2º de bachillerato Matemáticas II Bloque 4 - Estadística y ...€¦ · IES VICENTE MEDINA CURSO...

2º de bachillerato Matemáticas II Bloque 4 - Estadística y probabilidad

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TEMA 10. Probabilidad ................................................................................ 6

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral. ................................................... 6

2. Sucesos. Operaciones con sucesos. ............................................................. 8

3. Definición de Probabilidad. Propiedades. ..................................................... 14

3.1. Definición de Laplace ..................................................................... 14

3.2. Propiedades ................................................................................ 14

4. Regla de la suma .................................................................................. 17

Sucesos incompatibles ........................................................................... 17

Sucesos compatibles ............................................................................. 17

5. Regla del producto. Probabilidad en experimentos compuestos. ......................... 19

6. Probabilidad condicionada ...................................................................... 19

Probabilidad de sucesos independientes y dependientes .................................. 23

7. Teorema de la probabilidad total. Diagrama de árbol. ..................................... 26

8. Tablas de contingencia. ......................................................................... 31

9. Teorema de Bayes ................................................................................ 34

10. Formulario de probabilidad ................................................................... 38

Ejercicios ..................................................................................... 40

Tema 11. Distribuciones de probabilidad. ........................................................ 47

1. Distribución de probabilidad .................................................................... 50

2. Distribuciones de probabilidad discretas ...................................................... 51

2.1. Función de probabilidad .................................................................. 51

2.2. Función de distribución ................................................................... 52

2.3. Media y varianza de una distribución de probabilidad discreta..................... 53

3. Distribución binomial ............................................................................. 59

3.1. Probabilidad de r éxitos .................................................................. 60

3.2. Media y varianza de la binomial B(n, p) ................................................ 65

4. Distribuciones de probabilidad continua ...................................................... 69

4.1. Función de probabilidad .................................................................. 69

IES VICENTE MEDINA CURSO 2020/21

2

4.2. Función de distribución ................................................................... 70

4.3. Media y varianza ........................................................................... 71

5. Distribución de probabilidad normal ........................................................... 71

5.1. Distribución normal de media 0 y desviación típica 1: Z = N(0, 1). Distribución normal estándar. ................................................................................. 74

5.2. ¿Cómo calcular la probabilidad pedida usando la tabla y sus características: simetría y área total = 1? ....................................................................... 77

5.3. Cálculo del valor de z a partir de su probabilidad asociada ......................... 79

5.4. Tipificación ................................................................................. 80

Ejercicios: ............................................................................................ 81

Distribución Binomial ..................................................................... 81

Distribución Normal ..................................................................... 83

Ejercicios resueltos de probabilidad ............................................................. 85

Ejercicios resueltos de distribuciones de probabilidad ...................................... 121

Probabilidad y estadística en pruebas EBAU de ESPAÑA ..................................... 132

Probabilidad y estadística en pruebas EBAU de Murcia ...................................... 154

Orientaciones EBAU. Bloque de estadística y probabilidad. ................................ 158

Tablas de distribución binomial y normal (0, 1) ............................................. 160


3

Veo matemáticas por todas partes. Y tú, ¿también la ves?

Monos escribiendo libros

En el episodio Última salida a Springfield, de 1993,

Homer es elegido presidente del sindicato de la central nuclear de Springfield. El señor Burns, propietario de la planta atómica, le invita a su mansión para ganárselo. En el caserón, Homer ve una habitación con mil monos aporreando mil máquinas de escribir. Burns le explica que los animales escribirán la mejor novela de la historia.

El argumento hace referencia a un problema manejado desde hace un siglo en el cálculo de probabilidades. Claudio Horacio Sánchez recuerda uno de sus enunciados más conocidos: si un millón de monos teclearan al azar en un millón de máquinas de escribir, al cabo de un millón de años habrían escrito todas las obras de Shakespeare. “Este problema fue realmente llevado a la práctica en julio de 2003, con un programa que simulaba la acción de los monos. Más de un año después, el programa produjo un pequeño fragmento, de veinticuatro letras, de Enrique IV”, escribía en su artículo en la revista Números.

La lotería de Navidad

La probabilidad de que toque 'El Gordo' de Navidad, es la misma que hallar un grano rojo en 2,7 kilos de arroz. La probabilidad de que un décimo de la Lotería de Navidad sea agraciado con 'El Gordo' es de una entre 100.000, es decir, de 0,00001, la misma que

encontrar un grano pintado de rojo en 2,7 kilos de arroz, según el presidente de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM), Onofre Monzó.

La ley de Murphy

Estas tomando un delicioso desayuno con café y, accidentalmente, la deliciosa tostada de mantequilla cae al suelo, ¿de qué lado llegará al suelo? De acuerdo con la ley de Murphy, la probabilidad de que el pan caiga del lado de la mantequilla, girado hacia abajo, es proporcional al valor de la alfombra.


4

El problema de Monty Hall

Estás en un concurso de un show de televisión y el presentador te muestra tres puertas. Detrás de una de estas puertas hay un coche nuevo. Detrás de las otras dos puertas hay dos cabras. Tú tienes que escoger una puerta. Luego, el presentador abrirá una de las puertas que no elegiste y revelará una de las cabras. ¿Qué interesa? ¿Quedarte con la puerta que elegiste o cambiarla por la otra? Interesa cambiar de puerta. Digamos que elegiste la puerta 1, estas son las distintas posibilidades que se pueden plantear:

Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3 Resultado

Si cambia Si no cambia

Coche Cabra Cabra Cabra Coche

Cabra Coche Cabra Coche Cabra

Cabra Cabra Coche Coche Cabra

Si mantienes tu elección ganarás en 1 de las 3 opciones posibles. Si cambias de puerta ganarás en 2 de las 3 opciones posibles.

La paradoja del cumpleaños

¿Cómo dirías que es la probabilidad de que en un grupo de 23 personas dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día del año? ¿Coincide tu intuición con lo que dicen las matemáticas?

La paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%.

Lo comprobaremos cuando tengamos un mayor dominio de combinatoria y probabilidad.


5

La paradoja de la caja de Bertrand

Te ponen delante 3 cajas: una tiene dos barras de plata, otra dos de oro y la tercera una de cada. Sacas la primera y es de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la otra también lo sea? ¿Del 50%? ERROR.

Este es un ejemplo de cómo el razonamiento intuitivo puede engañarnos. Para comprender mejor la situación y calcular la probabilidad de que la segunda barra sea también de oro, etiquetemos las barras:

Sacas la primera barra y es de oro. Ahora debes calcular la probabilidad de que la siguiente sea de oro. En la tabla se aprecian las distintas posibilidades:

Primera elección Segunda elección

Observamos que hay 3 formas posibles de sacar primero una barra de oro. De los cuales en 2 sacamos barra de oro en segunda elección y en 1 sacamos barra de plata. Por lo tanto la probabilidad pedida es de 2/3.

http://algunastontadas.blogspot.com/2016/04/la-paradoja-de-la-caja-de-bertrand.html

https://4.bp.blogspot.com/-zDe9vsXEm-A/VxpS4VjcyuI/AAAAAAAACQc/Ft9P_WB5wFI3esT1jA2tvMkDT78EkoC_wCLcB/s1600/914e9cfc31.jpg


Tema 10. Probabilidad 6

TEMA 10. Probabilidad

La probabilidad, en su definición más básica, es una medida de la certidumbre

asociada a un suceso futuro.

1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral.

Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura,

velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es

una experiencia determinista.

Si lanzamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado

depende del azar. Es una experiencia aleatoria.

Un experimento aleatorio es aquel que no podemos predecir el resultado, es decir, que depende de la suerte o del azar. Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo, decimos que se trata de un experimento determinista.

Ejemplo:

De los siguientes experimentos, indica los que son deterministas y los que son aleatorios: a) Elegir un libro de la biblioteca con los ojos cerrados. b) Medir la temperatura de agua destilada. c) Lanzar una moneda al aire. d) Marcar un número de teléfono.



e) Extraer una bola de una urna de bolas rojas. f) Medir la longitud de una mesa. Indica además, dos ejemplos de experimento aleatorio y dos ejemplos de experimento determinista.

Solución: a), b) y f) son experimentos aleatorios. c), d) y e) son experimentos deterministas. Experimento determinista: medir el peso de un litro de agua calcular el área de un cuadrado de lado 2, etc. Experimento aleatorio: anotar la matricula del primer coche que pase por delante de ti, lanzar un dado y mirar que sale, extraer una carta de la baraja, etc.

El espacio muestral de un experimento aleatorio está formado por todos los posibles resultados que podemos obtener al realizar el experimento, se denota E.

Suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el resultado es uno de los que contempla dicho experimento. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5, se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5}, {Sacar impar}, {Sacar más de 3}, E. Y no se ha verificado {Sacar par}

Demos nombre a algunos tipos de sucesos:

Un suceso elemental es aquel que solo contempla un posible resultado.

Suceso seguro o total, E: un suceso que ocurre siempre. El espacio muestral también

se designa como suceso seguro. Suceso imposible o vacío, Ø : un suceso que no ocurre nunca. Un suceso compuesto es el formado por dos o más sucesos elementales.

Cualquier suceso se puede describir con una expresión en texto o bien detallando cada

resultado que favorece que ocurra dicho suceso.

En el experimento “lanzar un dado y mirar que sale” un suceso posible es A = “salga número

par”, este mismo suceso lo podemos describir como A = “sacar múltiplo de 2“ o A = “Sacar 2 o

4 o 6”. Esta última descripción es más precisa y se suele escribir como A = {2, 4, 6}.

Ejemplo:

En el experimento aleatorio "lanzamiento de dos dados y suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de ambos", describimos su espacio muestral o conjunto de posibles resultados y algunos de los posibles sucesos a estudiar en este experimento:

Espacio muestral: E = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } Son sucesos elementales:

Cada uno de los posibles resultados: {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}, {11}, {12}



Obtener por ejemplo múltiplo de 7 : { 7 } Obtener más de 11 puntos: { 12 }

Son sucesos compuestos:

A = {Obtener múltiplo de 3} = { 3, 6, 9, 12 } B = {Obtener múltiplo de 2} = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

Es un suceso seguro: E = {Obtener suma menor o igual a 12} = {Obtener suma entre 1 y 13} Es un suceso imposible: = {Obtener suma 215} = {Obtener suma 1} = {Obtener suma mayor de 13}

Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,….

Ejercicio: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Sacar dos cartas de una baraja y mirar si es pareja o no. b) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

Solución. a) E = {Pareja, No pareja} b) E = {Dos bolas blancas, Dos bolas negras, Una bola negra y otra blanca}

2. Sucesos. Operaciones con sucesos.

Llamamos unión de dos sucesos A y B, y lo designamos A B (lo leemos como "A unión B") al suceso formado por todos los elementos de A y todos los de B. El suceso A B ocurre cuando lo hacen A o B o ambos.

Llamamos intersección de dos sucesos A y B, y lo designamos A B (lo leemos como "A intersección B") al suceso formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. El suceso A B ocurre cuando lo hacen A y B a la vez.



Dos sucesos A y B son incompatibles cuando A B Ø . Si A B Ø se dicen compatibles.

Ejemplo:

En el experimento aleatorio "lanzamiento de dos dados y suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de ambos", dados los sucesos A = {1, 2, 3, 6} y B = {3, 4, 5, 6, 7} la unión y la intersección son:

1,2,3,6 3,4,5,6,7 1,2,3,4,5,6,7

1,2,3,6 3,4,5,6,7 3,6

A B

A B

.

Los sucesos A y B son compatibles, ya que tienen sucesos elementales en común. A B Ø .

Dados los sucesos C = “Sacar suma par” = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y D = “Sacar suma impar” = {3, 5, 7, 9, 11} la unión y la intersección son:

"Sacar suma par o impar" 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

"Sacar suma par e impar"

C D

C D

Los sucesos C y D son incompatibles, pues no tienen sucesos elementales en común. A B Ø .

El suceso contrario o complementario de un suceso A se escribe A o cA . Entre ambos (A y AC) se

reparten los elementos del espacio muestral. Es decir, siempre ocurre uno u otro, pero nunca los dos simultáneamente.

El contrario del contrario coincide con el suceso de partida: C

CA A



Ejemplo:

En el experimento aleatorio "lanzamiento de dos dados y suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de ambos", dados los sucesos C = “Sacar suma par” = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y D =

“Sacar suma impar” = {3, 5, 7, 9, 11} se cumple que CD C y

CC D . Es decir, el suceso

contrario de “Sacar suma par” es “Sacar suma impar” y viceversa. Leyes de Morgan

El contrario de la unión es la intersección de los contrarios (1ª ley de Morgan).

El contrario de la intersección es la unión de los contrarios (2ª ley de Morgan)..

La demostración de estas leyes la tenemos en las siguientes representaciones gráficas.

1ª Ley de Morgan: C C CA B A B



2ª Ley de Morgan: A B A B

La diferencia de sucesos, A – B, está formado por los elementos de A que no pertenecen a B, es decir, la intersección del suceso A con el contrario del suceso B.

A B A B

Ejemplos:

1. Sea E el espacio muestral del experimento consistente en “lanzar dos dados y sumar las

puntuaciones obtenidas en sus caras superiores”.

Sean los sucesos A = {ser par} y B = {ser mayor que 7}.



Podemos obtener:

Unión de sucesos: A ∪ B = { obtener un número par o mayor que 7 } = { 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12 }

Intersección de sucesos: A ∩ B = { obtener un número par mayor que 7 } = { 8, 10, 12 }

Diferencia de sucesos: A – B = { obtener un número par menor o igual que 7 } = { 2, 4, 6 }

Suceso contrario:

A = {No obtener número par} = { obtener un número impar } = { 3, 5, 7, 9, 11 }

B = {Ser menor o igual que 7} = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

2. De una urna con 50 bolas numeradas de 1 a 50 se extrae una. Se consideran los sucesos:

A = { sacar un número múltiplo de 2 }

B = { sacar un número múltiplo de 3 }

C = { sacar un número múltiplo de 5 }

Determina los elementos de los siguientes conjuntos:

a) A B = {sacar múltiplo de 2 o 3}

b) A C = {sacar múltiplo de 2 o 5}

c) B C = {sacar múltiplo de 3 o 5}

d) A B = {sacar múltiplo de 2 y 3} = {sacar múltiplo de 6}

e) A C = {sacar múltiplo de 2 y 5} = {sacar múltiplo de 10}

f) B C = {sacar múltiplo de 3 y 5} = {sacar múltiplo de 15}

g) A B = {sacar número que no sea múltiplo de 2 y si de 3} = {sacar múltiplo de 3 e impar}

h) B C = {sacar múltiplo de 3 y no de 5}={sacar múltiplo de 3 que no acabe ni en 5 ni en 0}



i) C C = ∅

j) B B = E

k) A B = {sacar número que no sea múltiplo de 2 ni de 3}

l) A B = {sacar número que no sea múltiplo de 6}

Ejercicios

1. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado perfecto". Responde a las cuestiones siguientes:

a. Calcula los sucesos A B y A B b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles? c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

2. Se lanza un dado de seis caras. Considera los sucesos:

A = "obtener un número mayor que 2" B = "obtener un número par" C = "obtener un número primo" Describe los sucesos elementales asociados a cada suceso y calcula los sucesos siguientes :

a. A ; B ; C b. A B ; A B c. A B ; A B ; B C d. A B ; B C

3. En el experimento “Lanzar un dado con 6 caras” consideramos los sucesos A = “sacar par”, B = “sacar impar”, C = “sacar primo”. Describe estos sucesos A, B y C, también los sucesos A B ,

A B , A C , A C , B C , B C .

a. Describe los sucesos contrarios ,A B y C

b. Calcula las probabilidades de todos los sucesos que aparecen en el ejercicio.

Solución:

1. 1.a. 2,3,5,7 1,4,9A B ; 2,3,5,7 1,4,9 1,2,3,4,5,7,9A B

1.b. Son incompatibles

1.c. No sacar número primo= 1,4,6,8,9A ;

2,3,5,6,7,8B No sacar cuadrado perfecto

2. A = {3,4,5,6}; B = {2,4,6}; C = {2,3,5}

2.a. 2A Obtener número menor o igual que ; B Obtener número impar ;

º C Obtener n no primo 2.b. A B =Sacar número par mayor que 2 = {4,6}; A B = Sacar número par o mayor que 2 = {2,3,4,5,6}

2.c. A B = {1}; A B ={1,2,3,5}; B C =Sacar primo y par={2}

2.d. A B = Sacar mayor que 2 o impar = {1,3,4,5,6};

B C = Sacar par y no sea primo = {2,4,6}∩{1,4,6} = {4,6}

3. sacar impar , sacar par sacar no primoA B y C P(A) = P(B) = P(C) = 1/2.



1/ 2P A P B P C ; 1P A B , 0P A B , 5 / 6P A C ,

1/ 6P A C , 4 / 6P B C , 2 / 6P B C

3. Definición de Probabilidad. Propiedades.

3.1. Definición de Laplace

Si el espacio muestral de un experimento aleatorio está formado por n sucesos elementales

1 2 3 4, , , ,..., nE x x x x x y todos ellos tienen la misma probabilidad de que ocurran en la

realización del experimento (son equiprobables), entonces:

Número de casos favorables al suceso A

Probabilidad de que se verifique un suceso A=Número de casos posibles

P A

3.2. Propiedades

1. 1– AP P A

2. 0 P Ø

3. 1 P E

4. ( ) ( )P A B P A P B P A B

¡¡ IMPORTANTÍSIMO !!

0 ( ) 1P A

Ejemplos:

1. Al girar una ruleta como la de la figura, ¿cuál es la probabilidad de cada color?

1 parte es roja, 4 azules, 3 verdes, 2 naranjas y 2 amarillas.

Al encontrarnos en una situación de equiprobabilidad, aplicamos la Regla de Laplace para poder calcular la probabilidad de cada color, teniendo en cuenta que la ruleta se encuentra dividida en 12 partes. Los sucesos elementales presentan la misma probabilidad.

Número de casos favorables al suceso A

Número de casos posiblesP A



1

12P rojo

4

12P azul

3

12verdeP

2

12P naranja P amarillo

2. Si extraemos una bola al azar de una urna que contiene 3 bolas verdes, 5 bolas blancas y 2 bolas azules, calcula la probabilidad de los sucesos: A = {obtener una bola verde} , B = {obtener una bola blanca} y C = {obtener una bola azul}.

Como en total hay 10 bolas, los casos posibles son 10 y los casos favorables para el suceso A son 3, 5 para B y 2 para C.

Por lo tanto:

3

10P A

5 1

10 2BP

2 1

10 5CP

3. Si lanzamos un dado al aire, calcula la probabilidad de que ocurran los siguientes sucesos: a) Sacar un 3. b) Sacar un número par. c) Sacar un número primo. d) Sacar un número menos que 5.

Definimos en primer lugar el espacio muestral del experimento.

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Aplicando la regla de Laplace, calculamos ahora las probabilidades de cada uno de los sucesos.

4. De la baraja de cartas española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) Sacar el as de espadas. b) Sacar un rey. c) Sacar un oro. d) Sacar una figura e) Sacar una carta que no sea figura. f) Sacar as o un 2.

Aplicando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de cada uno de los sucesos.

1

40As de espa sP da

4 1

40 10eP r y

10

40OroP

12 3

40 10P Figura

3 71

10 10No figuraP

8 1

4 52

0P As o

5. En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Describe los sucesos: A = “Menor que 5”; B = “Par”.



c) Halla los sucesos A∪B, A ∩ B, Ac, Bc, Ac∩Bc.

a) El espacio muestral es: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) A = “MENOR QUE 5” = {0, 1, 2, 3, 4} B = “PAR” = {0, 2, 4, 6, 8} c) A∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}

A ∩ B = {0, 2, 4}

Ac = {5, 6, 7, 8, 9}

Bc = {1, 3, 5, 7, 9}

Ac∩Bc = {5, 7, 9}

6. Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y las ponemos en una

bolsa. Extraemos una letra al azar. a) Escribe los sucesos elementales de este experimento. ¿Tienen todos la misma probabilidad? b) Escribe el suceso “obtener vocal” y calcula su probabilidad.

a) Los sucesos elementales son: {P}, {R }, {E }, {M }, {I }, {O}. Todas tienen la misma probabilidad, porque todas aparecen una sola vez. b) V = “obtener vocal” = {E, I, O}

P(V) = 3/6 = 1/ 2 = 0,5

7. Lanzamos un dado rojo y otro verde. Anotamos el resultado. Por ejemplo, (3, 4) significa 3 en el rojo y 4 en el verde.

a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b) Describe los siguientes sucesos:

A: la suma de puntos es 6; A = {(5, 1), (4, 2), …} B: En uno de los dados ha salido 4; B = {(4, 1), …} C: En los dados salió el mismo resultado.

c) Describe los sucesos A ∪ B, A ∩ B, A ∩ C. d) Calcula la probabilidad de los sucesos de los apartados b) y c). e) Calcula la probabilidad de Ac, Bc y Cc.

a) Como tenemos dos dados, cada uno con 6 caras, tenemos 6 resultados en uno para cada

uno de los 6 resultados del otro. Es decir, en total, 36 elementos en el espacio muestral. b) A = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}

B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

c) A ∪B En uno de los dados ha salido un 4 o la suma de los dos es 6. A ∩B Habiendo salido un 4, la suma de los dos es 6, es decir, {(4, 2), (2, 4)}.



A ∩C Habiendo salido dos números iguales, la suma es 6, es decir, {(3, 3)}. d) P [A] = 5/36 P [B] = 11/36 P [C] = 6/36 = 1/6

P [A ∪ B] = 14/36 P [A ∩B] = 2/36 = 1/18 P [A ∩C] = 1/36

e) P [Ac] = 1 – P [A] = 31/36 P [Bc ] = 1 – P [B] = 25/36 P [Cc] = 1 – P [C] = 5/6

4. Regla de la suma

Sucesos incompatibles

Si dos sucesos A y B de un experimento son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de la probabilidad de cada suceso:

P A B P A P B

Ejemplo: Una urna contiene 5 bolas rojas, 2 bolas azules y 3 bolas verdes. Se considera el experimento sacar una bola al azar. Sean los sucesos A = "Sacar bola roja", B = "Sacar bola azul" y C = "Sacar bola que no sea verde". Calcula la probabilidad de sacar una bola que no sea verde.

A y B son sucesos incompatibles. Además A B C Aplicando la regla de Laplace:

5( )

10P A

2( )

10P B

7( )

10P C

Se puede calcular la probabilidad de C, utilizando la fórmula anterior:

5 2 7( ) ( ) ( ) ( )

10 10 10P C P A B P A P B

Sucesos compatibles

Si dos sucesos A y B son compatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de la probabilidad de cada suceso menos la probabilidad del suceso intersección de A y B.



–( ) ( )P A B P A P B P A B

Ejemplo:

1. Realizamos el experimento aleatorio de extraer una carta de una baraja española de 40 cartas y se definen los siguientes sucesos: A = {obtener un rey}, B = {obtener una copa} y C = {obtener un rey o una copa}. ¿Cómo calcularías las probabilidades de esos sucesos?

Aplicando la regla de Laplace: 4

( )40

P A

10 1(B)

40 4P

Para obtener la probabilidad de que salga rey o una carta de copas, tenemos 10 cartas de copas y los 3 reyes restantes (de oros, espadas y bastos) pues en las 10 cartas de copas ya está incluido el rey de copas

13(C)

40P

Sin embargo si nos fijamos en el suceso C, obtener un rey o una copa, vemos que este suceso se puede identificar con la unión de los sucesos A y B, pero teniendo cuidado porque A y B tienen un elemento en común y son compatibles. Por tanto:

4 10 1 13(C) (A B) P(A) P(B) P(A B)

40 40 40 40P P

2. Una bolsa contiene bolas numeradas del 1 al 20, de manera que todas tienen la misma probabilidad de ser escogidas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, el número no sea divisible por 3? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible por 3 o por 5? c) ¿Y la probabilidad de que no sea divisible por 3 ni por 5?

Consideramos los sucesos: A = {Ser divisible por 3} = {3, 6, 9, 12, 15, 18} B = {Ser divisible por 5} = {5, 10, 15, 20} A ∩ B = {Ser divisible por 3 y ser divisible por 5} = {15}

Calculamos sus probabilidades:

6 3

0 '320 10

P A ; 4 1

0 '220 5

P B ; 1

0 '0520

P A B

a) No ser divisible por 3 A



1 0'3 0'7P A

b) Ser divisible por 3 o 5 A B

0( ) ( ) ( ) 0'3 0'2 0' '4505P A B P A P B P A B

c) No ser divisible por 3 ni por 5 A B A B

1 1 0'45 0'55P A B P A B

5. Regla del producto. Probabilidad en experimentos compuestos.

Un Experimento aleatorio simple es aquel en el que sólo se realiza una acción. Por ejemplo: “sacar una carta”, ”lanzar un dado”, “elegir una bola de una urna”,” apuntar el número de matrícula de un coche que pasa por la calle”, etc.. Un experimento compuesto está formado por dos o más experimentos aleatorios simples realizados de manera consecutiva.

La probabilidad de un suceso elemental en un experimento compuesto puede obtenerse multiplicando las probabilidades indicadas en las ramas del diagrama de árbol que llevan a realizarse el suceso.

Ejemplo:

1. Sacamos una bola de cada urna. Calcula:

a) La probabilidad de que ambas sean rojas. b) La probabilidad de que ambas sean negras.

a) P(Roja y roja) =3 2 6

·5 5 25

b) P(Negra y negra) = 2 2 4

·5 5 25

6. Probabilidad condicionada



Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) ≠ 0, se llama probabilidad de B condicionada al suceso A, P(B/A), a la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha sucedido A , es decir, probabilidad de B tomando como espacio muestral A.

/

P B AP B A

P A

De esta igualdad se deduce:

· /P B A P A P B A

Nos pueden surgir dos tipos de situaciones donde usar la probabilidad condicionada.

En experimentos simples la probabilidad condicionada reduce el espacio muestral. Por ejemplo: - En el experimento “sacar una bola de una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8”,

consideramos los sucesos A = “sacar par” y B = “sacar 4 o más”.

a) Calcula la probabilidad de A. b) Calcula la probabilidad de A, sabiendo que ha pasado B.

Solución:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = ”sacar par” = {2, 4, 6, 8} B = “sacar 4 o más” = {4, 5, 6, 7, 8}

Utilizando la regla de Laplace: nº casos favorables (2, 4, 6, 8) 4 1

( ) 0,5 50%nº casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 8 2

P A

Como sabemos que ha sucedido B el espacio muestral ya no son los 8 resultados posibles, sino los 5 que contempla el suceso B. También cambia el número de casos favorables.

nº casos favorables (4, 6, 8) 3

/ 0,6 60%nº casos posibles (4, 5, 6, 7, 8) 5

P A B

En experimentos compuestos lo que sucede en una extracción puede condicionar la probabilidad de la siguiente extracción. Por ejemplo: - En el experimento “sacar dos bolas de una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8”,

consideramos los sucesos A = “sacar una 1ª bola par” y B = “sacar una 2ª bola par”. a) Calcula la probabilidad de A. b) Calcula la probabilidad de A, sabiendo que ha pasado B.



Solución:

Para calcular la probabilidad de A el experimento es sacar una bola de la urna, por lo que aplicamos la regla de Laplace:

P(A) = 4 1

0,5 50%8 2

Sin embargo para calcular la probabilidad de B condicionado a que ha sucedido A, debemos de considerar el experimento compuesto “sacar una 1ª bola, dejarla fuera y después sacar una 2ª”

P(B/A) = nº casos favorables (he sacado una par, solo quedan 3 pares) 3

0,428 42,8%nº casos posibles (solo 7 bolas) 7

Ejemplos:

1. Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una de B. Calcula:

a) P(1ª roja y 2ª roja) b) P[1ª roja y 2ª verde)

Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el diagrama de árbol.

a) P(1ª roja y 2ª roja) = P(1ª roja) · P(2ª roja / 1ª roja) = 3 2 2

·5 3 5

b) P(1ª roja y 2ª verde) = P(1ª roja) · P(2ª verde / 1ª roja) = 3 1 1

·5 3 3



2. En una clase de 25 alumnos, 14 son aficionados al fútbol, 9 al baloncesto y 5 a ambos deportes. Si se elige un alumno al azar, calcular la probabilidad de que: a) Sea aficionado al fútbol, sabiendo que es aficionado al baloncesto. b) Sea aficionado al fútbol, sabiendo que no es aficionado al baloncesto. c) No practique ningún deporte. En este experimento todos los sucesos elementales son equiprobables, puesto que todos los alumnos de la clase tienen la misma probabilidad de ser escogidos. Por tanto podemos aplicar la regla de Laplace.

Consideramos los siguientes sucesos: A = {Ser aficionado al fútbol} B = {Ser aficionado al baloncesto} A ∩ B = {Ser aficionado a los dos deportes}

a) {Ser aficionado al fútbol condicionado a ser aficionado al baloncesto} = /A B

525A/

925

5

9

P A BP B

P B

b) {Ser aficionado al fútbol, sabiendo que no es aficionado al baloncesto} = /A B

5 914( ) 25 25 25/9 161 ( ) 1

9

21

5 256

P A B P A P A BP A B

P BP B

c) Partiendo del esquema anterior, podemos calcular fácilmente cuántos alumnos practican fútbol, baloncesto o ambos.

Probabilidad de que un alumno sólo sea aficionado al fútbol:

14 5 9

( )25 25 25

P A B P A P A B

Probabilidad de que un alumno sólo sea aficionado al baloncesto:

9 5 4

( )25 25 25

P A B P B P A B

Por lo tanto, la probabilidad de que no sea aficionado a ningún deporte es:

(C) 1

5 9 4 25 181

25 2

7

5 225 25 5 52

P P A B P A B P A B



Probabilidad de sucesos independientes y dependientes

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes entre sí cuando el hecho de que se verifique uno de ellos no influye en la probabilidad de que se verifique el otro.

P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A ) Una forma de comprobar si dos sucesos A y B son independientes es:

A y B son independientes ⇔ ·( )P A B P A P B

Sucesos dependientes

Dos sucesos son dependientes entre sí cuando el hecho de que se verifique uno de ellos influye en la probabilidad de que se verifique el otro.

Ejemplos:

1. En el experimento “sacar una bola de una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8”,

consideramos los sucesos A = “sacar par” y B = “sacar 4 o más”. ¿Son A y B

independientes?

Por lógica se intuye que no lo son, pues si uno de ellos se da por realizado la probabilidad del otro cambia. Apliquemos la teoría:

4 1 5

( )8 2 8

P A P B

nº casos favorables (4,6,8) 3

( ) Sacar par mayor o igual que 4nº casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 8

P A B P

Evidentemente:

3( ) 0,375

8( ) ( ) · ( )

1 5 5( ) · ( ) · 0,3125

2 8 16

P A B

P A B P A P B

P A P B

Los sucesos son dependientes



2. Tenemos una urna con 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 2 bolas azules. Vamos a

extraer 2 bolas al azar. Calcula la probabilidad de sacar dos bolas rojas.

El experimento “Extraer 2 bolas de una urna” vamos a contemplarlo como “extraer una primera bola y después una segunda bola”.

Definimos los sucesos:

R1 = { obtener una bola roja en la primera extracción } R2 = { obtener una bola roja en la segunda extracción}

Si la extracción es con reemplazamiento, los sucesos R1 y R2 son independientes. La probabilidad pedida es:

1

º 3Una bola roja en primera extracción ( )

º 7

N casos favorablesP P R

N casos posibles

Con reemplazamiento significa que se devuelve a la urna la bola extraída y volvemos a tener 7 bolas en la urna. La segunda extracción vuelve a tener la misma probabilidad que la primera.

2 1

3Una bola roja en segunda extracción ( ) ( )

7P P R P R

1 2 1 2 1 2

9

49

3 3, ( ) · ( ) ·

7 7P Sacar dos bolas rojas P R R P R R P R P R

Si la extracción es sin reemplazamiento los sucesos R1 y R2 son dependientes. La probabilidad pedida es:

1

º 3Una bola roja en primera extracción ( )

º 7

N casos favorablesP P R

N casos posibles

En la segunda extracción, al no haber reemplazamiento, la probabilidad de obtener la segunda roja depende de si se ha verificado o no el primer suceso (Sacar 1ª bola roja).

En este caso se dice que la probabilidad del suceso R2 (obtener la segunda bola roja) está condicionada por el que se haya producido el suceso R1 o no, y se escribe R2/R1



(sacar una 2ª bola roja, sabiendo que hemos sacado una bola roja en la 1ª extracción) =

º 3 1 2=

º (7 1) 6

P

N casos favorables

N casos posibles

1 2 1 2 1 2 1

3 1 3, ( ) · ( / R ) ·

7 3 2 71

1P Sacar dos bolas rojas P R R P R R P R P R

3. En una urna hay 15 bolas numeradas del 1 al 15. Se extrae una, se anota su número y se

deja encima de la mesa. Se extrae otra y se hace lo mismo.

a) Determina el número de elementos del espacio muestral de este experimento.

b) Calcula la probabilidad de extraer dos bolas con numeración impar.

a) Como las extracciones son sin devolución, el número de elementos del espacio muestral es: (nº de bolas que puedo extraer en la 1ª extracción) · (nº de bolas que puedo

extraer en la 2ª extracción) =15 · 14 = 210.

b) Sean los sucesos: P1 = {El primer número es impar}. P2 = {El segundo número es impar}. Observando el diagrama de árbol se tiene que :

1 2

8 7 56 ·

15 14(

1

4

10 52P P P



4. De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disparos, y el otro

consigue tres dianas de cada cuatro disparos. Si los dos disparan simultáneamente, halle

la probabilidad de que:

a) Ambos acierten. b) Uno acierte y el otro no.

c) Ninguno de los dos acierte. d) Alguno acierte.

Definimos los dos sucesos siguientes:

T1 = {El primer tirador acierta} T2 = {El segundo tirador acierta} Estos dos sucesos son independientes, ya que lo que haga uno de los tiradores no influye en el otro. Aplicamos la probabilidad de la intersección de sucesos independientes:

a) 1 2 1 2

2 3 6 ) ) · )

2(

3(

1( ·

4 2

1P Ambos acierten P T T P T P T

b) P Uno acierte y otro no

1 2 1 2 1 2 1 2

(Acierta el primero y falla el segundo o Falla el primero y acierta e

( ( ( (

l segundo)=

2 1 1 3= ) ) )· ) ( (T)· ) · ·

3 4 3 4

5

12

P

P T T P T T P T P P T PT

c) 1 2 1 2

1

12

1 1 ) ) · )

3( ·

4( (P Ninguno acierte P T T P T P T

d) 1 2

1Alguno acierte 1 Ninguno a

2c )

11i (erte 1 1

12 1P P P T T

5. Sean A y B dos sucesos de un experimento dado, tales que P (A) = 0,6; P (B) = 0,3 y

P ( A ∩ B ) = 0,2. Calcula P ( A / B ) y P ( B / A ).

