34190659 Calculo en El Mundo de Las Desigualdades

En el mundo delas desigualdades

CALCULO

Jorge Moretti

Dedicatoria A mi esposa y a mis hijos que quizás aún no saben que mi pasión por ellos es muy superior a la que siento por la enseñanza de la matemática. Natacha, Andrea, Carolina, Pablo, Virginia y Damián están presentes en cada una de las páginas de este libro.

A modo de preámbulo Este libro está destinado a ti, estudiante que comienzas tu primer curso de cálculo matemático. Es un libro de matemática, por lo que su lectura no te resultará fácil a pesar de mis esfuerzos por no complicarte demasiado. Espero que tu juventud, tu entusiasmo, tu afán de aprender, tus profesores y este libro te ayuden a superar los escollos que encontrarás. Como verás, en muchos de los temas que trato se destacan nítidamente las desigualdades. Las matemáticas, por cierto, y no las sociales o económicas que son mucho más complicadas y que a veces se intentan remediar con ayuda de técnicas matemáticas. No tengo la pretensión de resumirte aquí la temática que abarcaré, pero sí deseo hacerte algunos comentarios: 1) Procura entender totalmente las definiciones y los enunciados de los

teoremas. No caigas en la tentación de recurrir a la temible frase “Quizás esto no importe”.

2) Sigue atentamente las demostraciones de los teoremas. Si opinas que son muchas, omite algunas. Ten en cuenta que demostrar un teorema no es sólo un recurso que permite afirmar conceptos sino que también, y esto es fundamental, una práctica imprescindible para responder rigurosamente a la inquietante pregunta “¿Por qué eso es así?”.

3) Lee con toda atención los ejemplos. Ellos te brindarán la oportunidad de repasar definiciones y teoremas y de aprender técnicas que te serán útiles.

4) Resuelve la mayor cantidad posible de ejercicios y permanentemente pregúntate por lo que usas en la resolución.

5) De vez en cuando recurre al índice de definiciones, teoremas y ejemplos, elige algunos renglones al azar y hazte preguntas como las que siguen: ¿Cuál era esa definición?, ¿Qué afirmaba ese teorema?, ¿Qué aprendí en ese ejemplo?

6) No dejes de leer el apéndice pues en él he tratado de mostrarte algunas aplicaciones prácticas importantes.

Además de este libro, quiero compartir contigo algunos agradecimientos: A Daniel Buquet, Javier García de Zúñiga, Dante Mara y Mario Wshebor por

su gran aporte a mi formación matemática. A Ricardo Pascale por el entusiasmo que me trasmitió sobre la vinculación

entre el mundo artístico y Fibonacci. A Roberto Barriola y Miguel Galmés, amigos y compañeros de estudios

entrañables, por nuestras inolvidables reuniones matemáticas y por el apoyo que siempre me han dado. A los profesores con los que compartí la experiencia docente en los liceos

de Enseñanza Secundaria y en la Facultad de Ciencias Económicas y de Administración de la Universidad de la República.

A mis alumnos, quienes año tras año renuevan mi placer por la enseñanza de la matemática.

Para finalizar, te pido que me hagas conocer tus sugerencias y que me alertes sobre los errores y las omisiones que sin duda cometí. Al respecto, mi dirección electrónica es [email protected]

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INDICE

CAPITULO 1 – EL CONJUNTO R 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 – El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 – Las funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 – Función acotada. Máximo y mínimo de una función . . . . . . . . . . . . . 23 5 – Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CAPITULO 2 – CONCEPTOS BASICOS 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 – Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 CAPITULO 3 – DERIVABILIDAD (primera parte) 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 – Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 – Algunas aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 CAPITULO 4 – CONTINUIDAD 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 – Definición de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 – Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 – Teorema de Bolzano y Teorema de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 – Teoremas de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 CAPITULO 5 – DERIVABILIDAD (segunda parte) 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2 – Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3 – Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 CAPITULO 6 – LA FUNCION LOGARITMO 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2 – La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 CAPITULO 7 – FUNCION INVERSA 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2 – Definición de función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3 – Teoremas sobre la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 CAPITULO 8 – LA FUNCION EXPONENCIAL 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2 – La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3 – Potencia de base y exponente reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4 – Funciones asociadas a la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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CAPITULO 9 – LIMITES (primera parte) 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2 – Definición de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 CAPITULO 10 – LIMITES (segunda parte) 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2 – Unicidad del límite, acotación y función comprendida . . . . . . . . . . . 153 3 – Operaciones con límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 CAPITULO 11 – LIMITES (tercera parte) 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 2 – Límite de la función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3 – Reglas de L’Hôspital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4 – Asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5 – Una condición suficiente de existencia de límite . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Complemento (una demostración difícil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 CAPITULO 12 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (primera parte) 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 2 – Definición de seno, coseno y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3 – Algunas propiedades del seno y del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4 – Las funciones seno, coseno y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 CAPITULO 13 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (segunda parte) 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 2 – Las inversas de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 3 – Otra definición de seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 CAPITULO 14 – SUCESIONES REALES 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 2 – Sucesiones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 3 – Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4 – La sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5 – Ejemplos de series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 CAPITULO 15 – FORMULA DE TAYLOR 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 2 – El polinomio y el resto de Taylor de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 3 – El polinomio y el resto de Taylor de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 4 – La fórmula de Taylor y los extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5 – Síntesis de fórmulas de Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 6 – Newton y las raíces de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

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CAPITULO 16 – ECUACIONES EN DIFERENCIAS 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 2 – Diferencia de una sucesión real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 3 – Ecuaciones en diferencias lineales de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . 308 4 – Ecuaciones en diferencias lineales de orden dos . . . . . . . . . . . . . . 316

CAPITULO 17 – ECUACIONES DIFERENCIALES 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 2 – Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 3 – Ecuaciones diferenciales lineales de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . 330 4 – Ecuaciones diferenciales lineales de orden dos . . . . . . . . . . . . . . 335 APÉNDICE – CINCO APLICACIONES 1 – Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 2 – El problema de la lata de cerveza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 3 – El problema del galpón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 4 – El problema del inversionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 5 – El problema de los promedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 6 – El problema de la evolución de una población . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 SELECCIÓN DE RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 Capítulos 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Capítulos 6 y 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 Capítulos 9, 10 y 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Capítulo 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Capítulo 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Capítulo 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Capítulo 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Capítulo 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Capítulo 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Reglas de derivación y tablas de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Índice de definiciones, teoremas y ejemplos ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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INDICE DE DEFINICIONES, TEOREMAS Y EJEMPLOS D T E 1 Algunas desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Aproximaciones de la raíz cuadrada de un número positivo . . 5

1 Conjunto acotado. Infimo, supremo, mínimo y máximo de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Conjunto acotado. Infimo, supremo, mínimo y máximo de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 La raíz de orden n de un número positivo . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Intervalos, semirrectas y entornos. Número interior a un

conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 3 Valor absoluto de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Algunos resultados sobre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 La función valor absoluto y la función signo . . . . . . . . . . . . . . 19 6 Una función con valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7 La función parte entera y la función mantisa . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Función acotada en un conjunto. Mínimo y máximo de una función en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

8 Mínimo y máximo de una función en un conjunto . . . . . . . . . . 24 5 Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 9 Cálculo de funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 10 Una función sencilla y aleccionadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Función creciente en un intervalo (o en una semirrecta). Función decreciente en un intervalo (o en una semirrecta) . . .

37

7 Función con concavidad positiva en un intervalo (o en una semirrecta). Función con concavidad negativa en un intervalo (o en una semirrecta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 8 Derivada de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 La derivada de algunos polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 11 Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9 Derivada de la división de dos polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12 Cálculo de derivadas de división de polinomios . . . . . . . . . . . 43

10 Recta tangente al gráfico de una función en un punto . . . . . . 44 11 Función derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13 Cálculo de derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6 Condición suficiente de crecimiento de una función . . . . . . . . 46 7 Condición suficiente de decrecimiento de una función . . . . . . 46 8 Condición suficiente de concavidad positiva de una función . . 47 9 Condición suficiente de concavidad negativa de una función . 48

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D T E 14 Estudio de tres funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

12 Función continua en un número interior a su dominio . . . . . . . 55 15 Ejemplos de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 16 Ejemplos de funciones no continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

13 Función continua en un número por la derecha (izquierda) . . 60 10 Algunas operaciones con funciones continuas . . . . . . . . . . . . 61 11 Composición de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 17 Dos funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 12 Otras operaciones con funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 63 13 Conservación del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 14 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 15 Teorema de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 16 Función acotada en un entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 17 Primer teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 17’ Segundo teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 18 Cálculo del máximo y del mínimo de una función . . . . . . . . . . 71 19 La función máximo y la función mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

14 Función derivable en un número interior a su dominio . . . . . . 77 20 Continuidad y derivabilidad de la función raíz cuadrada . . . . . 77 21 Una función no derivable en un número . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 22 La función raíz cuadrada no es derivable en 0 por la derecha 80 18 Derivabilidad implica continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 19 El signo de f(x) – f(p) en un entorno de p . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15 Función con extremo relativo en un número interior a su dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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20 Condición necesaria para que una función tenga extremo relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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23 Determinación de los números en que una función tiene extremo relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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24 Estudio de una función con raíces cuadradas . . . . . . . . . . . . . 84 21 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 22 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 23 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 24 Igualdad de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

16 La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 25 Propiedades de la función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

17 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 25 Estudio de cuatro funciones con logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 93 26 Cálculo de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

18 Función invertible. Función inversa de una función . . . . . . . . . 105 27 Ejemplos de funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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D T E 26 Un teorema sobre función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 27 Otro teorema sobre función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 28 Cálculo de la derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . 113

19 La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 28 Propiedades de la función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 29 Derivada de la función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 29 Las funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 30 Cálculo de valores de la función exponencial . . . . . . . . . . . . . 124 31 Una desigualdad importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

20 Definición de potencia de base y exponente reales . . . . . . . . 126 30 Propiedades de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 31 Derivada de tres funciones asociadas a la potencia . . . . . . . . 128 32 Estudio de tres funciones asociadas a la potencia . . . . . . . . . 128 33 Las desigualdades de Hölder y de Minkowski . . . . . . . . . . . . . 131

21 Límite finito de una función en un número “casi” interior a su dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

22 Límite más infinito de una función en un número “casi” interior a su dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

23 Límite menos infinito de una función en un número “casi” interior a su dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

34 Límites cuando x → a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 24 Límite finito de una función en más infinito . . . . . . . . . . . . . . . 143 25 Límite más infinito de una función en más infinito . . . . . . . . . . 144 26 Límite menos infinito de una función en más infinito . . . . . . . . 145 35 Límites cuando x → + ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

27 Límite finito de una función en menos infinito . . . . . . . . . . . . . 149 36 Límites finitos cuando x → - ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

28 Límite más infinito de una función en menos infinito . . . . . . . . 150 29 Límite menos infinito de una función en menos infinito . . . . . . 151 37 Límites infinitos cuando x → - ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 32 Unicidad del límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 33 Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 34 Límite de la función comprendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 38 Una aplicación del teorema sobre límite de la función

comprendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 35 Operaciones con límites (suma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 39 Operaciones con límites (suma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 36 Operaciones con límites (producto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 40 Operaciones con límites (producto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 37 Operaciones con límites (inverso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 41 Operaciones con límites (inverso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


viii

D T E 42 Operaciones con límites (cociente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 38 Límite de un polinomio y de un cociente de polinomios . . . . . 164 43 Límite de polinomios y de cociente de polinomios . . . . . . . . . 164 39 Regla del cociente de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 44 Regla del cociente de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 40 Un teorema sobre composición de funciones con límite . . . . . 167 45 Aplicaciones del primer teorema sobre composición de

funciones con límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167 41 Otro teorema sobre composición de funciones con límite . . . . 169 46 Aplicaciones del segundo teorema sobre composición de

funciones con límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170 47 Comparación de infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 48 Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 42 Primera regla de L’Hôspital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 49 Primera regla de L’Hôspital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 43 Segunda regla de L’Hôspital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 44 Derivada y límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 45 Condición suficiente de existencia de f ‘(p) . . . . . . . . . . . . . . . 177 50 Una función inquietante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

30 Asíntota de una función en más infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 46 Condición necesaria y suficiente de existencia de asíntota de

una función en más infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180 51 Cálculo de asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 52 Estudio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 47 Condición suficiente de existencia de límite de una función

en más infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188 31 Las funciones seno, coseno y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 48 Dos desigualdades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 49 Tres límites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 50 Derivabilidad de las funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . 209 53 Cálculo de derivadas de funciones trigonométricas . . . . . . . . 210 54 Cálculo de límites de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . 211 55 Periodicidad de las funciones seno, coseno y tangente . . . . . 211 56 Estudio de cuatro funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 212 57 Tres llamados de atención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

31’ Las funciones seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 51 Las funciones seno y coseno son únicas . . . . . . . . . . . . . . . . 230 52 Una relación fundamental entre el seno y el coseno . . . . . . . . 231 53 Las funciones seno y coseno son acotadas en R . . . . . . . . . . 231 54 Fórmulas de adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


ix

D T E 55 Una raíz de la ecuación cos(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

32 El número π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 58 Valores del seno y del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 59 Signo y periodicidad del seno y del coseno . . . . . . . . . . . . . . . 234

33 Sucesión real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 60 Una sucesión real y tres funciones reales asociadas a ella . . 237

34 Sucesión acotada. Máximo y mínimo de una sucesión . . . . . . 240 35 Sucesión creciente. Sucesión decreciente . . . . . . . . . . . . . . . 240 36 Límite de una sucesión en más infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 61 Una sucesión simple e interesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 62 La sucesión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 63 Sucesiones crecientes cuyos valores son números naturales 245

37 Subsucesión de una sucesión real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 56 Condición suficiente para la existencia del límite de una

subsucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 64 Dos aplicaciones del teorema 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 65 La sucesión de Fibonacci y la “proporción áurea” . . . . . . . . . . 249 66 La serie geométrica de razón λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 67 La serie armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 68 La constante de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

38 Polinomio y resto de Taylor de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . 259 69 Polinomios y restos de Taylor de orden uno . . . . . . . . . . . . . . 259 57 Polinomio y resto de Taylor de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . 261 58 Cálculo de valores aproximados de una función con su

polinomio de Taylor de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263 70 Cálculo de valores aproximados de una función . . . . . . . . . . . 263 59 La expresión de Lagrange del resto de Taylor de orden uno . 266 71 El error en el cálculo de valores aproximados de una función 267 60 Condición suficiente para que un polinomio de orden uno sea

el polinomio de Taylor de orden uno de una función f en a . .

269 72 Determinación indirecta de un polinomio de Taylor . . . . . . . . . 269

39 Polinomio y resto de Taylor de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 61 Expresión de un polinomio de orden n según potencias de

(x - a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

270 62 Polinomio y resto de Taylor de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 73 La fórmula de Taylor y el cáculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . 272 63 Cálculo de valores aproximados de una función con su

polinomio de Taylor de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

273 64 La expresión de Lagrange del resto de Taylor de orden n . . . 273

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x

D T E 74 Cálculo de valores aproximados de una función . . . . . . . . . . . 274 75 Fórmulas de Mac Laurin de orden n de cinco funciones . . . . . 275 76 El número e es irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 65 Condición suficiente para que un polinomio de orden n sea el

polinomio de Taylor de orden uno de una función f en a . . . .

280 77 Determinación indirecta de polinomios de Mac Laurin . . . . . . 281 78 Una diferencia entre las hipótesis de los teoremas 60 y 65 . . 285 66 Condición suficiente para que una función tenga extremo

relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286 79 Condición suficiente de existencia de extremo relativo . . . . . . 287

40 La sucesión de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 80 Sucesiones de Newton con límite finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 67 Sucesiones de Newton con límite finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 81 Sucesiones de Newton con límite infinito o sin límite . . . . . . . 298 68 Condición suficiente para que exista una sucesión de Newton

no constante cuyo límite sea una raíz de la función f . . . . . . .

300 41 Diferencia de una sucesión real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 82 Cálculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 69 Reglas para el cálculo de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 83 Cálculo de diferencias sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 70 Propiedades de las raíces de una ecuación en diferencias

lineal de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309 84 Resolución de la ecuación y*(n) – y(n) = n . . . . . . . . . . . . . . . 310 71 Existencia de raíces de una ecuación en diferencias lineal de

orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

72 Raíces de una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

312

85 Dos ecuaciones en diferencias lineales de orden uno . . . . . . 313 73 Propiedades de las raíces de una ecuación en diferencias

lineal de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317 74 Existencia de raíces de una ecuación en diferencias lineal de

orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317 75 Raíces de una ecuación en diferencias lineal homogénea de

orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

318 86 Dos ecuaciones en diferencias lineales de orden dos . . . . . . . 318 87 La sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 76 Propiedades de las raíces de una ecuación diferencial lineal

de orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

330 88 Resolución de la ecuación y’(x) – y(x) = x ∀ x . . . . . . . . . . . . 331 77 Raíces de una ecuación diferencia lineal homogénea de

orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

332

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xi

D T E 89 Una ecuación diferencial lineal de orden uno . . . . . . . . . . . . . 333 78 Propiedades de las raíces de una ecuación diferencial lineal

de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

336 79 Raíces de una ecuación diferencia lineal homogénea de

orden uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

336 90 Dos ecuaciones diferenciales lineales de orden dos . . . . . . . 337

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1

CAPITULO 1 – EL CONJUNTO R 1 – INTRODUCCION Principio deben tener las cosas y nuestro trabajo no escapa a esa regla. El objetivo de este libro es el estudio de algunas características de las funciones reales de variable real. Esa frase nos lleva a que tengamos que hacer algunos comentarios sobre el conjunto de los números reales y sobre las funciones. Al comenzar el último año de tus estudios secundarios, tú tienes un importante conocimiento de distintos temas matemáticos que nosotros aprovecharemos para desarrollar la temática de este libro. Sin duda, has trabajado intensamente con los números reales desde hace tiempo y lo continuarás haciendo. Cuando aún no habías llegado a los tres años de edad, algún integrante de tu familia se preocupó por introducirte en el apasionante mundo de los números, enseñándote a contar, y sintió un gran orgullo ante tus progresos con los primeros números naturales. Ya en la escuela, los maestros y las maestras ampliaron tu campo de acción. Aparecieron nuevos números naturales, fuiste adiestrado en operar con ellos, te encontraste con los números racionales positivos y te sorprendiste con el valioso número π que te permitió calcular tanto la longitud de una circunferencia como el área de un círculo (ese número no es un número racional, aunque es casi seguro que eso no te lo dijeron). Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones te acompañaron durante toda tu formación escolar. Intuías que en el liceo seguirías trabajando con números y no te equivocaste. Tus profesores de la enseñanza secundaria, en especial los de matemática, se preocuparon por los números negativos y por otros números no racionales como el famoso 2 . Comenzaste a trabajar con potencias, con raíces cuadradas y quizás hasta con logaritmos. No sólo las ecuaciones, sino también las inecuaciones requirieron tu atención. Aprendiste a representar números reales en una recta y parejas de números reales en un plano. Viste, casi seguramente con más asombro que interés, la demostración de algunas propiedades y ciertas formas de razonar que te sorprendieron (por ejemplo, la del método de demostración de “inducción completa”). Con todo ello lograste ser un experto, o casi, en un amplio conjunto de conceptos y de procedimientos matemáticos vinculados con los números reales. En cuanto a las funciones, instrumento básico del análisis matemático, conoces por lo menos lo que ese término significa, te esforzaste con los polinomios (en particular, aprendiste a estudiar el signo de algunos polinomios) y viste la representación gráfica de algunas funciones. El propósito de este capítulo es presentarte un resumen de las características básicas del conjunto de los números reales y repasar el concepto de función. Además, trataremos algunos temas que pueden ser nuevos para ti.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

2

2 – EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES Dentro del cúmulo de propiedades del conjunto de los números reales, aquí nos preocuparemos por destacar tres grupos de ellas, los cuales caracterizan a ese conjunto (usaremos la letra R para el conjunto de los números reales): • Las propiedades fundamentales de la suma y el producto. • Las propiedades fundamentales de la desigualdad. • La propiedad de conjunto completo.

Propiedades de la suma

Conmutativa a + b = b + a ∀ a, b ∈ R Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ R Existencia de neutro a + 0 = a ∀ a ∈ R Existencia de opuesto Para cada a ∈ R existe a1 ∈ R tal que a + a1 = 0

(a1 es el opuesto de a)

Propiedades del producto

Conmutativa ab = ba ∀ a, b ∈ R Asociativa (ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ R Existencia de neutro a1 = a ∀ a ∈ R Existencia de inverso Para cada a ∈ R, con a ≠ 0, existe a2 ∈ R tal que

aa2 = 1 (a2 es el inverso de a)

Propiedad de la suma y el producto

Distributiva (a + b)c = ac + bc ∀ a, b, c ∈ R

Propiedades de la desigualdad

Tricotomía Para cada a, b ∈ R se da una y sólo una de las siguientes opciones: a b

Transitiva Si a 0 entonces ac < bc (a, b, c ∈ R)

Si a bc (a, b, c ∈ R) Sin duda no te has sorprendido con ninguna de las propiedades anteriores. Sólo deseamos señalarte, debido a errores que se cometen habitualmente, que recuerdes el enunciado completo de la propiedad de monotonía del producto. Ten en cuenta que no es correcto afirmar que si a 4 (-2).

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3

En cuanto a la propiedad de conjunto completo, la enunciaremos más adelante pues ella requiere algunos conceptos previos. Ejemplo 1 – Algunas desigualdades Primera parte : x2 > 0 ∀ x ∈ R, con x ≠ 0 Como x ≠ 0, sabemos que x > 0 ó x < 0. Si x > 0, al multiplicar por x en esa desigualdad tenemos que xx > 0x, es decir x2 > 0. Si x < 0, al multiplicar por x en esa desigualdad llegamos a que xx > 0x, o sea x2 > 0. Por lo tanto, cualquiera sea el número real x distinto de 0 es x2 > 0. Segunda parte : x2 + y2 > 2xy ∀ x, y ∈ R tales que x ≠ y Al ser x ≠ y tenemos que x – y ≠ 0. Debido a la primera parte sabemos que (x – y)2 > 0. Además, (x – y)2 = x2 + y2 – 2xy. Por lo tanto x2 + y2 – 2xy > 0. Si en esta desigualdad sumamos 2xy obtenemos que x2 + y2 > 2xy. Tercera parte : Si 0 < a 0). Al multiplicar por b en la desigualdad c < d nos queda bc < bd (pues b > 0). Tenemos pues que ac < bc < bd y, en consecuencia, ac < bd. Cuarta parte : Si 0 < x < y entonces x2 < y2, x3 < y3, ... (x, y ∈ R) 1) Atentos a la parte anterior, las desigualdades 0 < x < y, 0 < x < y implican

que xx < yy, o sea x2 < y2. 2) Usemos de nuevo la tercera parte, ahora partiendo de 0 < x < y, 0 < x2 < y2.

Obtenemos xx2 < yy2, es decir x3 < y3. 3) Y así sucesivamente podemos ver que x n < y n para n = 4, 5, 6, ... (en rigor,

deberíamos usar el método de demostración de “inducción completa”).

Quinta parte : Si 0 < x < y entonces y1

x1

> (x, y ∈ R)

Como x e y son positivos, también lo es xy1 . Al multiplicar por este último

número en la desigualdad x < y obtenemos xy1y

xy1x < , o sea

x1

y1

< .

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

4

Sexta parte : Si x ≠ 0 y x < 1 entonces (1 – x) n > 1 – nx (x ∈ R; n = 2, 3, 4, ...) Con el fin de justificar el resultado de esta parte usaremos el método de demostración de “inducción completa”. Primera etapa La propiedad es cierta para n = 2, es decir que (1 – x)2 > 1 – 2x (x ≠ 0 y x < 1). En efecto: (1 – x)2 = 1 – 2x + x2 > 1 – 2x pues x2 > 0 (usamos que x ≠ 0). Segunda etapa H) (1 – x) n > 1 – nx (x ≠ 0 y x < 1) T) (1 – x) n+1 > 1 – (n+1)x (x ≠ 0 y x < 1) Demostración Como x < 1 tenemos que 1 – x > 0. Al multiplicar por (1 – x) en la desigualdad (1 – x) n > 1 – nx obtenemos el siguiente resultado: (1 – x) n+1 > (1 – nx)(1 – x). Además, (1 – nx)(1 – x) = 1 – x – nx +nx2 = 1 – (n+1)x + nx2 > 1 – (n+1)x. En resumen, (1 – x) n+1 > 1 – (n+1)x. Ejercicio 1 A continuación te presentamos once afirmaciones, entre las que hay algunas que son ciertas y otras que son falsas. Analiza cada una de ellas y decide si es cierta o falsa (procura demostrar la afirmación cuando opines que es cierta y, en caso contrario, encuentra un ejemplo que muestre que es falsa). En los seis primeros casos x es un número real y en el último a y b lo son. 1) Si x > 1 entonces x2 > 1. 2) Si x2 > 1 entonces x > 1. 3) Si x < 1 entonces x2 < 1. 4) Si x2 < 1 entonces x < 1. 5) Si 2 < x < 3 entonces 4 < x2 < 9. 6) Si 4 < x2 < 9 entonces 2 < x < 3. 7) El opuesto de cualquier número real es menor que ese número. 8) El cuadrado de cualquier número real es mayor que ese número. 9) El inverso de cualquier número real distinto de cero es menor que ese

número. 10) La raíz cuadrada de cualquier número positivo es menor que ese número. 11) Si a > 0, b > 0 y a n 0 e y > 0 entonces xy > 0. Si x > 0 e y < 0 entonces xy < 0. Si x < 0 e y < 0 entonces xy > 0.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

5

2) ¿Cuál es el enunciado y la justificación de la “regla de los signos de la suma”?

Ejercicio 3 Sea a un número real positivo y n un número natural distinto de 0. Prueba que

a)1a( n >+ . Ejemplo 2 – Aproximaciones de la raíz cuadrada de un número positivo Si te encuentras con el símbolo 9 no vacilas en escribir 9 = 3 ya que 32 = 9. Ahora bien, ¿qué haces ante el símbolo 2 ?. Seguramente afirmas que es un número cuyo cuadrado es 2 y recurres a una calculadora (casi todas tienen una tecla marcada con ) para escribir 2 = 1,4142135. Si calculas el cuadrado de ese último número llegas a que (1,4142135)2 = 1,99999982358225. Por lo tanto, es más prudente escribir 2 ≅ 1,4142135. O sea que la calculadora da una aproximación del número 2 (una aproximación por defecto puesto que 1,4142135 < 2 ). Se cuenta que entre las primeras aproximaciones de 2 , los matemáticos griegos de la antigüedad propusieron los números racionales

57 y

23 ;

57 es una aproximación por defecto de 2 pues 2

2550

2549

57 2

=<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ y

23 es una aproximación por exceso de 2 ya que 2

48

49

23 2

=>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ . Ya en

aquellas lejanas épocas se reconoció que se estaba ante un número no racional y ese hecho provocó un gran impacto en la matemática (puede demostrarse, sin mayor dificultad, que 2 no es un número racional, pero nos conformaremos con admitirlo). Todo lo anterior motiva un problema que enunciamos así: dado un número positivo a, ¿existe algún procedimiento que proporcione aproximaciones por defecto y aproximaciones por exceso de a ? A continuación detallamos uno de esos procedimientos. 1) Aproximaciones por exceso de a (a > 0)

De acuerdo con el ejercicio 3, sabemos que z1 = a + 1 es una aproximación por exceso de a pues (z1) 2 = a)1a( 2 >+ . Construyamos, a partir de z1, otra aproximación por exceso de a que sea “mejor” que z1. Nos interesa, entonces, encontrar un número z2 que cumpla 0 < z2 < z1 y (z2) 2 > a. ...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ...........................

0 a z2 z1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

6

Pongamos z2 = (1 – x)z1 y hallemos x de modo que 0 < z2 < z1 y (z2) 2 > a. Para que 0 < z2 < z1, el número x debe ser tal que 0 < x < 1. (*) (z2) 2 = (1 – x)2(z1) 2 > (1 – 2x)(z1) 2 si 0 < x < 1 (sexta parte del ejemplo 1)

(**) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≤⇔≥−⇔≥− 2

12

1

21 )z(

a121x

)z(ax21a)z)(x21( .

Elijamos ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

1)z(a1

21x . Ese x está entre 0 y 1 pues 1

)z(a0 21

<< y para

ese x tenemos que z2 = (1 – x)z1 verifica 0 < z2 < z1 y (z2) 2 > a (la última desigualdad se debe a (*) y a (**)).

En resumen,1

21

121

121

12 z2)z(az

)z(2a

21z

)z(a1

211z)x1(z +

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=

es una aproximación por exceso de a “mejor” que z1.

Con z2 podemos reiterar el trabajo anterior y llegar a que 2

22

3 z2)z(az +

= es

una aproximación por exceso de a “mejor” que z2. Y así podemos seguir. 2) Aproximaciones por defecto de a (a > 0)

Aprovecharemos los resultados que recién obtuvimos con el fin de construir aproximaciones por defecto de a .

Sea 1

1 zau = . Como (z1) 2 > a > 0 resulta que

a1

)z(1

21

< y a)z(

a2

1

2

< . Esto

último nos indica (u1) 2 < a. Tenemos pues que u1 es una aproximación por defecto de a .

Sea 2

2 zau = . Un razonamiento similar al que acabamos de hacer nos

convence de que (u2) 2 < a. Además u2 > u1 ya que 12 z

aza

> (recordemos

que a > 0 y que 0 < z2 < z1). Por lo tanto u2 es una aproximación por defecto de a “mejor” que u1. ...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ...........................

0 u1 u2 a

Y así sucesivamente.

Para finalizar, aplicaremos los resultados que hemos encontrado para calcular valores aproximados del número 3 . Las fórmulas que usaremos son (a = 3):

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

7

• Para las aproximaciones por exceso: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

=

+ ...,2,1nz2

)z(3z

4z

n

2n

1n

1

• Para las aproximaciones por defecto: ...,2,1nz3u

nn ==

Valores aproximados de 3

n nz

nu 2

uz nn +

1 4 3/4 = 0,75 2,375

2 375,28

19= ...2631578,1

1924

= 1,8190789...

3 ...8190789,1

304553

= ...6491862,1553912

= 1,7341326...

4 ...7341326,1

336224583057

= ...7299715,1583057

1008672=

1,7320520...

La calculadora nos informa que 3 ≅ 1,7320508. Ejercicio 4

1) La tabla del ejercicio anterior muestra que 1nnn z

2uz

+=+ .

Comprueba ese resultado en general y úsalo para agregar un nuevo renglón en esa tabla.

2) Completa una nueva tabla con valores aproximados de 3 comenzando con z1 = 2 (ello es posible pues 22 > 3).

Ejercicio 5 Es posible encontrar, con un razonamiento idéntico al del ejemplo 2 y sin grandes dificultades aunque con gran paciencia, un procedimiento que permita obtener aproximaciones por exceso y por defecto de p a (p es un número natural mayor que 2 y a es un número real positivo). En este caso las fórmulas son:

• Para las aproximaciones por exceso: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=

+=

−+ ...,2,1n)z(p

)z)(1p(az

1az

1pn

pn

1n

1

• Para las aproximaciones por defecto: ...,2,1n)z(au 1p

nn ==

−

1) Prueba que 1nnn zup1z

p11 +=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

8

2) Completa la siguiente tabla (como 23 > 5, es conveniente que comiences con z1 = 2 en vez de z1 = 6):

Valores aproximados de 3 5

n

nz

nu nn u

31z

32

+

1 2 3 4

3 5 ≅ 1,7099759 según una calculadora científica Recién estamos en la página 8 y quizás te sientas algo preocupado por lo que has leído hasta aquí, en especial por el ejemplo 2. No te desalientes y entiende nuestras razones. Quisimos enseñarte algo que creemos que no sabías y darte algunas herramientas que te permitan trabajar con desigualdades. Definición 1 – Conjunto acotado. Infimo, supremo, mínimo y máximo de un conjunto Sea A un subconjunto no vacío de R. 1) A es acotado inferiormente si existe h ∈ R tal que a ≥ h ∀ a ∈ A; al número

h lo llamaremos cota inferior de A. 2) A es acotado superiormente si existe k ∈ R tal que a ≤ k ∀ a ∈ A; al número

k lo llamaremos cota superior de A. 3) A es acotado cuando es acotado inferiormente y superiormente. 4) Si A es acotado inferiormente, llamaremos ínfimo de A a la mayor de las

cotas inferiores de A. El símbolo inf(A) se refiere a ese número. 5) Si A es acotado superiormente, llamaremos supremo de A a la menor de las

cotas superiores de A. El símbolo sup(A) se refiere a ese número. 6) A tiene mínimo si existe a1 ∈ A tal que a ≥ a1 ∀ a ∈ A; a1 es el mínimo de A. 7) A tiene máximo si existe a2 ∈ A tal que a ≤ a2 ∀ a ∈ A; a2 es el máximo de

A. Ejemplo 3 - Conjunto acotado. Infimo, supremo, mínimo y máximo de un conjunto 1) Consideremos el conjunto A = { a / a ∈ R, a ≥ 1}.

Este conjunto podemos representarlo gráficamente así: A ................................................................. [⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 A es acotado inferiormente; las cotas inferiores de A son todos los números h tales que h ≤ 1; el ínfimo de A es el número 1. A no es acotado superiormente.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

9

A tiene mínimo (el mínimo de A es el número 1). A no tiene máximo.

2) Sea B = { b / b ∈ R, b > 1}. B ................................................................. (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 B es acotado inferiormente; las cotas inferiores de B son todos los números h tales que h ≤ 1; el ínfimo de B es el número 1. B no es acotado superiormente. B no tiene mínimo (nota que 1 ∉ B). B no tiene máximo.

3) Sea C = { c / c ∈ R, c ≤ 1}. C

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ]................................................................................. 1 C no es acotado inferiormente. C es acotado superiormente; las cotas superiores de C son todos los números k tales que k ≥ 1; el supremo de C es el número 1. C no tiene mínimo. C tiene máximo (el máximo de C es el número 1).

4) Sea D = { d / d ∈ R, d < 1}. D

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ )................................................................................ 1 D no es acotado inferiormente. D es acotado superiormente; las cotas superiores de D son todos los números k tales que k ≥ 1; el supremo de D es el número 1. D no tiene mínimo. D no tiene máximo (nota que 1 ∉ D).

5) Sea E = { e / e ∈ R, 1 < e ≤ 2}. E ........................................... (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯].................................................. 1 2 E es acotado inferiormente; las cotas inferiores de E son todos los números h tales que h ≤ 1; el ínfimo de E es el número 1. E es acotado superiormente; las cotas superiores de E son todos los números k tales que k ≥ 2; el supremo de E es el número 2. E no tiene mínimo. E tiene máximo (el número 2 es el máximo de E).

Ejercicio 6 Indica las características que tiene cada uno de los siguientes conjuntos en lo que se refiere a cotas inferiores, cotas superiores, ínfimo, supremo, mínimo y máximo.

}2x1,Rx/x{A1 <≤∈= }2x1,Rx/x{A 2 <<∈=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

10

}xx,Rx/x{A3 <−∈= }xx,Rx/x{A 24 ≥∈=

}xx1,0x,Rx/x{A5 <≠∈= }xx,0x,Rx/x{A 6 >≥∈=

}x2xx,Rx/x{A 237 ≤+∈= }x2xx,Rx/x{A 324

8 ≤+∈= En la definición 1 incluimos los conceptos de ínfimo y de supremo de un conjunto. Al respecto, es importante que destaquemos algunos comentarios. • Definimos el ínfimo de un conjunto así: Si A es un subconjunto no vacío de

R que es acotado inferiormente, el ínfimo de A es la mayor de las cotas inferiores de A. Eso supone que existe una cota inferior de A que tiene esa propiedad, o sea que entre todas las cotas inferiores de A hay una que es la mayor. A ello se refiere la propiedad de conjunto completo, cuyo enunciado habíamos pospuesto cuando nos referimos a las propiedades de R.

• Definimos el supremo de un conjunto así: Si A es un subconjunto no vacío de R que es acotado superiormente, el supremo de A es la menor de las cotas superiores de A. Eso supone que existe una cota superior de A que tiene esa propiedad, o sea que entre todas las cotas superiores de A hay una que es la menor. Ello es consecuencia de lo que afirma la propiedad de conjunto completo (en realidad esa propiedad puede enunciarse para el ínfimo o para el supremo de un conjunto ya que ambos enunciados son equivalentes).

Propiedad de conjunto completo

Si A es un subconjunto no vacío de R que es acotado inferiormente, entonces existe el ínfimo de A. Si A es un subconjunto no vacío de R que es acotado superiormente, entonces existe el supremo de A. • El ínfimo de un conjunto A es la mayor de las cotas inferiores de A. Por lo

tanto, cada número mayor que el ínfimo de A no es cota inferior de A y, en consecuencia, existe algún elemento de A que es menor que él.

Si j > inf(A) entonces ∃ a ∈ A / inf(A) ≤ a < j ......................... ....•.... ................................................................................. ....•.... .........................

inf(A) j

• El supremo de un conjunto A es la menor de las cotas superiores de A. Por lo tanto, cada número menor que el supremo de A no es cota superior de A y, en consecuencia, existe algún elemento de A que es mayor que él.

Si j < sup(A) entonces ∃ a ∈ A / j < a ≤ sup(A) ......................... ....•.... ................................................................................. ....•.... ......................... j sup(A)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

11

A continuación veremos una aplicación de la propiedad de conjunto completo. Teorema 1 – La raíz de orden n de un número positivo Sean a un número real positivo y n un número natural distinto de 0. Entonces existe un único número positivo b tal que b n = a. Demostración Debido a que se afirma que “... existe un único ...”, distinguiremos dos partes en la demostración. Existencia Consideremos el conjunto X = {x / x ∈ R, x > 0, x n > a}. Este conjunto está formado por todos aquellos números reales positivos que al elevarlos a la n dan como resultado números mayores que a. Comenzaremos probando que X es no vacío y que X es acotado inferiormente. 1) Como a > 0 y n es un natural distinto de 0, sabemos que (a + 1) n > a.

Además a + 1 > 0. Por lo tanto (a + 1) ∈ X.

2) Tambiéna11

a1 n

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + , o sea

a1

aa1 n

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + y a

a1a n

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+. Esto último implica

que ∀ x ∈ X se cumplen

n

a1ax ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+> , o sea

a1ax+

> (recuerda que estamos

trabajando con números positivos). Por lo tanto X es acotado inferiormente. Debido a la propiedad de conjunto completo tenemos que existe b = inf(X). Probaremos que b > 0 y que b n = a.

1) Ya vimos que a1

a+

es una cota inferior de X. Como ese número es positivo

y b es mayor o igual que él (pues b es la mayor de las cotas inferiores de A) resulta que b > 0.

2) Para probar que b n = a razonaremos por el absurdo. Si b n < a, existe c > b tal que c n < a (recuerda el ejercicio 5).

...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ...........................

0 b n c n a

Como x n > a ∀ x ∈ X, tenemos que x n > c n y por lo tanto x > c (ten en cuenta nuevamente que estamos trabajando con números positivos). Llegamos pues a que c es una cota inferior de X, lo cual es absurdo pues c es mayor que b = inf(X). Si b n > a, existe d 0 y d n > a (recuerda el ejercicio 5).

...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ........................... ...|... ...........................

0 a d n b n

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

12

Tenemos entonces que d ∈ X, lo cual es absurdo ya que d es menor que b = inf(X).

Unicidad Ya hemos encontrado un número b tal que b > 0 y b n = a. Si b1 > 0 y b1 ≠ b, se cumple que 0 < b1 < b ó 0 < b < b1. En el primer caso es (b1) n < b n = a y en el segundo a = b n < (b1) n. Por lo tanto hay un único número positivo que elevado a la n da a (como ya sabes, a ese número se lo llama raíz enésima de a y se lo

representa con el símbolo n a o el símbolo n1

a ). Ejercicio 7 Demuestra el teorema 1 a partir de un conjunto del que interese su supremo. Terminaremos esta sección con las definiciones de algunos conjuntos de números reales que usaremos habitualmente. También daremos el concepto de número interior a un conjunto. Finalmente, definiremos el valor absoluto y estudiaremos algunas de sus propiedades.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

13

Definición 2 – Intervalos, semirrectas y entornos Número interior a un conjunto

.................... ....[ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ].... .................... Intervalo cerrado de extremos a y b (a < b) [a,b] = {x / x ∈ R, a ≤ x ≤ b} a b

.................... ....(⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ).... .................... Intervalo abierto de extremos a y b (a < b) (a,b) = {x / x ∈ R, a < x < b} a b

.................... ....[ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Semirrecta derecha cerrada de origen a [a,+ ∞ ) = {x / x ∈ R, a ≤ x} a

.................... ....(⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Semirrecta derecha abierta de origen a (a,+ ∞ ) = {x / x ∈ R, a < x}

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯| ...................................................... Semirrecta izquierda cerrada de origen a (- ∞ ,a] = {x / x ∈ R, x ≤ a} a

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯)...................................................... Semirrecta izquierda abierta de origen a (- ∞ ,a) = {x / x ∈ R, x < a} a

.................... (⎯⎯⎯⎯⎯|⎯⎯⎯⎯⎯) .................... Entorno de centro a y radio r (r > 0) V(a;r) = {x / x ∈ R, a - r < x < a + r} a-r a a+r

.................... (⎯⎯⎯⎯⎯x⎯⎯⎯⎯⎯).................... Entorno reducido de centro a y radio r V *(a;r) = {x / x ∈ R, a - r < x < a + r, x ≠ a} a-r a a+r

Número interior a un conjunto Sea A un subconjunto no vacío de R y a ∈ A. Diremos que el número a es interior al conjunto A cuando existe algún entorno de centro a que está contenido en A. En algunas ocasiones nos interesarán intervalos en los que deseemos incluir uno de sus extremos y excluir el otro (usaremos las notaciones [a,b) o (a,b]) y considerar la mitad derecha o la izquierda de un entorno o de un entorno reducido (usaremos las notaciones V(a +;r), V(a -;r), V*(a +;r) y V*(a -;r)). Ejercicio 6 (continuación) Halla todos los números interiores a cada uno de los conjuntos del ejercicio 6. Definición 3 – Valor absoluto de un número real

Sea x ∈ R. El valor absoluto de x se define así: |x| =⎩⎨⎧

<−≥

0xsix0xsix

.

De acuerdo con la definición anterior tenemos, por ejemplo, que |3| = 3, |0| = 0 y |-5| = -(-5) = 5.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

14

Debido a que –0 = 0, también puede definirse |x| así: |x| =⎩⎨⎧

≤−>

0xsix0xsix

.

Teorema 2 – Propiedades del valor absoluto El valor absoluto tiene las siguientes propiedades: 1) |xy| = |x||y| ∀ x, y ∈ R. 2) |-x| = |x| ∀ x ∈ R. 3) |x| 2 = x 2 ∀ x ∈ R. 4) |x| ≥ 0 ∀ x ∈ R. 5) -|x| ≤ x ≤ |x| ∀ x ∈ R. 6) |x + y| ≤ |x| + |y| ∀ x, y ∈ R. 7) |x + y| ≥ ||x| - |y|| ∀ x, y ∈ R. 8) Si r > 0 entonces |x| < r ⇔ -r < x < r. Demostración 1) Si x ≥ 0 e y ≥ 0 tenemos que |xy| = xy, |x| = x, |y| = y. O sea, |xy| = |x||y|.

