2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS...

2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II – TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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- Página 1 -

1 Para g(x) = e1− x + L(x + 2), calcule g´(1). (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

1 x 1 x 1 11 1 1 1 2g´(x) e ( 1) 1 e g´(1) e 1

x 2 x 2 1 2 3 3

2 Calcule g´(3), siendo g(x) = 2x ⋅ e3x−1. (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

3x 1 3x 1 3x 1 3.3 1 8g´(x) 2e 2xe 3 e (2 6x) g´(3) e (2 6.3) 20e

3 Calcule la derivada de las siguientes funciones: 2

3g(x) L(1 x)

(2x 5)

x

3

eh(x)

x 1

(Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

2

4 4 3

0.(2x 5) 3.2(2x 5)2 1 12(2x 5) 1 12 1g´(x) ( 1) g´(x)

1 x 1 x 1 x(2x 5) (2x 5) (2x 5)

x 3 x 2 x 3 2 x 3 2

3 2 3 2 3 2

e .(x 1) e 3x e .(x 1 3x ) e .(x 3x 1)h´(x) h´(x)

(x 1) (x 1) (x 1)

4 Calcule la función derivada de 2x

2 2

ef(x)

( x 2)

. (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

2x 2 2 2x 2 2x 2 2 2x 2

2 4 2 4 2 3

e ( 2)( x 2) e 2( x 2)( 2x) 2e ( x 2)[ ( x 2) ( 2x)] 2e (x 2x 2)f´(x) f´(x)

( x 2) ( x 2) ( x 2)

5 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 2

2

2 5x 1 2xf(x)

3 x

g(x) = (3x+2)2 ln(1 + x2)


2 22

2 4 4 3

1 1 2x 1 2.x (1 2x)2x 50x 20 2x 2x 50x 20 2x 2f(x) (2 5x) f´(x) 2(2 5x)( 5) f´(x)

9 9 9 9x x x x

22 2 2

2 2

1 6x 4xg´(x) 2(3x 2)3 ln(1 x ) (3x 2) .2x g´(x) (3x 2) 6 ln(1 x )

1 x 1 x


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- Página 2 -

6 Sea la función 2

x k, si x 0

x 1f(x)

x 2x 1 , si x 0

. Calcule el valor de k para que la función f sea continua

en x = 0. Para ese valor de k , ¿es f derivable en x = 0? (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

x 0x 0

2

x 0 x 0

22

x klim f(x) lim k

x 1

a) D(f) R y f es continua para x 0. Además lim f(x) lim (x 2x 1) 1

f(0) 1

Para que sea continua en x 0 debe ser k 1 k 1

x 11 , si x 0, si x 0

x 1Para k 1, f(x)x 2

x 2x 1, si x 0

x 0

x 0

.x 1, si x 0

lim f´(x) 00 , si x 0

Para x 0, f´(x) No coinciden las derivadas laterales. no es derivable en x 02x 2, si x 0 lim f´(x) 2

7 Sea la función x

2

3 , si x 1f(x)

x 6x 8 , si x 1

Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. (Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución

x

x

x 1 x 1

2

x 1x 1

1

x

x 1 x 1

3 .ln(3) , si x 1Para x 1, f es derivable (y, por tanto, también continua). Además, f´(x)

2x 6 , si x 1

lim f(x) lim 3 3

lim f(x) lim (x 6x 8) 3 f es continua en x 1

f(1) 3 3

lim f´(x) lim (3 .ln

x 1x 1

(3)) 3.ln(3)

No coinciden las derivadas laterales en x 1lim f´(x) lim (2x 6) 4

Luego, f no es derivable en x 1


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- Página 3 -

8 Sea la función

2x 4x a , si x 2f(x) 1

, si x 2x 1

. Calcule el valor de a para que la función sea continua

en x = 2. Para ese valor de a obtenido, ¿es derivable la función en x = 2? (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

2

x 2 x 2

x 2x 2

x 2 x 2

2x 2x 2

lim f(x) lim (x 4x a) a 4

1lim f(x) lim 1 Para que sea continua en x 2, a 4 1 a 5

x 1

1f(2) 1

2 1

lim f´(x) lim (2x 4) 02x 4 , si x 2

Para x 2, f´(x) 1, si x 2 lim f´(x) lim

(x 1)

2

no coinciden las derivadas laterales.11

(x 1)



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- Página 4 -

9 Se considera la siguiente función: 2

x 2, si x 1

x

f(x) x a , si 1 x 1

x 2, si 1 x

x

Halle los valores de a para los que f es continua y derivable. (Propuesto PAU Andalucía 2002) Solución

2 2

2 2

x 1 x 1

2

x 1x 1

1.x (x 2).1 2, si x 1 , si x 1

x x

Para x 1, x 1, f´(x) 2x , si 1 x 1 2x , si 1 x 1

1.x (x 2).1 2, si 1 x , si 1 x

x x

x 2lim f(x) lim 3

x

lim f(x) lim ( x a) 1 a Para q

f( 1) 1 a

2x 1 x 1

x 1x 1

2

x 1 x 1

x 1x 1

ue sea continua en x 1 debe ser 3 1 a a 4

2lim f´(x) lim 2

x coinciden las derivadas lateraleslim f´(x) lim ( 2x) 2

lim f(x) lim ( x a) 1 a

x 2lim f(x) lim 3 Para

x

f(1) 3

x 1 x 1

2x 1x 1

que sea continua en x 1 debe ser 3 1 a a 4

lim f´(x) lim ( 2x) 2

coinciden las derivadas laterales2lim f´(x) lim 2

x

Por tanto, a 4


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- Página 5 -

10 Sea la función f: R → R definida por x

2

2 , si x 1f(x)

x mx 5 , si x 1

a) Calcule m para que la función sea continua en x = 1. b) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1?


