PRIMERA D RIVADA. EN ESTE SUBTEMA VEREMOS COMO SE OBTIENEN LATIVOS DE UNA FUNCIÓN APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.
DE UNA CURVA, EL MÁXIMO RELATIVO, SE
EN CURVA EN DONDE ESTA ES CONVEXA. POR EL CONTRARIO, PARA EL PUNTO DONDE SE LOCALIZA EL MÍNIMO RELATIVO, LA CURVA ES CÓNCAVA. DE ACUERDO A LOS CRITERIOS Y PROPIEDADES DE LA CONCAVIDAD, SE ESTABLECE LA SIGUIENTE PROPIEDAD:
SEA f UNA FUNCIÓN TAL QUE SU PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA EXISTAN EN x = c. P
x = c SI:
MÁXIMO RELATIVO EN x = c SI:
ÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA F RIVADA, ES EL SIGUIENTE:
3. LA ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR FACTORIZACION). LOS VALORES DE x QUE SATISFAGAN A LA ECUACIÓN, RECIBIRÁN EL NOMBRE DE VALORES CRÍTICOS Y ES EN ELLOS DONDE PROBABLEMENTE SE LOCALIZARAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN
4. UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, SE SACA LA SEGUNDA DERIVADA
LO ÚNICO QUE NOS VA A INTERESAR ES EL SIGNO DE LA CANTIDAD Y EN BASE AL SIGNO, APLICAREMOS LOS SIGUIENTES CRITERIOS:
3
O 1
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
ERIVADA O EL DE LA SEGUNDA DELOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RE
DE ACUERDO CON LA CONCAVIDADCUENTRA EN ALGÚN PUNTO DE LA
ARA LA CURVA DE f:
A) EXISTE UN MÁXIMO RELATIVO EN
0(c)''fY0(c)'f <=
B) EXISTE UN
0(c)''fY0(c)'f >= EL PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LOS MUNCIÓN, APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DE 1. SE SACA LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN. 2. ESTA PRIMERA DERIVADA SE IGUALA A CERO.
DE LA FUNCIÓN.
5. YA QUE TENEMOS LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN, EN ELLA VAMOS A SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS QUE ENCONTRAMOS. DEL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN ,
118
A. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA ES MENOR QUE CERO, ES DECIR, ES NEGATIVA, ENTONCES EN ESE VALOR CRITICO TENDREMOS UN MÁXIMO.
. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA ES MAYOR QUE CERO, ES DECIR, ES POSITIVA, ENTONCES EN ESE VALOR CRITICO TENDREMOS UN MÍNIMO.
C. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA
6. HASTA ESTE INSTANTE, YA SABEMOS EN QUE PUNTOS SE LOCALIZAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN, PERO NO SABEMOS TODAVÍA CUAL ES EL VALOR DE CADA UNO, PARA HALLAR EL VALOR, TANTO DEL MÁXIMO COMO DEL MÍNIMO, TENEMOS QUE SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS EN LA ECUACIÓN ORIGINAL, ES
CIÓN QUE TENÍAMOS AL PRINCIPIO ANTES DE HACER LA
I COMPARAMOS LOS DOS MÉTODOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS, VEREMOS
QUE LA ÚNICA DIFERENCIA ESTA EN LA FORMA DE CÓMO EVALUAR LOS VALORES CRÍTICOS, PARA SABER SI EN ELLOS HAY UN MAXIMINO, MÍNIMO O SI NO HAY NI MÁXIMO NI MÍNIMO.
MÉTODO USEMOS, DEBEMOS DE OBTENER EL MISMO RESULTADO EN NUESTROS EJERCICIOS, PRUEBA DE ELLO ES QUE SE VOLVERÁN A RESOLVER, POR EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA, LOS MISMOS EJERCICIOS QUE SE USARON PARA EXPLICAR EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.
JERCICIOS RESUELTOS:
Y LOS MÍNIMOS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES, APLICANDO A LA SEGUNDA DERIVADA.
1. f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 3
A FUNCIÓN: f’(x) = 3x2 + 6x – 9
CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
2 2 3 (x + 3) (x – 1) = 0
DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = – 3 Y x = 1. HASTA AQUÍ, HEMOS HECHO LO MISMO QUE CUANDO USAMOS EL CRITERIO DE LA
PRIMERA DERIVADA, PERO EN LO QUE VAMOS A HACER AHORA ES DONDE SON DIFERENTES ESTOS DOS CRITERIOS.
SACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
f’’(x) = 6x + 6
OS, TENEMOS QUE SUSTITUIRLOS EN LA ECUACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA QUE ACABAMOS DE OBTENER.
B
DERIVADA ES IGUAL A CERO, ENTONCES EN ESE VALOR CRITICO NO TENDREMOS NI MÁXIMO NI MÍNIMO.
DECIR, EN LA ECUADERIVACIÓN.
S
NO IMPORTA QUE
E HALLAR LOS MÁXIMOSHORA EL CRITERIO DE
SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE L
IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A
3x + 6x – 9 = 0 ⇒ 3(x + 2x – 3) = 0 ⇒
PARA EVALUAR LOS PUNTOS CRÍTIC
119
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3
(– 3) = 6(– 3) + 6 ⇒ f’’(– 3) = –18 + 6 ⇒ f’’(– 3) = – 6 ⇒ f’’(– 3) = –
OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA D EGATIVA, ENTONCES EN x = –3, TENDREMOS UN MÁXIMO RELATIVO.
CIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA D REMOS UN M
ARA HALLAR EL VALOR DEL MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO, HACEMOS OTRA VEZ LO MISMO QUE EN EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL.
USTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL , HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.
SUSTITUYENDO x = –3: f(–3) = (–3)3 + 3(–3)2 – 9(–3) + 3
ESARROLLANDO LOS EXPONENTES: f(–3) = –27 + 3(9) – 9(–3) + 3
EFECTUA DO LAS MULTIPLICACIONES:
f(–3)
EFECTUAN :
f(–3) =
SUSTITUYE 1:
f(1) = 3 (1) + 3
O LOS EXPONENTES:
1) = 1 + 3(1) – 9(1) + 3
O ES: PARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO = 30
f’’
CERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD N
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 1 f’’(1) = 6(1) + 6 ⇒ f’’(1) = 6 + 6 ⇒ f’’(1) = 12 ⇒ f’’(1) = + COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = 1, TENDÁXIMO RELATIVO. P
[ 3x9x3xf(x) 23 +−+= ]S
D
N
= –27+ 27 + 27+ 3
DO LAS SUMAS Y RESTAS
30
NDO x =
(1)3 + (1)2 – 9
ESARROLLANDD
f(
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: E
1) = 1 + 3 – 9 + 3 f( EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: f(1) = – 2 LA RESPUESTA DEL EJERCICI
120
ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (–3, 30) PARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2). 2. 8x6x
21x
31y 23 +−+=
SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
LLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
SACAMOS AHORA LA SEGUNDA DE
COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = –3, TENDREMOS UN M
EV y’’
SUSTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL
y’ = x2 + x – 6
IGUALANDO y’ A CERO Y FACTORIZANDO PARA HA
x2 + x – 6 = 0 ⇒ ( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0 POR LO QUE LOS VALORES CRÍTICOS SON: x = – 3 Y x = 2
RIVADA DE LA FUNCIÓN: y’’ = 2x + 1 EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3 y’’(– 3) = 2(– 3) + 1 ⇒ y’’(– 3) = – 6 + 1 ⇒ y’’(– 3) = – 5 ⇒ y’’(– 3) = –
ÁXIMO RELATIVO.
ALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2
(2) = 2(2) + 1 ⇒ y’’(2) = 4 + 1⇒ y’’(2) = 5 ⇒ y’’(2) = +
COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 2, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO.
8x6x
23ALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.
STITUYENDO x = –3:
1x1y 23 +−+= ,
H
US( ) ( ) ( ) ( ) 8363
213
313y 23 +−−−+−=−
DESARROLLANDO EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) 8369
2127
313y +−−+−=−
EFECTUANDO MULTIPLICACIONES: ( ) 818
239273y +++−=−
CCIONES: SIMPLIFICANDO FRA ( ) 818
2993y +++−=−
121
REDUCIENDO CANTIDADES ENTERAS: ( )
2173y +=−
9
EALIZANDO LA SUMA: R ( )
2433 =− y
SUSTITUYENDO AHORA x = 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 8262
212
312y 23 +−+=
DESARROLLANDO EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) 8264
218
312y +−+=
FECTUANDO MULTIPLICACIONES: E ( ) 812
24
382y +−+=
IMPLIFICANDO FRACCIONES: S ( ) 8122
382y +−+=
NTIDADES ENTERAS:
REDUCIENDO LAS CA ( )
3822 +−= y
REALIZAN
DO LA DIFERENCIA:
( )322y =
O ES:
ARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO =
LA RESPUESTA DEL EJERCICI
243 P
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −2433, ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA:
32 PARA x = 2, TENEMOS UN MÍNIMO =
ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: ⎟⎠⎝ 3
2,
4 3
⎞⎜⎛ 2
. f(x) = 6x – 8x SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN: f’(x) = 24x3 – 24x2 IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS
VALORES CRÍTICOS:
3
122
24x3 – 24x2 = 0 ⇒ 24x2 (x – 1) = 0
E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0 Y x = 1.
ACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
x)’’ = 72x2 – 48x
VALUANDO EL VALOR CRITICO x = 0
(0) = 72(0)2 – 48(0) ⇒ f’’(0) = 72(0) – 48(0) ⇒ f’’(0) = 0 – 0 ⇒ f’’(0) = 0
OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA CERO, ENTONCES EN x = 0, NO TENDREMOS NI UN MÁXIMO NI UN MÍNIMO RELATIVO.
1
(1) = 72(1)2 – 48(1) ⇒ f’’(1) = 72(1) – 48(1) ⇒ f’’(1) = 72 – 48 ⇒ f’’(1) = 24 ⇒ f’’(1) = +
OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 1, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO.
E ACUERDO CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN LA EVALUACIÓN DE LOS
VALORES CRÍTICOS, SOLO VAMOS A SUSTITUIR EL VALOR CRITICO EN LA FUNCIÓN INICIAL , YA QUE EN , COMO SE VIO NO HAY NI MÁXIMO NI MÍNIMO.
SUSTITUYENDO x = 1
−=
EXPONENTES:
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
−=
FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
−=
A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:
ARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2
SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
D S f( E f’’ C
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = f’’
C
D1x =
34 x8x6f(x) −= 0x =
( ) ( )34 1816)1f(
DESARROLLANDO LOS
( ) ( )1816)1f( −= E
86)1f( E f( 2)1 L PESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2).
4. y = x4 – 4x3 – 8x2 + 48x + 10
y’ = 4x3 – 12x2 – 16x + 48
123
IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
LA FACTORIZACION QUE SE REALIZA PARA ESTE EJERCICIO ES LA FACTORIZACION
POR AGRUPAMIENTO.
ACAMOS AHORA LA SEGU RIVADA DE LA FUNCIÓN:
y’’ = 12x2 – 24x – 16 EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2 y’’(– 2) = 12(– 2)2 – 24(– 2) – 16 ⇒ y’’(– 2) = 12(4) – 24(– 2) – 16 ⇒ y’’(– 2) = 48 + 48 – 16 ⇒ y’’(– 2) = 80 ⇒ y’’(– 2) = + COMO EL RESULT
DERIVADA NOS DA U D REMOS UN MÍNIMO RELATIVO.
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2
OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA D ENDREMOS UN M
USTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS
RELATIVOS. SUSTITUYENDO x = –2:
DESARROLLANDO LOS EXPONENTES:
FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
+−−+=−
DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = – 2, x = 2 Y x = 3
NDA DES
ADO DE LA U CIÓN DEL VALOR CRITICO ENNA CANTIDA POSITIVA, ENTONCES EN x = – 2, TEND
S STITU LA SEGUNDA
y’’(2) = 12(2)2 – 24(2) – 16 ⇒ y’’(2) = 12(4) – 24(2) – 16 ⇒ y’’(2) = 48 – 48 – 16 ⇒ y’’( 2) = – 16 ⇒ y’’(2) = – CERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = –3, TÁXIMO RELATIVO. EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 3 y’’(3) = 12(3)2 – 24(3) – 16 ⇒ y’’(3) = 12(9) – 24(3) – 16 ⇒ y’’(3) = 108 + 72 – 16
y’’(3) = 164 ⇒ y’’(3) = + ⇒ S
,10x48x8x4xy 234 ++−−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10248282422y 234 +−+−−−−−=−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y +−+−−−=−
E ( ) 10963232162y
124
EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
−=−
EF
EF y SU
DESARROLLANDO LOS
3y =
EFEC
EF
LA PA AES PARA
SCR , 58)
IVADA DE LA FUNCIÓN:
f’(x) = 2x – 10
IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
2x – 10 = 0 ⇒ 2(x – 5) = 0
( ) 702y
SUSTITUYENDO x = 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10248282422y 234 ++−−=
DESARROLLANDO LOS EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y ++−−=
ECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
( ) 10963232162y ++−−=
ECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
) 582 =
STITUYENDO x = 3:
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10348383433y 234 ++−−=
EXPONENTES:
( ) ( ) ( ) ( ) 103489827481 ++−−
TUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
( )
( ) 1014472108813y ++−−=
ECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
) 553 = (y
RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:
x = – 2, TENEMOS UN MÍNIMO = – 70 RCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = (– 2, – 70).
x = 2, TENEMOS UN MÁXIMO = 58 IBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (2E
PARA x = 3, TENEMOS UN MÍNIMO = 55 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 3, 55). . f(x) = x2 – 10x – 3 5
ACANDO LA PRIMERA DERS
125
DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, SOLO TENEMOS UN VALOR CRITICO: x = 5 SACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
(x) = 2
ANDO EL VALOR CRITICO x = 5
GUNDA D OS UN MÍNIMO RELATIVO
SUSTITUYENDO EL VALOR CRITICO EN LA FUNCIÓN INICIAL , HALLAMOS
E
USTITUYENDO x = 5:
NDO LA MULTIPLICACIÓN:
NDO LAS SUMAS Y RESTAS:
−=
A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:
PARA x = 5, TENEMOS UN MÍNIMO = – 28 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 5, –28). . y = x4 – 8x2 + 10
ACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
’ = 4x3 – 16x
DO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:
x3 – 16x = 0 ⇒ 4x(x2 – 4) = 0 ⇒ 4x(x + 2) (x – 2) = 0
E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0, x = –2 Y x = 2
ACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
’’ = 12x2 – 16 EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2
f’’ EVALU f’’(5) = 2 ⇒ f’’(5) = + COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 5, TENDREM
3x10xf(x) 2 −−=
L VALOR DEL MÍNIMO RELATIVO. S
( ) ( ) 35105)5f( −−=
ESARROLLANDO EL EXPONENTE:
2
D
( ) 351025)5f( −−= EFECTUA
35025)5f( −−=
FECTUAE f(
28)5
L
6 S y IGUALAN
4 D S y
126
y’’(– 2) = 12(– 2)2 – 16 ⇒ y’’(– 2) = 12(4) – 16⇒ y’’(– 2) = 48 – 16 ⇒ y’’(– 2) = 32
ADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = – 2, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO
EL VALOR CRITICO x = 0
) – 16⇒ y’’(0) = 0 – 16 ⇒ y’’(0) = – 16 ⇒ y’’(0) = –
OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = 0, TENDREMOS UN MÁXIMO RELATIVO.
EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2
’’(2) = 12(2)2 – 16 ⇒ y’’(2) = 12(4) – 16⇒ y’’(2) = 48 – 16 ⇒ y’’(2) = 32 ⇒ y’’(2) = + OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA
DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 2, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO
USTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS RELATIVOS.
SUSTITUYENDO x = –2:
EXPONENTES:
+−=−
EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:
EFECTUANDO LAS S
SUSTITUYENDO x = 0:
24 +−=
EFECTUA
⇒ y’’(– 2) = + COMO EL RESULT
NOS DA U
EVALUANDO y’’(0) = 12(0)2 – 16 ⇒ y’’(0) = 12(0 C
yC
10x8xy 24 +−= S
( ) ( ) ( ) 102822y 24 +−−−=−
DESARROLLANDO LOS
( ) ( ) 1048162y
( ) 1032162y +−=−
UMAS Y RESTAS: ( ) 62y −=−
( ) ( ) ( ) 100800y DESARROLLANDO LOS EXPONENTES: ( ) ( ) 100800y +−=
NDO LAS MULTIPLICACIONES:
( ) 10000 +−= y
EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:
127
( ) 100y =
USTITUYENDO x = 2:
ANDO LOS EXPONENTES:
+−=
+−
DO LAS SUMAS Y RESTAS:
A = – 6 DOLO COMO UN PAR ORDENADO = (– 2, – 6).
, TENEMOS UN MÁXIMO = 10 DOLO COMO UN PAR ORDENADO
TENEMOS UN MÍNIMO = – 6 DOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 2, – 6).
EJERCICIOS PROPUESTOS (II–4)
ALLAR LOS VALORES DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA SIGUIENTES FUNCIONES, APLICANDO AHORA EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.
2. .
S ( ) ( ) ( ) 102822y 24 +−= ESARROLLD
( ) ( ) 1048162y
EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: ( ) 162y = 1032
EFECTUAN ( ) 62y −=
LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:
RA x = – 2, TENEMOS UN MÍNIMO PESCRIBIÉN
SERIA: MIN
PARA x = 0ESCRIBIÉN SERIA: MAX = (0, 10) PARA x = 2, ESCRIBIÉN
H
1. f(x) = x3 + 2x2 – 4x + 8
f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 5
2x10x23x
31 23 +−− 3
. f(x) = 2x3 + 6x2 – 18x + 5
5. f(x) = x3 – 27x + 7 6. f(x) = x5 + 20x2 7. f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 12 8. f(x) = x3 – 3x + 3 9. f(x) = 3x4 – 4x3 10. y = x2 + 2x – 3
4
128
.1.4 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
OBJETIVOS:
1. HALLARA LOS INTERVALOS EN DONDE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL “Y”, ES CRECIENTE O
UNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
ERA DERIVAD ES POSITIVO, Y ES DECRECIENTE SI EL VALOR DE LA MISMA PRIMERA DERIVADA ES NEGATIVO EN ESE PUNTO DADO.
POR ELLO EL PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS EN QUE UNA
FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE ES EL SIGUIENTE (EN LOS PRIMEROS PASOS ES MUY PARECIDO A LA OBTENCIÓN DE MÁXIMOS):
2.
3. LA ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR ACTORIZACION). TENDREMOS ASÍ LOS VALORES CRÍTICOS Y A PARTIR DE ELLOS ORMAREMOS INTERVALOS (ESTA ES LA PARTE PARECIDA A LA OBTENCIÓN DE LOS
M
4. UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, FORMAREMOS INTERVALOS DE VALORES QUE ESTARÁN DELIMITADOS POR LOS VALORES CRÍTICOS. LA CANTIDAD DE INTERVALOS QUE SE FORMEN DEPENDERÁ DE LA CANTIDAD DE VALORES CRÍTICOS QUE TENGA LA FUNCIÓN, POR EJEMPLO SI TIENE SOLO UN PUNTO CRITICO, FORMAREMOS DOS INTERVALOS, SI TIENE 2 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 3 INTERVALOS SI TIENE 3 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 4 INTERVALOS Y ASÍ SUCESIVAMENTE. OTROS EJEMPLOS MAS PRÁCTICOS SON LOS SIGUIENTES:
. SI TENEMOS UN SOLO VALOR CRITICO, POR EJEMPLO EN x =2, FORMAREMOS DOS INTERVALOS, UNO QUE SER EL DE LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2) Y EL DE LOS NUMERO MAYORES DE 2 (x > 2).
B. SI TENEMOS DOS VALORES CRÍTICOS, POR EJEMPLO EN x = 2 Y EN x = 4, FORMAREMOS TRES INTERVALOS, EL PRIMERO LO FORMARAN LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2), EL SEGUNDO LO FORMARAN LOS NUMERO QUE ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE EL 2 Y EL 4 (2 < x < 4) Y EL TERCERO LO FORMARAN LOS
MERO MAYORES DE 4 (x > 4).
ADOS LOS INTERVALOS VAMOS A TOMAR AL AZAR UN NUMERO DE C LOS NUMEROS SELECCIONADOS SUSTITUIMOS EN LA ECUACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA, PARA QUE DE ACUERDO AL RESULTADO APLIQUEMOS LOS SIGUIENTES CRITERIOS:
A. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA PRIMERA
DERIVADA ES MENOR QUE CERO, ES DECIR, ES NEGATIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES DECRECIENTE.
SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA PRIMERA DERIVADA ES MAYOR QUE CERO, ES DECIR, ES POSITIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES CRECIENTE.
JERCICIOS RESUELTOS:
3
DECRECIENTE. (PO, EA) F DE ACUERDO A SU PRIMERA DERIVADA UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE, EN UN PUNTO
DADO, SI EL VALOR DE LA PRIM
1. SE SACA LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.
ESTA PRIMERA DERIVADA SE IGUALA A CERO.
FF
ÁXIMOS Y MÍNIMOS).
A
NU
5. UNA VEZ FORMADA INTERVALO Y
B.
E
129
. DETERMINA LOS INTERVALOS EN LOS CUALES LA FUNCIÓN ES
C ECIENTE.
OR SACAR LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
2' −=
A CERO Y RESOLVEMOS LA ECUACIÓN PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS.
2x3xy 3 +−=1RECIENTE Y DECR EMPEZAMOS P y 3x3
HORA IGUALAMOS LA 'yA
1x1x1x
33x3x303x3 22 ⇒=− 22 ±=⇒=⇒=⇒=⇒=
N ESTE CASO NO FUE NECESARIO FACTORIZAR, PERO NO SE CONFÍEN, SERÁN POCAS LAS VECES QUE NO SE FACTORICE.
ORES CRÍTICOS SON x = 1 Y x = –1, ENTONCES LOS INTERVALOS QUE FORMAREMOS SON:
< –1, –1 < x < 1 Y x > 1.
ELECCIONEMOS AHORA UN VALOR DE CADA UNO DE LOS INTERVALOS. AREMOS x = –2, PARA –1 < x < 1, USAREMOS x = 0 Y FINALMENTE PARA x
> 1, USAREMOS x = 2.
HORA VAMOS A SUSTITUIR LOS NUMEROS SELECCIONADOS EN LA ECUACIÓN DE .
–2
''' =−⇒−=−⇒−=−
ES POSITIVO ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE EN EL INTERVALO x < –1
SUSTITUYENDO x = 0
EL RESULTADO ES NEGATIVO ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES DECRECIENTE EN EL INTERVALO –1 < x < 1
SUSTITUYENDO x = 2
'''' 2 =⇒−=⇒−=⇒−=
L RESULTADO ES POSITIVO ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE EN EL INTERVALO x > 1
E
COMO LOS VAL
x SPARA x < –1, US
'yA
SUSTITUYENDO x = ( ) ( ) 3232y' 2 ⇒−−=− ( ) ( ) ( ) ( ) 92y3122y3432y
EL RESULTADO
( ) ( ) ( ) 30y3030y '' 2 −=⇒−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 92y3122y3432y3232y
E
130
EJERCICIOS PROPUESTOS:
ETERMINA LOS INTERVALOS DONDE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON CRECIENTES Y DECRECIENTES:
1.
D
8x6x
21x
31y 23 +−+= , sol. Crec. X< –3 Y x > 2, dec. –3<x<2
. Sol. Crec. 4x4x3x2xy 234 +−−−+=21x2 −<<− Y x > 1, dec. X< –2 Y 1x
21
<<− 2.
3. . Sol. Crec. X< 0 y x>2, dec. 0<x<2 . .crec. en x<1 y x>3, dec. 1<x<3
1x3xy 23 +−=
8x9x6xy 23 −+−=4
131
3.1.5 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN OBJETIVOS: 1. DEFINIRÁ LOS CONCEPTOS DE ARCO CÓNCAVO HACIA ARRIBA (CÓNCAVO) Y
CÓNCAVO HACIA ABAJO (CONVEXO) Y PUNTO DE INFLEXIÓN. (DF, EA) . IDENTIFICARA LAS CONDICIONES QUE DEBE DE TENER UNA FUNCIÓN PARA SER
CAVA O CONVEXA EN UN INTERVALO Y PARA QUE EXISTA UN PUNTO DE XIÓN(DC, EA)
. HALLARA LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL DADA. A) RA EL(LOS) PUNTO(S) DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL DADA.
Y PUNTOS DE inflexión.
CURVA y = f(x) ES CÓNCAVO, SI EN CADA UNO DE SUS PUNTOS ESTA S NCIMA DE LA TANGENTE O SI EN ALGÚN INTERVALO DETERMINADO POR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN f’’(x) > 0.
UN ARCO DE CURVA y = f(x) ES CONVEXO, SI EN CADA UNO DE SUS PUNTOS ESTA
SITUADO POR DEBAJO DE LA TANGENTE O SI EN ALGÚN INTERVALO DETERMINADO POR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN f’’(x) < 0.
2CÓNINFLE
3(PO, E
. HALLA4(PO, EA)
CONCAVIDAD UN ARCO DEITUADO POR E
CONVEXA CÓNCAVA (MÁXIMO) (MÍNIMO)
EL CUAL LA CURVA CAMBIA DE CÓNCAVA A CONVEXA O VICEVERSA. D FIGURA, LOS PUNTOS B,S Y C SON PUNTOS DE INFLEXIÓN.
XIÓN NOS VAN A SERVIR PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS D CURVA, AXIAL COMO TAMBIÉN LOS PUNTOS CRÍTICOS O VALORES CRÍTICOS QUE NO SIRVIERON PARA DETERMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
f’’(x) = 0. TO DE INFLEXIÓN DE UNA CURVA , A LA FUNCIÓN SE EL SACA
SU SEGUNDA DERIVADA Y SE IGUALA A CERO, LOS VALORES DE x QUE RESUELVAN A E S VALORES CRÍTICOS PARA LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN Y SI SU RES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL, HALLAREMOS LOS PUNTOS CRÍTICOS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN.
N LA SIGUIENTE GRAFICA SE SEÑALAN DONDE SE ENCUENTRAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y EL PUNTO DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN CUALQUIERA.
ES UN PUNTO ENE ACUERDO A LA LOS PUNTOS DE INFLEE CONCAVIDAD DE LA
UNA CURVA TIENE UN PUNTO DE INFLEXIÓN SI EN ESE PUNTO PARA OBTENER EL PUN
STA ECUACIÓN SERÁN LOSTITUIMOS ESTOS VALO
E
132
B = PUNTO DE INFLEXIÓN ATIVO
POR ELLO EL PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS EN QUE UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE ES EL SIGUIENTE (EN LOS PRIMEROS PASOS ES MUY PARECIDO A LA OBTENCIÓN DE MÁXIMOS):
SE SACA LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.
ESTA SEGUNDA DERIVADA SE IGUALA A CERO.
ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR FACTORIZACION). TENDREMOS ASÍ LOS VALORES CRÍTICOS Y A PARTIR DE ELLOS FORMAREMOS INTERVALOS (ESTA ES LA PARTE PARECIDA A LA OBTENCIÓN DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS).
4. UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, FORMAREMOS INTERVALOS DE LORES QUE ESTARÁN DELIMITADOS POR LOS VALORES CRÍTICOS. LA CANTIDAD
DE INTERVALOS QUE SE FORMEN DEPENDERÁ DE LA CANTIDAD DE VALORES CRÍTICOS QUE TENGA LA FUNCIÓN, POR EJEMPLO SI TIENE SOLO UN PUNTO CRITICO, FORMAREMOS DOS INTERVALOS, SI TIENE 2 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 3 INTERVALOS SI TIENE 3 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 4 INTERVALOS Y ASÍ SUCESIVAMENTE. OTROS EJEMPLOS MAS PRÁCTICOS SON LOS
GUIENTES: A) SI TENEMOS UN SOLO VALOR CRITICO, POR EJEMPLO EN x =2, FORMAREMOS
DOS INTERVALOS, UNO QUE SER EL DE LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2) Y EL DE LOS NUMERO MAYORES DE 2 (x > 2).
B) SI TENEMOS DOS VALORES CRÍTICOS, POR EJEMPLO EN x = 2 Y EN x = 4, FORMAREMOS TRES INTERVALOS, EL PRIMERO LO FORMARAN LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2), EL SEGUNDO LO FORMARAN LOS NUMERO QUE ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE EL 2 Y EL 4 (2 < x < 4) Y EL TERCERO LO FORMARAN LOS NUMERO MAYORES DE 4 (x > 4).
UNA VEZ FORMADOS LOS INTERVALOS VAMOS A TOMAR AL AZAR UN NUMERO DE CADA INTERVALO Y LOS NUMEROS SELECCIONADOS SUSTITUIMOS EN LA ECUACIÓN
LA SEGUNDA DERIVADA, PARA QUE DE ACUERDO AL RESULTADO APLIQUEMOS LOS SIGUIENTES CRITERIOS:
A. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA ES MENOR QUE CERO, ES DECIR, ES NEGATIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES CÓNCAVA HACIA ABAJO.
DONDE:
A = MÁXIMO RELATIVO
C = MÍNIMO REL
1.
2.
3. LA
VA
SI
5.
DE
133
B. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA PRIMERA DERIVADA ES MAYOR QUE CERO, ES DECIR, ES POSITIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES CÓNCAVA HACIA ARRIBA.
PARA HALLAR EL PUNTO DE INFLEXIÓN SE SUSTITUYE EL VALOR EN QUE LA SEGUNDA D CRITICO) EN LA ECUACIÓN ORIGINAL, DEBEMOS DE CHECAR SI EN ESE PUNTO EXISTE CAMBIO DE CONCAVIDAD, SI LO HAY ENTONCES TENEMOS UN PUNTO DE INFLEXIÓN.
JERCICIOS RESUELTOS:
A LOS INTERVALOS EN QUE LA CURVA ES CÓNCAVA HACIA ARRI O.
OS LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.
''' 223 −=⇒+−=⇒++−=
OS A CERO ESTA ECUACIÓN Y LA RESOLVEMOS PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS.
ERIVADA DIO CERO (VALOR
E
1x6x3x2y 23 ++−=1.- CALCULBA Y CONCAVA HACIA ABAJ
SACAM y 6x6y6x6x6y1x6x3x2 GUALAMI
1x
66x6x606x6 =⇒=⇒=⇒=−
LO TENEMOS UN VALOR CRITICO, SOLO FORMAMOS DOS INTERVALOS, x < 1 Y x > 1.