Si x ≥ 0 e y < 0 tenemos que |xy| = -xy, |x| = x, |y| = -y. O sea, |xy| = |x||y|. Si x < 0 e y ≥ 0 tenemos que |xy| = -xy, |x| = -x, |y| = y. O sea, |xy| = |x||y|. Si x < 0 e y < 0 tenemos que |xy| = xy, |x| = -x, |y| = -y. O sea, |xy| = |x||y|.

2) |-x| = |(-1)x| = |-1||x| = 1|x| = |x|. 3) |x| 2 = |x||x| = |xx| = |x 2| = x 2 pues x 2 ≥ 0. 4) Si x ≥ 0 tenemos que |x| = x. Por lo tanto |x| ≥ 0.

Si x < 0 tenemos que |x| = -x. Por lo tanto |x| > 0. El razonamiento anterior muestra, además, que |x| = 0 ⇔ x = 0.

5) Si x ≥ 0 tenemos que |x| = x. Por lo tanto -|x| ≤ 0 ≤ x = |x|. Si x < 0 tenemos que |x| = -x. Por lo tanto -|x| = x < 0 < |x|.

6) Debido a que tanto |x + y| como |x| + |y| son números no negativos, probar que |x + y| ≤ |x| + |y| equivale a probar que |x + y| 2 ≤ (|x| + |y|) 2. |x + y| 2 = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (*). (|x| + |y|) 2 = |x| 2 + 2|x||y| + |y| 2 = x 2 + 2|xy| + y 2 (**). Debido a (*), a (**) y a que xy ≤ |xy| concluimos que |x + y| 2 ≤ (|x| + |y|) 2.

7) Haremos aquí una demostración similar a la anterior. ||x| - |y|| 2 = (|x| - |y|) 2 = |x| 2 - 2|x||y| + |y| 2 = x 2 - 2|xy| + y 2 (***). Debido a (*), a (***) y a que xy ≥ -|xy| concluimos que |x + y| 2 ≥ ||x| - |y|| 2.

8) Como |x| y r son no negativos, la desigualdad |x| < r equivale a |x| 2 < r 2, es decir x 2 < r 2. Ahora bien, x 2 < r 2 ⇔ x 2 - r 2 < 0. Atentos al signo de x 2 - r 2, tenemos que x 2 - r 2 < 0 ⇔ -r < x < r.

+ + + + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + --------------------------|-------------------------- ---|-------------------------- signo de x2 – r2 -r r

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ El conjunto R ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

15

Ejercicio 8 1) La primera propiedad del valor absoluto afirma que el valor absoluto del

producto de dos números es el producto de los valores absolutos de esos números. De acuerdo con la sexta propiedad, no ocurre algo tan simpático con la suma. Busca un ejemplo que justifique ese hecho.

2) ¿Qué condición deben cumplir x e y de modo que |x + y| = |x| + |y|? 3) Prueba, a partir de la segunda, la sexta y la séptima propiedad del valor

absoluto, que ||x| - |z|| ≤ |x – z| ≤ |x| + |z| ∀ x, z ∈ R. 3 – LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Estamos ante una función cuando elegimos dos conjuntos no vacíos y fijamos un criterio mediante el cual a cada elemento del primer conjunto le asociamos un único elemento del segundo conjunto. Al primero de esos conjuntos se lo llama habitualmente dominio de la función y al segundo, codominio de la función. Un simple ejemplo de una función, a la que representaremos con la letra f, es el que exponemos a continuación. • Elegimos A = {a, b, c} y B = {v, w} (dos conjuntos de letras). A es el dominio

de f y B es el codominio de f. • Establecemos el siguiente criterio de asociación o correspondencia: f(a) = v,

f(b) = w y f(c) = v. Sin duda esto no es nuevo para ti, así que confiamos en que lo poco que hemos escrito haya motivado más de un recuerdo. En este libro nos interesan las funciones cuyo dominio y cuyo codominio son conjuntos de números reales. A ellas las llamaremos funciones reales de variable real. Si g es una de esas funciones, es importante que notemos que al escribir los símbolos a (a es un elemento del dominio de g) y g(a) (g(a) es un elemento del codominio de g, aquél que es el correspondiente de a) tenemos dos números; con ellos podemos formar la pareja (a,g(a)) y luego representarla gráficamente en un plano mediante un punto P cuya abscisa es a y cuya ordenada es g(a) (es habitual escribir P = (a,g(a))). O sea, las funciones reales de variable real pueden ser representadas gráficamente (al menos desde un punto de vista teórico). Gran parte de este libro está destinado a proporcionar procedimientos que permitan dibujar el gráfico de una función. En este capítulo nos ocuparemos de algunas funciones cuya representación gráfica es sencilla (rectas, semirrectas, segmentos). Ejemplo 4 – Algunos resultados sobre rectas Primera parte : Una ecuación con dos incógnitas Consideremos la ecuación y = 2x + 3 (x, y ∈ R). Esa ecuación tiene infinitas raíces, algunas de las cuales son: x = 0, y = 3; x = -1, y = 1; x = 1, y = 5. Las raíces que hemos anotado motivan las parejas (0,3), (-1,1) y (1,5) que

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podemos representar gráficamente mediante puntos en un plano. En realidad, es casi seguro que tú recuerdes que la representación gráfica de todas las raíces de la ecuación y = 2x + 3 es una recta, aquélla que aparece en el próximo dibujo (no hemos tomado la misma unidad en ambos ejes). Suele decirse, y así lo haremos nosotros, que y = 2x + 3 es la ecuación de esa recta.

En general, y = mx + n (m y n son dos constantes reales) es la ecuación de una recta, la cual podemos dibujar si tenemos dos raíces de esa ecuación. En este capítulo no necesitaremos saber más que eso. Las partes siguientes de este ejemplo nos serán útiles más adelante. Segunda parte : Ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos Supongamos que tenemos dos puntos cuyas coordenadas conocemos y tal que sus abscisas son distintas: P = (a,b) y Q = (c,d) con a ≠ c. Nos interesa hallar la ecuación de la recta determinada por P y Q.

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Sea y = mx + n la ecuación de esa recta. Como (a,b) y (c,d) son raíces de la

ecuación tenemos que ⎩⎨⎧

+=+=

nmcdnmab

. Obtuvimos un sistema de ecuaciones que

al resolverlo nos da acbdm

−−

= y n = b – ma. Por lo tanto la ecuación buscada

es )ax(acbdb)ax(mbmabmxy −

−−

+=−+=−+= . En resumen, la ecuación de

la recta que pasa por P = (a,b) y Q = (c,d) (a ≠ c) es )ax(acbdby −

−−

+= .

Antes de pasar a la próxima parte de este ejemplo, es interesante que señalemos la interpretación geométrica del número m, al cual se le llama coeficiente angular de la recta: coeficiente pues es el número que multiplica a x en la ecuación y = mx + n y angular pues es la tangente del ángulo w que el eje

→−

ox forma con esa recta (esto último requiere que hayamos elegido la misma unidad en ambos ejes).

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Tercera parte : Ecuación de la recta cuyo coeficiente angular se conoce y que pasa por un punto conocido Ahora nuestros datos son el coeficiente angular de la recta, o sea el número m, y un punto P = (a,b) que está en la recta. En la ecuación y = mx + n sólo nos falta hallar n. Como (a,b) es raíz de esa ecuación tenemos que b = ma + n, por lo cual n = b – ma. En consecuencia, la ecuación de la recta cuyo coeficiente angular es m y que pasa por P = (a,b) es y = b + m(x-a). Cuarta parte : Rectas paralelas Sean L1 la recta de ecuación y = m1x + n1 y L2 la de ecuación y = m2x + n2. Con el fin de determinar la intersección de L1 y L2 debemos resolver el sistema

⎩⎨⎧

+=

+=

22

11

nxmynxmy

, el cual es equivalente a ⎩⎨⎧

−=−

+=

2112

11

nnx)mm(nxmy

. Por lo tanto L1 y

L2 tienen sólo un punto común cuando m2 ≠ m1. En ese caso las rectas L1 y L2 son secantes y en caso contrario son paralelas (coinciden si m2 = m1 y n2 = n1). En resumen, las rectas de ecuaciones y = m1x + n1 e y = m2x + n2 son paralelas cuando m1 = m2, o sea cuando tienen el mismo coeficiente angular. Ejercicio 9 1) Determina la ecuación de la recta que pasa por P = (-1,2) y Q = (2,-7). 2) Determina la ecuación de la recta cuyo coeficiente angular es 1 y que pasa

por S = (7,2). 3) Dibuja las rectas anteriores y halla el punto común a ellas. 4) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto que encontraste en

el numeral anterior y que es paralela a la de ecuación y = 2x + 3.

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Ejemplo 5 – La función valor absoluto y la función signo Primera parte : La función valor absoluto Consideremos la función f con dominio R, con codominio R y tal que a cada número real le asocia el valor absoluto de ese número. En símbolos, estamos interesados en la función f : R → R / f(x) = |x|.

Ya sabemos que f(x) = |x| =⎩⎨⎧

<−≥

0xsix0xsix

. Por lo tanto, en la representación

gráfica de esta función participan dos rectas, las de ecuaciones y = x e y = -x. En la primera de esas rectas tenemos que quedarnos sólo con los puntos de abscisa no negativa y en la segunda con los puntos de abscisa negativa. En consecuencia el dibujo del gráfico de f son dos semirrectas.

Segunda parte : La función signo Esta función tiene dominio R, codominio R y le asocia el número 1 a cada número positivo, el número 0 al 0 y el número –1 a cada número negativo. Se la llama función signo y se la representa con el símbolo sgn. Tenemos pues la

función sgn : R → R / sgn(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

0xsi10xsi00xsi1

.

En la representación gráfica de esta función aparecen dos semirrectas (y = 1 con x > 0 e y = -1 con x < 0) y un punto (el origen del sistema de coordenadas).

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Ejemplo 6 – Una función con valores absolutos Sea ahora la función f : R → R / f(x) = |x + 1| - |x – 1|. Deseamos dibujar el gráfico de esa función.

|x+1| =⎩⎨⎧

−<<++−−≥≥++

)1x(01xsi)1x()1x(01xsi1x

.

|x -1| =⎩⎨⎧

<<−−−≥≥−−

)1x(01xsi)1x()1x(01xsi1x

.

Los resultados anteriores podemos resumirlos en el siguiente esquema:

- x - 1 0 x + 1 .............................. ..|.. ....................................................................... Valor de |x + 1| -1

- x + 1 0 x – 1 ....................................................................... ..|.. .............................. Valor de |x – 1| 1

Tenemos pues que f(x) =⎪⎩

⎪⎨

⎧

−<−=+−−−−<≤−=+−−+≥=−−+

1xsi2)1x()1x(1x1six2)1x()1x(1xsi2)1x()1x(

Por lo tanto, en el dibujo del gráfico de esta función aparecen dos semirrectas (y = 2 con x ≥ 1 e y = -2 con x < -1) y un segmento (y = 2x con –1 ≤ x < 1). Ese dibujo es el que consta en la próxima página.

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Ejercicio 10 1) Representa gráficamente la función f : R → R / f(x) = |x| + |x – 2|. 2) Representa gráficamente la función g : R → R / g(x) = sgn(x) + sgn(x – 1). Ejemplo 7 – La función parte entera y la función mantisa Primera parte : La función parte entera Esta función es la que tiene dominio R, codominio R y que a cada número real le asocia el mayor entero que no supera a ese número. El símbolo E(x) se lee “parte entera de x” y representa al único entero que verifica E(x) ≤ x < E(x) + 1. Para calcular la parte entera de un número real debemos determinar entre qué números enteros consecutivos se encuentra ese número: el menor de ellos es la parte entera de ese número. Así por ejemplo: E(0,1) = 0 pues 0 < 0,1 < 1 E(-0,1) = -1 pues –1 < -0,1 < 0 E(1) = 1 pues 1 ≤ 1 < 2 E(-1) = -1 pues -1 ≤ -1 < 0 E(π) = 3 pues 3 < π < 4 E(-π) = -4 pues -4 < -π < -3 La representación gráfica de esta función está formada por infinitos segmentos.

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Segunda parte : La función mantisa La función mantisa tiene dominio R, codominio R y asocia a cada número real la diferencia entre ese número y su parte entera. Usaremos el símbolo mant(x) para la mantisa del número x, o sea mant(x) = x – E(x). Ya sabemos que E(x) ≤ x < E(x) + 1 cualquiera sea el número x. Por lo tanto resulta que 0 ≤ mant(x) < 1 ∀ x ∈ R. Para representar gráficamente a esta función notemos, por ejemplo, que: Si x es tal que –1 ≤ x < 0, entonces mant(x) = x +1. Si x es tal que 0 ≤ x < 1, entonces mant(x) = x. Si x es tal que 1 ≤ x < 2, entonces mant(x) = x -1. La representación gráfica de esta función está formada por infinitos segmentos paralelos entre sí y, al igual que en la función parte entera, el extremo izquierdo de cada uno de esos segmentos está en el dibujo pero el extremo derecho no.

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Ejercicio 11 Representa gráficamente las siguientes funciones: 1) f : R → R / f(x) = E(x) + E(1 – x). 2) g : R → R /g(x) = mant(x) + mant(1 - x). 4 – FUNCION ACOTADA. MAXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCION Cuando estuvimos trabajando con conjuntos no vacíos de números reales vimos los conceptos de conjunto acotado, mínimo de un conjunto y máximo de un conjunto. Es sencillo llevar esos conceptos a las funciones reales de variable real. La idea es la siguiente: a partir de una función f : D → C, donde D y C son conjuntos de números reales, podemos elegir un subconjunto A de D (hasta incluso el propio D), considerar el conjunto f[A] = {f(x) / x ∈ A}, o sea el conjunto formado por todos los valores de la función asociados a los elementos de A, y estudiar si este conjunto f[A] es acotado, si tiene mínimo, si tiene máximo. Sin duda sospechas que el resultado depende de la función f y del conjunto A que consideremos. Uno de los propósitos básicos de este libro es enseñarte procedimientos que te permitan realizar ese estudio. Por el momento nos limitaremos a dar algunas definiciones y a ilustrarlas en un ejemplo. Definición 4 – Función acotada en un conjunto. Mínimo y máximo de una función en un conjunto Sean f : D → C una función real de variable real, A un subconjunto no vacío de D y f[A] = {f(x) / x ∈ A}. 1) Diremos que f es acotada en A cuando f[A] es acotado. 2) Diremos que f tiene mínimo en A cuando f[A] tiene mínimo. 3) Diremos que f tiene máximo en A cuando f[A] tiene máximo.

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Ejemplo 8 – Mínimo y máximo de una función en un conjunto Consideremos la función del ejemplo 6, o sea f : R → R / f(x) = |x + 1| - |x – 1|.

Su representación gráfica nos lleva a las siguientes conclusiones: • Como { f(x) / x ∈ [-1,1] } = [-2,2] resulta que f tiene mínimo y máximo en el

intervalo cerrado [-1,1]. El mínimo de la función en ese intervalo es –2 y el máximo es 2.

• Como { f(x) / x ∈ (- ∞ ,0] } = [-2,0] resulta que f tiene mínimo y máximo en la semirrecta izquierda cerrada (- ∞ ,0]. El mínimo de la función en esa semirrecta es –2 y el máximo es 0.

• Como { f(x) / x ∈ (0,1) } = (0,2) resulta que f no tiene ni mínimo ni máximo en el intervalo abierto (0,2), aunque es acotada en ese intervalo.

• Como { f(x) / x ∈ (1,+ ∞ ) } = {2} resulta que f tiene mínimo y máximo en la semirrecta derecha abierta (1,+ ∞ ). Tanto el mínimo como el máximo de la función en esa semirrecta es 2.

Ejercicio 12 Determina si cada una de las funciones de los ejercicios 10 y 11 tiene mínimo y/o máximo en cada uno de los siguientes conjuntos: [-1,1], (0,2) y (0,3). 5 – FUNCION COMPUESTA La última sección de este capítulo la destinaremos a un concepto que nos será muy útil, el de función compuesta. Nuestro propósito es construir una función a partir de dos funciones, con el criterio que detallamos a continuación. Sean f : D → U y g : E → V funciones. Si x ∈ E podemos hallar g(x). Si además g(x) ∈ D, también podemos hallar f(g(x)). Con ello estamos en condiciones de asociarle a cada x de E el valor f(g(x)). Tenemos así una función de E en U a la

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que llamaremos función compuesta de f y g. A esa función la representaremos con el símbolo f o g (f compuesta con g). E g D f U

x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ g(x) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ f(g(x)) |__________________________________↑

f o g Definición 5 – Función compuesta Sean f : D → U y g : E → V funciones tales que g[E] ⊂ D. Llamamos función compuesta de f y g a la función f o g : E → U cuyos valores se calculan así: (f o g)(x) = f(g(x)). Ejemplo 9 – Cálculo de funciones compuestas La experiencia indica que el concepto de función compuesta no siempre se aplica con la seguridad que correspondería a su sencillez. Debido a ello te recomendamos que prestes especial atención a los cálculos que siguen. 1) Sean f y g de R en R tales que f(x) = x 2 y g(x) = x + 1.

(f o g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 4. (g o f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 2. Lo anterior alcanza para convencernos de que f o g ≠ g o f y nos alerta acerca del error de creer que la composición de funciones es conmutativa. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x 2) = x 2 + 1. (f o f)(x) = f(f(x)) = f(x 2) = (x 2) 2 = x 4. (g o g)(x) = g(g(x)) = g(x + 1) = x + 1 + 1 = x + 2.

2) Sean E y mant las funciones parte entera y mantisa. (E o mant)(x) = E(mant(x)) = 0 pues ya vimos que 0 ≤ mant(x) < 1 ∀ x ∈ R. (mant o E)(x) = mant(E(x)) = E(x) – E(E(x)) = 0 pues E(E(x)) = E(x) ∀ x ∈ R. Puede sorprender que E o mant = mant o E (a veces eso ocurre) pero es aún más impactante el hecho que ellas valgan 0 en cualquier x.

Ejercicio 13 1) Sean f y g de R en R tales que f(x) = 1 - x 2 y g(x) = 2x – 1.

Calcula (f o g)(x), (g o f)(x), (f o f)(x) y (g o g)(x). 2) Comprueba que (E o E)(x) = E(x) y que (mant o mant)(x) = mant(x).

3) Sean f y g de R+ en R+ tales que x1)x(f = y 2x

1x1)x(g += (R+ ={x / x > 0}).

Calcula (f o g)(x),(g o f)(x),(f o f)(x) y (g o g)(x).

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Conceptos básicos ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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CAPITULO 2 – CONCEPTOS BASICOS 1 – INTRODUCCION Estamos en el comienzo de un largo camino en el cual abundarán conceptos y métodos matemáticos vinculados con el estudio de las funciones reales de variable real. Debido a que ese camino es realmente complicado, comenzaremos con un ejemplo que nos permitirá introducir los siguientes conceptos básicos: • Crecimiento y decrecimiento. • Concavidad. • Derivada. • Continuidad. 2 – EJEMPLO Dedicaremos unas cuantas páginas a estudiar una función sencilla y aleccionadora. Más adelante nos ocuparemos en desarrollar exhaustivamente lo que aquí nos limitaremos a analizar en la función que hemos elegido. Como ocurre con los ejemplos, el nuestro no puede abarcar todo lo que interesa. Sin embargo, nos permitirá asomarnos a un conjunto importante de temas cuyo tratamiento es el objetivo del curso. En consecuencia, con modestia y pretensiones, allí vamos. Ejemplo 10 – Una función sencilla y aleccionadora 1 - Definición de la función Recordemos, en primer lugar, que para definir una función tenemos que indicar su dominio y su codominio y el criterio que nos permita encontrar el valor de la función en cada elemento de su dominio. En nuestro ejemplo, tanto el dominio como el codominio de la función son el conjunto de los números reales y el criterio para determinar el valor de la función en cada número real es el siguiente: “calcula la suma del cuadrado del número y del doble del número y al resultado de esa suma réstale el número ocho”. En símbolos, nuestra función es f : R → R / f(x) = x2 + 2x – 8. Tenemos así una función que es un polinomio de segundo grado. ¿Qué sabemos hacer con esa función? Una de las cosas que hemos aprendido es hallar sus raíces y estudiar su signo. Podemos, en consecuencia, obtener el siguiente resultado: + + + + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + --------------------------|-------------------------- ---|-------------------------- signo de f(x) -4 2

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Quizás también recordemos que la representación gráfica de nuestra función es una parábola, aunque nos hayamos olvidado de lo que es una parábola y de cómo dibujar la correspondiente a nuestro polinomio de segundo grado. Si le pedimos ayuda a una computadora obtenemos el gráfico que sigue.

Este gráfico pone de manifiesto lo que ya anotamos sobre el signo de f(x): • Si x < -4 entonces f(x) > 0. • f(-4) = 0. • Si –4 < x < 2 entonces f(x) < 0. • f(2) = 0. • Si x > 2 entonces f(x) > 0. ¿Qué otras cosas muestra ese gráfico? En todo lo que sigue procuramos contestar a esa pregunta. 2 - Crecimiento y decrecimiento Si miramos atentamente el gráfico de nuestra función, observamos que es decreciente hasta un valor de x y creciente de allí en adelante. ¿Cuál es ese destacado valor de x (lo representaremos con el símbolo x0)? ¿Qué significa afirmar que la función es decreciente? ¿Y que es creciente?. Una buena respuesta a las dos últimas preguntas es la siguiente: • Si u y v son números cualesquiera tales que u < v ≤ x0 entonces f(u) > f(v). • Si u y v son números cualesquiera tales que x0 ≤ u < v entonces f(u) < f(v). Ahora bien, ¿cómo hallamos x0? ¿y cómo comprobamos lo que el gráfico nos muestra?. Con un poco de trabajo contestaremos a esas preguntas. La idea es estudiar el signo de f(v) – f(u) con la condición de que u < v. f(v) – f(u) = (v2 + 2v – 8) – (u2 + 2u – 8) = v2 – u2 + 2(v – u). f(v) – f(u) = (v – u)(v + u) + 2(v – u) = (v – u)(v + u + 2). Como u < v resulta que v – u > 0. Por lo tanto f(v) – f(u) tiene el mismo signo que v + u + 2.

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Al ser u < v resulta también que ⎩⎨⎧

−≥≥+=+>++−≤≤+=+<++

1usi0)1u(22u22uv1vsi0)1v(22v22uv

En resumen, concluimos que: • Si u y v son números cualesquiera tales que u < v ≤ -1 entonces f(u) > f(v). • Si u y v son números cualesquiera tales que -1 ≤ u < v entonces f(u) < f(v). • ¡Encontramos al destacado x0! x0 = -1. 3 - Concavidad Elegimos dos puntos en el gráfico de nuestra función: A = (-2,f(-2)) = (-2,-8) y B = (3,f(3)) = (3,7). Esos puntos determinan una recta cuya ecuación es y = 3x – 2, la cual ha sido dibujada por la computadora junto con el gráfico de la función que estamos estudiando.

Este segundo dibujo nos muestra que el segmento determinado por A y B está por encima de la correspondiente parte de la parábola. Nuevamente ahora nos planteamos la pregunta: ¿cómo comprobamos lo que el gráfico nos muestra? Debemos verificar que para cualquier número x tal que –2 < x < 3 se cumple que f(x) < 3x – 2, o sea f(x) – 3x +2 < 0. f(x) – 3x + 2 = x2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3). + + + + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + --------------------------|-------------------------- ---|-------------------------- signo de f(x) – 3x + 2 -2 3 Ahora sí estamos seguros de lo que apreciamos en el gráfico, pero nos surge una duda: ¿ocurrirá lo mismo si elegimos otros dos puntos cualesquiera en el

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gráfico de nuestra función? La respuesta es afirmativa y el razonamiento que la justifica es el siguiente: 1) Si A = (x1,f(x1)) y B = (x2,f(x2)) son dos puntos en la parábola, entonces la

recta que ellos determinan tiene ecuación )xx(xx

)x(f)x(f)x(fy 112

121 −

−−

+= .

2) Debemos verificar que )xx(xx

)x(f)x(f)x(f)x(f 112

121 −

−−

+< para todo x que esté

entre x1 y x2. Definamos )xx(xx

)x(f)x(f)x(f)x(f)x(d 112

121 −

−−

−−= y veamos

que d(x) < 0 cualquiera sea el x entre x1 y x2. 3) Ya sabemos que f(v) – f(u) = (v – u)(v + u + 2). Por lo tanto tenemos que

)xx)(xx()xx)(2xx()2xx)(xx()x(d 2111211 −−=−++−++−= . 4) En consecuencia, )xx)(xx()x(d 21 −−= < 0 para todo x entre x1 y x2. En resumen, hemos probado que dados dos puntos cualesquiera en la parábola, el segmento determinado por ellos está por encima de la correspondiente parte de la parábola. Al respecto, diremos que nuestra función tiene concavidad positiva o que es una función convexa. 4 - Recta tangente y derivada En el dibujo que sigue los puntos A y B son los mismos de la parte anterior. Ya no está la recta determinada por A y B, sino dos rectas a las que parece razonable llamarles rectas tangentes a nuestra parábola: una es la recta tangente a la parábola en el punto A y la otra la recta tangente en el punto B.

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¿Cómo se determinan las ecuaciones de esas dos rectas? La idea es que cada una de ellas tiene sólo un punto común con la parábola. Desarrollaremos esa idea en general de la siguiente manera: 1) Sea P = (p,f(p)) un punto de la parábola. Las rectas que pasan por P tienen

como ecuación y = f(p) + m(x – p) (salvo la que es paralela al eje vertical, la cual podemos descartar como recta tangente a la parábola en el punto P). Para cada valor de m tenemos una recta que pasa por P; nos interesa aquélla que tiene a P como único punto común con la parábola.

2) Para determinar m exigimos que la ecuación f(x) = f(p) + m(x – p), o sea la ecuación f(x) - f(p) - m(x – p) = 0, tenga sólo la raíz x = p.

3) f(x) – f(p) – m(x – p) = (x – p)(x + p + 2) – m(x – p) = (x – p)(x + p + 2 – m). 4) f(x) – f(p) – m(x – p) = 0 ⇔ x = p , x = m – 2 – p. 5) Lo anterior nos lleva a plantear m – 2 – p = p, por lo cual m = 2p + 2. Al número 2p + 2 lo llamaremos la derivada de nuestra función f en p y lo representaremos con el símbolo f ‘(p); o sea f ‘(p) = 2p + 2. Ese número es el coeficiente angular de la recta tangente a nuestra parábola en el punto P. En el caso del punto A tenemos p = -2, f(p) = -8 y m = -2. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a nuestra parábola en el punto A es y = -2x – 12. Análogamente, la ecuación de la recta tangente a nuestra parábola en el punto B es y = 8x – 17. Para finalizar con esta parte de nuestro trabajo, indicaremos una forma de calcular f ‘(p) que nos será muy útil más adelante. La igualdad f(x) – f(p) = (x – p)(x + p + 2) implica que f(x) – f(p) es divisible entre x – p y que el cociente de dividir f(x) – f(p) entre x – p es x + p + 2. Si hallamos el valor de ese cociente en x = p obtenemos p + p + 2 = 2p + 2 = f ‘(p). 5 - Algo más sobre la derivada Volvamos al segundo dibujo y observemos la recta que le ha incorporado la computadora que nos viene ayudando en nuestras representaciones gráficas. Tenemos ahora una recta tangente a nuestra parábola que es paralela a la que determinan los puntos A y B.

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¿Cuál es la ecuación de esa recta? ¿Cuál es el respectivo punto de tangencia? Sea P = (p,f(p)) el punto de tangencia. El coeficiente angular de la recta determinada por A y B es 3 y el de la recta tangente a nuestra parábola en el punto P es f ‘(p) = 2p + 2. Debido a que esas rectas son paralelas, resulta que 2p + 2 = 3 y por lo tanto p = 1/2. En consecuencia, la recta tangente a nuestra parábola que es paralela a la determinada por A y B pasa por P = (1/2 , f(1/2)) = (1/2 , -27/4) y tiene ecuación y = 3x – 33/4. 6 - Continuidad Finalizaremos el estudio de nuestra función refiriéndonos al concepto de continuidad (éste es uno de los conceptos fundamentales de la matemática). En primer lugar tomamos un elemento en el dominio de la función, el número 3, y calculamos su imagen; obtenemos f(3) = 7. Luego consideramos un entorno de centro f(3) formado por números próximos a f(3) y nos preguntamos si habrá algún entorno de centro 3 tal que los números de este segundo entorno tengan imágenes en el primero. El dibujo que sigue nos muestra que eso ocurre (no creas que ese dibujo corresponde a otra función; hemos usado una moderada lupa en los dibujos anteriores con el fin de apreciar mejor lo que pasa cerca de 3).

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33

Ahora bien, ¿cómo interpretamos la expresión “números próximos a f(3)”? La respuesta a esa pregunta nos lleva a establecer un criterio de proximidad. Así por ejemplo, si convenimos que dos números están próximos cuando la diferencia entre ellos (el mayor menos el menor) es inferior a 0,1, podemos afirmar que 7 y 7,01 están próximos y que también lo están 7 y 6,98 (no lo están 7 y 7,2). Atentos a lo anterior, planteamos |f(x) – f(3)| < 0,1 (0,1 es el radio del entorno de centro f(3); con ese número fijamos un criterio de proximidad entre f(x) y f(3)) e intentamos hallar un número positivo s tal que para cualquier x que verifique |x – 3| < s resulte que |f(x) – f(3)| < 0,1 (s es el radio del entorno de centro 3). Es decir, estamos interesados en saber si es cierto que existe algún s > 0 tal que los x que difieren de 3 en menos de s tienen valores funcionales que difieren de f(3) en menos de 0,1. ¿Cómo nos ingeniamos para determinar un tal s? Para contestar a esa pregunta, comenzaremos con un procedimiento intuitivo basado en el cálculo de f(x) para valores de x cercanos a 3, tanto a la izquierda como a la derecha de 3.

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34

x f(x) |f(x) – f(3)| Comentario

2,95 6,6025 0,3975 Si x = 2,95 entonces |f(x) – f(3)| > 0,1 3,05 7,4025 0,4025 Si x = 3,05 entonces |f(x) – f(3)| > 0,1 2,97 6,7609 0,2391 Si x = 2,97 entonces |f(x) – f(3)| > 0,1 3,03 7,2409 0,2409 Si x = 3,03 entonces |f(x) – f(3)| > 0,1 2,99 6,9201 0,0799 Si x = 2,99 entonces |f(x) – f(3)| < 0,1 3,01 7,0801 0,0801 Si x = 3,01 entonces |f(x) – f(3)| < 0,1

Debido a que f es creciente en el intervalo cerrado [2,99 ; 3,01] tenemos que si 2,99 < x < 3,01 entonces f(2,99) < f(x) < f(3,01), o sea 6,9201 < f(x) < 7,0801. Concluimos que si x es tal que |x – 3| < 0,01 entonces |f(x) – f(3)| < 0,1. En consecuencia, podemos afirmar que s = 0,01 nos sirve. Y ahora, veremos dos formas analíticas de contestar a la pregunta que nos habíamos planteado. Primera forma – Resolución de la inecuación |f(x) – f(3)| < 0,1 Determinaremos todos los números x que verifican |f(x) – f(3)| < 0,1. |f(x) – f(3)| < 0,1 ⇔ f(3) – 0,1 < f(x) < f(3) + 0,1 ⇔ 6,9 < x2 + 2x – 8 < 7,1 La solución de 6,9 < x2 + 2x – 8 < 7,1 es la unión de dos intervalos: el intervalo (-1 - 1,16 , -1 - 9,15 ) y el intervalo (-1 + 9,15 , -1 + 1,16 ). El número 3 está en el segundo de esos intervalos, el cual no es un entorno de centro 3 ya que 3 no equidista de sus extremos ( 1,16 - 4 ≠ 4 - 9,15 ). Sin embargo, podemos elegir entornos de centro 3 contenidos en el intervalo (-1 + 9,15 , -1 + 1,16 ). Por ejemplo, el de radio 1,16 - 4 (nota que 1,16 - 4 < 4 - 9,15 ). Concluimos que si x es tal que |x – 3| < 1,16 - 4 entonces |f(x) – f(3)| < 0,1. Esto nos indica que terminamos pues hemos determinado uno de los s que buscábamos: s = 1,16 - 4 ≅ 0,0125. Segunda forma - Resolución parcial de la inecuación |f(x) – f(3)| < 0,1 Nos conformaremos con encontrar un entorno de centro 3 dentro del conjunto de los números x que verifican |f(x) – f(3)| < 0,1 (sin determinar todo ese conjunto). Como f(u) – f(v) = (v – u)(v + u + 2) tenemos que |f(x) – f(3)| = |(x – 3)(x + 5)|. Si restringimos nuestra atención a los x que están entre 2 y 4 resulta que x + 5 está entre 7 y 9 y por lo tanto |f(x) – f(3)| = |x – 3| |x + 5| ≤ 9|x – 3|. A esta altura de nuestro razonamiento podemos afirmar que para cualquier x que cumpla 2 < x < 4 se verifica |f(x) – f(3)| ≤ 9|x – 3|.

Planteemos ahora 9|x – 3| < 0,1, lo cual equivale a |x – 3| < 91,0 .

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En resumen, hemos llegado a que si x es tal que |x – 3| < 91,0 (todos esos x

están entre 2 y 4) entonces |f(x) – f(3)| < 0,1. Esto nos indica que terminamos

pues hemos determinado uno de los s que buscábamos: s = 91,0

≅ 0,0111.

Es posible generalizar todo lo anterior sin mayores dificultades, es decir podemos comprobar que si elegimos los números a y r de modo que r > 0 (acabamos de trabajar con a = 3 y r = 0,1) entonces existe algún número s > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – a| < s resulta que |f(x) – f(a)| < r (no justificaremos aquí esa afirmación ya que más adelante demostraremos algunas propiedades que implicarán que ella es cierta). Al respecto, diremos que nuestra función es continua en cada número a. A modo de síntesis de todo lo que hemos hecho, destaquemos lo siguiente de nuestra función f : R → R / f(x) = x2 + 2x – 8: 1) f es una función decreciente en la semirrecta (- ∞ , -1] y creciente en la

semirrecta [-1, + ∞ ). 2) f es una función convexa en R. 3) La derivada de f en cada número p es f ‘(p) = 2p + 2. Ella es el coeficiente

angular de la recta tangente al gráfico de la función en el punto P = (p,f(p)). 4) Para cada recta determinada por dos puntos en la parábola existe otra

recta, paralela a la primera, que es tangente a la parábola. 5) f es una función continua en cada número a. Ejercicio 14 Considera la función g : R → R / g(x) = -x2 + 4x – 3. 1) Prueba que g es creciente en la semirrecta (- ∞ , 2] y decreciente en la

semirrecta [2 , + ∞ ). 2) Prueba que g tiene concavidad negativa (define previamente ese concepto). 3) Comprueba que g ‘(p) = -2p + 4 para cada número p. 4) Considera los puntos A = (-1,g(-1)) y B = (4,g(4)).

• Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto A. • Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto B. • Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la

que determinan A y B y encuentra el respectivo punto de tangencia. • Agrega al dibujo las cuatro rectas anteriores.

5) Considera el número 5 y plantea la inecuación |g(x) – g(5)| < 0,1. Encuentra un número positivo s que tenga la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – 5| < s resulta que |g(x) – g(5)| < 0,1. Representa gráficamente el resultado que obtengas.

Nota: La representación gráfica de la función g es la del siguiente dibujo (según la computadora).

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Ejercicio 15 Redacta y resuelve un ejercicio similar al anterior para otra función que sea un polinomio de segundo grado. Ejercicio 16 Considera la función h : R → R / h(x) = x3 (la representación gráfica que ha hecho la computadora de esa función aparece en la próxima página). 1) Prueba que h(v) – h(u) = (v – u)(v2 + vu + u2).

2) Nota que 4u3

2uvuvuv

2222 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++ y deduce que h es creciente en R.

3) Prueba que h tiene concavidad positiva en [0 , + ∞ ) y concavidad negativa en (- ∞ , 0].

4) Comprueba que h ‘(p) = 3p2 para cada número p. 5) Considera los puntos A = (-2,h(-2)) y B = (2,h(2)).

• Halla la ecuación de la recta tangente al gráfico de h en el punto A y determina los puntos comunes a esa recta y al gráfico de h.

• Halla la ecuación de la recta tangente al gráfico de h en el punto B y determina los puntos comunes a esa recta y al gráfico de h.

• Halla las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico de h que son paralelas a la que determinan A y B y encuentra los respectivos puntos de tangencia.

• Agrega al dibujo las cinco rectas anteriores. 6) Considera el número 1 y plantea la inecuación |h(x) – h(1)| < 0,2. Encuentra

un número positivo s que tenga la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – 1| < s resulta que |h(x) – h(1)| < 0,2. Representa gráficamente el resultado que obtengas.

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Para finalizar este capítulo definiremos algunos conceptos con los que ya hemos trabajado en el ejemplo. Definición 6 – Función creciente en un intervalo (o en una semirrecta). Función decreciente en un intervalo (o en una semirrecta) Sean f : D → R una función e I un intervalo o una semirrecta contenida en D. 1) f es creciente en I cuando se cumple que cualesquiera sean los números u

y v en I tales que u < v resulta que f(u) < f(v). 2) f es decreciente en I cuando se cumple que cualesquiera sean los números

u y v en I tales que u < v resulta que f(u) > f(v). Es habitual que en la literatura matemática se distinga entre el concepto de función estrictamente creciente (nuestra definición de función creciente) y el de función creciente (aquí se exige que u < v implique f(u) ≤ f(v); nosotros hablaremos en este caso de función “creciente”). Análogamente se distingue entre función estrictamente decreciente y función decreciente.

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Definición 7 – Función con concavidad positiva en un intervalo (o en una semirrecta). Función con concavidad negativa en un intervalo (o en una semirrecta) Sean f : D → R una función e I un intervalo o una semirrecta contenida en D. 1) f tiene concavidad positiva en I cuando se cumple que cualesquiera sean x1

y x2 en I tales que x1 < x2 resulta que )xx(xx


121 −

−−

+< para

todo x ∈ (x1,x2). 2) f tiene concavidad negativa en I cuando se cumple que cualesquiera sean

x1 y x2 en I tales que x1 < x2 resulta que )xx(xx


121 −

−−

+>

para todo x ∈ (x1,x2). Ejercicio 17 En cada uno de los siguientes casos dibuja el gráfico de una función f que cumpla con lo que te indicamos (no es necesario que encuentres una fórmula para la función que dibujas). 1) f es creciente y tiene concavidad positiva en el intervalo [1,4]. 2) f es creciente y tiene concavidad negativa en el intervalo [1,4]. 3) f es decreciente y tiene concavidad positiva en el intervalo [1,4]. 4) f es decreciente y tiene concavidad negativa en el intervalo [1,4]. 5) f es creciente en el intervalo [1,4] pero no tiene ni concavidad positiva ni

concavidad negativa en ese intervalo. 6) f es decreciente en el intervalo [1,4] pero no tiene ni concavidad positiva ni

concavidad negativa en ese intervalo. 7) f tiene concavidad positiva en el intervalo [1,4] pero no es ni creciente ni

decreciente en ese intervalo. 8) f tiene concavidad negativa en el intervalo [1,4] pero no es ni creciente ni

decreciente en ese intervalo. 9) f no es ni creciente ni decreciente en el intervalo [1,4] y no tiene ni

concavidad positiva ni concavidad negativa en ese intervalo.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Derivabilidad (primera parte) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

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CAPITULO 3 – DERIVABILIDAD (primera parte) 1 – INTRODUCCION En el capítulo anterior nos preocupamos, en un ejemplo y en tres ejercicios, por tres conceptos (crecimiento y decrecimiento, concavidad y derivada) que retomaremos aquí. Es importante que reconozcamos que los procedimientos que usamos, para estudiar el crecimiento o el decrecimiento y la concavidad de las funciones que allí elegimos, fueron algo laboriosos. ¿Hay métodos simples y generales que nos permita realizar esos estudios? Afortunadamente, sí. Esos métodos se basan en la derivada, lo que nos llevará a trabajar en primer lugar con ese concepto; después veremos algunas aplicaciones de la derivada. En todo este capítulo sólo nos ocuparemos de funciones que son polinomios o cocientes de polinomios. 2 – DERIVADA Definición 8 – Derivada de un polinomio Sean f : R → R un polinomio, p un número y c el cociente de dividir f(x) – f(p) entre x – p. Llamaremos derivada de f en p al número c(p). A ese número lo representaremos con el símbolo f ‘(p). A partir de la definición anterior podemos calcular, sin mucha dificultad, la derivada de algunos polinomios. Esos resultados y ciertas reglas de derivación nos permitirán calcular la derivada de cualquier polinomio. Teorema 3 – La derivada de algunos polinomios Sean f : R → R un polinomio y k y p números. Entonces: 1) Si f(x) = k entonces f ‘(p) = 0 ∀ p. 2) Si f(x) = x entonces f ‘(p) = 1 ∀ p. 3) Si f(x) = x2 entonces f ‘(p) = 2p ∀ p. 4) Si f(x) = x3 entonces f ‘(p) = 3p2 ∀ p. 5) Si f(x) = xn entonces f ‘(p) = npn-1 ∀ p (n = 2, 3, 4, 5, ...). Demostración 1) De acuerdo con la definición de la derivada de f en p, debemos determinar

en primer lugar el cociente de dividir f(x) – f(p) entre x – p y a continuación calcular el valor de ese cociente en p. f(x) – f(p) = k – k = 0 = 0(x – p). Debido a lo anterior tenemos que el cociente de dividir f(x) – f(p) entre x – p es c(x) = 0. Por lo tanto f ‘(p) = c(p) = 0.

2) f(x) – f(p) = x – p = 1(x – p). En este caso resulta que c(x) = 1. Por lo tanto f ‘(p) = c(p) = 1.

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3) f(x) – f(p) = x2 – p2 = (x + p)(x – p). Tenemos pues que c(x) = x + p. Por lo tanto f ‘(p) = c(p) = 2p.

4) f(x) – f(p) = x3 – p3 = (x2 + px + p2)(x – p) (puedes comprobar este resultado mediante el esquema de Ruffini o calculando el producto). En consecuencia c(x) = x2 + px + p2 y f ‘(p) = c(p) = 3p2.

5) f(x) – f(p) = xn – pn = (xn-1 + pxn-2 + ... + pn-2x + pn-1)(x – p) (llegamos a este resultado usando el esquema de Ruffini). Lo anterior nos muestra que el cociente de dividir f(x) – f(p) entre x – p es c(x) = xn-1 + pxn-2 + ... + pn-2x + pn-1. Por lo tanto f ‘(p) = c(p) = npn-1.

