23051 Análisis Numérico 2015 S1 EDOs Numéricas Guía 01 Mgc Ing. Civil. Mec. Marcelo Gallardo...

23051 – Análisis Numérico EDOs Numéricas – Guía 1 Marcelo Gallardo Maluenda

1

23051– ANÁLISIS NUMÉRICO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

(EDO)

NUMÉRICAS

GUÍA 1 Teoría – Mg (c) Ingeniero Civil Mecánico – Marcelo Gallardo Maluenda

Problema 1: Sea la EDO

𝟐𝒚´ − 𝟒𝒚

𝒚(𝟎)

=

=

𝟎

𝟑

(∀ 𝒙 ∈ 𝑰)

definida para los valores de 𝑥 ∈ 𝐼 = [0,3]. Considerando además un conjunto de números particulares de 𝐼 que pertenecen a una partición

𝑃𝑥 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3} = {0,1,2,3}

Encontrar la solución de la EDO, analítica para 𝑥 ∈ 𝐼 y numérica para 𝑥 ∈ 𝑃𝑥 , según el

siguiente procedimiento:

a) Analítica: Clasifique la EDO. En base a lo anterior, resuélvala con el método más

conveniente. Evalúe la solución analítica en 𝑃𝑥 y considere su resultado como los valores

verdaderos de la solución 𝑦(𝑥) al ser comparados con la solución numérica.

b) Numérica: Según los métodos

b.1) Euler Progresivo (EP).

b.2) Euler Modificado (EM).

b.3) Heun (H).

b.4) Runge-Kutta (RK).

b.5) Diferencias finitas (DF).


2

Para cada caso, calcule el error verdadero que se comente por estimación de 𝑦(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 .

Nota: Como nomenclatura, considere

Conjunto de valores verdaderos de 𝑦: 𝑃𝑦 = {𝑦(𝑥0), 𝑦(𝑥1), 𝑦(𝑥2), 𝑦(𝑥3)}

Conjunto de valores aproximados de 𝑦: 𝑃𝑦𝑎 = {𝑦0, 𝑦1, 𝑦2}

Condición de borde: 𝑦(𝑥0) = 𝑦(0) = 𝑦0 = 3

a) Solución analítica

Clasificación de la EDO

Considerando

𝑦´ = 𝑦´(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥

En general, la EDO se puede expresar como

𝑎1(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0

𝑎1(𝑥)𝑑 1 𝑦

𝑑𝑥 1+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 ⟹ 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 𝐸𝐷𝑂 = 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 {

𝑑 1 𝑦

𝑑𝑥 1} = 1

⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

𝑎1(𝑥)𝑑𝑦 1

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 1 = 0 ⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

(∀ 𝑖 ∈ {0,1}) 𝑎𝑖(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑎 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑎1(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 ∧ 𝑎1(𝑥) ≠ 1 ⟹ 𝐸𝐷𝑂 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎

En consecuencia, tenemos

2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑦 = 0

𝐸𝐷𝑂 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙, 𝑎 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑧𝑎𝑑𝑎

Normalizando la EDO, despejando términos e integrando, tenemos

2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑦 = 0 |

1

2 ⟹

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 2𝑦 = 0 ⟹

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑦 ⟹

𝑑𝑦

𝑦= 2𝑑𝑥 | ∫ ⟹

∫𝑑𝑦

𝑦= 2 ∫ 𝑑𝑥 ⟹ 𝑙𝑛(𝑦) = 2𝑥 + 𝑐 |𝑒 ⟹ 𝑦 = 𝑒2𝑥+𝑐 = 𝑒𝑐𝑒2𝑥 = 𝑘𝑒2𝑥

Solución general de la EDO (sin condición de borde)

𝑦(𝑥) = 𝑘𝑒2𝑥 (𝑘, 𝑥 ∈ ℝ)


3

Considerando la condición de borde

𝑦(0) = 3

Obtenemos el valor de la constante 𝑘

𝑦(0) = 𝑘𝑒2(0) = 𝑘𝑒0 = 𝑘1 = 𝑘 = 3

Solución particular de la EDO (considerando la condición de borde)