ARA VERIFICAR EL INTERVALO x < 1, USAREMOS x = 0 Y PARA VERIFICAR EL
INTERVALO x > 1, USAREMOS x = 2
ENDO ESTOS VALORES EN LA ECUACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA:
OMO SOC
P
USTITUYS
( ) ( ) 60y606( )0y '' = '' −=⇒−
L RESULTADO NOS QUEDA NEGATIVO, ESO QUIERE DECIR QUE LA FUNCIÓN ES C ACIA ABAJO EN EL INTERVALO x < 1
EÓNCAVA H ( ) ( ) ( ) ( ) 62y6122y6262y '''' =⇒−=⇒−=
L RESULTADO NOS QUEDA NEGATIVO, ESO QUIERE DECIR QUE LA FUNCIÓN ES CÓNCAVA HACIA ARRIBA EN EL INTERVALO x > 1
2. DETERMINA EL PUNTO DE INFLEXIÓN DE LA FUNCIÓN ACAMOS LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.
22334 ''' +=⇒+=⇒−+=
UALAMOS A CERO ESTA ECUACIÓN Y LA RESOLVEMOS PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS.
LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0 Y x = –1. TENDRÍAMOS QUE DEMOSTRAR QUE EN ESTOS PUNTOS HAY UN CAMBIO EN LA
CONCAVIDAD (QUEDA PARA EL ALUMNO ESTA DEMOSTRACIÓN). ASUMIENDO QUE SI HAY
'' E
7x2xy 34 −+=
S
y x12x12yx6x4y7x2x IG
( ) 01xx12 =+
134
CAMBIO EN LA CONCAVIDAD EN ESTOS VALORES CRÍTICOS, LOS SUSTITUIMOS AHORA EN LA ECUACIÓN INICIAL
( ) ( ) ( ) ( ) 70y70200y 34 −=⇒−+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 81y7211y71211y 34 −=−⇒−−=−⇒−−+−=−
LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN SON (0 , –7) Y (–1 , –8)
JERCICIOS PROPUESTOS:
1. f(x)= 2x3 – 6x2 + 3
E
. y= 3 + 5x – x5 2
. y= (-x + 2)3 3
. f(x)= 3x4 – 4x3 – 12x2 + 5 4
135
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD III
ALORES ___________________ SON LOS VALORES DE x EN DONDE PUEDE HABER UN MAXIMO O UN MINIMO RELATIVO.
CIA_________________, SI TODOS LOS P CURVA SE ENCUENTRAN ARRIBA DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA Y SERA CONCAVA HACIA_________________, SI TODOS LOS PUNTOS DE LA CURVA SE ENCUENTRAN ABAJO DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA
. SE DICE QUE UNA FUNCION ES _______________ EN UN INTERVALO SI f’(x) < 0 EN TODOS LOS ENTRAS QUE SERA _______________ EN UN IN PUNTOS DE ESE INTERVALO
L CUAL CAMBIA EL SENTIDO DE LA CONCAVIDAD EN UNA CURVA, ES DECIR CAMBIA DE CONCAVA A CONVEXA Y VICEVERSA.
5. RELACIONA LAS COLUMNAS PONIENDO LA LETRA CORRECTA EN EL PARENTESIS, DE
ACUERDO CON LAS CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR CADA CARACTERISTICA DE LA CURVA.
. f’(x) = 0
. f’(x) PASA DE POSITIVA A NEGATIVA AL CRUZAR UN VALOR CRITICO
. f’(x) PASA DE NEGATIVA A POSITIVA AL CRUZAR UN VALOR CRITICO
. f’’(x) = 0
’’(x) > 0
. f’’(x) < 0
. f’(x) < 0
. f’(x) > 0
( ) CURVA CONCAVA HACIA ABAJO ( ) PUNTO DE INFLEXIÓN ( ) MINIMO RELATIVO (PRIMERA
DERIVADA) ( ) MAXIMO RELATIVO (PRIMERA
DERIVADA) ( ) CURVA CONCAVA HACIA ARRIBA ( ) CRECIENTE ( ) DECRECIENTE ( ) MAXIMO RELATIVO (SEGUNDA
DERIVADA) ( ) MINIMO RELATIVO (SEGUNDA
DERIVADA)
1. LOS V
2. SE DICE QUE UNA CURVA ES CONCAVA HANTOS DE LAU
3
PUNTOS DE ESE INTERVALO, MITERVALO SI f’(x) > 0 EN TODOS LOS 4. EL PUNTO _____________________ ES EL PUNTO EN E
A
B
C
D
E. f
F
G
H
136
6. DE ACUERDO A LA GRAFICA , A NOS REPRESENTA EL PUNTO ___________________ , B NOS REPRESENTA EL PUNTO ___________________ Y C NOS REPRESENTA EL PUNTO ___________________ DE LA FUNCIÓN.
7. HDAN
A.
C.
D. f(x)=x
2 – 24x + 3
N DE LA DERIVA QUE SE TE INDICA A. LA CUARTA DERIVADA DE LA FUNCIÓN y = 6– x5 + x4–x3 + x2
B. LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN y = sen 4x3 9. DETERMINA LOS INTERVALOS DONDE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON
CRECIENTES Y DECRECIENTES. A.
B. 10. DETERMINA LOS INTERVALOS DE CONC DE
LAS FUNCIONES: A.
B.
ALLA LOS VALORES MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE LAS FUNCIONES QUE SE
, APLICANDO EL METODO DE LA PRIMERA O EL DE LA SEGUNDA DERIVADA.
f(x)=x3 + 2x2 – 4x – 8
B. f(x)=x3 - 6x2 + x – 8
f(x)=x3 - 3x2 - 9x + 5
3 + 6x2 + 9x + 3
E. f(x)=x3 + 3x
8. OBTEN EL ORDE
x
20x9x3y 3 +−=
9x10xy 2 +−=
AVIDAD Y LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN
20x9x3y 3 +−=
9x10xy 2 +−=
137
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
NIDAD I I – D 1.-
U
32
2.- 2 3.- ∞, NO EXISTE
.-
4.- 0
52 5
– F
.- DISCONTINUA
.- DISCONTINUA
.- DISCONTINUA
.- DISCONTINUA
.- CONTINUA
6.- CONTINUA
.- CONTINUA 8.- DISCONTINUA 9.- CONTINUA 10.- DISCONTINUA
1.- CONTINUA 12.- CONTINUA 13.- DISCONTINUA
ONTINUA 16.- DISCONTINUA
I
1
2
3
4
5
7
1
14.- CONTINUA 15.- C
138
17.- CONTINUA 8.- DISCONTINUA
19.- DISCONTINUA
0.- CONTINUA
NIDAD II
– C
.-
1
2 U II
3 x32x2y' += 1
6 54
3x6
1x2
25x3
4y' −+= 2.-
.- 5x3
33
28x20y 3 2' −= 3 4 −
4.- 7654 x
36x25
x20
x12y' +−−−=
5.- 5316
643 xx4xy' −−−=
5 23 x7x12x
215y' ++−= 6.-
4 3
8 53x
1663
x8
7x2
1y' ++= 7.
8.-
4 135 144 73 x4
63
x
9
x2
3
x2
1y' +++−=
5 6
3 44 33 2 9x56x7x5y' +++=9.- x5343
10.- )
1.-
( )( ) ( 2x36x131x24xx2y 2232' −+−+=
( )2x23
12y'+
−= 1
( )32
3
x4
xx8y'−
−= 12.-
13.- ( ) ( )32 1xx3x112y' +−−= 3
139
14.- x
y2y' −=
15.-
( )23x2
5y'+
=
16.- ( )6x1
y'+
= 4x5
17.- x2x5x8y
2' −=
−
8.-
x2x4
1y'−
−= 1
)
20.-
( ) ( ) ( 20x27x175x23xx2y 3232' −+−+= 19.-
( )22t3
t10y'−
=
II – D 1.- y’ = e 2.- y’ = 3.- y’ = 4.- y’ =
6.- y’ = – ½ e–½ x
7.- y’ = 2x ex2
8.- y’ = 6x a3x2 Ln a 9.- y’ = 10.- y’ =
6x 3x2 – 5
x x2 – 3
4 4x – 5
2 Ln ( x + 3 ) x + 3
2 x – 3
+
5.- y’ = 3 Cot 3x
3x2 x3 + 2
2x x2 + 3
Log
140
11.- y’ = 5/x 12.- y’ = Sec x 13.- y’ = 5 e5x
14.- y’ = B3xB
2B eBx3
15.- y’ = 3 esen 3x Cos 3x
16.- y’ = B–2x (3 B–x2B) Ln 3B
17.- y’ = BeB(x + ex) II – E 1.- y’ = 3 Cos 3x – 2 Sen 2x 2.- y’ = 2x Sec2 x2 3.- y’ = 2 Tan x Sec2 x 4.- y’ = 4x Csc2 ( 1 – 2x2 ) 5.- y’ = Sec3 x Tan x 6.- y’ = – Csc 2x Cot 2x 7.- y’ = x2 Cos x + 2x Sen x 8.- y’ = 9.- y’ = 6 Cos 2x 10.- y’ = –2 Sen ½ x 11.- y’ = 20 Sec2 5x 12.- y’ = –2 Csc2 8x 13.- y’ = 3 Sec 1/3 x Tan 1/3 x 14.- y’ = – Csc 4x Cot 4x 15.- y’ = x Sen x + 2x + 4 16.- y’ = ( –2 Cos 2/x ) / x2 17.- y’ = 2x Sen ( 1 – x2 )
3 2 x
–x Sen x – Cos x xP
2P
141
18.- y’ = 2 ( 1 – x ) Sen ( 1 – x )2 19.- y’ = 3 Sen ( 6x – 4 ) 20.- y’ = Sen 2x II – F 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- II – G 1.- y’ = 8x + 4 2.- y’ = 3.- y’ = 6x2 (x + 2 )2 ( x + 1 ) 4.- y’ = 6x5 – 45x4 + 108x3 – 81x2 5.- y’ = (15 – 90x2) ( 5x – 10x3 )2 II – H 1.- y’ = 2p/y
–a x xP
2P – a P
2P
1 aP
2P – xP
2P
2 4xP
2P – 16x + 17
6 ( 3 – 5x ) 21xP
2P – 30x + 9
–1 aP
2P – xP
2P
c cP
2P + xP
2P
1 eP
2xP – 1
1 2 x – xP
2P
–2 1 + xP
2P
5 ( x – 5 ) xP
2P – 10x
1 x ( 1 + x ) P
2P
142
2.- y’ = x/2p 3.- y’ = 4.- y’ = 5.- y’ = – 6.- y’ = – 7.- y’ = – 8.- y’ = – 9.- y’ = 10.- y’ = II – A 1.- m = 4, ECUACIÓN: 4x – y = 4 2.- m = 6, ECUACIÓN: 6x – y = 9 3.- m = –100, ECUACIÓN: 100x + y = –105 4.- m = –189, ECUACIÓN: 189x + y = –377 5.- m = ½, ECUACIÓN: x – 2y = –6 6.- m = 9452, ECUACIÓN: 9452x – y = 28352 7.- m = 23, ECUACIÓN: 23x – y = 21 8.- m = 70, ECUACIÓN: 70x – y = 68 9.- m = 13112, ECUACIÓN: 13112x – y = 78668 10.- m = –2/5, ECUACIÓN: 2x + 5y = 32
b P
2Px
a P
2Py
2x – y 2y + x
3x2 – 2ny 3y2 – 2nx
y x
y x
yP
2P – 2x – 2xy
xP
2P + 2y – 2xy
2x – y x – 2y
y – 2y Cos xy 4yP
3P + 2x Cos xy – x
143
UNIDAD III III – A EL MÁXIMO SE VA A INDICAR CON M Y EL MÍNIMO CON M’ 1.- M’ ( 2, – 3 ) 2.- M ( 3, 11 ) 3.- M ( –3, 2 ) ; M’ ( 3, –2 ) 4.- M’ ( –2, – 4/3 ) ; M ( 2, 4/3 ) 5.- M ( 0, 2 ) ; M’ ( 20/3, –3946/27 ) 6.- M ( 1, 3 ) ; M’ ( 5/3, 77/27 ) 7.- M’ ( – 3 , 1 ) ; M ( 0, 10 ) ; M’ ( 3 , 1 ) 8.- M ( –1, 13/6 ) ; M’ ( 2, – 7/3 ) 9.- M ( 2, 128 ) ; M’ ( 6, 0 ) 10.- M’ ( 5, 75 ) II – I 1.- y’’’’ = 24 2.- y’’’’’ = 720 3.- y’’’ = 4.- y’’ = 5.- y’’’ = 6.- y’’ = 1/x3 7.- y’’’ = 2 e3x ( 9 Sen x + 13 Cos x ) 8.- y’’ = 9.- y’’ = 10.- y’’’’ = 6/x
6x – 2 ( 1 + xP
2P ) P
3P
– a P
2P
( aP
2P – xP
2P ) P
3/2P
2xP
2P – 1
( 1 + xP
2P ) P
5/2P
xP
2P – 2
( 1 – xP
2P ) P
3/2P
2 ( 1 + xP
2P ) P
2P
144
Respuestas: 1. CÓNCAVA HACIA ABAJO EN x < 1
CÓNCAVA HACIA ARRIBA EN x > 1 2. CONCAVA HACIA ABAJO EN x < 0
CONCAVA HACIA ARRIBA EN x > 0 3. (2, 0)
4. (1, -2), ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −27
122,31
145
URESPUESTAS AUTOEVALUACION UNIDAD I 1. GUILLERMO LEIBNITZ E ISAAC NEWTON 2. LA OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL CONO POR DEMOCRITO DE TRACIA Y LA
DETERMINACIÓN POR PRIMERA VEZ DEL ÁREA DEL CIRCULO POR HIPÓCRATES. EL CONCEPTO COMPARTIDO EN AMBOS CASOS (TANTO EN EL CIRCULO COMO EN EL CONO) FUE EL DE LAS APROXIMACIONES, DE LAS CUALES NACE LA PRIMERA IDEA DE LIMITE, CONCEPTO BÁSICO QUE FUNDAMENTE AL CALCULO
3. SI f ES UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN [a, b] CON LA POSIBLE EXCEPCIÓN DE c ∈ [a, b],
DECIMOS QUE L ES EL LIMITE DE f CUANDO x TIENDE A c, SI DADO UN ARGUMENTO x MUY CERCANO A c (TAN PRÓXIMO COMO SE DESEE) HALLAMOS QUE SU IMAGEN ESTA TAMBIÉN MUY CERCA DE L.
4. C, A, B.
5. 2x3Lim,2x3Lim,2x3Lim
2x2x2x−−−
−→+→→
6.
LIMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→
+=+
LIMITE DE LA DIFERENCIA DE FUNCIONES
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLim
cxcxcx →→→−=−
LIMITE DEL PRODUCTO DE
FUNCIONES
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→
•=•
XI. LIMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES:
XII. ( )( )
( )( ) ( ) 0xgLimsi,xgLim
xfLim
xgxf
Limcx
cx
cxcx
≠=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡→
→
→
→
LIMITE DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A
UNA POTENCIA
( )NncxLim nncx
∈=→
LIMITE DE UNA CONSTANTE
kkLimcx
=→
LIMITE DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
( ) ( )cpxpLim
cx=
→
LIMITE PARA FUNCIONES CON RADICALES
( ) ( ) ( ) 0xfsixfLimxfLim
cxcx≥=
→→
LIMITE DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN
( ) ( )xfLimkxfkLim
cxcx →→•=
7. A: 8, B: 4, C:
87 , D: +∞, E: – ∞, F: 1. G: 0
8. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: DECIMOS QUE UNA FUNCIÓN f ES CONTINUA EN c SI
SE SATISFACEN LAS 3 CONDICIONES SIGUIENTES: IV. f(c) ESTA DEFINIDA
146
V. ( ) EXISTExfLimcx→
VI. ( ) ( )cfxfLimcx
=→
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: DECIMOS QUE UNA FUNCIÓN ES
CONTINUA EN UN INTERVALO ABIERTO (a, b) SI ES CONTINUA EN CADA PUNTO DEL INTERVALO.