2( ) 0,2( / )

( ) 0,3 3

P A BP A B

P B

( ) 0,2 2( / )

( ) 0,6 6

1

3

P A BP B A

P A

7. Teorema de la probabilidad total. Diagrama de árbol.

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2,..., An que

cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = Ø

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro: 1 2 3 .... nA A A A E

Teorema de la probabilidad total



Sea A1, A2, ..., An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada

uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las

probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene

dada por la expresión:

1 1 2 2( ) ( )· ( / ) ( )· ( / ) .... ( ) · ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A

Para facilitar el uso de este teorema, se construyen diagramas de árbol que nos permiten ver más claros los distintos resultados posibles de un experimento compuesto.

Cada rama nueva del diagrama es la realización de un nuevo experimento simple que lleva a

completar el experimento compuesto. En los diagramas de árbol, la probabilidad de que ocurra el segundo suceso, puede depender

de cómo haya sido el primero. Cuando utilicemos este método, no es necesario, que utilicemos la nomenclatura matemática, pero no olvidéis que es el caso más sencillo y común de probabilidad condicionada.

Es muy fácil, aunque no lo parezca, fijaos en los siguientes ejemplos:

Ejemplos:

1. Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar y sin reemplazamiento cuatro huevos. Calcula la probabilidad de extraer:

a) Los cuatro huevos en un buen estado. b) De entre los cuatro huevos, exactamente uno roto. Llamemos H = {Extraer huevo en buen estado}, así H1, H2, H3 y H4 será sacarlo en primer lugar, segundo, tercero o cuarto.

a) 1 2 3 4 ( )P Sacar cuatro huevos buenos P H H H H

1 2 1 3 1 2 4 1 2 3( ) · ( / ) · ( / ) · ( / )

10 9 8 7 5040· · ·

12 11 10 9 1188

14

30 3

P H P H H P H H H P H H H H



b) El huevo roto lo podemos sacar en cualquiera de las 4 extracciones, así:

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

Sacar tres huevos buenos y uno malo

( ) ( )

( ) ( )

2 10 9 8 10 2 9 8 10 9 2 8 10 9 8 2· · · · · · · · · · · ·

12 11 10 9 12 11 10 9 12 11 10 9 12 11 10 9

1440 57604·

11880 118

1

80

6

33

P

P H H H H P H H H H

P H H H H P H H H H

2. Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6

bolas blancas y 2 rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B.

a ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?

b ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? Solución: Hacemos un diagrama en árbol:

a) Esto solo ocurre en la rama o camino superior.

P(bola extraída de A es blanca y la bola extraída de B es blanca) = 7

0´2330

b) Esto sucede de dos formas distintas y la probabilidad sería:

P(bola extraída de B es blanca) = 7 7 21 7

0́ 730 15 30 10

3. Una multinacional elabora sus piezas en 3 factorías. El porcentaje de piezas defectuosas y el total de producción de cada factoría viene dado en la siguiente tabla:

F1 F2 F3

Producción 40% 35% 25%

Defectuosas 2% 3% 1%

Halla la probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa.

Consideramos los sucesos:



F1 = {Elegir pieza fabricada en la factoría 1} F2 = {Elegir pieza fabricada en la factoría 2}

F3 = {Elegir pieza fabricada en la factoría 3} D = {Elegir pieza defectuosa}

Lo podemos calcular directamente si sabemos detallar en que consiste el suceso “La pieza es defectuosa” y las distintas maneras en que se puede producir esta situación.

1 2 2 31 3( )· ( / ) ( )· ( / ) ( )· ( / )

40 2 35 3 25 1· · ·

100 100 100 100 100 1000,01875 1,

8 %

P Elegir pieza defectuosa P F P FP D F P D F D FP F P

No hemos necesitado un diagrama de árbol para resolverlo, pero lo podemos usar.

·0,02 0,35·0,03 0,2 05·0,0 ,0 0,4 1 ,81 875 1 %P Elegir pieza defectuosa

4. Tenemos tres urnas distintas: U1 con 5 bolas rojas y 3 azules, U2 con 3 bolas rojas y 2 azules

y U3 con 2 bolas rojas y 4 azules. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?

Sean los sucesos R = {Sacar bola roja} y A = {Sacar bola azul}. Los experimentos “elegir urna” y “sacar una bola” son dependientes entre sí. En el diagrama de árbol podemos ver las distintas probabilidades de que ocurran R o A para cada una de las 3 urnas.

Elijo una fábrica y luego la pieza y

observo si es defectuosa o no

Factoría 1

0,4

Pieza defectuosa

0,02

Pieza no defectuosa

0,98

Factoría 2

0,35

Pieza defectuosa

0,03

Pieza no defectuosa

0,97

Factoría 3

0,25

Pieza defectuosa

0,01

Pieza no defectuosa

0,99



1 1 2 2 3 3( ) ( )· ( / ) ( )· ( / ) ( )· ( / )

1 5 1 3 1 2 5 3 2· · ·

3 8 3 5 3 6 24 15

1

1

87

38 60

P R P U P R U P U P R U P U P R U

5. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma

que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y

el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que,

diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea.

Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:

1 1 2 2 3 3· / · / · /P Av P L P Av L P L P Av L P L P Av L

(El Sistema completo de sucesos aparece en las primeras ramas: L1, L2 y L3)

También se puede expresar como

1 2 3 0,6 · 0,0( ) ( ) ( ) ( ) 2 0,3 · 0,04 0,1 · 0,01 0,025P Av P L Av P L Av P L Av

6. Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

Elegimos la línea y despues vemos si

se avería o no.

Línea 1

0,6

Avería

0,02

No se avería

0,98

Línea 2

0,3

Avería

0,04

No se avería

0,96

Línea 3

0,1

Avería

0,01

No se avería

0,99



Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto

puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la

probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto,

tenemos:

1 1 2 2 3 3 4 4 · / · / · / · /

0,4 · 0,01 0.3 · 0.02 0.2 · 0.07 0.1 · 0,0. 004 28

P M P F P M F P F P M F P F P M F P F P M F

Ejercicios: 1) En una baraja de 40 cartas, ¿cuáles la probabilidad de as? ¿y de oros?

2) Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se

pide:

a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea

múltiplo de tres.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de

dos?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga igual número en los 2 dados (pareja)?

3) Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno,

determina las probabilidades siguientes:

1) Que las dos cifras sean iguales.

2) Que su suma sea 11.

3) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 14.

Solución:

1. P(As)=1/10 P(Oros)=1/4 2. P(múltiplo de 3)=1/3 P(difieren más de 2)= 1/3 P(pareja)=1/6 3. a. P(2 cifras iguales)=1/10 b. P(sumen 11)=P(sean 5+6 o 7+4 o 8+3 o 9+2)=8/100=2/25 c. P(suma sea 8, 9, 10, 11, 12 o 13) = 1 – P(suma sea 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 15, 16, 17, 18) = 79/100

8. Tablas de contingencia.



En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, a veces

resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia.

Siempre que utilicemos este método, tenemos que asignarle un significado a los sucesos A y B, así como sus contrarios e indicar las probabilidades del suceso correspondiente a cada celda.

Ejemplo:

1. En 4º de secundaria hay 22 chicos y 18 chicas. Llevan gafas 8 chicos y 6 chicas. Elegido un alumno al azar, calcula la probabilidad de que sea chico y no lleve gafas.

En primer lugar recogemos los datos de un problema en una tabla de doble entrada.

Chico Chica Total

Con gafas 8 6

Sin gafas

Total 22 18

En segundo lugar completamos la tabla.

Chico Chica Total

Con gafas 8 6 14

Sin gafas 14 12 26

Total 22 18 40

En último lugar, se extraen los datos necesarios de la tabla para calcular la probabilidad pedida.

Numero de chicos sin gafas 14 7(Chico sin gafas) =

Número total de alumnos 40 20P

A A

B P A B P A B P B

B P A B P A B P B

P A P A 1



2. Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.

a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

Solución.

Se tienen dos variables, la primera el género (Hombres o Mujeres) y la segunda recoge el estado civil, en este caso, si el individuo es soltero o casado. El problema nos pregunta por la probabilidad de que el ganador sea un hombre soltero. En principio no sabemos cuántos hombres solteros hay, no contamos con ese dato, por lo que nos ayudará realizar una tabla de contingencia. Paso 1. Realizamos la tabla y la llenamos con los datos dados De los datos explícitos que tenemos, nuestra tabla queda asi:

Hombres Mujeres Total

Casados/Casadas 45 80

Solteros/Solteras

Total 65 120

Paso 2. Analizamos los datos

Aquí lo que sigue es manipular los datos que tenemos para poder obtener el resto. Este proceso se puede hacer de varias formas distintas.

Sabemos que 80 clientes son casados, y de esos 45 son mujeres por lo que35 tienen que ser hombres. Si hay 65 mujeres y 45 son casadas entonces debe haber 20 solteras. De los 120 clientes, 80 son casados por lo que 40 deben ser solteros. Además de los 120 clientes, 65 son mujeres, entonces hay 55 hombres. Hay 40 solteros, y 20 de ellos son mujeres, entonces los otros 20 son hombres

Paso 3. Completamos la tabla

Hombres Mujeres Total

Casados/Casadas 35 45 80

Solteros/Solteras 20 20 40

Total 55 65 120

Paso 4. Obtenemos las probabilidades De aquí, para responder a la preguntas se debe considerar la Ley de Laplace. ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

20 1

Hombre soltero120 6

P

Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?



45 9

Mujer / casado80 16

P

3. (EBAU 2012 Andalucía). En un congreso de 200 jóvenes profesionales se pasa una encuesta

para conocer los hábitos en cuanto a contratar viajes por internet. Se observa que 120 son hombres y que, de estos, 84 contratan los viajes por internet, mientras que 24 mujeres no emplean esa vía. Elegido un congresista al azar, calcule la probabilidad de que:

a) No contrate sus viajes por internet. b) Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer. c) Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet. Planteamos la tabla de contingencia con los datos que se presentan en el enunciado del ejercicio:

Usa

internet No usa

internet TOTAL

Hombres 84 120

Mujeres 24

TOTAL 200

Completamos la tabla.

Usa

internet No usa

internet TOTAL

Hombres 84 36 120

Mujeres 56 24 80

TOTAL 140 60 200

A partir de la tabla, determinamos las probabilidades pedidas: a) Solo nos fijamos en la fila inferior.

60 3(No contrate sus viajes por internet) 0,3

200 10P

b) Solo utilizamos los datos de la fila de Mujeres. 56 7

(Use internet , sabiendo que es mujer) 0,780 10

P

c) Solo utilizamos los datos de la columna “Usa internet”.

84 3(Sea hombre, sabiendo que usa internet) 0,6

140 5P

9. Teorema de Bayes

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las



causas a partir de los efectos que han podido ser observados (Probabilidades a posteriori). El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes.

Si tenemos n sucesos, A1, A2, A3, ..., An, tales que: · Son incompatibles entre sí: Ai ∩ Aj = Ø , si i ≠ j · Su unión es el espacio muestral: A1∪ A2 ∪ A3∪ ...∪ An = E Sea un suceso B cualquiera asociado al experimento aleatorio del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), se cumple :

1 1 2 2

( ) ( )· ( / )/

( ) ( )· ( / ) ( )· ( / ) .... ( )· ( / )

i i ii

n n

P A B P A P B AP A B

P B P A P B A P A P B A P A P B A

Las probabilidades P (Ai ) : probabilidades a priori. Las probabilidades P (Ai /B) : probabilidades a posteriori.

Ejemplos:

1. Una multinacional elabora sus piezas en 3 factorías. El porcentaje de piezas defectuosas y el total de producción de cada factoría viene expresado en la siguiente tabla:

F1 F2 F3

Producción 40% 35% 25%

Defectuosas 2% 3% 1%

Se encuentra una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la factoría 3?

Consideramos los sucesos:



F1 = {Elegir pieza fabricada en la factoría 1} F2 = {Elegir pieza fabricada en la factoría 2} F3 = {Elegir pieza fabricada en la factoría 3} D = {Elegir pieza defectuosa}

1 2 31 2 3( )· ( / ) ( )· ( / ) ( )· ( / )

40 2 35 3 25 1· · · 0,01875

100 100 100 10

0 100 100

P D F P D F P D FP Elegir pieza defectuosa P F P F P F

3 3 3

3

· / 0,0025/

0,01875 0,018750,119

P F D P F P D FP F D

P D

La probabilidad de que al encontrar una pieza defectuosa esta provenga de la factoría 3 es del 11,9 %.

2. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

· //

· / · / · /

P A R P A P R AP A R

P R P A P R A P B P R B P C P R C

1 3·

3 81 3 1 2 1 2

· · ·3 8 3 3 3

450,26 26 %

173

5

Ejercicios:

1. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?



Sol: 15/37

2. Supongamos que el 5% de la población padece la enfermedad de apendicitis (2% en estado agudo A y 3% en estado crónico C) y el 95% no la padece. Uno de los síntomas es dolor de estómago. Las probabilidades de tener dolor de estómago padeciendo el estado A, el estado C o no teniendo la enfermedad son del 90%, el 70% y el 10% respectivamente. Hallar la probabilidad de que una persona con dolor de estómago sufra realmente el estado A de apendicitis. Sol: 9/67

3. Una fábrica elabora rotuladores azules y rojos en la misma proporción. Por defectos en el proceso de fabricación, algunos rotuladores salen con la tinta de otro color. Sabemos que el porcentaje de rotuladores azules que llevan tinta azul es 82% y que el porcentaje de rotuladores rojos que llevan tinta roja es 92%.

a. Calcular la probabilidad de que un rotulador tomado al azar tenga la tinta del color que le corresponde. b. Si sabemos que un rotulador tomado al azar es defectuoso, calcular la probabilidad de que escriba en color rojo. Sol: 0,87; 0,69



10. Formulario de probabilidad

Operaciones con sucesos

Unión Intersección

Contrario Diferencia de sucesos

Leyes de Morgan:

A B A B

A B A B

Regla de Laplace:

Para calcular probabilidades en experimentos con sucesos elementales equiprobables:

Nº de casos favorables a A

Nº casos posiblesP A

Probabilidad:

0 ( ) 1

( ) 1

( ) 1 ( )

( ) 0

si y son dos sucesos, se cumple:

( ) ( )

si y son dos sucesos, se cumple:

P A

P E

P A P A

P

A B

P A B P A P B P A B

A B

P A B P B P A B



Probabilidad condicionada

/ ; ( ) 0( )

P A BP B A P A

P A

Sucesos dependientes e independientes A y B son independientes cuando el que suceda uno de ellos no influye en que suceda el otro.

A y B son independientes si ( ) ·P A B P A P B

A y B son incompatibles cuando no tienen nada en común ( A B ). No pueden suceder de forma simultánea.

Método 1 para resolver ejercicios de probabilidad. Tablas de contingencia.

Método 2 para resolver ejercicios de probabilidad. Diagrama de árbol

Sistema completo de sucesos

Es una familia de sucesos A1, A2, ... , An de sucesos que cumplen:

Son incompatibles dos a dos: i jA A

La unión de todos ellos es el suceso seguro: 1 2 3 ... A nA A EA

Teorema de la probabilidad total

En un sistema completo de sucesos se cumple que:

1 1 2 2( ) ( )· ( / ) ( )· ( / ) .... ( )· ( / )n nP B P A P B A P A P B A P A P B A

Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori)

En un sistema completo de sucesos se cumple que:

1 1

( )· ( / )/

( ) ( )· ( / ) .... ( )· ( / )

i i ii

n n

P A B P A P B AP A B

P B P A P B A P A P B A

A A B P A B P A B P B

B P A B P A B P B

P A P A 1



Ejercicios Experimentos aleatorios. Probabilidad: regla de Laplace

1) Al lanzar dos monedas al aire, anotamos el número de caras obtenidas. Escribe el espacio

muestral y completa la tabla:

TIPO DE SUCESO SUCESO

Suceso Seguro Obtener una cara o una cruz.

Suceso posible

Suceso imposible

Suceso muy probable

Suceso poco probable

2) Aplica la Ley de Laplace y calcula las siguientes probabilidades: a) En una bolsa hay 30 bolas, todas del mismo tamaño, de las cuales 15 son rojas, 10 son

amarillas y 5 son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de cada color al sacar una bola?

b) En un avión viajan 35 pasajeros franceses, 15 españoles, 10 británicos y 50 italianos.

¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión no sea español?

3) En un cajón tengo 3 pares de calcetines: unos rojos, otros negros y otros marrones. Si saco dos

calcetines sin mirar (de forma aleatoria), construye el diagrama de árbol asociado a este

experimento y calcula las probabilidades siguientes:

a) sacar dos calcetines rojos

b) sacar dos calcetines negros

c) sacar dos calcetines marrones

d) sacar dos calcetines verdes

e) Sacar dos calcetines del mismo color

f) Sacar dos calcetines de distinto color.

4) En una clase de 20 alumnos, 14 aprueban matemáticas, 9 aprueban lengua y 5 aprueban las dos

materias. Si se elige un alumno al azar, calcular la probabilidad de que:

a) Apruebe matemáticas, sabiendo que ha aprobado lengua.

b) Apruebe matemáticas, sabiendo que ha suspendido lengua.

c) Haya suspendido todo.

5) En una clase de 20 alumnos, 14 aprueban matemáticas, 9 aprueban lengua y 5 aprueban las dos

materias. Determina cuantos alumnos aprueban mates y aprueban lengua, cuantos aprueban

mates y suspenden lengua, cuantos suspenden mates y aprueban lengua y cuantos suspenden

mates y lengua.

Haz un esquema que represente de forma visual estos datos obtenidos.

A partir de los datos anteriores vuelve a resolver el ejercicio aplicando la regla de Laplace. Si

se elige un alumno al azar, calcular la probabilidad de que:

a) Apruebe matemáticas, sabiendo que ha aprobado lengua.

b) Apruebe matemáticas, sabiendo que ha suspendido lengua.

c) Haya suspendido todo.



6) En una bolsa hay diez bolas iguales numeradas del 0 al 9 cada una. Si se extraen dos bolas de

forma consecutiva y se anotan sus números: a) Escribe todos los sucesos elementales que forman el suceso “la primera bola extraída ha

sido un 5”.

b) ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse colocando las bolas por orden de

extracción?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea mayor que 59?

d) ¿Y la probabilidad de que termine en 3?

7) En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del

000 al 999.

a) Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 5.

b) Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 55.

c) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcula la probabilidad de

que el número premiado hoy termine también en 5.

8) Se truca una moneda de forma que la probabilidad de salir cara es doble que la de salir cruz.

a) Si se tira al aire calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.

b) Si se tira dos veces, ¿cuánto vale la probabilidad de obtener dos caras?

c) Si se tira tres veces, calcula la probabilidad de obtener dos cruces y una cara.

9) Pedro y Pablo idean el siguiente juego: cada uno lanza un dado, si la suma de los dados es

mayor que 7, gana Pedro; si la diferencia de ambos es menor que 2, gana Pablo; y en cualquier

otro caso hay empate.

¿Es un juego equitativo?

10) Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire. Si salen 3 caras o 3 cruces el jugador gana 7

puntos; en caso contrario el jugador pierde 2 puntos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada?

b) ¿Cuál es la probabilidad de perder las dos primeras tiradas y ganar la tercera?

c) ¿Es un juego equitativo?

11) Al hacer tres lanzamientos de un dado y sumar sus resultados se alcanzó una puntuación total

de 12.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtuviera un 6?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en alguno de los lanzamientos se obtuviera un 6?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en ninguno de los lanzamientos se obtuviera un 6?

12) Se hacen tres lanzamientos de un dado con las caras numeradas del 1 al 6. Si en el primer

lanzamiento sale un 3, ¿qué es más probable, que la suma de las puntuaciones sea un número

par o que tal suma sea impar?

13) Los estudiantes de 1º y 2º de Bachillerato de un centro escolar se distribuyen por curso y sexo

como se indica en la tabla, aunque hay números desconocidos:

Chicos Chicas Total

1º Bachillerato 60 a 130

2º Bachillerato b 65 c

Total 110 d 245

a) Completa los números que faltan.

b) Se elige un estudiante al azar y se consideran los siguientes sucesos:



A = “sea una chica”; B = “sea de 1º”; C = “sea una chica de 2º”; D = “sea un chico de 1º”

F = “sea de 1º si se sabe que es un chico”; G = “sea un chico si se sabe que es de 1º”

Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores.

14) En un colectivo de 330 personas: 200 hablan inglés, 90 hablan francés y 70 no hablan ni

inglés ni francés. Sabiendo que una persona del colectivo habla francés, halla la probabilidad de

que también hable inglés.

15) En una empresa trabajan 3 mujeres por cada 2 hombres. Se sabe que el 20% de las mujeres y

el 26% de los hombres necesitan gafas. Con esos datos construye una tabla de contingencia que

distribuya a los trabajadores según su sexo y necesidad de gafas. A partir de los datos de esa

tabla, si se elige un empleado al azar halla la probabilidad de los sucesos que se indican:

a) Que sea mujer.

b) Que sea una mujer y necesite gafas.

c) Que sea mujer si necesita gafas.

d) Que sea mujer o necesite gafas.

Probabilidad: propiedades

16) Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades P(A) = 0,7 ; P(B) = 0,6

y P(A∪B) = 0,85. Calcula:

a) P(A∩B)

b) P((A∩B)C)

c) La probabilidad de que se cumpla solo uno de los dos sucesos.

17) Sean A y B dos sucesos independientes de un mismo experimento aleatorio, tales que

0,4P A y 0,5P B . Calcula las siguientes probabilidades:

a) P A B b) P A B c) /P A B d) /P B A

18) Sean A y B dos sucesos incompatibles de un mismo experimento aleatorio, tales que

0,4P A y 0,5P B . Calcula las siguientes probabilidades:

a) P A B b) P A B c) /P A B d) /P B A

19) Dado un espacio muestral E se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son

1/ 2 2 / 3A y P BP .

a) ¿Pueden ser los sucesos A y B incompatibles? ¿Por qué?

b) Suponiendo que los sucesos A y B son independientes, calcula P(A∪B).

c) Suponiendo que A∪B = E, calcula P(A∩B).

20) De los sucesos aleatorios independientes A y B se sabe que P(A) = 0,3 y que P(BC) = 0,25.

Calcula las siguientes probabilidades:

a) P(A∪B)

b) P(AC∩B

C)

c) P(A/BC)

21) Si A y B son dos sucesos independientes, de un cierto experimento aleatorio, tales que P(A) =

1/3 y P(A∪ B) = 1/2, halla P(B) y P(A∩B/A).



22) Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades:

0,4P A ; 0,2P B y 0,5P A B .

a) ¿Son los sucesos A y B incompatibles?

b) ¿Son sucesos independientes?

23) Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades:

0,4P A ; 0,5P B y 0,7P A B .

a) ¿Son los sucesos A y B incompatibles? Razona la respuesta.

b) ¿Son sucesos independientes? Razona la respuesta.

24) Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que 0,4P A ; 0,5P A B ;

/ 0,5P B A . Calcula:

a) P A B

b) P B

c) /P A B

25) Se consideran los sucesos A, B y C de un experimento aleatorio tales que: 0,09P A ;

0,07P B y 0,97P A B = . Además los sucesos A y C son incompatibles.

a) Estudia si los sucesos A y B son independientes.

b) Calcula /P A B C .

26) Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, de los que se conocen las probabilidades

P(A = 0,65 y P(B)=0,30. Determina las probabilidades que deben asignarse a los sucesos

A B y A B en cada uno de los siguientes supuestos:

a) Si A y B fuesen incompatibles.

b) Si A y B fuesen independientes.

c) Si P(A/B)=0,40.

27) Los resultados académicos de cierto grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de

aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar

las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, cuánto vale la

probabilidad de que:

a) Apruebe alguna de las dos asignaturas.

b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas.

c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas.

d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía?

28) Una alarma de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia los

indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer

indicador es 0,95 y de que se active el segundo es 0,90. Halla la probabilidad de que ante una

emergencia:

a) Se active solo uno de los indicadores.

b) Se active al menos uno de los dos indicadores.

29) Marta y Caty son jugadoras de baloncesto. Marta encesta 2 de cada 5 tiros; Caty, 3 de cada 7.

Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:



a) Ambas han encestado.

b) Ninguna ha encestado.

c) Solo Marta ha encestado.

d) Al menos una ha encestado.

30) En un IES hay dos grupos que cursan Matemáticas II. En el primero el 55% de los estudiantes

son hombres y en el segundo, son mujeres el 60%. Se elige al azar un estudiante de cada grupo.

a) Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

A = “Ambos son mujeres”; B = “Solo uno es mujer”: C = “Los dos son hombres”

b) Razona si el suceso contrario del suceso A es el B, el C, el B C , el B C o algún otro

suceso y calcula su probabilidad.

31) En un proceso de fabricación se sabe que la probabilidad de que un producto sea defectuoso

es 0,1. Si se selecciona una muestra aleatoria de 3 productos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo el segundo sea defectuoso?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, uno de los tres sea defectuoso?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente uno defectuoso?

Probabilidad condicionada y total: Bayes

32) De una muestra de 9 personas, 2 son de nivel socioeconómico bajo, 3 de nivel medio y 4 alto.

a) Si se eligen dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de nivel

socioeconómico bajo?

b) Si se eligen tres personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna sea de nivel alto?

33) Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de plata, un cofre B con 5 monedas de oro y 4

de plata y un tercer cofre C con 2 monedas de oro. Elegimos un cofre al azar y sacamos una

moneda.

a) Calcula la probabilidad de que sea de oro.

b) Sabiendo que ha sido de plata, calcula la probabilidad de que haya sido extraída del cofre A.

34) A la Junta General de Accionistas de una empresa asisten 105 accionistas de los cuales 45

tienen menos de 40 años y 18 más de 60 años. Sometida a votación una propuesta, es rechazada

por la tercera parte de los menores de 40 años, por la tercera parte de los que están entre 40 y

60 años y por 4 personas mayores de 60 años; los demás la aceptan.

a) Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 40 años y

haya aceptado la propuesta.

b) La prensa afirmó que la propuesta había sido aceptada por el 80% de los asistentes, ¿es

correcta la afirmación?

c) Si una persona escogida al azar ha rechazado la propuesta, ¿qué probabilidad hay de que

tenga más de 60 años?

35) Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Lena da en el blanco con probabilidad 7/11 y

Adrián con probabilidad 9/13. Si ambos sucesos son independientes, calcula la probabilidad de

los siguientes sucesos:

a) “Ambos dan en el blanco”.

b) “Sólo Lena da en el blanco”.

c) “Al menos uno da en el blanco”

36) Una urna tiene 25 bolas iguales, que son: 16 negras y 9 rojas. Una segunda urna tiene 30 bolas

iguales, que son: 18 blancas y 12 azules. Se lanza un dado; si sale un 1 o un 2, entonces se



sacan 2 bolas de la primera urna; si se obtiene 3, 4, 5 o 6, entonces se sacan 2 bolas de la

segunda urna. Halla las probabilidades de los sucesos: A = se saca alguna bola negra; B = se

saca alguna bola blanca.

37) Según la revista Allmovil, el 63% de los usuarios de móvil en España tiene un “Smartphone”.

Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a

internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de teléfono móvil solo el 8% lo

emplea para la conexión habitual a internet. Calcula la probabilidad de conectarse

habitualmente a internet a través del teléfono móvil.

38) Sobre una mesa hay dos bolsas iguales opacas. Una de ellas contiene 2 bolas verdes y 3 rojas;

la otra, 4 bolas verdes y 1 roja.

a) Si se elige una bolsa al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola

extraída sea roja?

b) Si se elige una bolsa al azar y se extraen dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las

bolas sean de distinto color?

39) Una caja contiene 7 bolas blancas y 10 negras. Se extrae al azar una bola y se sustituye por

dos del otro color. A continuación se extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que:

a) La segunda bola sea blanca.

b) La segunda bola sea del mismo color que la primera.

40) Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas A y B. La urna A contiene 3 bolas rojas

y 1 negras; la urna B contiene 3 rojas y 2 negras. Se lanza el dado: si el número obtenido es par

se extrae una bola de la urna A; en caso contrario se extrae una bola de la urna B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?

b) Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna A?

Combinatoria (otro tipo de ejercicios)

41) En una bolsa hay 7 bolas blancas y 9 negras. Si se extraen a la vez 3 bolas al azar, calcula la


a) Las 3 bolas sean negras.

b) Una sea negra y las otras 2 blancas.

c) Dos sean negra y 1 blanca.

d) Al menos 1 sea blanca.

42) Un examen de oposición consiste en desarrollar por escrito un tema de un total de 50. El

tribunal elige al azar 2 temas y cada candidato debe contestar correctamente uno de los dos.

a) Halla la probabilidad de que un candidato apruebe la oposición si se sabe solo 35 temas.

b) Si los opositores tienen que contestar correctamente a los dos temas elegidos, ¿cuál será

la probabilidad de aprobar que tiene otro candidato que se sabe 40 de los 50 temas?

43) Pablo y Miguel están jugando a un juego de encestar que consiste en lo siguiente: Desde una

determinada posición, realizas un lanzamiento. Si aciertas el primer tiro, puedes repetir el

lanzamiento y si lo fallas, ya no puedes seguir lanzando. Por tanto, es posible conseguir 0

puntos (fallando el primer lanzamiento), 1 punto (acertando el primero y fallando el segundo) o

2 puntos (acertando los dos lanzamientos). Pablo suele acertar el 70% de sus lanzamientos.

¿Qué puntuación es más probable que consiga Pablo: 0, 1 o 2 puntos?



Soluciones 1. Suceso posible = sacar 2 caras, suceso imposible = sacar 3 caras, suceso muy probable = sacar 1 cara, suceso poco probable = sacar 0 caras. 2. a) P(R) =1/2 P(A) = 1/3 P(V) = 1/6 b) P(No español) = 95/110 3. a)P(RR)=1/15. b) P(NN)=1/15. c) P(MM)=1/15. d) P(VV)=0. e) P(Mismo color)=1/5. f) P(Distinto color)= 4/5

4.a) ( ) 5 / 20 5( / )

( ) 9 / 20 9

P M LP M L

P L

b) (M L) ( ) (M ) 14 / 20 5 / 20 9( / )

11/ 20 11( ) ( )

P P M P LP M L

P L P L

c) 1 1 ( ) ( ) (L M) 1 9 / 20 14 / 20 5 / 20 1/10P L M P L M P L M P L P M P

5.

Aprueba mates Suspende mates

Aprueba Lengua 5 4 9

Suspende Lengua 9 2 11

14 6 20

/ 5 / 9 / 9 /11 2 / 20P M L P M L P M L

6. a) {50}, {51}, {52}, {53}, {54}, {56}, {57}, {58, {59} b) 90. c) 2/5. d) 1/10. 7. a) 1/10. b) 1/100. c) 1/10. 8. a) 1/3; 2/3. b) 4/9. c) 2/9. 9. Favorable a Pablo. 10. a) 1/4. b) 9/64. c) Es ventajoso para el jugador. 11. a) 1/5. b) 3/5. c) 2/5. 12. Son equiprobables. 13. a) 135/245; 130/245; 65/245; 60/245; 60/110; 60/130.

14. Con tabla de contingencia se obtienes P(I/F) = 1/3

15. a) 0,6. b) 0,12. c) 60/112. d) 0,704. 16. a) 0,45. b) 0,55. c) 0,40. 17. a) 0,2. b) 0,7. c) 0,4. d) 0,5. 18. a) 0. b) 0,9. c) y d) 0

19. a) No b) 5/6 c) 1/6

20. a) 33/40 b) 7/40 c) 3/10

21, P(B) = 1/4 P(A∩B/A) =1/4 22. a) No. b) No. 23. a) No. b) Sí. 24. a) 0,2. b) 0,3. c) 2/7. 25. a) No. b) 0. 26. a) 0,95; 0. b) 0,755; 0,195. c) 0,83; 0,12. 27. a) 0,85. b) 0,40. c) 0,15. d) No. 28. a) 0,14. b) 0,995. 29. a) 6/35. b) 12/35. c) 8/35. d) 23/35. 30. a) 0,27; 0,51; 0,22. b) B C; 0,73. 31. a) 0,081. b) 0,271. c) 0,243.

32. a) 1/36 b) 5/42

33. a) 88/135 b) 27/47

34. a) 2/7 b) Falso c) 4/33

35. a) 63/143 b) 28/143 c) 127/143 36. P(A) = 22/75 P(B) = 82/145

37. 0,5147. 38. a) 2/5. b) 1/2. 39. a) 22/51. b) 22/51. 40. 27/40. b) 5/9. 41. a) 35/816. b) 252/816. c) 189/816. 42. a) 0,9143. b) 0,6367. 43. P(2 ptos) = 0,49; P(1 pto) = 0,21; P(0 ptos) = 0,3. Pablo es más probable que consiga 2 puntos.


Tema 11. Estadística 47

Tema 11. Distribuciones de probabilidad.

Veo matemáticas por todas partes. Y tú, ¿también la ves?

Estadística electoral

El método d'Hondt

Método d'Hondt (o escrutinio proporcional plurinominal) es un sistema electoral que se utiliza, generalmente, para repartir los escaños de un parlamento o congreso, de modo no puramente proporcional a los votos obtenidos por las candidaturas. Este método lleva el nombre del político belga Victor d'Hondt. Entre otros países, se utiliza en Argentina, Austria, Bulgaria, Chile, Croacia, España, Finlandia, Países Bajos, Paraguay, Polonia, Portugal, Venezuela, Guatemala y a partir del 2006 también en Colombia. Aunque algunos países de la Unión Europea que no lo utilizan para sus elecciones



internas lo hacen en las elecciones al Parlamento Europeo. Este sistema favorece a los partidos grandes algo más que otro sistema de división llamado Sainte-Laguë. La atribución de los escaños en función de los resultados del escrutinio se realiza conforme a las siguientes reglas:

No se tiene en cuenta aquellas candidaturas que no hubieren obtenido, al menos, el 3 por ciento de los votos válidos emitidos en la circunscripción. En España el listón electoral es del 3% para las elecciones al congreso o parlamento y del 5% para las municipales. Se ordenan de mayor a menor, en una fila, las cifras de votos obtenidos por las restantes candidaturas. Se divide el número de votos obtenidos por cada candidatura por 1, 2, 3, etc. hasta un número igual al de escaños correspondientes a la circunscripción, formándose un cuadro similar al que aparece en el ejemplo práctico. Los escaños se atribuyen a las candidaturas que obtengan los cocientes mayores en el cuadro, atendiendo a un orden decreciente. Cuando en la relación de cocientes coincidan dos correspondientes a distintas candidaturas, el escaño se atribuirá a la que mayor número total de votos hubiese obtenido. Si hubiera dos candidaturas con igual número total de votos, el primer empate se resolverá por sorteo y los sucesivos de forma alternativa. Los escaños correspondientes a cada candidatura se adjudican a los candidatos incluidos en ella, por el orden de colocación en que aparezcan.