x

x 1 x 1

2

x 1x 1

x x

2

x 1

lim f(x) lim 2 2

a) lim f(x) lim (x mx 5) m 6 Para que sea continua en x 1 debe ser 2 m 6 m 4

f(1) 2

2 , si x 1 2 ln(2) , si x 1b) Para m 4, f(x) . Para x 1, f´(x)

2x 4 , si x 1x 4x 5, si x 1

lim

x 1

f´(x) 2 ln(2)

No coinciden las derivadas laterales. no es derivable en x 1lim f´(x) 2

11 Sea la función

x2 , si x 1f(x) 2

, si x 1x

Estudie la continuidad y la derivabilidad de f. (Propuesto PAU Andalucía 2005) Solución

x

2

x

x 1 x 1

x 1x 1

x

x 1 x 1

2 ln(2) , si x 1

Para x 1, f es derivable (y, por tanto, también continua). Además, f´(x) 2, si x 1

x

lim f(x) lim 2 2

2lim f(x) lim 2 f es continua en x 1

x

2f(1) 2

1

lim f´(x) lim 2 ln(2) 2ln(

2x 1x 1

2)

no coinciden las derivadas laterales en x 1 no es derivable en x 12

lim f´(x) lim 2x


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- Página 6 -

12 Sea la función 2

4x 3 , si x 1

f(x) 2x 1 , si 1 x 1

k 2, si x 1

x

Calcule el valor que debe tomar el parámetro k para que la función sea continua en R y estudie su derivabilidad para el valor de k obtenido. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

x 1 x 1

x 1 x 1

Como f es continua si x 1, x 1, para que sea continua en R debe ser continua en x 1 y en x 1

lim f(x) 1 lim f(x) 1

En x 1 lim f(x) 1 es continua En x 1 lim f(x) k 2 debe ser k 2 1 k 1

f( 1) 1 f(1) k 2

P

2

2

x 1 x 1

x 1

4x 3 , si x 1

ara k 1, f(x) 2x 1 , si 1 x 1.Observamos que

1, si x 1

x

4 , si x 1

si x 1 y 1, f es derivable y f´(x) 4x , si 1 x 1.

1, si x 1

x

lim f´(x) 4 lim

En x 1 es derivable En x 1lim f´(x) 4

x 1

f´(x) 4

no es derivablelim f´(x) 1


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- Página 7 -

13 Estudie la continuidad y la derivabilidad de

2

x 4 , si x 0

4f(x) , si 2 x 4

x

x 4x 1 , si x 4

.


2

x 4 x 4

2

x 4x 4

2

x 4 x

1 , si x 0

4Para x 4, f es derivable (y, por tanto, continua) y f´(x) , si 2 x 4

x

2x 4 , si x 4

4lim f(x) lim 1

x

En x 4 : lim f(x) lim (x 4x 1) 1 f es continua en x 4

f(4) 4 4.4 1 1

lim f´(x) lim

24

x 4x 4

4 1

4x no coinciden las derivadas laterales en x 4lim f´(x) lim (2x 4) 4

Luego, f no es derivable en x 4.

14 Se considera la función f, definida a trozos por la expresión 2x x 6 , si x 2

f(x)x 2 , si x 2

Analice la derivabilidad de la función. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

2, ,

2 1, 2, 2 (́ )

1, 2

Para x f es derivable porque se compone de funciones polinómicas que son derivables

x si xAdemás para x f x

si x

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2.

lim ( ) lim ( x 6) 4

; (2) 4 2. ,lim ( ) lim (x 2) 4

lim (́ ) lim ( 2 1) 3

lim (́ ) lim 1 1

x x

x x

x x

x x

Estudio de la derivabilidad en x

f x x

f f es continua en x Luego f es continua en Rf x

f x x

f NO es derif x

2vable en x porque no coinciden las derivadas laterales


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- Página 8 -

15 Sea la función

2(x 1) , si x 0

1f(x) , si 0 x 2

x

x, si x 2

4

. Estudie la continuidad y derivabilidad.


2

2

x 0 x 0

x 0 x 0

2(x 1) , si x 0

1Si x 0 y x 2, f es derivable (y por tanto, continua) y f´(x) , si 0 x 2

x

1, si x 2

4

lim f(x) lim (x 1) 1

Para x 0, no es continua (y, por tanto, tampoco derivable)1

lim f(x) limx

Para

x 2 x 2

x 2x 2

2x 2 x 2

x 2x 2

1 1lim f(x) lim

x 2

x 1x 2, lim f(x) lim es continua

4 2

2 1f(2)

4 2

1 1lim f´(x) lim

4xno coinciden las derivadas laterales

x 1lim f´(x) lim

4 2



1(x 12) , si x 1

2f(x)

x (x 1) , si x 1

. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica

de la función f(x) en el punto de abscisa x = –2. (Propuesto PAU Andalucía 2015) Solución