UNA FUNCIÓN QUE ES CONTINUA EN TODA LA RECTA REAL ( )∞+∞− , SE LLAMA
CONTINUA EN TODAS PARTES
9. A: DEL VALOR MEDIO. B: DE LOS VALORES EXTREMOS.
URESPUESTAS AUTOEVALUACION UNIDAD II 1. PROMEDIO, INSTANTANEA 2. A: 3, B: –5, C:
1511
−
3. DERIVADA
4. ( )xf ' , dxdy , 'y
5. DIFERENCIACIÓN, DERIVABLE, DERIVABLE 6. A: 6x8x9'y 2 −−= , B:
( )21x
2'y+
= , C: 1x2
1'y+
=
7. A: 5432 x36x15x20x9y' +−−= , B:
543 x4
x3
x2y' +−−= , C:
345 x128x140x90y' +−−= , D:( )232
4
x3x8
x54y'−
= , E: ( ) ( )9232 x6x15x1460x300x420y' +−+−= , F:
( ) ( ) ( )36x882x41x3y 34' −−−= , G: ( ) ( ) ( )( )523
245524
xx
x6x8x10xx3x2y'
−
+−−−= ,
H: ( ) ( ) ( )( ) ( )45
232
5x62x5
x46x137x2541x21xy'
+−
++−−= , I:
1x529x25y
2'
−
−= , J:
( ) 9x3x
3y2
'−+
=
8. A: aLna20y x20'= , B: ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= − x52x10e5x20y' , C: 322 x25Cscx75xSen10y' += , D:
xSenexCosy'= , E: 43 x5Tanx20y'= , F: ( )x3sen3x3xCos8ey2x4' −= , G:
3
32222
x4Secx4Tanx5Tanx12x5xSec10y' −
= , H: ( )xx6Cot9x6Csce2y 32x' −−= , I:
( ) ( ) ( ) ( )x6xCosxSenxCosxSeney 222222x' +−= − , J: 2x1
2y'+
=
9. A: y´= 81x2 + 288x + 255, B: y´=108x3 – 324x2+222x – 6
147
10. A: 4y15
x6y2
'+
= , B: y6y6x10x3y
2
32'
+
+= , C:
3xy20yx9
xy6y5y
222
34'
−−
−=
11. A: m = 17, TANGENTE: 018yx17 =−− , NORMAL: 0564y17x =−+ ; B: m = 12, TANGENTE:
016yx12 =−− , NORMAL: 094y12x =−+ , C: m = 81 , TANGENTE: 016y8x =+− , NORMAL:
0132yx8 =−+ 12. A: LSTG = 1, LSNOR = 1; B: LSTG =
21 , LSNOR: 2, C. LSTG = 8, LSNOR:
21
URESPUESTAS AUTOEVALUACION UNIDAD III 1. CRITICOS 2. ARRIBA, ABAJO 3. DECRECIENTE, CRECIENTE 4. DE INFLEXIÓN 5. DIFERENCIACIÓN, DERIVABLE, DERIVABLE 6. F, D, C, B, E, H, G, F, E. 7. A: PARA x = – 2, MAX = 0; PARA x =
32 , MIN =
27256
− , B: PARA x = –1, MIN = –4; PARA
x = –3, MAX = –8, C: PARA x = 3, MIN = – 22; PARA x = – 1, MAX = 10, D: PARA x = – 1, MIN = – 1, PARA x = – 3, MAX = 3, E: PARA x = 2, MIN = – 25, PARA x = –4, MAX = 83,
8. A: y´´´´ = 360x2 – 120x + 24, B: y´´= 24x Cos 4x3 – 144 x4 Sen 4x3. 9. A:CRECIENTE EN x > 1 Y x < –1, DECRECIENTE EN –1 < x <1 , B: A:CRECIENTE EN x >
5 Y DECRECIENTE EN x < –5. A: CONCAVA HACIA ARRIBA EN x >
21 Y CONCAVA HACIA ABAJO EN x <
21 , PUNTO DE
INFLEXIÓN ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛8
127,21 ,B: CONCAVA HACIA ARRIBA EN x > R, NO HAY PUNTO DE INFLEXIÓN.
148
BIBLIOGRAFIA
1. Larson, Hostetler, Edwars. Cálculo. México. McGraw-Hill, sexta edición, 1999.
2. Anfosi y Flores Meyer. Cálculo Diferencial e Integral. México. Progreso, 9ª. Edición, 1977.
3. Salazar Vazquez, Flores Botello y Sánchez Gutierrez. Matemáticas IV “Colección Bachiller”. México. Nueva imagen, segunda edición, 2002.
4. Ayres, Frank, Cálculo Diferencial e Integral. México. McGraw-Hill, 1999.
5. Purcell, Edwin J. Cálculo Diferencial e Integral. México. Prentice Hall, 6ª. Edición, 1993.
GLOSARIO
Instrucciones: Este glosario matemático debe leerse con tranquilidad, dado que sus definiciones son abstractas.
El estudiante podrá recurrir a él para informarse sobre un punto en particular, dado que no existe mucha
información en diccionarios comunes, esperamos que su lectura resulte de beneficio. Además de incluir algunos
tópicos del cálculo avanzado para futuros alumnos universitarios.
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Consideremos K un cuerpo completo y | · | una norma en K. Notese que K = R es un cuerpo ordenado mientras queK = C no lo es.
1. FUNCIONES ELEMENTALES
DEFINICION 1.1. Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia entre A y B a cualquier subconjuntof de A×B.
DEFINICION 1.2. Dada una correspondencia f entre dos conjuntos A y B. Entonces,a) Se denomina dominio de f al conjunto Dom(f)={x ∈ A : ∃y ∈ B con (x, y) ∈ f}.b) Se denomina imagen de f al conjunto Im(f)={y ∈ B : ∃x ∈ A con (x, y) ∈ f}.c) Se dice que f es unıvoca si para todo x ∈ A, para todo y, z ∈ B con (x, y) = (x, z), se tiene que y = z.d) Se dice que f es una aplicacion si f es unıvoca y Dom(f)=A.
DEFINICION 1.3. Una funcion de variable real es una aplicacion de un subconjunto D ⊂ R en R, f : D ⊂ R → R,de modo que x 7→ f(x).
Para la funcion y = f(x) se dice que x es la variable independiente e y la variable dependiente.
DEFINICION 1.4. Se denomina grafo o grafica de la funcion f al lugar geometrico de todos los pares ordenados(x, f(x)).
DEFINICION 1.5. Una funcion f se dice par si para todo x de su dominio se verifica f(x) = f(−x)
DEFINICION 1.6. Una funcion f se dice impar si para todo x de su dominio se verifica −f(x) = f(−x)
DEFINICION 1.7. Una funcion f con D = Dom(f) se dice acotada superiormente (resp. inferiormente) si existeα ∈ R tal que para todo x ∈ D entonces f(x) ≤ α (resp. α ≥ f(x)). El numero α se denomina cota superior (resp.inferior) de f(x).
DEFINICION 1.8. Una funcion real f definida en un conjunto D se dice creciente en dicho conjunto si
∀x1, x2 ∈ D : x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2).
Si en la anterior definicion la desigualdad es estricta se dice que f es estrictamente creciente. La definicion de funciondecreciente es analoga con los cambios obvios.
PROPOSICION 1.1. Las funciones elementales se distribuyen en tres grupos:1) Funciones algebraicas (polinomicas, radicales, racionales).2) Funciones trigonometricas (sen, cos, tan, . . . ...).3) Funciones exponenciales y logarıtmicas.
La suma, producto y cociente de dos funciones, y siempre que tenga sentido, es tambien otra funcion.
DEFINICION 1.9. Sean f, g dos funciones. Se denomina funcion compuesta de f con g, y se denota por f ◦g(x) =f(g(x)). El dominio de f ◦ g es
{x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom(f)}.
OBSERVACION 1.1. Notese que en general f ◦ g 6= g ◦ f .
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PROPOSICION 1.2. Dadas las funciones expa y loga (a > 0) se tienen:1) expa(loga x) = x.2) loga xy = loga x + loga y.3) loga
xy = loga x− loga y.
4) expa(x + y) = expa(x) expa(y).5) loga es contınua, creciente e inyectiva (f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2).
6) x− 1 > loga(x) >x− 1
xcon x 6= 0.
PROPOSICION 1.3. Dadas las funciones trigonometricas sen(x) y cos(x) se tienen:1) sen2(x) + cos2(x) = 1.2) La funcion seno es impar; coseno es una funcion par.3) sen(x + π/2) = cos(x).4) cos(x + π/2) = −sen(x).5) Las funciones seno y coseno son periodicas de periodo 2π y de dominio R.6) |sen(x)|, | cos(x)| ≤ 1.7) |sen(x)| ≤ |x|.
DEFINICION 1.10.
a) La funcion arcsen(x) se define como la inversa local de la funcion sen(x) en [−π/2, π/2].b) La funcion arccos(x) se define como la inversa local de la funcion cos(x) en [0, π].c) La funcion arctan(x) se define como la inversa local de la funcion tan(x) en (−π/2, π/2).
DEFINICION 1.11. (Funciones hiperbolicas) Se definen las funciones:
senh(x) =ex − e−x
2; cosh(x) =
ex + e−x
2; tanh(x) =
senh(x)cosh(x)
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2. SUCESIONES y LIMITES DE SUCESIONES
DEFINICION 2.1. Una sucesion de elementos es una aplicacion a del conjunto de los numeros naturales N en uncuerpo K:
a : N → K n 7−→ a(n) := an ∈ K.
El elemento an se denomina elemento n-esimo de la sucesion. Las sucesiones tambien se suelen representar por{an}n≥1 o simplemente {an}.
DEFINICION 2.2. Se dice que una sucesion {an} ⊂ K es acotada si existe C > 0 de modo que |an| ≤ C, paratodo n ∈ N.
DEFINICION 2.3. Se dice que una sucesion {an} es monotona creciente (resp. decreciente) si an ≤ an+1 (resp.an ≥ an+1) para todo n ∈ N.
DEFINICION 2.4. Dada una sucesion {an} se dice que {ank} es una subsucesion de esta si {nk} es una sucesion
creciente de numeros naturales.
DEFINICION 2.5. Se dice que una sucesion {an} es convergente si existe a ∈ K verificando: Dado ε > 0 existen0 ∈ N de modo que para todo n ≥ n0 se cumple |an − a| < ε. En tal caso escribiremos limn an = a. El valor ase denomina lımite de la sucesion. Se dice que {an} es divergente si para todo M > 0, existe n0 ∈ N tal que paran ≥ n0, entonces |an| > M .
PROPOSICION 2.1. Si la sucesion {an} es convergente, entonces el lımite es unico.
PROPOSICION 2.2. Si la sucesion es convergente, entonces esta acotada.
DEFINICION 2.6. Se dice que una sucesion {an} es de Cauchy si para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que paratodo m,n ≥ n0, se tiene que |an − am| < ε.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
(i) Criterio de convergencia de Cauchy: Una sucesion {an} es convergente si y solo si es de Cauchy.(ii) Criterio de convergencia para sucesiones monotonas: Una sucesion monotona creciente (resp. decre-
ciente) y acotada superiormente (resp. inferiormente) es convergente.(iii) Primer criterio de Stolz: Sean {an} ⊂ R una sucesion de modo que limn an = α ∈ R, y {bn} ⊂ R+ tal
que
limn→∞
n∑k=1
bk = +∞,
entonces
limn→∞
∑nk=1 akbk∑n
k=1 bk= α.
(iv) Segundo criterio de Stolz: Sean {an}, {bn} ⊂ R tales que {bn} es estrictamente creciente (resp. decre-ciente) y no acotada superiormente (resp. no acotada inferiormente) y
limn→∞
an − an+1
bn − bn+1= α ∈ R ∪ {±∞},
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entonceslim
n→∞
an
bn= α.
(v) Criterio de la media aritmetica: Sea {an} ⊂ R tal que limn an = α ∪ {±∞}, entonces
limn→∞
∑nk=1 an
n= α.
(vi) Criterio de la raız: Sea {an} ⊂ R tal que
limn
an+1
an= α ∪ {±∞},
entonces limnn√
an = α.(vii) Criterio de la media geometrica: Sea {an} ⊂ R+ tal que limn an = α∪{+∞}, entonces limn
n√
a1 · · · an =α.
(viii) Primer criterio del numero e: Sea {an} ⊂ R tal que limn an = ±∞, entonces
limn→∞
(1 +
1an
)an
= e.
(ix) Segundo criterio del numero e: Sean {an}, {bn} ⊂ R tales que
limn
an = 1, limn
bn = +∞, limn
(an − 1)bn = α ∈ R,
entonceslim
n→∞abn
n = eα.
PROPOSICION 2.3 (FORMULA DE STIRLING).
limn→∞
n!e−nnn
√2πn
= 1.
PROPIEDADES DE LOS LIMITES DE SUCESIONES
PROPOSICION 2.4. Sean {an}, {bn} ⊂ K sucesiones convergentes cuyos lımites son a y b respectivamente. Secumplen las siguientes propiedades:•Algebra de lımites:
(i) La sucesion {an + bn} converge a a + b.(ii) La sucesion {anbn} converge a ab.
(iii) Si bn 6= 0 para todo n ∈ N con b 6= 0, la sucesion{
an
bn
}converge a
a
b.
• Si {an} es acotada y {bn} converge a 0, entonces limn anbn = 0.• Si limn an = limn bn = L y an ≤ xn ≤ bn para todo n ∈ N, entonces limn xn = L.
NOTACION 2.1. Las indeterminaciones mas usuales al tomar lımites son: ∞−∞, 0/0, ∞/∞, 0 · ∞, ∞0, 00,1∞.
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DEFINICION 2.7. Una serie∑
n an es un par ordenado de sucesiones,∑
n an = ({an}, {Sn}), en el que Sn :=∑nk=1 ak es la n-esima suma parcial.
Una serie es convergente si lo es la sucesion de sumas parciales {Sn}, y en tal caso S = limn→∞ Sn recibe el nombrede suma de la serie y se escribe S =
∑∞n=1 an. Si la serie no converge se dice divergente.
Se verifica que la condicion de convergencia es equivalente a la siguiente condicion de Cauchy: Una serie∑
n an esconvergente si y solo si para cada ε > 0 existe n0 ∈ N y para todo n ≥ n0,∣∣∣∣∣
p∑k=1
ak+n
∣∣∣∣∣ < ε,
para todo p ∈ N, p ≥ 1.
Se dice que una serie∑
n an es absolutamente convergente si la serie∑
n |an| es convergente.
PROPOSICION 2.5 (CONDICION NECESARIA DE CONVERGENCIA). Si la serie numerica∑
n an
es convergente, entonces limn→∞ an = 0.
Existen de manera analoga criterios de convergencia para series de terminos positivos:
CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TERMINOS POSITIVOS
(i) Criterio de condensacion de Cauchy: Una sucesion {an} decreciente de numeros reales positivos. En-tonces, la serie
∑n an es convergente si y solo si lo es la serie condensada
∑n 2na2n .
(ii) Criterio de comparacion: Sean {an}, {bn} dos sucesiones de terminos positivos tal que existen un n0 ∈ Ny M > 0, con an ≤ Mbn para todo n ≥ n0. Se verifican:
(ii.1) Si∑
n an diverge, entonces tambien diverge∑
n bn.(ii.2) Si
∑n bn converge, entonces tambien converge
∑n an.