Ejemplo práctico: 480.000 votos válidos emitidos en una circunscripción que elija 11 Diputados. Votación repartida en seis candidaturas: A (168.000 votos), B (104.000 votos), C (72.000 votos), D (64.000 votos), E (40.000 votos), F (32.000 votos).

División A B C D E F

1 168.000[1] 104.000[2] 72.000[4] 64.000 [5] 40.000[9] 32.000

2 84.000[3] 52.000[7] 36.000[10] 32.000 20.000 16.000

3 56.000[6] 34.667[11] 24.000 21.333 13.133 10.667

4 42.000[8] 26.000 18.000 16.000 10.000 8.000

5 33.600 20.800 14.400 12.800 8.000 6.400

6 28.000 17.333 12.000 10667 6.667 5.333

7 24.000 14.857 10.286 9.143 5.714 4.571

8 21.000 13.000 9.000 8.000 5.000 4.000

9 18.667 11.556 8.000 7.111 4.444 3.556

10 16.800 10.400 7.200 6.400 4.000 3.200

11 15.273 9.455 6.515 5.818 3.636 2.909

Cada columna corresponde a uno de los partidos. Cada fila se corresponde con un divisor. Los corchetes ([]) indican el orden de asignación.



Por consiguiente: la candidatura A obtiene cuatro escaños, la candidatura B tres escaños, la candidatura C dos escaños y las candidaturas D y E un escaño cada una. Como influyen los votos en blanco, nulos o la abstención En España, el porcentaje mínimo para tener representabilidad es del 3% al parlamento. El voto en blanco se suma al número total de votos del escrutinio, a partir del cual se calcularán los porcentajes de representación. Así, un elevado voto en blanco significa elevar considerablemente el número de votos necesarios para llegar al 3% del total, lo que dificulta la representabilidad de los partidos minoritarios. Los votos nulos no se contabilizan en este cómputo. Por ejemplo, si en un pueblo votan 10.000 personas, con 300 votos se accede a la representación. Si en ese pueblo votan 10.000 personas a partidos, y 5.000 en blanco, el total del escrutinio sería 15.000, y para salir un representante se necesitarían 450, es decir un 30% más de votos. Ventajas e inconvenientes:

Permite que cada partido político obtenga un número de escaños proporcional al número de votos. Por ello puede parecer más justo que el sistema mayoritario, puesto que imposibilita la predominancia de una formación política que no haya recibido el apoyo de una mayoría.

Al reflejar la diversidad del electorado, el resultado es aceptado mejor por el electorado.

Un parlamento con muchos partidos promueve la creación de gobiernos de coalición, lo cual es a menudo un factor de estabilidad y moderación. Sin embargo un gobierno de coalición hace más difíciles las grandes reformas.

La representación de los pequeños partidos puede ser una plataforma para partidos extremistas que pueden llegar a ser claves en gobiernos de coalición.

La relación entre electores y elegidos es débil, al revés que en sistemas mayoritarios uninominales. El uso de listas cerradas da gran poder a la jerarquía de los partidos, lo cual puede limitar su democracia interna.

En España, a nivel nacional, se reparten de la siguiente manera:

A cada provincia le corresponde un mínimo de 2 escaños excepto a Ceuta y Melilla que es 1.

Para los 248 diputados restantes, en primer lugar se obtiene una cuota de reparto, que es el resultado de dividir el total de la población de derecho española entre 248.

Se adjudica a cada provincia un número de diputados como resulte de dividir (en números enteros) la población de derecho de la provincia entre la cuota calculada anteriormente (más el mínimo de escaños).

Si queda un resto de escaños sin repartir, se adjudican a las provincias que han obtenido un decimal mayor de la división realizada en el paso anterior.



1. Distribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento (con resultado numérico) y de la probabilidad relacionada con cada uno.

Cada experimento tendrá asociado una variable aleatoria, que es la función que asocia a cada

elemento del espacio muestral E un número real (su probabilidad). Estudiaremos dos tipos de variables:

• Variables discretas: es aquella que sólo puede tomar determinados valores aislados (nº de piezas defectuosas o nº defectos, nº de erratas en una página, nº de reparaciones, ...)

• Variables continuas: pueden tomar cualquier valor de un intervalo (longitud de una pieza, altura de un alumno, resistencia a la rotura de una pieza, ...)

De cada una de ellas estudiaremos su distribución, media o esperanza matemática y su dispersión. Ponemos algún ejemplo de variables aleatorias:

a. La suma de los resultados obtenidos al lanzar dos dados es una variable aleatoria discreta.

b. El número de veces que hay que lanzar uno de esos dados hasta que salga el número 6 es también discreta.

c. El tiempo que una persona tiene que esperar al autobús es una variable continua. d. El peso de un vaso que llenamos de agua hasta donde queremos es una variable continua.

Ejemplo:

En el experimento consistente en lanzar dos dados numerados del 1 al 6 su espacio muestral es:

Si consideramos la variable aleatoria X = “hallar su suma”, puede tomar cualquier valor entero entre 2 y 12. Las probabilidades de esos valores pueden calcularse mediante la regla de Laplace, teniendo en cuenta que los casos posibles son 36 y que los casos favorables se contabilizan en las diagonales de la tabla de sumas adjunta.

https://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtml

https://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

https://www.monografias.com/trabajos54/resumen-estadistica/resumen-estadistica.shtml



+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Por ello, la distribución de probabilidad de X se resume en la siguiente tabla:

X (suma) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X = i)

2 12i

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

36

2. Distribuciones de probabilidad discretas

2.1. Función de probabilidad

Es la que asigna a cada uno de los valores de la variable aleatoria discreta su probabilidad. Puede definirse como sigue:

i i if x P X x p

Al tratarse de una probabilidad debe cumplir que:

0 1if x

1

1n

i

i

p

la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es igual a 1.

Si x no es alguno de los valores de la variable aleatoria, 0f x .

Ejemplo:

Determinamos la función de probabilidad para el experimento “suma de los resultados al lanzar dos dados”:

La variable aleatoria es "Suma de puntos de los 2 dados"X .

Los resultados posibles del experimento son E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Las probabilidades de cada uno de estos sucesos elementales es:

1

2 236

f P X ; 2

3 336

f P X ; 3

4 436

f P X ; …..

…; 2

11 1136

f P X ; 1

12 1236

f P X

puede comprobarse que:

1 1 0f P X ; 15 15 0f P X

Y que 2 (3) (4) (5) .... (10) (11) (12) 1f f f f f f f



2.2. Función de distribución

A partir de la distribución de probabilidad de la variable X se define la función de

distribución, F x , de dicha variable como sigue:

F x P X x

A cada valor x , F x le asigna la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores

menores o iguales que x .

La función F x acumula probabilidades.

Ejemplos:

a) Para la suma de los resultados de dos dados:

1

2 2 236

P X P XF

1 2 3

3 3 2 336 36 36

P X P X P XF

1 2 3 6

4 4 2 3 436 36 36 36

P X P X P X P XF

….

1 2 3 1 36

12 12 2 3 .... 12 ... 136 36 36 36 36

P X P X P X P XF

b) Si se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar 4 monedas y contar el número

de caras que se obtienen, se tiene: La variable aleatoria X que da el número de caras obtenido toma los valores:

0, 1, 2, 3, 4ix .

Las probabilidades de cada suceso (función de probabilidad) es:

Dado que el espacio muestral es:

;

; ; ; ;

; ; ; : ; ;

C ; C ; ; ;

CCCC

CCC CC C C CC CCC

E CC C C C C CC C C CC

C C

1

0 0 Salga 0 caras16

f P X P

4

1 1 Salga 1 cara16

f P X P

6

2 216

f P X

4

3 316

f P X



1

4 416

f P X .

Y la función de distribución es:

1

0 0 016

F P X P X

1 4 5

1 1 0 116 16 16

F P X P X P X

1 4 6 11

2 2 0 1 216 16

F P X P X P X P X

1 4 6 4 15

3 3 0 1 2 316 16

F P X P X P X P X P X

4 4 0 1 2 3 4

1 4 6 4 1 161

16 16

F P X P X P X P X P X P X

c) Considera el experimento "número obtenido" al lanzar un dado. Escribe la función de probabilidad y la función de distribución correspondiente a este experimento.

Solución:

2.3. Media y varianza de una distribución de probabilidad discreta

Los parámetros estadísticos más usuales son la media, la varianza y la desviación típica. Se calculan como sigue.

La media de una distribución es un valor central que indica la cantidad que correspondería a cada suceso en una repartición igualitaria.



Si una variable aleatoria toma los valores 1 2, , , nx x x , con probabilidades

1 2, , , np p p

, la media, que suele denotarse por la letra griega μ (mu), se calcula mediante la

expresión:

1 1 2 2 ... n nx p x p x p

Es una media ponderada, a cada valor de la variable se le da el peso correspondiente a su probabilidad.

Ejemplos:

1. La media de la variable aleatoria que mide la suma de las puntuaciones de dos dados es:

X (suma) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=i)

2 12i

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

36

1 2 3 2 1 252

2· 3· 4· ... 11· 12· 736 36 36 36 36 36

.

2. La media de la distribución de probabilidad del número de caras que se obtienen al lanzar

cuatro monedas es:

X (nº caras) 0 1 2 3 4

P(X=i)

0 4i

1

16

4

16

6

16

4

16

1

16

1 4 6 4 1 0 4 12 12 4 32

0· 1· 2· 3· 4· 216 16 16 16 16 16 16

.

La media μ de una variable aleatoria también se llama valor esperado o esperanza matemática

de dicha variable y se suele escribir E X .

Ejemplo:

En los exámenes de tipo test (con respuesta múltiple) suele penalizarse el error, pues un examinando puede tener un número importante de aciertos por el mero hecho de contestar al azar. Así, en el caso de preguntas con tres respuestas posibles de las que solo una es correcta, cada acierto debe ser contrarrestado por 2 errores. En efecto:

Si un examinando no sabe nada y responde al azar, su puntuación justa (su calificación

esperada) debe ser 0. Como la probabilidad de acierto es 1/3 y la de fallo 2/3, si por cada acierto suma 1 punto,

por cada error debe restar x, ¿pero cuánto debe ser x?



La esperanza matemática es:

1 2

1· · 03 3

1 2 10 1 2 0

3 2

x

x

E X

x x

Por cada error hay que restar 0,5 puntos para que en respuestas al azar se compensen los

aciertos con los fallos.

La varianza es una medida de la dispersión (de la desigualdad) de los valores de la variable

aleatoria respecto a la media. Se suele designar por 2 .

La desviación típica, , es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Sus valores vienen dados por las expresiones (equivalentes):

2 2 2 22

1 1 2 2

1

· · .... · ·n

n n i i

i

Varianza x p x p x p x p

O bien

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2

1

· · .... · ·n

n n i i

i


La desviación típica se utiliza con mayor frecuencia pues, al estar expresada en las mismas unidades

que la variable X, permite establecer más claramente las comparaciones.

22 2

1 1

· ·n n

i i i i

i i

Desviación típica x p x p

Ejemplos:

1. La varianza de la distribución de suma de las puntuaciones de dos dados es:

2 2 2 2 2 21 2 2 12 · 3 · ... 11 · 12 · 7 5,833

36 36 16 16

Su desviación típica es:

5,833 2,415

b) La varianza de la distribución de suma del número de caras obtenidas al lanzar 4 monedas es:

2 2 2 2 2 2 21 4 6 4 10 · 1 · 2 · 3 · 4 · 2 1

16 16 16 16 16

Su desviación típica es:

1 1



2. Tenemos en una bolsa 10 olivas verdes y 4 negras. Saco 1 oliva y

apunto su color y la devuelvo a la bolsa. Remuevo y repito el

experimento una segunda vez. Y en las mismas condiciones lo

repito una tercera vez. Al acabar miro cuantas olivas negras he

sacado. Llamamos X a la variable aleatoria que indica el número

de olivas negras que he obtenido.

a) Indica los resultados posibles que puede obtener esta variable.

b) ¿Es una variable discreta o continua?

c) Halla la probabilidad de cada uno de estos posibles resultados.

d) Determina la media de esta variable.

e) ¿Averigua el valor de la variable que tiene la probabilidad más cercana posible a esta

media? ¿Qué valor de X tiene una probabilidad más alejada?

f) Determina la varianza y la desviación típica.

g) ¿Qué sentido tiene el valor “media”? ¿Y la desviación típica? Explícalo con tus palabras.

Llamamos X = “Número de olivas negras conseguidas en 3 extracciones sucesivas de la bolsa”.

a) Esta variable X solo puede tomar los valores: 0, 1, 2 o 3.

b) Es una variable discreta, pues toma valores aislados.

c) La composición de la bolsa permanece invariable en las 3 extracciones que se van a a realizar,

por lo que las repeticiones de las extracciones son independientes entre sí.

Las probabilidades se pueden calcular con la ayuda de un árbol, realizado en la siguiente

página. Nos apoyamos en él para expresar las probabilidades pedidas.

P(X = 0) = P( sacar 0 olivas negras) = P(sacar 3 olivas verdes) = {Mirando el diagrama

de árbol} = 10/14 · 10/14 · 10/14 = 0,364

P(X = 1) = P(sacar 1 oliva negra) = P(1ª negra, 2ª verde y 3ª verde) + P(1ª verde, 2ª

negra y 3ª verde) + P(1ª verde, 2ª verde y 3ª negra) = {Mirando el diagrama de árbol} =

4/14 · 10/14 · 10/14 + 10/14 · 4/14 · 10/14 + 10/14 · 10/14 · 4/14 = 0,437

P(X = 2) = P(Sacar 2 olivas negras) = P(1ª verde, 2ª negra y 3ª negra) + P(1ª negra, 2ª

verde y 3ª negra) + P(1ª negra, 2ª negra y 3ª verde) = {Mirando el diagrama de árbol} =

10/14 · 4/14 · 4/14 + 4/14 · 10/14 · 4/14 + 4/14 · 4/14 · 10/14 = 0,175

P(X = 3) = P( sacar 3 olivas negras) = P(sacar 3 olivas negras) = {Mirando el diagrama

de árbol} = P(1ª negra) · P(2ª negra) · P(3ª negra) = 4/14 · 4/14 · 4/14 = 0,023

d) La media es el promedio de cada valor de la variable multiplicado por su probabilidad.

0·0,364 1·0,437 2·0,175 3·0,023 0,856

e) El valor más cercano es 1 (1 oliva negra) y el más alejado es 3 (3 olivas negras).

f) La varianza y la desviación típica nos miden cuan de variables son nuestros posibles resultados,

evidentemente aquí va de 0 a 3, no pueden ser muy grandes. Si obtenemos 8 en la desviación

típica es que nos hemos equivocado en el cálculo.



2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2 2

· · · ·

0 ·0,364 1 ·0,437 2 ·0,175 3 ·0,023 0,856 0,611

0,611 0,781


Varianza

Varianza Desviación típica

g) La media también se llama esperanza, pues es el valor que es más probable que se obtenga. En

este caso si debiese de apostar sería a “Sacar 1 oliva negra”.

La desviación típica nos indica el grado de desviación de este dato central (media) que

tendremos en los resultados obtenidos en la realización de este experimento. Se desvía solo

0,781, o sea, que la mayor parte de las realizaciones del experimento se colocarán entre 0,856 –

0,781 = 0,075 y 0,856 + 0,781 = 1,637 olivas negras. Simplificando entre 0 y 2 olivas negras.

Es altamente improbable sacar 3 olivas negras.

3. Gumersindo, conserje del IES Vicente Medina abre la puerta del centro

para que entren los alumnos que vienen en autobús de una excursión.

Decide contar cuantos hombres entran entre los 3 primeros que pasan por la

puerta. Él sabe que en el autobús van 50 alumnos y de ellos 30 son mujeres.

Suponemos que el acceso al centro se produce de forma totalmente

aleatoria.

Llamamos X a la variable aleatoria que indica el número de hombres que entran entre los 3

puestos.

Saco 3 olivas en extracciones sucesivas

independientes

1ª oliva verde

10/14

2ª oliva verde

10/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14

2ª oliva negra

4/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14

1ª oliva negra

4/14

2ª oliva verde

10/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14

2ª oliva negra

4/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14



a) Indica los resultados posibles que puede obtener esta variable.

b) ¿Es una variable discreta o continua? c) Halla la probabilidad de cada uno de estos posibles resultados.

d) Determina la media de esta variable.

e) Determina la varianza y la desviación típica.

X = “Número de hombres que entran por la puerta en los 3 primeros puestos”

a) Es una variable aleatoria, que puede tomar como valores 0, 1, 2 o 3.

b) Es una variable discreta, solo toma cuatro valores aislados.

c) Es como el ejercicio anterior y se haría un diagrama de árbol semejante, aunque aquí si son

cada una de las entradas dependientes una de otra. Quien entre el 1º influye en la probabilidad

de lo que ocurre en la 2ª entrada. Aunque esta influencia sea mínima.

Nos apoyamos en él para calcular las probabilidades pedidas.

P(X = 0) = P(entren 0 hombres) = P(entren 3 mujeres) = {Mirando el diagrama de árbol}

= P(1º mujer, 2º mujer y 3º mujer) = 30/50 · 29/49 · 28/48 = 0,207

P(X = 1) = P(entren 1 hombre) = P(1º hombre, 2º mujer y 3º mujer) + P(1º mujer, 2º

hombre y 3º mujer) + P(1º mujer, 2º mujer y 3º hombre) = {Mirando el diagrama de árbol} =

20/50 · 30/49 · 29/48 + 30/50 · 20/49 · 29/48 + 30/50 · 29/49 · 20/48 = 0,444

Apuntamos el sexo de los 3 primeros

alumnos que entran

1º alumno hombre

20/50

2º alumno hombre

19/49

3º alumno hombre

18/48

3º alumna mujer

30/48

2º alumna mujer

30/49

3º alumno hombre

19/48

3º alumna mujer

29/48

1º alumna mujer

30/50

2º alumno hombre

20/49

3º alumno hombre

19/48

3º alumna mujer

29/48

2º alumna mujer

29/49

3º alumno hombre

20/48

3º alumna mujer

28/48



P(X = 2) = P(entren 2 hombres) = P(1º hombre, 2º hombre y 3º mujer) + P(1º hombre, 2º

mujer y 3º hombre) + P(1º mujer, 2º hombre y 3º hombre) = {Mirando el diagrama de árbol}

= 20/50 · 19/49 · 30/48 + 20/50 · 30/49 · 19/48 + 30/50 · 20/49 · 19/48 = 0,291

P(X = 3) = P(entren 3 hombres) = {Mirando el diagrama de árbol} = P(1º hombre, 2º

hombre y 3º hombre) = 20/50 · 19/49 · 18/48 = 0,058

Una comprobación mínima es ver que todas estas probabilidades obtenidas suman 1 (el

100%). ¡Es cierto!

d) 0·0,207 1·0,444 2·0,291 3·0,058 1,2

e) 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

2 2 2 2 2

· · · ·

0 ·0,207 1 ·0,444 2 ·0,291 3 ·0,058 1,2 0,69

0,69 0,83


Varianza

Varianza Desviación típica

3. Distribución binomial

Es una de las distribuciones de probabilidad más utilizadas en la práctica estadística. Se emplea cuando el fenómeno de estudio queda determinado por dos sucesos complementarios: si/no; hombre/mujer; nacional/extranjero; trabajador en activo/parado;… En general, esas dos situaciones pueden considerarse resultados de un experimento aleatorio y

a los sucesos contrarios, sin que indique valoración alguna, suelen llamárseles éxito y fracaso.

Las características básicas de una distribución binomial son:

Cada prueba del experimento aleatorio presenta dos únicos resultados, que puede

designarse como éxito y fracaso.

Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros e idénticos.

La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas: P Éxito p .

La probabilidad de fracaso también es constante:

1 1P Fracaso P Éxito p q

La variable aleatoria X, cuenta el número r de éxitos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, ..., n. La distribución binomial queda determinada por los parámetros n y p (número de veces que se realiza el experimento y probabilidad de éxito en cada prueba).

Se indica simbólicamente por B(n, p) y se lee Binomial de parámetros n y p.



Ejemplos:

a) La variable que cuenta el número de caras obtenidas al lanzar 8 monedas es una binomial ya que las repeticiones son independientes entre sí y solo hay dos posibilidades: Cara o Cruz. El éxito es “Sacar cara al lanzar el dado”. El número de repeticiones es 8 y la probabilidad de éxito en cada repetición es la misma y vale P(Sacar cara) = 1/2 = 0’5. Así n = 8; p = 0’5. Esta variable aleatoria es una binomial B(8, 0’5).

b) Si en una determinada región, la tasa de paro entre su población activa es del 12%, si se pregunta a 10 personas de esa población, elegidos al azar, por su situación laboral, el número de parados viene descrito por la binomial de parámetros n = 10 y p = 0’12. Se denota B(10, 0’12).

3.1. Probabilidad de r éxitos

La función de probabilidad que mide el número r de éxitos cuando una prueba de carácter

binomial se realiza n veces y la probabilidad de éxito es p, B(n, p), viene dada por:

r n rn

P X r p qr

, r = 0, 1, 2,..., n.

Damos por conocido el concepto de combinaciones de n elementos tomados de r en r. Por ejemplo, calculamos las combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2.

6·5· 4·3·2·16 6! 6!

2 2!· 6 2 ! 2!·4!

2·1· 4·3·2·1

3015

2

¿Para qué se utiliza y que significa este número? Si tengo 6 personas y debo elegir a 2 de ellas, ¿de cuántas formas distintas puedo hacerlo? La respuesta es que esto son “Combinaciones de 6 elementos disponibles tomados de 2 en 2”.

Se escribe 6

2

.

¿Y cómo se calcula?

6·5· 4·3·2·16 6! 6!

2 2!· 6 2 ! 2!·4!

2·1· 4·3·2·1

3015

2

Aquí aparece el concepto de factorial de un número: 6! 6·5·4·3·2·1 720 1! 0! 1

Otro ejemplo:

6 6! 6!

6 6!· 6 6 !

6!

6 6! 6!1

0 0!· 6 0 !·0!

0!·6!

1

6· 5·4 ·...·16 6! 6!

5 5!· 6 5 ! 5!·1!

5·4 ·...·1

6· 5·4 ·...·16 6! 6!6

1 1!· 6 1 ! 1!·5!·1

1· 5·4 ·...·16

Ejemplos:

1. Para la B(8, 0’5), que cuenta el número de caras obtenidas al lanzar 8 monedas, se tiene:



3 5 8

X es B(8,0´5)

n = 88 8·7 ·6

3 3 r = 3 0 '5 ·0 '5 ·0 '5 0 '2183 3·2

p = 0´5

q = 0´5

P obtener caras P X

.

Análogamente:

6 268·7 · 6·5·4·38

6 0 '5 ·0 '56

P obtener car s Xa P

6·5·4·3

80'5·

92

0'10 .

8 0 88 8·7 ·6 ·5·4 ·3·2

8 0 '5 ·0 '5 ·0 '58 8·7 ·6 ·5·4 ·3·2

8 0 '0039P obtener caras XP

Para este mismo ejemplo, si se plantea la probabilidad de que al menos salgan 2 caras, habrá que calcular:

1 7 0 8

8 8

2 2 3 ... 8

1 1 0

8 81 0 '5 ·0 '5 0 '5 ·0 '5

1 0

8 1 2471 8·0 '5 1·0 '5 1

2560

2'

56 26

569 4

P X P X P X P X

P X P X

2. Para la binomial B(10, 0’12) que estudia el número de parados entre 10 personas elegidas

al azar cuando la tasa de paro es del 12%, se tendrá:

2 8 2 8·10 10·9

2 2 0 '12 0 '88 0 '12 ·0 '882 2

0 '233P parados P X

Para este mismo ejemplo, la probabilidad de que haya menos de 3 parados es:

0 10 1 9 2 8

10 9 2 8

3 0 1 2

10 10 100 '12 0 '88 0 '12 0 '88 0 '12 0 '88

0 1 2

10·91 0 '88 10 0 '12·0 '88 0 '12

· · ·

· · · 0 '891' 102

388

P X P X P X P X

Con esto, la probabilidad de que haya 3 o más parados, 3P X , será:

3 3 ... 12

0 '1081 3 1 0'89131 7

P X P X P X

P X

(En todos los casos es suficiente el redondeo a diezmilésimas).

3. Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces se obtengan 3 caras.

No lo resolvemos con árbol, dado que son muchas repeticiones y el árbol sería muy grande. Se trata de una distribución binomial: Solo tenemos dos resultados posibles: Cara o Cruz. La probabilidad de salir cara es p = 1/2



La probabilidad de salir cruz es q = 1/2 Número de repeticiones n = 5

X = número de caras al lanzar 5 veces una moneda X = B(5, 0´5)

3 2 55 5·4·3 10

3 3 ·0 '5 ·0 '5 ·0 '53 3·2 32

5

16P Obtener caras P X

4. a) Determina el valor de 5!. Nota: Se lee “factorial de 5”.

b) ¿Cuánto vale 9!, se lee “factorial de 9”?

c) ¿Cuánto vale 9

5

, se lee “9 sobre 5” o “combinaciones de 9 elementos tomados de 5

en 5”?

d) Quiero elegir 5 alumnos de entre los 9 componentes de un grupo, ¿de cuantas formas

distintas podría hacerlo?.

e) Si tú eres uno de esos 9 alumnos, ¿de cuantas formas distintas puedo elegir a los 4

alumnos que faltan para formar el grupo de 5?

a) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

b) 9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880

c)

9 9! 9! 9·8·7·6·5·....·1

5 5!· 9 5 ! 5!·4!

5·4·3·2·1

9·8·7·6

·4·3·2·1

4·3·2

9·8·79·2·7 126

4

d) Son combinaciones de 9 elementos tomados de 5 en 5 9

1265

. Se pueden formar de

126 formas distintas.

e) Tendríamos 8 alumnos para elegirlos en grupos de 4

8 8! 8! 8·7·6·5·4....·1

4 4!· 8 4 ! 4!·4!

4·3·2·1

8·7·6

·4·3·2·1

·5

4·3·2

8·7·52·7·5 70

4 . Hay 70 grupos de

los cuales tú formarías parte.

5. En el instituto VM utilizan gafas 200 de los 1000 alumnos del centro.

En una comisión de 9 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que 5 lleven gafas?

Aquí hay muchas repeticiones (9) no podemos hacer un diagrama de árbol, sería enorme,

por lo que intentamos resolver siguiendo la modelización de la binomial. Para ello debo de

comprobar si cumple los requisitos para aplicarla y encontrar sus parámetros (n, p).

X = Número de alumnos que llevan gafas en un grupo de 9.

p = Probabilidad de que un alumno lleve gafas = 200/1000 = 0,2



n = número de repeticiones = 9.

Las repeticiones son independientes entre si y la probabilidad de “llevar gafas” es la misma

en cada repetición.

Es una variable aleatoria binomial, de 9 repeticiones y probabilidad de éxito p = 0,2

X = B(9, 0´2)

5 49

5 ·0,2 ·0,8 0,01655

P X

. La probabilidad de que 5 alumnos de un grupo de 9

lleven gafas es de 0,0165, de un 1,65%. Muy baja.


En una comisión de 9 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que todos lleven gafas?

En este caso no sería necesario utilizar la binomial, pero la usamos para practicar.

Estamos en el mismo experimento que el ejercicio anterior, por lo que:




Las repeticiones son independientes entre si y la probabilidad de “llevar gafas” es la misma

en cada repetición.


X = B(9, 0´2)

9 0 99

9 ·0,2 ·0,8 0,2 0,0000005129

P X

.

La probabilidad de que los 9 alumnos de un grupo de 9 lleven gafas es prácticamente nula.

Es casi imposible.


En una comisión de 9 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno lleve gafas?

En este caso no sería necesario utilizar la binomial, pero la usamos para practicar.

Estamos en el mismo experimento que el ejercicio anterior, por lo que:




Las repeticiones son independientes entre si y la probabilidad de “llevar gafas” es la misma en

cada repetición.


X = B(9, 0´2)



0 9 99

0 ·0,2 ·0,8 0,8 0,1340

P X

.

La probabilidad de que ninguno de los 9 alumnos lleve gafas es 0,134. Es de un 12,4%.

8. La probabilidad de que un huevo se rompa desde el lugar de compra hasta tu casa es de

0,1. Si compramos una docena de huevos, calcula la probabilidad de que hayan 2 o más

huevos rotos al meterlos en el frigorífico.

Es una binomial, pues hay que pensar en

comprobar 12 veces si el huevo está roto

o no. Es inviable hacerlo con un

diagrama de árbol.

X = Número de huevos rotos de

un paquete de 12.

n = número de repeticiones = 12

p = probabilidad de que se rompa un huevo = 0,1

q = probabilidad de que no se rompa un huevo = 0,9

La probabilidad de romperse es igual para todos los huevos. La probabilidad de que

un huevo esté roto no depende del otro huevo.

Es una binomial de parámetros 12 y 0´1.

X = B(12, 0´1)

0 12 1 11

hayan 2 o más huevos rotos 2 2 ... 12

12 121 0 1 1 ·0,1 ·0,9 ·0,1 ·0,9

0 1

1 0,659 0,341

P P X P X P X

P X P X

9. La última novela de Jerónimo Tristante ha tenido un importante éxito, hasta el punto de que el 80 % de los lectores ya la han leído. Un grupo de cuatro amigos son aficionados a la lectura:

i) Describir la variable que indica el número de individuos del grupo que han leído dicha novela. ii) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la obra dos personas? ¿Y al menos dos?

i) Siendo X = “Número de amigos que han leído la novela”.

Tenemos una distribución binomial en la que n = 4; p = 0’8; q = 0’2.

0 44

0 ·0 '8 ·0 '2 0 '00160

P X

1 34

1 ·0 '8 ·0 '2 4 ·0 '8·0 '008 0 '02561

P X



2 24 4·3

2 ·0 '8 ·0 '2 ·0 '64 ·0 '04 0 '15362 2

P X

3 14 4·3·2

3 ·0 '8 ·0 '2 ·0 '512·0 '2 0 '40963 3·2

P X

4 04

4 ·0 '8 ·0 '2 0 '40964

P X

La función de probabilidad queda:

xi 0 1 2 3 4

P(X = xi) 0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096

ii) Lo hayan leido 2 pe 0'1536rsonas 2P P X

Lo hayan leido, al menos, 2 pers

0 '972

onas 2

2 3 4

0 '1536 0 '4096 0 '4096 8

P P X

P X P X P X

¡Observación sobre la tabla binomial!

Hasta hace poco tiempo era “obligado” incluir en los libros de texto una tabla binomial que facilitaba el cálculo de esas probabilidades. En dicha tabla se dan los resultados para algunos valores de n y p. La generalización de calculadoras y ordenadores hace innecesario el empleo de la tabla binomial. Por ejemplo, en Excel:

Si se teclea =DISTR.BINOM(2;10;0,12;0) se obtiene 0,23304317, que es el valor correspondiente a los 2 parados del ejemplo visto anteriormente.

Si se teclea =DISTR.BINOM(2;10;0,12;2) da la probabilidad acumulada correspondiente a 0, 1 o 2 parados, que es 0,891318206.

3.2. Media y varianza de la binomial B(n, p)

La media y varianza de la distribución B(n, p) se obtiene a partir de sus parámetros:

Media: ·n p

Varianza: 2 · ·n p q

En consecuencia la desviación típica vale · ·n p q



Ejemplos:

a) La probabilidad de que un televisor sea defectuoso es del 3%. Hallar:

i) El valor esperado de televisores defectuosos en un lote de 500 televisores. ii) La varianza y la desviación típica.

Se trata de una distribución binomial donde n = 500; p = 0’03; q = 0’97. i) El valor esperado es la media o esperanza: · 500·0'03 15 televisoresn p

ii) La varianza es 2 · · 500·0'03·0'97 14'55n p q

La desviación típica es 3,8114'55 televisores

b) Determina la media y desviación típica de la variable que cuenta el número de caras

obtenidas al lanzar 8 monedas. Se trata de una binomial B(8, 0’5), su media y desviación típica es:

Media: · 8·0 '5 4 carasn p

Desviación típica: · · 8·0'5·0 2'5 1,4 carap q sn

Por tanto, cuando se tiran 8 monedas cabe esperar 4 caras.

c) Se considera la variable X = “número de parados en muestras de 50 individuos”. Calcula su media y su desviación típica. Se trata de una binomial B(50, 0’12), que puede servir para determinar el número de parados en muestras de tamaño n = 50.

Media: μ = 50 · 0,12 = 6 parados

Desviación típica: · · 50·0'12·0'88 2́ 3 paradn osp q

Para valores grandes de n, la probabilidad de cada uno de los posibles sucesos (de un número r de éxitos) es muy pequeña, sobre todo para valores de X alejados de la media. Así, por ejemplo, para la binomial B(50, 0´12), se dan las siguientes probabilidades:

P(X = 2) = 0,03816514 P(X = 8) = 0,10754701 P(X = 12) = 0,0084088 P(X = 15) = 0,00039533.

La probabilidad de que haya 6 parados (que sería el número esperado, la media) es: P(X = 6) = 0’1711.

En el gráfico de barras que sigue se dan las probabilidades de cada uno de los sucesos asociados a la B(50, 0’12). En el eje OX se indican los valores de X; en OY sus probabilidades.



La media es el valor esperado o con más probabilidad de que ocurra y la desviación

típica nos informa de lo dispersos que están los posibles resultados.