0 0 0 0tan : (́ ).( ) ( )La ecuación de la recta gente en x es y f x x x f x

0 0 0

2 12 1 1, 2 , ( ) ( 2) 7. 1, (́ ) , (́ ) (́ 2)

2 2 2

En este caso x f x f Como para x f x f x f

1 1tan : .( 2) 7 : 6

2 2 tgLa ecuación de la recta gente es y x r y x


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- Página 9 -

17 Sea la función x

2

3 , si x 1f(x)

x 6x 8 , si x 1

. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

la función f en el punto de abscisa x = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2009) Solución

0 0 0 0

20 0 0

tg

La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

En este caso, x 3 , f(x ) f(3) 3 6.3 8 1 ; f´(x ) f´(3) 2.3 6 0

La ecuación de la recta tangente a f en x 3 es : y 0.(x 3) 1 r : y 1

18 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

2

x 4 , si x 0

4f(x) , si 2 x 4

x

x 4x 1 , si x 4

en el

punto de abscisa x = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2011) Solución

0 0 0 0

20 0 0

tg

La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

En este caso, x 3 , f(x ) f(3) 3 4.3 1 2 ; f´(x ) f´(3) 2.3 4 2

La ecuación de la recta tangente a f en x 3 es : y 2.(x 3) 2 r : y 2x 8

19 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x3+x2+1 en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución 2

0 0 0 0

0 0 0

tg

f´(x) 3x 2x. La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

En este caso, x 1 , f(x ) f(1) 3 ; f´(x ) f´(1) 5


20 Se considera la función f(x) = x3 – 2x2 + x a) Calcule los puntos de corte con los ejes. b) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de abscisas x = 0 y x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2015)

Solución

a) f(x) = 0 → x3 – 2x2 + x = 0 → x(x2 – 2x + 1) = 0 → x = 0 ; x = 1 .

Los puntos de corte con el eje X son (0, 0) y (1, 0)

El punto de corte con el eje Y es (0, f(0)) = (0, 0)

2) ´( ) 3x 4x 1 b f x

: (́ ).( ) ( ).

0 ( 0); f( ) f(0) 0; (́ ) (́0) 1 : 1.( 0) 0 :

tg

tg tg

r y f a x a f a

En x a a f a f r y x r y x

1 ( 1); f( ) f(1) 0; (́1) (́1) 0 : 0.( 1) 0 : 0tg tgEn x a a f f r y x r y


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- Página 10 -

21 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x 2

g(x)x 1

en el punto de

abscisa x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2012) Solución

02 2

0 0 0 0 0 0

tg

1(x 1) (x 2).1 3f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es :

(x 1) (x 1)

y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 0, f(x ) f(0) 2 ; f´(x ) f´(0) 3


22 Sea la función definida de la forma 2

2x, si x 2

x 1f(x)

2x 10x , si x 2

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. (Propuesto PAU Andalucía 2008)

Solución

2 2

0 0 0 0

0 0 0 2

2(x 1) 2x.1 2, si x 2 , si x 2

Para x 2, f´(x) (x 1) (x 1)

4x 10, si x 2 4x 10, si x 2

La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ).

2.0 2En este caso, x 0 , f(x ) f(0) 0 ; f´(x ) f´(0)

0 1 (0 1)

tg

2

La ecuación de la recta tangente a f en x 0 es : y 2.(x 0) 0 r : y 2x

23 Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x

g(x)x 2

en el punto de

abscisa x = 3. (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

2 2

0 0 0 0

0 0 0 2

1(x 2) x.1 2c) Para x 2, g´(x)

(x 2) (x 2)

La ecuación de la recta tangente a g en x es : y g´(x ).(x x ) g(x ).

3 2En este caso, x 3, g(x ) g(0) 3 ; g´(x ) f´(0) 2

3 2 (3 2)

La ecuación de la recta tangente a g en x 3 es : y 2.(

tgx 3) 3 r : y 2x 9


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- Página 11 -

24 Sea la función

x2 , si x 1f(x) 2

, si x 1x

. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f

en el punto de abscisa x = 2. (Propuesto PAU Andalucía 2005) Solución

0 0 0 0

0 0 0 2

tg

La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x ).

2 2 1En este caso, x 2 , f(x ) f(2) 1 ; f´(x ) f´(2)

2 22

1 1La ecuación de la recta tangente a f en x 2 es : y .(x 2) 1 r : y x 2

2 2

25 Sea la función f(x) = −2x3 + x – 1. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = − 1. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

f´(x) = −6x2 + 1

0 0 0 0 0 0: (́ ).( ) ( ). En este caso, 1; f( ) f( 1) 0; (́ ) (́ 1) 5tgr y f x x x f x x x f x f

: 5.( 1) 0 : 5 5tg tgr y x r y x

26 Sea la función 2x 6x 1 , si x 2

f(x)2x 2 , si x 2

. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica

de la función en el punto de abscisa x = – 2. (Propuesto PAU Andalucía 2013) Solución

0 0 0 0

0 0 0

tg

2x 6 , si x 2Si x 2, f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

2 , si x 2

En este caso, x 1 , f(x ) f( 1) 8 , f´(x ) f´( 1) 8


27 Sea la función dada por

2x 2x , si x 2f(x) x 3

, si x 2x 1

. Determine la ecuación de la recta tangente a la

gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 2014) Solución

0 0 0 02

0 0 0

tg

2x 2, si x 2

Si x 2, f´(x) . La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )4, si x 2

(x 1)

En este caso, x 1 , f(x ) f(1) 3 , f´(x ) f´(1) 4


1


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28 Dada la función f(x) = 2x2 + ax + b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en x = – 2.