(iii) Criterio de comparacion por paso al lımite: Sean {an}, {bn} dos sucesiones de terminos positivos conbn > 0, para todo n ∈ N, tal que limn→∞ an/bn = λ. Entonces:
(iii.1) Si λ 6= 0 las dos series∑
n an y∑
n bn convergen o divergen simultaneamente.(iii.2) Si λ = 0 y
∑n bn converge, tambien converge
∑n an.
(iii.3) Si λ = +∞ y∑
n bn diverge, tambien diverge∑
n an.Puesto que la α-serie (serie de Riemann de exponente α > 0)
∑n 1/nα converge si y solo si α > 1, se verifica
en particular que limn annα = λ y λ ∈ R+, la serie∑
n an es convergente si λ > 1 y si λ 6= 0 y α ≤ 1 la seriees divergente.
(iv) Criterio del cociente: Sea {an} ⊂ R+ \ {0} y ρ = limn→∞ an+1/an. Entonces:(iv.1) Si ρ < 1 la serie
∑n an es convergente.
(iv.2) Si ρ > 1 la serie∑
n an es divergente.(iv.3) Si ρ = 1 el criterio no es decisivo.
(v) Criterio de la raız: Si {an} ⊂ R+ y ρ = limn→∞ n√
an se verifica:(v.1) Si ρ < 1, entonces la serie
∑n an converge.
(v.2) Si ρ > 1, entonces la serie diverge.(v.3) Si ρ = 1 el criterio no es decisivo.
(vi) Criterio de Leibnitz: Si {an} ⊂ R+ decreciente y convergente a cero, entonces la serie alternada∑n
(−1)nan
es convergente.
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(vii) Criterio de Dirichlet: Sean {an}, {bn} ⊂ R que cumplen:(vii.1) La sucesion de sumas parciales {
∑nk=1 ak} esta acotada.
(vii.2) La sucesion {bn} es decreciente y converge a cero.Entonces la serie
∑n anbn es convergente.
(viii) Criterio de Abel: Sean {an}, {bn} ⊂ R que cumplen:(vii.1) La serie
∑n an es convergente.
(vii.2) La sucesion {bn} es una sucesion monotona convergente.Entonces la serie
∑n anbn es convergente.
EJEMPLOS.(a) Series geometricas: Se escriben de la forma
∞∑n=1
αrn.
Si r 6= 1 las sumas parciales de la serie son
Sn = αn∑
k=1
rk = αr − rn+1
1− r.
De aqui se deduce que la serie converge si |r| < 1 y diverge en caso contrario.(b) Series aritmetico-geometricas: Son aquellas de la forma
∞∑n=1
anbn,
donde {an} es una progresion aritmetica y bn una progresion geometrica. La serie converge si y solo si larazon de la progresion geometrica tiene valor absoluto estrictamente menor que uno.
(c) Series hipergeometricas: Sea∑
n an una serie de numeros reales, donde an 6= 0, n ≥ 1. La serie se dicehipergeometrica si es posible determinar numeros reales α, β, γ con α > 0 y tales que αn + γ 6= 0, n ≥ 1, ycumpliendo que
an+1
an=
αn + β
αn + γ, n = 1, 2, . . .
Las sumas parciales Sn verifican la igualdad
(α + β − γ)Sn = an(nα + β)− a1γ.
La serie es convergente si y solo si γ > α+β y en este caso su suma se obtiene pasando al lımite en la relacionanterior; resulta que si laserie converge ha de ser limn nan = 0. Por tanto,
∞∑n=1
an =a1γ
γ − α− β.
(d) Series telescopicas: Se dice que∑
n an es telescopica si existe una sucesion {bn} de numeros reales tal quean = bn+1 − bn para n = 1, 2, . . . . Las sumas parciales vienen dadas por Sn = bn+1 − b1, luego
∞∑n=1
an = limn
bn − b1
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3. TOPOLOGIA DE LA RECTA REAL
DEFINICION 3.1. Sean a, b ∈ R, se definen los siguientes conjuntos:(i) [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.(ii) [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.(iii) (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.(iv) (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.(v) [a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a}.(vi) (a,+∞) = {x ∈ R : x > a}.(vii) (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}.(viii) (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.
Los conjuntos (i), (v) y (vii) se denominan intervalos cerrados, los conjuntos (iii), (vi) y (viii) intervalos abiertos yel resto, intervalos semiabiertos o semicerrados.
DEFINICION 3.2. Dado x ∈ R y ε > 0, el entorno abierto centrado en x y radio ε es el conjunto
{y ∈ R; |y − x| < ε} = (x− ε, x + ε) = B(x, ε)
Si (x− ε, x + ε) ⊂ A ⊂ R, entonces tambien decimos que A es un entorno del punto x; en este caso decimos que xes punto interior de A.
DEFINICION 3.3. Dado A ⊂ R, decimos que a ∈ R es una cota superior (resp. inferior) de A si x ≤ a (resp.a ≥ x) para todo x ∈ A. Decimos que A esta acotado superiormente (resp. inferiormente) si existe alguna cotasuperior (resp. inferior) de A.
DEFINICION 3.4. Dado A ⊂ R, decimos que α ∈ R es el supremo (resp. ınfimo) de A, y escribiremos α = sup A(resp. α = inf A), si:
(a) α es una cota superior (resp. inferior) de A.(b) Si β es una cota superior (resp. inferior) de A, entonces α ≤ β (resp. β ≤ α).
DEFINICION 3.5. Un conjunto A de la recta real se dice abierto si es vacıo o si es entorno de todos sus puntos(A = int(A)).
DEFINICION 3.6. Dado A ⊂ R, el conjunto de puntos de A que son interiores se denomina interior de A y sedenota por int(A).
PROPOSICION 3.1. Sea A ⊂ R, entonces int(A) es el mayor conjunto abierto contenido en A.
DEFINICION 3.7. Sea B ⊂ R y x ∈ R se dice que x es punto adherente a B si para todo r > 0 B(x, r) ∩B 6= ∅.
DEFINICION 3.8. Sea B ⊂ R, el conjunto de todos los puntos adherentes a B se denomina clausura de B y sedenota por B.
PROPOSICION 3.2. Sea B ⊂ R, entonces B es el menor conjunto cerrado conteniendo a B.
DEFINICION 3.9. Sea M ⊂ R y x ∈ R. Decimos que x es un punto de acumulacion si para todo r > 0B(x, r) ∩ (M \ {x}) 6= ∅. El conjunto de puntos de acumulacion se denomina conjunto derivado de M y se denotapor M ′.
PROPOSICION 3.3. Sea M ⊂ R, entonces M = M ∪M ′.
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DEFINICION 3.10. Se dice que un conjunto B es cerrado si es vacıo o B = B.
DEFINICION 3.11. Se dice que un conjunto B es acotado si existen a, b ∈ R tales que B ⊂ [a, b].
DEFINICION 3.12. Se dice que un conjunto A es compacto si cerrado y acotado.
TEOREMA 3.1 (DE BOLZANO-WEIERSTRASS). Sea A ⊂ R infinito y acotado, entonces A′ 6= ∅.
LIMITES DE FUNCIONES
DEFINICION 3.12. Sean A ⊂ R no vacıo, a un punto de acumulacion de A y f : A → R una funcion. Se diceque f tiene lımite (finito) cuando x tiende hacia a si existe un numero real L verificando la siguiente propiedad:
∀ε > 0 ∃δ > 0 de modo que x ∈ A con 0 < |x− a| < δ, entonces |f(x)− L| < ε.
En este caso el numero L se denomina lımite de la funcion en a. Se escribe
limx→a
f(x) = L.
DEFINICION 3.13. Sea f una funcion definida en el intervalo (a, a + h) (resp. (a− h, a)) para cierto h > 0. Sedice que el lımite por la derecha de f en a es L si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si x ∈ (a, a + h) (resp.x ∈ (a− h, a)) y 0 < |x− a| < δ entonces |f(x)− L| < ε. En este caso escribiremos
limx→a+
f(x) = L
(resp. lim
x→a−f(x) = L
)
El algebra de lımites de funciones y sus propiedades coinciden con las expuestas para lımites de sucesiones. Masaun, tenemos el siguiente resultado.
TEOREMA 3.2 (CARACTERIZACION DE LIMITE MEDIANTE SUCESIONES). Sea f : A → R yx0 un punto de acumulacion de A. Entonces f tiene lımite en x0 si y solo si para cada sucesion {xn} convergentea x0, con xn ∈ A y xn 6= x0 para todo n ∈ N, la sucesion {f(xn)} converge.
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4. NOTACION DE LANDAU
DEFINICION 4.1. Sean A un subconjunto de R, a un punto de acumulacion de A y f, g dos funciones realesdefinidas en A.
1) Se dice que f es una O de g en el punto a (lease ”f es una o grande de g en a”), y se escribe f = O(g) en a,si existen δ > 0 y M ≥ 0 tales que
|f(x)| ≤ M |g(x)| para x ∈ A ∪ (a− δ, a + δ) \ {a}) .
2) Se dice que f es una o de g en el punto a (lease ”f es una o pequena de g en a”), y se escribe f = o(g) en a,si existen δ > 0 y una funcion ε definida en A ∪ ((a− δ, a + δ) \ {a}) con limx→a ε(x) = 0 y tal que
f(x) = ε(x)g(x) para x ∈ A ∪ ((a− δ, a + δ) \ {a}) .
EJEMPLO 4.1. Sean A ⊂ R, a un punto de acumulacin de a, f una funcion en A y c ∈ R.a) Si f = O(c) en A, entonces f esta acotada en A.b) Si existe n ∈ N de modo que f = o ((x− a)n) en a, entonces
limx→a
f(x)(x− a)n
= 0.
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5. CONTINUIDAD
Sea f : A ⊂ R → R y a un punto interior de A.
DEFINICION 5.1. Decimos que una funcion f es contınua en un punto x = a si se satisfacen las tres condicionessiguientes:
1) f(a) ∈ R.2) limx→a f(x) existe.3) limx→a f(x) = f(a).
Se dice que f es contınua en (a, b) si lo es en cada uno de sus puntos.
DEFINICION 5.2. (Tipos de discontinuidades)(i) Si f no es contınua en a y existe (y es finito) el lımite de f en a, se dice que la discontinuidad es evitable.(ii) Si no existe el lımite de f en a, se dice que la discontinuidad es esencial. En este caso, si existen y son finitos
los lımites laterales, la discontinuidad es de salto finito, o de primera especie. En otro caso, se dice que ladiscontinuidad es de segunda especie.
PROPOSICION 5.1 (ALGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS). Se tienen las siguientes propiedades:1) Si f y g son funciones contınuas en a, entonces f ± g, fg son contınuas en a.2) Si f y g son funciones contınuas en a y g(a) 6= 0, entonces f/g es contınua en a.3) Si f es contınua en a y g es contınua en f(a), entonces g ◦ f es contınua en a.
LEMA 5.1. Si f es contınua en a y f(a) > 0, entonces existe δ > 0 tal que f(x) > 0 para todo x ∈ B(a, δ).
TEOREMA 5.1 (DE BOLZANO). Sea f : [a, b] → R. Si f es contınua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0, entoncesexiste c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
COROLARIO 5.1. Si p(x) es un polinomio de grado impar, entonces existe a ∈ R tal que p(a) = 0.
TEOREMA 5.2 (DE DARBOUX). Sea f una funcion real y contınua en [a, b], tal que f(a) 6= f(b). Entonces,para ξ tal que f(a) < ξ < f(b) existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = ξ.
TEOREMA 5.3 (DE WEIERSTRASS). Sea f : A ⊂ R → R contınua A compacto, entonces f alcanza susextremos absolutos en A.
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6. CALCULO DIFERENCIAL
DEFINICION 6.1. Sea f una funcion real definida en un intervalo abierto I de R, con a ∈ I. Se dice que f esderivable en el punto a si existe y es finito el lımite
limx→a
f(x)− f(a)x− a
:= f ′(a).
Se dice que f es derivable en I si lo es en cada uno de sus puntos.
TEOREMA 6.1. Sea f : A ⊂ R → R y a ∈ int(A), entonces f es contınua en a.
PROPOSICION 6.1 (ALGEBRA DE DERIVADAS). Se deducen del algebra de lımites de funciones. Seanf, g dos funciones derivables en a.
(i) f + g es derivable en a de modo que (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).(ii) fg es derivable de modo que (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a) (Regla de Leibnitz).(iii) Si g(a) 6= 0, f/g es derivable en a de modo que(
f
g
)=
f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)(g(a))2
.
TEOREMA 6.2 (REGLA DE LA CADENA). Sean f : A ⊂ R → R y g : B ⊂ R → R. Si f es derivable en ay g es derivable en f(a), entonces g ◦ f es derivable en a de modo que
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a)
TEOREMA 6.3 (DE LA FUNCION INVERSA). Sea f : A ⊂ R → R, a ∈ int(A) y b = f(a). Si f ′(a) 6= 0,entonces existe δ > 0 tal que x = f−1(y) para y ∈ B(b, δ). Ademas(
f−1)′
(b) =1
f ′(a).
DEFINICION 6.2. Sea f : A ⊂ R → R, a ∈ int(A). Se dice que f es diferenciable en a si existe T ∈ R tal que
limh→0
f(a + h)− f(a)− Th
h= 0.
En tal caso, T recibe el nombre de diferencial de f en a, y se denota por df(a).
TEOREMA 6.4. Sea f : A ⊂ R → R es diferenciable en a si y solo si f es derivable en a. Ademas, si f esdiferenciable en a, entonces df(a) = f ′(a).
DEFINICION 6.3. Sea k ∈ N. Se dice que una funcion f definida en un intervalo I es de clase Ck en I (f ∈ Ck(I))si f admite derivadas sucesivas hasta orden k contınuas.
LEMA 6.1 (FORMULA DE LEIBNITZ). Sean f, g ∈ Cn(I). Entonces fg ∈ Cn(I). Ademas, para cada m ≤ nse tiene que:
(fg)m)(x) =m∑
k=0
(m
k
)fm−k)(x)g(k(x), x ∈ I.
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DEFINICION 6.4. Sean f una funcion real definida en A ⊂ R y x0 ∈ A. Se dice que f presenta un mınimorelativo en x0 (resp. maximo relativo) si existe ε > 0 tal que para cada x ∈ B(xo, ε) ∩ A se tiene que f(x) ≥ f(x0)(resp. f(x) ≤ f(x0)).
TEOREMA 6.5 (CONDICION NECESARIA DE EXTREMO RELATIVO). Sea f una funcion realdefinida en A ⊂ R y x0 ∈ int(A) en el que f presenta un extremo relativo. Si f es derivable en x0, entoncesf ′(x0) = 0.
PROPOSICION 6.2. Los candidatos a extremos para una funcion definida en [a, b] son:
1) {a, b}.2) {x ∈ (a, b) : f no es derivable en x}.3) {x ∈ (a, b) : f es derivable en x y f ′(x) = 0}
OBSERVACION 6.1. Si el punto a ∈ int (Dom(f)) y f es derivable con f ′(a) = 0, entonces se dice que a es unpunto crıtico de f .
TEOREMA 6.6 (DE ROLLE). Sea f una funcion contınua en [a, b] y derivable en (a, b) de modo que f(a) = f(b).Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
COROLARIO 6.1. Sea f : (a, b) → R derivable. Sean x1, x2 dos raices consecutivas de f ′ de modo que f ′(x) 6= 0para todo x ∈ (x1, x2). Entonces f tiene como mucho una raız en (x1, x2).