𝑦(𝑥) = 3𝑒2𝑥 (𝑥 ∈ ℝ)

Corroborando

𝑦(𝑥) = 3𝑒2𝑥 ⟹

2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑦 = 2

𝑑

𝑑𝑥(3𝑒2𝑥) − 4(3𝑒2𝑥) = 2(3𝑒2𝑥2) − 4(3𝑒2𝑥) = 12𝑒2𝑥 − 12𝑒2𝑥 = 0

𝑦(0) = 3𝑒2(0) = 3𝑒0 = 3(1) = 3

𝑦(1) = 3𝑒2(1) = 3𝑒2 = 3(7,389056) = 22,167168

𝑦(2) = 3𝑒2(2) = 3𝑒4 = 3(54,598150) = 163,794450

𝑦(3) = 3𝑒2(3) = 3𝑒6 = 3(54,598150) = 403,428793

b) Solución numérica

b.1) Método de Euler Progresivo (EP)

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦´(𝑥)

EDO

2𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4𝑦 = 0 ⟹ 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑦 ⟹

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

4

2𝑦 ⟹

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦´(𝑥) = 2𝑦

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖)ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖

𝑦𝑖+1 = 3𝑦𝑖

𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 3𝑦0 = 3(3) = 9

𝐸𝑡1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 9 = 13,167168

𝜀𝑡𝑝1 = [

𝐸𝑡1

𝑦(𝑥1)] 100 = [

13,167168

22,167168] 100 = 59,3994 ≈ 59,40 [%]


4

𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 9 𝑦2 = 3𝑦1 = 3(9) = 27

𝐸𝑡

2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 27 = 136,794450

𝜀𝑡𝑝2 = [

𝐸𝑡2

𝑦(𝑥2)] 100 = [

136,794450

163,794450] 100 = 83,5159 ≈ 83,52 [%]

𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 27 𝑦3 = 3𝑦2 = 3(27) = 81

𝐸𝑡3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 81 = 322,428794

𝜀𝑡𝑝3 = [

𝐸𝑡3

𝑦(𝑥3)] 100 = [

322,428794

403,428793] 100 = 79,9221 ≈ 79,92 [%]

b.2) Euler Modificado (EM)

𝑦𝑖+1 2⁄ = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖)ℎ𝑖

2 ∧ ℎ𝑖 = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 2⁄ = 𝑦𝑖 +

𝑦´(𝑥𝑖)

2= 𝑦𝑖 +

2𝑦𝑖

2= 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖 = 2𝑦𝑖

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖+1 2⁄ )ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖+1 2⁄ ) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖+1 2⁄

= 𝑦𝑖 + 2(2𝑦𝑖) = 𝑦𝑖 + 4𝑦𝑖 = 5𝑦𝑖


𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 5𝑦0 = 5(3) = 15

𝐸𝑡

1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 15 = 7,167168

𝜀𝑡𝑝1 = [

𝐸𝑡1

𝑦(𝑥1)] 100 = [

7,167168

22,167168] 100 = 32,3324 ≈ 32,33 [%]

𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 15 𝑦2 = 5𝑦1 = 5(15) = 75

𝐸𝑡2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 75 = 88,794450

𝜀𝑡𝑝2 = [

𝐸𝑡2

𝑦(𝑥2)] 100 = [

88,794450

163,794450] 100 = 54,2109 ≈ 54,21 [%]


5

𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 75 𝑦3 = 5𝑦2 = 5(75) = 375

𝐸𝑡

3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 375 = 28,428794

𝜀𝑡𝑝3 = [

𝐸𝑡3

𝑦(𝑥3)] 100 = [

28,428794

403,428793] 100 = 7,0468 ≈ 7,05 [%]

b.3) Heun (H)

𝑦𝑖+1𝑝

= 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖)ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1𝑝

= 𝑦𝑖 + 𝑦´(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + [𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1𝑝

)] (ℎ𝑖

2) = 𝑦𝑖 + [𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1, 3𝑦𝑖)] (

ℎ𝑖

2)