2La gráfica pasa por (1, 3) f(1) 3 2.1 a.1 b 3 a b 1f´(x) 4x a a 8 b 7

Alcanza un extremo en x 2 f´( 2) 0 4( 2) a 0 a 8

29 Halle los valores de a y b para que la función b

g(x) axx

tenga un extremo relativo en el

punto (1, 2). (Propuesto PAU Andalucía 2008) Solución

2

bObservamos que g´(x) a

x

Como debe pasar por (1, 2) g(1) 2 a b 2 a b 2a 1 b 1

Como debetener un extremo relativo en x 1 g´(1) 0 a b 0 a b 0

30 Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f(x) =ax3 + 3x2 − 5x + b pase por el punto (1, −3) y tenga el punto de inflexión en x = −1. (Propuesto PAU Andalucía 2006)

Solución 2Observamos que f´(x) 3ax 6x 5 ; f´´(x) 6ax 6

Como debe pasar por (1, 3) f(1) 3 a 3 5 b 3 a b 1 a b 1a 1 b 2

Como debetener un punto de inflexión en x 1 f´´( 1) 0 6a 6 0 a 1 a 1

31 Sea la función f(x) = 2x3 + ax2 – 12x + b. a) Halle a y b para que la función se anule en x = 1 y tenga un punto de inflexión en x = –1/2. b) Para a = –3 y b = 2, calcule sus máximos y mínimos relativos. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución 2a) Observamos que f´(x) 6x 2ax 12 ; f´´(x) 12x 2a

Como se debe anular en x 1 f(1) 0 6 2a 12 b 0 2a b 62a b 6

a 3 b 01 1a 3Como debetener un punto de inflexión en x f´´( ) 0 6 2a 0 a 3

2 2

3 2 2b) Para a 3 , b 2, f(x) 2x 3x 12x 2 ; f´(x) 0 6x 6x 12 0 x 1, x 2

x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2

f´(x) 0 0

f(x) Máximo Mínimo

x 1 x 2Máximo M(1, 9) ; Mínimo N(2, 18)

y f( 1) 9 y f(2) 18

ր ց ր


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32 Se considera la función

2x 2 , si 0 x 2f(x) 8x 10

, si x 2x 1

¿Es creciente la función en x = 3? (Propuesto PAU Andalucía 2015) Solución

2

2

2, 0 28 10 2

10, ( ) . 3 (2, ), intervalo ( ) (́ ) 0,8 101 ( 1), 2

1

(́3) 0 , tan 3

x si xx

Para a f x Como en ese f x f xxx xsi x

x

luego f y por to f es creciente en x

33 Sea la función definida para todo número real x por f(x) = (1/3)x3 – 4x. Determine sus intervalos de monotonía y sus extremos. (Propuesto PAU Andalucía 2007)

Solución

2f´(x) x 4 0 x 2

x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2

f´(x) 0 0 creciente en ( , 2) (2, ) , decreciente en ( 2, 2)


x 2 x 216 16

Máximo : M( 2, ) ; Mínimo : N(2, )16 163 3y f( 2) y f(2)

3 3

∪

ր ց ր

34 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 – 4x + 2 en su punto de inflexión. (Propuesto PAU Andalucía 2004)

Solución

2

x 0 x 0 x 0

y´ 3x 4 ; y´´ 6x 0 x 0 y´´ 0 Punto de inf lexión : x 0, y f(0) 2 I(0, 2)

y inf lexión

0 0 0 0

20 0 0

tg

y f(x). La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

En este caso, x 0 , f(x ) f(0) 2; f´(x ) f´(0) 3.0 4 4



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 14 -

35 Determine los extremos locales de

2

x 4 , si x 0

4f(x) , si 2 x 4

x

x 4x 1 , si x 4

. (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

2

1 , si x 0

4f´(x) , si 2 x 4 ; f´(x) 0 2x 4 0, x 4 (imposible)

x

2x 4 , si x 4

x 0 x 2 2 x 4 x 4 x 4

f´(x) Mínimo en x 4 , y 1 M(4, 1)

f(x) 1 (mínimo)

ց ց ր

36 Sea la función 2 31f(x) 2x x

3 . Calcule:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Las coordenadas de sus extremos relativos. c) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.


2

2 2

x 0 x 0 0 x 4 x 4 x 4

a) f´(x) 0 4x x 0 x 0, x 4 f´(x) 0 0

32f(x) 0 (mínimo) (máximo)

3

Decreciente en ( , 0) (4, ) creciente en (0,4)

x 4x 0 32

b) Mínimo M(0, 0) ; máximo N(4, )32y 0 3y

3

c) f´(x) 4 4x x 4 x 4x 4 0 x

ց ր ց

∪

x 216

2 P(2, )163y f(2)

3


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 15 -

37 Sea la función f(x) = x3 – 1. a) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y extremos relativos, si los tuviese. b) Determine su curvatura y punto de inflexión. c) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3.