Teorema 4 – Reglas de derivación Sean f : R → R y g : R → R polinomios, k y p números reales y n un número natural mayor que 1. Entonces: Producto por una constante (kf) ‘(p) = k f ‘(p) ∀ p Suma (f + g) ‘(p) = f ‘(p) + g ‘(p) ∀ p Resta (f - g) ‘(p) = f ‘(p) – g ‘(p) ∀ p Producto (f g) ‘(p) = f ‘(p) g(p) + f(p) g ‘(p) ∀ p Composición (f o g) ‘(p) = f ‘(g(p)) g ‘(p) ∀ p Potencia (g n) ‘(p) = n g n-1(p) g ‘(p) ∀ p Demostración Justificaremos las reglas de la suma, del producto, de la composición y de la potencia. En los dos primeros casos tendremos en cuenta que: f(x) – f(p) = c(x)(x – p) y f ‘(p) = c(p). g(x) – g(p) = d(x)(x – p) y g ‘(p) = d(p). Suma Como (f + g)(x) – (f + g)(p) = (f(x) + g(x)) – (f(p) + g(p)) = f(x) – f(p) + g(x) – g(p), tenemos que (f + g)(x) – (f + g)(p) = c(x)(x – p) + d(x)(x – p) = (c(x) + d(x))(x – p) Por lo tanto el cociente de dividir (f + g)(x) – (f + g)(p) entre x – p es c(x) + d(x). En consecuencia, (f + g) ‘(p) = c(p) + d(p) = f ‘(p) + g ‘(p). Producto Notemos en primer lugar que (f g)(x) – (f g)(p) = f(x) g(x) – f(p) g(p). Sabemos que f(x) = f(p) + c(x)(x – p) y que g(x) = g(p) + d(x)(x – p). Ello implica que f(x)g(x) = f(p)g(p) + f(p)d(x)(x – p) + c(x)(x – p)g(p) + c(x)d(x)(x – p)2. Por lo tanto (f g)(x) – (f g)(p) = (f(p)d(x) + c(x)g(p) + c(x)d(x)(x – p))(x – p). Hemos llegado pues a que el cociente de dividir (f g)(x) – (f g)(p) entre x – p es f(p)d(x) + c(x)g(p) + c(x)d(x)(x – p). Resulta en definitiva que (f g) ‘(p) = f(p)d(p) + c(p)g(p) = f ‘(p) g(p) + f(p) g ‘(p). Composición En la regla de derivación de la función compuesta f o g aparecen la derivada de f en g(p) y la de g en p. Debido a ello, ahora anotaremos que: f(x) – f(g(p)) = c(x)(x – g(p)) y f ‘(g(p)) = c(g(p)). g(x) – g(p) = d(x)(x – p) y g ‘(p) = d(p).

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Atentos a lo anterior y a la definición de función compuesta resulta que (f o g)(x) - (f o g)(p) = f(g(x)) – f(g(p)) = c(g(x))(g(x) – g(p)) = c(g(x))d(x)(x – p). Por lo tanto el cociente de dividir (f o g)(x) - (f o g)(p) entre x – p es c(g(x))d(x). Esto último implica que (f o g) ‘(p) = c(g(p))d(p) = f ‘(g(p)) g ‘(p). Potencia En este caso haremos un razonamiento diferente a los anteriores. Tomemos f(x) = xn (ya sabemos derivar esta función) y consideremos la función compuesta f o g. Tenemos que (f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x)) n, o sea f o g = g n. Si ahora aplicamos la regla de derivación de la función compuesta obtenemos que (g n) ‘(p) = (f o g) ‘(p) = f ‘(g(p)) g ‘(p) = n g n-1(p) g ‘(p). Y por el momento tenemos lo suficiente para ejercitarnos con el cálculo de derivadas. Con el ejemplo y los ejercicios que siguen nos proponemos adquirir ciertas habilidades en ese cálculo. Ejemplo 11 – Cálculo de derivadas Sean f(x) = x3 + 4x2 – 6, g(x) = 2x4 – x y p un número. Calcularemos las derivadas de f, g, f g, f o g, g o f y g3 en p. 1) f ‘(p) = (x3 + 4x2 - 6) ‘(p). Al usar las tres primeras reglas de derivación

(producto por una constante, suma y resta) obtenemos lo siguiente: (x3 + 4x2 – 6) ‘(p) = (x3) ‘(p) + 4(x2) ‘(p) - (6) ‘(p). Si ahora tenemos en cuenta algunos resultados del teorema 3 llegamos a que f ‘(p) = 3p2 + 8p.

2) Para calcular g ‘(p) trabajamos como recién lo hicimos, aunque sin tanto detalle: g ‘(p) = (2x4 – x) ‘(p) = 8p3 – 1.

3) Como (f g) ‘(p) = f ‘(p) g(p) + f(p) g ‘(p) resulta que (f g) ‘(p) = (3p2 + 8p)( 2p4 –p) + (p3 + 4p2 – 6)(8p3 – 1). Si “hacemos cuentas” tenemos que (f g) ‘(p) = 14p6 + 48p5 –52p3 – 12p2 + 6. Podríamos obtener ese resultado calculando f(x)g(x) antes de derivar (ese producto da 2x7 + 8x6 – 13x4 – 4x3 + 6x).

4) Apliquemos ahora la regla de derivación de la función compuesta y tengamos en cuenta lo que ya sabemos de f ‘ y g ‘. (f o g) ‘(p) = f ‘(g(p)) g ‘(p) = (3(g(p)2 + 8g(p))(8p3 – 1). (f o g) ‘(p) = g(p)(3g(p) + 8)( 8p3 – 1) = (2p4 – p)(6p4 – 3p + 8)( 8p3 – 1). En este caso no nos sentimos estimulados para “hacer cuentas” en el resultado anterior y menos aún para hacerlas con (f o g)(x).

5) Trabajaremos como en el punto anterior con el fin de hallar (g o f) ‘(p). (g o f) ‘(p) = g ‘(f(p)) f ‘(p) = (8(f(p)3 - 1)(3p2 + 8p). (g o f) ‘(p) = (8(p3 + 4p2 – 6)3 - 1)( 3p2 + 8p).

6) Por último, hallaremos (g 3) ‘(p) usando la regla de derivación de la potencia. (g3) ‘(p) = 3 g2(p) g ‘(p) = 3(2p4 – p)2(8p3 – 1).

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Ejercicio 18 Sean f(x) = -2x3 + x, g(x) = 3x – 2 y p un número. Completa la siguiente tabla o comprueba los resultados que allí aparecen. f ‘(p) = (f o g) ‘(p) = -162p2 +216p – 69 g ‘(p) = (g o f) ‘(p) = -18p2 + 3 (5f – 4g) ‘(p) = -30p2 – 7 (g4) ‘(p) = (f g) ‘(p) = -24p3 + 12p2 + 6p - 2 (f 3) ‘(p) = Ejercicio 19 Calcula f ‘(p) en cada uno de los siguientes casos: f(x) = 7x4 – 5x3 + 6x2 – 9x – 8 f(x) = (x2 + x + 1)(x2 – x – 1) f(x) = (2x + 3)(-x + 1)2 f(x) = (x2 + 1)3(4x – 2)4 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d f(x) = (ax + b)(cx + d) f(x) = (x + a)2(x + b)3 f(x) = (x2 + a)3(-x3 + b)2

Quizás te hayas sorprendido que en el teorema sobre reglas de derivación no aparezca una que se refiera a la división de dos polinomios. En realidad ello no podía aparecer pues la división de dos polinomios no es, en general, un polinomio. Sin embargo, el razonamiento que sigue nos muestra cómo definir la derivada de la división de los polinomios f(x) y g(x) en un número p siempre que, claro está, ese número p no sea raíz de g(x). f(x) – f(p) = c(x)(x – p). g(x) – g(p) = d(x)(x – p).

( ) )p(g)px)(x(d)p(g)px)(x(d)p(f)p(g)px)(x(c

)p(g)p(f

)px)(x(d)p(g)px)(x(c)p(f

)p(g)p(f

)x(g)x(f

−+−−−

=−−+−+

=− .

( ) )px()p(g)px)(x(d)p(g

)x(d)p(f)p(g)x(c)p(g)p(f

)x(g)x(f

−−+

−=− .

Tenemos pues que )px)(x(e)p(g)p(f

)x(g)x(f

−=− con ( ) )p(g)px)(x(d)p(g)x(d)p(f)p(g)x(c)x(e

−+−

= .

Notemos finalmente que ( ) 22 ))p(g(

)p('g)p(f)p(g)p('f)p(g

)p(d)p(f)p(g)p(c)p(e −=

−= .

Lo anterior motiva la definición que sigue. Definición 9 – Derivada de la división de dos polinomios Sean f : R → R y g : R → R polinomios y p un número que no es raíz del

polinomio g. La derivada de gf en p es el número 2

'

))p(g()p('g)p(f)p(g)p('f)p(

gf −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ .

En el caso que f(x) = 1 resulta que 2

'

))p(g()p('g)p(

g1 −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


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Dada la definición anterior, es importante que aclaremos que el teorema sobre las reglas de derivación (que habíamos establecido para polinomios) se sigue cumpliendo. A pesar de que no nos detendremos en justificar esa afirmación, interesa destacar que ya nos hemos referido a los dos hechos relevantes que

la explican: )px)(x(e)p(g)p(f

)x(g)x(f

−=− y )p(e)p(gf

'

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ .

Ejemplo 12 – Cálculo de derivadas de división de polinomios

Sean 3x1x)x(h

2

++

= , 4x1x2)x(j 2 −

−= ,

1xx1)x(l 2 ++

= y p un número.

Calcularemos h ‘(p), j ‘(p) y l ‘(p) e indicaremos para qué valores de p vale cada cálculo.

1) 2

2

2

2

)3p(1p6p

)3p()1p(1)3p(p2)p('h

+−+

=+

+−+= si p ≠ -3 pues -3 es la raíz de x + 3.

2) 22

2

22

2

)4p(8p2p2

)4p()1p2(p2)4p(2)p('j

−−+−

=−

−−−= si p ≠ ±2.

3) 22 )1pp()1p2()p('l

+++−

= ∀ p ya que x2 + x +1 no tiene ninguna raíz.

Ejercicio 20 Calcula f ‘(p) en cada uno de los siguientes casos e indica para qué valores de p es válido el resultado:

2x1x)x(f

++

= 2)2x(1x)x(f

++

=

4xxx)x(f 2

3

++

= x35x2)x(f −+−=

x1x46x5x)x(f 2

+−

++−= 32 x1

x1

x1)x(f ++=

3

2

)bx()ax()x(f

++

= 2

3

)bx()ax()x(f

++

=

Y ahora, expertos en el cálculo de derivadas, estamos casi a punto de ver la utilidad de la derivada en el estudio del crecimiento, el decrecimiento y la concavidad de funciones. Antes de pasar a ello daremos la definición de recta tangente al gráfico de una función en un punto (recuerda que ya trabajamos con este concepto en el capítulo 2) y la definición de función derivada (esto nos llevará al cálculo de derivadas sucesivas).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


44

Definición 10 – Recta tangente al gráfico de una función en un punto Sean f una función, p un número tal que existe f ‘(p) y P = (p,f(p)). Llamaremos recta tangente al gráfico de f en el punto P a aquélla que tiene por ecuación y = f(p) + f ‘(p)(x – p). Hemos aprendido a calcular la derivada de un polinomio y la derivada de una división de polinomios. En lo primero podemos trabajar en cualquier número p y en lo segundo casi en cualquier número p (excluimos a aquellos números que son raíces del denominador de la división); en ambos casos, por lo tanto, sabemos cómo calcular la derivada de una función en cualquier número que esté en el dominio de esa función. En consecuencia, a partir de una función f podemos construir otra función tal que el valor de esta segunda función en cada número sea la derivada de f en ese número; a esta nueva función la llamaremos la función derivada de f y la representaremos con el símbolo f ‘. Con f ‘ procedemos con la misma idea y obtenemos (f ‘) ‘, a la que llamaremos función derivada segunda de f que representaremos mediante f ‘’. Y, sin duda, así sucesivamente (en este capítulo serán fundamentales f ‘ y f ‘’). Definición 11 – Función derivada de una función Sea f : D → R una función. Llamaremos función derivada de f a la función f ‘ : D → R que a cada x de D le asocia f ‘(x). Es importante que notemos que las funciones f y f ‘ tienen, según la definición anterior, el mismo dominio. Desdichadamente, ello no será siempre así (nos encontraremos más adelante con funciones que no tienen derivada en todos los números de su dominio), aunque por el momento ese hecho no debe inquietarnos. Ejemplo 13 – Cálculo de derivadas sucesivas 1) Sea 9x7x8x5x2)x(f 234 ++−−= . Entonces:

f ‘(x) = 8x3 –15x2 – 16x + 7. f ‘ ’(x) = 24x2 – 30x – 16. f ‘ ’ ’(x) = 48x – 30. f ‘ ’ ’ ’(x) = 48. f ‘ ’ ’ ’ ’(x) = 0. Y aquí nos detenemos pues cualquier otra función derivada nos da 0 en cualquier x. Si con el símbolo f (n) representamos a la función que obtenemos luego de derivar n veces la función f, concluimos que f (n)(x) = 0 ∀ n ≥ 5.

2) Sea x1)x(f = . Entonces para cada x ≠ 0:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


45

22 x1

x1)x('f −=

−= .

34 x2

xx2)x(''f =

−−= .

46

2

x6

xx6)x('''f −=

−= .

58

3

x24

xx24)x(''''f =

−−= .

Algo aburridos terminamos aquí y con bastante coraje nos atrevemos a

afirmar que 1nn)n(

x!n)1()x(f+

−= para n = 1, 2, 3, 4, ...

Ejercicio 21 Calcula f ‘(x) y f ‘’(x) en cada uno de los siguientes casos e indica para qué valores de x es válido el resultado:

1xxx)x(f 23 +++= 32 )x1()1x()x(f −+=

2x1x)x(f 2

2

++

= x85x2x3)x(f 2 +−+=

3x22x3

2x33x2)x(f

++

+++

= 2)bx(ax)x(f

++

=

3 – ALGUNAS APLICACIONES DE LA DERIVADA Hay un teorema que es fundamental para el objetivo de esta sección. Se lo conoce como “Teorema de Lagrange” y tiene que ver con algo que vimos en el ejemplo del capítulo 2: la existencia de una recta tangente a la parábola que es paralela a la que determinan dos puntos de esa parábola (insistimos con ese resultado en los ejercicios 14, 15 y 16). Debido a que aún no tenemos las herramientas necesarias para demostrar ese teorema, nos limitaremos a enunciarlo y a estudiar algunas de sus consecuencias. Teorema 5 – Teorema de Lagrange Sea f una función derivable en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces existe algún número c en el intervalo abierto (a,b) tal que )c('f)ab()a(f)b(f −=− . Antes de usar el teorema de Lagrange para obtener resultados sobre el crecimiento, el decrecimiento y la concavidad de funciones, resulta importante que destaquemos lo siguiente: 1) La hipótesis del teorema de Lagrange es que la función f sea derivable en el

intervalo cerrado [a,b]. Esto significa que existe f ‘(p) para cada número p en ese intervalo (más adelante veremos que podemos ser un poco menos exigentes).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


46

2) La igualdad )c('f)ab()a(f)b(f −=− equivale a )c('fab

)a(f)b(f=

−− . El primero

de estos dos últimos números es el coeficiente angular de la recta que determinan los puntos A = (a,f(a)) y B = (b,f(b)) y el segundo es el de la recta tangente al gráfico de f en el punto P = (c,f(c)). Como esos números son iguales, estamos ante dos rectas cuyos coeficientes angulares coinciden, o sea ante dos rectas paralelas.

Y ahora sí pasemos a aplicar el teorema de Lagrange. Teorema 6 – Condición suficiente de crecimiento de una función Sea f una función derivable en [a,b] tal que f ‘(x) > 0 ∀ x ∈ (a,b). Entonces f es creciente en [a,b]. Demostración Debemos probar que si u y v son números cualesquiera en [a,b] tales que u < v entonces f(u) < f(v). Con ese fin, apliquemos el teorema de Lagrange a la función f en el intervalo [u,v]: existe c ∈ (u,v) tal que f(v) – f(u) = (v – u) f ‘(c). Como v – u > 0 y f ‘(c) > 0 resulta que f(v) – f(u) > 0, es decir f(v) > f(u). El próximo teorema se refiere al decrecimiento de una función. Sólo lo enunciaremos ya que su demostración es similar a la que acabamos de hacer. Teorema 7 – Condición suficiente de decrecimiento de una función Sea f una función derivable en [a,b] tal que f ‘(x) < 0 ∀ x ∈ (a,b). Entonces f es decreciente en [a,b].

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


47

En lo que se refiere a la concavidad, los próximos dos teoremas son de suma utilidad. Teorema 8 – Condición suficiente de concavidad positiva de una función Sea f una función derivable dos veces en [a,b] tal que f ‘’(x) > 0 ∀ x ∈ (a,b). Entonces f tiene concavidad positiva en [a,b]. Demostración Consideremos dos números cualesquiera, x1 y x2, en [a,b] tales que x1 < x2. Con ellos tenemos dos puntos en el gráfico de f: A = (x1,f(x1)) y B = (x2,f(x2)). Debemos probar que el segmento determinado por A y B está por encima de la correspondiente parte del gráfico de f, es decir que para cualquier x que cumpla

x1 < x < x2 se verifica que )xx(xx


121 −

−−

+< .

Definamos )xx(xx

)x(f)x(f)x(f)x(f)x(d 112

121 −

−−

−−= y comprobemos que d(x) < 0

cualquiera sea el x entre x1 y x2. Para ello tengamos en cuenta que: 1) d(x1) = 0 y d(x2) = 0.

2) 12

12''

xx)x(f)x(f)x(f)x(d

−−

−= .

3) d ‘’(x) = f ‘’(x). Debido a que d ‘’(x) > 0 ∀ x ∈ (x1,x2) podemos afirmar que d ‘ es creciente en [x1,x2]. El teorema de Lagrange, aplicado a la función f en el intervalo [x1,x2], nos dice que existe c ∈ (x1,x2) tal que f(x2) – f(x1) = (x2 – x1) f ‘(c). Por lo tanto podemos

escribir que )c(f)x(fxx

)x(f)x(f)x(f)x(d ''

12

12'' −=−−

−= con c ∈ (x1,x2). Esto último,

junto con el hecho de que d ‘ es creciente en [x1,x2], nos permite deducir el signo de d ‘ en el intervalo [x1,x2]. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + +

..|.. .............................................. ..|.. ............................................. ..|.. signo de d ‘(x) x1 c x2 Lo anterior nos indica que d es decreciente en el intervalo [x1,c] y creciente en el intervalo [c,x2]. Ya habíamos anotado que d(x1) = 0 y d(x2) = 0. Por lo tanto sabemos el signo de d en el intervalo [x1,x2]. 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0

..|.. .............................................. ..|.. ............................................. ..|.. signo de d(x) x1 c x2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


48

En resumen, llegamos a lo que debíamos probar: d(x) < 0 ∀ x ∈ (x1,x2). Teorema 9 – Condición suficiente de concavidad negativa de una función Sea f una función derivable dos veces en [a,b] tal que f ‘’(x) < 0 ∀ x ∈ (a,b). Entonces f tiene concavidad negativa en [a,b]. Ejercicio 22 Lee atentamente la demostración del teorema 8 y modifícala de modo que tengas la demostración del teorema 9. Finalizaremos este capítulo estudiando tres funciones, lo cual nos permitirá aplicar los últimos cuatro teoremas. Ejemplo 14 – Estudio de tres funciones Primera parte : La función f : R → R / f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 32 Comenzaremos estudiando el crecimiento y el decrecimiento de esta función. Para ello, atentos a los teoremas 6 y 7, calcularemos f ‘(x) y estudiaremos el signo de f ‘(x). f ‘(x) = 6x2 – 6x – 36 = 6(x2 – x – 6).

f ‘(x) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0 ⇔ =±

=+±

=2

512

2411x⎩⎨⎧− 2

3

+ + + + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + --------------------------|-------------------------- ---|-------------------------- signo de f ‘(x) -2 3 Por lo tanto concluimos que: • f es creciente en (- ∞ ,-2] y en [3, + ∞ ). • f es decreciente en [-2,3]. Ahora analizaremos la concavidad de la función, calculando f ‘’(x) y estudiando el signo de f ‘’(x) (estamos recordando los teoremas 8 y 9). f ‘’(x) = 6(2x – 1). f ‘’(x) = 0 ⇔ x = 1/2 - - - - - - - - 0 + + + + + + --------------------------|-------------------------- signo de f ‘’(x) 1/2 En consecuencia resulta que: • f tiene concavidad negativa en (- ∞ ,1/2]. • f tiene concavidad positiva en [1/2, + ∞ ). Resumiremos lo que hemos hecho de la siguiente manera:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


49

................................. -2 ................................. 1/2 ................................. 3 .................................

f es creciente f es decreciente f es creciente f tiene concavidad negativa f tiene concavidad positiva

Lo anterior pone de manifiesto que hay tres números del dominio de la función que se destacan: -2, 1/2 y 3. Con ellos haremos algunos cálculos. • f(-2) = 76 y f ‘(-2) = 0. Por lo tanto el punto A = (-2,76) está en el gráfico de la

función y la ecuación de la tangente a ese gráfico en ese punto es y = 76

(una recta paralela al eje→−

ox ). • f(1/2) = 27/2 y f ‘(1/2) = -75/2. Por lo tanto el punto B = (1/2,27/2) está en el

gráfico de la función y la ecuación de la tangente a ese gráfico en ese punto

es4

129x2

75)21x(

275

227y +−=−−= .

• f(3) = -49 y f ‘(3) = 0. Por lo tanto el punto C = (3,-49) está en el gráfico de la función y la ecuación de la tangente a ese gráfico en ese punto es y = -49

(otra recta paralela al eje→−

ox ). A esta altura la tentación es casi irresistible. ¡Dibujemos el gráfico de la función! Podríamos hacerlo sin la ayuda de la computadora (sería conveniente calcular algún otro valor de la función, por ejemplo para un número menor que –2 y para otro mayor que 3), pero recurramos de nuevo a ella.

El dibujo anterior pone de manifiesto los resultados de nuestro trabajo y le agrega algo: el signo de la función (puedes hallar las raíces del polinomio de tercer grado que hemos estudiado; si lo haces te encontrarás con los números

–4, 86,04

5711≅

− y 64,44

5711≅

+ ).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


50

Antes de continuar con otras funciones queremos dejar constancia de algunas picardías que hemos hecho al aplicar los teoremas 6, 8 y 9 (no se nos presentó la oportunidad de hacerlas con el teorema 7, aunque más adelante sí las haremos). ¿A qué nos estamos refiriendo? 1) Afirmamos que f es creciente en (- ∞ ,-2] ya que f ‘(x) > 0 ∀ x ∈ (- ∞ ,-2). La

hipótesis del teorema 6 establecía que f debía ser derivable en [a,b] y también que f ‘(x) > 0 ∀ x ∈ (a,b). Vimos un teorema cuyo ámbito era un segmento y lo usamos en una semirrecta (cambiamos a por - ∞ ). Por suerte no nos equivocamos. En efecto, al revisar la demostración de ese teorema vemos que ella es válida en esta nueva situación. Lo mismo ocurre ante la afirmación “f es creciente en [3, + ∞ )”.

2) Algo similar a lo anterior pasa con los teoremas 8 y 9. Cuando anotamos que f tiene concavidad negativa en (- ∞ ,1/2] y que f tiene concavidad positiva en [1/2,+ ∞ ), aplicamos el teorema 9 en la semirrecta (- ∞ ,1/2] y el teorema 8 en la semirrecta [1/2,+ ∞ ). Nuevamente, la lectura de la demostración del teorema 8 nos convence de nuestro acierto.

Segunda parte : La función f : R → R / 4x

x43)x(f 2 ++=

Al igual que en la función de la primera parte, estudiaremos el crecimiento, el decrecimiento y la concavidad de esta nueva función (ten en cuenta que es correcto que R sea su dominio pues x2 + 4 no tiene raíces).

22

2

22

2

)4x()4x(4

)4x(x2x4)4x(4)x('f

++−

=+

−+= .

- - - - - - - - 0 + + + + + + 0 - - - - - - - - --------------------------|-------------------------- ---|-------------------------- signo de f ‘(x) -2 2

32

22

42

2222

)4x()2)4x()4x((x24

)4x(x2)4x(2)4x()4x(x24)x(''f

++−++−

=+

++−−+−= .

32

2

32

2

)4x()12x(x8

)4x()12x(x8)x(''f

+−

=+

+−−= .

- - - - - - - - - - 0 + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + ...................... .....|..... ...................... .....|..... ...................... .....|..... ...................... signo de f ‘’(x) - 32 0 32

En consecuencia, concluimos que las características de nuestra función son las que constan a continuación.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


51

.................... - 32 ............. -2 ............. 0 ............. 2 ............. 32 ....................

decreciente creciente Decreciente concavidad

negativa concavidad positiva concavidad negativa Concavidad

positiva En este caso son cinco los números del dominio de la función que se destacan:

32− , -2, 0, 2 y 32 . Ellos motivan el cuadro que sigue.

p

f(p)

f ‘(p)

Punto en el gráfico P = (p,f(p))

Ecuación de la recta tangente al gráfico en P

32− 233 − 8

1− A = ( 32− ,

233 − )

4333x

81y −+−=

-2 2 0 B = (-2,2) y = 2 0 3 1 C = (0,3) y = x + 3 2 4 0 D = (2,4) y = 4

32 233 + 8

1− E = ( 32 ,

233 + )

4333x

81y ++−=

El próximo dibujo es el del gráfico de la función que estamos estudiando. En él aparece la recta de ecuación y = 3 para resaltar que si x < 0 entonces f(x) < 3 y que si x > 0 entonces f(x) > 3 (ambos resultados son fáciles de verificar a partir de la fórmula que define a la función). Resulta interesante observar, además, que f(-2) = 2 es el menor valor de la función y que f(2) = 4 es el mayor.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


52

Tercera parte : La función f : D → R / 1x3x)x(f

2

++

= , donde D = R – {-1}

Aunque trabajaremos como en las dos partes anteriores, es importante que notemos que aquí nos encontramos ante algo nuevo. En efecto, el dominio de esta función no es el conjunto de todos los números reales; tuvimos que excluir al número –1 ya que él es raíz de x + 1.

2

2

2

2

)1x(3x2x

)1x()3x(1)1x(x2)x('f

+−+

=+

+−+= .

+ + + + + + + 0 - - - - - - - - - - ∉ D - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + ...................... .....|..... ...................... .....|..... ...................... .....|..... ...................... signo de f ‘(x) -3 -1 1

3

2

4

22

)1x(2)3x2x()1x)(2x2(

)1x()1x(2)3x2x()1x)(2x2()x(''f

+−+−++

=+

+−+−++= .

3)1x(8)x(''f+

= .

- - - - - - - - ∉ D + + + + + + --------------------------|-------------------------- signo de f ‘’(x) -1 Por lo tanto, las características de nuestra función son las que anotamos en la próxima tabla. Es sumamente importante que tengamos en cuenta que es correcto afirmar que la función es decreciente en [-3,-1) y en (-1,1] pero que es incorrecto decir que es decreciente en [-3,1] (no podemos olvidar que –1 no está en el dominio de la función). ................................. -3 ................................. -1 ................................. 1 .................................

creciente decreciente ∉ D decreciente Creciente concavidad negativa ∉ D concavidad positiva

Aquí tenemos dos números del dominio de la función que se destacan (-3 y 1) y otro que sobresale por no estar en ese dominio (-1).

p

f(p)

f ‘(p)

Punto en el gráfico P = (p,f(p))

Ecuación de la recta tangente al gráfico en P

-3 -6 0 A = (-3,-6) y = -6 -1 No está en el dominio de la función 1 2 0 B = (1,2) y = 2

A continuación aparece el dibujo que ha hecho la computadora del gráfico de la función que acabamos de estudiar.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


53

Ejercicio 23 Determina el dominio, estudia el crecimiento, el decrecimiento y la concavidad y dibuja el gráfico de cada una de las siguientes funciones: f(x) = x2 – 4x +3 f(x) = -2x2 + 12x f(x) = x3 – 3x f(x) = 3x4 + 8x3 + 6x2 – 48x f(x) = (1+x)2(2 – x)3 f(x) = (1+x)3(2 – x)2

x1x)x(f +=

x1x)x(f −=

2)1x(1

1x1)x(f

−+

−= 2)1x(

11x

1)x(f−

−−

=

Ejercicio 24 Sea f : R → R / f(x) = x n ( n = 1, 2, 3, ...). 1) Prueba que f es creciente en [0, +∞ ) cualquiera sea n. 2) Prueba que f es creciente en (- ∞ ,0] si n es impar y que f es decreciente en

(- ∞ ,0] si n es par. 3) ¿Qué ocurre con la concavidad de f? Ejercicio 25

Sea f / 2xb

xax)x(f ++= . Determina a y b de modo que f ‘(2) = f ‘’(1) = 0 y dibuja

el gráfico de f en ese caso.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

55

CAPITULO 4 – CONTINUIDAD 1 – INTRODUCCION El concepto de derivada, con el que hemos empezado a trabajar en el capítulo anterior, es uno de los conceptos fundamentales del análisis matemático. Nos hemos preocupado sólo por la derivada de un polinomio y la derivada de un cociente de polinomios, aunque somos conscientes de que esas no son las únicas funciones que nos interesan. La generalización del concepto de derivada requiere el de continuidad o el de límite. En este capítulo nos dedicaremos a la continuidad. 2 – DEFINICION DE CONTINUIDAD La definición que sigue concreta algunas ideas que desarrollamos en el capítulo 2. Definición 12 – Función continua en un número interior a su dominio Sean f : D → R una función y a un número interior a D. Diremos que f es continua en a cuando para cada número positivo r existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – a| < s resulta que |f(x) – f(a)| < r. O de otra forma, f es continua en a cuando para cada V(f(a),r) existe algún V(a,s) tal que ∀ x ∈V(a,s) resulta que f(x) ∈ V(f(a),r). La definición de f continua en a puede visualizarse en el siguiente dibujo. Es importante que notemos que allí no hemos dejado constancia de algo que es fundamental: el orden en que van apareciendo los actores que participan en la definición. En primer lugar, sin duda, está la función f, la siguen el número a (en

el eje→−

ox ) y el número f(a) (en el eje→−

oy ), luego aparece el número positivo r

(que motiva los números f(a) – r y f(a) + r en el eje→−

oy ) y finalmente entra en escena el número positivo s (que motiva los números a – s y a + s en el eje

→−

ox ).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

56

Puede también representarse gráficamente la definición de f continua en a en el próximo dibujo, al cual debemos acompañar con el siguiente comentario (preocupados nuevamente por el orden): en primer lugar está la función f, la siguen el número a (en el primer rectángulo) y el número f(a) (en el segundo), luego aparece el número positivo r (que motiva el intervalo (f(a) – r, f(a) + r) en el segundo rectángulo) y finalmente el número positivo s (que da lugar al intervalo (a – s, a + s) en el primero). f D ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ R

(a – s , a + s) ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (f(a) – r , f(a) + r)

Estamos, indudablemente, ante un concepto complicado. Esperamos que los próximos ejemplos te permitan ir comprendiendo el concepto de continuidad. Ejemplo 15 – Ejemplos de funciones continuas Primera parte : La función f : R → R / f(x) = k es continua en cualquier a Atentos a la definición de continuidad (ya tenemos la función f y el número a) consideramos el número positivo r (no podemos trabajar con un r concreto ya que la definición se refiere a cada número positivo r) y planteamos la inecuación |f(x) – f(a)| < r con el fin de encontrar algún número positivo s con la siguiente propiedad: si |x – a| < s entonces |f(x) – f(a)| < r.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

57

En este caso el problema no es complicado. En efecto, |f(x) – f(a)| = |k – k| = 0 < r ∀ x. Por lo tanto, cualquiera sea s > 0 se cumple que |x – a| < s implica |f(x) – f(a)| < r. Segunda parte : La función f : R → R / f(x) = x es continua en cualquier a Planteamos la inecuación |f(x) – f(a)| < r, donde r > 0. Como |f(x) – f(a)| = |x – a|, esa inecuación nos queda |x – a| < r. Por lo tanto, alcanza con que elijamos s = r (sin duda también podemos elegir cualquier s positivo que sea menor que r). Tercera parte : La función f : R → R / f(x) = x2 es continua en 0 En este caso trabajaremos sólo para a = 0. Más adelante veremos que la función que ahora nos preocupa es continua en cualquier a. Planteamos la inecuación |f(x) – f(0)| < r, donde r > 0. |f(x) – f(0)| = x2 < r ⇔ |x| < r . En consecuencia, elegimos s = r ya que si |x – 0| < s entonces |f(x) – f(0)| < r.

Cuarta parte : La función f : R* → R / x1)x(f = es continua en 1 (R* = R – {0})

Finalmente demostremos la continuidad de esta función en 1 (más adelante nos convenceremos que es continua en cualquier a ≠ 0).

Planteamos la inecuación |f(x) – f(1)| = r1x1

<− , donde r > 0.

Como el problema se nos ha complicado, veremos dos formas de resolverlo.

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58

Primera forma

Resolución de una inecuación

r1x1

<− ⇔ r1x1r1 +<<−

La solución de x1r1 <− es:

• 0 < x <r1

1−

si r < 1.

• 0 < x si r = 1.

• 0 < x ; x < r1

1−

si r > 1.

La solución de r1x1

+< es:

• x < 0 ; x >r1

1+

.

En resumen, la inecuación r1x1

<−

se cumple si:

• r1

1xr1

1−

<<+

cuando r < 1.

• xr1

1<

+ cuando r = 1.

• xr1

1<

+ ; x <

r11−

cuando r > 1.

Y ahora hallemos s, sin olvidar que estamos buscando un entorno de centro 1 cuyo radio es s. En el caso que r < 1 observamos

que r1

11r1

1−

<<+

y elegimos s así:

el mínimo entre r1

11+

− y 1r1

1−

−,

o sea s =r1

r+

.

Si r ≥ 1 elegimos r1

rr1

11s+

=+

−= .

Segunda forma Resolución parcial de una inecuación

x1x

xx11

x1 −

=−

=− si x > 0

Debido a que estamos buscando un entorno de centro 1 (s es el radio de ese entorno), seguimos trabajando con

x >21 .

Para x >21 es 1x2

x1x

−≤−

.

Además, 2r1xr1x2 <−⇔<− .

De lo anterior concluimos que si x >21

y 2r1x <− es r1

x1

<− .

En consecuencia, elegimos s como el

menor entre 2r y

21 .

El s que encontramos aquí es menor que el que hallamos antes. Esto es razonable pues habíamos resuelto totalmente la inecuación que ahora resolvimos parcialmente (la solución que encontramos con nuestra primera forma de trabajar contiene a la que hallamos con la segunda).

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59

Ejemplo 16 – Ejemplos de funciones no continuas

Primera parte : f : R → R / f(x) = sgn(x) =⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

0xsi10xsi00xsi1

no es continua en 0.

El dibujo del gráfico de esta función nos muestra dos saltos inquietantes desde el punto de vista de su continuidad. Si imaginamos que recorremos ese dibujo de izquierda a derecha, resulta que comenzamos a movemos sobre la recta de ecuación y = -1 (f(x) = -1 si x < 0), que luego debemos saltar hacia el origen (f(0) = 0) y que finalmente tenemos que dar otro salto para continuar sobre la recta de ecuación y = 1 (f(x) = 1 si x > 0). Esto nos hace sospechar que estamos ante una función que no es continua en 0.

Confirmemos nuestra sospecha. Elijamos r = 0,5 y planteemos la inecuación |f(x) – f(0)| < 0,5. Puesto que |f(x) – f(0)| = |sgn(x)| = 1 ∀ x ≠ 0, tenemos que |f(x) – f(0)| < 0,5 sólo si x = 0. En consecuencia, no existe ningún número s > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – 0| < s resulta que |f(x) – f(0)| < 0,5. Concluimos que la función no es continua en 0.

Segunda parte : g : R → R / g(x) = 1 + sgn(x) – (sgn(x))2 =⎩⎨⎧

<−≥

0xsi10xsi1

no es

continua en 0. El dibujo del gráfico de esta función casi coincide con el de la anterior. La única diferencia es que el punto (0,0) del gráfico de f pasa a ser el punto (0,1) del gráfico de g. Ello motiva que ahora tengamos sólo un salto. La función g

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60

tampoco es continua en 0, aunque ahora nos enfrentamos a un hecho que justifica algún comentario. Elijamos r = 0,5 y planteemos la inecuación |g(x) – g(0)| < 0,5.

Puesto que |g(x) – g(0)| =⎩⎨⎧

<≥

0xsi10xsi0

, tenemos que |g(x) – g(0)| < 0,5 ⇔ x ≥ 0.

Por lo tanto, no existe ningún número s > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – 0| < s resulta que |g(x) – g(0)| < 0,5. Tenemos pues que g no es continua en 0. Si restringimos nuestra atención a los x no negativos la situación cambia ya que |g(x) – g(0)| = 0 ∀ x ≥ 0. En consecuencia, para cada número positivo r existe algún número positivo s (en este caso cualquier s sirve) con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla 0 ≤ x < s resulta que |g(x) – g(0)| < r. Debido a ello diremos que g es continua en 0 por la derecha y escribiremos g es continua en +0 .

Tercera parte : h : R → R / g(x) = -1 + sgn(x) + (sgn(x))2 =⎩⎨⎧

≤−>

0xsi10xsi1

no es

continua en 0. A esta altura creemos que entiendes el porqué de esta tercera función y que no necesitas que te justifiquemos las siguientes afirmaciones: h no es continua en 0 pero h es continua en 0 por la izquierda (h es continua en −0 ). Definición 13 – Función continua en un número por la derecha (izquierda) 1) Sean f : D → R una función y a un número tal que existe algún V( +a ) ⊂ D.

Diremos que f es continua en a por la derecha cuando para cada número positivo r existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla a ≤ x < a + s resulta que |f(x) – f(a)| < r.

2) Sean f : D → R una función y a un número tal que existe algún V( −a ) ⊂ D. Diremos que f es continua en a por la izquierda cuando para cada número positivo r existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla a - s < x ≤ a resulta que |f(x) – f(a)| < r.

Ejercicio 26 1) Prueba que la función f : R → R / f(x) = 2x + 3 es continua en cualquier a. 2) Prueba que cada una de las siguientes funciones no es continua en 0 y

estudia si es continua en +0 ó en −0 : • f : R → R / f(x) = 2x + 3 + sgn(x). • f : R → R / f(x) = 2x + 3 + sgn(x) + (sgn(x))2. • f : R → R / f(x) = 2x + 3 + sgn(x) - (sgn(x))2.

3) Prueba que la función f : R → R / f(x) = |x| es continua en cualquier a (recuerda que ||x| - |a|| ≤ |x – a|).

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Ejercicio 27 ¿Qué opinas de las siguientes afirmaciones? 1) Si f es continua en a entonces f es continua en +a y f es continua en −a . 2) Si f es continua en +a y f es continua en −a entonces f es continua en a. 3 – PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Comenzaremos esta sección con un par de teoremas que aplicaremos para justificar algunos adelantos que hicimos sobre la continuidad de las funciones que analizamos en las partes tres y cuatro del ejemplo 15. Teorema 10 – Algunas operaciones con funciones continuas Sean f1 : D1 → R y f2 : D2 → R funciones continuas en un número a interior tanto a D1 como a D2 y k un número. Entonces: 1) Producto por una constante k f1 es continua en a 2) Suma f1 + f2 es continua en a 3) Resta f1 - f2 es continua en a Demostración Sólo demostraremos la segunda parte (la tercera es consecuencia de las otras dos ya que f1 – f2 = f1 + (-1)f2). Para probar que f1 + f2 es continua en a consideremos r > 0 y planteemos la inecuación |(f1 + f2)(x) – (f1 + f2)(a)| < r. Debemos probar que existe algún s > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – a| < s resulta que |(f1 + f2)(x) – (f1 + f2)(a)| < r. |(f1 + f2)(x) – (f1 + f2)(a)| = |f1(x) – f1(a) + f2(x) – f2(a)|. |(f1 + f2)(x) – (f1 + f2)(a)| ≤ |f1(x) – f1(a)| + |f2(x) – f2(a)|. Como f1 es continua en a, sabemos que existe s1 > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x tal que |x – a| < s1 resulta que |f1(x) – f1(a)| < r/2. Como f2 es continua en a, sabemos que existe s2 > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x tal que |x – a| < s2 resulta que |f2(x) – f2(a)| < r/2. Si tomamos s = min(s1,s2) resulta que:

|x – a| < s ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

<−

2

1

sax

sax⇒

⎩⎨⎧

<−<−

2/r|)a(f)x(f|2/r|)a(f)x(f|

22

11 ⇒ |(f1 + f2)(x) – (f1 + f2)(a)| < r.

Teorema 11 – Composición de funciones continuas Sean f : D → R y g : E → R funciones tales que existe f o g : E → R, g es continua en a y f es continua en g(a). Entonces f o g es continua en a. (Suponemos, claro está, que a es interior a E y que g(a) es interior a D)

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Demostración Para probar que f o g es continua en a consideremos r > 0 y planteemos la inecuación |(f o g)(x) – (f o g)(a)| = |f(g(x) – f(g(a))| < r. Debemos probar que existe algún s > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla |x – a| < s resulta que |f(g(x) – f(g(a))| < r. Como f es continua en g(a), sabemos que existe s1 > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier u tal que |u – g(a)| < s1 resulta que |f(u) – f(g(a))| < r. Como g es continua en a, sabemos que existe s2 > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x tal que |x – a| < s2 resulta que |g(x) – g(a)| < s1. En resumen, |x – a| < s2 ⇒ |g(x) – g(a)| < s1 ⇒ |f(g(x)) – f(g(a))| < r. Alcanza pues con que elijamos s = s2. Ejemplo 17 – Dos funciones continuas Primera parte : La función f : R → R / f(x) = x2 es continua en cualquier a Sabemos que esta función es continua en 0. Para generalizar ese resultado tomemos las funciones g : R → R / g(x) = x – a y h : R → R / h(x) = (x + a)2 y observemos que: • g(a) = 0. • (h o g)(x) = h(g(x)) = h(x – a) = x2 = f(x). • h(x) = x2 + 2ax + a2. • g es continua en a pues es la resta de dos funciones continuas en a. • h es continua en g(a) = 0 pues es la suma de tres funciones continuas en 0. Debido a lo anterior y al teorema sobre composición de funciones continuas concluimos que h o g = f es continua en a.

Segunda parte : La función f : R* → R / x1)x(f = es continua en cualquier a ≠ 0

Sabemos que esta función es continua en 1. Para probar que también es continua en cualquier a ≠ 0 tomemos las funciones

g : R* → R / g(x) = ax y h : R* → R / h(x) =

x1

a1

ax1

= y observemos que:

• g(a) = 1.

• (h o g)(x) = h(g(x)) = h ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ax =

x1 = f(x).

• g es continua en a pues es el producto de una constante por una función continua en a.

• h es continua en g(a) = 1 pues es el producto de una constante por una función continua en 1.

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Debido a lo anterior y al teorema sobre composición de funciones continuas concluimos que h o g = f es continua en a (es importante que observes que tomamos R* como dominio de g para que exista h o g). Lo que acabamos de hacer nos permitirá ampliar el teorema sobre operaciones con funciones continuas. Teorema 12 – Otras operaciones con funciones continuas Sean f1 : D1 → R y f2 : D2 → R funciones continuas en un número a interior tanto a D1 como a D2. Entonces: 1) Cuadrado (f1)2 es continua en a 2) Producto f1.f2 es continua en a

3) Inverso Si f2(a) ≠ 0, 2f1 es continua en a

4) División Si f2(a) ≠ 0, 2

1

ff es continua en a

Demostración Concentraremos nuestros esfuerzos en demostrar las tres primeras partes (la cuarta es consecuencia de la segunda y de la tercera). Cuadrado Consideremos la función f: R → R / f(x) = x2 y observemos que: • (f o f1)(x) = f(f1(x)) = (f1(x))2, o sea f o f1 = (f1)2. • f1 es continua en a por hipótesis. • f es continua en f1(a) ya que f es continua en cualquier número. El teorema sobre composición de funciones continuas nos permite concluir que (f1)2 es continua en a. Producto

Aquí alcanza con observar que ( )221

22121 )ff()ff(

41ff −−+= y aplicar lo que ya

sabemos sobre operaciones con funciones continuas. Inverso

Consideremos la función f: R* → R / f(x) =x1 y observemos que:

• (f o f2)(x) = f(f2(x)) =)x(f

12

, o sea f o f2 =2f1 .