Por ejemplo, en la variable X = “número de parados en muestras de 50 individuos” la media es de 6 parados y la desviación típica es de 2´3 parados. Significa que lo más frecuente es que surjan 6 parados en cada grupo de 50 y que esta cifra no suela estar por debajo de 6 – 2´3 = 3´7 parados ni por encima de 6 + 2´3 = 8´3 parados.

Ejercicios.

1) Calcular: a) 10 10

7 3

b) 11 11

5 6

c) 7 7

7 0

. ¿Qué conclusión podemos sacar?

2) El director de marketing de un equipo de baloncesto ha calculado que el porcentaje de

seguidores en una ciudad es del 35%. Se escoge al azar una muestra formada por 10 personas y se considera la variable que expresa el número de seguidores en la muestra. a) Estudia si la variable sigue una distribución binomial. b) En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.

3) Un estudio sobre la población activa de una ciudad revela que 4 de cada 15 trabajadores

utiliza el metro. Se escoge al azar una muestra formada por 30 trabajadores y se considera la variable que expresa el número de usuarios de metro en la muestra. a) Determina si la variable sigue una distribución binomial. b) En caso afirmativo, halla los parámetros de la distribución.

4) En una ciudad se sabe que la probabilidad de padecer la gripe en el mes de enero es de

1/5. Se escoge una muestra al azar formada por 30 personas. Se pide: a) Esperanza matemática y su interpretación. b) Varianza

5) En la especie ovina, el color de lana blanco domina sobre el negro. Por ello, al cruzar una

oveja de lana blanca con un carnero de lana negra, la probabilidad de que la descendencia sea blanca es de 0,75. Si se realizan 8 cruzamientos de este tipo, ¿cuál es el número medio de corderos blancos esperado?

6) Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar: si o no. Suponiendo que no se saben las respuestas y se contesta al azar, halla: a) probabilidad de obtener 5 aciertos. b) probabilidad de obtener algún acierto. c) probabilidad de obtener más de 7 aciertos

7) El 53% de los trabajadores de una determinada empresa son mujeres. Si elegimos 8

personas de esa empresa al azar, calcula la probabilidad de que haya: a) Alguna mujer. b) Más de 6 mujeres.



c) Halla la media y la desviación típica.

8) La probabilidad de que un determinado juguete salga defectuoso es de 0,03. Calcula la probabilidad de que en un lote de 60 de estos juguetes haya: a) Alguno defectuoso. b) Menos de dos defectuosos. c) Halla la media y la desviación típica.

9) Una determinada película de la cartelera ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que ya la ha ido a ver el 10% de la población. Si se reúnen cuatro amigos, hallar: a) Probabilidad de que la hayan visto dos de ellos. b) Probabilidad de que la hayan visto dos o tres de ellos. c) Probabilidad de que nadie la haya ido a ver. d) Probabilidad de que la haya visto al menos uno de ellos. e) Probabilidad de que la hayan visto todos.

10) El 5% de los clientes de una entidad bancaria son morosos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un moroso entre 10 clientes que han entrado en la oficina?

Soluciones. 1) a) 120; 120 b) 462; 462 c) 1; 1. Valen lo mismo, ya que la suma de los números inferiores es igual al número superior. 2) B(10; 0,35) 3) B(30;4/15) 4) B(30; 0,2). μ = 6 personas. σ2 = 4´8 5) B(8; 0,75). μ = 6 corderos blancos. 6) a) P(X = 5)= 0´244 b) P(X≥1) = 0´999 c) P(X>7) = 0´054 7) a) P(X ≠0) = 0´997 b) P(X>6) = 0´05 c) 𝜇 = 4´24; 𝜎 = 1´41 8) a) P(X ≥1) = 0´839 b) P(X<2) = 0´459 c) 𝜇 = 1´8; 𝜎 = 1´32 9) a) 0,0486 b) 0,0522 c) 0,6561 d) 0,3439 e) 0,0001 10) X = B(10, 0´05). P(X≥1) = 1–P(X=0) = 0´4013



4. Distribuciones de probabilidad continua

Una variable estadística se llama continua cuando puede tomar todos los valores de un

intervalo.

Así, por ejemplo, son variables estadísticas continuas, las estaturas y pesos de los

individuos, los tiempos de espera de un autobús, el tamaño de una determinada variedad de

manzanas, etc.

Para estas distribuciones, la probabilidad de un valor concreto es 0, pues el número de casos

posibles es infinito. Por ejemplo, la probabilidad de que una persona mida exactamente 172,12345678910… cm es 0; altura tan improbable como que mida exactamente 172,000… cm.

En cambio, la probabilidad de que una persona mida entre 171,5 cm y 172,5 cm sí podrá calcularse.

Esto es, si X es la variable que mide la estatura de una persona, se tendrá:

172,12345.... 0 ; 172,000... 0P X P X .

En cambio, 171,5 172,5 ¿desconocido?P X , valor que dependerá de la población de

estudio.

4.1. Función de probabilidad

Esta función, que también se llama función de densidad, es la que permite el cálculo de probabilidad para distribuciones continuas. La probabilidad de que la variable tome valores en

un intervalo, P a X b , será el área del recinto plano limitado por la función de densidad y

el eje OX cuando ,X a b .

Esto es, si la función de densidad es f (x),

( )b

aP a X b f x dx .

En general, para que f (x) sea una función de densidad debe cumplir:

1) 0f x para todo valor x de su dominio: para todos los valores que pueda tomar la

variable aleatoria.

2) El área limitada por la curva de f (x) y el eje de abscisas, vale 1: ( ) 1f x dx

3) La probabilidad de que la variable tome valores en un intervalo [a, b], es:

( )b

aP a X b f x dx



Observación:

La probabilidad de que X tome el valor a, ( ) 0a

aP X a f x dx , que se

corresponde con el área de una rectángulo de base 0. Por tanto, son iguales las probabilidades:

P a X b P a X b P a X b P a X b = = =

Ejemplo:

La función 0,1 0 10

( )0

si xf x

en otro caso

,que puede describir el tiempo de espera, en minutos,

hasta que llega un tren de cercanías, es una función de densidad. La probabilidad de que haya que esperar entre 2 y 6 minutos es el área del rectángulo sombreado en la figura adjunta, que vale 4 · 0,1 = 0,4. Naturalmente coincide con el valor:

6 6

220,1 0,1 0,1·6 0,1·2 0,4dx x

4.2. Función de distribución

La función de distribución, F(x), asigna a cada valor x la probabilidad de que la variable X

tome valores menores o iguales que x. Se define como sigue:

( ) ( )x

F x P X x f t dt

F(x) es una función acumulativa y creciente; toma valores comprendidos entre 0 y 1.

Ejemplo:

La función de distribución asociada a la función 0,1 0 10

( )0

si xf x

en otro caso

es:

00

( ) 0,1 0,1 0,1 ; 0,10x x

F x dt t x siendo x

Con esto, por ejemplo:

(4) 4 0,4F P X

(6) 6 0,6F P X



4 6 (6) (4) 0,6 0,4 0,2P X F F

(10) 10 1F P X

4.3. Media y varianza

Si una distribución de variable continua X tiene función de densidad f (x), su media y varianza se determinan como sigue: Media:

· ( )x f x dx

. Si el dominio de f (x) es [a, b]: · ( )

b

ax f x dx

Varianza:

22 2 2· ( ) · ( )x f x dx x f x dx

. Si el dominio de f (x) es [a, b]:

2 2 2· ( )b

ax f x dx

La desviación típica es σ, la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo:

Para la distribución continua definida por la función 0,1 0 10

( )0

si xf x

en otro caso

, se tiene:

La media es:

102 2 2

10

00

10 0·0,1 0,1· 0,1· 0,1· 5

2 2 2

xx dx

. Como era lógico pensar.

La varianza es:

103 3 3

102 2 2

00

10 0 100 25·0,1 5 0,1 25 0,1 0,1 25 25

3 3 3 3 3

xx dx

La desviación típica es: 25

2,893

5. Distribución de probabilidad normal

Es una distribución de probabilidad continua asociada (teóricamente) a multitud de fenómenos naturales y cotidianos (cociente intelectual, talla o peso de las personas; tamaño de los frutos de cualquier tipo de árbol…), que se caracteriza porque la mayoría de los resultados tienden a agruparse en torno a su media. Una variable con distribución normal queda totalmente definida por su media μ y por su desviación típica σ. Se denota como N(μ, σ). La expresión analítica de la función de densidad de la distribución normal es

21

21( )

2

x

f x e



Su gráfica es la conocida “campana de Gauss”.

Esta función cumple las siguientes propiedades:

Está definida para todo número real, es decir, en el intervalo – , : la variable

puede tomar cualquier valor; siendo ( ) 0f x para todo x.

El área por debajo de la curva vale 1. Esto es:

21

211

2

x

e dx

Es simétrica respecto a su media μ. El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

Aunque la variable puede tomar cualquier valor entre –∞ y +∞, la probabilidad de que tome valores alejados de la media es prácticamente nula, pues se cumple que: El área delimitada por la curva y el eje OX entre y es 0,6826; entre 2

y 2 es de 0,9544 y entre 3 y 3 es de 0,9974.

De hecho, a los valores que están a una distancia superior a 3,5σ de la media se les asigna una probabilidad 0.

Ejemplo:

Supongamos que la estatura de los jóvenes de 20 años de una determinada región es una variable estadística X, que se distribuye de acuerdo con la normal de media μ = 175 cm y deviación típica σ = 9 cm. X = N(175, 9). Entonces, puede asegurase, con las probabilidades que se indican, que:

P(de que un joven mida menos de 175 cm) = P(X < 175) = 0,5 La mitad de los jóvenes tiene una estatura por debajo de la media; la otra mitad medirá más de 175 cm.



0,6826

175 9 175 9 0,6826

166 184 0,6826

P X

P X

P X

(El 68,26% de los jóvenes de esa región tiene una estatura comprendida entre 166 y 184 cm).

2 2 0,9544

175 18 175 18 0,9544

157 193 0,9544

P X

P X

P X

(El 95,44% de los jóvenes de esa región tiene una estatura comprendida entre 157 y 193

cm).

La variación de la media y de la desviación típica originan cambios en la curva, desplazándose a izquierda o derecha o haciéndose más esbelta o más baja, como puede verse en la figura.

Recuérdese que la desviación típica es una medida de la dispersión de los elementos de una población. Una desviación típica más grande significa que los datos son más heterogéneos; por eso las curvas normales con mayor desviación típica son más planas, que es un indicador de que los datos pueden estar más alejados de la media. Cuando la igualdad entre los datos es grande, la desviación típica es pequeña; y al revés.

Ejemplo:

Si en una clase de 2º de bachillerato la variable edad tiene una media de 17 años y una desviación típica de 0,5 años y puede admitirse que se distribuya como una normal de parámetros N(17, 0,5). Y en esa misma clase, la variable estatura se distribuye con media 171 cm y desviación típica 11 cm: N(171, 11). Se puede concluir que los valores de estatura son más heterogéneos que los de edad.



5.1. Distribución normal de media 0 y desviación típica 1: Z = N(0, 1). Distribución normal estándar.

El comportamiento estadístico normal hace que puedan asignarse valores de probabilidad a cualquier suceso de la variable estudiada. Esto es, se puede saber (pues está tabulado) la probabilidad de que la variable tome valores comprendidos entre los extremos de un intervalo dado. Lo que está tabulado es la función de distribución en el caso de la curva normal de media μ = 0 y desviación típica σ = 1, la normal N(0, 1). La función de distribución, F(x) , da la superficie del recinto limitado por la función de densidad,

y f x definida más arriba, y el eje OX, desde –∞

hasta un valor determinado z, esto es

21

21

( )2

z x

P Z z F z e dx

Este valor del área da la probabilidad de que la variable Z, tome valores menores que z. (Cuando se trata de la N(0, 1), la variable aleatoria suele designarse por la letra Z).

Tabla normal estándar: N(0, 1)

La tabla normal N(0, 1) puede encontrarse fácilmente en internet. Habitualmente los valores de la tabla indican la probabilidad de que la variable Z, N(0, 1), tome valores entre –∞ y z, es decir, P(Z < z).

Los demás valores se obtienen teniendo en cuenta la simetría de la curva y que el área total por debajo de la curva vale 1.

Así, a partir del valor P(Z < z) , pueden obtenerse los valores de P(Z > z), P(Z < – z), P(Z > – z), P(0< Z <z) y P(–z < Z < z) .

En esta tabla, la cifra de las unidades y de las décimas se muestran en la columna de la izquierda, la de las centésimas en la fila superior. Por ejemplo la P(Z<1,67) lo localizo en la tabla y obtengo su valor 0,9525. Si busco el valor de “a”, tal que P(Z < a) = 0,7357, lo hago al contrario localizo el 0,7357 y de ahí obtengo el valor de “a”, siendo a = 0,63. En la tabla solo aparecen valores positivos de Z entre 0 y 4.



ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo z.

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998

3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999



Los valores de P Z z lo buscamos en la tabla, pero tenemos que visualizar la probabilidad

como un área bajo la campana de Gauss. Hacemos un repaso de los valores que nos pueden surgir en un problema. Teniendo en cuenta que es Z = N(0, 1). Las características de la “campana de Gauss” son: El valor central es el 0, la gráfica es simétrica y el área que hay debajo de toda la curva es 1.

= P(–∞ < Z < +∞) = 1

0 0,5P Z 0 0,5P Z

P Z a P Z a

P Z a P Z a

P a Z b P b Z a

P a Z b



5.2. ¿Cómo calcular la probabilidad pedida usando la tabla y sus características: simetría y área total = 1?

Ejemplos:

a. Calcular 1,28P Z

Esta probabilidad se puede encontrar directamente en

la tabla.

Buscamos en la tabla la intersección de la fila que comienza por 1,2 y la columna correspondiente a 0,08. Y obtenemos P(Z ≤ 1,28) = 0,8997. Puede decirse que

aproximadamente el 89,97% de los valores de la variable están distribuidos entre –∞ y 1,28.

b. Calcular 0,65P Z

Esta probabilidad no se puede encontrar directamente en la tabla. Utilizamos la probabilidad del suceso contrario.

0,65 1– 0,65 1– 0,7422 8 0,257P Z P Z

Buscamos en la tabla la intersección de la fila 0,6 y la

columna correspondiente a 0,05. Y obtenemos P(Z ≤ 0,65) = 0,7422. Puede decirse que el 25,78% de los valores de la

variable están distribuidos por encima de 0,65.

1P Z a P Z a

c. Calcular 1,17P Z

La tabla sólo ofrece probabilidades para valores positivos de la variable Z. Teniendo en cuenta la simetría de la función densidad, y que el área bajo toda la curva es 1, se

obtiene:

–1,17 1,17 1– 1,17

1– 0,1210,8790

P Z P Z P Z

1P Z a P Z a P Z a

d. Calcular 1,76P Z

Teniendo en cuenta la simetría de la función densidad, y que el área bajo toda la curva es 1, se obtiene:

8 0,9–1,76 1 60,76P Z P Z

P Z a P Z a



e. Calcular 0,35 2,08P Z

La probabilidad pedida se calcula restando el área mayor

menos el área menor.

0,35 2,08 2,08 – 0,

4

35

0,98 0 0,3412 – ,636 48

P Z P Z P Z

P a Z b P Z b P Z a

f. Calcular 1,03 1,74P Z

Uno de los valores de la variable Z es positivo y otro

negativo, por tanto, se resta el mayor al menor y a su vez, el negativo se pasa a positivo como en el ejemplo d).

–1,03 1,74 1,74 – –

6

1,03

1,74 – 1– 1,03

0,9591– 1– 0,848 0 05 ,8 7

P Z P Z P Z

P Z P Z

1P a Z b P Z b P Z a

g. Calcular 1,83 0,32P Z

Como consecuencia de la simetría de la función densidad: la probabilidad pedida es la misma que positiva. Luego:

–1,83 –0,32 0,32 1,83

1,

9

83 – 0,32

0,9664 – 0,6255 0,340

P Z P Z

P Z P Z

P a Z b P b Z a P Z a P Z b

Ejemplos:

Siendo Z una variable normal N(0,1), las probabilidades siguientes son:

a) 0,8 1 0,8 0,21191 0,7881P Z P Z

b) 0,75 0,75 0,21 0,75 1 0,7 266734P Z P Z P Z

c) 0,9 1,25P Z



1,25 0,9

0,8944 1 0,9

0,8944 1 30,8159 0,710

P Z P Z

P Z

5.3. Cálculo del valor de z a partir de su probabilidad asociada

La tabla normal se emplea también en sentido contrario, para hallar la abscisa (el valor de Z) correspondiente a una probabilidad determinada. Esto es, igual que se sabe que P(Z < 1) = 0,8413, en sentido contrario la pregunta sería:

¿Cuánto debe valer z para que 0,8413P Z z ?

La respuesta es evidente: el valor de z debe ser 1. Pero, ¿cómo se averigua el valor de a en cualquier otro caso?

Ejemplos:

1. Calcular a si P(Z < a) = 0,6331

Si 0,6331 > 0,5 entonces a > 0.

El valor 0,6331 corresponde a la fila 0,3 y a la columna 0,04 luego:

0,3 0,04 0 3 , 4a

2. El valor de z tal que 0,9207P Z z es z = 1,41. Para determinarlo basta con buscar en la

tabla normal el valor de Z correspondiente a una probabilidad de 0,9207.

3. Calcular a si P(Z < a) = 0,3409

Si 0,3409 < 0,5 entonces a < 0. Si a < 0 entonces hacemos a = –b

– 1– 0,3409

0,6591

P Z a P Z b P Z b P Z b

P Z b

El valor 0,6591 corresponde a la fila 0,4 y a la columna 0,01 luego:

0,4 0,01 0,41 –0,4 1b a

4. Si la pregunta es: ¿cuánto debe valer Z para 0,8P z Z z ? Se procede así:

Como 1 2· 1P z Z z P Z z P Z z P Z z P Z z P Z z

2· 1 0,8P z Z z P Z z

2· 1 0,8 2· 1,8 0,9P Z z P Z z P Z z

Buscando en la tabla 0,9P Z z , encontramos que z = 1,28



5. Un caso que se presenta con frecuencia es encontrar el intervalo – ,z z que contiene el 95%

de los datos de la variable estadística. Esto es, hallar el valor z tal que 0,95P z Z z

Repitiendo los pasos realizados en el ejemplo anterior:

1,95

2· 1 0,95 0,97 1,2

65 9P z Z z P Z z P zZ z

¿Si el valor de probabilidad no figura en la tabla? se tomará el más cercano. Así se acaba de hacer en el ejemplo 5: en la tabla el valor más cercano a 0,9000 es 0,8997.

También puede optarse por la interpolación. Así, para 0,995P Z z se toma z = 2,575,

intermedio entre 2,57 y 2,58, cuyos valores de probabilidad respectivos son 0,9949 y 0,9951. El

valor de z es el promedio de los dos valores: 0,9949 + 0,9

0,95

02

1995

5.4. Tipificación

Las distribuciones normales con las que se trabaja en la práctica no son la estándar: la N(0, 1).

Son distribuciones con media μ (¡la que sea!) y desviación típica σ (¡la que sea!): X = N(μ, σ).

Tipificar una variable consiste en transformar una distribución normal cualquiera

X = N(μ, σ) en otra normal estándar Z = N(0, 1). Esta transformación consiste en: 1. Trasladar o centrar, es decir, hacer que la media sea cero (μ = 0).

2. Reducir (contraer o dilatar), es decir, hacer la desviación típica uno (σ = 1).

Para conseguir todo esto se aplica el cambio de variable:

XZ



Ejercicios:

Distribución Binomial

1. Un dado, cuyas caras están numeradas del 1 al 6, se lanza cinco veces. Halla la probabilidad de

que el número 3 salga:

a) Exactamente dos veces. b) Una vez a lo sumo. c) Más de una vez.

2. Se lanza una moneda correcta 10 veces y se mide el número de caras obtenidas.

a) ¿Cuántos resultados forman el espacio muestral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 4 caras?

3. En una moneda trucada la probabilidad de obtener cara es 0,4. Si se lanza 5 veces, calcula la

probabilidad de obtener al menos 3 caras.

4. Un examen consta de 8 preguntas con 3 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de ellas

es correcta. Si un estudiante responde al azar marcando las respuestas aleatoriamente, calcula la


a) No acierte ninguna respuesta correcta.

b) Acierte 6 o más preguntas.

5. Una compañía de seguros estima que la probabilidad de que un asegurado de motocicleta tenga

algún tipo de accidente es 0,15. De 10 asegurados, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos

2 accidentados?

6. En un Centro Comercial el 35% de los consumidores utiliza el coche para hacer la compra. Si se

eligen al azar 7 consumidores que hayan realizado la compra en dicho Centro Comercial:

a) ¿Cuál es la probabilidad de 3 de ellos hayan ido en coche a comprar?

b) ¿Cuál es la probabilidad de todos hayan ido en coche?

7. En una ciudad, el 15% de sus ciudadanos tocan algún instrumento musical. Si se eligen 8

personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 de ellas toquen algún instrumento?

8. Se lanza un dado al aire 5 veces. Halla la probabilidad de:

a. Obtener dos veces un 5.

b. Obtener más de dos veces un 5.

9. El 30 % de los tornillos de una gran partida son defectuosos. Si se cogen tres tornillos al azar,

calcula:

a. La probabilidad de que los tres sean defectuosos.

b. La probabilidad de que solamente dos sean defectuosos.

c. La probabilidad de que ninguno de ellos sea defectuoso.

10. Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría en el 80 % de los enfermos a los que se le

aplica. Se suministra a 5 enfermos. Se pide :

a) Calcula la probabilidad de que los 5 pacientes mejoren.

b) Calcula la probabilidad de que, al menos, tres no experimenten mejoría.

c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren?



11. Se reparten unas invitaciones sabiendo que el 40 % de los invitados asistirán al acto. Se

seleccionan al azar 10 invitados. Calcula:

a) La probabilidad de que solo tres acudan al acto.

b) La probabilidad de que acudan más de tres.

12. Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la

probabilidad de que haya:

a) Como mucho tres niñas.

b) Al menos una niña.

c) Al menos ocho niños.

d) Al menos una niña y un niño.

13. Una encuesta revela que el 20 % de la población es favorable a un determinado político. Elegidas seis personas al azar, se desea saber:

a) Probabilidad de que las seis personas sean favorables al político. b) Probabilidad de que las seis personas le sean desfavorables. c) Probabilidad de que menos de tres personas le sean favorables.

14. Una prueba de inteligencia está compuesta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y decide contestar de forma aleatoria. Se pide :

a) Probabilidad de no acertar ninguna pregunta. b) Probabilidad de acertar exactamente cuatro preguntas. c) Probabilidad de acertar todas las preguntas. d) Probabilidad de acertar al menos siete preguntas. e) Probabilidad de acertar menos de cuatro preguntas.

15. Se va a construir una planta nuclear en cierta comunidad. Se sabe que el 80 % de la población

se opone a la construcción de dicha planta y el 20 % restante está a favor.

a) Si se elige al azar una muestra de cinco personas, ¿cuál es la probabilidad de que tres o más

estén a favor de la construcción?

b) Si se elige al azar una muestra de 20 personas, ¿cuál es la probabilidad de que todas estén

en contra de la construcción?

16. Si el 20 % de las tartas elaboradas en una fábrica tienen trazas de nueces, ¿cuál es la

probabilidad de que, entre cuatro tartas elegidas al azar, a lo sumo dos contengan trazas de

nueces?

17. Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de

que un cachorro sea macho es de 0,55 :

a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras.

b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.

18. Si la probabilidad de que ocurra un suceso A es P(A) = 1/5, ¿cuál es el mínimo número de

veces que hay que repetir el experimento para que la probabilidad de que ocurra al menos una

vez el suceso A sea mayor que 1/2? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos dos veces A

al realizar 5 veces el experimento?



19. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de

buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones

viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

a) Las cinco personas.

b) Al menos tres personas.

c) Exactamente dos personas.

Distribución Normal

20. Utilizando la tabla normal N(0, 1) calcula:

a) 1,2P Z b) 1,27P Z

c) 1,2P Z d) 1,27P Z

21. Utilizando la tabla normal N(0, 1) calcula interpolando:

a) 1,325P Z b) 1,645P Z c) 0,666P Z

d) 1,863P Z e) 1,45P Z f) 1,42P Z

22. Utilizando la tabla normal N(0, 1), determina el valor de k que cumple:

a) 0,9115P Z k b) 0,9452P Z k

c) 0,1587P Z k d) 0,95P Z k

23. Para una distribución normal N(50, 5), halla:

a) 56P X b) 58P X c) 48P X d) 48 56P X

24. Supongamos que la estatura media de las alumnas de bachillerato se distribuye normalmente

con media μ = 166 cm y desviación típica 9 cm. Si se elige una alumna al azar halla la

probabilidad de que su estatura sea:

a) Superior a 175 cm. b) Inferior a 155 cm. c) Esté entre 155 cm y 175 cm.

25. Para una distribución normal N(60, 5), determina el valor de k que cumple:

a) 0,90P X k b) 0,95P X k c) 60 60 0,9544P k X k

26. Supongamos que los chicos de 15 años de un determinado país tienen una estatura que se

distribuye según una normal de media 168 cm y desviación típica 12 cm. Si se quieren

seleccionar al 5% de los chicos más altos, ¿a partir de qué altura debe hacerse?

27. El diámetro de las ciruelas de una determina variedad se distribuye normalmente con media 4,5

cm y desviación típica 0,3 cm. Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10% de las más

grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas?

28. La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de 40

años. Se sabe además que el 2,28 % de los habitantes tiene más de 60 años.

a) ¿Cuál es la desviación típica?

b) ¿Cuál es el porcentaje de habitantes con menos de 35 años?



29. La duración de una determinada marca de lavadoras se ajusta a una normal de media 8,4 años y

desviación típica 6 meses. El fabricante asegura que sus lavadoras duran más de 7 años,

comprometiéndose a: “si una lavadora se estropea antes de 7 años le damos otra nueva”.

¿Cuántas lavadoras nuevas tendrá que reponer por cada 10000 vendidas?

30. Los envases de cartón de una determinada marca de leche contienen 1 litro de media, siendo la

desviación típica de 5 ml.

a) ¿Qué porcentaje de envases sobrepasan los 1005 ml.

b) Si el control de calidad rechaza los envases que contengan menos de 990 ml y más de 1010

ml, ¿qué porcentaje de envases habrá que rechazar?

Soluciones

1. a) 0,16075. b) 0,80375. c) 0,19625.

2. a) 1024. b) 105/5122.

3. 0,31744.

4. a) 256/6561. b) 129/6561.

5. 0,4557.

6. a) 0,2679. b) 0,00064.

7. Se trata de una binomial B(8, 0’15). 2 0,34282P X

8.a) 625/3888 b) 3875/3888

9.a) 0’027 b) 0,189 c) 0,343

10. a) 0,3277 b) 0,05792 c) 4 pacientes

11. a) 0,215 b) 0,618

12. a) 0,1719 b) 0,9991 c) 0,0547 d) 0,9980

13. a) 0,000064 b) 0,2621 c) 0,9011

14. a) 0,0563 b) 0,1459 c) 0,0000009 d) 0,0035 e) 0,7759

15. a) 0,0579 b) 0,1153

16. 0,9728

17. a) 0,3675 b) 0,609

18. el número mínimo de veces es 4. 0,2627

19. a) 0,132 b) 0,791 c) 0,164

20. a) 0,8849. b) 0,8980. c) 0,1151. d) 0,1020.

21. a) 0,9074. b) 0,95. c) 0,74732. d) 0,96881. e) 0,0735. f) 0,9222.

22. a) 1,35. b) 1,6. c) –1. d) 1,645.

23. a) 0,8849. b) 0,0548. c) 0,3446. d) 0,5403.

24. a) 0,1587. b) 0,1112. c) 0,7301.

25. a) 66,4. b) 51,775. c) 10.

26. 187,74 cm.

27. 4,884 cm.

28. a) 10. b) 30,85 %.

29. 26.

30. a) 15,87% b) 4,56%


Ejercicios resueltos 85

Ejercicios resueltos de probabilidad Son 28 ejercicios resueltos de distintas formas. Leer solo los que consideréis necesarios y elegir el

método que consideréis más conveniente por vuestra forma de razonar.

1. Extraemos una tarjeta de cada una de estas bolsas.

a) Calcula la probabilidad de obtener una S y una I, “SI”. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “NO”? c) ¿Son sucesos contrarios “SI” y “NO”?

Resuélvelo rellenando esta tabla.

S S N

I SI

O

O SO

Solución. Rellenemos la tabla:

S S N

I SI SI NI

O SO SO NO

O SO SO NO

a) P(SI) = 2

9

b) P(NO) = 2

9

c) No, no son sucesos contrarios, pues P(SI) ≠ 1 – P(NO)

2. Lanzamos dos veces un dado cúbico de seis caras y sumamos las puntuaciones obtenidas. Calcula la probabilidad de los sucesos elementales.

Solución.

El espacio muestral de nuestro experimento es E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Sin embargo, los sucesos no son equiprobables, así que consideramos el experimento "lanzar un dado dos veces" y definimos su espacio muestral, cuyos sucesos sí son equiprobables. E = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,



5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } Hay un total de 36 resultados posibles al lanzar 2 dados. Se debe apreciar que (2,1) y (1,2) se consideran resultados distintos. De lo que se deduce que es más probable sacar 1 y 2 que sacar 2 y 2.

Aplicando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de cada uno de los sucesos.

Suceso Casos favorables Nº de casos favorables

Probabilidad

{ 2 } (1, 1) 1 1 / 36

{ 3 } (1, 2), (2, 1) 2 2 / 36

{ 4 } (1, 3), (3, 1), (2, 2) 3 3 / 36

{ 5 } (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) 4 4 / 36

{ 6 } (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) 5 5 / 36

{ 7 } (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 6 6 / 36

{ 8 } (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 5 5 / 36

{ 9 } (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) 4 4 / 36

{ 10 } (4, 6), (5, 5), (6, 4) 3 3 / 36

{ 11 } (5, 6), (6, 5) 2 2 / 36

{ 12 } (6, 6) 1 1 / 36

3. Se extraen cuatro cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que las cuatro cartas sean del mismo palo en los siguientes casos:

a) Con devolución de la carta a la baraja. b) Sin devolución.

Solución. a) El experimento sacar 4 cartas se puede interpretar como sacar una carta (devolverla), una

segunda (devolverla), una tercera (devolverla) y una cuarta (devolverla). Y de hallar la probabilidad de la intersección de sucesos independientes. Para resolver este problema acudimos a un árbol.



10,015 1

1 1 1( ) · ·

4 4 4,5 %

64P Cuatro cartas del mismo palo

b) El experimento sacar 4 cartas se puede interpretar como sacar una carta (no devolverla), una segunda (no devolverla), una tercera (no devolverla) y una cuarta (no devolverla). Se trata de hallar la probabilidad de la intersección de sucesos dependientes. Para resolver este problema acudimos a un árbol.

9 8 7( ) · ·

3

840,009 0,9 %

9138 99 3 37P Cuatro cartas del mismo palo

4. Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?

Solución.

El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de la bola.

La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos

caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola

blanca.

P(B) = P(B/UI) · P(UI) + P(B/UII) · P(UII) + P(B/UIII) · P(UIII) =1 2 2 4 1 3

4 5 4 5 4

3

5

1

20

5. Un estudiante realiza dos exámenes en un mismo día. La probabilidad de que apruebe el

primero es 0,6. La probabilidad de que apruebe el segundo es 0,8; y la de que apruebe los

dos es 0,5. Calcula:

a La probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes.

b La probabilidad de que no apruebe ninguno.

c La probabilidad de que apruebe el segundo examen habiendo aprobado el primero.

Solución:

Llamamos: A "aprobar el primer examen" B "aprobar el segundo examen" Tenemos

entonces que: P(A) 0,6; P(B) 0,8; P(A B) 0,5



a) P(A B) P(A) P (B) P(A B) 0,6 0,8 0,5 0,9

b) 1 P(A B) 1 0,9 0,1

c) ( ) 0,5

/ A 0,83( ) 0,6

P A BP B

P A

6. En un club deportivo, el 52% de los socios son hombres. Entre los socios, el 35% de los

hombres practica la natación, así como el 60% de las mujeres. Si elegimos un socio al azar:

a ¿Cuál es la probabilidad de que practique la natación?

b Sabiendo que practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

Solución.

Hacemos un diagrama en árbol:

a P(Natación) 0,182 0,288 0,47

b) Esta es una probabilidad a posteriori. Aplicamos el teorema de Bayes.

(Practica natación y es mujer) 0,288

0,613a(Pra

Se mujer / Pt

ractica natacc ica nat

óación) 0

i n,47

PP

P

Con regla de Laplace

Si consideramos que son 100 personas en el club, 52 serían hombres y el resto, 48 serían

mujeres. De los 52 hombres el 35% practica natación, es decir, 52 ·35

18, 2100

practican

natación (no importa que sea decimal, pues solo lo utilizamos para el cálculo de

probabilidad). De las 48 mujeres, el 60% practican natación, es decir, 48·60

28,8100

Aplicando la regla de Laplace:

P(Natación) = 18,2 28,8 47

0,47100 100

Sea mujer, sabiendo que practi28,8

0,61318,2

ca natación28,8

P

7. Se tienen dos monedas, una sin trucar y otra trucada. Sabiendo que con la moneda trucada

la probabilidad de obtener cruz es triple que la probabilidad de obtener cara calcular la

probabilidad de que al lanzar las dos monedas:

a) se obtengan dos caras.

HOMBRE (0,52)

Natación 0,35 0,52 · 0,35 = 0,182

No natación 0,65

MUJER (0,48)

Natación 0,60 0,48 · 0,60 = 0,288

No Natación 0,40



b) no se obtenga ninguna cara.

c) se obtenga una cara y una cruz.

d) se obtengan dos caras o dos cruces.

Solución. Sea B la moneda buena sin trucar y sea M la moneda mala trucada.

Como

1 3 · 1

3 ·

P Cara con M P Cruz con MP Cara con M P Cara con M

P Cruz con M P Cara con M

1

14

4· P Cara con M P Cara con M

Por lo tanto 3

4

P Cruz con M

a) La probabilidad de obtener dos caras es:

P(Cara con B y Cara con M) =

= P(Cara con B) · P(Cara con M) =

= 1 1 1

·2 4 8

b) El suceso “no obtener ninguna cara” es el mismo que el “obtener dos cruces”.