3

2

puntos de corte con el eje X : y 0 ; x 1 0 x 1 P(1, 0)a)

punto de corte con el eje Y : (0, f(0)) Q(0, 1)

x 0 x 0 x 0

f´(x) 0 3x 0 x 0 f´(x) 0 f es creciente; no hay extremos relativos

f(x)

x 0 x 0 x 0

b) f´´(x) 0 6x 0 x 0 f´´(x)

ր ր

2

0

f(x) 1 (inf lexión)

f es cóncava en ( , 0) y convexa en (0, ) ; Punto de inf lexión : Q(0, 1)

x 1 x 1c) f´(x) 3 3x 3 x 1 P(1, 0) ; R( 1, 2)

y f(1) 0 y f( 1) 2

38 De una función f se sabe que su función derivada es f´(x) = 3x2 – 9x + 6 a) Estudie la monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. (Propuesto PAU Andalucía 2004)

Solución 2a) Monotonía : f´(x) 0 3x 9x 6 0 x 1, x 2

x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2

f´(x) 0 0 creciente en ( , 1) (2, ) , decreciente en (1, 2)


3Curvatura : f´´(x) 0 6x 9 0 x

2

3 3 3x x x

2 2 2

f´´(x) 0 cóncav

f(x) inf lexión

∪

ր ց ր

3 3a en , y convexa en ,

2 2

0

20 0 0 0 0 0

t

b) Como la gráfica pasa por (0, 1), f(0) 1. La ecuación de la recta tangente a f en x es :

y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 0 , f(x ) f(0) 1; f´(x ) f´(0) 3.0 9 .0 6 6

La ecuación de la recta tangente a f en (0, 1) es : y 6.(x 0) 1 r

g : y 6x 1


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 16 -

39 De la función f se sabe que su función derivada es f´(x) = 3x2 – 8x + 5 a) Estudie la monotonía y la curvatura de f. b) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. (Propuesto Selectividad Andalucía 2012)

Solución

5 5 5x 1 x 1 1 x x x

3 3 35

a)f´(x) 0 x 1, x f´(x) 0 03

f(x) mínimo

5 5f es creciente en( ,1) ( , ) y decreciente en (1, )

3 3

4 4 4x x x

3 3 34 4 4

f´´(x) 0 6x 8 0 x f´(x) 0 f es cóncava en( , ) y convexa en ( , )3 3 3

f(x)

ր ց ր

∪

0 0 0 0

0 0 0

tg

b) La ecuación de la recta tangente a f en x es : y f´(x ).(x x ) f(x )

En este caso, x 1 , f(x ) f(1) 1 ; f´(x ) f´(1) 0

La ecuación de la recta tangente a f en (1, 1) es : y 0.(x 1) 1 r : y 1

40 La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (−3, 0) y (3, 0). A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.


x 3 x 3 3 x 3 x 3 x 3

f´(x) 0 x 3 , x 3 f´(x) 0 0

f(x) mínimo máximo

f es decreciente en ( , 3) (3, ) y creciente en ( 3, 3)

ց ր ց

∪


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 17 -

41 Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función cuya función derivada viene dada gráficamente por la recta que pasa por los puntos (–1, 0) y (0, 1). (Propuesto PAU Andalucía 2000)

Solución

x 1 x 1 x 1

f´(x) 0 x 1 f´(x) 0 f es decreciente en ( , 1) y creciente en ( 1, )

f(x) mínimo

ց ր

42 Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de

enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:

2t , si 0 t 5P(t) 100t 250

, si t 5t 5

.

a) Estudie la derivabilidad de P en t =5. b) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas. (Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución

2

2

t 5 t 5

t 5t 5

t 5

2t , si 0 t 5

a) Para t 5, P(t) es derivable (y, por tanto, continua) y P´(t) 750, si t 5

(t 5)

lim P(t) lim t 25

100t 250lim P(t) lim 25 P es continua en t 5

t 5

100.5 250P(5) 25

5 5

lim P´(t) lim

t 5

2t 5t 5

(2t) 10

no coinciden las derivadas laterales en t 5750lim P´(t) lim 7,5

(t 5)

Luego, P(t) no es derivable en t 5.

2

2t 0 , si 0 t 5

b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento : P´(t) 0 t 07500 , si t 5

(t 5)

Si t 0, P´(t) 0, luego P es creciente. Por tanto, el porcentaje de células

afectadas va aumentando con el tiempo


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 18 -

43 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en 2km ,

viene dada por la función 11t 20

f(t)t 2

, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a

observarla. Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo. (Propuesto PAU Andalucía 2012) Solución

2 2

11.(t 2) (11t 20).1 2Como f´(t) 0 f es creciente. Luego, la mancha crece con el tiempo

(t 2) (t 2)

44 Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de

gasolina, c(x), expresado en litros, viene dado por la función c(x) = 7.5 – 0.05x + 0.00025x2, siendo x la velocidad en km/h y 25 ≤ x ≤ 175 a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h. b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) c) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos? (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

a) c(50) 5,625 c(150) 5,625. Luego, a ambas velocidades consume 5,625 litros

x 25 25 x 100 x 100 100 x 175 x 175

b) f´(x) 0 0,05 0,0005x 0 x 100 f´(x) 0

f(x) 6,40625 5 mínimo 6,40625

decreciente en (25, 100) y creciente en (100,175)