• f2 es continua en a por hipótesis. • f es continua en f2(a) ≠ 0 ya que f es continua en cualquier número distinto

de 0.

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El teorema sobre composición de funciones continuas nos permite concluir que

2f1 es continua en a (en esta demostración hay una sutil picardía a la que nos

referiremos más adelante). A esta altura, conscientes del alto nivel de abstracción que te hemos exigido en esta sección, es importante que tengamos presente que podemos operar con funciones continuas y obtener nuevas funciones continuas. Cuando escribimos “operar con funciones” nos estamos refiriendo a todo lo que hemos visto en los teoremas 10, 11 y 12. En particular, podemos afirmar que un polinomio es una función continua en cualquier número y que un cociente de polinomios es una función continua salvo en aquellos números que son raíces del denominador. Ya sabíamos derivar ese tipo de funciones y ahora sabemos que ellas son continuas. Para finalizar este capítulo nos ocuparemos de algunos teoremas que tienen una característica común: son fáciles de entender cuando se los interpreta en un dibujo y son difíciles de demostrar. 4 – TEOREMA DE BOLZANO Y TEOREMA DE DARBOUX No comenzaremos con el teorema de Bolzano ya que su demostración requiere un resultado previo que expondremos a continuación, el teorema sobre conservación del signo. Teorema 13 – Conservación del signo Sean f : D → R una función y a un número interior a D tales que f es continua en a y f(a) ≠ 0. Entonces existe algún V(a) con la siguiente propiedad: ∀ x ∈ V(a) se cumple que f(x)f(a) > 0 (o sea, f(x) y f(a) tienen el mismo signo). Demostración Supongamos, por ejemplo, f(a) > 0. El dibujo que sigue corresponde a una función que satisface la hipótesis del teorema. Allí vemos que f(a) > 0 y también que no siempre es f(x) > 0, aunque para valores de x de un cierto V(a) sí se cumple que f(x) > 0. A un hecho como éste se refiere el teorema de conservación del signo.

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Sabemos que f es continua en a y hemos supuesto que f(a) > 0. Apliquemos la

definición de continuidad con r = 02

)a(f> : existe algún V(a) tal que si x ∈ V(a)

se cumple que |f(x) – f(a)| <2

)a(f , es decir2

)a(f3)x(f2

)a(f<< .

Como 02

)a(f> resulta que f(x) > 0 ∀ x ∈ V(a).

Ejercicio 28 1) Demuestra el teorema de conservación del signo suponiendo que f(a) < 0. 2) ¿Por qué se exige en la hipótesis de ese teorema que f(a) ≠ 0? 3) ¿Por qué se exige en la hipótesis de ese teorema que f sea continua en a? Ejercicio 29 Enuncia el teorema de conservación del signo para el caso en que f es continua en a por la derecha y hazlo también para cuando f es continua en a por la izquierda. Ejercicio 30 Sea f(x) = x5 – 2x3 + x2 – 1. 1) ¿Es cierto que f(x) > 0 para valores de x próximos a 2? 2) ¿Es cierto que f(x) > 0 ∀ x? Ejercicio 31 Sea f una función continua en un número a interior a su dominio. Prueba que si

f(a) ≠ 0 entonces a es un número interior al dominio de la funciónf1 (¿adivinas

el porqué de este ejercicio?).

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Teorema 14 – Teorema de Bolzano Sea f : D → R una función continua en el intervalo cerrado [a,b] tal que f(a) < 0 y f(b) > 0. Entonces existe algún c en el intervalo abierto (a,b) tal que f(c) = 0. Demostración Aclaremos en primer lugar que la frase “f es continua en el intervalo cerrado [a, b]” significa que f es continua en cada número del intervalo abierto (a,b), en a por la derecha y en b por la izquierda. El dibujo que sigue es el de una función que satisface la hipótesis del teorema.

Los puntos A y B están en el gráfico de la función, A por debajo del eje→−

ox y B por encima. El teorema de Bolzano asegura que debe existir algún punto del gráfico de la función sobre ese eje (en nuestro caso hay tres).

Pasemos a demostrar el teorema y con ese propósito definamos un conjunto, el de aquellos números del intervalo cerrado [a,b] para los cuales la función tiene un valor negativo. A ese conjunto lo representaremos con la letra W. O sea, W = {x / x ∈ [a,b] , f(x) < 0}. W es un conjunto no vacío (ya que a ∈ W) y acotado superiormente (pues W está contenido en [a,b]). En consecuencia, W tiene supremo. Sea c el supremo de W. Probaremos que c ∈ [a,b] y que f(c) = 0 (para esto último razonaremos por el absurdo y de paso veremos que c no coincide ni con a ni con b). 1) Como a ∈ W, b es una cota superior de W y c es el supremo de W resulta

que a ≤ c ≤ b.

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2) Supongamos que f(c) < 0.

- - - - - - - - - - - + ...|... ................... ...|... ................... ...|... ................... ...|... signo de f(x)

a c c1 b Como f es continua en c por la derecha (no escribimos f es continua en c pues quizás c = a), el teorema de conservación de signo nos asegura que existe algún número c1 tal que c < c1 0.

- + + + + + + + + ...|... ................... ...|... ................... ...|... ................... ...|... signo de f(x)

a c-s c b Como f es continua en c por la izquierda (no escribimos f es continua en c pues quizás c = b), el teorema de conservación de signo nos asegura que existe algún s > 0 con la siguiente propiedad: ∀ x / c – s < x ≤ c se cumple que f(x) > 0. Tenemos pues que entre c – s y c no hay ningún elemento de W, lo cual es absurdo pues c es el supremo de W. Concluimos que f(c) ≤ 0 y que c ≠ b (pues f(b) > 0).

Todo lo anterior implica que c ∈ (a,b) y que f(c) = 0. Ejercicio 32 Enuncia y demuestra el teorema de Bolzano en el caso que f(a) > 0 y f(b) < 0. Ejercicio 33 Sea f(x) = x5 + x – 3. 1) Prueba que f tiene alguna raíz en el intervalo [1,2]. 2) Prueba que f es creciente en R y deduce que f tiene sólo una raíz. 3) Halla la raíz de f con un error menor que 0,05. Ejercicio 34 Dibuja el gráfico de una función f que cumpla con lo siguiente: no tiene raíces en el intervalo (1,3), f(1) = -2 y f(3) = 4 (no es necesario que encuentres una fórmula para la función). Ejercicio 35 Sea f una función continua en el intervalo [a,b] tal que f(a) > 0 y f no tiene raíces en el intervalo [a,b]. Determina el signo de la función en ese intervalo.

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Teorema 15 – Teorema de Darboux Sean f : D → R una función continua en el intervalo [a,b] tal que f(a) ≠ f(b) y μ un número entre f(a) y f(b). Entonces existe algún c en el intervalo (a,b) tal que f(c) = μ. Demostración Supongamos f(a) < μ < f(b) y definamos la función g así: g(x) = f(x) - μ. Esta función es continua en el intervalo [a,b] y, además, g(a) < 0 y g(b) > 0. De acuerdo con el teorema de Bolzano existe algún c en el intervalo (a,b) tal que g(c) = f(c) - μ = 0, o sea f(c) = μ. Podríamos hacer un razonamiento similar al anterior si f(b) < μ < f(a). La interpretación gráfica del teorema de Darboux es la que mostramos en el

próximo dibujo: cada recta paralela al eje→−

ox que corta al eje→−

oy en un punto cuya ordenada está entre f(a) y f(b) tiene algún punto común con el dibujo del gráfico de f (para el μ que hemos elegido hay tres de esos puntos, aunque para otros valores de μ hay dos o uno).

Ejercicio 36 Considera la función f : R → R / f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 32 (es la función de la primera parte del ejemplo 14) y el intervalo [-4,6]. 1) Prueba que f(-4) < 76 < f(6) y encuentra todos los números c ∈ (-4,6) tales

que f(c) = 76 (recuerda que f(-2) = 76). 2) Considera μ entre f(-4) y f(6). ¿Cuántos números c hay en (-4,6) tales que

f(c) = μ? (te advertimos que la respuesta depende de μ y te sugerimos que respondas atento al dibujo del gráfico de la función).

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5 – TEOREMAS DE WEIERSTRASS En el capítulo 1 estuvimos trabajando con los conceptos de conjunto acotado y de máximo y de mínimo de un conjunto. En particular, definimos el significado de las expresiones “Función acotada en un conjunto”, “Máximo de una función en un conjunto” y “Mínimo de una función en un conjunto”. Si tenemos una función y un conjunto, puede resultar complicado determinar si la función es acotada en ese conjunto o calcular el máximo y el mínimo de la función en ese conjunto (si es que existen, claro está). En el caso que la función sea continua en un intervalo cerrado, la situación mejora algo ya que es posible demostrar la existencia del máximo y del mínimo de la función en ese intervalo. En esta sección nos ocuparemos de ese caso, un ejemplo del cual aparece en el próximo dibujo.

Teorema 16 – Función acotada en un entorno Sean f : D → R una función y a un número interior a D tales que f es continua en a. Entonces existe algún V(a) en el que f es acotada. Demostración Sabemos que f es continua en a. Apliquemos la definición de continuidad con r = 1: existe algún V(a) tal que si x ∈ V(a) se cumple que |f(x) – f(a)| < 1, es decir f(a) – 1 < f(x) < f(a) + 1. Por lo tanto f es acotada en V(a). Ejercicio 37 Enuncia el teorema de función acotada en un entorno para el caso en que f es continua en a por la derecha y hazlo también para cuando f es continua en a por la izquierda.

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Teorema 17 – Primer teorema de Weierstrass Sea f : D → R una función continua en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces f es acotada en [a,b]. Demostración Con el fin de demostrar este teorema definamos un conjunto, el de aquellos números x del intervalo (a,b] para los cuales la función es acotada en el intervalo cerrado [a,x]. A ese conjunto lo representaremos con la letra W. O sea, W = {x / x ∈ (a,b] , f es acotada en [a,x] }. Nos proponemos llegar a que b está en W, con lo cual habremos terminado. 1) Como f es continua en a por la derecha, el teorema de función acotada en

un entorno nos asegura que existe algún V( +a ) en el que f es acotada. Si elegimos en V( +a ) un x0 > a resulta que f es acotada en [a,x0]. Por lo tanto x0 ∈ W. Con esto nos convencemos de que W no es vacío.

...|... ................... ...|... ................... ...|... ................... ...|...

a x0 a+s b f es acotada en V(a+) = [a,a+s)

2) W es un conjunto acotado superiormente pues está contenido en [a,b]. 3) Debido a los dos puntos anteriores tenemos que W tiene supremo. Sea c el

supremo de W. En lo que sigue probaremos que c ∈ W y que c = b. 4) Como x0 ∈ W (x0 > a), b es una cota superior de W y c es el supremo de W

resulta que a < c ≤ b. 5) Como f es continua en c por la izquierda, el teorema de función acotada en

un entorno nos lleva a afirmar que existe algún V )c( − en el que f es acotada. En ese V )c( − hay algún x1 ∈ W pues c es el supremo de W. Tenemos pues que f es acotada en [a,x1] y también en V )c( − . Por lo tanto f es acotada en [a,c]. En resumen, c ∈ W.

...|... ........................ ...|... ........................ ...|.... ........................ ...|... ........................ ...|...

a c-s x1 c b f es acotada en V(c-) = (c-s,c]

f es acotada en [a,x1] 6) Sólo nos falta probar que c = b. Aquí razonaremos por el absurdo, o sea

supondremos que c < b. Con ello tenemos que f es continua en c por la derecha y en consecuencia existe algún V(c+) en el que f es acotada. Si elegimos en V(c+) un x2 > c resulta que f es acotada en [c,x2]; también lo es en [a,c], por lo que f es acotada en [a,x2]. Llegamos pues a que x2 ∈ W, con x2 > c. Esto es absurdo pues c es el supremo de W.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

71

...|... ........................ ...|... ........................ ...|.... ........................ ...|... ........................ ...|...

a c x2 c+s b f es acotada en V(c+) = [c,c+s) f es acotada en [c,x2]

f es acotada en [a,c]

Teorema 17’ – Segundo teorema de Weierstrass Sea f : D → R una función continua en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces f tiene máximo y mínimo en [a,b]. Demostración Nos limitaremos a demostrar la existencia del máximo de f en [a,b]. De acuerdo con el teorema anterior sabemos que el conjunto {f(x) / x ∈ [a,b]} es un conjunto acotado. Por lo tanto ese conjunto tiene supremo e ínfimo. Sea S el supremo. Probaremos que existe z ∈ [a,b] tal que f(z) = S y para ello razonaremos por el absurdo. 1) Como S es el supremo del conjunto {f(x) / x ∈ [a,b]}, se cumple que f(x) ≤ S

∀ x ∈ [a,b]. Debido a que estamos suponiendo que no existe z ∈ [a,b] tal que f(z) = S, resulta que f(x) < S ∀ x ∈ [a,b].

2) Sea g : [a,b] → R / )x(fS

1)x(g−

= . Esta función es positiva y continua en

[a,b] ya que f es continua en ese intervalo y f(x) < S ∀ x ∈ [a,b]. 3) El primer teorema de Weierstrass nos asegura que g es acotada en [a,b],

es decir que 0 < g(x) < k ∀ x ∈ [a,b]. Ahora bien, k)x(fS

10 <−

< implica

quek1S)x(f −< . En consecuencia,

k1S − es una cota superior del conjunto

{f(x) / x ∈ [a,b]}. Hemos llegado a un absurdo ya que S es el supremo de

ese conjunto y k1S − < S (pues k > 0).

Concluimos que existe z ∈ [a,b] tal que f(z) = S. Ello nos muestra que S es el máximo de f en [a,b]. Ejercicio 38 Completa la demostración del segundo teorema de Weierstrass. Ejemplo 18 – Cálculo del máximo y del mínimo de una función La función f : R → R / f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 32 es continua en [-3,6] por lo que tiene máximo y mínimo en ese intervalo. Nos interesa calcular esos números.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

72

Ya sabemos cuál es el dibujo del gráfico de esta función pues la estudiamos en la primera parte del ejemplo 14 (tú seguiste trabajando con ella en el ejercicio 36). De acuerdo con ese dibujo, sólo hay cuatro valores de la función que ahora nos interesan: f(-3) = 59, f(-2) = 76, f(3) = -49 y f(6) = 140. Como 140 es el mayor de esos números y –49 el menor resulta que 140 es el máximo de f en [-3,6] y –49 es el mínimo de f en [-3,6]. Ejercicio 39 Considera nuevamente la función f : R → R / f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 32 y determina el máximo y el mínimo de f en (si es que existen): 1) [-3,0] 2) [0,2] 3) [-3,5] 4) (-3,0) 5) (0,5) 6) (1,3) 7) (-1,4) Ejercicio 40 Halla el máximo y el mínimo de cada una de las funciones que siguen en el intervalo que en cada caso te indicamos (ten en cuenta que no es necesario que estudies la concavidad de esas funciones). 1) f(x) = x + 3 en [1,5]. 2) f(x) = -2x + 8 en [-2,4]. 3) f(x) = 3x4 – 8x3 en [-1,3].

4) x4x)x(f += en [1,4].

Ejemplo 19 – La función máximo y la función mínimo Consideremos nuevamente la función f : R → R / f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 32.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

73

En el ejemplo 18 calculamos el máximo y el mínimo de f en [-3,6]. Compliquemos un poco ese ejemplo, considerando ahora el intervalo [-3,x] donde x es tal que –3 < x ≤ 6. Para cada uno de esos x podemos calcular el máximo y el mínimo de f en [-3,x], los cuales, sin duda, dependen de x. Ello nos lleva a definir dos nuevas funciones en el intervalo [-3,6]. Ellas son las siguientes:

Mf : [-3,6] → R / Mf(x) =⎩⎨⎧

≤<−−−=−

6x3si]x,3[enfdemáximo3xsi)3(f

mf : [-3,6] → R / mf(x) =⎩⎨⎧

≤<−−−=−

6x3si]x,3[enfdemínimo3xsi)3(f

A partir del dibujo del gráfico de f podemos dibujar los gráficos de Mf y de mf (como te imaginas, Mf se lee máximo de f y mf mínimo de f), teniendo en cuenta que: • f(-2) = f(5,5) = 76 (esto lo usamos para Mf).

• f(-3) = 5941539f =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − (esto lo necesitamos para mf).

Esos dibujos son los que te presentamos a continuación (el primero es el de Mf y el segundo el de mf).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

74

Resulta interesante observar que: • Mf es una función continua y “creciente” (nota que escribimos “creciente”

en vez de creciente). • mf es una función continua y “decreciente”. Ejercicio 41 Elige alguna función f del ejercicio 40 y dibuja el gráfico de Mf y el de mf. Ejercicio 42 Con una idea similar a la expuesta en el ejemplo 19 y con relación a la función de ese ejemplo se pueden definir otras dos funciones:

M*f : [-3,6] → R / M*f(x) =⎩⎨⎧

<≤−=

6x3si]6,x[enfdemáximo6xsi)6(f

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Continuidad ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

75

m*f : [-3,6] → R / m*f(x) =⎩⎨⎧

<≤−=

6x3si]6,x[enfdemínimo6xsi)6(f

1) Dibuja el gráfico de las funciones M*f y m*f e indica dos propiedades de cada una de ellas.

2) Completa las siguientes igualdades MMf = Mmf = mMf = mmf = M*Mf = M*mf = m*Mf = m*mf = MM*f = Mm*f = mM*f = mm*f = M*M*f = M*m*f = m*M*f = m*m*f =

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Derivabilidad (segunda parte) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

77

CAPITULO 5 – DERIVABILIDAD (segunda parte) 1 – INTRODUCCION Ya hemos trabajado bastante con la continuidad. Ha llegado el momento de generalizar el concepto de derivada. A eso nos dedicaremos en este capítulo, el cual destinaremos también a dos teoremas importantes que nos llevarán hacia el teorema de Lagrange (ya hemos enunciado y aplicado ese teorema, aunque nos quedó pendiente su demostración). 2 – DEFINICION DE DERIVADA Definición 14 – Función derivable en un número interior a su dominio Sean f : D → R una función y p un número interior a D. Diremos que f es derivable en p cuando existe una función α : D → R con las siguientes propiedades: • α es continua en p. • f(x) – f(p) = α(x)(x – p) ∀ x ∈ D. Al número α(p) lo llamaremos derivada de f en p y lo representaremos con el símbolo f ‘(p). Ya trabajamos con la derivada de un polinomio y la derivada de una división de polinomios. Al respecto, es importante que observemos lo siguiente: • La definición de derivada de un polinomio f en p es un caso particular de la

que acabamos de dar. La función α es el cociente de dividir f(x) – f(p) entre x –p; esa función α es continua ya que es un polinomio.

• El teorema sobre reglas de derivación sigue siendo válido (relee su demostración y recuerda lo que ya sabes sobre funciones continuas; en el caso de la composición se necesita, además, el teorema 18). Más aún, la definición sobre derivada de la división pasa a ser una nueva regla de derivación (relee el razonamiento que motivó esa definición).

• Finalmente, no reiteraremos aquí la definición de recta tangente al gráfico de una función en un punto y la definición de función derivada de una función. Sin embargo, llamamos la atención sobre un hecho importante: las funciones f y f ‘ pueden no tener el mismo dominio ya que hay funciones que no tienen derivada en algunos números de su dominio (incluso las hay que no son derivables en ningún punto de su dominio).

Ejemplo 20 – Continuidad y derivabilidad de la función raíz cuadrada En este ejemplo trabajaremos con la función f : +

0R → R / x)x(f = . El dominio de esta función es el conjunto +

0R = {x / x ≥ 0} pues los números negativos no tienen raíz cuadrada. Veremos que esta función es continua en su

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


78

dominio y que es derivable en R+ (no es posible considerar el número 0 en lo que a la derivada se refiere ya que 0 no es un número interior a +

0R ). Primera parte : Continuidad 1) En primer lugar probaremos que f es continua en 0 por la derecha.

Planteemos la inecuación |f(x) – f(0)| < r, donde r > 0. |f(x) – f(0)| < r ⇔ rx0x <=− ⇔ 0 ≤ x < r2.

Tomamos s = r2 y observamos que si 0 ≤ x < s entonces |f(x) – f(0)| < r. 2) Ahora probaremos que f es continua en cualquier a > 0.

Planteemos la inecuación |f(x) – f(a)| < r, donde r > 0.

a

ax

ax

ax

ax)ax)(ax(ax)a(f)x(f

−≤

+

−=

++−

=−=− .

araxraax

<−⇔<−

.

Tomamos s = ar y observamos que si |x-a| < s entonces |f(x) – f(a)| < r (estamos admitiendo que a – s ≥ 0; si eso no ocurriera tomaríamos s = a).

Segunda parte : Derivabilidad Demostraremos que f es derivable en cualquier p > 0 y calcularemos f ‘(p). De acuerdo con uno de los cálculos que recién hicimos, podemos escribir que

f(x) – f(p) = )px(px

1px

px−

+=

+− .

Ello nos sugiere definir la función α : +0R → R / α(x) =

px1+

. Esta función

tiene las propiedades que exige la definición de función derivable en p pues es continua en p y f(x) – f(p) = α(x)(x – p) ∀ x ∈ +

0R . Por lo tanto f es derivable en

p y f ‘(p) = α(p) = p2

1pp

1=

+.

Para finalizar presentaremos el dibujo del gráfico de la función que hemos estudiado, o sea la función f : +

0R → R / x)x(f = .

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79

Ejemplo 21 – Una función no derivable en un número Consideremos la función f : R → R / f(x) = |x|. Probaremos que esta función no es derivable en 0.

Veremos que no es posible encontrar una función α que tenga las propiedades que exige la definición de función derivable en 0. Planteemos f(x) – f(0) = α(x)(x – 0), es decir |x| = α(x)x. Esto implica que para

x ≠ 0 tenemos una única forma de definir α(x), α(x) =⎩⎨⎧

<−>

0xsi10xsi1

, lo cual da

lugar al dibujo que sigue.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


80

En ese dibujo nos falta ubicar el punto de abscisa 0 ya que aún no definimos α(0). ¿Cómo hacerlo? Podríamos elegir α(0) = 1 y tendríamos que α sería continua en 0+ pero no lo sería en 0-. Si eligiéramos α(0) = -1, α sería continua en 0- pero no lo sería en 0+. Para cualquier otro valor que elijamos de α(0), α no sería continua ni en 0+ ni en 0-. En consecuencia, es imposible hallar una función α que tenga las propiedades que exige la definición de función derivable en 0. Concluimos que f : R → R / f(x) = |x| no es derivable en 0. Sin embargo, podemos afirmar que esa función es derivable en 0 por la derecha y también en 0 por la izquierda (aún no hemos definido estos conceptos, pero confiamos en que lo que sigue alcanza para entenderlos). En efecto:

• La función β : R → R / β (x) =⎩⎨⎧

<−≥

0xsi10xsi1

es continua en 0 por la derecha

y verifica f(x) – f(0) = β(x)(x – 0) ∀ x. Tenemos pues que f es derivable en 0 por la derecha y que f ‘(0+) = β(0) = 1.

• La función γ : R → R / γ (x) =⎩⎨⎧

≤−>

0xsi10xsi1

es continua en 0 por la izquierda

y verifica f(x) – f(0) = γ (x)(x – 0) ∀ x. Tenemos pues que f es derivable en 0 por la izquierda y que f ‘(0-) = γ (0) = -1.

Ejercicio 43 Define los conceptos “f es derivable en p por la derecha” y “f es derivable en p por la izquierda”. Ejemplo 22 – La función raíz cuadrada no es derivable en 0 por la derecha Consideremos nuevamente la función f : +

0R → R / x)x(f = . Probaremos que esta función no es derivable en 0 por la derecha, o sea que no es posible hallar

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


81

una función α que tenga las siguientes propiedades: α es continua en 0 por la derecha y f(x) – f(0) = α(x)(x – 0) ∀ x ≥ 0. Planteemos f(x) – f(0) = α(x)(x – 0), es decir x = α(x)x. Esto implica que para

x > 0 tenemos una única forma de definir α(x), α(x) =x

1xx

= . El dibujo de

esta función α es el que aparece a continuación.

En ese dibujo nos falta ubicar el punto de abscisa 0 ya que aún no definimos α(0). Supongamos que logramos definir α(0) de modo que la función α resulte ser continua en 0 por la derecha. En ese caso tendríamos que existiría algún V(0+) en el que α es acotada (nos estamos acordando del teorema sobre

función acotada en un entorno), o sea que 0 < x

1 < k ∀ x / 0 < x < s. Esto

último es absurdo pues 0 < x

1 < k implica que x > 2k1 .

En resumen, es imposible hallar una función α que tenga las propiedades que exige la definición de función derivable en 0 por la derecha. Por lo tanto la función f : +

0R → R / x)x(f = no es derivable en 0 por la derecha. 3 – PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES Teorema 18 – Derivabilidad implica continuidad Sean f : D → R una función y p un número interior a D tales que f es derivable en p. Entonces f es continua en p.

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Demostración Como f es derivable en p, sabemos que existe una función α : D → R con las siguientes propiedades: • α es continua en p. • f(x) – f(p) = α(x)(x – p) ∀ x ∈ D. La igualdad anterior equivale a f(x) = f(p) + α(x)(x – p). Esto, la continuidad de α en p y las propiedades que ya conocemos de las funciones continuas nos permiten concluir que f es continua en p. Antes de seguir es importante que tengamos en cuenta que no es cierto el recíproco del teorema anterior (sobre esto nos ilustra el ejemplo 21 y también el ejemplo 22 en lo que se refiere a la derivabilidad por la derecha). Teorema 19 – El signo de f(x) – f(p) en un entorno de p Sean f : D → R una función y p un número interior a D tales que f es derivable en p. 1) Si f ‘(p) > 0 entonces existe algún V(p) tal que ∀ x ∈ V(p) se cumple: si x p es f(x) > f(p). 2) Si f ‘(p) < 0 entonces existe algún V(p) tal que ∀ x ∈ V(p) se cumple: si x f(p) y si x > p es f(x) < f(p). Demostración Sabemos que f es derivable en p. Por lo tanto existe una función α : D → R con las siguientes propiedades: • α es continua en p. • f(x) – f(p) = α(x)(x – p) ∀ x ∈ D. 1) Como α es continua en p y α(p) = f ‘(p) > 0, el teorema de conservación del

signo nos asegura que existe algún V(p) tal que ∀ x ∈ V(p) es α(x) > 0. En consecuencia: Si x ∈ V(p) y x p resulta que f(x) – f(p) > 0, o sea f(x) > f(p).

2) En este caso el razonamiento es similar al anterior. El título del teorema anterior se debe al siguiente esquema gráfico. - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + f ‘(p) > 0 ⇒ signo de f(x) – f(p) .....|..... ........................... .....|..... ........................... .....|..... p-s p p+s + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - f ‘(p) < 0 ⇒ signo de f(x) – f(p) .....|..... ........................... .....|..... ........................... .....|..... p-s p p+s

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


83

La importancia de este teorema está asociada al concepto de extremo relativo que pasamos a definir. Definición 15 – Función con extremo relativo en un número interior a su dominio Sean f : D → R una función y p un número interior a D. 1) f tiene máximo relativo en p cuando existe algún V(p) con la siguiente

propiedad: ∀ x ∈ V(p) se cumple que f(x) ≤ f(p), o sea f(x) – f(p) ≤ 0. 2) f tiene mínimo relativo en p cuando existe algún V(p) con la siguiente

propiedad: ∀ x ∈ V(p) se cumple que f(x) ≥ f(p), o sea f(x) – f(p) ≥ 0. 3) f tiene extremo relativo en p cuando tiene máximo o mínimo relativo en p. Al comparar la definición anterior con el teorema 19 deducimos que si una función f tiene extremo relativo en p, entonces la derivada de f en p no puede ser positiva ni negativa (si es que existe, claro está). Esto nos lleva al próximo teorema, cuya demostración es la que acabamos de exponer. Teorema 20 – Condición necesaria para que una función tenga extremo relativo Sean f : D → R una función y p un número interior a D tales que f tiene extremo relativo en p. Entonces f ‘(p) = 0 ó f no es derivable en p. El próximo ejemplo muestra una aplicación del teorema anterior y nos alerta sobre el error que cometeríamos si creyéramos que es cierto su recíproco. Ejemplo 23 – Determinación de los números en que una función tiene extremo relativo Sea f : R → R / f(x) = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 12x + 1. Nuestro objetivo es hallar los números p en los que esa función tiene extremo relativo. Debido a que f es derivable en cualquier p, nos preocuparemos por encontrar los p tales que f ‘(p) = 0. f ‘(x) = 12x3 –12x2 – 12x + 12 = 12(x3 – x2 – x + 1) = 12(x – 1)2(x + 1). Por lo tanto las raíces de f ‘ son p = 1 y p = -1. Estos números son los únicos en los que f puede tener extremo relativo (observa que escribimos “puede tener” en lugar de “tiene”). ¿Cómo seguimos para decidir si f tiene o no extremo relativo en alguno de esos números o en ambos? Después de todo lo que hicimos en el capítulo 3, la respuesta es clara: estudiamos el signo de f ‘(x) con el fin de saber cuándo la función es creciente y cuándo es decreciente. - - - - - - - - 0 + + + + + + + 0 + + + + + + + --------------------------|-------------------------- ---|-------------------------- signo de f ‘(x) -1 1 f es decreciente f es creciente f es creciente

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84

Concluimos que f tiene mínimo relativo en –1 y que f no tiene extremo relativo en 1. La representación gráfica de f es la que sigue (dejamos en tus manos el estudio de la concavidad de f, lo cual es innecesario en nuestro ejemplo).

Ejercicio 44 Halla los números p en los que cada una de las funciones del ejercicio 23 tiene extremo relativo y decide si estás ante un caso de máximo relativo o de mínimo relativo. Ejemplo 24 – Estudio de una función con raíces cuadradas En este capítulo hemos agregado una función al conjunto de aquéllas que sabemos derivar, la función raíz cuadrada. En este ejemplo estudiaremos una función en la que aparecen raíces cuadradas, con lo cual tendremos la oportunidad de repasar lo que vimos en el capítulo 3. Consideremos f : D → R / 4x2x1)x(f ++−= . Dominio de la función Comencemos con la determinación del conjunto D que es el dominio de f. Debido a que sólo los números no negativos tienen raíz cuadrada debemos

exigir que ⎩⎨⎧

≥+≥−

04x20x1

, o sea ⎩⎨⎧

−≥≤

2x1x

. Por lo tanto D = [-2,1].

De aquí en adelante sólo trabajaremos en ese intervalo cerrado.

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85

Continuidad de la función Es razonable que sospechemos que la función es continua en [-2,1] ya que es la suma de dos funciones en las que se combinan funciones continuas (polinomios y raíz cuadrada). Esa sospecha podemos confirmarla asÍ. • f1 : ( ∞− ,1] → R / f1(x) = 1 – x y f2 : +

0R → R / x)x(f2 = son funciones continuas en sus respectivos dominios. Por lo tanto f2 o f1 es continua en ( ∞− ,1] y (f2 o f1)(x) = x1− .

• f3 : [-2, ∞+ ) → R / f3(x) = 2x + 4 y f2 : +0R → R / x)x(f2 = son funciones

continuas en sus respectivos dominios. Tenemos pues que f2 o f3 es continua en [-2, ∞+ ) y (f2 o f3)(x) = 4x2 + .

Crecimiento y decrecimiento de la función Para el cálculo de f ‘(x) trabajaremos con x ∈ (-2,1), es decir no tomaremos en cuenta los números –2 y 1 ya que ellos no son interiores al dominio de la función, y usaremos la regla de derivación de la función compuesta.

( ) ( ) '''')4x2(

4x221)x1(

x1214x2x1)x('f +

++−

−=++−= .

4x2x12x124x2

4x21

x121

4x222

x121)x('f

+−−++−

=+

+−

−=

++

−−

= .

Nos interesa el signo de f ‘(x). Debido a que 04x2x1 >+− ∀ x ∈ (-2,1), alcanza con que estudiemos el signo de x124x2 −++− . Ello lo haremos así: 1) En primer lugar resolvemos la ecuación x124x2 −++− = 0.

0x4x2x444x2)x1(44x2x12 =⇔+=−⇔+=−⇒+=− Lo anterior nos indica que x = 0 es la única posible raíz de la ecuación. Además lo es ya que 001240 =−++− .

2) A continuación calculamos el valor de x124x2 −++− para x = -2. Obtenemos el número positivo 2 3 .

3) Finalmente calculamos el valor de x124x2 −++− para x = 1. Obtenemos el número negativo - 6 .

A esta altura tenemos lo siguiente: + 0 - |..... ......................................... ..|.. ......................................... .....| signo de x124x2 −++− -2 0 1 0 es la única raíz

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


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¿Qué ocurre si calculamos el valor de x124x2 −++− para cualquier x entre –2 y 0? Debemos obtener un número positivo ya que en caso contrario, debido al teorema de Bolzano, tendríamos otra raíz de x124x2 −++− en el intervalo (-2,0) lo cual es imposible pues 0 es la única raíz. Análogamente, el valor de x124x2 −++− es un número negativo para cualquier x entre 0 y 1. Resulta pues que podemos completar el esquema de signo anterior. + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - |..... ......................................... ..|.. ......................................... .....| signo de x124x2 −++− -2 0 1 Por lo tanto el signo de f ‘(x) es el siguiente (nota que hemos excluido los números –2 y 1). + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (..... ......................................... ..|.. ......................................... .....) signo de f ‘(x) -2 0 1 En consecuencia, f es creciente en [-2.0] y decreciente en [0,1]. Además f tiene máximo relativo en 0. Antes de pasar a estudiar la concavidad de la función debemos comentar un par de picardías que acabamos de hacer. Recién escribimos que f es creciente en [-2,0], recordando el teorema sobre condición suficiente de crecimiento de una función. Pero la hipótesis de ese teorema establecía que la función debía ser derivable en [-2,0]. En nuestro caso eso no ocurre en el número –2. Sin embargo no nos equivocamos ya que ese teorema es válido para funciones continuas en un intervalo cerrado y derivables en el respectivo intervalo abierto. Algo similar pasa con la afirmación “f es decreciente en [0,1]”. Concavidad de la función

Para calcular f ‘’(x) partimos de4x2

1x1

121

4x21

x121)x('f

++

−−=

++

−−

= .

( ) ( )4x2)4x2(

1x1)x1(

141

4x24x2

)x1(x1

21)x(''f

''

++−

−−−=

++−

+−−−

−= .

La expresión anterior de f ‘’(x) puede inquietarnos en lo que a su estudio de signo se refiere. Sin embargo, no es para tanto. En efecto, como x ∈ (-2,1) se cumple que tanto 2x + 4 como 1 – x son positivos. Por lo tanto f ‘’(x) < 0. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (..... ......................................... ......................................... .....) signo de f ‘’(x) -2 1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


87

Llegamos a que f tiene concavidad negativa en (-2,1). Es cierto también que la concavidad de f es negativa en [-2,1] pero no detallaremos el razonamiento que justifica esa afirmación. El resumen de lo que hemos hecho es el siguiente (el símbolo Mr colocado debajo del número 0 indica que f tiene máximo relativo en 0):

-2 ........................................................... 0 ........................................................... 1 f es continua f es creciente Mr f es decreciente f tiene concavidad negativa Además f(-2) = 3 , f(0) = 3 y f(1) = 6 . Todo lo anterior motiva la siguiente representación gráfica.

Finalmente, notemos que f(0) = 3 y f(-2) = 3 son, respectivamente, el máximo y el mínimo de nuestra función en su dominio. Ejercicio 45 Determina el dominio, estudia la continuidad, el crecimiento, el decrecimiento y la concavidad y dibuja el gráfico de cada una de las siguientes funciones:

xx)x(f −= x8x10x)x(f 2 +−=

x1

x1)x(f −=

x3xx)x(f ++=

Ya estamos cerca del teorema de Lagrange. Ese teorema es un corolario del teorema de Cauchy, el cual es un corolario del teorema de Rolle. Comencemos pues con éste.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


88

Teorema 21 – Teorema de Rolle Sea f : D → R una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe algún c en el intervalo abierto (a,b) tal que f ‘(c) = 0. Demostración Como f es continua en [a,b] tenemos que f tiene máximo y mínimo en [a,b]. Sean M el máximo de f en [a,b] y m el mínimo de f en [a,b]. Distinguiremos dos casos en la demostración: M = m y M > m. 1) En el caso que M = m resulta que f es constante en [a,b] y en consecuencia

f ‘(x) = 0 ∀ x ∈ (a,b). 2) Consideremos ahora el caso M > m.

Debido a que f(a) = f(b), al menos uno de los números M y m no coincide con f(a). Supongamos, por ejemplo, que M ≠ f(a). Entonces existe algún c en (a,b) tal que f(c) = M. Como f(x) ≤ M = f(c) ∀ x ∈ [a,b] resulta que existe algún V(c) con la siguiente propiedad: ∀ x ∈ V(c) se cumple que f(x) ≤ f(c). Esto significa que f tiene máximo relativo en c. Como además f es derivable en c concluimos, gracias al teorema 20, que f ‘(c) = 0. ....|.... ........................ ....|.... ........................ ....|.... ........................ ....|.... ........................ ....|....

a c-s c c+s b f(x) ≤ f(c) ∀ x ∈ [a,b]

f(x) ≤ f(c) ∀ x ∈ V(c) f tiene máximo relativo en c

En el próximo dibujo presentamos una interpretación gráfica del teorema de Rolle. Los puntos A = (a,f(a)) y B = (b,f(b) determinan una recta paralela al eje

→−

ox , o sea una recta con coeficiente angular 0. Hay dos puntos en el dibujo del gráfico de f en los cuales las respectivas rectas tangentes a ese gráfico

también son paralelas al eje→−

ox . Se trata de los puntos C y D correspondientes a los dos números c tales que f ‘(c) = 0.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


89

Teorema 22 – Teorema de Cauchy Sean f : D → R y g : E → R funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b], derivables en el intervalo abierto (a,b) y tales que g(a) ≠ g(b). Entonces existe algún c en el intervalo abierto (a,b) tal que (f(b) – f(a))g ‘(c) = (g(b) – g(a))f ‘(c). Demostración Consideremos la función h definida así: h(x) = f(x) - λg(x) y determinemos el número λ de modo que h(a) = h(b), teniendo en cuenta que g(a) ≠ g(b).

h(a) = h(b) ⇔ f(a) - λg(a) = f(b) - λg(b) ⇔ λ =)a(g)b(g)a(f)b(f

−− .

Esta función h es continua en [a,b] y derivable en (a,b) pues f y g lo son. Por lo tanto verifica la hipótesis del teorema de Rolle. Existe, entonces, algún c en el intervalo abierto (a,b) tal que h ‘(c) = f ‘(c) - λg ‘(c) = 0, o sea f ‘(c) = λg ‘(c). Como

λ =)a(g)b(g)a(f)b(f

−− , concluimos que (f(b) – f(a))g ‘(c) = (g(b) – g(a))f ‘(c).

Teorema 23 – Teorema de Lagrange Sea f : D → R una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Entonces existe algún c en el intervalo abierto (a,b) tal que f(b) – f(a) = (b – a) f ‘(c). Demostración Consideremos la función g definida así g(x) = x, la cual es continua, derivable y tal que g(b) = b ≠ g(a) = a (pues b > a) y g ‘(x) = 1.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


90

Al aplicar el teorema de Cauchy a la función f del teorema de Lagrange y a la función g que acabamos de definir, resulta que existe algún c ∈ (a,b) tal que (f(b) – f(a))g ‘(c) = (g(b) – g(a))f ‘(c), o sea f(b) – f(a) = (b – a) f ‘(c). Y para finalizar con el teorema de Lagrange corresponde que hagamos un comentario: cuando lo enunciamos en el capítulo 3 exigimos que la función fuera derivable en el intervalo cerrado [a,b] y adelantamos que podíamos ser menos exigentes. Pues bien, eso lo hemos logrado aquí ya que la derivabilidad la restringimos al intervalo abierto (a,b). Debemos reconocer, sin embargo, que ahora exigimos la continuidad de la función en el intervalo cerrado [a,b] (en realidad, estamos sustituyendo la derivabilidad de f en a y en b por la continuidad de f en a por la derecha y en b por la izquierda). Una de las consecuencias de lo anterior es que pueden modificarse los enunciados de los teoremas sobre “Condición suficiente de crecimiento de una función” y “Condición suficiente de decrecimiento de una función”, tal como lo anticipamos en el ejemplo 24 (estudio de una función con raíces cuadradas). Terminaremos este capítulo con un teorema que nos será útil más adelante. A modo de introducción a ese teorema, es importante que nos detengamos en la situación siguiente: la función f(x) = x2 verifica f ‘(x) = 2x pero no es la única cuya derivada es 2x ya que ello es cierto también, por ejemplo, para las funciones g(x) = x2 +1 y h(x) = x2 – 3. En realidad, todas las funciones definidas mediante x2 + k (donde k es un número) tienen derivada 2x. Ahora bien, ¿habrá otras funciones con esa propiedad?. Veremos enseguida que la respuesta a esa pregunta es “No”. Teorema 24 – Igualdad de derivadas Sean f : D → R y g : E → R funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b], derivables en el intervalo abierto (a,b) y tales que f ‘(x) = g ‘(x) ∀ x ∈ (a,b). Entonces existe un número k tal que f(x) = g(x) + k ∀ x ∈ [a,b]. Demostración Consideremos la función h definida así: h(x) = f(x) - g(x). Debemos probar que esta función es constante en el intervalo [a,b]. Para ello tomemos z tal que a < z ≤ b y apliquemos el teorema de Lagrange a la función h en el intervalo [a,z]. Resulta que existe algún c en el intervalo abierto (a,z) tal que h(z) – h(a) = (z – a)h ‘(c). Como h ‘(c) = 0 tenemos que h(z) = h(a). En resumen, para cualquier z tal que a < z ≤ b resulta que h(z) = h(a), o sea h es constante en el intervalo [a,b].

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ La función logaritmo ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

91

CAPITULO 6 – LA FUNCION LOGARITMO 1 – INTRODUCCION En este capítulo nos proponemos agregar otra función a las que hasta el momento han acaparado nuestra atención, la función logaritmo. A partir de ella construiremos más adelante otras que ampliarán en forma importante nuestro campo de acción. El concepto de logaritmo no es nuevo para ti. Quizás te sorprendas algo ante la igualdad 38log2 = (el logaritmo de 8 en base 2 es 3) pero un pequeño esfuerzo te hará recordar que ella significa simplemente que 23 = 8 y que el logaritmo está vinculado con la potencia. No podemos definir calogb = mediante abc = pues aún no sabemos el significado de cb (potencia de base b y exponente c), donde b y c son números reales. Es razonable que nos quedemos perplejos ante símbolos como π3 ó

7

52

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , aunque cualquier calculadora científica nos informe que 54,313π ≅ y

09,052 7

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Nuestro punto de partida será un logaritmo (el logaritmo neperiano) y con él llegaremos al concepto de potencia de base y exponente reales. Para definir ese logaritmo nos apoyaremos en ideas y resultados que ya conocemos. Si nos preguntan por una función f que cumpla f ‘(x) = x2 ∀ x, no demoramos en

contestar 3x31)x(f = (también podríamos decir, por ejemplo, 8x

31)x(f 3 += ). Se

nos complica algo el problema si el dato fuera 2x1)x('f = ∀ x > 0, aunque con

algo más de esfuerzo contestaríamos, por ejemplo,x1)x(f −= . Ahora bien, ¿qué

diríamos ante x1)x('f = ∀ x > 0? Lo más prudente sería el silencio o, con afán

indagatorio, responder al que nos plantea el problema: “Si me ayudas con una f(x) puedo darte todas las otras ya que conozco el teorema sobre igualdad de derivadas”.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


92

2 – LA FUNCION LOGARITMO Definición 16 – La función logaritmo Llamaremos función logaritmo a la función L : R+ → R que tiene las siguientes dos propiedades:

• x1)x('L = ∀ x > 0.