P(no obtener ninguna cara) = P(obtener dos cruces) =

= P(Cruz con B y Cruz con M) =

= P(Cruz con B) · P(Cruz con M) =

= 1 3 3

·2 4 8

c) Se puede obtener Cara y Cruz de dos formas distintas: Cara y Cruz, Cruz y Cara.

P(Cara y Cruz) = P(Cara en B y Cruz en M o Cara en M y Cruz en B) =

= P(Cara en B y Cruz en M) + P(Cara en M y Cruz en B) =

= P(Cara en B) · P(Cruz en M) + P(Cara en M) · P(Cruz en B) =

= 1 3 1 1 4 1

· ·2 4 4 2 8 2

d) Como P(sacar dos caras) está calculado en el apartado a), nos faltaría la probabilidad de sacar

dos cruces.

P(sacar dos cruces) = P(Cruz con B y Cruz con M) =

= P(Cruz con B) · P(Cruz con M) =

= 1 3 3

·2 4 8

La probabilidad de sacar dos caras o dos cruces se calcula:

P(sacar dos caras o dos cruces) =

= P(sacar dos caras) + P(dos cruces) =

= 1 1 3 1 4 1

· ·2 4 4 2 8 2

8. En una universidad, en la que no hay más que estudiantes de ingeniería, ciencias o letras, acaban la carrera el 5% de ingeniería, el 10% de ciencias y el 20% de letras. Se sabe que el



20% estudian ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Tomando un estudiante al azar, se pide: a) Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería. b) Nos dice que ha acabado la carrera, probabilidad de que sea de ingeniería.

Solución.

Con diagrama de árbol

Construyamos un diagrama de árbol, relativo a la situación.

a) A partir de este esquema nos planteamos las preguntas.

Acabe la carrera y sea de ingeniería Es la rama superior 0,20·0,05 0,01P

b) Ahora es diferente porque se da por hecho que ha acabado la carrera, por lo que solo

nos sirven las ramas que terminan con la frase “acaba la carrera”. De todas ellas nos piden que proporción son los que son de ingeniería.

Elegimos un alumno y vemos que estudia y si acaba la carrera

Ingeniería

0,20

Acaba la carrera

0,05

No acaba la carrera

0,95

Ciencias

0,30

Acaba la carrera

0,10

No acaba la carrera

0,90

Letras

0,50

Acaba la carrera

0,20

No acaba la carrera

0,80



0,20·0

Sea d

,05

0,

e ingenier

20·0,0

ia, sabiendo que ha acabado la carrera

0,01 1

0,30·0,10 0,01 0,03 0,100,50·0,205 14

P

Se puede hacer por lógica o con un simple paso de porcentajes a valores absolutos.

Haciendo el paso a valores absolutos

Supongamos que hay 100 estudiantes. Nos da igual que sean 1000 o cualquier otra cifra, la probabilidad saldrá con el mismo valor. Como se sabe que el 20% estudian ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Entonces tenemos 20 estudiantes en ingeniería, 30 en ciencias y 50 en letras. Y acaban la carrera el 5% de ingeniería, el 10% de ciencias y el 20% de letras.

El 5% de 20 son 5 · 20/100 = 1 estudiante de ingeniería acaba la carrera. El 10% de 30 son 10 · 30/100 = 3 estudiantes de ciencias acaban la carrera. El 20% de 50 son 20 · 50 /100 = 10 estudiantes de letras acaban la carrera.

Resumiendo, tenemos que de 100 estudiantes 20 son de ingeniería y de ellos 1 acaba la carrera, 30 son de ciencias y de ellos 3 acaban la carrera y 50 son de letras y de ellos 10 acaban la carrera. De los 100 estudiantes 1 + 3 +10 = 14 acaban la carrera.

Al ser la elección del estudiante al azar podemos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas.

Probabilidad de que haya acabado la carrera y sea de ingeniería = 1

0,01100

.

Probabilidad de que sea de ingeniería si nos dice que ha acabado la carrera =

Número de estudiantes de ingenieria que acaban la carrera 1 1

Número de estudiantes que acaban la carrera 1 3 10 14

Ingeniería

0,20

Acaba la carrera

0,05

No acaba la carrera

0,95

Ciencias

0,30

Acaba la carrera

0,10

No acaba la carrera

0,90

Letras

0,50

Acaba la carrera

0,20

No acaba la carrera

0,80



9. En una bolsa A hay 4 bolas negras y 5 blancas. En otra bolsa B hay 2 negras y 3 blancas. Se

elige al azar una bolsa y se extrae de ella una bola. a. Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea negra. b. Ídem blanca.

Solución. Es un experimento compuesto (elegimos una bolsa y luego sacamos una bola).

Construimos un diagrama de árbol.

a. P(Extraer bola negra) = P(Extraer bola negra en la bolsa A o Extraer bola negra en la bolsa B)

= P(Elegir la bolsa A y extraer bola negra) + P(Elegir la bolsa B y extraer bola negra) =

= P(Elegir la bolsa A) · P(Extraer bola negra, habiendo elegido la bolsa A) +

+ P(Elegir la bolsa B) · P(Extraer bola negra, habiendo elegido la bolsa B) =

= 1 4 1 2 19

· ·2 9 2 5 45

También se puede hacer utilizando simbología matemática.

Llamamos A = Elegir bolsa A; B = Elegir bolsa B. N = sacar bola negra; N = sacar bola

blanca.

( ) · / ( ) · /

1 4 1 2 19· ·

2 9 2 5 45

P N P A N B N P A N P B N P A P N A P B P N B

b.

( )

( ) · / ( ) · /

1 5 1 3 26· ·

2 9 2 5 45

P N P A N B N

P A N P B N

P A P N A P B P N B

o bien 16 29

( ) 1 ( ) 145 45

P N P N

Elegimos una bolsa y extraemos una bola

Bolsa A

1/2

Extraemos bola negra

4/9

Extraemos bola blanca

5/9

Bolsa B

1/2

Extraemos bola negra

2/5

Extraemos bola blanca

3/5



10. De una baraja de 40 cartas se toman 2. Hallar la probabilidad de que las cartas sean:

a) las dos sean oros.

b) las dos sean espadas o las dos sean figuras.

Solución.

Esta es la baraja española con la que vamos a trabajar en este ejercicio.

Sin diagrama de árbol

El experimento consiste en la extracción de dos cartas, este es un experimento compuesto.

Consideramos la extracción simultánea de dos cartas como sacar una primera y sin devolver la

carta al mazo sacamos una segunda carta.

Lo que haya ocurrido en la extracción de la 1ª carta influye en la extracción de la 2ª. En la

segunda extracción hay una carta menos.

a)

Sacar dos cartas de oros

Sacar una 1ª carta de oros y despues un 2ª carta de oros

La 1ª carta sea de oros · La 2ª carta sea de oros, sabiendo que la 1ª es de oros

10 9 1 9 9 3· ·

40 39 4 39 156 52

P

P

P P

b) Este suceso contempla dos posibilidades de realización que tienen resultados comunes. Es

un suceso unión de otros dos. Utilizamos la fórmula P A B P A P B P A B .



Las dos sean espadas o las dos sean figuras

Las dos sean espadas Las dos sean figuras Las dos sean espadas y figuras

La 1ª sea espadas y la 2ª espadas La 1ª sea figura y la 2ª figura

La 1ª se

P

P P P

P P

P

a una figura de espadas y la 2ª sea una figura de espadas

La 1ª sea espadas La 2ª sea espadas, sabiendo que la 1ª es espadasP P

La 1ª sea figura La 2ª sea figura, sabiendo que la 1ª es figura

1ª sea una figura de espadas 2ª se

0

a una figura de espadas / 1ª era figura de

5

10 9 12 1

d

1 3 2 90 132 6 216· · ·

40 39 40 39 40 39 1 60 1

a

5

esp as

6

P P

P P

0,138

9

65

Con diagrama de árbol.

Hay dos extracciones de cartas, es un experimento compuesto.

Consideramos la extracción simultánea de dos cartas como sacar una primera y sin devolver la

carta al mazo sacamos una segunda carta. Cada columna o rama del árbol significa sacar una

carta, las ramas empiezan a la izquierda, con lo que la segunda ramificación será la extracción

de una segunda carta (recordamos que queda una carta menos en el mazo).

a) Construimos el diagrama de árbol

La probabilidad pedida es el producto de las dos probabilidades que aparecen en la parte

superior del árbol.

1 9 9

Sacar dos cartas de oros ·4 39 156

P

Elegimos dos cartas

1ª carta es de oros

10/40 = 1/4

2ª carta es de oros

9/39

2ª carta no es de oros

30/39

1ª carta no es de oros

30/40 = 3/4

No necesito este dato




b) El suceso “Las dos sean espadas o las dos figuras” es la unión de dos sucesos con resultados

comunes, por lo que debemos aplicar la fórmula P A B P A P B P A B .

Llamamos A = ”Las dos sean espadas” y B = ”Las dos son figuras”

figuras y

Las dos sean espadas o las dos figuras

Las dos sean espadas Las dos sean figuras Las dos sea

P

P n espadP asP

Construimos el diagrama de árbol para determinar cada una de estas probabilidades.

10 9 90

·40 39 1560

Las dos sean espadP as

12 11 132

·40 39 15

60

Las dos sean figuraP s

Elegimos dos cartas

1ª carta es de espadas

10/40

2ª carta es de espadas

9/39

2ª carta no es de espadas

30/39

1ª carta no es de espadas

30/40



Elegimos dos cartas

1ª carta es figura

12/40

2ª carta es figura

11/39

No me interesa este dato

1ª carta no es figura

28/40



Elegimos dos cartas

1ª carta es figura de espadas

3/40

2ª carta es figura de espadas

2/39

No me interesa este dato

1ª carta no es figura de espadas





figuras y 3 2 6

·40 39 1560

Las dos sean espadP as

Y por tanto:

Las dos sean espadas o las dos sean figuras

Las dos sean espadas Las dos sean figura

90 132 6 90 132 6 216 9

1560

s Las

1560 156

dos sean espadas y figuras

0,1380 1560 1560 65

P

P P P

Con regla de Laplace y contando todos los resultados favorables y posibles

El experimento consiste en sacar dos cartas. ¿Cuántos resultados posibles hay?

En la primera extracción pueden salir 40 cartas distintas y en la 2ª una de las 39 que quedan en

el mazo, por lo que, hay 40 · 39 = 1560 resultados distintos posibles.

a) De todos estos, ¿Cuántos son dos cartas de oros?

Cartas de oros hay 10 en la baraja, en la 1ª extracción podemos sacar cualquiera de las 10, pero

en la 2ª solo una de las 9 que quedan en el mazo, por lo que , hay 10 · 9 = 90 resultados

favorables a “sacar dos cartas de oros”.

º 90 3

Sacar dos cartas de orosº 1560 52

n casos favorablesP

n casos posibles

b) De los 1560 resultados posibles, ¿Cuántos son dos espadas o dos figuras?

Contemos los casos favorables a sacar dos espadas. Razonando igual que antes (sacar dos oros)

son 90 formas distintas de sacar dos espadas.

Contemos los casos favorables a sacar dos figuras. Hay 3 · 4 = 12 cartas que son figuras (sota,

caballo y rey de los distintos palos de la baraja). La primera carta puede ser figura de 12 formas

distintas y la 2ª solo de las 11 que queden en el mazo, por lo que, hay 12 · 11 = 132 resultados

favorables a “sacar dos figuras”.

Pero para calcular la probabilidad de sacar dos espadas o dos figuras, hemos contado 90 y 132,

pero hemos contado dos veces la opción de sacar dos cartas figura de espadas (una vez en sacar

dos espadas y otra vez en sacar dos figuras), por lo que debemos restarle el número de

resultados con “dos figuras de espadas”. Son 3 las cartas que son figuras de espadas (sota,

caballo y rey de espadas) que pueden salir en la 1ª extracción y en la 2ª solo puede salir una de

las 2 que quedan, por lo tanto, hay 3 · 2 = 6 formas distintas de sacar dos figuras de espadas.

¿Cuántas formas distintas hay de sacar dos espadas o dos figuras?

90 + 132 – 6 = 216.

Aplicando la regla de Laplace:

Las dos sean espadas o las dos sean figurasº 216 9

º 1560 65

n casos favorablesP

n casos posibles



11. Tenemos una urna con 15 bolas blancas y 25 negras. Sacamos una bola y después una

segunda bola. Halla la probabilidad de que sea cada una de un color en cada uno de los

siguientes casos:

a) con reemplazamiento.

b) sin reemplazamiento.

Solución.

a) Construimos el diagrama de árbol para el apartado a) con reemplazamiento. Aquí la

segunda extracción es independiente de la 1ª.

P(Sean de distinto color) = P(“1ª blanca y 2ª negra” o “1ª negra y 2ª blanca”) =

= P(1ª bola blanca) · P(2ª bola negra) + P(1ª bola negra) · P(2ª blanca) =

=15/40 · 25/40 + 25/40 · 15/40 = 375/ 1600 = 15/32

b) Construimos el diagrama de árbol para el apartado b) sin reemplazamiento. Aquí la

segunda extracción es dependiente de la 1ª.

P(Sean de distinto color) = P(“1ª blanca y 2ª negra” o “1ª negra y 2ª blanca”) =

Sacamos una 1ª bola y despues una 2ª

devolviendo antes la 1ª a la urna

1ª bola blanca

15/40

2ª bola blanca

15/40

2ª bola negra

25/40

1ª bola negra

25/40

2ª bola blanca

15/40

2ª bola negra

25/40

Sacamos una 1ª bola y despues una 2ª sin

devolver la 1ª a la urna

1ª bola blanca

15/40

2ª bola blanca

14/39

2ª bola negra

25/39

1ª bola negra

25/40

2ª bola blanca

15/39

2ª bola negra

24/39



= P(1ª bola blanca) · P(2ª bola negra, sabiendo que la 1ª es blanca) + P(1ª bola negra) · P(2ª

blanca, sabiendo que la 1ª es negra) =

=15/40 · 25/39 + 25/40 · 15/39 = 375/ 1560 = 25/52

12. En un cajón de un armario, Juan guarda desordenadamente 3 pares de calcetines blancos y

4 pares rojos; otro cajón contiene 4 corbatas blancas, 3 rojas y 2 azules. Para vestirse saca al azar del primer cajón un par de calcetines, y del segundo, una corbata. Halla la probabilidad de que los calcetines y la corbata sean del mismo color.

Solución. Realicemos un diagrama de árbol. Primero elijo un calcetín del cajón de los calcetines y después una corbata del cajón de las corbatas. La extracción de calcetines y de corbata son sucesos independientes. Al sacar la corbata solo me interesa saber si es del mismo color o no que los calcetines.

Probabilidad de que los calcetines y la corbata sean del mismo color = = P(calcetines y corbata blancos o calcetines y corbata rojos) = = P(Calcetines blancos y corbata blanca) + P(calcetines rojos y corbata roja) = = P(Calcetines blancos) · P(corbata blanca) + P(calcetines rojos) · P(corbata roja) = = 3/7 · 4/9 + 4/7 · 3/9 = 12/63 + 12/63 = 24/63 = 8/21 ¡Realmente no es necesario el diagrama de árbol. Pero nos ayuda a esquematizar el proceso

de resolución!

13. Las probabilidades de que cada uno de los tres aviones A, B, C cumpla su horario previsto

son 0,7; 0,8 y 0,9, respectivamente. El comportamiento de cada avión no depende de los

otros. Calcula las probabilidades de que cumplan el horario:

a) Los tres aviones.

b) Al menos dos de ellos.

Solución.

Sin diagrama de árbol.

Sacamos unos calcetines y luego

una corbata

Calcetines blancos

3/7

Corbata blanca

4/9

Corbata no blanca

5/9

Calcetines rojos

4/7

Corbata roja

3/9

Corbata no roja

6/9



Los sucesos son independientes pues no influye el comportamiento de un avión en el

comportamiento de otro avión. Esto significa que la probabilidad de que dos aviones cumplan

horario es el producto de las probabilidades de que cumpla horario cada uno de ellos.

a) P( los tres aviones cumplen horario) =

= P(Avión A cumple horario, Avión B cumple horario y Avión C cumple horario) =

= P(Avión A cumple horario) · P(Avión B cumple horario) · P(Avión C cumple horario) =

= 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,504

b) El suceso “Al menos 2 cumplen horario” es “Cumplen horario 2 de ellos o los 3”

P(Al menos dos de ellos cumplen horario) = P(Cumplen horario 2 de ellos o los 3) =

= P(“Cumple horario A y B y no cumple C” o “Cumple horario A y C y no cumple B” o

“Cumple horario B y C y no cumple A” o “Cumplen horario A, B y C”) =

= P(Avión A cumple horario) · P(Avión B cumple horario) · P(no cumple horario C) +

+ P(Avión A cumple horario) · P(Avión C cumple horario) · P(no cumple horario B) +

+ P(Avión B cumple horario) · P(Avión C cumple horario) · P(no cumple horario A) +

+ P(Avión A cumple horario) · P(Avión B cumple horario) · P(Avión C cumple horario) =

= 0,7 · 0,8 · 0,1 + 0,7 · 0,2 · 0,9 + 0,3 · 0,8 · 0,9 + 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,902


Construyamos el diagrama de árbol.

b) P( los tres aviones cumplen horario) = 0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,504

Tres aviones cumplen o no

horario

Avión A cumple

0,7

Avión B cumple

0,8

Avión C cumple

0,9

Avión C no cumple

0,1

Avión B no cumple

0,2

Avión C cumple

0,9

Avión C no cumple

0,1

Avión A no cumple

0,3

Avión B cumple

0,8

Avión C cumple

0,9

Avión C no cumple

0,1

Avión B no cumple

0,2

Avión C cumple

0,9

Avión C no cumple

0,1



c) P(Al menos dos de ellos cumplen horario) = 0,7 · 0,8 · 0,1 + 0,7 · 0,2 · 0,9 + 0,3 · 0,8 · 0,9 +

0,7 · 0,8 · 0,9 = 0,902

14. A un paciente se le aplican tres sueros independientes con probabilidad de éxito 0,9; 0,95; y

0,92. Hallar la probabilidad de que el paciente se cure.

Solución.

Hay muchas formas de que se cure, bastaría con que tuviese éxito 1, 2 o los 3 sueros. Por ello lo

resolvemos con el suceso contrario, que es más sencillo el cálculo de su probabilidad.

“El paciente se cura” = “Tiene éxito alguno de los sueros”.

Lo contrario a este suceso es el suceso “El paciente no se cura” = “Fallan todos los sueros”.

Tengamos en cuenta que la probabilidad de éxito es 0´9, 0´95, y 0´92, y la de fallo en cada

suero es 1 – 0´9 = 0´1, 0´05 y 0´08.

Sin diagrama de árbol

P(El paciente se cure) =

= 1 – P(El paciente no se cura) =

= 1 – P(Falla el suero 1, falla el suero 2 y falla el suero 3) =

= 1 – P(Falla el suero 1) · P(Falla el suero 2) · P(Falla el suero 3) =

= 1 – 0´1 · 0´05 · 0´08 = 1 – 0´0004 = 0´9996




Realmente no es necesario tanto detalle. Se suele indicar en el diagrama solo lo necesario para

hallar la probabilidad pedida, pero este ejemplo lo utilizamos para aprender a construir

diagramas de árbol.

P(El paciente se cure) ={La suma de las probabilidades que aparecen en los caminos que acaban

con algún éxito} = ….

¡Muy largo de escribir, demasiado para multiplicar y sumar!

¡Son todos los caminos menos el que está debajo del todo!

¡Lo hacemos mediante el suceso contrario! ¡Es mucho más corto y sencillo!

= 1 – P(El paciente no se cura) =

= 1 – P(Falla el suero 1, falla el suero 2 y falla el suero 3) =

= 1 – {Camino inferior} =

= 1 – 0´1 · 0´05 · 0´08 = 1 – 0´0004 = 0´9996

Aplicamos 3 sueros y

estudiamos lo que puede

pasar

Éxito en Suero 1

0,9

Éxito en suero 2

0,95

Éxito en suero 3

0,92

Éxito en suero 1, 2 y 3

0,9 · 0,95 · 0,92

Fallo en suero 3

0,08

Éxito en suero 1 y 2, fallo en 3

0,9 · 0,95 · 0,08

Fallo en suero 2

0,05

Éxito en suero 3

0,92

Éxito en suero 1, fallo en 2 y exito en 3

0,9 · 0,05 · 0,92

Fallo en suero 3

0,08

Éxito en suero 1, fallo en 2 y en 3

0,9 · 0,05 · 0,08

Fallo en suero 1

0,1

Éxito en suero 2

0,95

Éxito en suero 3

0,92

Fallo en suero 1, éxito en 2 y 3

0,1 · 0,95 · 0,92

Fallo en suero 3

0,08

Fallo en suero 1, éxito en 2 y fallo en 3

0,9 · 0,95 · 0,08

Fallo en suero 2

0,05

Éxito en suero 3

0,92

Fallo en suero 1 y 2, éxito en 3

0,1 · 0,05 · 0,92

Fallo en suero 3

0,08

Fallo en suero 1, 2 y en 3

0,1 · 0,05 · 0,08



15. Un estudiante de Geografía e Historia busca una pirámide de población, que necesita para un trabajo, en tres manuales de Geografía Humana. Las probabilidades de que lo encuentre en el primero, segundo o tercero son, respectivamente, 0,5; 0,6; 0,7. Hallar la probabilidad de que la encuentre:

a) Sólo en uno. b) Únicamente en dos manuales. c) En los tres.

Solución.

Las probabilidades de que lo encuentre en el primero, segundo o tercero son, 0´5; 0´6; 0´7. Las probabilidades de que no lo encuentre en el primero, segundo o tercero son, 0´5; 0´4; 0´3.

Construyamos el diagrama de árbol.

a) P(Sólo se encuentre en uno de los manuales) = = {Solo hay tres formas de que ocurra esto, lo rodeado de azul en la imagen inferior} = = 0´5 · 0´4 · 0´3 + 0´5 · 0´6 · 0´3 + 0´5 · 0´4 · 0´7 = = 0´06 + 0´09 +0´14 = 0´29

¡También se puede hacer sin ayudarse del diagrama de árbol!

Lo encontramos en el manual 1

0,5

Lo encontramos

en el manual 2

0,6

Lo encontramos

en el manual 3

0,7

Lo encontramos en

manual 1, 2 y 3

0,5 · 0,6 · 0,7

No lo encontramos

en el manual 3

0,3

Lo encontramos en

manual 1, 2 y no en 3

0,5 · 0,6 · 0,3

No lo encontramos

en el manual 2

0,4

Lo encontramos

en el manual 3

0,7

Lo encontramos en

manual 1, no en 2 y si en 3

0,5 · 0,4 · 0,7

No lo encontramos

en el manual 3

0,3

Lo encontramos en

manual 1, no en 2, ni en 3

0,5 · 0,4 · 0,3

No lo encontramos en el manual 1

0,5

Lo encontramos

en el manual 2

0,6

Lo encontramos

en el manual 3

0,7

No lo encontramos en

manual 1, si en 2 y en 3

0,5 · 0,6 · 0,7

No lo encontramos

en el manual 3

0,3


manual 1, si en 2 y no en 3

0,5 · 0,6 · 0,3

No lo encontramos

en el manual 2

0,4

Lo encontramos

en el manual 3

0,7


manual 1, no en 2 y si en 3

0,5 · 0,4 · 0,7

No lo encontramos

en el manual 3

0,3


manual 1, no en 2, ni en 3

0,5 · 0,4 · 0,3



b) P(Únicamente se encuentre en dos manuales) =

= {Solo hay tres formas de que ocurra esto, lo rodeado de azul en la imagen superior} =

= 0´5 · 0´6 · 0´3 + 0´5 · 0´4 · 0´7 + 0´5 · 0´6 · 0´7 = = 0´09 + 0´14 + 0´21 = 0´44

c) P(Se encuentre en los tres manuales) =



= {Solo hay una forma de que ocurra esto, lo rodeado de azul en la imagen superior} =

= 0´5 · 0´6 · 0´7 = 0´21

16. La probabilidad de que una persona sea rubia es 0,4 y de que tenga los ojos negros es 0,3.

Calcula las siguientes probabilidades:

a) que al elegir una persona al azar sea rubia y tenga los ojos negros

b) que al elegir una persona al azar sea rubia o tenga los ojos negros.

c) que al elegir tres personas al azar las tres personas sean rubias.

d) que al elegir dos personas al azar, ambas sean rubias o ambas tengan los ojos negros.

Solución.

Suponemos que el hecho de ser rubia y el de tener los ojos negros son independientes. Uno no influye en el otro.

a) Este es un experimento simple. P(sea rubia y tenga los ojos negros) = = P(sea rubia) · P(tenga los ojos negros) = 0´4 · 0´3 = 0´12

b) Este es un experimento simple. Aplicamos la fórmula P A B P A P B P A B .

P(Sea rubia o tenga los ojos negros) = P(Sea rubia) + P(tenga los ojos negros) – P(sea rubia y tenga los ojos negros) = 0´4 + 0´3 – 0´12 = 0´7 – 0´12 = 0´58

c) Este es un experimento compuesto. Lo hago sin diagrama de árbol. P(al elegir tres personas al azar las tres personas sean rubias) = = P(Al elegir una persona sea rubia y al elegir una 2ª sea rubia y al elegir una 3ª sea rubia)= = P(Al elegir una persona sea rubia) · P(al elegir la 2ª sea rubia) · P(al elegir la 3ª sea rubia) = 0´4 · 0´4 · 0´4 = 0´064

d) Este es un experimento compuesto. Lo hago sin diagrama de árbol. Como es la unión de dos sucesos aplicamos la fórmula:



P A B P A P B P A B .

P(al elegir dos personas al azar las dos sean rubias o tengan ojos negros) = = P(al elegir dos personas al azar las dos sean rubias) + P(las dos tengan ojos negros) –

– P(las dos sean rubias y tengan ojos negros) =

= P(la 1ª sea rubia) · P(la 2ª sea rubia) + P(la 1ª tenga ojos negros) · P(la 2ª tenga ojos negros) – P(la 1ª sea rubia con ojos negros) · P(la 2ª sea rubia con ojos negros) =

= 0´4 · 0´4 + 0´3 · 0´3 – 0´12 · 0´12 = 0´16 + 0´09 – 0´0144 = 0´2356

Hacemos los apartados c) y d) con diagrama de árbol.

c) Su diagrama de árbol es:

La probabilidad pedida se observa en la rama superior:

P(al elegir tres personas al azar las tres personas sean rubias) = 0´4 · 0´4 · 0´4 = 0´064 d) Es la unión de dos sucesos, entonces: P(al elegirlas sean las dos rubias o tengan ojos negros) = = P(al elegir dos personas al azar las dos sean rubias) + P(las dos tengan ojos negros) –

– P(las dos sean rubias y tengan ojos negros) =

Elegimos 3 personas y

vemos si son rubias o no

1ª es rubia

0,4

2ª es rubia

0,4

3ª es rubia

0,4

3ª no es rubia

0,6

2ª no es rubia

0,6

3ª es rubia

0,4

3ª no es rubia

0,6

1ª no es rubia

0,6

2ª es rubia

0,4

3ª es rubia

0,4

3ª no es rubia

0,6

2ª no es rubia

0,6

3ª es rubia

0,4

3ª no es rubia

0,6



Calculamos estas tres probabilidades con un diagrama de árbol:

P(al elegir dos personas al azar las dos sean rubias) = 0´4 · 0´4 = 0´16

P(las dos tengan ojos negros) = 0´3 · 0´3 = 0´09

P(las dos sean rubias y tengan ojos negros) = 0´12 · 0´12 =0´0144

P(al elegir dos personas al azar las dos sean rubias o tengan ojos negros) = = P(al elegir dos personas al azar las dos sean rubias) + P(las dos tengan ojos negros) –

– P(las dos sean rubias y tengan ojos negros) = 0´16 + 0´09 – 0´0144 = 0´2356

17. Se escoge un número al azar en la guía telefónica de cierta ciudad española. La probabilidad

de que figure a nombre de un hombre es 0,7 y de que figure a nombre de una mujer es 0,3. En dicha ciudad la probabilidad de que un hombre trabaje es 0,8 y de que lo haga una mujer es 0,7. Se elige un número al azar. Cuál es la probabilidad:

a. de que corresponda a una persona que trabaja


vemos si son rubias o no

1ª es rubia

0,4

2ª es rubia

0,4

2ª no es rubia

0,6

1ª no es rubia

0,6

2ª es rubia

0,4

2ª no es rubia

0,6


vemos si tienen ojos negros o

no

1ª tiene ojos negros

0,3


0,3

2ª no tiene ojos negros

0,7


0,7


0,3


0,7


vemos si son rubias con ojos

negros o no

1ª es rubia con ojos negros

0,12


0,12

2ª no es rubia con ojos negros

0,88


0,88


0,12


0,88



b. de que corresponda un hombre sabiendo que pertenece a una persona que trabaja.

Solución.

Haciendo recuento

La probabilidad es una proporción. Obtenemos los valores absolutos, suponiendo una

población de un número concreto, por ejemplo 100.

De las 100 personas de la guía telefónica 0´7 · 100 = 70 son hombres y 30 son mujeres.

De los 70 hombres trabajan 0´8 ·70 = 56. De las 30 mujeres trabajan 0´7 · 30 = 21.

a) Si elegimos un número al azar la probabilidad de que sea de una persona que trabaja,

según la ley de Laplace:

P(La persona trabaje) = 56 21

100

Númerodetrabajadores

Númerototal de personas

𝟎, 𝟕𝟕

b) Si elegimos a una persona y sabemos que trabaja los casos posibles solo serán 56 + 21 = 77.

De ellos son hombres 56. Por tanto:

P(La persona elegida sea hombre sabiendo que trabaja) =

56 0,72

77

Númerodehombresquetrabajan

Númerode personasquetrabajan


a. P(La persona trabaje) = 0´7 · 0´8 + 0´3 · 0´7 = 0,77

Elegimos 1 persona. Primero

comprobamos si es hombre o mujer y luego si trabaja o no

Hombre

0,7

Trabaja

0,8

No trabaja

0,2

Mujer

0,3

Trabaja

0,7

No trabaja

0,3



b. Aquí utilizamos el teorema de Bayes o ese sentido común que todos y todas tenemos.

P(La persona sea hombre sabiendo que trabaja) = P(Sea hombre / trabaja) =

0́ 7·0́ 8 0́ 560,72

0́ 7·0́ 8 0́ 3·0́ 7 0́ 77

P sea hombre y trabaje

P Trabaje

18. En una ciudad hay dos examinadores para la obtención del carné de conducir; el

primero examina los lunes, miércoles y viernes; y el segundo los martes y jueves. El

primero aprueba a 4 de cada 7 examinados; el segundo aprueba a 5 de cada 9

examinados. Si es igualmente probable examinarse en uno u otro día de la semana,

halla la probabilidad de aprobar el examen.

Solución.

P(Aprobar) =

= P(examines lunes y apruebes o Te examines martes y apruebes o Te examines miércoles y

apruebes o Te examines jueves y apruebes o Te examines viernes y apruebes) =

= P(examines lunes y apruebes) + P(Te examines martes y apruebes) + P(Te examines

miércoles y apruebes) + P(Te examines jueves y apruebes) + P(Te examines viernes y

apruebes) =1 4 1 5 1 4 1 5 1 4 178

· · · · ·5 7 5 9 5 7 5 9 5 7 315

0,565

19. En una ciudad, el 55% de la población consume aceite de oliva, el 30% de girasol,

y el 20% ambos tipos de aceite. Se escoge una persona al azar:

a) Si consume aceite de oliva, ¿cuál es la probabilidad de que consuma también

aceite de girasol?

b) Si consume aceite de girasol, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma aceite

de oliva?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma ninguno de los dos tipos de aceite?

Solución.

Tabla de contingencia

Realicemos una tabla de contingencia para aclarar la situación.



Ponemos los datos proporcionados, pasando de datos porcentuales a valores con respecto a un

total de 100 consumidores:

Consume aceite de

girasol

No consume aceite

de girasol

Consume aceite

de oliva 20 55

No consume

aceite de oliva

30 100

Ahora completamos la tabla, siguiendo la regla que la fila suma lo que se indica en la celda de

la derecha y en la columna suma lo que aparece en la celda inferior.

Consume aceite de

girasol

No consume aceite de

girasol

Consume aceite

de oliva 20 35 55

No consume

aceite de oliva 10 35 45

30 70 100

a) Aceite de oliva consumen 55 personas, de ellas solo 20 consumen aceite de girasol.

P(Consuma aceite de girasol, sabiendo que consume aceite de oliva) = 20 4

0,36355 11

b) Aceite de girasol consumen 30 personas, de ellas solo 10 no consumen aceite de oliva.

P(No consuma aceite de oliva, sabiendo que consume aceite de girasol) =

=10 1

0,33330 3

c) De las 100 personas, no consumen ninguno de los dos tipos de aceite 35 de ellas.

P(No consuma ningún tipo de aceite) = 35

0,35100

Matemático formal

Demos nombre a los sucesos para usar las fórmulas de probabilidad estudiadas.

O = Consumir aceite de oliva G = Consumir aceite de girasol

Por los datos proporcionados sabemos que 0,55 0,3 0,2P O P G P O G

a) ( ) 0,2

0,363( ) 0,55

/PP G O

OP

GO

b) ( ) ( ) (O G) 0,3 0,2 0,1 1

( / ) 0,333( ) 0,3 0,3 0,3 3

P O G P G PP O G

P G

c) ( ) P O G 1 1 ( ) ( ) ( )P O G P O G P O P G P O G

1 0,55 0,3 0,2 1 0,65 0,35



20. De los sucesos independientes A y B se sabe que 0,4P A y ( ) 0,8P A B .

a) Halla la probabilidad de B.

b) Halla la probabilidad B/A.

c) ¿Son incompatibles los sucesos A y B?

Solución. a) Si A y B son independientes se cumple: ( ) ( ) · ( )P A B P A P B

También tenemos que 0,4P A 1 ( ) 0,4 ( ) 1 0,4 0,6P A P A P A

Como sabemos que ( ) ( ) ( ) (A B)P A B P A P B P .

0,8

( ) 0,6

( ) ( ) ( ) (A B)

( ) ( )· ( )0,8 0,6 ( ) 0,6· ( )

( )

0,20,8 0,6 0,4 ( ) 0,4 ( ) 0,2 ( ) 0,5

0,4

P A B P A P B P

P A B P A P BP B P B

P B P B

P A

P

B

P A

B

b) ( )( )

( / )( )

P AP A BP B A

P A

· ( )

( )

P B

P A( ) 0,5P B

c) Para que sean incompatibles debe cumplirse que A B .