ց ց ր ր

c) A 100 km / h se obtiene el mínimo consumo (5 litros)

A 25 km / h y a 175 km / h el máximo consumo (6,40625 litros)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 19 -

45 El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la

función B(t) expresada a continuación

21t t 5 , si 0 t 6

8B(t)

t 1, si 6 t 12

2

, t es el tiempo transcurrido en

meses. a) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses. b) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio? (Propuesto PAU Andalucía 2011)

Solución

2

t 6 t 6

t 6t 6

2

t 6 t

1t 1, si 0 t 6

4a) Para t 6, B(t) es derivable (y, por tanto, continua) y B´(t)

1, si 6 t 12

2

1 7lim B(t) lim ( t t 5)

8 2

t 1 7lim B(t) lim B es continua en t 6

2 2

1 7B(6) 6 6 5

8 2

lim B´(t) lim

6

t 6t 6

1 1( t 1)4 2

coinciden las derivadas laterales en t 61 1

lim B´(t) lim2 2

Luego, B(t) es derivable en t 6.

t 0 0 t 4 t 4 4 t 6 t 6 6 t 12 t 12

b) B´(t) 0 t 4 B´(t) 0

B(t) 5 3 (mínimo) 6,5

El beneficio fue mínimo a los 4 meses y fue de 3000 €

ց ց ր ր ր ր

46 Represente la gráfica de f(x) = – x2 + 2x – 1 y halle la ecuación de la recta tangente a esta gráfica en el punto de abscisa x = – 2. (Propuesto PAU Andalucía 2014)

Solución

2

0

0 0 0 0 0 0

tg

f(x) x 2x 1; f´(x) 2x 2. La ecuación de la recta tangente a f en x es :

y f´(x ).(x x ) f(x ). En este caso, x 2 , f(x ) f( 2) 9 ; f´(x ) f´( 2) 6

La ecuación de la recta tangente a f en x 2 es : y 6 .(x 2) 9 r : y 6x 3


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 20 -

47 Sean las funciones f(x) = x2 − 4x + 6 , g(x) = 2x − x2. a) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente. b) Determine el valor de x para el que se hace mínima la función h(x) = f(x) – g(x).


2Eje X : x 4x 6 0 (incompatible) No corta al eje Xa) Para f(x) : Puntos de corte con los ejes

Eje Y : punto (0, f(0)) (0, 6)

Vértice : f´(x) 0 2x 4 0 x 2 ; y f(2) 2. Luego,V(2, 2) ; Curvatura : f´´(x) 2 0 f es convexa

Para g(x) : Puntos

2Eje X : 2x x 0 x 0, x 2 puntos : (0, 0) y (2, 0)de corte con los ejes

Eje Y : punto (0, g(0)) (0, 0)

Vértice : g´(x) 0 2 2x 0 x 1 ; y g(1) 1. Luego,V(1, 1) ; Curvatura : g´´(x) 2 0 g es cóncava

2 2 2 3b) h(x) x 4x 6 (2x x ) 2x 6x 6 . Si h(x) se hace mínima h´(x) 0 4x 6 0 x

2

3 3h´´(x) 4 ; h´´( ) 0 En x hay un mínimo

2 2


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 21 -

48 Sea la función 3 x

f(x)x 1

a) Determine su dominio y asíntotas. Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine sus máximos y mínimos relativos, si los hubiere. Estudie su crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. c) Represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

a) Si x 1 , 2

2f(1). Luego, D(f) R 1 . Para x 1, f es continua y derivable, con f´(x)

(x 1)

En x 1, no es continua (pues

x 1

x 1

x

f(1)) y tampoco derivable

2lim f(x)

0Como la A.V. es la recta de ecuación x 1

2lim f(x)

0

Como lim f(x) 1 la A.H. en es la recta de ecuación y 1

2

3

2b) f´(x) 0 f es decreciente. Luego, no tiene máximos ni mínimos relativos

(x 1)

x 1 x 1 x 14

f´´(x) 0 4 0 (imposible) f´´(x)(x 1)

f(x)

Es cóncava en ( , 1) y convexa en (1, )


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 22 -

49 Sea la función f definida mediante x 1

f(x)2x 1

a) Determine los puntos de corte con los ejes. b) Estudie su curvatura. c) Determine sus asíntotas. d) Represente la función. (Propuesto PAU Andalucía 2008)

Solución

x 1Eje X : 0 x 1 punto ( 1,0)

a) Puntos de corte con los ejes 2x 1

Eje Y : punto (0, f(0)) (0, 1)

2

2 2 4 4 3

1.(2x 1) (x 1).2 3 0.(2x 1) ( 3).2(2x 1).2 12(2x 1) 12b) f´(x) ;f´(x)

(2x 1) (2x 1) (2x 1) (2x 1) (2x 1)

1 1 1x x x

2 2 2

f´´(x) 0 (imposible) f´´(x)

f(x)

1 1f es cóncava en ( , ) y convexa en ( , )

2 2

x x x

1x

2

1x

21

x2

x 1 11

1 1x x xlim f(x) lim lim La A.H. en es la recta y2x 1 1 2 22x x x

1,5c) lim f(x)0

1,5 1lim f(x) La A.V. es la recta x

1,50 2lim f(x)