• L(1) = 0. En la definición anterior estamos suponiendo que existe alguna función con las propiedades que allí enunciamos. Si ello es cierto (lo es, pero aún no estamos en condiciones de demostrarlo), el teorema sobre igualdad de derivadas nos permite afirmar que esta función es única. Teorema 25 – Propiedades de la función logaritmo La función L : R+ → R tiene las siguientes propiedades: 1) L(ab) = L(a) + L(b) ∀ a, b ∈ R+.

2) )b(Lb1L −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∀ b ∈ R+.

3) )b(L)a(LbaL −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∀ a, b ∈ R+.

4) L(a n) = n L(a) ∀ a ∈ R+ y ∀ n = 1, 2, 3, ... 5) Para cada d ∈ R existe un único c ∈ R+ tal que L(c) = d. Demostración 1) Consideremos la función g : R+ → R / g(x) = L(ax).

Como x1a

ax1)ax(

ax1)x('g ' === , tenemos que las funciones L y g verifican

L ‘(x) = g ‘(x) ∀ x > 0. Por lo tanto g(x) = L(x) + k ∀ x > 0. En particular, si tomamos x = 1 nos queda g(1) = L(1) + k, o sea L(a) = k. Concluimos pues que L(ax) = L(x) + L(a) ∀ x > 0. Si aquí sustituimos x por b nos queda L(ab) = L(b) + L(a).

2) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

b1L)b(L

b1bL)1(L0 . Por lo tanto )b(L

b1L −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

3) )b(L)a(Lb1L)a(L

b1aL

baL −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

4) Para justificar esta propiedad usaremos el método de demostración de “inducción completa”.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


93

Primer paso

La propiedad es cierta para n =1. En efecto, L(a 1) = L(a) = 1 L(a).

Segundo paso H ) L(a n) = n L(a) T ) L(a n+1) = (n + 1) L(a) Demostración L(a n+1) = L(aa n) = L(a) + L(a n). L(a n+1) = L(a) + n L(a). L(a n+1) = (n + 1) L(a).

5) En la demostración de esta propiedad distinguiremos tres casos. Caso 1 : d > 0

La función L es creciente en R+ ya que .0x0x1)x(L' >∀>= Debido a ello

tenemos que L(2) > L(1) = 0. Planteemos ahora la inecuación L(2n) > d, cuya incógnita es el número

natural n. Como L(2n) = nL(2), nos queda nL(2) >d, o sea n >)2(L

d . Al elegir

un n que satisfaga lo anterior, por ejemplo p = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

)2(LdE1 , tenemos que

L(2p) > d. Consideremos ahora el intervalo cerrado [1,2p]. En ese intervalo la función L es continua (ya que es derivable) y, además, L(1) < d < L(2p). Debido al teorema de Darboux resulta que existe algún c en el intervalo (1,2p) tal que L(c) = d. Además ese c es único pues L es una función creciente en R+. Caso 2 : d = 0 En este caso nuestro razonamiento es simple. Sabemos que L(1) = 0 y que la función L es creciente en R+. Por lo tanto L(c) = 0 sólo si c = 1. Caso 3 : d < 0 Consideremos d1 = -d > 0. Por lo que vimos en el primer caso podemos asegurar que existe c1 tal que L(c1) = d1. Atentos a la segunda propiedad de

la función logaritmo tenemos que dd)c(Lc1L 11

1

=−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. En resumen,

para 1c

1c = se cumple que L(c) = d. Ese c es único ya que L es una función

creciente en R+. Definición 17 – El número e Al único número cuyo logaritmo vale 1 lo representaremos con la letra e. O sea que e es el número que cumple L(e) = 1. Ejemplo 25 – Estudio de cuatro funciones con logaritmos Primera parte : La función L : R+ → R

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


94

Ya sabemos que esta función es continua y creciente en R+ (pues su derivada

es positiva) y que L(1) = 0. Como además 0x1

x1)x(''L 2

'

<−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∀ x > 0,

resulta que tiene concavidad negativa. La computadora nos muestra el siguiente dibujo del gráfico de la función logaritmo.

La representación gráfica anterior es bastante sorprendente. Si le pedimos ayuda a una calculadora científica obtenemos valores como los que siguen: L(0,001) ≅ -6.91, L(0,01) ≅ -4,61 y L(10.000) ≅ 9,21. Sabemos que la ecuación L(c) = d tiene una única raíz para cada real d pero nos cuesta apreciar eso en el dibujo. Si recurrimos nuevamente a la calculadora, ella nos informa que la

raíz de L(c) = -100 es c ≅ 441072,3 y la de L(c) = 200 es c ≅ 7,23x1086, pero se

confiesa impotente para ayudarnos con la ecuación L(c) = 240 (todo ello es sin duda asombroso).

Segunda parte : La función f : R* → R / f(x) = L(|x|) =⎩⎨⎧

<−>

0xsi)x(L0xsi)x(L

En el dominio de esta función incluimos los números negativos pues en ellos podemos calcular el valor de la función. En efecto, si x < 0 es -x > 0 y por lo tanto tiene sentido L(-x). En lo que se refiere al crecimiento, decrecimiento y concavidad notemos que:

• Si x > 0 entonces ( ) 0x1)x(L)x(f '' >== .

• Si x < 0 entonces ( ) 0x1)1(

x1)x(

x1)x(L)x(f ''' <=−

−=−

−=−= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


95

• Si x ≠ 0 entonces .0x1

x1)x(f 2

''' <−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

En resumen, tenemos que: ........................................................................ 0 ........................................................................

f es continua ∉ R* f es continua f es decreciente ∉ R* f es creciente

f tiene concavidad negativa ∉ R* f tiene concavidad negativa La representación gráfica de la función f es la que sigue (es interesante que

notes la simetría del dibujo respecto al eje →−

oy , la cual es consecuencia de que f(-x) = f(x) ∀ x ≠ 0).

Tercera parte : La función g : R+ → R / g(x) = x – L(x) El cálculo de g ‘(x) y de g ‘’(x) y el estudio de los respectivos signos nos lleva a los siguientes resultados:

∉ R+ - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + ....|.... ........................................ .....|...................................... x

1xx11)x(g ' −

=−= 0 1

∉ R+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ....|.... ........................................ ........... .................................

2

'''

x1

x11)x(g =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

0 Por lo tanto tenemos que (el símbolo mr colocado debajo del número 1 indica que g tiene mínimo relativo en 1):

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


96

0 ................................................................ 1 ................................................................ ∉ R+ g es continua ∉ R+ g es decreciente mr g es creciente ∉ R+ g tiene concavidad positiva

Notemos finalmente que g(1) = 1 – L(1) = 1 es el menor valor de la función g, o sea que g(x) = x – L(x) ≥ 1 ∀ x > 0 y, en consecuencia, L(x) ≤ x – 1 ∀ x > 0. Dos casos particulares de la última desigualdad nos serán útiles: • Para x = 2 resulta que L(2) ≤ 1.

• Para x =21 tenemos que

21

21L −≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ , o sea ( )

212L −≤− . Por lo tanto ( )

212L ≥

y L(4) = L(22) = 2L(2) ≥ 1. De lo anterior se deduce que L(2) ≤ 1 ≤ L(4), o sea que L(2) ≤ L(e) ≤ L(4). Por lo tanto e está entre 2 y 4 (en realidad, e ≅ 2,71828).

Cuarta parte : La función h : D → R / 10x4x51xL3)x(h +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=

Dominio de la función Para determinar el conjunto D, dominio de la función h, tenemos en cuenta que sólo podemos considerar el logaritmo de un número positivo. Exigimos pues

que 0x51x

>−− , lo cual equivale a 1 < x < 5. En consecuencia, D = (1,5). De aquí

en adelante sólo trabajaremos en ese intervalo abierto.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


97

Continuidad de la función La función h es continua en (1,5) pues está definida a partir de funciones continuas. En la breve frase anterior hay implícitos varios razonamientos que no detallaremos (puede ser útil que releas el ejemplo 24). Crecimiento y decrecimiento de la función Antes de calcular h ‘(x) es útil, para trabajar lo menos posible, que anotemos lo

siguiente: 10x4)x5(L3)1x(L310x4x51xL3)x(h +−−−−=+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

= .

4x5

31x

34)x5(x5

13)1x(1x

13)x(h ''' −−

+−

=−−−

−−−

= .

)x5)(1x()8x6x(4

)x5)(1x(32x24x4

)x5)(1x()x5)(1x(4)1x(3)x5(3)x(h

22'

−−+−

=−−+−

=−−

−−−−+−= .

Con ese resultado resulta fácil determinar el signo de h ‘(x). ∉ D + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + ∉ D ...(... ............................. ...|... ............................. ...|... ............................. ...)... signo de h ‘(x)

1 2 4 5 Por lo tanto h es creciente en (1,2] y en [4,5) y decreciente en [2,4]. Además h tiene máximo relativo en 2 y mínimo relativo en 4. Concavidad de la función

Con el fin de calcular h ‘’(x) partimos de 4x5

31x

3)x(h ' −−

+−

= .

22222

'

2

'''

)x5()1x()3x(24

)x5(3

)1x(3

)x5()x5(3

)1x()1x(3)x(h

−−−

=−

+−−

=−−−

+−−−

= .

∉ D - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + ∉ D

....(.... ......................................... ....|.... ......................................... ....).... signo de h ‘’(x) 1 3 5

Llegamos a que h tiene concavidad negativa en (1,3] y concavidad positiva en [3.5). En resumen, obtuvimos lo que sigue.

1 .............................. 2 .............................. 3 .............................. 4 .............................. 5 ∉ D h es continua ∉ D ∉ D h es creciente Mr h es decreciente mr h es creciente ∉ D ∉ D h tiene concavidad negativa h tiene concavidad positiva ∉ D

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


98

Además h(2) = 3L(1) – 3L(3) + 2 = -3L(3) + 2 ≅ -1,30 , h(4) = 3L(3) – 6 ≅ -2,70 y h(3) = -2. Todo lo anterior da lugar a la siguiente representación gráfica (de ella se deduce que la función h tiene sólo una raíz que se encuentra “próxima” a 5).

Ejercicio 46

1) Ten en cuenta que x)x( 2 = y deduce que )x(L21)x(L = ∀ x > 0.

2) Comprueba las siguientes igualdades (x > 0, y > 0):

)2(L)15(L)10(L)6(L =−+ )5,1(L5,1)3(L)2(L)4(L)9(L =−+−

)xy(L21

xy

LyxL)y(L)x(L =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

2)y(L)x(L5

xy

LyxL)y(L)x(L −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

2)x(L)y(L5

xy

LyxL)y(L)x(L −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ )xy(L

23

xy

LyxL)y(L)x(L =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

2)y(L3)x(L

xy

LyxL)y(L)x(L −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

yxL

25

xy

LyxL)y(L)x(L

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

xyL

21

xy

LyxL)y(L)x(L

2)y(L)x(L3

xy

LyxL)y(L)x(L −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Ejercicio 47 Determina el dominio, estudia la continuidad, el crecimiento, el decrecimiento y la concavidad y dibuja el gráfico de cada una de las siguientes funciones:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


99

2x21)x(L)x(f −= ( )2)x(L)x(L2)x(f −=

)x(Lx)x(f −= )2x(L4)1x(L)x(f +−+= Ejemplo 26 – Cálculo de logaritmos En este ejemplo desarrollaremos un procedimiento para calcular valores aproximados del logaritmo de un número positivo. En la práctica es más rápido usar una calculadora científica (allí suele aparecer la tecla mágica ln, que se lee logaritmo neperiano y que se refiere a nuestro logaritmo), aunque resulta interesante poder competir con ella (no en rapidez, claro está). Primera etapa : Relación entre un logaritmo y un polinomio Comenzaremos con una aplicación del teorema de Lagrange. En ese teorema participan una función f y un intervalo cerrado [a,b]. Nosotros tomaremos la función y el intervalo que aparecen a continuación (nota que la función es la diferencia entre un logaritmo y un polinomio).

• f : (-1,1) → R / ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=+

1n2x...

5x

3xx2

x1x1L)x(f

1n253

, donde n es un

número natural. El dominio de esta función es el intervalo abierto (-1,1) ya

que 0x1x1

>−+

⇔ x ∈ (-1,1).

• [a,b] = [0,b], donde b es un número positivo menor que 1 (0 < b < 1). Ese intervalo está contenido en (-1,1).

La función f es continua en [0,b] y derivable en (0,b). Entonces existe algún c en el intervalo abierto (0,b) tal que f(b) – f(0) = b f ‘(c). Debido a que en nuestro caso es f(0) = 0, resulta que f(b) = b f ‘(c) para algún c ∈ (0,b).

Calcularemos la derivada de f atentos a que )x1(L)x1(Lx1x1L −−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ .

)x...xx1(2x1

2)x...xx1(2x1

1x1

1)x(f n2422

n242' ++++−−

=++++−−

++

= .

2

2n2

2

n2422'

x1x2

x1)x...xx1()x1(22)x(f

−=

−++++−−

=+

.

Ya sabíamos que f(b) = b f ‘(c) para algún c ∈ (0,b). Por lo tanto tenemos que ( )

2

1n2

2

2n21n253

c1cb2

c1bc2

1n2b...

5b

3bb2

b1b1L)b(f

−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=+++

, con c ∈ (0,b).

A esta altura es interesante que notemos que si elegimos para trabajar el intervalo [b,0], donde b es un número negativo mayor que –1 (-1 < b < 0), obtenemos el mismo resultado salvo que ahora c ∈ (b,0).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


100

En resumen, hemos llegado a que para cada b tal que –1 < b < 1 existe algún c

tal que 0 < c2 < b2 y ( )2

1n21n253

c1cb2

1n2b...

5b

3bb2

b1b1L

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ ++

.

Segunda etapa : Acotación de la diferencia entre el logaritmo y el polinomio de la primera etapa Continuaremos nuestro trabajo con la determinación de un máximo y de un

mínimo, los de la función g / x1

x)x(g1n

−=

+

en el intervalo cerrado [0,k], donde k

es un número positivo menor que 1 (0 < k < 1). Esa función es derivable en el intervalo que hemos elegido pues la raíz de 1 – x es el número 1 que no está en ese intervalo.

Como 2

1nn'

)x1(x)x1(x)1n()x(g

−+−+

=+

, resulta fácil determinar el signo de g ‘(x) en

el intervalo [0,k] (nota que allí se cumple que 0 ≤ x < 1).

0 + + + + + + + + + + + + ......|...... ................................... ......|...... ................................... ......)...... signo de g ‘(x)

0 k 1 Por lo tanto g es creciente en el intervalo cerrado [0,k] y el máximo y el mínimo

de g en ese intervalo son, respectivamente,k1

k)k(g1n

−=

+

y g(0) = 0.

Ya vimos que ( )2

1n21n253

c1cb2

1n2b...

5b

3bb2

b1b1L

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

++

con 0 < c2 < b2,

donde b es un número tal que –1 < b < 1. Si además tenemos en cuenta lo que recién aprendimos sobre la función g, podemos afirmar que si b ≠ 0 se cumple

que g(0) < g(c2) < g(b2), o sea ( ) ( )2

1n2

2

1n2

b1b

c1c0

−<

−<

++

.

Resulta pues que cualquiera sea el número b tal que –1 < b < 1 y b ≠ 0 se verifica la siguiente desigualdad:

( )2

3n2

2

1n21n253

b1|b|2

b1b|b|2

1n2b...

5b

3bb2

b1b1L

−=

−<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ +++

.

Tercera etapa : Síntesis de las dos etapas anteriores Podemos resumir todo lo que hemos hecho hasta el momento en este ejemplo de la siguiente manera:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


101

• Para calcular ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

b1b1L , donde b es un número en el intervalo abierto (-1,1)

usamos la aproximación ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++++≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ +

1n2b...

5b

3bb2

b1b1L

1n253

.

• El error que cometemos al usar la aproximación anterior, o sea el valor absoluto de la diferencia entre los dos números que allí aparecen, es menor

que 2

3n2

b1|b|2

−

+

si b ≠ 0 (en el caso que b = 0, la aproximación se convierte en

igualdad ya que nos queda 0 = 0). Cuarta etapa : Valores aproximados de un logaritmo Terminaremos este ejemplo calculando algunos valores aproximados de L(2).

Con ese fin, empezaremos determinando b de modo que 2b1b1

=−+ . Al resolver

esa ecuación obtenemos b =31 . Por lo tanto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+≅

+1n253

31

1n21...

31

51

31

31

312)2(L .

El error en esa aproximación es menor que 3n2

2

3n2

31

49

311

312 +

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

.

Concretaremos esos resultados para algunos valores del número natural n. n Valor aproximado de L(2) Error menor que

0 ...66666,032

312 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ...08333,0

121

31

49 3

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 ...69135,0

8156

31

31

312

3

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ ...00925,0

1081

31

49 5

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2 ...69300,0

1215842

31

51

31

31

312

53

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ ...00102,0

9721

31

49 7

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3 ...69313,0

7654553056

31

71

31

51

31

31

312

753

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ ...00011,0

87481

31

49 9

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

L(2) ≅ 0,69314718 según una calculadora científica

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


102

Ejercicio 48 Utiliza el ejemplo anterior para calcular L(3) con error menor que 0,005, compara el resultado que obtengas con el que da una calculadora científica y deduce que 3 > e. Ejercicio 49

1) Prueba que para cada z > 0 existe un b tal que –1 < b < 1 y zb1b1

=−+ .

2) ¿Qué importancia tiene el resultado anterior?

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

103

CAPITULO 7 – FUNCION INVERSA 1 – INTRODUCCION En la introducción del capítulo anterior habíamos adelantado que con ayuda del logaritmo íbamos a llegar al concepto de potencia de base y exponente reales. Ya hemos trabajado bastante con la función logaritmo pero sólo eso no es suficiente. El camino que hemos elegido requiere que pasemos por la definición y algunas propiedades de la función inversa. A ello nos dedicaremos aquí. 2 – DEFINICION DE FUNCION INVERSA Ya sabemos que si f es una función de dominio A y codominio B, para cada elemento a de A existe un único elemento b en B tal que b = f(a). Ese es el concepto de función. Ahora bien, atentos a lo anterior, podemos plantearnos preguntas como las que siguen: • ¿Puede ocurrir que haya elementos distintos de A en los que la función

tenga el mismo valor, o sea que existan a1 y a2 en A, con a1 ≠ a2, tales que f(a1) = f(a2)?

• ¿Puede ocurrir que haya algún elemento de B que no coincida con ningún valor de la función, o sea que exista b en B tal que b ≠ f(a) ∀ a ∈ A?

La respuesta a ambas preguntas es afirmativa. El que ocurra ninguno, sólo uno o ambos de los hechos anteriores depende de la función que consideremos. Los cuatro sencillos ejemplos que presentamos a continuación nos ilustran acerca de las distintas situaciones que se nos pueden presentar.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

104

En este capítulo sólo nos ocuparemos de funciones como la del cuarto ejemplo. Es importante, por lo tanto, que expliquemos cuál es la diferencia que nos interesa destacar entre ese ejemplo y los tres primeros. La idea es sencilla: en el cuarto ejemplo podemos construir otra función, intercambiando el dominio y el codominio e invirtiendo el sentido de la correspondencia. Ello no es posible en los otros ejemplos pues en el primero el número 1 tendría dos imágenes, en el segundo ocurriría lo mismo y además el número 3 no tendría imagen y en el tercero el número 4 no tendría imagen. Para resumir lo anterior diremos que la función del cuarto ejemplo es invertible y que las tres restantes no lo son. También diremos que la función construida a partir de la del cuarto ejemplo, con el criterio que recién expusimos, es la función inversa de esa función.

El esquema anterior da lugar a ciertos resultados generales que vale recordar (si f es la función invertible, usaremos el símbolo f –1 para su inversa).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

105

1) El dominio y el codominio de f son, respectivamente, el codominio y el dominio de f –1.

2) El significado de las igualdades f(u) = 1, f(v) = 3 y f(w) = 2 es el mismo que el de f –1(1) = u, f –1(3) = v y f –1(2) = w. O sea, f(a) = b ⇔ f –1(b) = a.

3) (f –1) -1 = f. 4) f –1 o f es una función de A en A tal que (f –1 o f)(a) = a ∀ a ∈ A. 5) f o f –1 es una función de B en B tal que (f o f –1)(b) = b ∀ b ∈ B. Definición 18 – Función invertible. Función inversa de una función 1) Sea f : A → B una función. Diremos que f es invertible cuando para cada b

en B existe un único a en A tal que f(a) = b. 2) Sea f : A → B una función invertible. Llamaremos función inversa de f a la

función f -1 : B → A tal que f –1(b) = a, donde f(a) = b. En los ejemplos que daremos de funciones invertibles, sólo consideraremos funciones cuyos dominios y codominios son conjuntos de números reales. Al limitar nuestra atención a esas funciones, nos encontramos con un hecho que merece ser comentado. Si f : A → B es una función invertible, donde A y B son subconjuntos de R, y f(a) = b tenemos que el punto P = (a,b) está en el gráfico de f y que Q = (b,a) está en el gráfico de f -1. Esos puntos son simétricos respecto a la recta de ecuación y = x, razón por la cual la representación gráfica de f -1 se obtiene de la de f simetrizando esta última respecto a dicha recta (suponemos, claro está, que elegimos la misma unidad en ambos ejes).

Ejemplo 27 – Ejemplos de funciones invertibles Primera parte : La función f : R → R / f(x) = 2x + 3 Probaremos que esta función es invertible y determinaremos su inversa.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

106

Notemos, en primer lugar, que tanto el dominio como el codominio de f son el conjunto de todos los números reales. De acuerdo con la definición de función invertible, consideremos b ∈ R (R es el codominio de f) y probemos que existe un único a ∈ R (R es el dominio de f) tal que f(a) = b. Como f(a) = 2a + 3, planteamos la ecuación 2a + 3 = b, la cual

tiene sólo una raíz que es )3b(21a −= . En consecuencia, f es invertible.

Para hallar la fórmula correspondiente a f -1 recordemos que escribir f(a) = b es

lo mismo que escribir f -1(b) = a. Recién vimos que f(a) = b ⇔ )3b(21a −= . Por

lo tanto concluimos que f -1 : R → R y )3x(21)x(f 1 −=− .

Las representaciones gráficas de f y de f –1 (dos rectas) aparecen en el próximo dibujo.

Segunda parte : La función f : R* → R* / x1)x(f = , donde R* = R – {0}

Consideremos b ∈ R* (el codominio de f) y planteemos la ecuación f(a) = b, con

a ∈ R* (el dominio de f), o sea ba1

= . Esa ecuación tiene una única raíz que es

a1b = . Por lo tanto f es invertible y f -1 : R* → R* es tal que

x1)x(f 1 =− . Llegamos

pues a que f -1 = f.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

107

Tercera parte : La función f : R → R / f(x) = x3 Para b ∈ R planteemos la ecuación f(a) = b, con a ∈ R, o sea a3 = b. Esa ecuación tiene como única raíz 3 ba = . En consecuencia, f es invertible y f -1 : R → R es tal que 31 x)x(f =− .

Cuarta parte : La función f : R → R / f(x) = x2 Para b ∈ R consideremos la ecuación f(a) = b, con a ∈ R, o sea a2 = b. En este caso la situación se nos complica. En efecto, la ecuación a2 = b no tiene raíz cuando b < 0, tiene una raíz cuando b = 0 y dos raíces cuando b > 0. Por lo tanto esta función no es invertible. Sin embargo, podemos ingeniarnos para construir, a partir de ella, otra función que sí sea invertible. La idea es cambiar

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

108

el dominio y el codominio de la función de modo que la ecuación a2 = b tenga sólo una raíz. Con ese fin definamos f : +

0R → +0R / f(x) = x2, donde +

0R es el conjunto de los números reales mayores o iguales que cero. Hecho ese cambio, tenemos que para cada b ∈ +

0R existe un único a ∈ +0R tal que a2 = b;

ese a es b . Resulta pues que la función inversa de f : +0R → +

0R / f(x) = x2 es la función f -1 : +

0R → +0R / f -1(x) = x .

Quinta parte : La función f : D → R / x1x1)x(f

−+

= , donde D = R – {1}.

Consideremos b ∈ R y planteemos la ecuación f(a) = b, con a ∈ D.

ba1a1

=−+ ⇔ baba1 −=+ ⇔ 1ba)b1( −=+ . Esta última ecuación no tiene raíz

si b = -1 y tiene sólo una raíz si b ≠ -1, la cual es 1b1ba

+−

= (ese a está en D ya

que no es 1). Por lo tanto esta función no es invertible, aunque un pequeño cambio en su codominio la transforma en invertible. Si tomamos E = R – { -1},

resulta que la inversa de f : D → E / x1x1)x(f

−+

= es f -1 : E → D / 1x1x)x(f 1

+−

=− .

En este caso la representación gráfica de esas funciones es más complicada.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

109

Sexta parte : La función f : R → R / f(x) = x5 + 2x Al igual que en las partes anteriores, consideremos para cada b ∈ R (R es el codominio de f) la ecuación f(a) = b, con a ∈ R (R es el dominio de f). Tenemos la ecuación a5 + 2a = b, en la cual no podemos despejar a según b. Sin embargo, podemos demostrar que esa inquietante ecuación tiene sólo una raíz. En efecto: • Como f ‘(x) = 5x4 + 2 > 0 ∀ x, resulta que f es creciente en R. Por lo tanto, si

la ecuación f(a) = b tiene alguna raíz, ella es única. • Si b = 0, la ecuación f(a) = 0 tiene raíz a = 0 pues f(0) = 0. • Si b > 0 notemos que f(b) = b5 + 2b > b y, en consecuencia, f(0) < b < f(b).

Como, además, f es continua en el intervalo [0,b] el teorema de Darboux nos asegura que existe algún c en el intervalo (0,b) tal que f(c) = b. Por lo tanto la ecuación f(a) = b tiene raíz a = c.

• Si b < 0 es f(b) = b5 + 2b < b y, en consecuencia, f(b) < b < f(0). Como, además, f es continua en el intervalo [b,0] el teorema de Darboux nos asegura que existe algún d en el intervalo (b,0) tal que f(d) = b. Por lo tanto la ecuación f(a) = b tiene raíz a = d.

Todo lo anterior nos convence de que f es invertible. No podemos dar una fórmula con la cual calcular f -1(x) pero sí podemos representar gráficamente la función f -1 (pues no tenemos dificultades para representar gráficamente la función f). Es la primera vez que ocurre una cosa así y, sin duda, se justifica que recordemos un hecho tan notable.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

110

Ejercicio 50 En cada uno de los siguientes casos estudia si la función es invertible y cuando ello no ocurra, procura modificar su dominio o su codominio de modo que sea invertible. Dibuja el gráfico de la función y el de la inversa. 1) f : R → R / f(x) = 3 – x. 2) f : −

0R → +0R / f(x) = x2, donde −

0R = {x / x ≤ 0} y +0R = {x / x ≥0}.

3) f : R → R / f(x) = x2 + 2x. 4) f : R → R / f(x) = x3 + 3x. 5) f : [-2,2] → R / 2x4)x(f −= . 3 – TEOREMAS SOBRE LA FUNCION INVERSA Terminaremos este capítulo con dos teoremas sobre la función inversa. El primero de ellos nos será de suma utilidad en el próximo capítulo. Teorema 26 – Un teorema sobre función inversa Sea f : R+ → R una función invertible tal que f ‘(x) > 0 ∀ x ∈ R+. Entonces la función f -1 : R → R+ tiene las siguientes propiedades: 1) Es creciente en R. 2) Es continua en R.

3) Es derivable en R y ))p(f('f

1)p(')f( 11

−− = ∀ p ∈ R.

Antes de demostrar este teorema, destacamos que su tercera parte nos proporciona una nueva regla de derivación, la de la función inversa.

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111

Demostración 1) Comencemos con el crecimiento de f -1.

Sean u y v en R tales que u < v. Debemos probar que f -1(u) < f -1(v). Para ello razonemos por el absurdo: si fuera f -1(u) ≥ f -1(v) tendríamos, debido a que f es creciente, f(f -1(u)) ≥ f(f -1(v)), o sea u ≥ v, lo cual contradice u < v.

2) Continuemos con la continuidad de f -1. Probaremos que f -1 es continua en cada b ∈ R. Según la definición de continuidad, planteamos la inecuación |f -1(x) - f -1(b)| < r, donde r > 0, con el fin de encontrar s > 0 tal que si |x – b| < s entonces |f -1(x) - f -1(b)| < r. Recordemos, primero, que |f -1(x) - f -1(b)| < r ⇔ f -1(b) – r < f -1(x) < f -1(b) + r y trabajemos con r < f -1(b), atentos a que f -1(x) > 0 ∀ x. Sean j = f -1(b) – r y k = f -1(b) + r. Debido a que 0 < r < f -1(b) podemos escribir que 0 < j < f -1(b) < k. Como además f es creciente tenemos que f(j) < f(f -1(b)) < f(k), o sea f(j) < b < f(k). Sabemos que f -1 es creciente, por lo cual si x es tal que f(j) < x < f(k) resulta que f -1(f(j)) < f -1(x) < f -1(f(k), es decir j < f -1(x) < k. En resumen, hemos llegado a que para cualquier x que cumpla f(j) < x < f(k) se verifica que f -1(b) – r < f -1(x) < f -1(b) + r. En consecuencia, elegimos s como el menor de los números b – f(j) y f(k) –b.

3) Finalicemos con la derivabilidad de f -1.

Probaremos que f -1 es derivable en cada p ∈ R y calcularemos (f -1) ‘(p). Sea q = f -1(p). Como f es derivable en q, existe una función α : R+ → R tal que α es continua en q y f(x) – f(q) = α(x)(x – q) ∀ x ∈ R+. Además α(q) = f ‘(q). Consideremos z ∈ R. Puesto que f -1(z) ∈ R+ tenemos que f(f -1(z)) – f(q) = α( f -1(z))( f -1(z) – q), o sea (**) z – p = α( f -1(z))( f -1(z) – f -1(p)) ∀ z ∈ R.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

112

Debido a que z – p ≠ 0 cuando z ≠ p, la igualdad (**) nos permite afirmar que α( f -1(z)) ≠ 0 cuando z ≠ p. Además α( f -1(p)) = α(q) = f ‘(q) > 0. Por lo tanto α( f -1(z)) ≠ 0 ∀ z ∈ R. Atentos a esto y a la igualdad (**), concluimos

que f -1(z) – f -1(p) = )pz())z(f(α

11 −

− ∀ z ∈ R, lo cual implica que estamos a

un paso de llegar a que f -1 es derivable en p. Sólo nos queda verificar que α o f -1 es una función continua en p. Esto es cierto pues f -1 es continua en p y α es continua en f -1(p) = q.

Finalmente,))p(f('f

1)q('f

1)q(α

1))p(f(α

1)p(')f( 111

−−− ==== .

Teorema 27 – Otro teorema sobre función inversa Sea f : [i,j] → [k,l] una función creciente y continua en [i,j] tal que f(i) = k y f(j) = l. Entonces: 1) f es invertible. 2) f -1 es creciente y continua en [k,l]. 3) Si p ∈ (k,l) es tal que f es derivable en q = f -1(p) y f ‘(q) ≠ 0, entonces f -1 es

derivable en p y ))p(f('f

1)p(')f( 11

−− = .

Demostración Sólo demostraremos la primera parte de este teorema pues las dos restantes se demuestran en una forma similar a la que expusimos en el teorema anterior. Para demostrar que f es invertible tendremos en cuenta la definición de función invertible. Consideremos b ∈ [k,l]. Debemos probar que existe un único a ∈ [i,j] para el cual f(a) = b. En realidad, nuestro problema es la existencia de un tal a ya que la unicidad es consecuencia del hecho que f es una función creciente. • Si b = k, la ecuación f(a) = b tiene raíz a = i pues f(i) = k. • Si b = l, la ecuación f(a) = b tiene raíz a = j pues f(j) = l. • Si k < b < l tenemos que f(i) < b < f(j). Como f es continua en [i,j], el teorema

de Darboux nos asegura que existe algún c en (i,j) tal que f(c) = b. Por lo tanto la ecuación f(a) = b tiene raíz a = c.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

113

Ejemplo 28 – Cálculo de la derivada de la función inversa La experiencia enseña que la regla de derivación de la función inversa es una de las más complicadas de aplicar prácticamente. En este ejemplo procuramos mostrar el uso de esa regla. Al respecto, volveremos a las funciones del ejemplo 27. Primera parte : f : R → R / f(x) = 2x + 3

Ya sabemos que esta función es invertible y que )3x(21)x(f 1 −=− . Esto último

nos permite afirmar que 21)x(')f( 1 =− . Podemos obtener este resultado usando

la regla de derivación de la función inversa y teniendo en cuenta que f ‘(x) = 2.

En efecto, 21

))x(f('f1)x(')f( 1

1 ==−

− .

Segunda parte : f : R* → R* / x1)x(f = , donde R* = R – {0}

Este caso es menos interesante que el anterior pues ya vimos que f -1 = f. Por

lo tanto 21

x1)x('f)x(')f( −==− .

Al aplicar la regla de derivación de la función inversa obtenemos, claro está, el

mismo resultado: 221

2111

x1))x(f(

))x(f/(11

))x(f('f1)x(')f( −=−=

−== −

−−− .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

114

Tercera parte : f : R → R / f(x) = x3 La inversa es f -1 : R → R / 31 x)x(f =− . Es la primera vez en nuestro curso que nos encontramos con esta función, así que no hemos tenido la oportunidad de calcular su derivada. Hagámoslo con la regla de derivación de la función inversa y teniendo en cuenta que f ‘(x) = 3x2 y que f ‘(x) ≠ 0 ∀ x ≠ 0.

( )232111

x3

1))x(f(3

1))x(f('f

1)x(')f( ===−−

− ∀ x ≠ 0.

Cuarta parte : f : +

0R → +0R / f(x) = x2

En este caso la inversa es f -1 : +

0R → +0R / f -1(x) = x . Ya sabemos que esta

función es derivable ∀ x > 0 y quex2

1')x( = . Verifiquemos ese resultado con

la regla de derivación de la función inversa, atentos a que f ‘(x) = 2x.

x21

))x(f(21

))x(f('f1)x(')f( 11

1 ===−−

− .

Quinta parte : f : D → E / x1x1)x(f

−+

= , donde D = R – {1} y E = R – { -1}

Ya vimos que la inversa es f-1 : E → D / 1x1x)x(f 1

+−

=− .

Como 22 )x1(2

)x1()x1()x1()x('f

−=

−++−

= , la aplicación de la regla de derivación de

la función inversa nos da el siguiente resultado:

2

221

2111

)1x(2

2))1x/()1x(1(

2))x(f1(

))x(f1/(21

))x(f('f1)x(')f(

+=

+−−=

−=

−==

−

−−−

Sin duda, hubiera resultado más simple derivar directamente f -1(x). Sexta parte : f : R → R / f(x) = x5 + 2x Ya sabemos que esta función es invertible y que no podemos dar una fórmula con la cual calcular f -1(x). Sin embargo, algo podemos hacer con la derivada de la función inversa pues f ‘(x) = 5x4 +2.

2))x(f(51

))x(f('f1)x(')f( 411

1

+==

−−− .

Con lo anterior es posible obtener resultados como los que siguen:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Función inversa ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

115

• f(0) = 0 ⇒ f –1(0) = 0 ⇒ 21

2))0(f(51)0(')f( 41

1 =+

=−

− .

• f(1) = 3 ⇒ f –1(3) = 1 ⇒ 71

2))3(f(51)3(')f( 41

1 =+

=−

− .

• f(-2) = -36 ⇒ f –1(-36) = -2 ⇒ 821

2))36(f(51)36(')f( 41

1 =+−

=−−

− .

Ejercicio 51 Considera las funciones inversas que determinaste en el ejercicio 50 y aplica la regla de derivación de la función inversa para calcular sus derivadas. Ejercicio 52 ¿Cómo te ingeniarías para calcular la derivada de las funciones que definimos a continuación? f : +

0R → +0R / 4 x)x(f = .

f : R → R / 5 x)x(f = .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ La función exponencial ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

117

CAPITULO 8 – LA FUNCION EXPONENCIAL 1 – INTRODUCCION Ahora sí contamos con los elementos necesarios para definir la potencia de base y exponentes reales. Comenzaremos con una potencia particular, aquélla cuya base es el número e y después ampliaremos nuestro campo de acción. 2 – LA FUNCION EXPONENCIAL Al estudiar la función L : R+ → R vimos que para cada d en R existía un único c en R+ tal que L(c) = d (esta propiedad fue la quinta que anotamos en el teorema 25). Debido a ello, podemos afirmar que la función L es invertible. A la inversa de esa función la llamaremos función exponencial de base e, o en forma más breve, función exponencial. Definición 19 – La función exponencial Sea L : R+ → R la función logaritmo. A la inversa de esa función, L-1 : R → R+, la llamaremos función exponencial. Escribiremos, además, L -1(x) = e x. Resulta llamativa, sin duda, la notación e x pues ella es típica de una potencia (la de base e y exponente x). Algunas partes del próximo teorema sugieren que esa notación es “razonable”. Pero antes de ir a ese teorema, es interesante que presentemos la representación gráfica de la función exponencial.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


118

Teorema 28 – Propiedades de la función exponencial La función exponencial tiene las siguientes propiedades: 1) ae )a(L = ∀ a ∈ R+ ; b)e(L b = ∀ b ∈ R. 2) 1e0 = ; ee1 = .

3) cbcb eee =+ y c

bcb

eee =− ∀ b, c ∈ R ; c

c

e1e =− ∀ c ∈ R.

Demostración 1) Para demostrar esta parte del teorema alcanza con que recordemos el

resultado de componer una función con su inversa. En efecto, a))a(L(Le 1)a(L == − y .b))b(L(L)e(L 1b == −

2) 1ee )1(L0 == ; eee )e(L1 == . 3) Debido a que L es una función invertible, sabemos que si p y q son

números positivos entonces p = q si y sólo si L(p) = L(q). Esto nos permite demostrar esta parte del teorema (tenemos en cuenta, además, propiedades de la función logaritmo y la primera parte de este teorema).

cbcb)e(L)e(Lcb)ee(L)e(Leee cbcbcbcbcb +=+⇔+=+⇔=⇔= ++ .

cbcb)e(L)e(LcbeeL)e(L

eee cb

c

bcb

c

bcb −=−⇔−=−⇔⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔= −− .

cc)e(Lce1L)e(L

e1e c

cc

cc −=−⇔−=−⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇔= −− .

Teorema 29 – Derivada de la función exponencial Sea f : R → R+ / f(x) = e x. Entonces f ‘(x) = e x ∀ x. Demostración La función exponencial es la inversa de la función logaritmo, cuya derivada conocemos. Si aplicamos la regla de derivación de la función inversa

obtenemos que x111

1 e)x(L)x(L/1

1))x(L('L

1)x(')L( ==== −−−

− .

El resultado anterior es impactante. Hemos encontrado una función que no se modifica cuando la derivamos. A pesar de que no sólo la función exponencial tiene esa propiedad, es importante que recordemos ese hecho (es posible demostrar, sin mucho esfuerzo, que f ‘(x) = f(x) ∀ x ∈ R ⇔ f(x) = f(0)e x).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


119

Ejemplo 29 – Las funciones hiperbólicas

Primera parte : La función sh : R → R / 2ee)x(sh

xx −−=

Estudiaremos el crecimiento, el decrecimiento y la concavidad de esta función, a la que llamaremos seno hiperbólico. Crecimiento y decrecimiento

2ee))1(ee(

21')ee(

21)x('sh

xxxxxx

−−− +

=−−=−= .

Como los valores de la función exponencial son números positivos resulta que sh ‘(x) > 0 ∀ x. Por lo tanto sh es una función creciente en R. Concavidad

)x(sh2

ee2

ee)x(''shxx'xx

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

−−

.

¡La función sh es igual a su derivada segunda! Para estudiar el signo de sh(x) trabajaremos así (es importante que repases lo que hicimos para estudiar el signo de la derivada primera de la función del ejemplo 24): 1) Resolvemos la ecuación sh(x) = 0, o sea e x = e -x. Esto último se cumple

sólo si x = -x, es decir x = 0.

2) 02ee)1(sh

11

>−

=−

pues e1 > e-1 (la función exponencial es creciente).

3) 0)1(sh2

ee)1(sh11

<−=−

=−−

.

Por lo tanto el signo de sh ‘’(x) es el siguiente: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + ................................................ ...|... ................................................ signo de sh ´´(x) 0 Concluimos que sh tiene concavidad negativa en (- ∞ ,0] y concavidad positiva en [0,+ ∞ ). En resumen: ....................................................................... 0 .......................................................................

sh es continua sh es creciente

sh tiene concavidad negativa sh tiene concavidad positiva

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


120

A continuación aparece la representación gráfica de esta función.

Segunda parte : La función ch : R → R / 2ee)x(ch

xx −+=

A esta función la llamaremos coseno hiperbólico.

Notemos que )x(sh2

ee)x('ch'xx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

−

y )x(ch)x('sh)x(''ch == (también la

función ch es igual a su derivada segunda). - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + ................................................ ...|... ................................................ signo de ch ‘(x) 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ..................................................................................... signo de ch ‘’(x) Por lo tanto ch es decreciente en (- ∞ ,0], creciente en [0,+ ∞ ) y tiene concavidad positiva en R. ....................................................................... 0 .......................................................................

ch es continua ch es decreciente mr ch es creciente

ch tiene concavidad positiva

Además 12

ee)0(ch00

=+

= .

El dibujo que sigue es la representación gráfica de la función ch.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


121

Antes de pasar a otra función hiperbólica, volvamos a anotar dos resultados que ya obtuvimos: sh ‘ = ch ; ch ‘ = sh (la derivada del seno hiperbólico es el coseno hiperbólico y la derivada de éste es aquél). Hay otro resultado interesante: (ch(x))2 – (sh(x))2 = 1 ∀ x. En efecto:

12ee

2ee

2ee

2ee

2ee

2ee xxxxxxxx2xx2xx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + −−−−−−

.

Tercera parte : La función th : R → R / xx

xx

eeee

)x(ch)x(sh)x(th

−

−

+−

==

A esta función la llamaremos tangente hiperbólica.

( )( ) ( )

( ) ( )22

22

2 )x(ch1

)x(ch)x(sh)x(ch

)x(ch)x(sh)x('ch)x(ch)x('sh)x('th =

−=

−= .

( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )344

'

4

'2'

2 )x(ch)x(sh2

)x(ch)x(sh)x(ch2

)x(ch)x(ch)x(ch2

)x(ch)x(ch

)x(ch1)x(''th −=−=

−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Lo que ya sabemos sobre las funciones sh y ch justifica los siguientes signos: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ..................................................................................... signo de th ‘(x) + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ................................................ ...|... ................................................ signo de th ‘’(x) 0 Por lo tanto th es creciente en R, tiene concavidad positiva en (- ∞ ,0] y concavidad negativa en [0,+ ∞ ).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


122

....................................................................... 0 ....................................................................... th es continua th es creciente

th tiene concavidad positiva th tiene concavidad negativa Para esta función tenemos la siguiente representación gráfica.