Esto no es cierto ya que ( ) ( ) · ( ) 0,6·0,5 0,3P A B P A P B .

Por lo que la intersección de A y B no puede ser ∅. A y B son compatibles.

21. El despertador de Víctor no funciona muy bien y el 20% de las veces no suena. Cuando

suena, Víctor llega tarde a clase el 20% de las veces, pero si no suena, llega tarde a clase el

90% de las veces.

a) Víctor ha llegado tarde a clase, determina la probabilidad de que haya sonado el

despertador.

b) Halla la probabilidad de que no llegue tarde.

Solución. Realicemos un diagrama de árbol.

¿Suena el despertador de Victor y llega tarde a

clase?

Suena

0,8

Llega tarde

0,2

No llega tarde

0,8

No suena

0,2

Llega tarde

0,9

No llega tarde

0,1



Con estos datos nos planteamos las probabilidades pedidas:

a) Suene el despertador, sabiendo que ha llegado tardeP

(Suene el despertador y llegue tarde a clase) 0,8·0,2 80,47

(Llegue tarde a clase) 0,8·0,2 0,2·0,9 17

P

P

b) La probabilidad de que llegue tarde se ha calculado en el apartado anterior.

P(Llegue tarde) = 0,16 + 0,18 = 0,34

Por lo que: P(No llegue tarde) = 1 – P(Llegue tarde) =1 – 0,34 = 0, 66

23. En una bolsa de caramelos surtidos hay 10 caramelos con sabor a naranja, 5 con sabor a

limón y 5 con sabor a fresa. Todos tienen el mismo tamaño y hasta extraerlos de la bolsa no

se sabe de qué sabor son. Se extrae un caramelo al azar, me lo guardo en el bolsillo y luego

cojo un segundo caramelo, también al azar.

a) Calcular de forma razonada la probabilidad de extraer primero uno con sabor a

naranja, y luego uno con sabor a limón.

b) Calcular de forma razonada la probabilidad de extraer uno con sabor a naranja y el

otro con sabor a limón.

c) Calcular de forma razonada la probabilidad de que al extraer los dos caramelos sean

de sabores diferentes.

d) Calcular la probabilidad de sacar dos caramelos de naranja.

Solución. Llamaremos N1, L1 y F1 a los sucesos obtener en la 1ª extracción el sabor naranja, limón o

fresa respectivamente. Análogamente nombramos N2, L2 y F2.

Elijo un caramelo, lo

guardo y luego elijo un 2º caramelo

Naranja

10/20

Naranja 9/19

Limón

5/19

Fresa

3/19

Limón

5/20

Naranja

5/19

Limón

5/19

Fresa

3/19

Fresa

5/20

Naranja

10/19

Limón

5/19

Fresa

3/19



a) P(N1 ∩ L2) = P(N1) · P(L2/N1) 10 5 5

· 0,13120 19 38

Es fácil observar que cuando ya se ha extraído uno de naranja, quedan 5 de limón sobre un

total de 19.

b) P(Extraer uno de naranja y otro de limón) = P(N1 ∩ L2) + P(L1 ∩ N2) =

=10 5 5 10 10

· · 0,26220 19 20 19 38

c) Sacar dos caramelos de sabores diferentes puede pasar de muchas formas distintas. Basta con

mirar el diagrama de árbol. Hay que calcular la probabilidad de cada camino y sumarlas todas.

O bien, lo hacemos con el suceso contrario, es decir, calculamos la probabilidad de sacar dos

caramelos del mismo sabor.

P(Sacar 2 caramelos del mismo sabor) = P(Sacar 2 de naranja o 2 de limón o 2 de fresa) =

= P(Sacar 2 de naranja) + P(2 de limón) + P(2 de fresa) =

= 10 9 5 4 5 4 13

· · · 0,34220 19 20 19 20 19 38

Por lo que P(Sacar 2 caramelos de sabores diferentes) =

= 1 – P(Sacar 2 caramelos del mismo sabor) = 1 – 0,342 = 0,658

d) P(Sacar 2 de naranja) = 10 9 9

· 0,23720 19 38

24. En un edificio se usan dos ascensores. El primero lo usan el 45% de los inquilinos y el

resto de inquilinos utiliza el segundo. El primer ascensor falla un 5% de las veces que se

usa y el segundo un 8%. Si un cierto día un inquilino se queda atrapado en el ascensor,

¿qué probabilidad hay de que haya sido en el primero?

Solución.

Hacemos un diagrama de árbol.

Con este esquema, observamos que puede fallar en dos situaciones distintas, por lo que la

probabilidad de fallar es la suma de estas dos opciones:

Elijo el ascensor y veo si falla o no

Ascensor 1

0,45

Falla

0,05

No falla

0,95

Adcensor 2

0,55

Falla

0,08

No falla

0,92



P(Falla el ascensor) = P(Elijo el ascensor 1 y falla) + P(Elijo el ascensor 2 y falla) =

= 0,45 · 0,05 + 0,55 · 0,08 = 0,0665

Nos va a fallar el ascensor el 6,65 % de las veces, es decir, casi 7 veces de cada 100.

P(Haya fallado el ascensor 1, sabiendo que ha fallado) =

=(Elija ascensor 1 y falla) 0,45·0,05

0,338(Falla el ascensor) 0,0665

P

P

25. Juan y Elisa juegan al baloncesto habitualmente. Juan hace dos canastas de cada cinco lanzamientos de tiro libre, y Elisa consigue tres de cada diez lanzamientos de tiro libre. Expresa todo esto con sucesos (letras A y B). Calcula la probabilidad de que tras un lanzamiento de cada uno de ellos:

a) Ambos acierten. b) Uno acierte y el otro no. c) Ninguno de los dos acierte. d) Alguno acierte.

Solución.

Llamamos A = Juan acierta una canasta y B = Elisa acierta una canasta. La primera información que proporciona el ejercicio nos sirve para precisar la probabilidad de

encestar de cada uno de ellos, siendo 2

( ) 0,45

P A y 3

( ) 0,310

P B . Y las probabilidades de

fallar la deducimos por la fórmula ( ) 1 ( )CP A P A .

2( ) 1 1 0,4 0,6

5

CP A y 3

( ) 1 ( ) 1 1 0,3 0,710

CP B P B

a)

Ambos acierten Son sucesos independientes ·

0,4 ·0,3 0,12

P P A B P A P B

b) Como no especifica cual debe fallar y cual acertar, este suceso puede suceder de dos formas

distintas:

Uno acierte y otro falle Acierta Juan y falla Elisa o Falla Juan y acierta Elisa

Son sucesos incompatibles

Acierta Juan y falla Elisa Falla Juan y acierta Elisa

Son sucesos independientes

Aci

P P

P P

P

erta Juan Falla Elisa Falla Juan Acierta Elisa

0,4 ·0,7 0,6 ·0,3 0,46

C C

P P P

P A P B P A P B



c) “Ninguno acierte” = “Ambos fallan”

Juan falla y Elisa falla

Son independientes

0,6 ·0,7 0,42

C C

C C

P P A B

P A P B

d) “Alguno Acierte” = “Juan y Elisa aciertan o Juan acierta y Elisa falla o Juan falla y Elisa acierta” Podemos aprovechar lo hecho en apartado a) y d):

Alguno acierte Ambos acierten Uno acierta y el otro falla

) ) 0,12 0,46 0,58

P P P

P apartado a P apartado b

También podemos hacerlo sin tener en cuenta los apartados anteriores.

Alguno acierte

Acierta Juan y Acierta Elisa o Acierta Juan y falla Elisa o Falla Juan y acierta Elisa

Son sucesos incompatibles

P

P

Acierta Juan y Acierta Elisa Acierta Juan y falla Elisa Falla Juan y acierta ElisaP P P

Son sucesos independientes

Acierta Juan Acierta Elisa Acierta Juan Falla Elisa

Falla Juan Acierta Elisa

0,4 ·0,3 0,4 ·0,7 0,6 ·0,3 0,58

C C

P P P P

P P

P A P B P A P B P A P B

26. Tenemos en una bolsa 10 olivas verdes y 4 negras. Saco 1 oliva y apunto su color y la devuelvo a la bolsa. Remuevo y repito el experimento una segunda vez. Y en las mismas condiciones lo repito una tercera vez. Al acabar miro cuantas olivas negras he sacado.

a) Indica los resultados posibles que puede obtener con este experimento. b) Realiza un diagrama de árbol que nos permita tener más claro que puede pasar en la realización de este experimento. En cada rama de dicho árbol escribe la probabilidad de que ocurra lo que indica. c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 olivas negras? d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 olivas negras? e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar, al menos, 1 oliva negra?

Solución. a) E = {0, 1, 2, 3}



b)

c) Este suceso puede ocurrir de 3 formas distintas y aparece en 3 ramas del diagrama de árbol.

P(Sacar 2 olivas negras) = P(1ª verde, 2ª negra y 3ª negra) + P(1ª negra, 2ª verde y 3ª negra) + P(1ª negra, 2ª negra y 3ª verde) = {Mirando el diagrama de árbol} =

= 10/14 · 4/14 · 4/14 + 4/14 · 10/14 · 4/14 + 4/14 · 4/14 · 10/14 = 0,175

d) Solo puede ocurrir de una única manera, esa probabilidad solo está en una rama del diagrama de árbol superior.

P(3 negras) = P(1ª negra) · P(2ª negra) · P(3ª negra) = 4/14 · 4/14 · 4/14 = 0,023

e) Esto ocurre de muchas maneras, aparece en muchas ramas. Cuando ocurra esto interesa

resolverlo por el suceso contrario. P(sacar, al menos, una negra) = P (sacar 1, 2 o 3 negras) = 1 – P(sacar 0 negras) = = 1 – P(sacar 3 verdes) = {Mirando el diagrama de árbol} =

= 1 – 10/14 · 10/14 · 10/14 = 0,636

27. Tenemos en una bolsa 10 olivas verdes y 4 negras. Saco 1 oliva y la dejo sobre la mesa. Remuevo las olivas restantes y repito el experimento una segunda vez. Por último, lo repito una tercera vez. Al acabar miro cuantas olivas negras he sacado.

a) Indica los resultados posibles que puede obtener con este experimento.

Saco 3 olivas en extracciones

sucesivas independientes

1ª oliva verde

10/14

2ª oliva verde

10/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14

2ª oliva negra

4/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14

1ª oliva negra

4/14

2ª oliva verde

10/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14

2ª oliva negra

4/14

3ª oliva verde

10/14

3ª oliva negra

4/14



b) Realiza un diagrama de árbol que nos permita tener más claro que puede pasar en la realización de este experimento. En cada rama de dicho árbol escribe la probabilidad de que ocurra lo que indica. Nota. "Es diferente al ejercicio anterior: la oliva que saco la dejo fuera". c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 olivas negras? d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 olivas negras? e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar, al menos, 1 oliva negra?

Solución.

Al dejar la oliva fuera, la composición de la bolsa cambia en cada extracción. Ahora cada extracción sucesiva no es independiente de la anterior, ya que no da igual que hayas sacado 1º verde o negra para calcular que puede pasar después. Se resuelve como el ejercicio anterior pero cambia las probabilidades de cada rama.

a) Los resultados posibles siguen siendo los mismos. E = {0, 1, 2, 3} b) En el árbol cambio las probabilidades en 2ª y 3ª extracción mirando que ha pasado en las anteriores. Damos por ocurrido las ramas previas.

c) Este suceso puede ocurrir de 3 formas distintas y aparece en 3 ramas del diagrama de árbol.

P(Sacar 2 olivas negras) = P(1ª verde, 2ª negra y 3ª negra) + P(1ª negra, 2ª verde y 3ª negra) + P(1ª negra, 2ª negra y 3ª verde) = {Mirando el diagrama de árbol} =

Saco 3 olivas en extracciones sucesivas

dependientes

1ª oliva verde

10/14

2ª oliva verde

9/13

3ª oliva verde

8/12

3ª oliva negra

4/12

2ª oliva negra

4/13

3ª oliva verde

9/12

3ª oliva negra

3/12

1ª oliva negra

4/14

2ª oliva verde

10/13

3ª oliva verde

9/12

3ª oliva negra

3/12

2ª oliva negra

3/13

3ª oliva verde

10/12

3ª oliva negra

2/12



= 10/14 · 4/13 · 3/12 + 4/14 · 10/13 · 3/12 + 4/14 · 3/13 · 10/12 = 0,165

d) Solo puede ocurrir de una única manera, esa probabilidad solo está en una rama del diagrama de árbol superior.

P(3 negras) = P(1ª negra) · P(2ª negra) · P(3ª negra) =

= 4/14 · 3/13 · 2/12 = 0,011

e) Esto ocurre de muchas maneras, aparece en muchas ramas. Interesa resolverlo por el suceso

contrario. P( sacar, al menos, una negra) = P ( sacar 1, 2 o 3 negras) = 1 – P(sacar 0 negras) = = 1 – P(sacar 3 verdes) = {Mirando el diagrama de árbol} =

= 1 – 10/14 · 9/13 · 8/12 = 0,67

28. En un grupo de 25 personas, 15 hablan inglés, 10 hablan francés y 4 hablan los dos idiomas.

Si elegimos una persona de este grupo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no hable inglés ni francés?

Solución.

Leyendo el enunciado encontramos que “hablar francés” y “hablar inglés” no son incompatibles, es decir, una persona puede hablar ambos idiomas, de hecho hay 4 que cumplen ese requisito. Por lo que debo de aclarar ¿Cuántos hablan un idioma y no el otro? ¿Cuántos no hablan ninguno? Para aclarar esto tenemos varias herramientas, una es la lógica, otra es una tabla de contingencia y otra forma más es utilizar un diagrama de conjuntos.

1ª UTILIZO LA LÓGICA, MI CABEZA, MI CEREBRO ME AYUDA.

Si 15 hablan inglés y de ellas 4 hablan también francés entonces las restantes 11 no hablan francés. Es decir, 11 hablan inglés y no hablan francés. Si 10 hablan francés y de ellas 4 hablan también inglés entonces las restantes 6 no hablan inglés. Es decir, 6 hablan francés y no hablan inglés. Resumiendo las cifras, tenemos que 11 hablan solo inglés, 6 hablan solo francés y 4 hablan inglés y francés. Esto hace un total de 21 personas. Por lo que 25 –21 = 4 no hablan ningún idioma.

2ª TABLA DE CONTINGENCIA.

Pongo los datos en una tabla. En cada cruce de fila y columna aparece el número de personas que cumplen esas dos características (4) y al final de la fila o columna aparecen los datos globales (10 y 15). En la esquina inferior derecha aparece el total de personas (25):

Francés No francés

Inglés 4 15

No inglés

10 25

Le añadimos los datos que vamos deduciendo al saber que cada línea suma lo que se indica al final de ella.

Francés No francés

Inglés 4 11 15



No inglés 6 4 10

10 15 25

Obtenemos los mismos datos, pero con otra apariencia. Por ejemplo: 4 no hablan ningún idioma aparece en la celda:

3ª DIAGRAMA DE VENN.

Este diagrama es el que aparece en la imagen inferior. No especifica cantidades, pero vamos a completarlo con los datos del ejercicio.

En este diagrama se representa en A las personas que hablan inglés y en B a las que hablan francés. Por lo que en la intersección aparecen los que hablan los dos idiomas. A = “hablan inglés”. Son 15 personas pero 4 están en la zona amarilla y 11 en la roja. B = “hablan francés”. Son 10 personas, pero 4 están en la zona amarilla y 6 en la verde. E =”Todas las personas”. Son 25.

Por lo que en la zona azul quedan los que no hablan ninguno de los dos idiomas. Por lo que : 25 – (11 + 4 + 6) = 25 –21 = 4 personas son las que no hablan ningún idioma. Así queda el esquema, una vez completado:



Una vez organizados los datos como mejor nos plazca, respondemos a la pregunta planteada:

nº personas no hablan ningún idioma 4

2 0,16nº personas totales 25

P No hable ninguno de los idiomas

AÚN OTRA FORMA MÁS DE RESOLVER ESTE EJERCICIO.

También se puede resolver por formulitas matemáticas, con la intersección, la unión, el contrario, etc..

Si A = “Habla inglés” B = “Habla francés” A = “No habla inglés” B = “No habla francés”

El suceso “no habla francés ni inglés” se representa A B y aplicando las fórmulas de la

probabilidad que aquí aparecen:

1 ( )

( ) ( ) ( )

P A P A

P A B P A P B P A B

P A B P A B

Obtendremos:

1

1

15 10 41

25 25 25

21 41 0,16

25 25

P A B P A B P A B

P A P B P A B

29. Hay 2 institutos en un pueblo, uno se llama PG y el otro VM. El 60% del alumnado del

pueblo es del VM y el 40% restante es del PG. Los dos tienen alumnos que se presentan a la EBAU, en el PG aprueban el 90% de los que se presentan y en el VM aprueban el 95%. Si te encuentras con un alumno que ha aprobado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno del VM?

Se detecta que es un problema de “probabilidad a posteriori” pues nos dan por hecho algo y nos piden que determinemos la probabilidad de algo previo.

PRIMERA FORMA DE RESOLVERLO

Hacemos cuentas y averiguamos que porcentajes de alumnos del pueblo aprueban uniendo a los alumnos de PG y de VM. Para facilitar las cuentas, supongamos que hay 100 alumnos en el pueblo, entonces 60 son del VM y 40 del PG.

De los 60 del VM aprueban el 95%, es decir, 95·60

57100

alumnos de VM aprueban.

De los 40 del PG aprueban el 90 %, es decir, 90·40

36100

alumnos de PG aprueban.

Con lo que de los 100 alumnos del pueblo aprueban 57 + 36 = 93. Un 93% de los alumnos del pueblo aprueban.



Calculamos la probabilidad pedida:

Sea alumno del VM / Ha aprobado

Alumnos aprobados en el VM 57Regla de Laplace 0,613

Alumnos aprobados 93

P

SEGUNDA FORMA DE RESOLVERLO

Con diagrama de árbol y el teorema de Bayes.

Sea alumno del VM / Ha aprobado /

· /

· / · / PG

0,6 ·0,950,613

0,6 ·0,95 0,4 ·0,90

P P VM Aprueba

P VM Aprueba

P Aprueba

P VM P Aprueba VM

P VM P Aprueba VM P PG P Aprueba

Elijo un alumno y compruebo si es de PG

o VM y luego si aprueba o no

Es alumno de PG

0,4

Aprueba

0,9

No aprueba

0,1

Es alumno de VM

0,6

Aprueba

0,95

No aprueba

0,05



Ejercicios resueltos de distribuciones de probabilidad Leer solo los que consideréis necesarios y elegir el método que consideréis más conveniente por

vuestra forma de razonar.

1) Utilizando la tabla de la normal N(0, 1), responde: a) Siendo Z una variable aleatoria normal N(0, 1) indica el valor de P(Z < 2,39). b) Siendo Z una variable aleatoria normal N(0, 1) indica el valor de P(Z > 2,39). c) Siendo Z una variable aleatoria normal N(0, 1) indica el valor de P(Z < - 2). d) Siendo Z una variable aleatoria normal N(0, 1) indica el valor de P(0,6 < Z < 2,39). e) Siendo Z una variable aleatoria normal N(0, 1) indica el valor de P(0 < Z < 2,39). f) Siendo Z una variable aleatoria normal N(0, 1) indica el valor de P(–2 < Z < 2,39). g) Encuentra el valor de “a” para que P(Z < a) = 0,7422. h) Encuentra el valor de “a” para que P(Z < a) = 0,2578. i) Encuentra el valor de “a” para que P(Z > a) = 0,7422. j) Encuentra el valor de “a” para que P(Z > a) = 0,2578.

Solución.

a) P(Z < 2,39) = = {Miro en tabla} = 0.9916

b) P(Z > 2,39) = =

= – =

= 1 – P(Z < 2,39) = 1 – 0,9916 = 0,0084

c) P(Z < –2) = = =

= P(Z > 2) = – =

= 1 – P(Z < 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228



d) P(0,6 < Z < 2,39) = =

= – =

= P(Z < 2,39) – P(Z < 0,6) = 0,9916 – 0,6915 = 0,3001

e) P(0 < Z < 2,39) = P(Z < 2,39) – P(Z < 0) = 0,9916 – 0,5 = 0,4916

f) P(–2 < Z < 2,39) = =

= – =

= – =

= –

–

=

= P(Z < 2,39) – ( 1 – P(Z < 2) ) = 0,9916 – (1 – 0,9772) = 0,9688

g) Si P(Z < a) = 0,7422 buscamos esta probabilidad en la tabla (en las celdas interiores, no en la

fila superior combinada con la columna izquierda) y encontramos a = 0,65

h) Si P(Z < a) = 0,2578 no podemos encontrar esta probabilidad en la tabla. Esto es debido a

que es una cola:



y el valor de “a” es negativo.

Convertimos esa área, para poder encontrarla en la tabla de la N(0, 1).

= =

= – =

= 1 – P(Z < –a) 1 – P(Z < –a) = 0,2578 P(Z < –a) = 1 – 0,2578 = 0,7422

Hemos obtenido P(Z < –a) = 0,7422.

Buscamos en la tabla el valor 0,7422 y obtenemos –a = 0,65 a = – 0,65

i) Si P(Z > a) = 0,7422 gráficamente significa:

= 0,7422. Significa que “a” es negativo. Transformamos esta igualdad en

= 0,7422

P(Z < –a) = 0,7422 –a = 0,65 a = –0,65

j) Si P(Z > a) = 0,2578 significa que:

= 0,2578 lo convertimos en:



– = 0,2578 Entonces 1 – P(Z < a) = 0,2578

P(Z < a) = 1 – 0,2578 = 0,7422

Buscando en la tabla de la normal estándar obtenemos a = 0,65

2) Si X es una variable normal N(45, 7), la probabilidad de que X tome valores menores de 52, mayores de 52; o entre 52 y 59 es:

52

0,8445

52 17

13P X P Z P Z

52 45

52 17

P X P Z P Z

= =

= – =

1 1 1 0,8413 0,1587P Z

52 45 59 45

52 59 1 27 7

P X P Z P Z

=

= – =

2 1 0,9772 0,84 0,135913P Z P Z

3) La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica

3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:



a. Menos de 64 kg. b. Más de 90 kg. c. Entre 60 kg y 75 kg. d. 64 kg. e. 64 kg o menos.

a. 64 70

64 23

P X P Z P Z

= = =

= – =

1 2 1 0,7772 0,2228P Z .

Hay 500 · 0,2228 = 111,4, unos 111 estudiantes con un peso menor de 64 kg.

b. 90 70

90 6,6673

P X P Z P Z

= =

= – =

1 6,667 1 0,999999 0P Z . La probabilidad es prácticamente 0. Es un valor (90

kg) muy alejado de la media (70 kg). La desviación típica es solo de 3 kg.

No hay ningún estudiante con peso mayor de 90 kg.

c. 60 70 75 70 10 5

60 753 3 3 3

P X P Z P Z

= =



= – =

5 10

3 3P Z P Z

5 10

1 0,9525 1 0,9996 0,95213 3

P Z P Z

Hay 0,9521 · 500 = 476 estudiantes con peso comprendido entre 60 y 75 kg. ¡Casi todos!

d. 64 0P X . La probabilidad de que ocurra un valor aislado es 0.

e. 64 64 Calculado en el primer apartado 0,2228P X P X .

Hay 111 estudiantes con un peso menor o igual a 64 kg.

4) Admitamos que el peso, en kg, de los habitantes adultos de una gran ciudad sigue una

distribución normal de media 60 kg y desviación típica 5 kg. Si se elige una de las personas al azar, ¿qué probabilidad hay de que pese?:

a) Menos de 50 kg. b) Entre 52 y 65 kg. c) Elegidas 100 personas, ¿cuántas cabe esperar que pesarán más de 65 kg?

Solución.

La variable X, que mide el peso de esas personas, se distribuye según la N(60, 5). Se tipifica

haciendo el cambio 60

5

XZ

. Con esto:

a) 50 60

50 25

P X P Z P Z

= = 2P Z

= = –



= – =

1 2 1 0,97725 0,02275P Z

b) 52 60 65 60

52 65 = 1,6 1 =5 5

P X P Z P Z

= =

= – =

1 1,6P Z P Z

1 1 1,6 0,8413 1 00,9 ,7865452P Z P Z

c) La probabilidad de que una persona pese más de 65 kg es:

65 60

65 15

P X P Z P Z

= =

= – =

= 1 1 1 0,8413 0,1587P Z

Entonces, para 100 personas: 100 · 0,1587 = 15,87. 16 pesarán más de 65 kilos.

= = –



5) Una fábrica de pilas alcalinas produce pilas cuya duración en horas sigue una distribución

normal de media 100 h y desviación típica de 7 h. Si se elige una pila al azar qué probabilidad hay de que:

a) Dure menos de 95 horas. b) Dure entre 98 y 103 horas. c) Examinadas 1000 pilas, ¿cuántas durarán más de 110 horas?

Solución. X=”Duración de las pilas en horas” es una N(100, 7).

a) 95 100

95 0, 0,2371 1 0,71 1 0, 6 897 117

P X P Z P Z P Z

b) 98 100 103 100

98 103 0,28 0,427 7

P X P Z P Z

0,42 0,28 0,6688 1 0,28P Z P Z P Z

0,6688 1 0,6103 0,2791

c) La probabilidad del suceso X>110 es:

110 100

110 1,42 1 1,42 1 0,922 0,0727

88P X P Z P Z P Z

Por lo tanto en 1000 pilas cabe esperar que 1000 · 0,0788=78,8 que aproximadamente son 79 pilas las que durarán más de 110 horas.

6) La variable X sigue una distribución N(2; 0,75). Obtén los valores a y b que satisfacen:

a) P(X > a) = 0,7

b) P(X < b) = 0,15.

Solución. a) Tipificamos la variable aleatoria normal X = N(2;0,75).

2

0,70,75

aP X a P Z

Como es mayor que 0,7, la situación es:

= =

= 2

0,70,75

aP Z

¡¡Ojo con el signo –!!

Buscamos en la tabla de la N(0, 1) y obtenemos que 2

0,525 2 0,75·0,525 1,6 1,60,75

aa a a

b) Tipificamos la variable.

2

0,150,75

bP X b P Z

. En la tabla solo hay valores mayores que 0,5. La

situación es:



20,15

0,75

bP Z

= =

= – =

= 2 2

1 0,15 1 0,15 0,850,75 0,75

b bP Z P Z

Buscamos en la tabla de la N(0, 1) la probabilidad 0,85 y obtenemos z = 1,04: 2

1,04 2 0,75·1,04 1,22 1,220,75

bb b b

7) La longitud de las truchas de una piscifactoría sigue una normal N(23,75; 3). Solo se

comercializan aquellas cuya longitud está comprendida entre 20 y 26 cm.

a) ¿Qué porcentaje del total representan?

b) ¿Cuál es la longitud para la cual el 80% de la población tiene una longitud superior?

Solución. Sea X la variable que mide la longitud de las truchas. Es una normal N(23,75; 3).

a) Tipificamos la variable para poder utilizar la tabla de la N(0, 1).

20 23,75 26 23,75

20 26 1,25 0,753 3

P X P Z P Z

= =

= – =

0,75 1,25P Z P Z =

0,66780,75 1 1,25 0,7734 1 0,8944P Z P Z

= = –



b) Tipificamos la variable para poder utilizar la tabla de la N(0, 1) y la campana de Gauss y sus

características.

Nos piden averiguar el valor “a” tal que 23,75

0,83

aP X a P Z

. Como es

mayor de 0,5 la situación es la que refleja el dibujo:

23,75

3

aP X

= = =

23,75

3

aP X

Nos piden calcular “a” tal que 23,75

0,83

aP X

.

Buscamos en la tabla de la N(0, 1) y hallamos 0,84:

23,75 23,750,80 0,84 23,75

21,23

3·0,84 21,233 3

a

a aP Z a a

El 80 % de las truchas tienen una longitud superior a 21,23 cm.

8) Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.

a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5 puntos?

Solución.

X = calificación obtenida.

X tiene media 6,5 y desviación típica 4 2Varianza .

X = N(6´5, 2)

a) 8 6,5

8 0,752

P X P Z P Z

=

= – =

= 1 0,75 1 0,77337 0,2266P Z

b) 5 6,5

5 0,752

P X P Z P Z

=



= = – =

= 1 0,75 0,2266P Z

c) 5 6,5 7,5 6,5

5 7,5 0,75 0,52 2

P X P Z P Z

= =

= – =

0,5 0,75P Z P Z =

d) e) f) g) h)

0,5 1 0,75 0,69146 1 0,77337 0,4648P Z P Z

De los 500 aspirantes 500 · 0,4648 = 232,4 aspirantes con nota entre 5 y 7,5. Unos 232 aproximadamente.

= = –


Ejercicios EBAU de España 132

Probabilidad y estadística en pruebas EBAU de ESPAÑA

Resueltos con todo detalle en www.ebaumatematicas.com

1) Aragón. EvAU Extraordinaria 2020. 9) En el mes de abril de 2020 se realizó una encuesta a los

estudiantes de segundo de bachiller de un centro acerca de los dispositivos con los que seguían las

clases online. El 80% disponía de ordenador, el 15% disponía de móvil y el 10% disponía de ambos

dispositivos. Nos hemos encontrado por casualidad en la calle con un estudiante de este centro.

a) (1,25 puntos) Halle la probabilidad de que el estudiante dispusiese de alguno de los dos dispositivos

(o ambos).

b) (0,75 puntos) Halle la probabilidad de que el estudiante no dispusiese de ninguno de los dispositivos

mencionados. Solución: a) 0,85 b) 0,15

2) Aragón. EvAU Extraordinaria 2020. 10) (2 puntos) Un estudiante universitario de matemáticas ha

comprobado que el tiempo que le cuesta llegar desde su casa a la universidad sigue una distribución

normal de media 30 minutos y desviación típica 5 minutos.

a) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 40 minutos en llegar a la universidad?

b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde entre 20 y 40 minutos?

c) (0,5 puntos) El estudiante, un día al salir de su casa, comprueba que faltan exactamente 40 minutos

para que empiece la clase ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde a clase?

Solución:a) 0,9772 b) 0,9544 c( 0,0228

3) Aragón. EvAU Ordinaria 2020. 9) Según estadísticas del Instituto Nacional de Estadística, la

probabilidad de que un varón esté en paro es del 12%, mientras que la de que una mujer lo esté es del

16%. Además, la probabilidad de ser varón es del 64% y la de ser mujer del 36%.

a) (0,75 puntos) Hemos conectado por redes sociales con una persona ¿cuál es la probabilidad de que

sea mujer y esté en paro?

b) (0,75 puntos) Si se elige una persona al azar ¿cuál es la probabilidad de que esté en paro?

c) (0,5 puntos) Hemos conectado por redes sociales con una persona que nos ha confesado estar en

paro ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Nota informativa: las estadísticas anteriores (y los

experimentos) están realizados con personas en disposición de trabajar.

Solución: a) P(Ser mujer y estar en el paro) = 0,0576. b) P(Estar en el paro) = 0,1344

c) Sea mujer/ Está en el paro 0,429P

4) Aragón. EvAU Ordinaria 2020. 10) De los estudiantes universitarios españoles, uno de cada 5

abandona sus estudios. Se seleccionan 5 estudiantes universitarios españoles al azar, de modo

independiente

a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus

estudios? (No es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando y

desarrollando los números y operaciones básicas que la definen, pero sin hacer los cálculos finales).

b) (1 punto) ¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone

la respuesta de modo numérico.

Solución: a) 1 0.7373P X . b) Es más probable que no abandone ninguno.

5) Aragón. EvAU Septiembre 2019. Opción A. 4. Una encuesta realizada sobre el mes preferido, entre

julio, agosto o septiembre, para salir de vacaciones arrojó los siguientes datos: un 40% prefiere julio,

un 30% agosto y el resto prefiere el mes de septiembre. Entre los que prefieren el mes de julio, un 60%

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pasa sus vacaciones en un hotel; entre los que prefieren el mes de agosto un 40% elige hotel para sus

vacaciones y entre los encuestados que prefieren septiembre, un 65% eligen hotel.

a) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que vaya a un hotel y le guste

ir en agosto.

b) (0,5 puntos) Se elige un individuo al azar, calcule la probabilidad de que pase sus vacaciones en un

hotel.

c) (0,5 puntos) Se elige al azar un individuo y dice que no pasa sus vacaciones en un hotel, calcule la

probabilidad de que prefiera irse en agosto de vacaciones.

Solución: a)0,12 b) 0,555 c) 0,404

6) Aragón. EvAU Septiembre 2019. Opción B. 4. Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1

al 25. Un jugador gana si sale 2 o múltiplo de 2.

a) (0,75 puntos) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane exactamente 10 veces. (En

este apartado, NO es necesario finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad,

precisando los números que la definen).

b) (0,75 puntos) Si juega 200 veces, calcule la probabilidad de que gane entre 90 y 110 veces, ambos

valores incluidos.

Solución: a) 0 b) 0,7784

7) Aragón. EvAU Junio 2019. Opción A. 4. Se dispone de dos cajas, la caja A contiene 3 bolas

moradas y 2 bolas rojas; mientras que la caja B contiene 4 bolas moradas y 4 rojas.

a) (0,75 puntos) Se escoge una bola cualquiera de la caja A y se pasa a la caja B. Posteriormente se

saca una bola de la caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la caja B sea morada?

b) (0,75 puntos) Ahora volvemos a la situación original de las cajas; la A contiene 3 moradas y 2 rojas

y la B contiene 4 moradas y 4 rojas. Seleccionamos una caja al azar y se saca una bola que resulta ser

roja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea de la caja A?

Solución: a)0,51 b) 0,44.

8) Aragón. EvAU Junio 2019. Opción B. 4. La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de

Twitter sin faltas de ortografía es 0,75. Se sabe además que una persona escribe a lo largo del día 20

mensajes de Twitter.

A partir de esta información, responde a las siguientes cuestiones. NO es necesario finalizar los

cálculos en ninguna de ellas, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la

definen.

a) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en un

día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?

b) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga faltas

de ortografía?

c) (0,5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí

tengan faltas de ortografía?

Solución: a) 0,0099 b) 0,0032 c) 0,00000000161. Practicamente cero.

9) Aragón. EvAU Junio 2018. A.4.