0


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 23 -


x 1 , si x 2f(x) 4

x 4 , si x 2

. Represente gráficamente la función y halle la ecuación de

la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = –1. (Propuesto PAU Andalucía 2016)

Solución

0 0 0 0

0 0 0

tg

1x , si x 2

Para x 2, f´(x) y la ecuación de la recta tangente a f en x es y f´(x ).(x x ) f(x ).2

1 , si x 2

5 1En este caso, x 1 , f(x ) f( 1) ; f´(x ) f´( 1)

4 2

1 5La ecuación de la recta tangente a f en x 1 es : y .(x 1) r :

2 4

1 3y x

2 4

51 Represente gráficamente la función

21,5x 2x , si x 2f(x) x

0,5, si x 22

(Propuesto PAU Andalucía 2012)

Solución


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 24 -

52 Sea la función

2(x 1) , si x 0

1f(x) , si 0 x 2

x

x, si x 2

4

. a) Represéntela gráficamente.

b) Calcule sus extremos relativos y asíntotas horizontales y verticales. (Propuesto PAU Andalucía 2003)

Solución

2

2(x 1) , si x 0

1b) f´(x) , si 0 x 2 ; f´(x) 0 x 1

x

1, si x 2

4

x 1 x 1 1 x 0 x 0 0 x 2 x 2 x 2

f´(x) 0

2

x x

x x

x 0

x 0

1f(x) 0 (mínimo) 1 (mínimo)

2

x 2x 1 1

Mínimo M( 1, 0) Mínimo N(2, )1y f( 1) 0 2y f(2)

2

lim f(x) lim (x 1) No hay A.H. en

xlim f(x) lim No hay A.H. en

4

lim f(x) 1

L1lim f(x)

0

ց ր ց ր

a A.V. es la recta x 0 (el eje Y)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 25 -


2x 1 , si x 2f(x)

x 8x 17 , si x 2

a) Represéntela gráficamente y estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. c) Los extremos hallados anteriormente, ¿son puntos donde f(x) = 0? Razone la respuesta.


x 2 x 2

2

x 2x 2

2

x 2 x 2

x 2

2 , si x 2a) Si x 2, f es derivable (y por tanto, continua) y f´(x)

2x 8 , si x 2

lim f(x) lim (2x 1) 5

Para x 2, lim f(x) lim (x 8x 17) 5 es continua

f(2) 2 8.2 17 5

lim f´(x) lim 2 2

lim f´(x)

x 2

no coinciden las derivadas lateraleslim (2x 8) 4


x 2 x 2 2 x 4 x 4 x 4

b) f´(x) 0 2x 8 0 (x 2) x 4 f´(x) 0

f(x) 5 (máximo) 1 (mínimo)

creciente en ( , 2) (4, ) ; decreciente en (2, 4)

x 2 x 4Máximo M(2, 5) Mínimo N(4, 1)

y f(2) 5 y f(4) 1

ր ց ր

∪

c) No, pues f(2) 5 0 y f(4) 1 0


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 26 -

54 Dada la función 2

3, si x 1

2 xf(x)

4x x , si x 1

. Represéntela gráficamente, determinando previamente:

cortes con los ejes, crecimiento, extremos y asíntotas. (Propuesto PAU Andalucía 1998) Solución

2

30 , si x 1

2 xEje X : x 4 punto (4,0)

Puntos de corte con los ejes 4x x 0 , si x 1

3Eje Y : punto (0, f(0)) (0, )

2

2

x x

3, si x 1

Para x 1, f´(x) ; f´(x) 0 4 2x (x 1) x 2(2 x)

4 2x , si x 1

x 1 x 1 1 x 2 x 2 x 2

f´(x) 0

f(x) 3 4 (máximo)

x 2creciente en ( , 2) ; decreciente en (2, ) ; Máximo M(2, 4)

y f(2) 4

3lim f(x) lim 0 A.H

2 x

ր ր ր ց

2

x x

. en : y 0

lim f(x) lim (4x x ) No hay A.H. en

Observamos que f es continua No hay A.V.


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2

x 2x 3 , si x 1f(x)

x 6x 5 , si x 1

Represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales.


Creciente en ( , 1) (3, ) ; decreciente en el intervalo ( 1, 3)

Máximo (relativo) para x 1, y 4 (V( 1, 4)) ; mínimo (relativo) para x 3, y 4 (V´(3, 4))

∪

56 Sea la función

2x , si x 1

1f(x) , si 1 x 2

x

x 1, si x 2

2

. Represéntela gráficamente.



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- Página 28 -

57 Sea la función

2

2

x, si x 2

2

f(x) x 4 , si 2 x 4

(x 4) , si x 4

a) Represéntela gráficamente. b) Halle sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 2000)

Solución

b) Creciente en (0, 2) (4, ) ; decreciente en ( , 0) (2, 4) ∪ ∪

58 El beneficio de una empresa viene dado por la función

f(x) = (225/2) + 20x – (1/2)x2 donde x representa el gasto en publicidad. a) Calcule el gasto x a partir del cual la empresa no obtiene beneficios. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esa función. c) Represente gráficamente la función f. d) Calcule el valor de x que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese beneficio máximo?