PROPOSICION 6.3. Sea f una funcion monotona (creciente o decreciente) y contınua en [a, b]. Si f(a)f(b) > 0entonces no existen raices en (a, b) para f .
PROPOSICION 6.4. Sea f : A ⊂ R → R con derivada n-esima finita en un punto a ∈ A y supongamos quef ′(a) = · · · = f (n−1(a) = 0 y f (n(a) 6= 0. Entonces
a) Si n es par y f (n(a) > 0, entonces f alcanza un mınimo relativo en a.b) Si n es par y f (n(a) < 0, entonces f alcanza un maximo relativo en a.c) Si n es impar, entonces f no tiene ni maximo ni mınimo relativo en a.
TEOREMA 6.7 (DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE). Sea f una funcion contınua en [a, b] y derivableen (a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
COROLARIO 6.2. Sea f una funcion derivable en [a, b], f ′(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], entonces f es estrictamentecreciente.
DEFINICION 6.5. Sea f : (a, b) → R y c ∈ (a, b). Supongamos que f es derivable en c con recta tangenter(x) = f(c) + f ′(c)(x− c).
(i) Decimos que f es convexa en c si existe δ > 0 tal que para todo x ∈ B(c, δ) f(x) < r(x).(ii) Decimos que f es concava en c si existe δ > 0 tal que para todo x ∈ B(c, δ) f(x) > r(x).(iii) Si f es concava (p.e en (a − δ, a)) y convexa (p.e en (a, a + δ)) para todo entorno de c, se dice que c es un
punto de inflexion.
TEOREMA 6.8. Sea f : (a, b) → R dos veces derivable en c ∈ (a, b).
a) Si f ′′(c) > 0 entonces f es concava en c.b) Si f ′′(c) < 0 entonces f es convexa en c.
161
PROPOSICION 6.5. Sea f : A ⊂ R → R con derivada n-esima finita en un punto a ∈ A y supongamos quef ′(a) = · · · = f (n−1(a) = 0 y f (n(a) 6= 0 con n ≥ 3. Entonces
a) Si n es impar y f (n(a) > 0, entonces f presenta un punto de inflexion en a.b) Si n es par, f es convexa en a si f (n(a) > 0, y concava si f (n(a) < 0.
TEOREMA 6.9 (REGLA DE L’HOPITAL). Sean f, g : (a, b) → R derivables con g(x) 6= 0 en (a, b) y
limx→a+
f(x) = limx→a+
g(x) = 0 (±∞)
Si existe
limx→a+
f ′(x)g′(x)
entonces existe
limx→a+
f(x)g(x)
y valen igual.
PROPOSICION 6.6. Sea I ⊂ R un intervalo, a ∈ I y ∈ Cn(I). Entonces existe un unico polinomio p de gradomenor o igual que n tal que
p(a) = f(a), p′(a) = f ′(a), . . . , p(n(a) = f (n(a).
Dicho polinomio se expresa de la forma
p(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)
2!(x− a)2 +
f ′′′(a)3!
(x− a)3 + · · ·+ f (n
n!(x− a)n
y se denomina polinomio de Taylor de grado n de f en un entorno de a (Tn(f, a)(x)). Cuando a = 0 se sueledenominar polinomio de MacLaurin de grado n de f .
EJEMPLOS 6.1. Veamos los polinomios de MacLaurin de las funciones mas importantes.(1) Para la funcion exponencial ex:
p(x) =n∑
k=0
xk
k!.
(2) Para la funcion seno (con angulo medido en radianes) sen(x):
p(x) =n∑
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!.
(3) Para la funcion coseno (con angulo medido en radianes) cos(x):
p(x) =n∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!.
(4) Para la funcion arco-tangente arctan(x):
p(x) =n∑
k=0
(−1)k x2k+1
2k + 1.
162
(5) Para la funcion logaritmo log(1 + x), donde log(·) denota el logaritmo natural en base e (no se utilizaranotros logaritmos en este curso):
p(x) =n∑
k=1
(−1)k−1 xk
k.
(6) Para la funcion binomial (1 + x)α, con α ∈ R constante:
p(x) = 1 +n∑
k=1
(α
k
)xk,
donde (α
k
)=
α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)k!
.
Si se conocen los polinomios de Taylor de dos funciones f y g, entonces se pueden obtener a partir de estos, los dealgunas funciones definidas en terminos de f y g.
PROPOSICION 6.7. Sean I ⊂ R un intervalo, a un punto de dicho intervalo y f, g ∈ Cn(I). Sean, respectiva-mente, p y q los polinomios de Taylor de grado n de f y g en un entorno de a. Entonces
(1) El polinomio de Taylor de grado n de αf + βg en un entorno de a es αa + βq.(2) El polinomio de Taylor de grado n de f · g en un entorno de a es el polinomio que se obtiene al prescindir
en el polinomio producto p · q de los terminos de grado mayor o igual que n + 1.(3) Si g(a) 6= 0, entonces el polinomio de Taylor de grado n de f/g en un entorno de a es el polinomio cociente
que se obtiene al dividir p entre q en potencias crecientes hasta grado n inclusive.(4) Si f ′ es la funcion derivada de f , entonces el polinomio de Taylor de grado n− 1 de f ′ en un entorno de a
es el polinomio derivado p′.
PROPOSICION 6.8. Sean I ⊂ R un intervalo, a ∈ I y f ∈ Cn(I). Consideremos J = f(I) el intervalo imagende I mediante f , el punto b = f(a) y una funcion g ∈ Cn(J). Sean, respectivamente, p y q los polinomios de Taylorde grado n de f en un entorno de a y de g en un entorno de b. Entonces el polinomio de Taylor de orden n deg(f(x)) en un entorno de a es el polinomio que se obtiene al prescindir en q(p(x)) de los terminos de grado mayoro igual que n + 1.
DEFINICION 6.6. Sean I ⊂ R un intervalo, a ∈ I y f ∈ Cn(I). La funcion Rn(x) = f(x) − p(x) que nos da ladiferencia entre los valores que toma la funcion f y los que toma su polinomio de Taylor p en un entorno de a sellama n-esimo resto de Taylor de f en a.
TEOREMA 6.10 (DE TAYLOR). Sean I ⊂ R un intervalo, a ∈ I y f ∈ Cn(I) de modo que existe fn+1) enint(I). Sean a, x ∈ I con x 6= a. Entonces para todo p ∈ N \ {0} existe c ∈ (a, x) (o c ∈ (x, a)) tal que
f(x) = f(a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f ′′(a)2!
(x− a)2 + · · ·+ f (n(a)n!
(x− a)n +f (n+1(c)
n!p(x− a)p(x− c)n−p+1.
Demostracion. Haremos la demostracion para el caso a < x, pues el caso x < a es analogo. Sea α el numero real
1(x− a)p
(f(x)− Tn(f, a)(x))
y definimos F : [a, x] → R por F (t) = f(x)− Tn(f, t)(x)− α(x− t)p.
163
Por las hipotesis que verifica f se tiene que F es contınua en [a, x] y derivable en (a, x). Ademas F (a) = F (x) = 0.Luego por el Teorema de Rolle, aplicado a F en [a, x], existe c ∈ (a, x) tal que F ′(c) = 0.
Como F ′(t) = −f (n+1(t)n!
(x− t)n + αp(x− t)p−1 para todo t ∈ (a, x), entonces
0 = −f (n+1(c)n!
(x− c)n + αp(x− c)p−1. (6.10.1)
De F (a) = 0 resulta que f(x) = Tn(f, a)(x) + α(x− a)p. Sustituyendo en (6.10.1) resulta:
f(x) = f(a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f ′′(a)2!
(x− a)2 + · · ·+ f (n(a)n!
(x− a)n +f (n+1(c)
n!p(x− a)p(x− c)n−p+1.
La expresion
Rn(x) =f (n+1(c)
n!p(x− a)p(x− c)n−p+1
recibe el nombre de resto de Schloemilch de f en a. Tomando p = n + 1 tenemos:
TEOREMA 6.11 (DE TAYLOR CON RESTO EN FORMA DE LAGRANGE). Sean I ⊂ R un intervalo,a ∈ I y f ∈ Cn+1(I). Sea p el polinomio de Taylor de f de grado n en un entorno de a. Entonces, para cada x ∈ Iexiste un punto c (que depende de x) tal que
Rn(x) = f(x)− p(x) =f (n+1(c)(n + 1)!
(x− a)n+1
tal que x < c < a o a < c < x.
OBSERVACION 6.2. Si I es compacto, al ser f ∈ Cn+1(I) se puede afirmar que existe M > 0 de modo que
|Rn(x)| ≤ M
(n + 1)!|x− a|n+1.
Escribiremos las igualdades f(x) = p(x)+Rn(x) correspondientes a algunas de las funciones elementales expresandoel resto en forma de Lagrange:
(1)
ex =n∑
k=0
xk
k!+
ecxn+1
(n + 1)!, (x ∈ R)
(2)
sen(x) =n∑
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!+ (−1)n+1 sen(c)
(2n + 2)!x2n+2, (x ∈ R)
(3)
cos(x) =n∑
k=0
(−1)k x2k
(2k)!+ (−1)n+1 sen(c)
(2n + 1)!x2n+1, (x ∈ R)
(4)
log(1 + x) =n∑
k=1
(−1)k−1 xk
k+ (−1)n xn+1
(n + 1)(1 + c)n+1, (x > −1)
(5)
(1 + x)α =n∑
k=1
(α
k
)xk +
(α
n + 1
)(1 + c)α−n+1xn+1, (x > −1)
164
PROPOSICION 6.9. Sean I ⊂ R un intervalo, a ∈ I y f ∈ Cn+1(I). Entonces
limx→a
Rn(x)(x− a)n
= 0,
es decir, Rn(x) = o ((x− a)n) en x = a.
OBSERVACION 6.3. Exigimos f ∈ Cn+1(I) para facilitar el calculo de una cota superior del resto. El resultadotambien se tiene en condiciones mas debiles: f una funcion (n− 1)-veces derivable en I y existe su derivada n-esimaen a.
Se define el espacio F(A, R) como el espacio vectorial de las funciones de A ⊂ R en R. En este espacio los puntosson funciones y en el se puede definir una distancia. Dado un intervalo I, no vacio y no degenerado, sean fn : I → Rfunciones para todo n ∈ N.
DEFINICION 6.7.• Diremos que la serie de funciones
∞∑n=0
fn
converge en I, si∑∞
n=0 fn(x) es una serie numerica convergente para todo x ∈ I.• Diremos que la serie de funciones
∞∑n=0
fn
converge absolutamente en I, si∑∞
n=0 fn(x) es una serie numerica absolutamente convergente para todo x ∈ I.• Diremos que la serie de funciones
∞∑n=0
fn
converge uniformemente a f : I → R si ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se verifique:∣∣∣∣∣n∑
k=0
fk(x)− f(x)
∣∣∣∣∣ < ε
independientemente del x tomado en I.
TEOREMA 6.12 (CRITERIO M DE WEIERSTRASS). Sea∑
n fn una serie de funciones sobre un conjuntoA no vacıo de R y
∑n an una serie numerica convergente de terminos positivos tales que |fn(x)| ≤ an para todo
x ∈ A y n ∈ N. Entonces∞∑
n=1
fn
converge absoluta y uniformemente en A.
NOTA: La covergencia uniforme de∑
n |fn| implica la convergencia uniforme de∑
n fn.
DEFINICION 6.8. Una serie de potencias (centradas en a) es una serie de funciones∑
n fn, donde fn(x) =an(x − a)n con an ∈ R y a ∈ R. El estudio de las series de potencias con a = 0, es decir,
∑n anxn, mediante el
cambio x por x− a nos permitira el estudio de∑
n an(x− a)n.
165
PROPOSICION 6.10. Sea∑
n anxn una serie de potencias y α ∈ R\{0} tal que∑
n anαn es una serie numericaconvergente. Entonces la serie
∑n anxn es absolutamente convergente en (−α, α).
TEOREMA 6.13 (LEMA DE ABEL). Sea∑
n anxn una serie de potencias. Entonces existe R ∈ R ∪ ∞,tal que 0 ≤ R ≤ +∞, de modo que la serie es absolutamente convergente si |x| < R y divergente si |x| > R.Ademas la convergencia es absoluta y uniforme en compactos contenidos en B(0, R). Se verifica la formula deCauchy-Hadamard:
R−1 = lim supn→∞
n√|an|.
DEFINICION 6.9. Se define el radio de convergencia de una serie de potencias como el numero R dado por ellema de Abel.
TEOREMA 6.14. Sea∑
n anxn una serie de potencias. Si existe
limn→∞
|an||an+1|
,
entonces este lımite coincide con el radio de convergencia de la serie.
TEOREMA 6.15. El radio de convergencia de una serie de potencias∑
n anxn es el mismo que el radio deconvergencia de su derivada formal
∑n nanxn−1.
TEOREMA 6.16. Una serie de potencias∑
n anxn de radio de convergencia R > 0 es derivable en cada puntode B(0, R) y su derivada coincide con su derivada formal. Esto tambien es cierto si integramos, de modo que∫ ∑
n
anxn =∑
n
an
n + 1xn+1.
Si escribimosf(x) =
∑n≥0
anxn, |x| < R
f es indefinidamente derivable en B(0, R) y f (k es la suma de la serie que se obtiene derivando k veces cada sumandode∑
n anxn.
Dada una funcion f , definida en un intervalo I no degenerado de R, cabe preguntarse si existe una serie de potenciascuya suma en I sea f . Sabemos que f ha de ser indefinidamente derivable en el interior de I.
DEFINICION 6.10. Sea R ∈ (0,+∞] y f : (−R,R) → R. Diremos que f es desarrollable en serie de potenciasen (−R,R) si existe una serie de potencias
∑n anxn convergente en (−R,R) y cuya suma en este intervalo sea f .
PROPOSICION 6.11. Si∑
n anxn es un desarrollo en serie de potencias de la funcion f en (−R,R), entoncesf es indefinidamente derivable en ese intervalo y f (k(0) = k!ak para todo k ∈ N.Si f admite un desarrollo en serie de potencias, la serie de potencias es unica. Se denomina serie de Taylor.
CUESTION: Probar o refutar: Dada una funcion f indefinidamente derivable en (−R,R), la serie de potencias∞∑
k=0
f (n(0)n!
xn
es el desarrollo en serie de potencias de f .
TEOREMA 6.17. Sea R ∈ (0,+∞] y sea f : (−R,R) → R. Entonces f es desarrollable en serie de potencias en(−R,R) si y solo si
limn→∞
(f(x)−
n∑k=0
f (k(0)k!
xk
)para todo x ∈ (−R,R)
con f (0(0) := f(0).
166
7. ESPACIO VECTORIAL y PRODUCTO ESCALAR
DEFINICION 7.1. Se denomina espacio vectorial sobre el cuerpo R a la terna (Rn,+, ·), donde Rn esta formadopor las n-uplas (x1, . . . , xn) donde xi ∈ R para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}, + : Rn × Rn → Rn es una operacion internay · : R× Rn → Rn es una operacion externa, cumpliendo las siguientes propiedades:
a) Asociativa: ∀x, y, z ∈ Rn : (x + y) + z = x + (y + z).b) Conmutativa: ∀x, y ∈ Rn : x + y = y + x.c) Elemento neutro para la suma: ∃0 ∈ Rn / ∀x ∈ Rn : x + 0 = 0 + x = x.d) Elemento simetrico: ∀x ∈ Rn ∃(−x) ∈ Rn : / x + (−x) = (−x) + x = 0.e) Asociativa respecto del producto por escalares: ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ Rn: α(βx) = (αβ)x.f) Distributiva respecto de la suma de escalares: ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ Rn: (α + β)x = αx + βx.g) Distributiva respecto de la suma de vectores: ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ Rn: α(x + y) = αx + αy.h) Elemento neutro para el producto: ∀x ∈ Rn : 1 · x = x.
Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores y los elementos del cuerpo R escalares.
DEFINICION 7.2. Un producto escalar (o producto interior) en Rn es una aplicacion del producto cartesianoRn ×Rn en R que asocia a cada par de vectores x, y ∈ Rn un numero real que denotara por 〈x, y〉 y que cumple lassiguientes propiedades:
a) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ Rn (Simetrico)b) 〈x, y + z〉 = 〈y, x〉+ 〈x, z〉, ∀x, y, z ∈ Rn (Bilineal)c) 〈αx, y〉 = α〈x, y〉, ∀x, y ∈ Rn ∀α ∈ R.d) 〈x, αy〉 = α〈x, y〉 = α〈x, y〉, ∀x, y ∈ Rn ∀α ∈ R.e) 〈x, x〉 ≥ 0 ∀x ∈ Rn (Definido positivo)
El producto escalar es por tanto una forma bilineal simetrica definida positiva.
DEFINICION 7.3. Dados dos vectores x, y ∈ Rn, se define el producto escalar canonico
〈x, y〉 =n∑
i=1
xiyi
donde xi, yi son las coordenadas de los vectores x, y, respectivamente.
PROPOSICION 7.1 (DESIGUALDAD DE CAUCHY-BUNYAKOWSKY-SCHWARZ). Sea 〈·, ·〉 unproducto escalar en Rn, entonces
|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉
para todo x, y ∈ Rn. Mas aun, la igualdad se alcanza si y solo si existen escalares α, β, ambos no nulos, tales que〈βx + αy, βx + αy〉 = 0
Con el producto escalar definido anteriormenete obtendremos una norma que nos permitira estudiar la proximidadentre elementos y trabajar el concepto de lımite. De ahıpasaremos a estudiar la nocion de continuidad y diferencia-bilidad para funciones definidas en Rn.
DEFINICION 7.4. Dado un producto escalar 〈·, ·〉, se llama norma asociada a dicho producto escalar a la apli-cacion que asigna a cada vector x ∈ Rn el numero +
√〈x, x〉. La norma del vector x se designara por ‖x‖.
167
EJEMPLO 7.1. Dado (x, y) ∈ R2 la norma de este vector es
‖(x, y)‖ =√
x2 + y2.
Las propiedades fundamentales de la norma definida son:(i) ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ Rn.(ii) ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.(iii) αx‖ = |α| · ‖x‖ con α ∈ R (Homogenea).(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Des. triangular).
La nocion de norma nos permite definir una distancia en el espacio Rn:
DEFINICION 7.5. Dados dos vectores x, y ∈ Rn se define la distancia (euclıdea) entre x e y como
d(x, y) := ‖x− y‖ =
√√√√ n∑k=1
(xk − yk)2.
DEFINICION 7.6. Dados dos vectores x, y ∈ Rn \ {0}, se define el coseno del angulo que forman como
cos(α) =〈x, y〉
‖x‖ · ‖y‖.
PROPOSICION 7.2. Dos vectores x, y ∈ Rn \ {0} son ortogonales si y solo si 〈x, y〉 = 0. En este caso, el anguloque forman es de π/2 radianes.
168
8. LIMITES Y CONTINUIDAD EN EL PLANO
Los conceptos topologicos de entorno abierto, cerrado, conjunto derivado, clausura, sucesion convergente, ..., sededucen de los estudiados en la recta real con la salvedad que ahora estamos en un espacio de n dimensiones y ladistancia a utilizar es la dada en la definicion 7.5. Estamos ahora en condiciones de extender la teorıa de funcionesreales de variable real a funciones de varias variables.
Las definiciones dadas para funciones reales de variable real son extensibles a las funciones f : Rn → Rm con las obviasmodificaciones. Una funcion f de Rn en Rm, llamadas funciones vectoriales, asocia a cada vector n-dimensional ununico vector m-dimensional del modo siguiente:
f(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym),
donde cada yk es funcion de las variables (x1, . . . , xn). Cada yk, por tanto, es una funcion de Rn en R y se denominanfunciones coordenadas. De este modo escribimos
f(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)),
donde fi : Rn → R para todo i ∈ {1, 2, . . . , m}. A las funciones cuyo espacio imagen es el cuerpo R se denominanescalares. Es por esto que principalmente en este curso estudiaremos las funciones escalares, mas concretamente,funciones de R2 en R.
PROPOSICION 8.1. Sea {xn} una sucesion de R2. Entonces
a) {xn} es convergente si y solo si son convergentes las sucesiones coordenadasb) {xn} es de Cauchy si y solo si son de Cauchy las sucesiones coordenadas.
DEFINICION 8.1. Sea (a, b) ∈ R2. Una direccion para el punto (a, b) es un conjunto S ⊂ R2 tal que (a, b) es unpunto de acumulacion de S.
DEFINICION 8.2. Sean f : A ⊂ R2 → R, (a, b) un punto de acumulacion de A. Si S es una direccion para (a, b)y S ⊂ A, entonces al lımite
lim(x,y)→(a,b)
(x,y)∈S
f(x, y)
se denomina lımite direccional.
DEFINICION 8.3. Sean f : A ⊂ R2 → R, (a, b) un punto de acumulacion de A. Se dice que f(x, y) → L cuando(x, y) → (a, b) (y escribiremos lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = L) si
∀ε > 0 ∃δ > 0 / ∀(x, y) ∈ A, 0 < ‖(x, y)− (a, b)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− L| < ε
? Dada
f(x, y) =
x2 + y2
x2 + yy 6= −x2;
0 y = −x2.
Probar que no existe lim(x,y)→(0,0) f(x, y).
169
TEOREMA 8.1. Sean f : A ⊂ R2 → R, (a, b) un punto de acumulacion de A. Son equivalentes:(1) Existe el lımite doble
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y).
(2) Existen TODOS los lımites direccionales y son iguales (e iguales al lımite doble).
OBSERVACION 8.1. El lımite doble si existe, es unico.
PROPOSICION 8.2 (ALGEBRA DE LIMITES). Dadas las funciones f, g : R2 → R con (a, b) ∈ R2 tal que
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L1, lim(x,y)→(a,b)
g(x, y) = L2
se tiene:a) ∃ lim(x,y)→(a,b)(f(x, y)± g(x, y)) = L1 ± L2.b) ∃ lim(x,y)→(a,b)(f(x, y) · g(x, y)) = L1 · L2.c) Si L2 6= 0 y g(x, y) 6= 0 en un entorno de (a, b) entonces ∃ lim(x,y)→(a,b)(f(x, y)/g(x, y)) = L1/L2.
DEFINICION 8.4. Sean f : A ⊂ R2 → R, (a, b) un punto de acumulacion de A. Se dice que f es contınua en(a, b) si
∀ε > 0 ∃δ > 0 / ∀(x, y) ∈ A, 0 < ‖(x, y)− (a, b)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− f(a, b)| < ε.
Se dice que f es contınua en A ⊂ R2 si lo es en todo punto de A.
? Dada
f(x, y) ={
x2 + 2y − 1 x ≥ 0;3x + y2 x < 0.
Estudiar continuidad de f en su dominio.? Dada
f(x, y) =
xy2
x2 + y4x 6= 0;
0 x = 0.
Probar que f no es contınua en el origen.
TEOREMA 8.2. La suma, diferencia, producto por un escalar, producto de funciones o cociente (con denominadorno nulo) de funciones contınuas es contınua. La composicion de funciones contınuas es tambien contınua.
DEFINICION 8.5. Un subconjunto M ⊂ R2 se dice compacto si es cerrado y acotado.
TEOREMA (DE WEIERSTRASS). Toda funcion contınua en un compacto alcanza sus extremos absolutos.
170
9. CALCULO DIFERENCIAL EN EL PLANO
DEFINICION 9.1. Dados un vector v = (v1, v2) 6= (0, 0) de R2, f : A ⊂ R2 → R y (a, b) un punto de acumulacionde A, se define la derivada segun este vector de la funcion f en (a, b) como el lımite (si existe)
Dvf(a, b) := limt→0
f(a + tv1, b + tv2)− f(a, b)t
.
Si ‖v‖ = 1, Dvf(a, b) se denomina derivada direccional (en la direccion v).
EJEMPLO 9.1. Si tomamos como vectores los de la base canonica de R2, i.e. e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), entonces lasderivadas direccionales asociadas a estos vectores se denominan derivadas parciales de f en el punto (a, b). Si f esuna funcion escalar de A ⊂ R2 en R de modo que
(x1, x2) 7→ f(x1, x2) ∈ R,
entoncesDei
f(a, b) := Dif(a, b) i = 1, 2.
Dif(a, b) recibe el nombre de derivada parcial de f en (a, b) con respecto a la i-esima variable. Otras formas de
denotar las derivadas parciales son fxi(a, b);
∂f
∂xi(a, b).
PROPOSICION 9.1 (ALGEBRA DE DERIVADAS PARCIALES). Analoga al algebra de derivadas defunciones reales de variable real.
? Obtener los puntos de R2 para los que existen las derivadas parciales y calcularlas:
f(x, y) ={
xey y 6= 0;0 y = 0.
DEFINICION 9.2. Sea f : A ⊂ Rn → Rm de modo que
(x1, . . . , xn) 7→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)) .
Se dice que f es diferenciable en a ∈ A si existe una aplicacion lineal λ
λ : Rn → Rm
tal que
limh
h6=0→0
‖f(a + h)− f(a)− λ(h)‖‖h‖
= 0.
Si existe tal aplicacion λ, necesariamente es unica y se designa por Df(a). La matriz de orden m×n que determinaDf(a) es aquella cuyas entradas son las derivadas parciales de f en a, y que denotaremos por f ′(a). Ası,
f ′(a) =
D1f1(a) · · · Dnf1(a)...
. . ....
D1fm(a) · · · Dnfm(a)
.
La matriz f ′(a) se denomina matriz jacobiana de f en el punto a. Tambien se suele escribir Jf(a).
171
OBSERVACION 9.1. En la definicion anterior a y h son vectores de Rn.
? Relacionar la definicion anterior con la dada para funciones derivables en R.
PROPOSICION 9.2. Sean f, g funciones diferenciables en a ∈ A ⊂ Rn. Se tienen las siguientes propiedades:(1) Si f es diferenciable en a entonces f es contınua en a.(2) D(cf ± g)(a) = cDf(a)±Dg(a) con c ∈ R.(3) D(fg)(a) = Df(a)g(a) + f(a)Dg(a)(4) Si g(x) 6= 0 en A, entonces
D(f/g)(a) =Df(a)g(a)− f(a)Dg(a)
(g(a))2
(5) Si f : Rn → Rm es lineal, entonces f es diferenciable en todo a ∈ Rn y Df(a) = f .(6) Si f es constante en A, entonces f es diferenciable en todo a ∈ A y Df(a) = 0.(7) Sea f una funcion de un abierto A ⊂ Rn en otro abierto B ⊂ Rm, diferenciable en a ∈ A. Sea g una funcion
de B en Rp, diferenciable en b = f(a) ∈ B. Entonces la funcion compuesta g ◦ f de A en Rp es diferenciableen a y D(g ◦ f)(a) = Dg(f(a)) ◦Df(a) (matricialmente es Df(a) ·Dg(f(a))).
(8) Sea f : A ⊂ Rn → Rm, A abierto con a ∈ A y f = (f1, . . . , fm). Entonces f es diferenciable si y solo si loson sus funciones componentes.
DEFINICION 9.3 (R2). Sea f : A ⊂ R2 → R de modo que (a, b) ∈ A con A abierto. Decimos que f esdiferenciable en (a, b) si existen dos numeros α, β ∈ R tales que
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y)− f(a, b)− (α β )(
x− ay − b
)√
(x− a)2 + (y − b)2= 0
siendoα = D1f(a, b) =
∂f
∂x(a, b) y β = D2f(a, b) =
∂f
∂y(a, b).
? Identificar el plano tangente para un punto (a, b) de la superficie z = f(x, y).
DEFINICION 9.4. Sean f : A ⊂ Rn → R y x ∈ A un punto en el que existan las derivadas parciales. Se llamagradiente de f en el punto x, y se designa por ∇f(x), al vector
∇f(x) = (D1f(x), D2f(x), . . . , Dnf(x)).
De este modo, si f es diferenciable (y por tanto, existen las derivadas parciales de f), su diferencial en un punto xes la aplicacion
Df(x) : (h1, . . . , hn) 7→ D1f(x)h1 + · · ·Dnf(x)hn = ∇f(x) · h.
donde · es el producto escalar en Rn (que anteriormente hemos denotado por 〈·, ·〉).
OBSERVACION 9.2. Si f : A ⊂ Rn → R y x ∈ A observese que ∇f(x) es un vector de Rn, Df(x) es unaaplicacion de Rn en R que se representa matricialmente por
f ′(x) = (D1f(x) · · · Dnf(x) ) .
172
TEOREMA 9.1. Sea f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A, A abierto. Si f es diferenciable en a, entonces existen todas lasderivadas direccionales de f en a y Dvf(a) = Df(a)(v)
OBSERVACION 9.3.(1) Dvf(a) es un lımite que de existir es un numero real.(2) Df(a) es una aplicacion lineal de Rn en R cuya representacion matricial es
( D1f(x) · · · Dnf(x) ) .
? Dada
f(x, y) =
x + y +x3y
x4 + y2(x, y) 6= (0, 0);
0 (x, y) = (0, 0).
Determinar la continuidad y diferenciabilidad de f en el origen.
PROPOSICION 9.3. Sea f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A, A abierto. Si f es derivable en a, entonces la derivadadireccional es maxima (en valor absoluto) en la direccion del vector gradiente.
TEOREMA 9.2 (CONDICION SUFICIENTE DE DIFERENCIABILIDAD). Sea f : A ⊂ Rn → R ya ∈ A, A abierto. Supongamos que existen todas las derivadas parciales y son contınuas en un entorno del punto a,entonces f es diferenciable en a.
EJEMPLO 9.2. La condicion anterior no es necesaria:
f(x, y) = (x2 + y2)sen
(1√
x2 + y2
)(x, y) 6= (0, 0)
y f(0, 0) = 0.
DEFINICION 9.5. Sea A ⊂ Rn abierto. Una funcion f : A → R se dice que es diferenciable con continuidad en Asi existen las derivadas parciales Dif(x) y son contınuas en A. El conjunto de tales funciones se denota por C1(A).
TEOREMA 9.3 (DEL VALOR MEDIO EN Rn). Sea f : A ⊂ Rn → R con a, b ∈ A abierto tal que elsegmento que une a con b, y lo denotamos [a, b], tambien esta en A y f diferenciable en ese segmento. Entoncesexiste z ∈ [a, b] tal que
f(b)− f(a) = Df(z)(b− a). (9.3.1)
NOTA: El teorema anterior no es valido para funciones que toman valores vectoriales:
f(t) = (sen(t), cos(t)) en [0, 2π].
La razon es que no hay una relacion directa entre las componentes. Un resultado analogo a (9.3.1) para funcionesde Rn en Rm se tiene tomando h ∈ Rm de modo que existe z ∈ [a, b] tal que
〈h, f(b)− f(a)〉 = 〈h, Df(z)(b− a)〉
doned 〈·, ·〉 es el producto escalar en Rm.