En el dibujo anterior aparecen las rectas de ecuaciones y = 1 e y = -1 con el fin de ilustrar que –1 < th(x) < 1 ∀ x. Esto es cierto ya que

0ey0eeeee)ee(1)x(th1 xxxxxxxx >>⇔+<−<+−⇔<<− −−−− y lo último se cumple pues los valores de la función exponencial son positivos.

Cuarta : La inversa de la función th : R → (-1,1) / )x(ch)x(sh)x(th =

La función th, con codominio R, no es invertible pues acabamos de probar que –1 < th(x) < 1 ∀ x. Si cambiamos ese codominio por el intervalo (-1,1) nos queda una función invertible. Para convencernos de ello comprobaremos que para cada b ∈ (-1,1) existe un único a ∈ R tal que th(a) = b (nos preocupa la existencia de ese a ya que th es una función creciente en R).

Planteemos la ecuación th(a) = b, o sea beeee

aa

aa

=+−

−

−

y despejemos a, teniendo

en cuenta que –1 < b < 1.

Como 1e1e

)1e(e)1e(e

eeee

a2

a2

a2a

a2a

aa

aa

+−

=+−

=+−

−

−

−

−

, nos queda b1e1e

a2

a2

=+− .

b1b1eb1)b1(ebbe1eb

1e1e a2a2a2a2

a2

a2

−+

=⇔+=−⇔+=−⇔=+− .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


123

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⇔−+

=b1b1L

21a

b1b1La2

b1b1L)e(L

b1b1e a2a2 .

En resumen, tenemos que la función th : R → (-1,1) / )x(ch)x(sh)x(th = es invertible

y que th –1 : (-1,1) → R es tal que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=−

x1x1L

21)x(th 1 (es sorprendente que esta

función haya participado en el ejemplo 28, donde vimos un procedimiento para calcular valores aproximados del logaritmo). La representación gráfica de th -1 es, como ya sabemos, la simétrica de la de th respecto a la recta de ecuación y = x.

Ejercicio 53 1) Prueba que sh(a) = b ⇔ ( ) 01be2e a2a =−− y usa ese resultado para

resolver la ecuación sh(a) = b (ten en cuenta que esa ecuación no puede tener más de una raíz pues sh es una función creciente en R).

2) Prueba que la función sh es invertible, representa gráficamente sh –1, halla una fórmula para sh -1(x) y calcula (sh –1) ‘(x).

Ejercicio 54 1) Sea f : +

0R → [1,+ ∞ ) / f(x) = ch(x). Prueba que f es invertible, representa gráficamente f -1, halla una fórmula para f -1(x) y calcula (f -1) ‘(x).

2) Sea g : −0R → [1,+ ∞ ) / g(x) = ch(x). Prueba que g es invertible, representa

gráficamente g -1, halla una fórmula para g -1(x) y calcula (g -1) ‘(x).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


124

Ejemplo 30 – Cálculo de valores de la función exponencial Hay un procedimiento no muy complicado para calcular valores aproximados de e x, el cual se basa en lo siguiente (n es un número natural):

• !n

x...!3

x!2

xx1en32

x +++++≅ .

• El error que cometemos al usar esa aproximación es menor que !)1n(

|x| 1n

+

+

cuando x < 0 y menor que !)1n(

|x|3 1nx

+

+

cuando x > 0.

En lo que se refiere al error en el caso que x > 0, es importante que notemos que por el momento sólo conocemos el significado de 3 x cuando x es un número racional y que 3 x nos resulta simpático cuando x es un número entero. Nos limitaremos a aplicar ese resultado para hallar algunos valores aproximados de e x para x = 1 y para x = -0,1. n Valor aproximado de e Error menor que

0 1 3

!13

=

1

1 + 1 = 2 5,1

!23

=

2 5,2

2111 =++ 5,0

21

!33

==

3 ...66666,238

61

2111 ==+++ 125,0

81

!43

==

4 ...70833,2

2465

241

61

2111 ==++++ 025,0

401

!53

==

5 ...71666,2

60163

1201

241

61

2111 ==+++++ ...00416,0

2401

!63

==

n Valor aproximado de e –0,1 Error menor que

0 1 1,0

11,0

=

1

9,01,01 =−

( ) 005,021,0 2

=

2

( ) 905,021,01,01

2

=+− ( ) ...00016,061,0 3

=

3

( ) ( ) ...90483,061,0

21,01,01

32

=−+− ( ) ...00000,0241,0 4

=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


125

Una calculadora científica nos dice que e1 = e ≅ 2,71828 y que e –0,1 ≅ 0,90483. Ejemplo 31 – Una desigualdad importante En el ejemplo anterior expusimos un procedimiento que aún no podemos demostrar. Sin embargo, hay algo que sí podemos justificar, lo cual será importante más adelante. Nos estamos refiriendo a la siguiente desigualdad:

!nx...

!3x

!2xx1e

n32x +++++> ∀ x > 0 ( n es un número natural).

1) Consideremos la función f1 / x1e)x(f x1 −−= .

Esta función es continua en R y ( ) 1e)x(f x'1 −= . Como 1ex > cuando x > 0,

resulta que ( ) 0)x(f '1 > ∀ x > 0. Por lo tanto la función f1 es creciente en

[0,+ ∞ ) y, en consecuencia, f1(x) > f1(0) = 0 ∀ x > 0. Concluimos que x1ex +> ∀ x > 0.

2) Consideremos ahora la función f2 / 2xx1e)x(f

2x

2 −−−= .

Esta función también es continua en R y ( ) )x(f)x(f 1'

2 = . Como f1(x) > 0 cuando x > 0, resulta que ( ) 0)x(f '

2 > ∀ x > 0. Por lo tanto la función f2 es creciente en [0,+∞ ) y f2(x) > f2(0) = 0 ∀ x > 0.

Llegamos pues a que !2

xx1e2

x ++> ∀ x > 0.

3) Sigamos con la función f3 / 6x

2xx1e)x(f

32x

3 −−−−= .

Esta tercera función es continua en R y ( ) )x(f)x(f 2'

3 = .

Como f2(x) > 0 cuando x > 0, resulta que ( ) 0)x(f '3 > ∀ x > 0. Por lo tanto la

función f3 es creciente en [0,+∞ ) y f3(x) > f3(0) = 0 ∀ x > 0.

Tenemos entonces que !3

x!2

xx1e32

x +++> ∀ x > 0.

4) Y así sucesivamente (deberíamos usar el método de demostración de “inducción completa” pero nos conformamos con lo expuesto).

3 – POTENCIA DE BASE Y EXPONENTE REALES Las ideas básicas que motivan la definición de yx son las siguientes: • Una propiedad que ya vimos, la que establece que ae )a(L = ∀ a ∈ R+. • El interés en que siga siendo válida una propiedad de la potencia que

conocemos cuando los exponentes son números naturales, la conocida

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


126

como “potencia de potencia” según la cual (bn)m = bnm ∀ b ∈ R y ∀ n, m ∈ N* (n = 1, 2, 3, ... ; m = 1, 2, 3, ...).

De acuerdo con lo anterior, tenemos que ( ) )x(Lyy)x(Ly eex == . Así definiremos yx , con la condición de que x sea positivo debido a la presencia de L(x).

Definición 20 – Potencia de base y exponente reales Sean x ∈ R+ e y ∈ R. Definimos yx así: )x(Lyy ex = La definición anterior nos permite trabajar con cualquier potencia en la que la base es un número real positivo y el exponente un número real (el resultado es un número positivo). Ello no debe hacernos olvidar que ya sabíamos trabajar con potencias en las que la base no tenía porqué ser un número positivo. En efecto, si n es un número natural distinto de 0, conocemos el significado de los siguientes símbolos:

• vecesn

n x...xxx = , donde x es un número real cualquiera.

• nn

x1x =− , donde x es un número real cualquiera distinto de 0.

• nn1

xx = , donde x es un número real cualquiera si n es impar y un número real no negativo si n es par.

Ahora bien, ¿nuestra definición de potencia modifica esos conocimientos? Es deseable que la respuesta a esa pregunta sea un “No” rotundo. Sería

trágico, por ejemplo, que 43 no fuera 64, que 5 -2 no fuera251 y que 33

1

88 = no

fuera 2. Los tres cálculos que siguen muestran que podemos estar tranquilos: • 644.4.4eeeee4 )4(L)4(L)4(L)4(L)4(L)4(L)4(L33 ===== ++ .

• 251

5.51

ee1

e1

e1e5 )5(L)5(L)5(L)5(L)5(L2

)5(L22 ======+

−− .

• 2eeee8 )2(L)2(L331)2(L

31)8(L

31

31 3

===== . Ejercicio 55 1) Presta atención a los tres cálculos anteriores y, ante cada símbolo de igual,

indica qué definición o qué propiedad hemos usado. 2) Trabaja en la misma forma que en el punto anterior para comprobar que

2442 = 28.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


127

Teorema 30 – Propiedades de la potencia La potencia tiene las siguientes propiedades: 1) 1x 0 = ∀ x ∈ R+ ; xx 1 = ∀ x ∈ R+ ; 11y = ∀ y ∈ R. 2) )x(Ly)x(L y = (x ∈ R+, y ∈ R). 3) zyzy xxx =+ (x ∈ R+, y ∈ R, z ∈ R).

4) z

yzy

xxx =− (x ∈ R+, y ∈ R, z ∈ R).

5) zz

x1x =− (x ∈ R+, z ∈ R).

6) yyy ux)xu( = (x ∈ R+, u ∈ R+, y ∈ R).

7) y

yy

ux

ux

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (x ∈ R+, u ∈ R+, y ∈ R).

8) ( ) zyzy xx = (x ∈ R+, y ∈ R, z ∈ R). Demostración A modo de ejemplo, sólo haremos las demostraciones correspondientes a las propiedades 2, 3, 7 y 8. Propiedad 2: )x(Ly)e(L)x(L )x(Lyy == . Propiedad 3: zy)x(Lz)x(Ly)x(Lz)x(Ly)x(L)zy(zy xxeeeex ==== +++ .

Propiedad 7: y

y

)u(Ly

)x(Ly)u(Ly)x(Ly))u(L)x(L(yu

xLyy

ux

eeeee

ux

=====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

.

Propiedad 8: ( ) ( ) zy)x(LyzxLzzy xeexy

=== . Ejercicio 56 Demuestra las propiedades 1, 4, 5 y 6 del teorema 30. 4 – FUNCIONES ASOCIADAS A LA POTENCIA Una vez definida la potencia de base y exponente reales podemos construir nuevas funciones. Las más simples son las siguientes: • Función potencial de exponente m (m es una constante real)

f : R+ → R / mx)x(f = • Función exponencial de base a (a es una constante real y positiva)

f : R → R / xa)x(f = • Función potencial exponencial

f : R+ → R / xx)x(f =

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


128

A continuación nos ocuparemos de las derivadas de esas funciones. Teorema 31 – Derivada de tres funciones asociadas a la potencia 1) Sea f : R+ → R / mx)x(f = . Entonces 1mxm)x('f −= ∀ x ∈ R+. 2) Sea f : R → R / xa)x(f = (a > 0). Entonces )a(La)x('f x= ∀ x ∈ R. 3) Sea f : R+ → R / xx)x(f = . Entonces ))x(L1(x)x('f x += ∀ x ∈ R+. Demostración

( ) ( ) 1mm)x(Lm')x(Lm'm xmxmx'))x(Lm(eex −==== . Resulta interesante observar

que este resultado coincide con el que conocemos para exponente natural. ( ) ( ) )a(La'))a(Lx(eea x)a(Lx')a(Lx'x === .

( ) ( ) ))x(L1(xx1x)x(L.1x'))x(Lx(eex xx)x(Lx')x(Lx'x +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== .

Ejemplo 32 – Estudio de tres funciones asociadas a la potencia Primera parte : La función potencial de exponente m (m ∈ R) Sea f : R+ → R / mx)x(f = , donde m es una constante real. Trabajaremos suponiendo que m no es ni 0 ni 1 (si m fuera uno de esos números estaríamos ante una situación muy simple pues x0 = 1 y x1 = x). Debido a que 1mxm)x('f −= y 2mx)1m(m)x(''f −−= , los signos de f ‘ y de f ‘’ son los que detallamos a continuación (sin duda los resultados dependen de m). ∉ R+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

m > 0 ...|... .......................................................... signo de f ‘(x) 0 ∉ R+ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

m < 0 ...|... .......................................................... signo de f ‘(x) 0 ∉ R+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

m > 1 ...|... .......................................................... signo de f ‘’(x) 0 ∉ R+ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 < m < 1 ...|... .......................................................... signo de f ‘’(x)

0 ∉ R+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

m < 0 ...|... .......................................................... signo de f ‘’(x) 0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


129

Resulta entonces que: • Si m > 1, la función es creciente y tiene concavidad positiva en R+. • Si 0 < m < 1, la función es creciente y tiene concavidad negativa en R+. • Si m < 0, la función es decreciente y tiene concavidad positiva en R+. Estamos pues ante una representación gráfica que depende de m.

Segunda parte : La función exponencial de base a (a ∈ R+) Sea f : R → R / xa)x(f = , donde a es una constante real y positiva. Supondremos que a no es 1 (si a fuera 1 tendríamos, simplemente, 1 x = 1). Como )a(La)x('f x= y 2x ))a(L(a)x(''f = los signos de f ‘ y de f ‘’ son los que siguen (el de f ‘ depende de a): + + + + + + + + + + + + + + + + + +

a > 1 .......................................................... signo de f ‘(x) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 < a < 1 .......................................................... signo de f ‘(x)

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

a > 0 .......................................................... signo de f ‘’(x) Tenemos pues que: • Si a > 1, la función es creciente y tiene concavidad positiva en R. • Si 0 < a < 1, la función es decreciente y tiene concavidad positiva en R.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


130

Tercera parte : La función potencial exponencial Sea f : R+ → R / xx)x(f = . Puesto que ))x(L1(x)x('f x += y x x > 0 ∀ x > 0, el signo de f ‘(x) coincide con el de 1 + L(x). Como 1 + L(x) = 0 para x = e-1 y la función logaritmo es creciente, el signo de f ‘ es el siguiente: ∉ R+ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + ....|.... ............................................. ....|.... ............................................. signo de f ‘(x)

0 e-1 Pasemos ahora a la derivada segunda.

( )x

x))x(L1(x))x(L1(x))x(L1(x)x(fx

2x'x'x'' ++=+++= . Es claro, a pesar de su

complicada apariencia, que f ‘’(x) > 0 ∀ x > 0. En resumen, hemos llegado a lo siguiente:

0 .............................................................. e-1 .............................................................. ∉ R+ f es continua ∉ R+ f es decreciente mr f es creciente ∉ R+ f tiene concavidad positiva

Además ( ) 6922,0e)e(f

1e11 ≅=−

−− (gracias a la calculadora, claro está).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


131

Ejercicio 57 Calcula f ‘(x) y f ‘’(x) en cada uno de los siguientes casos e indica para qué valores de x es válido el resultado:

xe)x(f

x

= x

e)x(fx−

= 1e1e)x(f x3

x2

−+

=−

x5 2x)x(f += x)x2()x(f = x2x)x(f = Ejercicio 58 Determina el dominio, estudia la continuidad, el crecimiento, el decrecimiento y la concavidad y dibuja el gráfico de cada una de las siguientes funciones:

xe1x)x(f +

= x1

2 ex)x(f =

)3x4(e)x(f x4

−= 1e

e)x(f x2

x

+=

Ejemplo 33 – Las desigualdades de Hölder y de Minkowski En este ejemplo nos ocuparemos de justificar las tres famosas desigualdades que enunciamos a continuación (convenimos que 00 x = ∀ x > 0). Primera desigualdad (Anónima)

Sean u, v, p, q ∈ R tales que u ≥ 0, v ≥ 0, p > 1, 1p

pq−

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ 1

q1

p1 .

Entonces qv

puvu q

1p1

+≤ .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


132

Segunda desigualdad (Desigualdad de Hölder) Sean: • n un número natural distinto de 0. • a1, a2, ..., an números reales no negativos. • b1, b2, ..., bn números reales no negativos. • p un número real mayor que 1.

• 1p

pq−

= , o sea 1q1

p1

=+ .

Entonces ( ) ( ) ( )q1

nk

1k

qk

p1

nk

1k

pk

nk

1kkk baba ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ ∑∑∑

=

=

=

=

=

=

.

Tercera desigualdad (Desigualdad de Minkowski) Sean: • n un número natural distinto de 0. • c1, c2, ..., cn números reales. • d1, d2, ..., dn números reales. • p un número real mayor que 1.

Entoncesp1

nk

1k

pk

p1

nk

1k

pk

p1

nk

1k

pkk |d||c||dc| ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∑∑∑

=

=

=

=

=

=

Sin duda estamos ante tres desigualdades impactantes. Ante tal panorama, la que quizás nos impresione menos sea la primera. Sin embargo, en ella se basan las otras dos. La desigualdad de Hölder es una consecuencia de la primera desigualdad y la de Minkowski se deduce de la de Hölder (en ambos casos se requiere sólo una gran habilidad algebraica). Convencidos de que las demostraciones de esas desigualdades no son más complicadas que sus enunciados, allí vamos. Demostración de la primera desigualdad Consideremos la función f : R+ → R / mxx)x(f m −= , donde m es un número entre 0 y 1 (0 < m < 1).

Como )1x(mmmx)x(f 1m1m' −=−= −− y m > 0, tenemos que el signo de f ‘(x) es el de 1x 1m −− . Con el fin de determinar ese signo observemos que: • )1m(1x0)x(L)1m()1(L)x(L1x01x 1m1m1m ≠=⇔=−⇔=⇔=⇔=− −−− . • )1m(1x0)x(L)1m()1(L)x(L1x01x 1m1m1m <>⇔<−⇔<⇔<⇔<− −−− .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


133

En consecuencia el signo de f ‘(x) es el siguiente: ∉ R+ + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ....|.... ............................................. ....|.... ............................................. signo de f ‘(x)

0 1 La función f es creciente en (0,1] y decreciente en [1,+ ∞ ). Por lo tanto f(1) es el máximo de la función, o sea f(x) ≤ f(1) ∀ x > 0, es decir m1mxxm −+≤ ∀ x > 0 (la igualdad se da sólo para x = 1).

Si en esa desigualdad ponemos vux = (x es positivo cuando u y v lo son) nos

queda m1vum

vu m

−+≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , o sea

vv)m1(mu

vu

m

m −+≤ y v)m1(muvu m1m −+≤− .

Finalmente, pongamos p1m = (m está entre 0 y 1 pues p >1) y tengamos en

cuenta que q1

p1p

p11m1 =

−=−=− . Concluimos que

qv

puvu q

1p1

+≤ (la igualdad

es cierta sólo si u = v). En el razonamiento anterior no consideramos la posibilidad de que u y/o v sean cero. Si eso ocurriera, alcanza con comprobar directamente el cumplimiento de

la desigualdad qv

puvu q

1p1

+≤ (0 menor o igual que un número no negativo).

Demostración de la desigualdad de Hölder

Sean ( )∑=

=

=nk

1k

pk1 aS y ( )∑

=

=

=nk

1k

qk2 bS .

Probaremos que ( ) ( ) ( )q1

2p1

1

nk

1kkk SSba ≤∑

=

=

suponiendo que ni S1 ni S2 son cero

(en caso contrario, la desigualdad afirma que 0 ≤ 0).

Si en la desigualdad anónima sustituimos u por ( )1

pk

Sa y v por ( )

2

qk

Sb resulta que

para cada k entre 1 y n se cumple que ( ) ( )

( ) ( )2

qk

1

pk

q1

2

k

p1

1

k

Sb

q1

Sa

p1

S

b

S

a+≤ (**).

Si sumamos en las n desigualdades (**) tenemos que la suma de la derecha da

1 pues ( ) ( ) ( ) ( ) 1q1

p1b

qS1a

pS1

Sb

q1

Sa

p1 nk

1k

qk

2

nk

1k

nk

1k

pk

12

qk

1

pk =+=+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∑∑ ∑

=

=

=

=

=

=

.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


134

Por lo tanto ( ) ( )

( )

( ) ( )1

SS

ba

S

b

S

ank

1k q1

2p1

1

nk

1kkk

q1

2

k

p1

1

k ≤=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∑

∑=

=

=

= , o sea ( ) ( ) ( )q1

2p1

1

nk

1kkk SSba ≤∑

=

=

.

Demostración de la desigualdad de Minkowski

Consideremos 1p

pq−

= , con lo cual qp1p += .

qp

kkkqp

kkkqp

kkkkp

kk dcddccdcdcdc +++≤++=+ (1 ≤ k ≤ n). Al sumar en las n desigualdades anteriores llegamos al siguiente resultado:

∑∑∑=

=

=

=

=

=

+++≤+nk

1k

qp

kkk

nk

1k

qp

kkk

nk

1k

pkk dcddccdc (1).

Si usamos la desigualdad de Hölder en la suma ∑=

=

+nk

1k

qp

kkk |dc||c| obtenemos

que q1

nk

1k

pkk

p1

nk

1k

pk

nk

1k

qp

kkk |dc||c||dc||c| ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤+ ∑∑∑

=

=

=

=

=

=

(2).

Análogamente, q1

nk

1k

pkk

p1

nk

1k

pk

nk

1k

qp

kkk |dc||d||dc||d| ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤+ ∑∑∑

=

=

=

=

=

=

(3).

Atentos a (1), (2) y (3) resulta que

≤+∑=

=

nk

1k

pkk dc

q1

nk

1k

pkk

p1

nk

1k

pk

p1

nk

1k

pk |dc||d||c| ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∑∑∑=

=

=

=

=

=

(4).

Como 1q1

p1

=+ , tenemos que q1

p1

nk

1k

pkk

nk

1k

pkk dcdc

+=

=

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ ∑∑ . Esto y (4) nos

llevan a concluir que p1

nk

1k

pk

p1

nk

1k

pk

p1

nk

1k

pkk |d||c||dc| ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∑∑∑

=

=

=

=

=

=

.

Ejercicio 59 Prueba que )zyx(8zyzxyx 333333

++≤+++++ ∀ x, y, z ∈ R (ten en cuenta la desigualdad de Minkowski).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Límites (primera parte) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

135

CAPITULO 9 – LIMITES (primera parte) 1 – INTRODUCCION Hasta el momento hemos dibujado el gráfico de un número importante de funciones reales de variable real. Estamos convencidos de que varios de esos dibujos motivan algunas preguntas que en forma deliberada hemos eludido. Por ejemplo, si retornamos al ya lejano capítulo 3, en la tercera parte del

ejemplo 14 estudiamos la función f : D → R / 1x3x)x(f

2

++

= , donde D = R – {-1} y

llegamos a que su representación gráfica era la siguiente:

¿Qué ocurre con los valores de esa función cuando nos aproximamos al

número –1 moviéndonos sobre el eje →−

ox ?. ¿Qué ocurre con los valores de esa función cuando nos alejamos hacia la

derecha en el eje →−

ox ?.

¿Y cuando nos alejamos hacia la izquierda en el eje →−

ox ?. Un experto en responder esas preguntas nos contestaría que ellas tienen que ver con el concepto matemático de límite y nos informaría que: • −∞=

−−→)x(flim

)1(x (el límite de f(x) cuando x tiende a –1 por la izquierda es

menos infinito). • +∞=

+−→)x(flim

)1(x (el límite de f(x) cuando x tiende a –1 por la derecha es

más infinito). • +∞=

∞+→)x(flim

x (el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es más

infinito).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


136

• −∞=∞−→

)x(flimx

(el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es menos

infinito). El dibujo de la función que estudiamos en la tercera parte del ejemplo 32, la función f : R+ → R / xx)x(f = , da lugar a las siguientes preguntas: ¿Qué ocurre con los valores de esa función cuando nos aproximamos a 0 moviéndonos

sobre el eje →−

ox ?. ¿Y qué ocurre cuando nos alejamos hacia la derecha en el

eje →−

ox ?. En este caso las respuestas serían: • 1)x(flim

0x=

+→ (el límite de f(x) cuando x tiende a 0 por la derecha es 1).

• +∞=∞+→

)x(flimx

(el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es más

infinito).

Ante el dibujo de la función th (tercera parte del ejemplo 29) nos preguntamos: ¿Qué ocurre con los valores de esa función cuando nos alejamos hacia la

derecha en el eje →−

ox ?. ¿Y cuando nos alejamos hacia la izquierda en el eje →−

ox ?. Ahora las respuestas serían: 1)x(flimx

=∞+→

y 1)x(flimx

−=∞−→

.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


137

En este capítulo nos ocuparemos de los límites. No sólo explicaremos el significado de ellos sino que también daremos algunas herramientas para calcularlos y justificaremos el resultado de varios límites. En los próximos dos capítulos seguiremos trabajando con límites. 2 – DEFINICION DE LIMITE Aunque el título de esta sección es breve, los distintos símbolos que acabamos de usar muestran que es necesario contemplar distintas situaciones, las cuales aparecen en la siguiente tabla (las letras a y L representan números reales):

x lím f(x) x → a L + ∞ - ∞

x → + ∞ L + ∞ - ∞ x → - ∞ L + ∞ - ∞

Las próximas definiciones (desde la 21 hasta la 29) recorren esa tabla renglón a renglón. A modo de preámbulo a las definiciones correspondientes al primer renglón y atentos al símbolo x → a (x tiende a a), es importante que aclaremos que en el concepto de límite no nos interesa el valor de la función en a (incluso puede ocurrir que a no esté en el dominio de la función) pero sí los valores de la función en números “próximos” a a. Necesitamos, en consecuencia, que exista algún entorno reducido de a que esté contenido en el dominio de la función (cuando ello ocurre diremos que a es un número “casi” interior al dominio de la función).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


138

Definición 21 – Límite finito de una función en un número “casi” interior a su dominio Sean f : D → R una función, a un número “casi” interior a D y L ∈ R. Diremos que el límite de f en a es L cuando para cada número positivo r existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla 0 < |x – a| < s resulta que |f(x) – L| < r. O de otra forma, el límite de f en a es L cuando para cada V(L,r) existe algún V*(a,s) tal que ∀ x ∈ V*(a,s) resulta que f(x) ∈ V(L,r). El símbolo Lflim

a= se lee “el límite de f en a es L”.

El símbolo L)x(flimax

=→

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a a es L”.

Preferiremos el símbolo L)x(flimax

=→

.

Esta definición es muy parecida a la de función continua en a, aunque hay dos diferencias que debemos destacar: • El número L ocupa el lugar de f(a). • En la definición de L)x(flim

ax=

→ nos interesan los x tales que 0 < |x – a| < s,

mientras que en la definición de f continua en a estamos interesados en los x tales que |x – a| < s. Por lo tanto en el primer caso excluimos al número a de nuestro análisis y en el segundo lo incluimos. Esto, que puede parecer irrelevante, es realmente sustancial.

Lo anterior motiva una visualización gráfica de la definición de L)x(flimax

=→

que

casi coincide con la que hicimos de la definición de f continua en a. Resulta importante que compares el dibujo que sigue con el que hicimos cuando dimos la definición de continuidad y que recuerdes lo que allí anotamos sobre el orden en que van apareciendo los actores que participan en la definición.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


139

Definición 22 – Límite más infinito de una función en un número “casi” interior a su dominio Sean f : D → R una función y a un número “casi” interior a D. Diremos que el límite de f en a es + ∞ cuando para cada número positivo k existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla 0 < |x – a| < s resulta que f(x) > k. O de otra forma, el límite de f en a es + ∞ cuando para cada semirrecta (k, + ∞ ) existe algún V*(a,s) tal que ∀ x ∈ V*(a,s) resulta que f(x) ∈ (k, + ∞ ). El símbolo +∞=flim

a se lee “el límite de f en a es +∞ ”.

El símbolo +∞=→

)x(flimax

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a a es + ∞ ”.

Definición 23 – Límite menos infinito de una función en un número “casi” interior a su dominio Sean f : D → R una función y a un número “casi” interior a D. Diremos que el límite de f en a es - ∞ cuando para cada número negativo h existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla 0 < |x – a| < s resulta que f(x) < h. O de otra forma, el límite de f en a es - ∞ cuando para cada semirrecta (- ∞ , h) existe algún V*(a,s) tal que ∀ x ∈ V*(a,s) resulta que f(x) ∈.(- ∞ , h). El símbolo −∞=flim

a se lee “el límite de f en a es -∞ ”.

El símbolo −∞=→

)x(flimax

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a a es - ∞ ”.

Las definiciones de +∞=

→)x(flim

ax y de −∞=

→)x(flim

ax pueden visualizarse en los

siguientes dibujos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


140

En los dos dibujos debemos tener en cuenta el orden en que van apareciendo los elementos que participan en las definiciones. En primer lugar está la función

f, luego el número a (en el eje →−

ox ) y el número k o el número h (en el eje →−

oy ) y

finalmente el número s (que motiva los números a – s y a + s en el eje →−

ox ). Ejemplo 34 – Límites cuando x → a Primera parte : La regla de la continuidad Al comparar las definiciones de “f es continua en a” y “ L)x(flim

ax=

→” resulta que

si f es una función continua en a entonces )a(f)x(flimax

=→

y, recíprocamente, si

)a(f)x(flimax

=→

entonces f es continua en a.

Si tenemos una función f continua en a, el problema de calcular el )x(flimax→

tiene

una rápida resolución pues sólo debemos calcular f(a). Así por ejemplo, a partir de la función f : R → R / f(x) = x 3 – 2x + 4, que es continua en R, podemos escribir los siguientes resultados: • 3)1(f)4x2x(lim 3

1x==+−

→.

• 4)0(f)4x2x(lim 3

0x==+−

→.

• 0)2(f)4x2x(lim 3

2x=−=+−

−→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


141

Segunda parte : La regla de la derivabilidad Sabemos que f es derivable en p cuando existe una función α, continua en p, tal que f(x) – f(p) = α(x)(x – p) cualquiera sea el x del dominio de f. Por lo tanto,

)p('f)p(α)x(αlimpx

)px)(x(αlimpx

)p(f)x(flimpxpxpx

===−

−=

−−

→→→.Debido a la habilidad que

tenemos en el cálculo de derivadas, estamos muy bien preparados para hallar

el px

)p(f)x(flimpx −

−→

cuando f es una función derivable en p pues ese límite es f ‘(p).

Por ejemplo: • Sea f : R+ → R / f(x) = L(x).

Como x1)x('f = tenemos que 1)1('f

1x)x(Llim

1x)1(L)x(Llim

1x1x==

−=

−−

→→.

• Sea f : R → R+ / f(x) = e 2x.

Como f ‘(x) = 2e 2x resulta que 2)0('fx

1elim0xeelim

x2

0x

0x2

0x==

−=

−−

→→.

Tercera parte : +∞=→ 20x x

1lim

La función es f : R* → R / 2x1)x(f = . Para probar que +∞=

→)x(flim

0x usaremos la

definición 22. Consideremos el número positivo k (no podemos trabajar con un k concreto ya que la definición se refiere a cada número positivo k) y planteemos la inecuación f(x) > k con el fin de encontrar algún número positivo s con la siguiente propiedad: si 0 < |x| < s entonces f(x) > k.

k1|x|

k1x

k1

k1xk

x1k)x(f 2

)0x(

2 <⇔<<−⇔<⇔>⇔>≠

.

Por lo tanto, elegimos k1s = ya que si 0 < |x| < s entonces f(x) > k.

Cuarta parte : −∞=−

→ 20x x1lim

La función es g : R* → R / 2x1)x(g −

= . Para probar que −∞=→

)x(glim0x

usaremos

la definición 23. Consideremos el número negativo h y planteemos la inecuación g(x) < h con el fin de encontrar algún número positivo s tal que si 0 < |x| < s entonces g(x) < h.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


142

h1|x|h

x1h

x1h)x(g

)0x(

22 −<⇔−>⇔<

−⇔<

≠

.

Por lo tanto, elegimos h

1s−

= ya que si 0 < |x| < s entonces g(x) < h.

Sin duda te has dado cuenta que no nos hemos esforzado demasiado en esta cuarta parte. Lo que hicimos fue considerar la función opuesta de la que analizamos en la parte anterior. Quinta parte : −∞=

→|)x(|Llim

0x

La función es f : R* → R / |)x(|L)x(f = . Atentos a la definición 23 probaremos que −∞=

→)x(flim

0x.

Consideremos el número negativo h y planteemos la inecuación f(x) < h con el fin de encontrar algún número positivo s tal que si 0 < |x| < s entonces f(x) < h.

h)0x(

e|x|h|)x(|Lh)x(f <⇔<⇔<≠

. Por lo tanto, elegimos hes = ya que si 0 < |x| < s entonces f(x) < h. Ejercicio 60 Calcula los siguientes límites:

)8x5x(lim 2

1x−+

→ ))x(Le(lim x

1x+

→

4x3xlim

2x −+

→

xxxxlim

4x −+

→

1x1x2xlim

5

1x −+−

→

9xx3xlim

9x −−

→

1x1e)x2(Llim

1x

)1(x ++−+ +

−→ x

)x(shlim0x→

Ejercicio 61 Utiliza la regla de la derivabilidad para justificar los siguientes resultados:

1x

)x1(Llim0x

=+

→ 1

x1elim

x

0x=

−→

mx

1)x1(limm

0x=

−+→

(m ∈ R) )a(Lx

1alimx

0x=

−→

(a ∈ R+)

Ejercicio 62

1) Usa la definición 22 para probar que +∞=−→ |1x|1lim

1x.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


143

2) Usa la definición 23 para probar que −∞=−

−→ |1x|

1lim1x

.

A esta altura ya te has familiarizado con el símbolo )x(flim

ax→ y confiamos en que

no te sorprendan los símbolos )x(flimax +→

y )x(flimax −→

. (el primero se lee “el límite de

f(x) cuando x tiende a a por la derecha” y el segundo “el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda”). Ejercicio 63 1) Modifica adecuadamente las definiciones 21 a 23 para obtener las

definiciones de )x(flimax +→

y )x(flimax −→

.

2) Prueba que +∞=+→ x1lim

0x, que −∞=

−→ x1lim

0x y que −∞=

+→)x(Llim

0x.

Definición 24 – Límite finito de una función en más infinito Sean f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta derecha contenida en D y L ∈ R. Diremos que el límite de f en + ∞ es L cuando para cada número positivo r existe algún número positivo p con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x > p resulta que |f(x) – L| < r. El símbolo Lflim =

∞+ se lee “el límite de f en +∞ es L”.

El símbolo L)x(flimx

=+∞→

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a + ∞ es L”.

La definición de L)x(flim

x=

+∞→ puede visualizarse en el siguiente dibujo.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


144

También aquí debemos tener en cuenta el orden en que van apareciendo los elementos que participan en la definición. En primer lugar está la función f,

luego el número L (en el eje →−

oy ) y el número positivo r (que motiva los números

L – r y L + r en el eje →−

oy ) y finalmente el número positivo p (en el eje →−

ox ). Definición 25 – Límite más infinito de una función en más infinito Sea f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta derecha contenida en D. Diremos que el límite de f en + ∞ es + ∞ cuando para cada número positivo k existe algún número positivo p con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x > p resulta que f(x) > k. El símbolo +∞=

∞+flim se lee “el límite de f en +∞ es + ∞ ”.

El símbolo +∞=+∞→

)x(flimx

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a + ∞ es + ∞ ”.

El siguiente dibujo visualiza la definición anterior. En cuanto al orden en que van apareciendo los elementos que participan en esa definición, notemos que

en primer lugar está la función f, luego el número positivo k (en el eje →−

oy ) y

finalmente el número positivo p (en el eje →−

ox ).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


145

Definición 26 – Límite menos infinito de una función en más infinito Sea f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta derecha contenida en D. Diremos que el límite de f en + ∞ es - ∞ cuando para cada número negativo h existe algún número positivo p con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x > p resulta que f(x) < h. El símbolo −∞=

∞+flim se lee “el límite de f en +∞ es - ∞ ”.

El símbolo −∞=+∞→

)x(flimx

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a + ∞ es - ∞ ”.

La visualización de la definición de −∞=

+∞→)x(flim

x aparece en el próximo dibujo.

En este caso y en lo que se refiere al orden en que van apareciendo los elementos que participan en esa definición, en primer lugar está la función f,

luego el número negativo h (en el eje →−

oy ) y finalmente el número positivo p (en

el eje →−

ox ).

Ejemplo 35 - Límites cuando x → + ∞

Primera parte : 0x1lim

x=

+∞→

Sea r > 0. Atentos a la definición 24, debemos probar que existe p > 0 con la

siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x > p resulta que rx1

< .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


146

Si x > 0 tenemos que x1

x1

= y r1xr

x1

>⇔< .

Por lo tanto, al elegir r1p = se verifica que si x > p entonces r

x1

< .

Segunda parte : +∞===

+∞→+∞→+∞→

x

xxxelim)x(Llimxlim

En los tres casos aplicaremos la definición 25. 1) +∞=

+∞→xlim

x

Sea k > 0. Debemos probar que existe p > 0 con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x > p resulta que x > k Ello es muy simple pues alcanza con que elijamos p = k. 2) +∞=

+∞→)x(Llim

x

Sea k > 0. Debido a que L(x) > k ⇔ kex > , elegimos p = e k y concluimos que si x > p entonces L(x) > k. 3) +∞=

+∞→

x

xelim

Sea k > 0. Puesto que e x > k ⇔ x > L(k) y L(k) > 0 ⇔ k > 1, elegimos p = L(k) si k > 1 y, por ejemplo, p = 1 si 0 < k ≤ 1. Tenemos que si x > p entonces e x > k.

Tercera parte : +∞==+∞→+∞→ )x(L

xlimx

elimx

x

x

En la demostración de los dos resultados de esta parte utilizaremos algo que

aprendimos en el ejemplo 31. Allí vimos que !2

xx1e2

x ++> ∀ x > 0. Por lo

tanto si x > 0 tenemos que 2xe

2x > y, en consecuencia,

2x

xex

> .

1) +∞=+∞→ x

elimx

x

Sea k > 0. Debemos probar que existe p > 0 con la siguiente propiedad: para

cualquier x que cumpla x > p resulta que kx

ex

> . Para ello alcanza con que

elijamos p = 2k pues si x > 2k resulta que k2x

xex

>> .

2 ) +∞=+∞→ )x(L

xlimx

Sea k > 0. Tenemos que hallar algún p > 0 tal que si x > p entonces k)x(L

x> .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


147

2)x(L

)x(Le

)x(Lx )x(L

>= si x > 1 (recordemos que para x > 1 es L(x) > 0).

k2exk2)x(Lk2

)x(L>⇔>⇔> (notemos que e 2k > 1 pues k > 0).

En resumen, al elegir p = e 2k llegamos a que si x > p entonces k)x(L

x> .

Cuarta parte : 0)x(Lxlim

ox=

+→

Estamos interesados en un límite cuando x tiende a 0 por la derecha y no cuando x tiende a más infinito. Lo incluimos aquí pues usaremos un resultado

que recién hemos justificado: si k > 0 y x > e 2k entonces k)x(L

x> (*).

Según la definición 21 (modificada para que contemple el hecho que x → 0+), debemos probar que para cada número positivo r existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla 0 < x < s resulta que | x L(x) | < r. Si 0 < x < 1 tenemos que L(x) < 0, por lo cual | x L(x) | = x (-L(x)).

Como ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

x1L)x(L , resulta que ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

x1Lx|)x(Lx| si 0 < x < 1.

Por lo tanto, si 0 < x < 1 tenemos que )x/1(L

x/1r1r

x1Lxr)x(Lx <⇔<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇔< .

Debido a (*) sabemos que la última desigualdad se cumple cuando r2

ex1

> , o

sea r2

ex−

< (nota que 1e r2

<−

).

En resumen, para s = r2

e−

tenemos que si 0 < x < s entonces |x L(x)| < r. Quinta parte : No existe )x(mantlim

x +∞→

En vez de dar un ejemplo de −∞=

+∞→)x(flim

x (para ello alcanza con considerar la

opuesta de cualquiera de las funciones de la segunda parte) hemos preferido analizar un caso en el que no existe )x(flim

x +∞→. Para ello elegimos la función

mantisa. Recordemos, para comenzar, su representación gráfica.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


148

Como la función mantisa es acotada en R (0 ≤ mant(x) < 1 ∀ x ∈ R), es claro que )x(mantlim

x +∞→ no es ni + ∞ ni - ∞ . Sólo nos queda la posibilidad de que

)x(mantlimx +∞→

sea un número, pero sospechamos que eso no es cierto debido a

la representación gráfica de la función. ¿Cómo confirmamos esa sospecha? Lo haremos razonando por el absurdo. 1) Supongamos que )x(mantlim

x +∞→ = L > 0.

De acuerdo con la definición 24, para r =2L existe algún número positivo p

tal que si x > p entonces 2L3)x(mant

2L0 <<< . Pero esto es falso pues la

mantisa de cualquier número natural vale 0. 2) Supongamos ahora que )x(mantlim

x +∞→ = 0.

De acuerdo con la definición 24, para r = 0,1 existe algún número positivo p tal que si x > p entonces –0,1 < mant(x) < 0,1. Pero esto también es falso ya que mant(0,5) = mant(1,5) = mant(2,5) = ... = 0,5.

3) Supongamos finalmente que )x(mantlimx +∞→

= L < 0.

De acuerdo con la definición 24, para r = -2L existe algún número positivo p

tal que si x > p entonces 02L)x(mant

2L3

<<< . Pero esto es falso pues la

mantisa de cualquier número es no negativa. En resumen, no existe )x(mantlim

x +∞→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


149

Definición 27 – Límite finito de una función en menos infinito Sean f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta izquierda contenida en D y L ∈ R. Diremos que el límite de f en - ∞ es L cuando para cada número positivo r existe algún número negativo q con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x < q resulta que |f(x) – L| < r. El símbolo Lflim =

∞− se lee “el límite de f en - ∞ es L”.

El símbolo L)x(flimx

=−∞→

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a - ∞ es L”.

La definición de L)x(flim

x=

+∞→ puede visualizarse en el siguiente dibujo.

Reiteremos nuestra preocupación por el orden en que van apareciendo los elementos que participan en esta definición. En primer lugar está la función f,

luego el número L (en el eje →−

oy ) y el número positivo r (que motiva los números

L – r y L + r en el eje →−

oy ) y finalmente el número negativo q (en el eje →−

ox ). Ejemplo 36 – Límites finitos cuando x → - ∞

Primera parte : 0x1lim

x=

−∞→

Sea r > 0. Atentos a la definición 27, debemos probar que existe q < 0 con la

siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x < q resulta que rx1

< .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


150

Si x < 0 tenemos que x1

x1 −

= y r1x

r1xr

x1

−<⇔>−⇔<− .

Por lo tanto, al elegir r1q −= se verifica que si x < q entonces r

x1

< .

Segunda parte : 0elim x

x=

−∞→

Sea r > 0. Debemos probar que existe q < 0 tal que si x < q entonces | e x | < r. | e x | < r ⇔ e x < r ⇔ x < L(r) (recuerda que e x > 0 ∀ x ∈ R). Por lo tanto, si x < L(r) entonces | e x | < r. Lo anterior nos lleva a elegir q = L(r) cuando 0 < r < 1 (en ese caso L(r) < 0) y, por ejemplo, q = -1 cuando r ≥ 1 (en ese caso L(r) ≥ 0). Definición 28 – Límite más infinito de una función en menos infinito Sea f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta izquierda contenida en D. Diremos que el límite de f en - ∞ es + ∞ cuando para cada número positivo k existe algún número negativo q con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x < q resulta que f(x) > k. El símbolo +∞=

∞−flim se lee “el límite de f en - ∞ es + ∞ ”.