= 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 2(3𝑦𝑖)] (ℎ𝑖

2) = 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 6𝑦𝑖] (

ℎ𝑖

2) = 𝑦𝑖 + 8𝑦𝑖 (

ℎ𝑖

2) = 𝑦𝑖 + 4𝑦𝑖ℎ𝑖

= (1 + 4ℎ𝑖)𝑦𝑖

𝑦𝑖+1 = (1 + 4ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = (1 + 4[1])𝑦𝑖 = (1 + 4)𝑦𝑖 = 5𝑦𝑖


𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 5𝑦0 = 5(3) = 15

𝐸𝑡

1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 15 = 7,167168

𝜀𝑡𝑝1 = [

𝐸𝑡1

𝑦(𝑥1)] 100 = [

7,167168

22,167168] 100 = 32,3324 ≈ 32,33 [%]

𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 15 𝑦2 = 5𝑦1 = 5(15) = 75

𝐸𝑡

2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 75 = 88,794450

𝜀𝑡𝑝2 = [

𝐸𝑡2

𝑦(𝑥2)] 100 = [

88,794450

163,794450] 100 = 54,2109 ≈ 54,21 [%]

𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 75 𝑦3 = 5𝑦2 = 5(75) = 375

𝐸𝑡

3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 375 = 28,428794

𝜀𝑡𝑝3 = [

𝐸𝑡3

𝑦(𝑥3)] 100 = [

28,428794

403,428793] 100 = 7,0468 ≈ 7,05 [%]


6

Nota: Dependiendo de la naturaleza de la EDO, existe la posibilidad que la función incógnita

𝑦(𝑥) resultante tenga valores iguales para distintos métodos, como en este caso (EM y H).

Este hecho no necesariamente es frecuente al resolver EDOs numéricas.

b.4) Runge-Kutta (RK)

𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3

𝑘1 = 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) = 2𝑦𝑖 ⟹ 𝑦𝑖+

12

𝑝1= 𝑦𝑖 + 𝑘1

ℎ𝑖

2= 𝑦𝑖 + (2𝑦𝑖)

ℎ𝑖

2= 𝑦𝑖 + 𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + ℎ𝑖)𝑦𝑖

𝑦𝑖+

12

𝑝1= (1 + ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦

𝑖+12

𝑝1= (1 + [1])𝑦𝑖 = 2𝑦𝑖

𝑘2 = 𝑓 (𝑥𝑖+1/2, 𝑦𝑖+1/2𝑝1

) = 2 (𝑦𝑖+1/2𝑝1

) = 2(2𝑦𝑖) = 4𝑦𝑖 ⟹

𝑦𝑖+

12

𝑝2= 𝑦𝑖 + 𝑘2

ℎ𝑖

2= 𝑦𝑖 + (4𝑦𝑖)

ℎ𝑖

2= 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + 2ℎ𝑖)𝑦𝑖

𝑦𝑖+

12

𝑝2= (1 + 2ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦

𝑖+12

𝑝2= (1 + 2[1])𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖

𝑘3 = 𝑓 (𝑥𝑖+1/2, 𝑦𝑖+1/2𝑝2

) = 𝑓(𝑥𝑖+1/2, 3𝑦𝑖) = 2(3𝑦𝑖) = 6𝑦𝑖 ⟹

𝑦𝑖+1𝑝1

= 𝑦𝑖 + 𝑘3ℎ𝑖 = 𝑦𝑖 + (6𝑦𝑖)ℎ𝑖 = 𝑦𝑖 + 6𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖

𝑦𝑖+1𝑝1

= (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1𝑝3

= (1 + 6[1])𝑦𝑖 = 7𝑦𝑖

𝑘4 = 𝑓(𝑥𝑖+1, 𝑦𝑖+1𝑝1

) = 𝑓(𝑥𝑖+1, 7𝑦𝑖) = 2(7𝑦𝑖) = 14𝑦𝑖

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + [𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4] (ℎ𝑖

6) = 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 2(4𝑦𝑖) + 2(6𝑦𝑖) + 14𝑦𝑖] (

ℎ𝑖

6)