TEOREMA 9.4 (DE LOS INCREMENTOS FINITOS). Sea f : A ⊂ R2 → R de modo que existen susderivadas parciales y (x, y), (a, b) ∈ A. Entonces
f(x, y)− f(a, b) = D1f(t, b)(x− a) + D2f(x, s)(y − b) con t ∈ (x, a), s ∈ (y, b).
173
COROLARIO 9.1. Sea f una funcion diferenciable en un entorno abierto y conexo U , entonces las derivadasparciales son nulas (en U) si y solo si f es constante (en U).
TEOREMA 9.5.(1) Sea f(x, y) diferenciable en un abierto A de R2 y sean u(t), v(t) derivables en un intervalo I de R tales que
(u(t), v(t)) ∈ A para todo t ∈ I. entonces, la funcion compuesta
t 7→ F (t) = f(u(t), v(t))
posee derivada en todo t ∈ I y vale
F ′(t) = D1f(u(t), v(t)) · u′(t) + D2f(u(t), v(t)) · v′(t).
(2) Sea f(x, y) diferenciable en un conjunto abierto A ⊂ R2 y que las funciones u(s, t), v(s, t) tienen derivadasparciales en un abierto D ⊂ R2. Si (u(s, t), v(s, t)) ∈ A para todo (s, t) ∈ D, entonces la funcion compuesta
(s, t) 7→ F (s, t) = f(u(s, t), v(s, t))
tiene derivadas parciales en D y valen
D1F (s, t) = D1f(u(s, t), v(s, t)) ·D1u(s, t) + D2f(u(s, t), v(s, t)) ·D1v(s, t)
D2F (s, t) = D1f(u(s, t), v(s, t)) ·D2u(s, t) + D2f(u(s, t), v(s, t)) ·D2v(s, t)
DEFINICION 9.6. Una funcion f definida en un conjunto abierto U de Rn se dice que es homogenea de grado ken U si para todo x ∈ U se verifica
f(tx1, . . . , xn) = tkf(x1, . . . , xn)
para todo t > 0 suficientemente proximo a 1.
TEOREMA 9.6 (DE EULER). Una funcion diferenciable en U es homogenea de grado k si y solo si
n∑i=1
xiDif(x1, . . . , xn) = kf(x1, . . . , xn)
para todo x ∈ U .
DEFINICION 9.7. Dada la ecuacion F (x, y) = 0 decimos que define implicitamente a y como funcion de x siexiste una funcion f tal que y = f(x) tal que
F (x, f(x)) = 0
en un entorno I de x.
TEOREMA 9.7 (DE LA FUNCION INVERSA). Sea f : A ⊂ Rn → Rn con a ∈ A abierto. Si(1) f es derivable en A.(2) Df es contınua en a.(3) det(Df(a)) 6= 0 (Df(a) es invertible).
Entonces existen dos abiertos U,W ⊂ Rn verificando(i) a ∈ U ⊂ A, f(a) ∈ W con f : U → W biyectiva.(ii) La funcion inversa f−1 : W → U (f−1(y) = x ↔ f(x) = y) es derivable en W y
Df−1(y) =[Df
(f−1(y)
)]−1.
(iii) Df−1 es contınua en f(a). Mas aun, si f ∈ Cp(A) entonces f−1 ∈ Cp(W ).
174
TEOREMA 9.8 (DE LA FUNCION IMPLICITA). Sean f : A ⊂ Rn × Rm → Rm, (a, b) ∈ A abierto cona ∈ Rn, RmF (a, b) = 0 y tal que f(a, b) = 0. Si
(1) f es derivable en A.(2) Df es contınua en a.(3)
det
Dn+1f1(a, b) · · · Dn+1fm(a, b)...
. . ....
Dn+mf1(a, b) · · · Dn+mfm(a, b)
.
Entonces existen dos abiertos U,W tales que(i) (a, b) ∈ U ×W ⊂ A, U ⊂ Rn y W ⊂ Rm.(ii) Existe ϕ : U → W derivable en U y con derivada contınua en a (ϕ ∈ C1(U)) tal que ϕ(a) = b y verificando
f(x, ϕ(x)) = 0 para todo x ∈ U . biyectiva.(iii) ϕ es unica en el siguiente sentido: Si (x, y) ∈ U ×W tal que f(x, y) = 0, entonces y = ϕ(x).
TEOREMA 9.9 (DE LA FUNCION IMPLICITA EN R2). Sea F : U ⊂ R2 → R con F ∈ C1(U), (a, b) ∈ Utal que F (a, b) = 0 y D2F (a, b) 6= 0, entonces existen un entorno Ua de a y una funcion f ∈ C1(Ua), de modo quey = f(x) en Ua y tal que
F (x, f(x)) = 0 para todo x ∈ Ua.
Ademas, se deduce que
f ′(x) = −D1F (x, f(x))D2F (x, f(x))
en Ua.
175
10. EXTREMOS LOCALES
DEFINICION 10.1. Diremos que una funcion f : A ⊂ R2 → R y (a, b) ∈ A tiene un maximo local (resp. mınimolocal) en (a, b) si existe U(a,b) entorno abierto de (a, b) tal que para todo (x, y) ∈ U(a,b) se tiene que f(x, y) ≤ f(a, b)(resp. f(a, b) ≤ f(x, y). Se dice que un extremo es absoluto si alguna de las desigualdades anteriores son validaspara todo el dominio de definicion de f .
TEOREMA 10.1 (CONDICION NECESARIA DE EXTREMO). Si una funcion f : U ⊂ R2 → R esdiferenciable en un punto (a, b) y posee un extremo local en dicho punto, entonces Df(a, b) = 0.
DEFINICION 10.2. Diremos que (a, b) es un punto crıtico para una funcion f : U ⊂ R2 → R si Dif(a, b) = 0con i = 1, 2.
EJEMPLO 10.1. La funcion
f(x, y) =
x2
x2 + y2(x, y) 6= (0, 0);
0 (x, y) = (0, 0),
posee un mınimo local en el origen.
EJEMPLO 10.2. La funcion f(x, y) = x2−y2 posee como punto crıtico el origen pero este no es un extremo local.
DEFINICION 10.3. Diremos que (a, b) es un punto de silla para una funcion f : U ⊂ R2 → R si para toda bolaB((a, b), ε) existen puntos de U en los que f(x, y) < f(a, b) y puntos en los que f(x, y) > f(a, b).
? El origen es punto de silla para el ejemplo 10.2.Dada una funcion f : U ⊂ R2 → R, las derivadas parciales de orden dos se obtienen a partir de las derivadasparciales. Ası,
D1(D1f) = D11f
D2(D1f) = D12f
D1(D2f) = D21f
D2(D2f) = D22f.
Las derivadas parciales de segundo orden D12f, D21f se denominan derivadas cruzadas. Las sucesivas derivadasparciales se obtienen de forma analoga.
DEFINICION 10.4. Se dice que f es dos veces derivable en a si existe Df en un entorno de a y Df es derivableen a. A la segunda derivada en el punto a se le denota por D2f(a).
D2f(a) es una aplicacion lineal definida entre los mismos espacios donde esta definida Df(a) y toma valores enL(R2, R). Luego D2f(a) : R2 → L(R2, R). La derivada segunda de f , D2f(a), se interpreta como una plicacionbilineal. En general, las sucesivas derivadas de f , que denotaremos por Dnf , se interpretan como aplicacionesmultilineales. Si tenemos una funcion f : A ⊂ Rn → Rk, la derivada de orden p de f en un punto de Rn se interpretacomo una aplicacion p-lineal de Rn en Rk.
Las aplicaciones bilineales de Rn en R se pueden identificar con matrices cuadradas de orden n × n. La matrizasociada a D2f(a) se denomina matriz hessiana de f en el punto a. Sus entradas son las derivadas parciales desegundo orden de f :
D2f(a) =(
D11f(a) D12f(a)D21f(a) D22f(a)
)
176
TEOREMA 10.2 (DE HEFFTER-YOUNG). Sea f : U ⊂ R2 → R con U abierto y a ∈ U . Si f es dos vecesderivable en a, entonces
Djkf(a) = Dkjf(a) j, k = 1, 2.
DEFINICION 10.5. Sea A ∈ Mn×n, A simetrica. Se dice que A es definida positiva (resp. semidefinida positiva)si
xAxt > 0 ∀x ∈ Rn\{0}(resp. xAxt ≥ 0 ∀x ∈ Rn\{0}
).
Analogamente se definen definida negativa y semidefinida negativa.
TEOREMA 10.3. Sea A ∈ Mn×n, A simetrica. Son equivalentes:(i) A es definida positiva.(ii) Los autovalores de A son todos positivos.(iii) Siendo
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
entonces
a11 > 0;∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ > 0; · · · ;
∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣ > 0.
TEOREMA 10.4 (CONDICION SUFICIENTE DE EXTREMO). Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion dosveces derivable en un punto (a, b) y Df(a, b) = 0.
(i) Si la matriz hessiana D2f(a, b) es definida positiva, entonces f tiene un mınimo relativo en (a, b).(ii) Si la matriz hessiana D2f(a, b) es definida negativa, entonces f tiene un maximo relativo en (a, b).(iii) Si existen vectores h1, h2 ∈ R2 tales que
h1D2f(a, b)ht
1 > 0 y h2D2f(a, b)ht
2 < 0
entonces f tiene un punto de silla en (a, b).
COROLARIO 10.1. Sea f : U ⊂ R2 → R una funcion dos veces derivable en un punto (a, b) y Df(a, b) = 0.(1) Si ∣∣∣∣D11f(a, b) D12f(a, b)
D21f(a, b) D22f(a, b)
∣∣∣∣ > 0 y D11f(a, b) > 0,
entonces f tiene un mınimo relativo en (a, b).(2) Si ∣∣∣∣D11f(a, b) D12f(a, b)
D21f(a, b) D22f(a, b)
∣∣∣∣ > 0 y D11f(a, b) < 0,
entonces f tiene un maximo relativo en (a, b).(3) Si det(D2f(a, b)) < 0, entonces f tiene un punto de silla en (a, b).(4) Si det(D2f(a, b)) = 0, no hay informacion.
NOTACION. Generalmente D2f(a, b) denota una aplicacion bilineal a la que hacemos corresponder una matriz2 × 2. Esta matriz se denomina matriz hessiana (de f) en (a, b) y se denota por H(a, b). Nosotros usaremosindistintamente D2f(a, b) y H(a, b) dandole a ambas el mismo significado. El determinante de la matriz hessianaen un punto (a, b) se denomina hessiano y se denota por ∆(a, b).
177
TEOREMA 10.5 (DE TAYLOR EN Rk). Sea f : A ⊂ Rk → R una funcion n veces derivable en un entornodel punto a. Definimos el polinomio (en k variables) de Taylor de f en a y de orden n como
Tn(f, a)(h) = f(a) + Df(a)h +12!
D2f(a)(h, h) + · · ·+ 1n!
Dnf(a)
n-veces︷ ︸︸ ︷(h, . . . , h)
donde Dnf(a) son aplicaciones multilineales y h ∈ Rk. Entonces
limh→0
f(a + h)− Tn(f, a)(h)‖h‖n
= 0.
Si f es (n + 1)-veces derivable en a, entonces dado h de un entorno de 0 ∈ Rk, existe θ ∈ (0, 1) tal que
f(a + h)− Tn(f, a)(h) =1
(n + 1)!Dn+1f(a + θh)
(n+1)-veces︷ ︸︸ ︷(h, . . . , h) .
TEOREMA 10.6 (DE TAYLOR EN R2). Sea f : R2 → R una funcion n veces derivable en un entorno delpunto (x, y). Entonces se tiene
f(x + h, y + k) = f(x, y) + Df(x, y) +12!
D2f(x, y) + · · ·+ 1(n− 1)!
Dn−1f(x, y) +1n!
Dnf(x + θh, y + θk)
donde θ ∈ (0, 1).
DEFINICION 10.6. Sea A un abierto de Rn. El problema de determinar los extremos de una funcion f : A → Rsobre un subconjunto G de A se llama problema de extremos condicionados. Analıticamente se expresa como{
min,max f(x)x ∈ G = {x ∈ Rn : g(x) = 0}
donde g es una funcion de Rn que define al conjunto G. La funcion f se denomina funcion objetivo y g ligadura.
TEOREMA 10.7. Si (a, b) es un extremos de f(x, y) condicionada a la ligadura g(x, y) = 0, entonces existe λ ∈ Rtal que
(S)
D1f(a, b) + λD1ϕ(a, b) = 0D2f(a, b) + λD2ϕ(a, b) = 0g(a, b) = 0
Consideramos la funcion auxiliar (llamada tambien lagrangiana) F (x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y) donde la variableauxiliar λ se denomina multiplicador de Lagrange asociada a la restriccion (o ligadura) g(x, y) = 0. Observeseque F ≡ f en los puntos que satisfacen la ligadura. Con estas notaciones el sitema (S) del teorema anterior es lacondicion de punto crıtico para F (DF = 0).
TEOREMA 10.8. Si las soluciones de (S) son extremos de F , entonces son tambien extremos de f condicionadosa g(x, y) = 0.
178
TEOREMA 10.9 (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). Sean f : A ⊂ Rn → R y gi : A ⊂Rn → R i = 1, 2, . . . , m (m < n), A abierto y f, gi ∈ C1(A). Sea
G = {x ∈ Rn : gi(x) = 0 i = 1, 2, . . . , m}
y a ∈ G verificando que existe δ > 0 tal que para todo x ∈ G ∩B(a, δ) se tiene f(x) ≥ f(a) (resp. f(x) ≤ f(a).Entonces existen numeros reales λ0, λ1, . . . , λm no todos nulos tales que
λ0∇f(a)−m∑
i=1
λi∇gi(a) = 0.
Si los vectores ∇gi(a) son linealmente independientes, entonces puedo tomar λ0 = 1.
OBSERVACION 10.1. Notar que si un punto (a, b) solucion del sistema (S) no es extremo para F (p.e. un puntode silla), entonces no podemos asegurar nada para la funcion f . Hay que tratar con otros metodos:
(1) Utilizar el desarrollo de Taylor.(2) Reducir el problema de extremos condicionados a un problema unidimensional.
? Estudiar los extremos de la funcion f(x, y) = xy sujetos a la condicion x2 + y2 = 1.? Encontrar el mınimo de la funcion f(x, y) = x2 + y2 sujeta a la condicion (x + 1)3 + y2 = 0.? Encontrar el mınimo de la funcion f(x, y) = x2 + y2 sujeta a la condicion (x + 1)3 + y2 = 0.? Estudiar los extremos de la funcion f(x, y) = y + x2 − 1 en la circunferencia x2 + y2 = 1.
DEFINICION 10.7. En las condiciones del sistema (S), se llama hessiano orlado al determinante
|H∗| =
∣∣∣∣∣∣0 D1g D2g
D1g D11F D12FD2g D21F D22F
∣∣∣∣∣∣TEOREMA 10.10. Sean f, g : U ⊂ R2 → R con U abierto y f, g ∈ C2(U). Supongamos que (a, b, λ), con∇g(a, b) 6= (0, 0), es punto crıtico del lagrangiano F (x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y). se tiene que
(1) Si |H∗(a, b, λ)| < 0, entonces (a, b) es mınimo local de f restringida a g(x, y) = 0.(2) Si |H∗(a, b, λ)| > 0, entonces (a, b) es maximo local de f restringida a g(x, y) = 0.(3) Si |H∗(a, b, λ)| = 0, entonces no sabemos nada.
179