El símbolo +∞=−∞→

)x(flimx

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a - ∞ es + ∞ ”.

En el próximo dibujo se visualiza la definición anterior.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


151

Definición 29 – Límite menos infinito de una función en menos infinito Sea f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta izquierda contenida en D. Diremos que el límite de f en - ∞ es - ∞ cuando para cada número negativo h existe algún número negativo q con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x < q resulta que f(x) < h. El símbolo −∞=

∞−flim se lee “el límite de f en - ∞ es - ∞ ”.

El símbolo −∞=−∞→

)x(flimx

se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a - ∞ es - ∞ ”.

A continuación visualizamos esta última definición.

Ejemplo 37 – Límites infinitos cuando x → - ∞ Primera parte : −∞=

−∞→xlim

x

Sea h < 0. De acuerdo con la definición 29 debemos probar que existe q < 0 tal que si x < q entonces x < h. Para ello alcanza con que elijamos q = h. Segunda parte : +∞=−

−∞→)x(lim

x

Sea k > 0. Según la definición 28 tenemos que probar que existe q < 0 tal que si x < q entonces -x > k, o sea x < -k. Para ello alcanza con que elijamos q = -k (en esta parte hemos sido poco originales ya que nos limitamos a tomar la opuesta de la función de la primera parte).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


152

Ejercicio 64 Prueba que no existe )x(mantlim

x −∞→

Para finalizar este capítulo presentaremos un resumen de los principales resultados que hemos obtenido (ejemplos 33 a 37 y ejercicio 63).

♣ Regla de la continuidad ♣

Si f es una función continua en a entonces )a(f)x(flimax

=→

♣ Regla de la derivabilidad ♣

Si f es una función derivable en p entonces )p(fpx

)p(f)x(flim ´

px=

−−

→

♣ La función f : R → R / f(x) = x ♣ −∞=

−∞→xlim

x +∞=

+∞→xlim

x

♣ La función f : R* → R / f(x) = x1 ♣

−∞=−→ x1lim

0x +∞=

+→ x1lim

0x 0

x1lim

x=

−∞→ 0

x1lim

x=

+∞→

♣ La función f : R+ → R / f(x) = L(x) ♣

−∞=+→

)x(Llim0x

+∞=+∞→

)x(Llimx

0)x(Lxlimox

=+→

♣ La función f : R → R / f(x) = e x ♣

0elim x

x=

−∞→ +∞=

+∞→

x

xelim

♣ Tres funciones con límite +∞ cuando x tiende a + ∞ ♣

+∞===+∞→+∞→+∞→

x

xxxelim)x(Llimxlim

♣ Comparación entre las funciones anteriores (comparación de infinitos) ♣

+∞=+∞→ x

elimx

x +∞=

+∞→ )x(Lxlim

x

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Límites (segunda parte) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

153

CAPITULO 10 – LIMITES (segunda parte) 1 – INTRODUCCION En el capítulo anterior nos concentramos en el concepto de límite para las funciones reales de variable real (nueve definiciones contemplaron las distintas situaciones que analizamos) y en justificar el resultado de unos cuantos límites. Asimismo, dimos dos reglas para calcular límites (la regla de la continuidad y la regla de la derivabilidad). Ha llegado el momento de estudiar propiedades asociadas a los límites. Ese es el objetivo de este capítulo. 2 – UNICIDAD DEL LIMITE, ACOTACION Y FUNCION COMPRENDIDA Es claro que las tres definiciones de )x(flim

ax→ (limite finito, límite más infinito y

límite menos infinito) son incompatibles entre sí. Es decir, no puede ocurrir más de una de las siguientes posibilidades: L)x(flim

ax=

→, +∞=

→)x(flim

ax, −∞=

→)x(flim

ax.

Ahora bien, ¿podrá darse, en el caso de límite finito, que haya más de un número que sea el resultado del límite? El próximo teorema nos convence de que ello es falso. Teorema 32 – Unicidad del límite Si 1ax

L)x(flim =→

y 2axL)x(flim =

→ entonces L1 = L2.

Demostración Razonemos por el absurdo, o sea supongamos que L1 ≠ L2. Consideremos, por ejemplo, el caso en que L1 < L2.

Atentos a la definición 21, para 02

LLr 12 >−

= tenemos que:

• Existe s1 > 0 tal que rL)x(frL 11 +<<− ∀ x ∈ V*(a,s1). • Existe s2 > 0 tal que rL)x(frL 22 +<<− ∀ x ∈ V*(a,s2). Sea t un número común a los entornos V*(a,s1) y V*(a,s2). Para ese t se cumple

que rL)t(frL 12 +<<− , lo cual es absurdo pues 2

LLrLrL 1212

+=+=− .

Ejercicio 65 Enuncia y demuestra el teorema sobre unicidad del límite cuando x → + ∞ y cuando x → - ∞ . Cuando estudiamos el tema de continuidad en el capítulo 4 vimos, entre otros, el teorema de conservación del signo y el teorema de función acotada en un

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


154

entorno. Hay resultados similares para los límites, algunos de los cuales están incluidos en el próximo teorema. Teorema 33 – Acotación 1) Si L)x(flim

ax=

→, entonces existe algún V*(a) en el que f es acotada.

2) Si 0L)x(flimax

>=→

, entonces existe algún número positivo c y algún V*(a)

tales que f(x) > c ∀ x ∈ V*(a). 3) Si +∞=

→)x(flim

ax, entonces existe algún número positivo c y algún V*(a) tales

que f(x) > c ∀ x ∈ V*(a). 4) Si 0L)x(flim

ax<=

→, entonces existe algún número negativo d y algún V*(a)

tales que f(x) < d ∀ x ∈ V*(a). 5) Si −∞=

→)x(flim

ax, entonces existe algún número negativo d y algún V*(a)

tales que f(x) < d ∀ x ∈ V*(a). Demostración Debido a que las demostraciones de las cinco partes de este teorema son parecidas, nos limitaremos a justificar la primera y la última. Parte 1 Según la definición 21, para r = 1 existe algún V*(a) tal que ∀ x ∈ V*(a) se cumple que L – 1 < f(x) < L + 1. Esto significa que f es acotada en ese V*(a). Parte 5 Según la definición 23, para h = -1 existe algún V*(a) tal que ∀ x ∈ V*(a) se cumple que f(x) < -1. Si elegimos d = -1 tenemos que f(x) < d ∀ x ∈ V*(a). Hemos enunciado el teorema anterior cuando x → a. Sin duda, podemos hacerlo también cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ con el cuidado de cambiar el entorno reducido por una semirrecta derecha o una semirrecta izquierda. Esto es cierto en la mayoría de los teoremas de este capítulo y en esos casos nos conformaremos con afirmar que “también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ ”.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


155

Teorema 34 – Límite de la función comprendida Sean f, g y h funciones que cumplen: • L)x(flim

ax=

→ y L)x(hlim

ax=

→

• Existe algún V*(a) tal que ∀ x ∈ V*(a) es f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Entonces L)x(glim

ax=

→.

Demostración Sea r > 0. Probaremos que existe s > 0 tal que L – r < g(x) < L + r ∀ x ∈ V*(a,s). • Como L)x(flim

ax=

→, existe s1 > 0 tal que L – r < f(x) < L + r ∀ x ∈ V*(a,s1).

• Como L)x(hlimax

=→

, existe s2 > 0 tal que L – r < h(x) < L + r ∀ x ∈ V*(a,s2).

• Sabemos, además, que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ V*(a). Tomemos V*(a,s) = V*(a,s1) ∩ V*(a,s2) ∩ V*(a). Si x ∈ V*(a,s) se cumple que L – r < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + r. Por lo tanto L – r < g(x) < L + r ∀ x ∈ V*(a,s). Este teorema también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ . Ejemplo 38 – Una aplicación del teorema sobre límite de la función comprendida

Calcularemos x

)x(mantlimx +∞→

.

Sabemos que no existe )x(mantlimx +∞→

pero 0 ≤ mant(x) < 1 ∀ x ∈ R. Esto último

implica que si x > 0 entonces x1

x)x(mant0 <≤ . Además, 0

x1lim0lim

xx==

+∞→+∞→. Por

lo tanto 0x

)x(mantlimx

=+∞→

.

Ejercicio 66

1) Calcula x

)x(mantlimx −∞→

.

2) Sea f : R → R / f(x) =⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠

0xsi1

0xsix

)x(mant.

Justifica la siguiente representación gráfica de f (realmente impactante).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


156

3 – OPERACIONES CON LIMITES En esta sección nos ocuparemos de tres teoremas que nos enseñarán a calcular, en ciertas condiciones, el límite de una suma de funciones, el límite de un producto de funciones y el límite del inverso de una función. Teorema 35 – Operaciones con límites (suma) Propiedad S1

Lflima

= Mglima

= ⇒ ML)gf(lima

+=+

Propiedad S2 +∞=flim

a ∃ V*(a) / g(x) > c ∀ x ∈ V*(a) ⇒ +∞=+ )gf(lim

a

Propiedad S3 −∞=flim

a ∃ V*(a) / g(x) < d ∀ x ∈ V*(a) ⇒ −∞=+ )gf(lim

a

Demostración Demostraremos las propiedades S1 y S2 (la demostración de S3 es similar a la de S2). Propiedad S1

Definamos f1 y g1 así: f1(x) =⎩⎨⎧

=≠axsiLaxsi)x(f

, g1(x) =⎩⎨⎧

=≠

axsiMaxsi)x(g

.

La función f1 es continua en a pues )a(fL)x(flim)x(flim 1ax1ax===

→→. Lo mismo pasa

con la función g1. Por lo tanto f1 + g1 es continua en a y, en consecuencia, resulta que ML)a(g)a(f))x(g)x(f(lim))x(g)x(f(lim 1111axax

+=+=+=+→→

.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


157

Propiedad S2 Sea k > 0. De acuerdo con la definición 22 debemos probar que existe s > 0 tal que (f + g)(x) > k ∀ x ∈ V*(a,s). Sabemos que: • (f + g)(x) = f(x) + g(x) > f(x) + c ∀ x ∈ V*(a) (pues g(x) > c ∀ x ∈ V*(a)). • Existe s1 > 0 tal que f(x) > k – c ∀ x ∈ V*(a,s1) (pues +∞=

→)x(flim

ax).

Tomemos V*(a,s) = V*(a,s1) ∩ V*(a). Si x ∈ V*(a,s) se cumple que (f + g)(x) > k. Este teorema también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ . Ejemplo 39 – Operaciones con límites (suma) Primera parte : La propiedad S1 En la propiedad S1 intervienen dos funciones con límite finito.

En el ejemplo 34 vimos que 3)4x2x(lim 3

1x=+−

→ y 1

1x)x(Llim

1x=

−→.

Por lo tanto, 4131x)x(L4x2xlim 3

1x=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−++−

→.

Segunda parte : La propiedad S2 En la propiedad S2 participan una función f que tiene límite más infinito y una función g que es acotada inferiormente. Esto último ocurre, según el teorema 33, cuando g tiene límite finito o límite más infinito.

+∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

→3x2

x1lim 20x

pues +∞=→ 20x x

1lim y 3)3x2(lim0x

=+→

.

+∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→ 220x x1

x1lim pues +∞=

→ 20x x1lim .

+∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→ x1xlim

x pues +∞=

+∞→xlim

x y 0

x1lim

x=

+∞→.

( ) +∞=++∞→

)x(Lxlimx

pues +∞=+∞→

xlimx

y +∞=+∞→

)x(Llimx

.

( ) +∞=++∞→

)x(mantelim x

x pues +∞=

+∞→

x

xelim y 0 ≤ mant(x) ∀ x ∈ R.

Tercera parte : La propiedad S3 Finalmente, en la propiedad S3 aparecen una función f que tiene límite menos infinito y una función g que es acotada superiormente. Esto último ocurre, según el teorema 33, cuando g tiene límite finito o límite menos infinito.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


158

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

−→

3x2x

1lim 20x pues −∞=

−→ 20x x

1lim y 3)3x2(lim0x

=+→

.

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

→ 220x x1

x1lim pues −∞=

−→ 20x x

1lim .

−∞=++→

)e)x(L(lim x

0x pues −∞=

+→)x(Llim

0x y 1elim x

0x=

+→.

( ) −∞=+−∞→

)x(mantxlimx

pues −∞=−∞→

xlimx

y mant(x) < 1 ∀ x ∈ R.

Cuarta parte : Una situación complicada En el teorema 35 no está prevista la posibilidad de que un sumando tenga límite más infinito y el otro tenga límite menos infinito. No se trata de un olvido ya que en ese caso el resultado del límite de la suma depende de los sumandos. En efecto:

00limx

1x1lim

0x220x==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+→→

.

3)3x2(limx

13x2x1lim

0x220x=+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

→→.

+∞==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+→→ 20x220x x

1limx

1x2lim .

−∞=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+→→ 20x220x x

1limx

2x1lim .

( ) )x(mantlim)x())x(mantx(limxx +∞→+∞→

=−++ que no existe.

Estamos ante una situación que llamaremos “un caso de indeterminación”, la que representaremos mediante “(+ ∞ ) + (- ∞ )”. Ejercicio 67 Calcula los siguientes límites:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−+→ 1x

1x

1x1lim0x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

→ x124xlim

x

0x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→ x1elim x

x ( ))x(Lelim x

x+

+∞→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−∞→ x1elim x

x ( )xelim x

x+

−∞→

x)x(Elim

x +∞→

(recuerda que E(x) = x – mant(x)) x

)x(mantlim0x −→

(mant(x)) = x + 1 si -1 ≤ x < 0)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


159

Teorema 36 – Operaciones con límites (producto) Propiedad P1

Lflima

= Mglima

= ⇒ LM)gf(lima

=

Propiedad P2 +∞=flim

a ∃ V*(a) / g(x) > c > 0 ∀ x ∈ V*(a) ⇒ +∞=)gf(lim

a

Propiedad P3 +∞=flim

a ∃ V*(a) / g(x) < d < 0 ∀ x ∈ V*(a) ⇒ −∞=)gf(lim

a

Propiedad P4 −∞=flim

a ∃ V*(a) / g(x) > c > 0 ∀ x ∈ V*(a) ⇒ −∞=)gf(lim

a

Propiedad P5 −∞=flim

a ∃ V*(a) / g(x) < d < 0 ∀ x ∈ V*(a) ⇒ +∞=)gf(lim

a

Propiedad P6 0flim

a= g es acotada en algún V*(a) ⇒ 0)gf(lim

a=

Demostración Nos limitaremos a demostrar las últimas dos propiedades. Propiedad P5 Sea k > 0. De acuerdo con la definición 22 debemos probar que existe s > 0 tal que (f g)(x) > k ∀ x ∈ V*(a,s). Sabemos que: • g(x) < d < 0 ∀ x ∈ V*(a).

• Existe s1 > 0 tal que dk)x(f < ∀ x ∈ V*(a,s1) (pues −∞=

→)x(flim

ax).

Tomemos V*(a,s) = V*(a,s1) ∩ V*(a).

Si x ∈ V*(a,s) se cumple que –g(x) > -d > 0 y .0dk)x(f >−>− Ello implica que

k))x(g))(x(f()x(g)x(f >−−= . Por lo tanto, (f g)(x) > k ∀ x ∈ V*(a,s). Propiedad P6 Sea r > 0. De acuerdo con la definición 21 debemos probar que existe s > 0 tal que |(f g)(x)| < r ∀ x ∈ V*(a,s). Sabemos que: • g es acotada en V*(a), por lo cual |g(x)| < j ∀ x ∈ V*(a).

• Existe s1 > 0 tal que jr|)x(f| < ∀ x ∈ V*(a,s1) (pues 0)x(flim

ax=

→).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


160

Tomemos V*(a,s) = V*(a,s1) ∩ V*(a). Si x ∈ V*(a,s) se cumple que r|)x(g||)x(f||)x(g)x(f| <= . En consecuencia tenemos que |(f g)(x)| < r ∀ x ∈ V*(a,s). Este teorema también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ . Ejemplo 40 – Operaciones con límites (producto) Primera parte : La propiedad P1 En la propiedad P1 intervienen dos funciones con límite finito.

Ya recordamos que 3)4x2x(lim 3

1x=+−

→ y 1

1x)x(Llim

1x=

−→.

Entonces 155.31x)x(L5)4x2x(lim 3

1x==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

→ (usamos dos veces P1).

Segunda parte : Las propiedades P2 y P4 En las propiedades P2 y P4 participan una función f que tiene límite más infinito o menos infinito y una función g que es acotada inferiormente por un número positivo. Esto último ocurre, según el teorema 33, cuando g tiene límite finito positivo o límite más infinito.

+∞=+→

)1x(x1lim 20x

pues +∞=→ 20x x

1lim y 1)1x(lim0x

=+→

.

+∞=+∞→

)x(Lxlimx

pues +∞==+∞→+∞→

)x(Llimxlimxx

.

+∞=+∞→

2

xxlim pues +∞=

+∞→xlim

x.

+∞=+∞→

3

xxlim pues +∞=

+∞→xlim

x y +∞=

+∞→

2

xxlim .

+∞=−−=−∞→−∞→

)x)(x(limxlimx

2

x pues +∞=−

−∞→)x(lim

x.

−∞=++→

)2x())x(L(lim0x

pues −∞=+→

)x(Llim0x

y 2)2x(lim0x

=++→

.

−∞=+→ 20x x

1))x(L(lim pues −∞=+→

)x(Llim0x

y +∞=+→ 20x x

1lim .

−∞=−∞→

3

xxlim pues −∞=

−∞→xlim

x y +∞=

−∞→

2

xxlim .

Tercera parte : Las propiedades P3 y P5 En las propiedades P3 y P5 participan una función f que tiene límite más infinito o menos infinito y una función g que es acotada superiormente por un número negativo. Esto último ocurre, según el teorema 33, cuando g tiene límite finito negativo o límite menos infinito.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


161

−∞=−→

)1x(x1lim 20x

pues +∞=→ 20x x

1lim y 1)1x(lim0x

−=−→

.

−∞=−+∞→

)x(limx

pues +∞=+∞→

xlimx

y 1)1(limx

−=−+∞→

.

−∞=−+∞→

)x(elim x

x pues +∞=

+∞→

x

xelim y −∞=−

+∞→)x(lim

x.

+∞=−+→

)2x())x(L(lim0x

pues −∞=+→

)x(Llim0x

y 2)2x(lim0x

−=−+→

.

+∞=−

+→ 20x x1))x(L(lim pues −∞=

−=

++ →→ 20x0x x1lim)x(Llim .

Cuarta parte : La propiedad P6 Finalmente, en la propiedad P6 aparecen una función f que tiene límite 0 y una función g que es acotada. Esto último ocurre, según el teorema 33, cuando g tiene límite finito.

0)x(mantxlim0x

=→

pues 0xlim0x

=→

y 0 ≤ mant(x) < 1 ∀ x ∈ R.

0x

)x(Eelim x

x=

−∞→ pues 0elim x

x=

−∞→ y 1

x)x(Elim

x=

−∞→.

Quinta parte : Otra situación complicada En el teorema 36 no está prevista la posibilidad de que un factor tenga límite más infinito o menos infinito y el otro tenga límite 0. Los ejemplos que siguen muestran que en ese caso el resultado del límite del producto depende de los factores. Estamos ante otro “caso de indeterminación”, al que representaremos mediante “ ∞ .0”.

11limxx1lim

0x

220x

==→→

.

22limx2x1lim

0x

220x

==→→

.

+∞==+∞→+∞→ x

elimx1elim

x

x

x

x.

−∞==−− →→ x1limx

x1lim

0x20x.

( ) )xsgn(limxxx1lim

0x20x →→= que no existe pues 1)xsgn(lim

0x−=

−→ y 1)xsgn(lim

0x=

+→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


162

Teorema 37 – Operaciones con límites (inverso) Propiedad I1

0Lglima

≠= ⇒ L

1g1lim

a=

Propiedad I2 0glim

a= ∃ V*(a) / g(x) > 0 ∀ x ∈ V*(a)

⇒ +∞=

g1lim

a

Propiedad I3 0glim

a= ∃ V*(a) / g(x) < 0 ∀ x ∈ V*(a)

⇒ −∞=

g1lim

a

Propiedad I4 +∞=glim

a ó −∞=glim

a

⇒ 0

g1lim

a=

Demostración Sólo demostraremos la propiedad I3. Sea h < 0. De acuerdo con la definición 23 debemos probar que existe s > 0 tal

que h)x(g

1< ∀ x ∈ V*(a,s).

Sabemos que: • g(x) < 0 ∀ x ∈ V*(a).

• Existe s1 > 0 tal que h1|)x(g| −< ∀ x ∈ V*(a,s1) (pues 0)x(glim

ax=

→).

Tomemos V*(a,s) = V*(a,s1) ∩ V*(a).

Si x ∈ V*(a,s) se cumple que h1)x(g)x(g −<−= y por lo tanto h

)x(g1

< .

Este teorema también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ . Ejemplo 41 – Operaciones con límites (inverso) Primera parte : La propiedad I1 En la propiedad I1 interviene una función con límite finito distinto de 0.

31

1x21lim

1x=

+→ pues 3)1x2(lim

1x=+

→.

Segunda parte : Las propiedades I2 e I3 En las propiedades I2 e I3 participa una función con límite 0 que en un caso es positiva y en el otro negativa.

+∞=+→ 30x x

1lim pues 0xlim 3

0x=

+→ y x3 > 0 ∀ x > 0.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


163

−∞=−→ 30x x

1lim pues 0xlim 3

0x=

+→ y x3 < 0 ∀ x < 0.

−∞=+→ )x(Lx

1lim0x

pues 0)x(Lxlim0x

=+→

y x L(x) < 0 si 0 < x < 1.

Tercera parte : La propiedad I4 Finalmente, en la propiedad I4 aparecen una función que tiene límite más infinito o menos infinito.

0x1lim 3x

=+∞→

pues +∞=+∞→

3

xxlim .

0x1lim 3x

=−∞→

pues −∞=−∞→

3

xxlim .

0exlim xx

=+∞→

pues +∞=+∞→ x

elimx

x.

0x

)x(Llimx

=+∞→

pues +∞=+∞→ )x(L

xlimx

.

Ejemplo 42 – Operaciones con límites (cociente) Cuando nos interesa calcular el límite de un cociente de dos funciones, los

teoremas 36 y 37 son útiles ya que g1f

gf

= . Así por ejemplo (confiamos que

justifiques los resultados que damos):

+∞=−+

→ 21x )1x(2xlim +∞=

−+

+→ 1x2xlim

1x −∞=

−+

−→ 1x2xlim

1x

0x

elimx

x=

−∞→ −∞=

+−∞→ xx e1xlim +∞=

−−∞→ 1exlim xx

El “caso de indeterminación” del límite de un producto y lo que aprendimos en el teorema 37 motivan varios “casos de indeterminación” del límite de un cociente: el numerador y el denominador tienen límite 0 o tienen límite más infinito o tienen límite menos infinito o uno tiene límite más infinito y el otro

menos infinito. Identificaremos esos casos mediante "00" o ""

∞∞ . Con el fin

de resolver esos “casos de indeterminación” veremos a continuación dos teoremas que son útiles en algunas situaciones.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


164

Teorema 38 – Límite de un polinomio y de un cociente de polinomios Sean: • n y m números naturales distintos de 0. • 01

1n1n

nn axa...xaxa)x(f ++++= −

− con 0an ≠ . • 01

1m1m

mm bxb...xbxb)x(g ++++= −

− con 0bm ≠ . Entonces: 1) n

nxxxalim)x(flim

+∞→+∞→= y n

nxxxalim)x(flim

−∞→−∞→= .

2) mm

nn

xx xbxalim

)x(g)x(flim

+∞→+∞→= y m

m

nn

xx xbxalim

)x(g)x(flim

−∞→−∞→= .

Demostración Trabajaremos sólo cuando x → + ∞ ya que lo que haremos en ese caso vale también cuando x → - ∞ .

1) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

−−

nn

01n

n

1

n

1nnn x

1aa

x1

aa...

x1

aa1xa)x(f .

Además, 0x1lim

x1lim...

x1lim nx1nxx

====+∞→−+∞→+∞→

.

En consecuencia, )x(fxa)x(f 1n

n= , donde 1)x(flim 1x=

+∞→.

Resulta pues que nnxx

xalim)x(flim+∞→+∞→

= .

(hemos usado, sin duda, los teoremas 35, 36 y 37). 2) De acuerdo con el razonamiento que acabamos de hacer, tenemos que

)x(fxa)x(f 1n

n= y )x(gxb)x(g 1m

m= , donde 1)x(flim 1x=

+∞→ y 1)x(glim 1x

=+∞→

.

Por lo tanto, mm

nn

x1

1m

m

nn

x1

mm

1n

n

xx xbxalim

)x(g)x(f

xbxalim

)x(gxb)x(fxalim

)x(g)x(flim

+∞→+∞→+∞→+∞→=== .

Ejemplo 43 – Límite de polinomios y de cocientes de polinomios El teorema 38 es realmente impactante pues nos asegura que si queremos calcular el límite de un polinomio o de un cociente de dos polinomios, en ambos casos cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ , podemos limitarnos a considerar sólo el o los términos de mayor grado. Así por ejemplo:

+∞==+−+∞→+∞→

3

x

3

xx2lim)8x5x2(lim .

+∞=−=++−−∞→−∞→

)x4(lim)x7x3x4(lim 3

x

23

x.

43

x4x3lim

5xx49x2x3lim 2

2

x2

2

x==

−++−

+∞→+∞→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


165

0x1lim

xxlim

4x2xx1xlim 2x3x23x

===−++

+−∞→−∞→−∞→

.

+∞===−+

+−−∞→−∞→−∞→ 2

xlimx2

xlim3x5x27x2xlim

2

x2

4

x2

4

x.

Teorema 39 – Regla del cociente de derivadas Sean f y g funciones derivables en p tales que f(p) = g(p) = 0 y g ‘(p) ≠ 0.

Entonces )p('g)p('f

)x(g)x(flim

px=

→.

Demostración Este teorema es consecuencia de la regla de la derivabilidad y de la primera parte de los teoremas 36 y 37. En efecto:

)p('g)p('f

px)p(g)x(g:

px)p(f)x(flim

)p(g)x(g)p(f)x(flim

)x(g)x(flim

pxpxpx=

−−

−−

=−−

=→→→

.

Ejemplo 44 – Regla del cociente de derivadas

La regla del cociente de derivadas se aplica para calcular )x(g)x(flim

px→ ante el caso

de indeterminación "00" , cuando tanto f como g son funciones derivables en p

y g ‘(p) ≠ 0.

Usaremos esa regla para calcular 8x

4x)x3(Llim 3

2

2x −−+−

→.

Observemos, en primer lugar, que 0)8x(lim)4x)x3(L(lim 3

2x

2

2x=−=−+−

→→ debido

a la regla de la continuidad. Consideremos ahora 4x)x3(L)x(f 2 −+−= y 8x)x(g 3 −= .

Como x2x3

1)x('f +−−

= y 2x3)x('g = resulta que f ‘(2) = 3 y g ‘(2) = 12 ≠ 0.

Por lo tanto, 41

123

)2('g)2('f

8x4x)x3(Llim 3

2

2x===

−−+−

→.

Ejercicio 68 Calcula los siguientes límites.

1x3x2lim

1x ++

→

1x3x2lim

x ++

+∞→

2

2

2x )2x(16x3lim

−−

→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


166

2

2

x )2x(16x3lim

−−

−∞→ 22x )2x(

1xlim++

−→ 2x )2x(

1xlim++

+∞→

1x1xlim

2

1x −+

+→

1x1xlim

2

1x −+

−→

1x1xlim

2

x −+

−∞→

81x27xlim 4

3

3x −−

→ )x(sh

)x41(Llim0x

+→

)x(L

2x37lim1x

−−→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Límites (tercera parte) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

167

CAPITULO 11 – LIMITES (tercera parte) 1 – INTRODUCCION Estamos casi convencidos de que el tema de límites te está resultando algo extenso. Quizás ya te has aburrido y no te sientes estimulado para continuar transitando por el camino de los límites. Por cierto te comprendemos, aunque te pedimos un nuevo esfuerzo en este capítulo. Es el precio que debes pagar para comprender uno de los conceptos básicos del análisis matemático. 2 – LIMITE DE LA FUNCION COMPUESTA Teorema 40 – Un teorema sobre composición de funciones con límite Sean f : D → R y g : E → R funciones tales que: • Existe f o g : E → R. • L)x(glim

ax=

→.

• f es continua en L. Entonces )L(f)x)(gf(lim

ax=

→o .

(Suponemos que a es “casi” interior a E y que L es interior a D) Demostración De acuerdo con la definición 21, demostrar que )L(f)x)(gf(lim

ax=

→o equivale a

probar que para cada número positivo r existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: si x es tal que 0 < |x – a| < s, entonces |(f o g)(x) – f(L)| < r. Consideremos r > 0. Como f es continua en L, sabemos que existe s1 > 0 tal que |f(u) – f(L)| < r si |u – L| < s1. Puesto que L)x(glim

ax=

→, podemos afirmar que existe s2 >0 tal que |g(x) – L| < s1

si 0 < |x – a| < s2. En resumen, 0 < |x – a| < s2 ⇒ |g(x) – L| < s1 ⇒ |f(g(x)) – f(L)| < r. Alcanza pues con que elijamos s = s2. Este teorema también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ . Ejemplo 45 – Aplicaciones del primer teorema sobre composición de funciones con límite 1) 1elimxlim )x(Lx

0x

x

0x==

→→ + pues 0)x(Lxlim

0x=

+→ y e 0 = 1.

Las funciones f y g del teorema 40 son las que detallamos a continuación. f : R → R / f(x) = e x y g : R+ → R / g(x) = x L(x).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


168

Esas funciones verifican la hipótesis del teorema pues: • Existe f o g : R+ → R. Además, (f o g)(x) = f(g(x)) = f(xL(x)) = e x L(x). • 0)x(Lxlim)x(glim

0x0x==

++ →→.

• f es continua en 0.

2) )2(L2x4x2Llim

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+∞→ pues 2

2x4x2lim

x=

−+

+∞→.

Resulta importante que tengamos en cuenta que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+2x4x2L existe cuando

02x4x2

>−+ , o sea cuando |x| > 2.

Las funciones f y g del teorema 40 son las siguientes:

f : R+ → R / f(x) = L(x) y g : E → R / 2x4x2)x(g

−+

= , donde E = { x / |x| > 2}.

Esas funciones verifican la hipótesis del teorema pues:

• Existe f o g : E → R. Además, (f o g)(x) = f(g(x)) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+2x4x2L .

• 22x4x2lim)x(glim

xx=

−+

=+∞→+∞→

.

• f es continua en 2.

3) eelim)x1(lim x)x1(L

0xx1

0x==+

+

→→ pues 1

x)x1(Llim

0x=

+→

y e1 = e.

Hemos calculado un límite famoso. Las funciones f y g del teorema 40 son:.

f : R → R / f(x) = e x y g : E → R / g(x) =x

)x1(L + , donde E = {x / x > -1, x ≠ 0}.

Esas funciones verifican la hipótesis del teorema pues:

• Existe f o g : E → R. Además, (f o g)(x) = f(g(x)) = x)x1(L

e+

.

• 1x

)x1(Llim)x(glim0x0x

=+

=→→

(este resultado consta en el ejercicio 61).

• f es continua en 1. El teorema 40 es muy útil para calcular límites pero no contempla algunos casos que nos interesan. La exigencia de que f sea continua en L = )x(glim

ax→ no

nos permite usar ese teorema si +∞=→

)x(glimax

o si −∞=→

)x(glimax

(pues L es un

número). Para superar esa situación, parece razonable cambiar la condición “f es continua en L” por “ M)u(flim

Lu=

→” y concluir que M)x)(gf(lim

ax=

→o . Pero el

ejemplo que sigue pone de manifiesto que eso no alcanza.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


169

Las funciones f y g tales que f(x) =⎩⎨⎧

=≠

0xsi20xsi1

y g(x) = 0 ∀ x cumplen:

• (f o g)(x) = f(g(x)) = f(0) = 2 ∀ x. • 0)x(glim

3x=

→.

• 1)u(flim0u

=→

.

• )u(flim2)x)(gf(lim0u3x →→

≠=o .

¿Cómo modificamos, entonces, las condiciones establecidas en el teorema 40? Una respuesta a esa pregunta está en el próximo teorema, cuya demostración es similar a la del teorema 40. Teorema 41 – Otro teorema sobre composición de funciones con límite Sean f : D → R y g : E → R funciones tales que: • Existe f o g : E → R. • L)x(glim

ax=

→ y existe V*(a) / g(x) ≠ L ∀ x ∈ V*(a).

• M)u(flimLu

=→

.

Entonces M)x)(gf(limax

=→

o .

(Suponemos que a es “casi” interior a E y que L es “casi” interior a D) Demostración De acuerdo con la definición 21, demostrar que M)x)(gf(lim

ax=

→o equivale a

probar que para cada número positivo r existe algún número positivo s con la siguiente propiedad: si x es tal que 0 < |x – a| < s, entonces |(f o g)(x) – M| < r. Consideremos r > 0. Puesto que M)u(flim

Lu=

→, sabemos que existe s1 > 0 tal que |f(u) – M| < r

siempre que 0 < |u – L| < s1 (¡no nos interesa u = L!). Como L)x(glim

ax=

→, podemos afirmar que existe s2 > 0 tal que |g(x) – L| < s1 si

0 < |x – a| < s2. Además, existe V*(a,s3) / g(x) ≠ L ∀ x ∈ V*(a,s3). Sea s el menor de los números s1, s2 y s3. Para ese s tenemos que:

0 < |x – a| < s ⇒ ⎩⎨⎧

≠

<−

L)x(gsL)x(g 1 ⇒ |f(g(x)) – M| < r

En el enunciado de este teorema pueden cambiarse L e incluso M por + ∞ o por - ∞ (cuando se cambia L por + ∞ o por - ∞ , es claro que es innecesaria la condición “existe V*(a) / g(x) ≠ L ∀ x ∈ V*(a)”).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


170

Ejemplo 46 – Aplicaciones del segundo teorema sobre composición de funciones con límite

1) +∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+→ 2x4x2Llim

2x pues +∞=

−+

+→ 2x4x2lim

2x y +∞=

+∞→)x(Llim

x.

2) −∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−−→ 2x4x2Llim

)2(x pues 0

2x4x2lim

)2(x=

−+

−−→ y −∞=

+→)x(Llim

0x.

(tuvimos en cuenta, por cierto, que 02x4x2

>−+ si x < -2)

3) 0elim x1

0x=

−→ pues −∞=

−→ x1lim

0x y 0elim x

x=

−∞→.

4) +∞=+→

x1

0xelim pues +∞=

+→ x1lim

0x y +∞=

+∞→

x

xelim .

5) ex11lim

x

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+∞→ pues 0

x1lim

x=

+∞→, 0

x1

≠ si x ≠0 y e)x1(lim x1

0x=+

→.

Ejercicio 69 Calcula los siguientes límites (indica si usas el teorema 40 o el 41):

3x2xlim

x −+

+∞→

3x2xlim

3x −+

+→

2e1elim x

x

x ++

+∞→

3))x(L(1)x(L2lim 2x +

++∞→

m

0xxlim

+→ (m ∈ R) m

xxlim

+∞→ (m ∈ R)

x

xalim

−∞→ (a ∈ R+) x

xalim

+∞→ (a ∈ R+) x

xxlim

+∞→

Ejemplo 47 – Comparación de infinitos

Ya sabemos que +∞==+∞→+∞→ )x(L

xlimx

elimx

x

x.

El propósito de este ejemplo es generalizar los resultados anteriores.

Probaremos que ( )

+∞==+∞→+∞→ p

m

xm

x

x )x(Lxlim

xalim para a > 1, m > 0 y p > 0.

1) +∞=+∞→ m

x

x xalim (a > 1)

)x(mL)a(xL)x(mL

)a(Lx

m

x

eee

xa −== .

+∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

+∞→+∞→ x)x(Lm)a(Lxlim))x(Lm)a(Lx(lim

xx pues 0

x)x(Llim

x=

+∞→ y L(a) > 0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


171

+∞=+∞→

x

xelim .

Lo anterior y el teorema 41 nos llevan a concluir que +∞=+∞→ m

x

x xalim (es

interesante que observes que no usamos el dato m > 0).

2) ( )

+∞=+∞→ p

m

x )x(Lxlim (m > 0)

( )p

)x(L

p

)x(Lm

p

)x(mL

p

m

))x(L(a

))x(L(e

))x(L(e

))x(L(x

=== , donde a = e m > 1 pues m > 0.

+∞=+∞→

)x(Llimx

.

+∞=+∞→ p

x

x xalim .

Al aplicar nuevamente el teorema 41 concluimos que ( )

+∞=+∞→ p

m

x )x(Lxlim (en

este caso no usamos el dato p > 0). En cuanto a la condición que deben cumplir m y p, ya señalamos que sobra el dato m > 0 en el primer límite y el dato p > 0 en el segundo. Nuestras exigencias se deben al título del ejemplo, pues si a > 1, m > 0 y p > 0 tenemos que +∞===

+∞→+∞→+∞→

p

x

m

x

x

x))x(L(limxlimalim .

Ejercicio 70 Calcula los siguientes límites:

100

x

x x2lim

+∞→ x

100

x 2xlim

+∞→

30x ))x(L(xlim

+∞→

x))x(L(lim

30

x +∞→ 1000

x

x ))x(L(2lim

+∞→ x

x

x axlim

+∞→ (a > 0)

. Ejemplo 48 – Cambio de variable La experiencia indica que muchas personas, entre las que nos contamos aunque hasta el momento lo hemos disimulado, usan los teoremas 40 y 41 con la idea de un cambio de variable. Las cuatro situaciones más habituales son las que constan en la próxima tabla (el cambio de variable está asociado a la función g de esos teoremas).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


172

Cambio de variable Igualdad de límites x → 0+

x1u =

u → + ∞ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+∞→→ + u1flim)x(flim

u0x

x → 0- x

1u −= u → + ∞ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+∞→→ − u1flim)x(flim

u0x

x → + ∞ x

1u = u → 0+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+→+∞→ u1flim)x(flim

0ux

x → - ∞ u = -x u → + ∞ ( )uflim)x(flimux

−=+∞→−∞→

Veamos algunos ejemplos (cada uno de ellos es un “caso de indeterminación” del límite de un producto).

1) +∞==+∞→→ + u

elimexlimu

ux1

0x (usamos el cambio de variable

x1u = ).

2) −∞=−=+∞→

−

→ − uelimexlim

u

ux1

0x (usamos el cambio de variable

x1u −= ).

3) 1u

1elim1exlimu

0ux1

x=

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+→+∞→ (usamos el cambio de variable

x1u = ).

4) 0eulimeulimexlim uu

u

u

x

x=−=−=

+∞→

−

+∞→−∞→ (usamos el cambio de variable u = -x).

Ejercicio 71 1) Calcula )x(Lxlim m

0x +→ (m > 0).

2) Prueba que no existe ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→ x1mantlim

0x.

3 – REGLAS DE L’HÔSPITAL Ya hemos apreciado la importancia de las derivadas en el cálculo de límites. Ahora analizaremos un nuevo procedimiento en el cual nuevamente las derivadas intervienen en forma destacada y que suele ser de gran utilidad ante los “casos de indeterminación” del límite de un cociente. Teorema 42 – Primera regla de L’Hôspital

Sean f y g funciones tales que 0)x(glim)x(flimaxax

==→→

y existe )x('g)x('flim

ax→.

Entonces )x('g)x('flim

)x(g)x(flim

axax →→= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


173

Demostración

Como existe )x('g)x('flim

ax→ resulta que en algún V*(a) existen f ‘ y g ‘ y g ‘ no vale 0.

........... .....(..... ............................................... .....X..... ............................................... .....)..... ........... a – s a a + s Si x ∈ V*(a,s) entonces existen f ‘(x) y g ‘(x) y g ‘(x) ≠ 0

Definamos f1 y g1 así: f1(x) =⎩⎨⎧

=≠axsi0axsi)x(f

, g1(x) =⎩⎨⎧

=≠axsi0axsi)x(g

.

La función f1 es continua en a pues )a(f0)x(flim)x(flim 1ax1ax===

→→. Lo mismo pasa

con la función g1. Además f1 y g1 son derivables en V*(a) pues allí coinciden con f y g. Consideremos ahora x ∈ V*(a). .....(..... .................................. .....[..... .................................. .....]..... .................................. .....).....

a - s a x a + s Las funciones f1 y g1 tienen las siguientes propiedades: • Son continuas en el intervalo [a,x] o [x,a] (en el dibujo supusimos x > a). • Son derivables en el intervalo (a,x) o (x,a). • g1(x) ≠ g1(a) pues si fuera g1(x) = g1(a), habría algún número entre a y x en

el que g ‘ valdría 0 (de acuerdo con el teorema de Rolle). Por lo tanto f1 y g1 cumplen con la hipótesis del teorema de Cauchy en el intervalo de extremos a y x. En consecuencia, existe c(x) tal que f1(x) g1‘(c(x)) = g1(x) f1‘(c(x)). Ese c(x) está en el intervalo abierto (a,x) o (x,a) y por lo tanto c(x) no es a (esto último será útil más adelante) y a)x(clim

ax=

→ (límite de función comprendida).

x > a x < a

......|...... ....................|.................... ......|...... ......|...... ....................|.................... ......|...... a c(x) x x c(x) a

a)x(climax

=+→

a)x(climax

=−→

En resumen, hemos demostrado que para cada x ∈ V*(a) existe c(x) tal que

c(x) ≠ a, a)x(climax

=→

y ))x(c(g))x(c(f

)x(g)x(f

'1

'1

1

1 = .

Por lo tanto ))x(c(g))x(c(flim

))x(c(g))x(c(flim

)x(g)x(flim

)x(g)x(flim '

'

ax'1

'1

ax1

1

axax →→→→=== .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


174

Además, )x(g)x(flim

))x(c(g))x(c(flim '

'

ax'

'

ax →→= pues existe

)x('g)x('flim

ax→, c(x) ≠ a y a)x(clim

ax=

→

(en el final hemos aplicado el teorema 41). Este teorema, cuya demostración es una de las más complicadas que hemos hecho hasta el momento, también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ . Ejemplo 49 – Primera regla de L’Hôspital

Primera parte : 20x x)x1(Lxlim +−

→

Observemos, en primer lugar, que ( ) 0xlim)x1(Lxlim 2

0x0x==+−

→→.

Si )x1(Lx)x(f +−= y 2x)x(g = resulta que 1x

xx1

11)x('f+

=+

−= y .x2)x('g =

Por lo tanto, 21

)1x(21lim

x21x

x

lim)x('g)x('flim

0x0x0x=

+=+=

→→→.

Concluimos que 21

x)x1(Lxlim 20x

=+−

→.

Segunda parte : )x(ch1)x(shxlim

0x −−

→

( ) ( ) 0)x(ch1lim)x(shxlim

0x0x=−=−

→→ (recuerda que sh y ch son funciones continuas

y que sh(0) = 0 y ch(0) = 1). Si )x(shx)x(f −= y )x(ch1)x(g −= resulta que )x(ch1)x('f −= y )x(sh)x('g −=

Por lo tanto, )x(sh)x(ch1lim

)x('g)x('flim

0x0x −−

=→→

.

Como ( ) ( ) 0)x(shlim)x(ch1lim0x0x

=−=−→→

, volvemos a aplicar la primera regla de

L’Hôspital.