Al 80% de los alumnos de una clase les gusta el fútbol; al 40% les gusta el balonmano y al 30% les gustan ambos deportes. a) Si se elige un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)



b) Se eligen 10 alumnos al azar con reemplazamiento, es decir, cada vez que se elige un alumno se le pregunta por sus gusto y se repone a la clase, pudiendo ser elegido nuevamente. Calcule la probabilidad de que solo a 3 les guste el fútbol (NO es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen y sin hacer los cálculos)

Solución: a) 0,9 b) 0,0008

10) Aragón. EvAU Junio 2018. B.4. En una empresa los trabajadores se clasifican en tres categorias A, B y C. El 30% de los trabajadores pertenecen a la categoría A, el 25% a la categoría B y el resto a la categoría C. Además, se sabe que de los trabajadores de la categoría A un 5% habla inglés, mientras que de la categoría B un 20% habla ingés y de los trabajadores de la categoría C un 60% habla inglés. a) Si se elige al azar un trabajador de la empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés? b) Si se elige al azar un trabajador de la empresa y resulta que SI habla inglés, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría C?

Solución: a) P(I)=0,335 b) P(C/I)=0,806

11) Asturias. EBAU Extraordinaria 2020. Bloque 4.A. En un curso de un instituto hay tres clases: la

clase A con 50 alumnos, la clase B con 30 y la clase C con 20. Cada clase tiene un profesor distinto

de matemáticas. Con el profesor de la clase A aprueban el 40 % de los alumnos, con el de la clase B

el 50 % y con el de la clase C el 75 % de los alumnos. Se coge al azar un alumno del curso. Calcula:

a) La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas. (1.25 puntos)

b) Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B. (1.25 puntos)

Solución: a) Apruebe matemáticas 0,5P . b) Sea de B/Ha aprobado matemáticas 0,3P

12) Asturias. EBAU Extraordinaria 2020. Bloque 4.B. En una pumarada la producción en kilogramos

de cada manzano sigue una distribución normal de media µ = 50 y desviación típica σ = 10. Calcula:

a) La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos. (1.25 puntos)

b) El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60 % de los árboles.

(1.25 puntos)

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica

1: F(x) = P(Z≤ x); F(2) = 0.9772; F(1) = 0.8413; F(1.5) = 0.9332; F(0.5) = 0.6915; F(0.2533) =0.6;

F(0.5244) = 0.7; F(0.8416) = 0.8)

Solución: a) 30 60 0.8185P X . b) 52.533 kilogramos.

13) Asturias. EBAU Ordinaria 2020. Bloque 4.A. En un espacio muestral se tienen dos sucesos A y B.

Se conocen las siguientes probabilidades:

0.3, / / 0.2P A B P A B P B A y P A suceso contrarioA . Calcula:

a) /P B A . (1 punto)

b) P B . (1 punto)

c) ¿Son los sucesos independientes? (0.5 puntos)

Solución: a) / 0.375P B A . b) 0.8P B . Los datos del ejercicio son incoherentes.

c) no son independientes.



14) Asturias. EBAU Ordinaria 2020. Bloque 4.B. Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo

de fútbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los

medios las 2/3 partes de las veces y los delanteros las 3/4 partes de las veces.

a) Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti? (1.25 puntos)

b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60%. El equipo realiza en una semana

600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser

elegido nuevamente. Calcula la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la

distribución por una normal. (1.25 puntos)

(Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica

1: F(3.25)=0.9994, F(3.2917) = 0.9995, F(3,3333) = 0.9996, F(3.375) = 0.9996, F(3.4167) = 0.9997)

Solución: a) 6

Marca gol 0,610

P . b) 0,9996

15) Asturias. EBAU Julio 2019. Opción A. 4. Alicia tiene dos cajones. En uno tiene las camisetas y en

el otro las faldas. La tabla muestra el número de todas las prendas que guarda en los dos cajones agrupadas en tres tipos: lisas, dibujos o rayas.

Se elige al azar una prenda de cada cajón. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos sean de rayas. (0.75 puntos) b) Las dos sean del mismo tipo. (1 punto) c) Al menos una de ellas no sea de rayas. (0.75 puntos)

Solución: a) 0,08 b) 0,28 c) 0,92

16) Asturias. EBAU Julio 2019. Opción B. 4. Las calificaciones de un examen en una clase siguen una

distribución normal de media μ= 20 y desviación típica σ = 10: Calcula: a) La probabilidad de que un alumno obtenga una calificación entre 15 y 25. (1.25 puntos) b) La calificación que sólo superan o igualan el 20% de los alumnos. (1.25 puntos) Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: F(x) = P(Z ≤ x); F(–0.8416) = 0.2; F(0.8416) = 0.8; F(0.4) = 0.6554; F(0.5) = 0.6915; F(0.6) = 0.7257

Solución: a) 0,3829 b) 28,416 puntos.

17) Asturias. EBAU Junio 2019. Opción A. 4. Un monitor de tenis compra un cañón para lanzar bolas.

En las especificaciones del cañón se indica que falla el lanzamiento el 10% de las veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 20 bolas lanzadas, se tengan exactamente 5 fallos?

(1.25 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho falle 2 veces de los 20 lanzamientos?

(1.25 puntos)

Nota: Se pueden dejar indicadas las operaciones en potencias, sin necesidad de realizarlas.

Solución: a)0,03 b) 0,6766

18) Asturias. EBAU Junio 2019. Opción B. 4. Pedro y Luis son aficionados a los dardos. Pedro acierta

en el centro el 10% de las veces y cada vez que acierta gana 400 €. Luis acierta en el centro el 20% de

las veces y cada vez que acierta gana 100 €. Cuando fallan no ganan ni pierden nada. Tira cada uno

dos dardos. Calcula las siguientes probabilidades:

a) Que Luis acierte en el centro las dos veces. (0.75 puntos)

b) Que Pedro acierte en el centro una sola vez. (1 punto)

c) Que entre los dos hayan ganado 600 €. (0.75 puntos)

Lisas Dibujos Rayas

Camisetas 10 5 10

Faldas 5 15 5



Solución: a) 0,04 b) 0,0072

19) Asturias. EBAU Julio 2018. Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4 caras con el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se lanza. d) Calcula la probabilidad de sacar 5. e) Si el resultado de la tirada es 5, ¿Cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado?

Solución: a) 0,4167 b) 0,8

20) Asturias. EBAU Julio 2018. En una ciudad hay dos equipos destacados, uno de fútbol y otro de baloncesto. Todos los habitantes son seguidores de alguno de los dos equipos. Se sabe que hay un 60% de seguidores del equipo de fútbol y otro 60% del equipo de baloncesto. Calcula: a) La probabilidad de que un habitante sea seguidor de ambos equipos a la vez. b) La probabilidad de que un habitante sea únicamente seguidor del equipo de fútbol. c) Se elige al azar un habitante de la ciudad y se comprueba que es seguidor del equipo de baloncesto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea también seguidor del equipo de fútbol?

Solución: a) 0,2 b) 0,4 c) 0,333

21) Balears. PBAU Extraordinaria 2020. Opció A. 4. Tenim tres urnes, la primera conté 2 bolles blaves;

la segona, 1 bolla blava i 1 de vermella; la tercera, 2 bolles vermelles. Fem l'experiment aleatori

“Triam una urna a l'atzar i extraiem una bolla"

Suposa que totes les urnes tenen la mateixa probabilitat de ser escollides.

(a) Calcula la probabilitat del succés R = “bolla extreta vermella" (5 punts).

(b) Si la bolla extreta resulta que és vermella, quina és la probabilitat que l'urna escollida hagi estat la

tercera? (5 punts).

Solución: (a) 0,5 (b) 0,66

22) Balears. PBAU Extraordinaria 2020. Opció B. 4. El pes d'un grup de persones segueix una

distribució normal de mitjana 54,3 kg i desviació típica de 6,5 kg.

(a) Quin és el percentatge de persones amb pes superior a 57 kg? (3 punts)

(b) Quin percentatge de persones pesen entre 50 i 57 kg? (4 punts)

(c) Si s'escull una persona a l'atzar que está dins del 70% de les persones que menys pesen, com a

máxim, quants quilos hauria de pesar? (3 punts)

Solución: (a) 0,33905 (b) 0,40635 (c) Debe pesar como mucho 57.7 kilos.

23) Balears. PBAU Ordinaria 2020. Opció A. 4. El nombre d'hores de vida d'un cert bacteri (tipus A) es

distribueix segons una normal de mitjana 110 hores i desviaciò típica de 0,75 hores. Calcula la

probabilitat que, escollint a l'atzar un bacteri:

(a) el seu nombre d'hores de vida sobrepassi les 112,25 hores. (4 punts)

(b) el seu nombre d'hores de vida sigui inferior a 109,25 hores. (4 punts)

D'un altre bacteri (tipus B) se sap que el nombre d'hores de vida es distribueix segons una normal de

mitjana 110 hores, però es desconeix la seva desviaciò típica. Experimentalment s'ha comprovat que la

probabilitat que un bacteri tipus B visqui més de 125 hores és 0,1587.

Calcula la desviaciò típica de la distribuciò del nombre d'hores de vida dels bacteris tipus B. (2 punts)

Solución: (a) 112.25 0.0013P X (b) 109.25 0.1587P X . 15



24) Balears. PBAU Ordinaria 2020. Opció B. 4. Una empresa de fabricaciò d'impressores té dos

centres de producciò, la fàbrica europea (E) i la fàbrica asiàtica (A). L'1 % de les impressores de la

fàbrica E i el 3% de les impressores de la fàbrica A es produeixen amb un defecte. El mercat d'un

determinat país s'abasteix d'impressores procedents de la fàbrica E en un 80%, mentre que la resta

prové de la fàbrica A.

(a) Quina és la probabilitat que una impressora d'aquest país tingui el defecte? (4 punts)

(b) Si el país té, aproximadament, dos milions d'impressores fabricades per aquesta empresa, quantes

tindran el defecte? (2 punts)

(c) Si s'escull a l'atzar una impressora d'aquest país i resulta ser una impressora defectuosa, quina és la

probabilitat que provingui de la fàbrica E? (4 punts)

Solución: (a) Una impresora sea defectuosa 0.014P . (b) 28 000 impresoras serán defectuosas. (c)

4

Sea de fábrica E / Es defectuosa 0.5717

P

25) Balears. PBAU Julio 2019. A. 4. El pes dels adults de 40 anys d'una certa comunitat es modela amb

una distribució normal de mitjana μ = 85 kg i desviació típica σ = 15 kg. Ens demanen:

a) Quin percentatge de la població té sobrepès? Entenem que una persona adulta de 40 anys té

sobrepés si pesa més de 100 kg. (4 punts)

b) Consideram el col·lectiu dels individus més prims de la comunitat. Si ens diuen que aquest

col·lectiu representa el 40% de tots els individus de la comunitat, quin és el pes màxim d'un individu

del col·lectiu? (6 punts)

Solución: 15,87% b) 81,175 kg

26) Balears. PBAU Julio 2019. B. 4. S'ha fet un estudi sobre la por de volar i el nivell d'estrés en una

certa comunitat. Ens diuen que el 60% dels individus no tenen por de volar, el 50% té un nivell baix

d'estrés, el 25%, un nivell mitjá, i el 5% té un nivell alt d'estrés i por de volar. Sabent, a més a més, que

el 5% dels individus té un nivell mitjá d'estrés i no té por de volar, es demana:

a) Probabilitat que un individu de la comunitat tingui un nivell d'estrés mitjá i por de volar. (3 punts)

b) Sabent que un individu té por de volar, quina és la probabilitat que tingui un nivel baix d'estrés? (3

punts)

c) Són independents els esdeveniments “nivell d'estrés baix" i “por de volar"? Raonau la resposta. (4

punts)

Solución: a) 0,2 b) 0,375 c) No son independientes.

27) Balears. PBAU Junio 2019. A. 4. Les alçades X dels estudiants de 18 anys dels instituts de Palma es

modelen segons una llei normal de mitjana μ = 1.78 m i desviació típica σ = 0.65 m. Es demana:

a) Percentatge d'estudiants de 18 anys dels instituts de Palma que fan més d'1.90 m. (4 punts)

b) Agafam una mostra de 100 estudiants de 18 anys dels instituts de Palma i en volem seleccionar els

30 més alts. Quina és l'alçada mínima que ha de fer un estudiant de 18 anys dels instituts de Palma per

ser seleccionat? (6 punts)

Solución: a) 42,66% b) 2.118 m

28) Balears. PBAU Junio 2019. B. 4. En una comunitat de 500 estudiants de segon de batxillerat, 200

estudien l'opció científica tecnológica. N'hi ha 150 que practiquen futbol i 100 que practiquen básquet

(entenem que no n'hi ha cap que practiqui futbol i básquet a la vegada). Dels que practiquen básquet,

70 estudien l'opció científica tecnológica, i hi ha 150 estudiants que no practiquen esport ni fan l'opció

científica tecnológica. Es demana:



a) Probabilitat que un estudiant estudiï l'opció científica tecnológica i no practiqui esport. (3 punts)

b) Sabent que un estudiant practica futbol, quina és la probabilitat que estudiï l'opció científica

tecnológica? (3 punts)

c) Són independents els esdeveniments “practicar futbol" i “estudiar l'opció científica tecnológica".

Raonau la resposta. (4 punts)

Solución: a) 0,2 b) 0,2 c) No son independientes.

29) Balears. PBAU Julio 2018. A.4. En una classe de segon de batxillerat, el 60% dels alumnes son al·lotes, el 40% varen aprovar Llengua Castellana i el 20% son al·lotes que varen aprovar Llengua Castellana. Es demana: a) Quina es la probabilitat de trobar una persona que sigui al·lot i suspengui Llengua Castellana? b) Quina es la probabilitat que un al·lot suspengui Llengua Castellana? c) Si un alumne ha aprovat Llengua Castellana, quina es la probabilitat que sigui un al·lot?

Solución: a) 0,2 b) 0,5 c) 0,5

30) Canarias. EBAU Extraordinaria 2020. Grupo A. 4. Si una bombilla fluorescente presenta un 90%

de posibilidades de tener una vida útil de al menos 800 horas, seleccionando 20 bombillas

fluorescentes de este tipo, justificar si las siguientes afirmaciones son ciertas:

a. Al seleccionar exactamente 18 bombillas fluorescentes, más del 30% tienen una vida útil de al

menos 800 horas. 1 pto

b. La probabilidad de que dos bombillas fluorescentes o menos NO tengan una duración de al menos

800 horas es menor que 0,7. 1 pto

c. El valor esperado de bombillas con una vida útil de al menos 800 horas si se toma una muestra de

100 bombillas fluorescentes es igual a 10 0.5 ptos

Solución: a.La probabilidad es 28.52 %. b. Es cierto lo preguntado en este apartado, pues 0.677 < 0.7

c. Es falsa la afirmación de que sean 10, pues son 90.

31) Canarias. EBAU Extraordinaria 2020. Grupo B. 4. Mi despertador no funciona muy bien, pues el

20% de las veces no suena. Cuando suena, llego tarde a clase el 20% de las veces; pero si no suena, la

probabilidad de que llegue tarde es 0,9

a. Represente el diagrama de árbol del problema. 0.5 ptos

b. Justifique si el porcentaje de veces que llego tarde a clase y ha sonado el despertador es mayor que

el 20%. 0.75 ptos

c. Justifique si la probabilidad de que no llegue tarde a clase es menor que 0,5 0.75 ptos

d. Si un día llego tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador? 0.5 ptos

Solución: a. No es cierto que ocurra más del 20% de las veces, pues son un 16%.

b. No es cierto que sea menor de 0.5, pues esa probabilidad es 0,66. C. 0,471

32) Canarias. EBAU Ordinaria 2020. Grupo A. 4. El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una

unidad de cierta marca de impresoras de chorro de tinta viene dado, aproximadamente, por una

distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.

a. ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? 1.25 ptos

b. ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso?

1.25 ptos

Solución: a. El porcentaje es 0,62%. b. El porcentaje es del 98,76%

33) Canarias. EBAU Ordinaria 2020. Grupo B. 4. Se sabe que el 8% de los análisis de comprobación del

níquel en una aleación de acero son erróneos. Se realizan 10 análisis.



a. Se afirma que la probabilidad de que 3 o más análisis sean erróneos es menor que el 3%. Justifique

si es cierto. 1.25 ptos

b. Se afirma que la probabilidad de obtener exactamente 3 análisis erróneos es menor que el 3%.

Justifique si es cierto. 0.75 ptos

c. Si se realizan 100 análisis, justifique si el número esperado de análisis correctos es igual a 8.

0.5 ptos

Solución: a. La probabilidad es del 4%, por lo que no es menor que el 3%. b. La probabilidad es del 3,4 %,

por lo que no es menor que el 3%. c. El número esperado de análisis correctos es 92. Y 8 son los que se

espera que salgan erróneos.

34) Canarias. EBAU Julio 2019. Opción A. 4.

En un supermercado se sabe que el 55% de los clientes traen su propia bolsa. El 30% de los que traen

su propia bolsa son hombres y el 40% de los que no traen su propia bolsa son mujeres.

a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado. (0,5 ptos)

b) ¿Qué proporción de clientes son mujeres? (1 pto)

c) Si un cliente elegido al azar es hombre, ¿qué probabilidad hay de que haya traído su propia bolsa? (1

pto)

Solución: b) 56,5% c) 0,379

35) Canarias. EBAU Julio 2019. Opción B. 4.

Una compañía que fabrica ventiladores de CPU sabe que el tiempo de vida (en meses) de sus

ventiladores se distribuye según una normal, de media igual a 18 meses y desviación típica 3,6 meses.

Elegido un ventilador al azar:

a) Calcular la probabilidad de que funcione como mucho 16 meses. (0,75 ptos)

b) Calcular la probabilidad de que funcione al menos 1 año. (0,75 ptos)

c) Calcular la probabilidad de que funcione entre 1 y 2 años. (1 pto)

Solución: a) 0,2877 b) 0,9525 c) 0,903

36) Canarias. EBAU Junio 2019. Opción A. 4. En un banco se sabe que el tiempo de devolución de un

préstamo de 18000€ sigue una distribución normal de media 60 meses y desviación típica 8 meses. Se

elige al azar un préstamo de 18000€ realizado en dicho banco:

a) Calcular la probabilidad de que dicho préstamo se devuelva como mucho en 70 meses. (0,75 ptos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera devuelto, al menos en 4 años? (0,75 ptos)

c) ¿Qué porcentaje de préstamos de 18000€ del mismo banco se formalizan para ser devueltos entre

los 4 y los 6 años? (1 pto)

Solución: a) 0,8944 b) 0,9332 c) 86,64%

37) Canarias. EBAU Junio 2019. Opción B. 4. Una planta ensambladora de circuitos recibe

componentes procedentes de tres fabricantes A, B y C. El 50% del total de los componentes se compra

al fabricante A, mientras que a los fabricantes B y C se le compra un 25% a cada uno. El porcentaje de

componentes defectuosos es de un 5% para el fabricante A, el 10% para el fabricante B y el 12% para

el fabricante C.

a) Construir el diagrama de árbol con las probabilidades asignadas. (0,5 ptos)

b) El Departamento de Control de la Calidad escoge un circuito al azar en el almacén, hallar la

probabilidad de que contenga componentes defectuosos. (1 pto)

c) Escogido al azar un circuito que no tiene componentes defectuosos, ¿qué porcentaje de dichos

componentes han sido vendidos por el proveedor B? (1 pto)

Solución: b) 0,08 c) 0,24



38) Canarias. EBAU Julio 2018. A.4.

Tres fábricas A, B y C, producen respectivamente el 30%, 20% y 50% de los motores agrícolas que se

demandan en la industria. Los inspectores de calidad saben que son defectuosos el 5% de los motores

producidos por la fábrica A, el 20% de los producidos por la fábrica B y el 10% de los que se fabrican

en la C.

a) Un inspector de calidad elige un motor al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?

b) Si el inspector comprueba que el motor agrícola que elige está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad

de que no haya sido producido por la fábrica C?

Solución: a) 0,105 b) 0,52381

39) Canarias. EBAU Julio 2018. B.4. El 30% de los habitantes de un determinado pueblo ve un concurso de televisión. Desde el concurso se

llama por teléfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, de las 10

personas elegidas, estuvieran viendo el concurso de televisión:

a) Tres o menos personas.

b) Ninguna de las 10 personas a las que se ha llamado. Solución: a) 0,6496 b) 0,0282

40) Cantabria. EBAU Extraordinaria 2020. Ejercicio 4 [2.5 PUNTOS]

Un tenista juega el 20% de sus partidos en tierra batida y el resto en otras superficies. Jugando en tierra

batida gana el 90% de sus partidos, pero en otras superficies, solo consigue ganar el 40% de los

partidos.

1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué

superficie juega.

2) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida

sabiendo que ha ganado dicho partido.

Solución: 1) 0,5 2) 0,36

41) Cantabria. EBAU Extraordinaria 2020. Ejercicio 8 [2.5 PUNTOS]

En la Unión Europea hay aproximadamente 250 millones de hombres adultos, de los cuales 12

millones miden más de 190cm. En Holanda hay aproximadamente 7 millones de hombres adultos,

cuya altura sigue una distribución normal con media 184 cm y desviación típica 7 cm.

Supongamos que elegimos un hombre adulto al azar de toda la Unión Europea. 1) [0.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que mida más de 190 cm.

2) [0.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que sea holandés.

3) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que mida más de 190 cm sabiendo que es holandés.

4) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de 190 cm.

Solución: 1) 0,048 2) 0,028 3) 0,1949 4) 0,1137

42) Cantabria. EBAU Ordinaria 2020. Ejercicio 4 [2.5 PUNTOS]

Un determinado test rápido para anticuerpos de COVID-19 consigue detectar concentraciones iguales

o superiores a 10 U, en donde U son unidades de concentración de anticuerpos. De esta forma,

concentraciones iguales o superiores a 10 U dan un resultado positivo, mientras que concentraciones

inferiores a 10 U dan un resultado negativo en el test. Suponemos que la concentración de anticuerpos

sigue una distribución normal con media 20 U y desviación típica 5 U y que todas las personas que han

pasado la enfermedad han desarrollado anticuerpos.

1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que una persona que ha pasado la enfermedad de

negativo en el test.



2) [1.25 PUNTOS] Calcula qué concentraciones debería detectar el test para que la probabilidad

calculada en el apartado anterior fuese del 1%.

Solución: 1) 10 0.028P X . 2) Concentraciones de 8.375 U.

43) Cantabria. EBAU Ordinaria 2020. Ejercicio 8 [2.5 PUNTOS]

En un concurso de televisión el premio consiste en lanzar de forma independiente un dado cúbico y

una moneda (suponemos que ambos son perfectos). Por cada punto obtenido con el dado sumamos 100

€ (si sacamos un 1 ganamos 100 €, si sacamos un 2 ganamos 200 €, etc.) y si en la moneda sale “Cara”

sumamos 300 € adicionales.

1) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de ganar exactamente 400 €.

2) [0.5 PUNTOS] Calcula la probabilidad de ganar 400 € si sabemos que ha salido “Cara” en la

moneda.

3) [1 PUNTO] Calcula la probabilidad de que haya salido “Cara” sabiendo que hemos ganado 400 €.

Solución: 1) P(Ganar 400 €) = 0.166. 2) 0.166 3) Haya salido cara/ Ganado 400 € 0.5P

44) Cantabria. EBAU Julio 2019. Opción de examen nº 1. Ejercicio 4

Las temperaturas de una ciudad durante el verano han seguido una distribución normal de media 30º y

desviación típica de 6º.

1) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que un día al azar se mida una temperatura de menos de 42º.

2) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que un día al azar haga entre 25º y 30º. Solución: 1) 0,9772 2) 0,6534

45) Cantabria. EBAU Julio 2019. Opción de examen nº 2. Ejercicio 4

Una empresa de teléfonos tiene tres cadenas de producción para un modelo de teléfono. Cada cadena

fabrica, respectivamente, un 40%, 35% y 25% de la producción total. La probabilidad de que un

teléfono sea defectuoso es del 5%, 3% y 2% respectivamente. Se toma un teléfono al azar.

1) [1 PUNTO] ¿Cuál es la probabilidad de que el teléfono sea defectuoso?

2) [1 PUNTO] Si el teléfono es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que se haya fabricado en la

segunda cadena? Solución: 1) 0,0355 2) 0,2957

46) Cantabria. EBAU Junio 2019. Opción de examen nº 1. Ejercicio 4

Una prueba rápida para detectar una enfermedad da un 2% de falsos positivos (personas sanas en las

que la prueba da positivo, clasificándolas como enfermas) y un 1% de falsos negativos (personas

enfermas en las que la prueba da negativo, clasificándolas como sanas). En una población hay un 4%

de enfermos.

1) [1 PUNTO] Calcule la probabilidad de que el test dé un resultado negativo.

2) [1 PUNTO] La prueba da un resultado positivo (clasificando a la persona como enferma). Calcule la

probabilidad de que realmente esté sana. Solución: 1) 0,9412 2) 0,3265

47) Cantabria. EBAU Junio 2019. Opción de examen nº 2. Ejercicio 4

El peso de una población sigue una distribución normal de media 70 kg y desviación típica de 10 kg.

1) [1 PUNTO] Calcule el porcentaje de población que pesa entre 65 y 75 kg.

2) [1 PUNTO] Calcule el porcentaje de población que pesa al menos 85 kg. Solución: 1) 38,3% 2) 6,68%

48) Castilla La Mancha. EvAU Extraordinaria 2020. 8. a) El 70% de los usuarios de instagram

tiene menos de 34 años, el 25% entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el 5% más de 54 años. Se sabe



que acceden a diario a dicha red: el 98% de los menores de 34 años, el 40% de los usuarios entre 34 y

54 años (ambos incluidos) y el 10% de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?

a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué

probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluidos)?

b) El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una

ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30

minutos al día?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al

día? Solución: a.1) 0,209 a.2) 0,126 b.1) 0,9893 b.2) 82,24%

49) Castilla La Mancha. EvAU Ordinaria 2020. 8. a) En un servicio de emergencias el 60% de los avisos

que se reciben se clasifican con el código amarillo, el 30% con el naranja y el 10% con el rojo. Se sabe

que el porcentaje de avisos recibidos son falsas alarmas es 3% en el caso del código amarillo, 2% en el

naranja y 1% en el rojo. Si se recibe un aviso.

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de

que haya sido un aviso código rojo o naranja?

b) Si en una centralita se reciben 9 avisos,

b.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?

b.2) [0,75 puntos] ¿qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas? Solución: a.1.) 0.025 a.2.) 0.403 b.1.) 0.463 b.2.) 0.387

50) Castilla La Mancha. EvAU Julio 2019. 5A. a) Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio

cuyas probabilidades son P(A) = 0,75 y P(B) = 0,35. Calcula razonadamente las probabilidades que

deben asignarse a los sucesos A B y A B en cada uno de los siguientes casos:

a1) Si A y B fuesen independientes. (0,75 puntos)

a2) Si P(A / B) = 0,6. (0,5 puntos)

Nota: P(A / B) denota la probabilidad condicionada.

b) El 1% de los cheques que recibe un banco no tienen fondos. Razona la respuesta de las siguientes

preguntas:

b1) Si en una hora recibe cinco cheques, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún cheque sin

fondos? Redondea el resultado a la centésima. (0,75 puntos)

b2) El banco dispone de cinco sucursales en una ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos tres

sucursales de esa ciudad reciban algún cheque sin fondos? (0,5 puntos)

Solución: a1) 0,2625P A B , 0,8375P A B a2) 0,21P A B y 0,89P A B

b1) 0,05 b2) 0,001

51) Castilla La Mancha. EvAU Julio 2019. 5B. a) En la sala de pediatría de un hospital el 70% de los

pacientes son niñas. De los niños el 40% son menores de 36 meses y de las niñas el 30% tienen menos

de 36 meses. Un pediatra entra en la sala y selecciona un paciente al azar. Calcula razonadamente la

probabilidad de:

a1) Que no tenga menos de 36 meses. (0,75 puntos)

a2) Si el paciente resulta ser menor de 36 meses, que sea niña. (0,5 puntos)

b) En una de las pruebas de acceso al cuerpo de ingenieros de la Administración Pública se realiza un

test de 100 ítems a 450 opositores. Cada ítem vale un punto y se supera la prueba si se obtienen al

menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones obtenidas por los opositores siguen una

distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, calcula razonadamente:



b1) La probabilidad de obtener 75 o más puntos. (0,75 puntos)

b2) El número de opositores que obtuvieron menos de 75 puntos. (0,5 puntos)

Solución: a1) 0,33 a2) 0,64 b1) 0,068 b2) 420 opositores.

52) Castilla La Mancha. EvAU Junio 2019. 5A. a) Una fábrica A produce el 30% de los tractores que

se demandan en una Comunidad Autónoma, una fábrica B produce el 20% y la fábrica C el resto. El

controlador de calidad sabe que son defectuosos el 4% de los tractores fabricados por A, el 10% de los

fabricados por B y el 2% de los fabricados por C.

Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) No salga defectuoso. (0,75 puntos)

a2) Si resultó defectuoso, que no fuera fabricado por C. (0,5 puntos)

b) En una clase hay 16 chicas y 4 chicos. Cada día elijo a un estudiante al azar para que salga a la

pizarra. Calcula razonadamente la probabilidad de que los cinco días laborables de la semana salgan a

la pizarra:

b1) Tres chicas. (0,75 puntos)

b2) Al menos tres chicos. (0,5 puntos) Solución: a1) 95,8% a2) 76,19% b1) 0,2048 b2) 0,0579

53) Castilla La Mancha. EvAU Junio 2019. 5B. a) Una alarma de seguridad tiene instalados dos

sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que

se active el primer sensor es de 0,98 y de que se active el segundo es de 0,96. Calcula razonadamente

la probabilidad de que ante una emergencia:

a1) Se active al menos uno de los dos sensores. (0,75 puntos)

a2) Se active solo uno de los sensores. (0,5 puntos)

b) El tiempo, en horas, empleado en realizar cierta intervención quirúrgica sigue una distribución

normal N(10, 2). Calcular razonadamente el porcentaje de estas intervenciones que se pueden realizar:

b1) Entre 6,5 y 13 horas. (0,75 puntos)

b2) En menos de siete horas. (0,5 puntos) Solución: a1) 0,9992 a2) 0,0584 b1) 89,31% b2) 6,68%

54) Castilla La Mancha. EVAU Junio 2018. En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A suministra el 20 %, B el 10% y C el

resto. De las lámparas de A salen defectuosas el 5 %, de las de B el 4% y de las de C el 2 %. Elegida

una lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad de:

a1) No salgan defectuosas.

a2) Si resultó defectuosa, que fuera suministrada por B.

Solución: a1) 0,972 a2) 0,142

55) Castilla y León. EBAU Extraordinaria 2020. E9- (Probabilidad y estadística)

El consumo de azúcar en un determinado país, calculado en Kg (kilogramos) por persona y año, varía

según una distribución normal de media 15 y desviación típica 5.

a) ¿Qué porcentaje de personas de ese país consumen menos de 10 Kg de azúcar al año? (1 punto)

b) ¿Cuál es el porcentaje de personas del país cuyo consumo anual de azúcar es superior a 25 Kg?

(1 punto)

Solución: a) El porcentaje es del 15,87% b) El porcentaje es de 2,28%

56) Castilla y León. EBAU Extraordinaria 2020. E10.- (Probabilidad y estadística) Los estudiantes, que comienzan los estudios de Medicina, en el conjunto formado por las comunidades

autónomas de Andalucía, Baleares y Castilla y León, se distribuyen de la siguiente forma: un 50% de



Andalucía, un 15% de Baleares y un 35% provienen de Castilla y León. Los porcentajes de dichos

estudiantes que no consiguen el título de Médico son los siguientes: 15% de Andalucía, 10% de

Baleares y 5% de Castilla y León

a) Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de

Licenciado en Medicina. (1 punto)

b) Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de

Andalucía o de Castilla y León? (1 punto)

Solución: a) 0,1075 b) Es más probable que sea de la comunidad autónoma andaluza

57) Castilla y León. EBAU Ordinaria 2020. E9- (Probabilidad y estadística)

El peso de los alumnos de 2º de bachillerato de un instituto de León, sigue una distribución normal, de

media 75 kg y de desviación típica 5. Si se elige al azar un alumno, calcular la probabilidad de que:

a) Tenga un peso entre 70 y 80 kg. (1 punto)

b) Tenga un peso superior a 85 kg. (1 punto)

Solución: a) 0.6826 b) 0.028

58) Castilla y León. EBAU Ordinaria 2020. E10.- (Probabilidad y estadística)

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,6, 0,3 y 0,1,

respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es 0,25 para los barcos

de bajo tonelaje, 0,4 para los de tonelaje medio y 0,6 para los de tonelaje alto.

a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. (1 punto)

b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio.

(1 punto)

Solución: a) 0.33 b) 0.3636

59) Castilla y León. EBAU Julio 2019. Opción A. E5.- La temperatura del cuerpo humano sigue una

distribución normal de media 37ºC y desviación típica 0,5ºC.

a) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36ºC y 38ºC

(1 punto)

b) Calcular la probabilidad de que la temperatura de una persona sea menor que 36,5ºC. (1 punto)

Solución: a) 0,9544 b) 0,157

60) Castilla y León. EBAU Julio 2019. Opción B. E5.- En una empresa de alquiler de vehículos con

conductor:

• Trabajan 50 conductores de menos de 45 años, de los cuales 15 hablan inglés.

• Trabajan 30 conductores de entre 45 y 55 años, de los cuales 6 hablan inglés.

• Trabajan 20 conductores de más de 55 años, de los cuales 3 hablan inglés.

Considerando los sucesos: 𝐴= “tener menos de 45 años”, 𝐵= “tener entre 45 y 55 años”, 𝐶 = “tener

más de 55 años” e 𝐼 = “hablar inglés”:

a) Calcular P(𝐼 /𝐴), P(𝐼 /𝐵) y 𝑃(𝐼 /𝐶)). (0,9 puntos)

b) Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de

45 años? (1,1 puntos)

Solución: a) 0,3; 0,2; 0,15 b) 0,625

61) Castilla y León. EBAU Junio 2019. Opción A. E5.- Las notas de Matemáticas II de 500 alumnos

presentados al examen de EBAU tienen una distribución normal con media 6,5 y desviación típica 2.

a) Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de 8 puntos. (1 punto)

b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de 5 puntos? (1 punto)



Solución: a) 0,2266 b) 113 alumnos.