como x 02

x 0 0 x 45 x 45 x 45225 1

a) f(x) 0 20x x 0 x 45 225f(x) 02 2

2

Luego, a partir de x 45 la empresa no obtiene beneficios

x 0 0 x 20 x 20 x 20

b) f´(x) 0 20 x 0 x 20 f´(x) 0

f(x) máximo

creciente en (0, 20) y decreciente en (20, )

ր ր ց

d) x 20, con un beneficio de 312,5


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- Página 29 -

59 Una empresa de automóviles ha estimado que su beneficio B, en millones de pesetas, depende del tiempo t, en minutos, que dedica diariamente a publicidad, según la función

B(t) = –1,5t2 + 168t – 954 a) Calcule los minutos diarios que debe, dedicar a publicidad para obtener un beneficio máximo. ¿Cuál es ese beneficio? b) Calcule en qué intervalo debe estar comprendido el tiempo diario dedicado a publicidad para que la empresa obtenga beneficio positivo. c) Dibuje la gráfica de la función B(t). (Propuesto PAU Andalucía 1998)

Solución

a) B´(t) 0 3t 168 0 t 56. B´´(t) 3. B´´(56) 3 0 (en t 56 hay un máximo).

Como B(56) 3748, el beneficio máximo es 3748 € y se obtiene dedicando diariamente 56 min a publicidad

2b) Observa que B(t) 0 1,5t 168t 954 0 t 6, t 106

0 t 6 t 6 6 t 106 t 106 t 106Luego, la respuesta es : en el intervalo (6, 106)

B(t) 0 0


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60 El beneficio en euros que obtiene una empresa al vender x unidades de un artículo viene dado

por la función B(x) = −x2 + 360x – 18000 , 50 ≤ x ≤ 350 . a) ¿Cuál es el beneficio obtenido si vende 100 unidades? ¿Cuántas unidades debe vender para obtener un beneficio de 13 500 €? b) ¿Cuál es el número de unidades que debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende ese beneficio? c) Represente gráficamente la función y determine cuántas unidades hay que vender para no obtener pérdidas. (Propuesto PAU Andalucía 2017)

Solución 2 2a) x 100 B(100) 8 000 € ; B(x) 13500 x 360x 18000 13500 x 360x 31500 0

x 150 , x 210. Luego, vendiendo 150 unidades ó 210 unidades el beneficio es de 13500 €

b) Si B(x) es máximo B´(x) 0 2x 360 0 x 180 , B(180) 14 400

x 50 50 x 180 x 180 180 x 350 x 350

B´(x) 0

B(x) 2500 14 400 (máximo) 14500

Luego, vendiendo 180 unidades se obtiene el beneficio máximo de 14 400 €

ր ց

c) Para no obtener pérdidas debe ser B(x) 0. Como B(x) 0 x 150, x 210

x 50 50 x 150 x 150 150 x 210 x 210 210 x 350 x 350

B(x) 2500 0 0 14500

Luego, para no tener pérdidas se deben vender entre 150 y 210 unidades


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61 Los ingresos I(x) y los costes anuales C(x), en millones de pesetas, de una fábrica de bolígrafos, dependen del precio de venta x de cada bolígrafo (en pesetas) según las funciones:

I(x) = 4x – 9 y C(x) = 0,01x2 + 3x. El beneficio anual es B(x) = I(x) – C(x). a) ¿Cuál debe ser el precio de venta para obtener el máximo beneficio? b) ¿Cuál es ese beneficio máximo? c) Represente gráficamente la función beneficio. d) Razone (sobre la gráfica o con la función B(x)) para qué precios de venta tendría perdidas esta empresa. (Propuesto PAU Andalucía 1999)

Solución 2 2a) B(x) 4x 9 (0,01x 3x) 0,01x x 9 ; B´(x) 0 0,02x 1 0 x 50

Como B´´(x) 0,02 , B´´(50) 0,02 0 x 50 es un máximo. Luego, el precio debe ser 50 ptas

b) B(50) 16 ptas de beneficio máximo

2d) B(x) 0 0,01x x 9 0 ; como B(x) 0 x 10 , x 90

x 10 x 10 10 x 90 x 90 x 90

B(x) 0 0

Luego, para precios menores de 10 ptas o mayores de 90 ptas habría pérdidas


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62 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado

por: f(t) = −t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7 a) Represente la gráfica de la función f. b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este? (Propuesto PAU Andalucía 2005)

Solución

6 (a los 6 años)

y asciende a 5 millones de €

4 (a los 4 años)

y 1millón de €

Alcanza su máximo beneficio para t

Su mínimo beneficio se alcanza para t

es de

63 El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la

función: B(x) = 0.01x2 + 3.6x 180. a) Represente gráficamente esta función. b) Determine el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo. c) Determine cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas. (Propuesto PAU Andalucía 2002)

Solución

) 180 ( , 144 €)

) 300 kg como máximo (y 60 kg como mínimo)

b kg beneficio máximo

c


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64 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “h” (en metros) a la que se

encuentra en cada instante “t” (en segundos) viene dada por la expresión: h(t) = –5t2 + 40t a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? b) Represente gráficamente la función h(t). c) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura? d) ¿En qué instante llega al suelo?

(Propuesto Selectividad Andalucía 2001) Solución

4 , 80

6 (está ) 60

8 , 0

A los s alcanza la altura máxima m

A los s cayendo alcanza una altura de m

A los s llega al suelo pues la altura es

2º BACHILLERATO – MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS...

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