= 𝑦𝑖 + [2𝑦𝑖 + 8𝑦𝑖 + 12𝑦𝑖 + 14𝑦𝑖] (ℎ𝑖

6) = 𝑦𝑖 + [36𝑦𝑖] (

ℎ𝑖

6) = 𝑦𝑖 + 6𝑦𝑖ℎ𝑖 = (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖

𝑦𝑖+1 = (1 + 6ℎ𝑖)𝑦𝑖 ∧ ℎ𝑖 = ℎ = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = (1 + 6[1])𝑦𝑖 = 7𝑦𝑖


𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 7𝑦0 = 7(3) = 21

𝐸𝑡

1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 21 = 1,167168

𝜀𝑡𝑝1 = [

𝐸𝑡1

𝑦(𝑥1)] 100 = [

1,167168

22,167168] 100 = 5,2653 ≈ 5,27 [%]


7

𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 21 𝑦2 = 7𝑦1 = 7(21) = 147

𝐸𝑡

2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 147 = 16,794450

𝜀𝑡𝑝2 = [

𝐸𝑡2

𝑦(𝑥2)] 100 = [

16,794450

163,794450] 100 = 10,2534 ≈ 10,25 [%]

𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 147 𝑦3 = 7𝑦2 = 7(147) = 1029

𝐸𝑡

3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 1029 = −625,571207

𝜀𝑡𝑝3 = [

𝐸𝑡3

𝑦(𝑥3)] 100 = [

−625,571207

403,428793] 100 = −155,0636 ≈ −155,06 [%]

b.5) Diferencias finitas (DF)

EDO

𝑦´ = 2𝑦

Derivada hacia adelante

𝑦´(𝑥𝑖) ≈𝑦(𝑥𝑖 + ℎ𝑖) − 𝑦(𝑥𝑖)

ℎ𝑖≈

𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖

ℎ𝑖 ∧ 𝑦(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 ⟹ 𝐸𝐷𝑂:

𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖

ℎ𝑖= 2𝑦𝑖 ⟹

𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖 = 2𝑦𝑖ℎ𝑖 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖ℎ𝑖

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖ℎ𝑖 ∧ ℎ𝑖 = 1 ⟹ 𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖(1) = 𝑦𝑖 + 2𝑦𝑖 = 3𝑦𝑖


𝑥0 = 0 ∧ 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 = 3 𝑦1 = 3𝑦0 = 3(3) = 9

𝐸𝑡1 = 𝑦(𝑥1) − 𝑦1 = 22,167168 − 9 = 13,167168

𝜀𝑡𝑝1 = [

𝐸𝑡1

𝑦(𝑥1)] 100 = [

13,167168

22,167168] 100 = 59,3994 ≈ 59,40 [%]


8

𝑥1 = 1 ∧ 𝑦1 = 9 𝑦2 = 3𝑦1 = 3(9) = 27

𝐸𝑡

2 = 𝑦(𝑥2) − 𝑦2 = 163,794450 − 27 = 136,794450

𝜀𝑡𝑝2 = [

𝐸𝑡2

𝑦(𝑥2)] 100 = [

136,794450

163,794450] 100 = 83,5159 ≈ 83,52 [%]

𝑥2 = 2 ∧ 𝑦2 = 27 𝑦3 = 3𝑦2 = 3(27) = 81

𝐸𝑡3 = 𝑦(𝑥3) − 𝑦3 = 403,428793 − 81 = 322,428794

𝜀𝑡𝑝3 = [

𝐸𝑡3

𝑦(𝑥3)] 100 = [

322,428794

403,428793] 100 = 79,9221 ≈ 79,92 [%]

Nota: Si nos interesa mejorar los valores obtenidos por la solución numérica, podemos reducir

el tamaño de separación ℎ𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 entre valores 𝑥𝑖 y 𝑥𝑖+1. Por otra parte, debemos

recordar que ℎ𝑖 no necesariamente debe ser constante. Por ello, en este problema se ha

mantenido dicha rotulación y no se ha utilizado ℎ𝑖 = ℎ, para recordar que no estamos

obligados a considerar un paso constante. La elección de su naturaleza dependerá de la

información que se quiera obtener sobre la EDO.

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