62) Castilla y León. EBAU Junio 2019. Opción B. E5.- En una competición de tiro olímpico hay 10

rifles, 4 con visor telescópico y 6 sin él. La probabilidad de que un tirador haga blanco con un rifle con

visor telescópico es 0,95 y sin él es de 0,65.

a) Halla la probabilidad de hacer blanco escogiendo un rifle al azar. (1 punto)

b) Si el tirador hace blanco. ¿Es más probable que haya disparado con un rifle con visor telescópico o

sin él? (1 punto)

Solución: a) 0,77 b) Es más probable con rifle sin visor.

63) Castilla y León. EBAU Julio 2018. A5

Se lanzan tres monedas al aire:

a) Halla el espacio muestral.

b) Halla la probabilidad de:

i) Obtener más caras que cruces. ii) Obtener las mismas caras que cruces.

Solución: a) , , , , , , ,E CCC CC C C CC C C C b.i) 1/2 b.ii) 0

64) Castilla y León. EBAU Julio 2018. B5

El diámetro interior de un anillo se distribuye normalmente con una media de 10 cm y una desviación

típica de 0,03.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de 10,075 ?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro entre 9,97 y 10,03 ?

Solución: a) 0,0062 b) 0,6826

65) Extremadura. EBAU Extraordinaria 2020. 9. Se realizaron dos debates electorales, uno el lunes

y otro el martes. Se hizo una encuesta a 1500 personas para estimar la audiencia, de las cuales: 1100

personas vieron el debate del lunes, 1000 vieron el debate del martes y 300 no vieron ninguno.

Eligiendo al azar a uno de los encuestados:

a) Calcule la probabilidad de que viera los dos debates. (1 punto)

b) Si vio el debate el lunes, calcule la probabilidad de que viera el del martes. (1 punto)

Solución: a) 0,6 b) 0,818

66) Extremadura. EBAU Extraordinaria 2020. 10. El radio de un pistón se distribuye según una

distribución normal de media 5 cm y desviación típica de 0,01 cm.

a) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio mayor que 5,01. (1 punto)

b) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio entre 4,98 y 5 cm. (1 punto)

Solución: a) 0,1587 b) 0,4772

67) Extremadura. EBAU Ordinaria 2020. 9. Una librería compra lotes de material escolar a tres

empresas A, B y C. A la empresa A le compra el 40% de los lotes, a B el 25% y a C el resto. De la

empresa A le viene defectuoso el 1% de los lotes, de B el 2% y de C el 3%. Elegido un lote al azar, se

pide:

a) Calcule la probabilidad de que sea defectuoso. (1 punto)

b) Si sabemos que no es defectuoso, calcule la probabilidad de que lo haya fabricado la empresa B.

(1 punto)

Solución: a) Sea defectuoso 0,0195P b) 2450

Sea de B/No es defectuoso 0.24999805

P



68) Extremadura. EBAU Ordinaria 2020. 10. Se ha hecho un estudio de un famoso jugador de

baloncesto de la ACB y se sabe que tiene una probabilidad de encestar un triple del 60%. Si realiza 8

tiros a canasta

a) Calcule la probabilidad de que enceste 5 triples. (0,75 puntos)

b) Calcule la probabilidad de que enceste al menos 2. (0,75 puntos)

c) Determine la media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)

Solución: a) 0,2787 b) 0,9915 c) Media = 4,8 Desviación típica = 1,3856 triples.

69) Extremadura. EBAU Julio 2019. Opción A. 5. Una persona utiliza Whatsapp un 70% y Telegram

un 30%. El 80% de los Whatsapp son de amigos y el 20% de trabajo, mientras que de Telegram, el

80% son de trabajo y 20% de amigos.

(a) Calcule la probabilidad de recibir un mensaje del trabajo. (1 punto)

(b) Si el usuario recibe un mensaje de trabajo, calcule la probabilidad de que sea a través del Whatsapp.

(1 punto)

Solución: a) 0,38 b) 0,368

70) Extremadura. EBAU Julio 2019. Opción B. 5. Se estima que el 40% de los alumnos que comienzan

un grado de ingeniería acaban obteniendo el grado. Si se elige al azar a 5 alumnos que comenzaron una

ingeniería, calcule:

(a) La probabilidad de que los 5 alumnos obtengan el grado de ingeniero. (0,75 puntos)

(b) La probabilidad de que como máximo 2 obtengan el grado de ingeniero. (0,75 puntos)

(c) La media y la desviación típica de la distribución. (0,5 puntos)

Solución: a) 0,01024 b) 0,68256 c) media = 2 desviación típica = 1,09

71) Extremadura. EBAU Junio 2019. Opción A. 5. En una clase hay 12 chicas y 8 chicos. 8 de las 12

chicas y 6 de los 8 chicos utilizan Facebook. Se escoge un estudiante al azar, determine las siguientes

probabilidades:

a) Sea chica y utilice Facebook. (1 punto)

b) Sea chico, sabiendo que utiliza Facebook. (1 punto)

Solución: a) 0,4 b) 3/7

72) Extremadura. EBAU Junio 2019. Opción B. 5. Supongamos que en una población de Extremadura

tienen una estatura que se distribuye según una normal de media 170 cm y desviación típica 10 cm.

a) ¿Qué porcentaje de habitantes miden entre 170 y 185 cm? (1 punto)

b) ¿A partir de qué altura están el 33% de los habitantes más altos? (1 punto)

Solución: a) 43,32% b) 174,4 cm

73) Extremadura. EBAU Julio 2018. A.4. En un centro comercial el 35% de los clientes utiliza carro. El 70% de los que utilizan carro son

hombres y el 40% de los no que no utilizan carro son mujeres.

(a) Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea mujer.

(b) Sabiendo que un cliente elegido al azar ha sido hombre, qué probabilidad hay de que utilice carro.

Solución: a) 0,365 b) 0,635

74) Extremadura. EBAU Julio 2018. B.4. Se estima que en una partida de bombillas el 10 % son defectuosas. Si se eligen al azar 6 bombillas de

esta partida, calcule:

a. La probabilidad de que ninguna sea defectuosa.



b. La probabilidad de obtener más de 2 defectuosas.

c. La media y la desviación típica de la distribución.

Solución: a. 0,5314 b. 0,0159 c. 𝜇=0,6 𝜎=0,7348

75) Galicia. ABAU Extraordinaria 2020. 7. Estadística y Probabilidad:

El 57% de los estudiantes matriculados en la Universidad de Cambridge son naturales del Reino Unido

y, de entre todos esos, el 83% aprueban con honores. Además, el porcentaje global de aprobados con

honores es del 80%. Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no haya nacido en el

Reino Unido sabiendo que aprobó con honores. Solución: 0,408625

76) Galicia. ABAU Extraordinaria 2020. 8. Estadística y Probabilidad:

a) En una determinada población de árboles, el 20% tienen más de 30 años. Si se eligen 40 árboles al

azar, calcule la probabilidad de que solamente 4 de ellos tengan más de 30 años. El número total de

árboles es tan grande que se puede asumir elección con reemplazo.

b) Si 𝑋 sigue una distribución normal de media 15 y 18 0.6915XP , ¿cuál es la desviación

típica?

Solución: 0,0475 b) 6

77) Galicia. ABAU Ordinaria 2020. 7. Estadística y Probabilidad:

Se seleccionan 250 pacientes para estudiar la eficacia de un nuevo medicamento. A 150 de ellos se les

administra el medicamento, mientras que el resto son tratados con un placebo. Sabiendo que se curaron

el 80% de los que tomaron el medicamento, ¿cuál es la probabilidad de que, seleccionado un paciente

al azar, tomara el placebo o no se curara?

Solución: Tomara el placebo o no se curara 0.52P

78) Galicia. ABAU Ordinaria 2020. 8. Estadística y Probabilidad:

En una cadena de montaje, el tiempo empleado para realizar un determinado trabajo sigue una

distribución normal de media 20 minutos y desviación típica 4 minutos. Calcule la probabilidad de que

se haga ese trabajo en un tiempo comprendido entre 16 y 26 minutos.

Solución: 16 26 0.7745P X

79) Galicia. ABAU Julio 2019. Opción A. 4. Da respuesta a los apartados siguientes

a) La probabilidad de que un chico recuerde regar su rosal durante una cierta semana es de 2/3. Si se

riega al rosal sobrevive con probabilidad 0,7; si no, lo hace con probabilidad 0,2. Al finalizar la

semana, el rosal ha sobrevivido. ¿Cuál es la probabilidad de que el chico no lo haya regado?

b) Una fábrica produce piezas cuyo grosor sigue una distribución normal de media 8 cm. Y desviación

típica 0,01 cm. Calcula la probabilidad de que una pieza tenga un grosor comprendido entre 7,98 y

8,021 cm.

Solución: a) 0,125 b) 0,9593

80) Galicia. ABAU Julio 2019. Opción B. 4. Da respuesta a los apartados siguientes:

a. Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral tal que 0,2P A 0,4P B y

0,5P A B , Calcula , , ,P A P B P A B P A B . Razona si A y B son o no sucesos

independientes.



b. La probabilidad de que un determinado jugador de futbol marque gol desde el punto de penalti es

p=0,7. Si lanza cinco penaltis calcula las siguientes probabilidades: de que no marque ningún gol; de

que marque por lo menos dos goles; y de que marque 5 goles. Si lanza 2100 penaltis, calcula la

probabilidad de que marque por lo menos 1450 goles. Se está asumiendo que los lanzamientos son

sucesos independientes.

Solución: a) no son independientes. b) No marque ningun gol 0,00243P

; Marque por lo menos dos goles 0,96922P ; Marque cinco goles 0,16807P

81) Galicia. ABAU Junio 2019. Opción A. 4. Da respuesta a los apartados siguientes:

a) El 40% de los habitantes de una cierta comarca tienen camelias, el 35% tienen rosas y el 21% tienen

camelias y rosas. Si se elige al azar a un habitante de esa comarca, calcular las cinco probabilidades

siguientes: de que tenga camelias o rosas; de que no tenga ni camelias ni rosas; de que tenga camelias,

sabiendo que tiene rosas; de que tenga rosas, sabiendo que tiene camelias; y de que solamente tenga

rosas o solamente tenga camelias.

b) Si en un auditorio hay 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 hayan nacido en

el mes de enero?

Solución: a) 0,54; 0,46; 0,6; 0,525; 0,33 b) 0,9334

82) Galicia. ABAU Junio 2019. Opción B. 4. Da respuesta a los apartados siguientes:

a. Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcula P(A) si P(B) = 0.8, 0.2P A B

y P A B es el triple de P(A).

b. En un determinado lugar, la temperatura máxima durante el mes de julio sigue una distribución

normal de media 25º C y desviación típica 4º C. Calcula la probabilidad de que la temperatura máxima

de un cierto día esté comprendida entre 21ºC y 27.2ºC. ¿En cuántos días del mes se espera que la

temperatura máxima permanezca dentro de ese rango?

Solución: a) 0,3 b) 17 días

83) Galicia. ABAU Septiembre 2018. Opción A. 4. En un bombo tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9 y cada vez que hacemos una extracción

devolvemos la bola al bombo. Si hacemos 5 extracciones, calcula la probabilidad de que el 7 salga

menos de dos veces.

Solución: 0,08146

84) La Rioja Extraordinaria 2020. 9.- (2 puntos) La estancia vacacional de una familia en un hotel

sigue una distribución Normal, de media 15 días y desviación típica 4 días.

a) Calcular la probabilidad de que la estancia de una familia sea inferior a 10 días.

b) Calcular la probabilidad de que la estancia esté comprendida entre 11 y 19 días.

Solución: a) 0,1056 b) 0,6826

85) La Rioja Extraordinaria 2020. 10.- (2 puntos) En una clase de 35 alumnos, asisten 30 de ellos.

Se sabe que aprueban todas las asignaturas el 80% de los alumnos que asisten a clase y el 10% de los

que no asisten. Se elige un alumno al azar.

a) Calcular el porcentaje de alumnos que aprueba la asignatura.

b) Sabiendo que el alumno ha suspendido, calcular la probabilidad de que un alumno haya asistido a

clase.

Solución: a) 70% b) 0,57



86) La Rioja Ordinaria 2020. 9.- (2 puntos) En una clase de primero de primaria el 50% de los niños

practica natación, el 20% practica baloncesto y el 5% ambos deportes.

a) Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar no practique ni natación ni baloncesto.

b) Calcular la probabilidad de que un niño practique natación si juega al baloncesto.

Solución: a) P(no practique natación ni baloncesto) = 0.35

b) 5

Practique natación/Juega baloncesto 0.2520

P

87) La Rioja Ordinaria 2020. 10.- (2 puntos) Se sabe que dos poblaciones distintas X e Y se

distribuyen según una Normal de media 25. Además 27 30 0,1587P X P Y . Calcular sus

respectivas varianzas.

Solución: 2 4 ´ 5 ´ 25X Varianza Y Varianza

88) La Rioja Julio 2019. Propuesta A. 2.- (2 puntos) El peso medio según la OMS de un niño de 5

años sigue una distribución normal de media 18,5 kg y desviación típica 2,25 kg. Si se elige un niño al

azar, Halla el porcentaje de niños

(I) cuyo peso es superior a 23 kg.

(II) cuyo peso está entre 15 y 23 kg.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

Solución: (I) 0,0228 (II) 91,66%

89) La Rioja Julio 2019. Propuesta B. 1.- (2 puntos) En un colegio se han ofertado para los niños de

infantil tres actividades extraescolares Inglés (ING), Multideporte (MUL) y Robótica (ROB), con dos

rangos de edad de 3 a 4 años (MP) y de 5 a 6 años (MG). Se sabe que se han apuntado a alguna

actividad un total de 300 niños. De ellos, hay 100 que tienen entre 3 y 4 años, de los cuales 82 hacen

Inglés y 10 han elegido Multideporte. Se sabe que al grupo de Robótica se han apuntado 83 niños, y

hay 105 niños de entre 5 y 6 años que se han apuntado a Inglés.

(I) Toma un niño al azar, halla las siguientes probabilidades:

, , , / /P MG P MUL P MP ROB P ROB MP y P MG ING .

(II) Comprueba que el suceso MUL es independiente de la edad del niño.

Solución: (I) 0,66; 0,1; 0,026; 0,08; 0,561. (II) El suceso MUL es independiente de la edad.

90) La Rioja Junio 2019. Propuesta A. 2.- (2 puntos) La distribución del número de rapes

capturados por los barcos pesqueros que salen a faenar en una cierta zona se ajusta a una normal de

media 220. Se sabe que, tomando un barco al azar la probabilidad de que capture más de 250 es

0,1587.

(I) Calcula la desviación típica de la distribución.

(II) Calcula el número de rapes que un barco debe capturar para estar en el percentil 96.

(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)

Solución: (I) 𝜎 = 30. (II) 273 rapes

91) La Rioja Junio 2019. Propuesta B. 2.- (2 puntos) Se tienen tres urnas: A, B y C. La urna A

contiene dos bolas blancas y tres negras, la B tres bolas blancas y dos negras, la C cuatro bolas blancas

y una negra. Se lanza un dado y se toman dos bolas de una urna: de la urna A si sale 1,2 ó 3, de la urna

B si sale un 4 ó 5 y de la urna C si sale un 6.

(I) Calcula la probabilidad de obtener dos bolas blancas.

(II) Suponiendo que las dos bolas extraídas son blancas, calcula la probabilidad de que se hayan

extraído de la primera urna.



Solución: (I) 0,25 (II) 0,2

92) Madrid. EvAU Extraordinaria 2020. A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se tienen tres urnas A, B y C. La urna A contiene 4 bolas rojas y 2 negras, la urna B contiene 3 bolas

de cada color y la urna C contiene 6 bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos

bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.

b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.

c) (0.5 puntos) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcular la probabilidad de que la

segunda sea negra.

Solución: a) 0,384 b) 0,182 c) 0,486

93) Madrid. EvAU Extraordinaria 2020. B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En un experimento aleatorio hay dos sucesos independientes X, Y. Sabemos que 0.4P X y que

0.08P X Y (donde Y es el suceso complementario de Y). Se pide:

a) (1 punto) Calcular )(P Y .

b) (0.5 puntos) Calcular )(P X Y .

c) (1 punto) Si X es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es un ´

éxito cuando NO sucede X, y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber

tenido éxito al menos 2 veces.

Solución: a) 0,8 b) 0,88 c) 0,991

94) Madrid. EvAU Ordinaria 2020. A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Un arquero aficionado dispone de 4 flechas y dispara a un globo colocado en el centro de una diana.

La probabilidad de alcanzar el blanco en el primer tiro es del 30%. En los lanzamientos sucesivos la

puntería se va afinando, de manera que en el segundo es del 40%, en el tercero del 50% y en el cuarto

del 60%. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el globo haya explotado sin necesidad de hacer el cuarto

disparo.

b) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que el globo siga intacto tras el cuarto disparo.

c) (1 punto) En una exhibición participan diez arqueros profesionales, que aciertan un 85% de sus

lanzamientos. Calcular la probabilidad de que entre los 10 hayan explotado exactamente 6 globos al

primer disparo.

Solución: a) 0.79 b) 0.084 c) 0,04

95) Madrid. EvAU Ordinaria 2020. B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se consideran dos sucesos A y B tales que P(A) = 0.5, P(B) = 0.25 y P(A∩B) = 0.125. Responder de

manera razonada o calcular lo que se pide en los siguientes casos:

a) (0.5 puntos) Sea C otro suceso, incompatible con A y con B. ¿Son compatibles los sucesos C y

A∪B?

b) (0.5 puntos) ¿Son A y B independientes?

c) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad P A B (donde A denota el suceso complementario al

suceso A).

d) (0.75 puntos) Calcular /P B A .

Solución: a) C es incompatible con A∪B b) Los sucesos son independientes c) 0.375 d) 0.75



96) Madrid. EvAU Julio 2019. Opción A. Ejercicio 4 : Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.

a) (1.25 puntos) Se sabe que el 40% del total de aspirantes han sido seleccionados en el proceso. Si

entre los aspirantes había un grupo de 8 amigos, calcule la probabilidad de que al menos 2 de ellos

hayan sido seleccionados.

b) (1.25 puntos) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una

distribución normal, X, de media 5.6 y desviación típica σ. Sabiendo que la probabilidad de obtener

una puntuación X ≤ 8.2 es 0.67, calcule σ.

Solución: a) 0,8936 b) 𝜎 = 5,91

97) Madrid. EvAU Julio 2019. Opción B. Ejercicio 4:

Un concesionario dispone de vehículos de baja y alta gama, siendo los de alta gama 1/3 de las

existencias. Entre los de baja gama, la probabilidad de tener un defecto de fabricación que obligue a

revisarlos durante el rodaje es del 1.6 %, mientras que para los de alta gama es del 0.9 %. En un

control de calidad preventa, se elige al azar un vehículo para examinarlo.

a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el vehículo elegido resulte defectuoso.

b) (1.5 puntos) Si se comprueba que el vehículo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que

sea de gama baja.

Solución: a) 1,37 % b) 78,05%

98) Madrid. EvAU Junio 2019. Opción A. Ejercicio 4:

La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 5 años es del 10 %. Se

pide:

a) (1 punto) Si en un acuario tenemos 10 peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad

de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de 5 años.

b) (1.5 puntos) Si en un tanque de una piscifactoría hay 200 peces de esta especie nacidos este mismo

año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad

de que al cabo de 5 años hayan sobrevivido al menos 10 de ellos.

Solución: a) 0,2639 b) 0,9934

99) Madrid. EvAU Junio 2019. Opción B. Ejercicio 4 :

Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un 80% de los

casos.

Si un enfermo es tratado con un placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del 10 %. En un

estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad

con un placebo.

a) (1 punto) Determinar cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado.

b) (1.5 puntos) Si un paciente elegido al azar ha mejorado, hallar la probabilidad de que haya sido

tratado con el medicamento.

Solución: a) 0,45 b) 0,89

100) Madrid. EvAU Julio 2018. A.4. Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el 13:8% de los españoles mayores de 18 años tiene

diabetes, aunque el 43% de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de 18 años.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa?, ¿cuál la de que no sea diabético o no sepa

que lo es?

b) Cierto test diagnostica correctamente el 96% de los casos positivos de diabetes, pero da un 2% de

falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que

realmente sea diabético?



Solución: a) P(diabético y lo sabe)= 0,18126 P(no diabético o no lo sepa)= 0,8174 b) 0,88

101) Madrid. EvAU Julio 2018. B.4. La variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ = 8,5 y desviación típica σ= 2,5. Se

pide:

a) Calcular el valor a tal que P(X ≤ a) = 0,05.

b) Calcular la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 8 y 9,3.

Solución: a) a = –12,6125 b) 0,2048

102) País vasco. EAU Extraordinaria 2020. Ejercicio A5 Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal

10; 0,1N . Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9,8

y 10,1. Calcular:

a) La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso.

b) Si se han fabricado 1500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos? Solución: a) La probabilidad de ser defectuoso es de 0.1815 b) Aproximadamente 273 recipientes saldrán

defectuosos.

103) País vasco. EAU Extraordinaria 2020. Ejercicio B5

En un instituto el 40 por ciento de sus alumnos tiene el cabello castaño, el 35 por ciento tiene los ojos

azules y el 15 por ciento tiene el cabello castaño y los ojos azules. Se escoge una persona al azar:

a) Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos azules?

b) Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga el cabello castaño ni los ojos azules?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el cabello castaño o los ojos azules?

Solución: a) 0,375 b) 0,571 c) 0,4 d) 0,6

104) País vasco. EAU Ordinaria 2020. Ejercicio A5

En una empresa el 70 por ciento de sus trabajadoras están satisfechas con su contrato, y entre las

satisfechas con su contrato el 80 por ciento gana más de 1000 euros. Entre las no satisfechas solo el 20 por

ciento gana más de 1000 euros. Si se elige una trabajadora al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 1000 euros?

b) Si gana más de 1000 euros, ¿cuál es la probabilidad que esté satisfecha con su contrato?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que gane menos de 1000 euros y esté satisfecha con su contrato?

Solución: a) 0,62 b) 0,903 c) 0,14

105) País vasco. EAU Ordinaria 2020. Ejercicio B5

En un garaje hay 30 aparcamientos. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil, con

independencia de lo que ocurra en los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de

0,4, se pide:

a) Identificar y describir este modelo de probabilidad.

b) Hallar la probabilidad de que cierto día haya 8 automóviles aparcados.

c) Hallar la probabilidad de que un día haya entre 10 y 20 automóviles aparcados.

Solución: a) X = Número de aparcamientos ocupados de las 30 plazas. X= B(30, 0.4)

b) Haya 8 plazas ocupadas 0.05P c) 10 20 0.823P X

106) País vasco. EAU Julio 2019. Opción A. Ejercicio A5

Una caja tiene 3 monedas R, L y M. La moneda R es normal, la L tiene cara por los dos lados y la M

está trucada, de forma que la probabilidad de salir cara es 1/5. Se tira una moneda elegida al azar:



a) Calcular la probabilidad de que se obtenga cara.

b) Si ha salido cruz, ¿cuál es la probabilidad de que sea la moneda R?

Solución:a) 17/30 b) 5/13

107) País vasco. EAU Julio 2019. Opción B. Ejercicio B5

De los resultados obtenidos en una prueba realizada a 500 estudiantes se distribuyen normalmente con

media 40 puntos y desviación típica 10 puntos.

a) ¿Qué porcentaje del alumnado tiene una puntuación entre 30 y 60 puntos?

b) ¿Cuántos estudiantes tienen una puntuación superior a 60 puntos?

Solución: a) 0,8185 b) 12 estudiantes.

108) País vasco. EAU Junio 2019. Opción A. Ejercicio A5

Sobre una mesa tengo tres cajas con botones; la primera caja tiene 3 botones, la segunda 5 y la tercera

4. Cada una de las cajas contiene un solo botón rojo. Si elijo al azar una caja y saco de ella un botón al

azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un botón rojo?

b) Si se ha sacado un botón rojo, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a la primera caja?

Solución: a) 47/180 b) 20/47

109) País vasco. EAU Junio 2019. Opción B. Ejercicio B5 Lanzamos un dado de seis caras 6000 veces. Calcular la probabilidad de que el número de veces que

salga el 5

a) Sea superior a 1500.

b) Esté comprendido entre 1000 y 1100.

Solución: a) 0 b) 0,4917


Probabilidad y estadística en EBAU de Murcia 154

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Extraordinaria 2020

7: El peso de los recién nacidos, medido en kilogramos (kg), sigue una distribución normal de

media 2,8 kg y desviación típica σ. Se sabe que solo el 20,05% de ellos pesa más de 3 kg.

a) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 2,6 kg?

b) [1 p.] Calcule la desviación típica de esta distribución normal.

c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,9 kg?

IMPORTANTE: Trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal.

Solución: a) 0,7995 b) 𝜎 = 0,2381 c) 0,6628

8: Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna A contiene 3

bolas verdes, 4 negras y 3 rojas, y la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se

tiene un dado que tiene 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza

el dado y se saca una bola al azar de la urna que indica el dado.

a) [0,75 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea verde?

b) [0,75 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?

c) [1 p.] Si la bola extraída es verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? Solución: a) 0,5 b) 0,1 c) 0,8

Ordinaria 2020

7: Una urna tiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas. Consideramos la variable aleatoria que cuenta el

número de bolas blancas que se obtienen al repetir nueve veces el siguiente experimento: se

saca una bola de la urna y, después de anotar el color, se devuelve la bola a la urna.

a) [1 p.] ¿Qué tipo de distribución sigue dicha variable aleatoria y cuáles son sus parámetros?

b) [0,5 p.] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas anotado sea menor o igual que 4? Solución: a) X = B(9, 0.4) b) 3.6 y la desviación típica es 1.4696 . c) 0.7334

8: En una determinada población, el 40% de los individuos lee diariamente la prensa y el 75% ve

diariamente las noticias en la televisión. Además, el 25% de los individuos lee la prensa y ve las

noticias en la televisión diariamente.

a) [0,5 p.] ¿Son independientes los sucesos “leer diariamente la prensa” y “ver diariamente las

noticias en la televisión?.

b) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo lea la prensa diariamente pero no vea las

noticias en la televisión?

c) [1 p.] Si un individuo lee la prensa diariamente, ¿cuál es la probabilidad de que también vea

las noticias en la televisión?

Solución: a) No son independientes. b) 0,15 c) 0,625 Septiembre 2019

A.4: (En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal).

La probabilidad de que una flecha dé en la diana es 0,40. Si se lanzan 9 flechas, determine:



a) [1 p.] Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de flechas que

dan en la diana.

b) [0,5 p.] Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución.

c) [1 p.] Cuál es la probabilidad de que al menos 5 flechas den en la diana. Solución: a) Es una binomial. B(9, 0.4). b) Media = 3,6 𝜎 = 1,47 c) 0,2665

B.4: (En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal).

El 60% de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el 25% en Madrid, y

el resto en Lisboa. El 1% de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de

fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa son del 0,5% y del

2%, respectivamente.

a) [1 p.] Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea

defectuoso.

b) [1,5 p.] Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya

sido fabricado en Madrid? Solución: a) 0,9897 b) 0,122

Junio 2019

A.4: (En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal).

El tiempo de duración de las bombillas de una cierta marca, medido en horas, sigue una

distribución normal de media μ y desviación típica σ. Se sabe que el 69,50% de las bombillas

duran menos de 5061,2 horas, y que el 16,60 % de las bombillas duran más de 5116,4 horas.

a) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla de esta marca dure entre 5061,2 y 5116,4

horas?

b) [1,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución normal.

Solución: a) 0,139 b) Media = 5000 h desviación típica = 120 h

B.4: (En este ejercicio trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal).

La probabilidad de que un determinado equipo de fútbol gane cuando juega en casa es 2

3 , y la

probabilidad de que gane cuando juega fuera es 2

5.

a) [1 p.] Sin saber donde jugará el próximo partido, calcule la probabilidad de que gane.

b) [1,5 p.] Si ganó el último partido del campeonato, ¿cuál es la probabilidad de que jugara en

casa? Solución: a) 8/15 b) 5/8

Septiembre 2018 (sólo entraba probabilidad)

CUESTIÓN A.5: En una clase hay 40 estudiantes, de los cuales 25 son chicas y el resto son chicos.

Además, 30 estudiantes han aprobado las matemáticas, de los cuales 10 son chicos.

a) Elegido un estudiante al azar, se pide:

a.1) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado las matemáticas?

a.2) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y haya aprobado las matemáticas?

b) [0,5 p.] Si se elige un estudiante que ha aprobado las matemáticas, ¿Cuál es la probabilidad de

que sea una chica? Solución: a.1) 0,25 a.2) 0,5 b) 0,66



CUESTIÓN B.5: Realizada una encuesta entre los habitantes de una ciudad, se ha llegado a la

conclusión de que el 40% de sus habitantes lee habitualmente el periódico local, el 30% lee revistas del

corazón y el 20% lee ambos tipos de publicaciones. Elegido un habitante al azar se pide:

a) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que lea al menos alguno de los dos tipos de publicaciones?

b) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que no lea ninguno de los dos tipos de publicaciones?

c) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que lea solo revistas del corazón? Solución: a) 0,5 b) 0,5 c) 0,1

Junio 2018 (sólo entraba probabilidad)

CUESTIÓN A.5: Una máquina funciona en modo automático el 70% de los días y el resto de los días

funciona en modo manual. La probabilidad de que tenga un fallo cuando funciona en modo automático

es 0’15. La probabilidad de que tenga un fallo cuando funciona en modo manual es 0’05.

a) [0,75 p.] Calcule la probabilidad de que no tenga ningún fallo.

b) [0,75 p.] Si un día tiene un fallo, ¿Cuál es la probabilidad de que haya funcionado en modo

manual?

Solución: a) 0,88 b) 0,125

CUESTIÓN B.5: En una peña del Atlético de Madrid, el 70% de sus miembros prefiere que Antoine

Griezmann continúe jugando en el equipo durante la próxima temporada, el 50% prefiere que

Fernando Torres continúe jugando en el equipo la próxima temporada y el 30% prefiere que ambos

jugadores sigan jugando en el equipo en la próxima temporada. Elegido al azar un miembro de la peña,

se pide:

a) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera que al menos alguno de los dos jugadores siga

jugando en el equipo la próxima temporada?

b) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera que ninguno de los dos jugadores siga jugando

en el equipo la próxima temporada?

c) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera que solo Fernando Torres siga jugando en el

equipo la próxima temporada?

Solución: a) 0,9 b) 0,1 c) 0,2

Septiembre 2017 (sólo entraba probabilidad)

CUESTIÓN A.5: [1 punto] En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés.

El 65% de los alumnos estudian inglés, el 20% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es

optativa y la elige el 30% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los

que cursan francés. Se elige un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica? Solución: Al elegir un alumno al azar, el 40 % es la probabilidad de que sea de robótica.

CUESTIÓN B.5: [1 punto] Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: 3

5P A ,

7

10P B ,

1

10P A B . Calcule: , , /A B A AP BP P B . (Donde, si C y D son sucesos C denota el

suceso complementario de C y P(C/D) denota la probabilidad del suceso C condicionada al suceso

D).



Solución: 9

10

2

5A B AP P B

1/ 1 B/

3P PB A A

Junio 2017 (sólo entraba probabilidad)

CUESTIÓN A.5: Según un estudio reciente, el 68% de los encuestados poseen un smartphone, el

38% tienen una tablet y el 16% disponen de ambos dispositivos.

a) [0’5 puntos] Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no disponga de

ninguno de los dos dispositivos.

b) [0’5 puntos] Resulta que la persona elegida posee un smartphone, ¿qué probabilidad hay de

que tenga una tablet? Solución: a) P(No tenga ningún dispositivo)= 0’1 b) P(Tablet / Smartphone) = 0,235

CUESTIÓN B.5: [1 punto] Dos aulas de 2º de Bachillerato hacen conjuntamente un examen de

Matemáticas. En el primer grupo hay 25 alumnos de los cuales aprueba el 64%, mientras que en el

segundo grupo, de 30 alumnos, lo hace el 70%. De entre todos los exámenes se elige uno al azar y

resulta que está aprobado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de un alumno del primer grupo?

Solución: 0,43


Orientaciones EBAU en probabilidad y estadística 158

Orientaciones EBAU. Bloque de estadística y probabilidad.

Cuestión 4. Bloque de estadística y probabilidad

a) Cálculo de la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos. Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y de la fórmula de Bayes.

Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.

Calcula probabilidades a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral.

Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Bayes.

Ejemplo

Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es 0,3, la de que no llueva en la

ciudad B es 0,6 y la de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es 0,5.

a) Calcule la probabilidad de no llueva en ninguna de las dos ciudades.

b) Calcule la probabilidad de que llueva en las dos. ¿Son independientes los sucesos “llueve en la ciudad A" y “llueve en la ciudad B"?

Ejemplo

En una universidad, el 65% de sus miembros son estudiantes, el 25% profesores y el

10% personal de administración y servicios. Son mujeres el 60% de los estudiantes, el 47% de los profesores y el 52% del personal de administración y servicios. Si seleccionamos al azar un integrante de esa universidad:

a) Determine la probabilidad de que sea mujer.

b) Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser hombre, halle la probabilidad de que sea estudiante.

b) Cálculo de la probabilidad de sucesos asociados a la distribución binomial y de sus

parámetros.

Identifica fenómenos que puedan modelizarse mediante la distribución binomial, obtiene sus parámetros y calcula su media y desviación típica.



Calcula probabilidades asociadas a una distribución binomial a partir de su función de probabilidad, de la tabla de la distribución o mediante calculadora.

Ejemplo

En un centro de fertilidad, el porcentaje de éxito de cada intento de inseminación es

del 25 %. Escogidas 8 parejas al azar que se han sometido al tratamiento, determine:

a) Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de embarazos conseguidos.

b) La probabilidad de que haya exactamente 2 embarazos.

c) La media y la desviación típica de la distribución.

c) Cálculo de la probabilidad de sucesos asociados a la distribución normal y de sus

parámetros.

Conoce las características y los parámetros de la distribución normal y valora su importancia en el mundo científico.

Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que puedan modelizarse mediante la distribución normal a partir de la tabla de la distribución o mediante calculadora.

Ejemplo

En un examen, el 35% de los presentados obtuvo una nota mayor que 6, y el 40% la

obtuvo menor que 4. Sabiendo que las notas siguen una distribución normal, determine su media y su desviación típica.



Tablas de distribución binomial y normal (0, 1)

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