)x(sh)x(''f −= y )x(ch)x(''g −= . 010

)x(ch)x(shlim

)x(''g)x(''flim

0x0x===

→→.

En resumen, 0)x(ch1)x(shxlim

0x=

−−

→.

Tercera parte : x

1elimx

0x

−+→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


175

0xlim1elim0x

x

0x==−

++ →→.

Sean 1e)x(f x −= y x)x(g = , con lo cual 1e2

e)x('fx

x

−= y

x21)x('g = .

1exlim

1exelim

)x('g)x('flim

x0xx

x

0x0x −=

−=

+++ →→→ pues 1elim x

0x=

+→.

Aún no hemos resuelto el problema ya que nuevamente el numerador y el denominador tienen límite 0. Al aplicar por segunda vez la primera regla de

L’Hôspital obtenemos x

1elimxe1elim

x

0xx

x

0x

−=

−++ →→

, o sea que volvemos al límite

que queremos calcular. Por lo tanto esta regla no es útil en este caso.

Pero no nos desesperemos pues sabemos que .1x

1elimx

0x=

−→

1x

1elimx

1elimx

0x

x

0x=

−=

−++ →→

.

Cuarta parte : x

elimx1

0x

−

→ +

0xlimelim0x

x1

0x==

++ →

−

→.

Si x1

e)x(f−

= y g(x) = x tenemos que 2

x1

xe)x('f

−

= y g ‘(x) = 1.

2

x1

0x0x xelim

)x('g)x('flim

−

→→ ++= . Sin duda la situación se ha complicado, por lo que no

seguiremos por este camino. El límite que nos interesa puede calcularse mediante un cambio de variable. En

efecto: 0eulimeulim

xelim uu

u

u

x1ux

1

0x===

+∞→

−

+∞→

=−

→ +.

Ejercicio 72 Usa la primera regla de L’Hôspital para calcular los siguientes límites:

20x x1)x(chlim −

→ 30x x

)x(shxlim −→

21x )1x(

x7x34lim−

−−+→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


176

La segunda regla de L’Hôspital contempla el caso de indeterminación ""∞∞ .

Teorema 43 – Segunda regla de L’Hôspital

Sean f y g funciones tales que +∞==→→

)x(glim)x(flimaxax


ax→.


)x(g)x(flim

axax →→= .

Este teorema también es válido cuando x → + ∞ o cuando x → - ∞ . En cuanto a las funciones f y g, pueden tener ambas límite más infinito o menos infinito o una de ellas límite más infinito y la otra menos infinito. Debido a que la demostración de la segunda regla de L’Hôspital es aún mas complicada que la de la primera, la haremos al final de este capítulo (sin duda se trata de una demostración para “especialistas”). Ejercicio 73 Usa la segunda regla de L’Hôspital para corroborar tres resultados que ya conoces.

xelim

x

x +∞→ )x(L

xlimx +∞→

x/1)x(Llim)x(Lxlim

0x0x ++ →→=

A esta altura estamos convencidos de la utilidad de la derivada para calcular límites. En algunas situaciones ocurre que los límites sirven para calcular derivadas (en realidad en algunos cursos se desarrolla la teoría de las derivadas después de la de los límites). Finalizaremos esta sección con dos teoremas y un ejemplo sobre ese tema. Teorema 44 – Derivada y límite Sean f : D → R una función y p un número interior a D.

Si Lpx

)p(f)x(flimpx

=−−

→ entonces f es derivable en p y f ‘(p) = L.

Demostración Antes de demostrar este teorema resulta interesante observar que el mismo es el recíproco de la regla de la derivabilidad para calcular límites que vimos en el capítulo 9.

Definamos α : D → R así: α(x) =⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

pxsiL

pxsipx

)p(f)x(f .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


177

Esta función es continua en p ya que )p(αLpx

)p(f)x(flim)x(αlimpxpx

==−−

=→→

.

Además f(x) – f(p) = α(x)(x – p) ∀ x ∈ D. Por lo tanto f es derivable en p y f ‘(p) = α(p) = L. Teorema 45 – Condición suficiente de existencia de f ‘(p) Sean f : D → R una función y p un número interior a D tales que f es continua en p y derivable en algún entorno reducido de centro p. Si L)x('flim

px=

→ entonces f es derivable en p y f ‘(p) = L

Demostración

Probaremos que Lpx

)p(f)x(flimpx

=−−

→.

0))p(f)x(f(limpx

=−→

pues f es continua en p. Además, .0)px(limpx

=−→

Al aplicar la primera regla de L’Hôspital resulta que L1

)x('flimpx

)p(f)x(flimpxpx

==−−

→→.

Ejemplo 50 – Una función inquietante

Consideremos la función f : R → R / f(x) =⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠

−

0xsi00xsie |x|

1

.

Esta función es continua en cualquier número distinto de 0 y también en 0. Esto

último se debe a que )0(f0elim)x(flim |x|1

0x0x===

−

→→.

Tengamos en cuenta, además, que:

2

x1

x1

xe)x('fe)x(f0x

−−

=⇒=⇒> ; 2

x1

x1

xe)x('fe)x(f0x −=⇒=⇒< .

Por lo tanto:

0eulim

xelim)x('flim u

2

u

x1u

2

x1

0x0x===

+∞→

=−

→→ ++ y 0

eulim

xelim)x('flim u

2

u

x1u

2

x1

0x0x=−=−=

+∞→

−=

→→ −−.

En resumen, 0)x('flim0x

=→

. El teorema 45 nos lleva a afirmar que f es derivable

en 0 y que f ‘(0) = 0. Al continuar con f ‘’ obtenemos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

4x1

xx21e)x(''f si x > 0 y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= 4x1

xx21e)x(''f si x < 0.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


178

Un razonamiento similar al que hicimos para calcular )x('flim0x→

concluye en que

0)x(''flim0x

=→

. Por lo tanto f tiene derivada segunda en 0 y f ‘’(0) = 0.

Y así podríamos seguir para llegar a que las derivadas sucesivas de la función que estamos analizando valen 0 en 0. Este es un resultado impactante. Pero no nos conformemos sólo con eso ya que hemos calculado casi todo lo que necesitamos para representar gráficamente esta función. - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + ...................................... ...|... ...................................... signo de f ‘(x) 0 - - - - - - - - 0 + + + + + + 0 + + + + + + 0 - - - - - - - - ................... ...|... ................... ...|..... ................... ...|.... ................... signo de f ‘’(x) -1/2 0 1/2 ............................. -1/2 ............................. 0 ............................. 1/2 .............................

f es decreciente mr f es creciente concavidad

negativa

concavidad positiva concavidad

negativa Además f(0) = 0 y f(-1/2) = f(1/2) = e –2 ≅ 0,135. Debido a nuestros conocimientos de límites podemos agregar a lo anterior, que ya es habitual para nosotros, dos resultados interesantes:

1elim)x(flim |x|1

xx==

−

−∞→−∞→ y 1elim)x(flim |x|

1

xx==

−

+∞→+∞→.

El dibujo del gráfico de la función que hemos estudiado es el que aparece a continuación.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


179

Ejercicio 74

Sea f : R → R / f(x) =⎩⎨⎧

=≠−0xsi00xsix|x|Lx2 22

.

1) Prueba que f es continua en 0 y que f ‘(0) = 0. 2) Dibuja el gráfico de f. 4 - ASINTOTA Todas las representaciones gráficas de las funciones que hemos estudiado abarcan un intervalo pues es imposible hacer otra cosa. Por más amplio que sea ese intervalo, es difícil que nos imaginemos lo que ocurre “allá a lo lejos”. Al respecto, los conceptos de límite cuando x tiende a más infinito y de límite cuando x tiende a menos infinito tienen una gran importancia. Ya sabemos apreciar, por ejemplo, la diferencia entre los siguientes resultados:

1)x(flimx

−=+∞→

, 3)x(flimx

=+∞→

, −∞=+∞→

)x(flimx

y +∞=+∞→

)x(flimx

.

Con el fin de contribuir a mejorar nuestra percepción del “más allá”, en esta sección analizaremos el concepto de asíntota. La idea es sencilla: determinar una recta a la que se aproxime la función cuando x tiende a más infinito (o cuando x tiende a menos infinito). Hemos optado por la recta ya que de ella sí podemos imaginar lo que pasa “allá a lo lejos” (podríamos trabajar con parábolas u otro tipo de curvas sencillas aunque no lo haremos). Definición 30 – Asíntota de una función en más infinito Sean f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta derecha contenida en D y T la recta de ecuación y = mx + n. T es la asíntota de f en más infinito cuando 0))nmx()x(f(lim

x=+−

+∞→.

La definición anterior puede visualizarse en el siguiente dibujo (en forma similar se define el concepto de asíntota de una función en menos infinito).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


180

Teorema 46 – Condición necesaria y suficiente de existencia de asíntota de una función en más infinito Sean f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta derecha contenida en D y T la recta de ecuación y = mx + n.

Entonces T es la asíntota de f en más infinito ⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=

+∞→

+∞→

n)mx)x(f(lim

mx

)x(flim

x

x

Antes de demostrar este teorema dejemos constancia de que es cierto un teorema análogo para la asíntota de una función en menos infinito (en el enunciado del teorema 46 sólo hay que hacer dos cambios: semirrecta izquierda en vez de semirrecta derecha y x → - ∞ en lugar de x → + ∞ ). Demostración Puesto que en este teorema se da una condición necesaria y suficiente, realizaremos su demostración en dos etapas. Primera etapa H) La recta T de ecuación y = mx + n es asíntota de f en

más infinito.

T) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=

+∞→

+∞→

n)mx)x(f(lim

mx

)x(flim

x

x

Sea d(x) = f(x) – (mx + n). Como T es la asíntota de f en más infinito sabemos que 0)x(dlim

x=

+∞→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


181

mxnm

x)x(dlim

xnmx)x(dlim

x)x(flim

xxx=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

++=

+∞→+∞→+∞→.

n)n)x(d(lim)mx)x(f(limxx

=+=−+∞→+∞→

.

Segunda etapa H) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=

+∞→

+∞→

n)mx)x(f(lim

mx

)x(flim

x

x

T) La recta T de ecuación y = mx + n es asíntota de f en más infinito.

Sea nuevamente d(x) = f(x) – (mx + n). Debemos probar que 0)x(dlim

x=

+∞→.

0nn)n)mx)x(f((lim))nmx()x(f(lim)x(dlimxxx

=−=−−=+−=+∞→+∞→+∞→

.

Ejemplo 51 – Cálculo de asíntotas

Primera parte : f : D → R / 1x3x)x(f

2

++

= , donde D = R – {-1}

1) Asíntota de f en más infinito

m1xx3xlim

x)x(flim 2

2

xx==

++

=+∞→+∞→

.

n11xx3limx

1x3xlim)mx)x(f(lim

x

2

xx=−=

+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

=−+∞→+∞→+∞→

.

Por lo tanto la recta de ecuación y = x – 1 es la asíntota de f en más infinito.

2) Asíntota de f en menos infinito Los cálculos que acabamos de hacer son válidos también cuando x → - ∞ . En consecuencia, la recta de ecuación y = x – 1 es también la asíntota de f en menos infinito.

Segunda parte : f : R → R / )e1(Lx)x(f x++= 1) Asíntota de f en más infinito

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

+∞→+∞→ x)e1(L1lim

x)x(flim

x

xx.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


182

Para calcular x

)e1(Llimx

x

++∞→

usaremos la segunda regla de L’Hôspital ya que

estamos ante el caso de indeterminación ""∞∞ (aplicaremos esa regla dos

veces).

1eelim

1eelim

x)e1(Llim x

x

xx

x

x

x

x==

+=

++∞→+∞→+∞→

.

En resumen, m211x

)x(flimx

==+=+∞→

.

)).e(L)e1(L(lim)x)e1(L(lim)x2)x(f(lim)mx)x(f(lim xx

x

x

xxx−+=−+=−=−

+∞→+∞→+∞→+∞→

n0)1(Le

e1Llim)mx)x(f(lim x

x

xx===⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=−

+∞→+∞→.

Por lo tanto la recta de ecuación y = 2x es la asíntota de f en más infinito.

2) Asíntota de f en menos infinito

m101x

)e1(L1limx

)x(flimx

xx==+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

−∞→−∞→.

n0)e1(Llim)x)x(f(lim)mx)x(f(lim x

xxx==+=−=−

−∞→−∞→−∞→.

Por lo tanto la recta de ecuación y = x es la asíntota de f en menos infinito. Tercera parte : f : D → R / xx)x(f 2 −= , donde D = {x / x ≥ 1 ó x ≤ 0} 1) Asíntota de f en más infinito

m1x

x11x

limx

x11x

limx

xxlimx

)x(flimx

2

x

2

xx==

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

=+∞→+∞→+∞→+∞→

.

(es importante que observes que xx2 = para x > 0)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−−=−

+∞→+∞→+∞→+∞→1

x11xlimx

x11xlim)xxx(lim)mx)x(f(lim

xx

2

xx.

u1u1lim1

x11xlim)mx)x(f(lim

0u

x1u

xx

−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

+→

=

+∞→+∞→.

Para calcular u

1u1lim0u

−−+→

usaremos la primera regla de L’Hôspital ya que

estamos ante el caso de indeterminación "00" (podríamos haber usado la

regla de la derivabilidad).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


183

n21

u121lim

u1u1lim

0u0u=−=

−−

=−−

++ →→.

Por lo tanto la recta de ecuación 21xy −= es la asíntota de f en más infinito.


m1x

x11x

limx

x11x

limx

xxlimx

)x(flimx

2

x

2

xx=−=

−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

=−∞→−∞→−∞→−∞→

.

(es importante que observes que xx2 −= para x < 0)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=+−=−

−∞→−∞→−∞→−∞→1

x11xlimx

x11xlim)xxx(lim)mx)x(f(lim

xx

2

xx

n21

u1u1lim1

x11xlim)mx)x(f(lim

0u

x1u

xx==

−−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=−

−→

=

−∞→−∞→.

Por lo tanto la recta de ecuación 21xy +−= es la asíntota de f en menos

infinito.

Cuarta parte : f : R+ → R / )x(Lx)x(f += Debido a que el dominio de f es R+, sólo debemos preocuparnos por la asíntota de f en más infinito.

m101x

)x(L1limx

)x(flimxx

==+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+∞→+∞→.

( ) +∞==−+∞→+∞→

xLlim)mx)x(f(limxx

.

Por lo tanto no existe una recta que sea asíntota de f en más infinito. Quinta parte : f : R → R / xex)x(f += 1) Asíntota de f en más infinito

+∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+∞→+∞→ xe1lim

x)x(flim

x

xx.

.Por lo tanto no existe una recta que sea asíntota de f en más infinito.


m101x

e1limx

)x(flimx

xx==+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−∞→−∞→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


184

n0elim)mx)x(f(lim x

xx===−

−∞→−∞→.

Por lo tanto la recta de ecuación y = x es la asíntota de f en menos infinito. Ejercicio 75 Determina las asíntotas de las siguientes funciones:

1x1xx)x(f 2

3

+++

= 1xx)x(g 2 ++= 2x)x(h = )ee(L)x(j xx −+=

Ejemplo 52 – Estudio de una función En este ejemplo volvemos al problema de estudiar una función, en el cual nos hemos adiestrado desde el capítulo 3 hasta el 8. Ahora incorporaremos a ese estudio lo que hemos aprendido sobre límites.

La función que hemos elegido es f : D → R / x1

ex)x(f = . Dominio Comencemos con la determinación del conjunto D. Lo único que debemos exigir es que x ≠ 0, o sea que D = R*. Continuidad La función es continua en su dominio pues ella combina funciones continuas (producto, cociente, composición, polinomio y función exponencial). Crecimiento y decrecimiento

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

x1xe

x11e

x1exe)x('f x

1x1

2x1

x1

.

+ + + + + + + + ∉ D - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + ......................... .......|....... ......................... .......|....... ......................... signo de f ‘(x) 0 1 En consecuencia, f es creciente en (- ∞ ,0) y en [1,+ ∞ ) y decreciente en (0,1]. Además f tiene mínimo relativo en 1 y f(1) = e. Concavidad

Para calcular f ‘’ partiremos de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

x11e)x('f x

1

.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


185

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 3

x1

2x1

2x1

x1e

x1e

x11

x1e)x(''f .

- - - - - - - - - - - ∉ D + + + + + + + + ......................... .......|....... ......................... signo de f ‘’(x) 0 Tenemos pues que f tiene concavidad negativa en (- ∞ ,0) y concavidad positiva en (0,+ ∞ ). El siguiente esquema resume lo que hemos hecho hasta el momento. ............................................ ....0.... ............................................ ....1.... ............................................

f es continua ∉ D f es continua f es creciente ∉ D f es decreciente mr f es creciente

concavidad negativa ∉ D concavidad positiva Límites Como f es continua en R*, sólo debemos calcular cuatro límites (cuando x tiende a 0 por la izquierda, cuando x tiende a 0 por la derecha, cuando x tiende a menos infinito y cuando x tiende a más infinito).

0exlim x1

0x=

−→ pues 0elimxlim x

1

0x0x==

−− →→.

+∞=+→

x1

0xexlim (esto lo vimos en el ejemplo 48).

+∞=+∞→

x1

xexlim pues +∞=

+∞→xlim

x y 1elim x

1

x=

+∞→.

−∞=−∞→

x1

xexlim pues −∞=

−∞→xlim

x y 1elim x

1

x=

−∞→.

Asíntotas 1) Asíntota de f en más infinito

m1elimx

)x(flim x1

xx===

+∞→+∞→.

11exlimxexlim)mx)x(f(lim x1

xx1

xx=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−

+∞→+∞→+∞→ (recuerda el ejemplo 48).

La recta de ecuación y = x + 1 es la asíntota de f en más infinito.


⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


186

m1elimx

)x(flim x1

xx===

−∞→−∞→.

1u

1elim1exlim)mx)x(f(limu

0u

x1u

x1

xx=

−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

−→

=

−∞→−∞→.

La recta de ecuación y = x + 1 es también la asíntota de f en menos infinito. Todo el estudio anterior se visualiza en el próximo dibujo.

Para finalizar creemos conveniente hacer el comentario que sigue. Ya vimos que 0)x(flim

0x=

−→ y que +∞=

+→)x(flim

0x .

Si f1 : R → R es tal que f1(x) =⎩⎨⎧

=≠0xsi00xsi)x(f

resulta que f1 es continua en 0 por

la izquierda y no continua en 0 por la derecha. El hecho que f1 sea continua en 0 por la izquierda motiva la pregunta de si será derivable en 0 por la izquierda. Para averiguarlo usaremos el teorema 44 (derivada y límite).

0elimx

)x(flim0x

)0(f)x(flim x1

0x

1

0x

11

0x===

−−

−−− →→→.

Por lo tanto f1 es derivable en 0 por la izquierda y 0)0(f '1 = . En consecuencia,

la recta tangente al gráfico de f1 en el punto (0,0) por la izquierda tiene ecuación y = 0. Esto está dramáticamente planteado en la representación gráfica de f que nos hizo la computadora. Ejercicio 76 Estudia las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:

4x9x)x(f

2

++

= 1x1x)x(f

−+

= 3x2x)x(f 2 −+=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


187

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

1xxL2x)x(f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

1xxL2x)x(f )4x3(e)x(f x

3

+=

Ejercicio 77 1) Prueba que 1ex x −> ∀ x ∈ R. 2) Estudia y representa gráficamente x2 e)2x(2x2x)x(f −++−= .

3) Estudia y representa gráficamente xexe)x(f x

x

−+

= .

5 – UNA CONDICION SUFICIENTE DE EXISTENCIA DE LIMITE Hay una función, famosa por su importancia en la teoría de las probabilidades, que puede caracterizarse por dos propiedades: f(0) = 0 y

2xe)x('f −= ∀ x ∈ R. Según la computadora, la representación gráfica de esa función es la siguiente:

No nos sorprende que sea una función creciente en R pues

2xe)x('f −= > 0 ∀ x.

Tampoco nos sorprende su concavidad ya que 2xex2)x(''f −−=

⎩⎨⎧

><<>

0xsi00xsi0

.

Pero, ¿cuál es el límite de esa función en menos infinito?, ¿y en más infinito? Las respuestas fundamentadas a esas preguntas requieren conocimientos que aún no tenemos y que no están dentro de los que abarcaremos en nuestro texto. Sin embargo, podemos demostrar que esos límites existen e incluso que son finitos. Ello está relacionado con el próximo teorema.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


188

Teorema 47 – Condición suficiente de existencia de límite de una función en más infinito Sea f : D → R una función tal que existe alguna semirrecta derecha contenida en D en la cual f es creciente. Entonces existe )x(flim

x +∞→ y ese límite es finito o

más infinito según f sea o no acotada superiormente en la semirrecta. Demostración Sea S = (a, + ∞ ) una semirrecta en la que f es creciente. Consideremos el conjunto no vacío f[S] = {f(x) / x ∈ S}, el cual es acotado superiormente o no lo es. 1) Si f[S] es acotado superiormente entonces )x(flim

x +∞→ es finito.

En este caso existe el supremo de f[S], al que representaremos por L. Demostraremos que L)x(flim

x=

+∞→ y con ese fin aplicaremos la ya lejana

definición 24. Sea r > 0. Probaremos que existe algún número positivo p con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x > p resulta que |f(x) – L| < r. Debido a que L = sup(f[S]), L es la menor de las cotas superiores de f[S] y por lo tanto: • f(x) ≤ L ∀ x ∈ S (pues L es cota superior de f[S]). • Existe x1 ∈ S tal que f(x1) > L – r (pues L es la menor de las cotas

superiores de f[S] y L – r < L). Además, f es creciente en S. O sea que si x > x1 entonces f(x) > f(x1). ....(..... ................. ....|..... ................. ....|..... ................. ..........

a x1 x Semirrecta en el

dominio de f ↓ ↓ ....(..... ................. ....|..... ................. ....|..... ................. .........|L - r f(x1) f(x) L

Intervalo en el codomino de f

En resumen, para x > x1 resulta que L – r < f(x1) < f(x) ≤ L < L + r. En consecuencia, para p = x1 se verifica que si x > p entonces |f(x) – L| < r (si x1 no fuera positivo, tomaríamos, por ejemplo, p = 1).

2) Si f[S] no es acotado superiormente entonces )x(flimx +∞→

es más infinito.

En este caso aplicaremos la definición 25. Sea k > 0. Probaremos que existe algún número positivo p con la siguiente propiedad: para cualquier x que cumpla x > p resulta que f(x) > k. Como f[S] no es acotado superiormente, k no es cota superior de f[S]. Existe, por lo tanto, x2 ∈ S tal que f(x2) > k. Debido a que f es creciente en S tenemos que si x > x2 entonces f(x) > f(x2).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


189

....(..... ................. ....|..... ................. ....|..... .................

a x2 x Semirrecta en el

dominio de f ↓ ↓ ....(..... ................. ....|..... ................. ....|..... .................

k f(x2) f(x) Semirrecta en el codomino de f

En resumen, para x > x2 resulta que f(x) > k. Ello nos lleva a elegir p = x2 (ó p = 1 si x2 no fuera positivo).

Este teorema también es válido si la función f es “creciente” en alguna semirrecta derecha contenida en su dominio. Ejercicio 78 Modifica el enunciado del teorema 47 de modo que él se refiera a la existencia del )x(flim

x −∞→ y demuéstralo (ahora debes distinguir según f[S] sea o no acotado

inferiormente) . Ejercicio 79 De acuerdo con el teorema 47 y el ejercicio anterior puedes afirmar que si f es la función que verifica f(0) = 0 y

2xe)x('f −= ∀ x ∈ R, entonces existen )x(flimx +∞→

y )x(flimx −∞→

. Lo que sigue te convencerá de que esos límites son finitos.

1) Prueba que si xe)x(f)x(g −+= entonces 1e)1(f)x(g −+≤ ∀ x > 1. Deduce que f es acotada superiormente en la semirrecta (1, +∞ ).

2) Prueba que si xe)x(f)x(h −= entonces 1e)1(f)x(h −−−≥ ∀ x < -1. Deduce que f es acotada inferiormente en la semirrecta (- ∞ ,-1).

Nota : Por si eres curioso te informamos que 2π)x(flim

x−=

−∞→ y

2π)x(flim

x=

+∞→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


190

COMPLEMENTO (una demostración difícil) Finalizaremos este capítulo con algo que prometimos, la demostración de la segunda regla de L’Hôspital. Recordemos el enunciado de esa regla:

Sean f y g funciones tales que +∞==→→

)x(glim)x(flimaxax


ax→.


)x(g)x(flim

axax →→= .

Ya adelantamos que su demostración es para “especialistas”. Si tienes curiosidad en seguirnos, verás que ello es cierto. Paso 1 Comencemos trabajando en un intervalo (a,b) en el que existan f ‘ y g ‘ y g ‘ no

valga 0. Elijamos en ese intervalo el número 2

bax1+

= y consideremos x tal

que a < x < x1. ...(... .............................. ...|... .............................. ...|... ............................................................... ...)...

a x x1 b En el intervalo (a,b) existen f ‘ y g ‘ y g ‘ no vale 0.

f y g son continuas en el intervalo [x,x1] y derivables en el intervalo (x,x1). Además g(x) ≠ g(x1) pues si fuera g(x) = g(x1), habría algún número entre x y x1 en el que g ‘ valdría 0 (de acuerdo con el teorema de Rolle). Por lo tanto f y g cumplen con la hipótesis del teorema de Cauchy en el intervalo de extremos x y x1. En consecuencia, existe c(x) tal que (f(x) – f(x1)) g ‘(c(x)) = (g(x) – g(x1)) f ‘(c(x)). Ese c(x) está en el intervalo abierto (x,x1). Hasta el momento hemos demostrado que para cada x entre a y x1 existe c(x)

entre x y x1 tal que ))x(c('g))x(c('f

)x(g)x(g)x(f)x(f

1

1 =−− .

Puesto que nos interesa el cociente )x(g)x(f , sigamos algo más.

)x(F))x(f)x(f()x(f)x(f

)x(f))x(f)x(f()x(f 11

1 −=−

−= , donde )x(f)x(f

)x(f)x(F1−

= . Esto

requiere, por cierto, que f(x) ≠ f(x1). Debido a que +∞=

→)x(flim

ax resulta que 1)x(Flim

ax=

+→. En efecto:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


191

1)x(fu

ulim)x(f)x(f

)x(flim)x(Flim1

u

)x(fu

1axax=

−=

−=

+∞→

=

→→ ++.

Análogamente, )x(G))x(g)x(g()x(g 1−= y 1)x(Glimax

=+→

(en este caso sabemos

que g(x) ≠ g(x1)).

Tenemos pues que )x(H)x(g)x(g)x(f)x(f

)x(G)x(g)x(g()x(F))x(f)x(f(

)x(g)x(f

1

1

1

1

−−

=−−

= con 1)x(Hlimax

=+→

.

En resumen, hemos probado lo que consta en el siguiente esquema. En (a,b) existen f ‘ y g ‘ y g ‘ no vale 0

2bax1

+=

⇒a < x < x1 f(x) ≠ f(x1)

Existe c(x) tal que x < c(x) < x1

)x(H))x(c('g))x(c('f

)x(g)x(f

=

con 1)x(Hlimax

=+→

Paso 2

Ahora probaremos que )x('g)x('flim

)x(g)x(flim

axax →→=

+.

Sabemos que existe )x('g)x('flim

ax→. Ese límite puede ser finito, más infinito o menos

infinito. Consideraremos sólo los dos primeros casos ya que el razonamiento en el tercero es similar al del segundo.

Caso 1 : L)x('g)x('flim

ax=

→

Demostraremos que L)x(g)x(flim

ax=

+→ y para ello usaremos la definición 21.

Sea r > 0. Probaremos que existe algún número positivo s con la siguiente

propiedad: para cualquier x que cumpla a < x < a + s resulta que rL)x(g)x(f

<− .

Como L)x('g)x('flim

ax=

→, tenemos que L

)x('g)x('flim

ax=

+→. Por lo tanto existe s1 > 0 tal

que si a < x < a + s1 entonces 2rL

)x('g)x('f

<− .

Elijamos 2sax 1

1 += .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


192

Como +∞=+→

)x(flimax

existe s2 > 0 tal que si a < x < a + s2 entonces f(x) > f(x1).

Es claro que x1 no está entre a y a + s2 pues f(x1) = f(x1). ...(... .............................. ...|... .............................. ...|... ............................................................... ...)...

a a+s2 x1 a+s1

De acuerdo con el resultado que obtuvimos en el paso 1, podemos afirmar que si x es tal que a < x < a + s2 entonces existe c(x) entre x y x1 para el que se

cumple que )x(H))x(c('g))x(c('f

)x(g)x(f

= con 1)x(Hlimax

=+→

. Continuemos trabajando con

esos x.

L)x(HLL))x(c('g))x(c('fL)x(H

))x(c('g))x(c('fL

)x(g)x(f

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−=− .

)1)x(H(L)x(HL))x(c('g))x(c('f)1)x(H(L)x(HL

))x(c('g))x(c('fL

)x(g)x(f

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≤−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− .

1)x(HL)x(HL))x(c('g))x(c('fL

)x(g)x(f

−+−≤− .

1)x(HL)x(H2rL

)x(g)x(f

−+≤− .

( ) 1)x(HL11)x(H2r1)x(HL1)1)x(H(

2rL

)x(g)x(f

−++−≤−++−≤− .

1)x(H2

L2r2r1)x(HL

2r

2rL

)x(g)x(f

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++≤− .

Y ya casi en el final, puesto que 1)x(Hlimax

=+→

sabemos que existe s3 > 0 tal que

si a < x < s3 entonces |L|2r

r1)x(H+

<− . Por lo tanto, y ahora sí es el final, si

s es el menor entre s2 y s3 resulta que r2r

2rL

)x(g)x(f

=+≤− .

Caso 2 : +∞=→ )x('g

)x('flimax

Demostraremos que +∞=+→ )x(g

)x(flimax

y para ello usaremos la definición 22 (el

razonamiento es casi una copia del que hicimos en el caso 1).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


193

Sea k > 0. Probaremos que existe algún número positivo s con la siguiente

propiedad: para cualquier x que cumpla a < x < a + s resulta que k)x(g)x(f

> .

Como +∞=→ )x('g

)x('flimax

, tenemos que +∞=+→ )x('g

)x('flimax

. Por lo tanto existe s1 > 0 tal

que si a < x < a + s1 entonces k2)x('g)x('f

> .

Elijamos 2sax 1

1 += .

Como +∞=+→

)x(flimax

existe s2 > 0 tal que si a < x < a + s2 entonces f(x) > f(x1).

Es claro que x1 no está entre a y a + s2 pues f(x1) = f(x1). ...(... .............................. ...|... .............................. ...|... ............................................................... ...)...

a a+s2 x1 a+s1

De acuerdo con el resultado que obtuvimos en el paso 1, podemos afirmar que si x es tal que a < x < a + s2 entonces existe c(x) entre x y x1 para el que se

cumple que )x(H))x(c('g))x(c('f

)x(g)x(f

= con 1)x(Hlimax

=+→

. Continuemos trabajando con

esos x.

)x(Hk2)x(H))x(c('g))x(c('f

)x(g)x(f

>= si H(x) > 0.

Como 1)x(Hlimax

=+→

, existe s3 > 0 tal que si a < x < s3 entonces 21)x(H > . Por lo

tanto, si s es el menor entre s2 y s3 resulta que k21k2)x(Hk2

)x(g)x(f

=>> .

Los dos pasos de nuestra demostración confirman que )x('g)x('flim

)x(g)x(flim

axax →→=

+. En

forma similar puede demostrarse que )x('g)x('flim

)x(g)x(flim

axax →→=

−, lo cual es el fin de la

difícil justificación de la segunda regla de L’Hôspital.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Funciones trigonométricas (primera parte) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

195

CAPITULO 12 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (primera parte) 1 – INTRODUCCION Hasta el momento hemos trabajado con varias funciones reales de variable real. Los polinomios, los cocientes de polinomios, la raíz cuadrada, el logaritmo y la exponencial han sido objeto de nuestro estudio. Ahora nos ocuparemos de otras funciones, las que habitualmente se identifican con la expresión “funciones trigonométricas”. Nos encontraremos con las funciones seno, coseno, tangente y sus inversas. Con el fin de definir el seno, el coseno y la tangente y establecer sus propiedades básicas, nos apoyaremos en algunas ideas geométricas que suponemos que conoces. En consecuencia, varios de los razonamientos que haremos se basarán en lo que nos sugieren algunos dibujos, con la consecuente informalidad matemática que ello ocasiona. Nos conformaremos con ese enfoque y tenemos la pretensión que lo comprendas (en el próximo capítulo mostraremos otra forma bastante enigmática de definir el seno y el coseno). 2 – DEFINICION DE SENO, COSENO Y TANGENTE Supongamos que hemos elegido en un plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, o sea un par de rectas orientadas perpendiculares entre sí, un origen O coincidente con el punto común a esas rectas y un segmento unidad. Allí trazamos una circunferencia con centro en O y radio 1 y establecemos un sentido positivo para recorrerla (el antihorario). Fijamos, además, un punto A en esa circunferencia como punto de partida para recorrer la circunferencia: el punto de abscisa 1 y ordenada 0. Una vez que hicimos todo eso estamos ante lo que llamaremos “circunferencia trigonométrica”. El dibujo que sigue traduce gráficamente las ideas anteriores (el curioso nombre que le hemos dado a cada una de las tres rectas que aparecen en ese dibujo se debe a las definiciones de seno, coseno y tangente).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


196

La longitud de la circunferencia trigonométrica es 2π pues su radio es 1. Consideremos un número x tal que 0 < x ≤ 2π y recorramos la circunferencia trigonométrica, a partir de A y en sentido positivo, hasta llegar al punto P tal

que el arco de origen A y extremo P tenga longitud x. El símbolo+<

AP se refiere a ese arco. Las definiciones de seno, coseno y tangente de ese x son las siguientes: • sen(x) es la ordenada del punto P. • cos (x) es la abscisa del punto P. • tg(x) es la ordenada del punto Q, donde Q es el punto común a la recta

determinada por O y P y la paralela al eje de las ordenadas que pasa por A. Las definiciones anteriores motivan los siguientes comentarios: 1) Cualquiera sea x tal que 0 < x ≤ 2π, existen sen(x) y cos(x). 2) Lo anterior no es cierto para tg(x) pues la existencia del punto Q exige que

P no se encuentre en el eje de las ordenadas, o sea que x sea distinto de π/2 y de 3π/2.

3) )xcos()x(sen

)OS(med

)SP(med

)OA(med

)AQ(med)AQ(med)x(tg ____

____

____

________

==== pues los triángulos OAQ y

OSP son semejantes.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


197

Ejercicio 80

Dibuja en la circunferencia trigonométrica un arco+<

AP de longitud x tal que

sen(x) = 0,9, un arco 'AP+<

de longitud y tal que cos(y) = –0,8 y un arco ''AP+<

de longitud z tal que tg(z) = 4. Podemos extender las definiciones de sen(x), cos(x) y tg(x) al caso en que x sea tal que -2π ≤ x < 0. La idea es simple: recorremos la circunferencia trigonométrica, a partir de A y en sentido negativo, hasta llegar al punto P tal

que el arco de origen A y extremo P tenga longitud –x (el símbolo−<

AP se refiere a ese arco, el cual tiene medida x y longitud -x); el seno y el coseno de x son, respectivamente, la ordenada y la abscisa de P y la tangente de x es la ordenada del punto Q (Q es de nuevo el punto común a la recta determinada por O y P y la paralela al eje de las ordenadas que pasa por A). También podemos definir sen(0), cos(0) y tg(0) imaginándonos que nos quedamos en el punto A. Tenemos así que sen(0) = 0, cos(0) = 1 y tg(0) = 0. Más aún, es posible trabajar con x > 2π o x < -2π pues en cualquiera de esos casos podemos recorrer la circunferencia trigonométrica tantas veces como sea necesario para que la longitud de nuestro recorrido sea x (cuando x > 2π) o –x (cuando x < -2π). Es claro que si así andamos, llegaremos a un punto P por el que pasamos en la primera etapa de nuestro recorrido y, por lo tanto, reiteraremos valores del seno, del coseno y de la tangente. En resumen, los símbolos sen(x) y cos(x) tienen sentido cualquiera sea el número real x y el símbolo tg(x) requiere que cos(x) ≠ 0.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


198

Ejercicio 81

Dibuja en la circunferencia trigonométrica un arco−<

AP de medida x tal que

sen(x) = 0,9, un arco 'AP−<

de medida y tal que cos(y) = –0,8 y un arco ''AP−<

de medida z tal que tg(z) = 4. Hay algunos valores “notables” del seno, el coseno y la tangente que hallaremos a continuación. • Prestemos atención al próximo dibujo.

Como+<

AB tiene longitud π/2 resulta que sen(π/2) = 1 y cos(π/2) = 0.

Como+<

AC tiene longitud π resulta que sen(π) = 0, cos(π) = -1 y tg(π) = 0.

Como+<

AD tiene longitud 3π/2 resulta que sen(3π/2) = -1 y cos(3π/2) = 0.

Como+<

AA tiene longitud 2π resulta que sen(2π) = 0, cos(2π) = 1 y tg(2π) = 0.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


199

• El dibujo que sigue nos permitirá deducir los valores de sen(π/4), cos(π/4) y tg(π/4).

Consideremos el arco+<

AP de longitud π/4. En ese caso el triángulo OSP es

isósceles y tenemos que sen(π/4) = )OS(med)SP(med________

= = cos(π/4).

Además, 1)OP(med)OS(med)SP(med____

2____

2____

2 ==+ (teorema de Pitágoras). Llegamos pues a que 2(sen(π/4)) 2 = 1, o sea (sen(π/4)) 2 = 1/2.

Como sen(π/4) > 0 concluimos que sen(π/4) =22

21

= .

En resumen, sen(π/4) = cos(π/4) =22 y tg(π/4) = 1.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


200

• Otro razonamiento geométrico nos conducirá a los valores de sen(π/3), cos(π/3) y tg(π/3).

Consideremos el punto S, punto medio del segmento de extremos O y A, y el punto P en la circunferencia trigonométrica tal que el segmento de extremos S y P sea paralelo al eje de las ordenadas.

Puesto que el triángulo OAP es equilátero, tenemos que el arco+<

AP tiene

longitud π/3 y por lo tanto cos(π/3) = )OS(med____

= 1/2 y sen(π/3) = )SP(med____

.

Notemos nuevamente que 1)OP(med)OS(med)SP(med____

2____

2____

2 ==+ . Debido a ello resulta que (sen(π/3)) 2 + (cos(π/3)) 2 = (sen(π/3)) 2 + 1/4 = 1.

Llegamos pues a que (sen(π/3)) 2 = 3/4, o sea sen(π/3) =23 (sen(π/3) > 0).

En resumen, sen(π/3) =23 , cos(π/3) =

21 y tg(π/3) = 3 .

Ejercicio 82 Justifica, con un razonamiento similar al que acabamos de hacer, los siguientes

resultados: sen(π/6) =21 , cos(π/6) =

23 y tg(π/6) =

33 (te recomendamos que

comiences considerando el punto medio del segmento de extremos O y J, donde J es el punto de coordenadas (0,1)). Existen procedimientos para calcular valores aproximados del seno, del coseno y de la tangente (ellos son parecidos a los que vimos cuando estudiamos la función logaritmo y la función exponencial), pero no nos preocuparemos ahora por ellos. Cuando necesitemos esos valores aproximados, simplemente le

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


201

pediremos ayuda a una calculadora científica. Al respecto, es importante que tengas en cuenta que debes usar el modo “rad” de la calculadora (rad es una abreviatura de radián; recuerda que nuestro segmento unidad es el radio de la

circunferencia trigonométrica). Por ejemplo, si para confirmar que sen(π/6) =21

usaras el modo “deg” (deg es una abreviatura de la palabra inglesa degree, cuya traducción es grado) con el número π/6, obtendrías un inquietante 0,00913 en vez de 0,5. Puedes llegar a 0,5 usando el modo “deg” y el número 30, lo cual no debe sorprenderte ya que 30 grados equivalen a π/6 radianes; sin embargo, te sugerimos que te acostumbres a trabajar en el modo “rad”. Ejercicio 83 Utiliza una calculadora científica para confirmar todos los resultados que hemos visto hasta el momento, los cuales aparecen resumidos en la siguiente tabla: x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π sen(x) 0 1/2 2/2 2/3 1 0 -1 0 cos(x) 1 2/3 2/2 1/2 0 -1 0 1 tg(x) 0 3/3 1 3 No 0 No 0 3 – ALGUNAS PROPIEDADES DEL SENO Y DEL COSENO Propiedad 1 : Una relación fundamental entre el seno y el coseno Ya hemos tenido la oportunidad de aplicar dos veces el teorema de Pitágoras. Lo que hicimos en dos casos particulares podemos hacerlo en general.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


202

Puesto que 1)OP(med)OS(med)SP(med____

2____

2____

2 ==+ resulta que cualquiera sea x se cumple que (sen(x)) 2 + (cos(x)) 2 = 1. Esto último suele escribirse también así: sen2(x) + cos2(x) = 1 (ten cuidado en no confundir sen2(x) con sen(x2)). Propiedad 2 : Arcos cuyas medidas suman 0 ó π ó 2π o que difieren en π En el dibujo que sigue, P’ es el simétrico de P respecto al eje del seno, P’’ el simétrico de P respecto a O y P’’’ el simétrico de P respecto al eje del coseno. Por lo tanto: P = (cos(x),sen(x)), P’ = (-cos(x),sen(x)), P’’ = (-cos(x),-sen(x)) y P’’’ = (cos(x),-sen(x)).

Como la longitud del arco+<

AP es x, resulta que las longitudes de los arcos 'AP+<

,

''AP+<

y '''AP+<

son, respectivamente, π - x, π + x y 2π - x. Por lo tanto: • sen(π - x) = sen(x) y cos(π - x) = -cos(x). • sen(π + x) = -sen(x) y cos(π + x) = -cos(x). • sen(2π - x) = -sen(x) y cos(2π - x) = cos(x).

Además, la medida del arco '''AP−<

es –x. Ello implica que: • sen(-x) = -sen(x) y cos(-x) = cos(x). En el razonamiento anterior hemos supuesto que x es un número entre 0 y π/2 (ten en cuenta el dibujo). Afortunadamente, los resultados que obtuvimos son válidos para cualquier x.

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203

Propiedad 3 : Fórmulas de adición Comenzaremos con una fórmula cuya utilidad apreciaremos más adelante: cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) ∀ x, y ∈ R. Para justificar ese resultado, consideremos, por ejemplo, 0 < y < x < 2π. Sean P y V en la circunferencia trigonométrica tales que las longitudes de los

arcos +<

AP y +<

AV sean, respectivamente x e y. Entonces la longitud del arco+<

VP es x – y.

Al girar el triángulo OVP de modo que OV se transforme en OA, llegamos al triángulo OAW. Notemos que: • Las coordenadas de P son (cos(x), sen(x)). • Las coordenadas de V son (cos(y), sen(y)). • Las coordenadas de W son (cos(x – y), sen(x – y)) ya que la longitud del

arco+<

AW es x – y. • Las coordenadas de A son (1,0).

• Los segmentos ____PV y

____WA tienen la misma longitud, o sea la distancia

entre P y V coincide con la distancia entre W y A. Ahora bien: • dist(P,V) = 22 ))y(sen)x(sen())ycos()x(cos( −+− .

• dist(W,A) = 22 )0)yx(sen()1)yx(cos( −−+−− . O sea, 2222 ))yx(sen()1)yx(cos())y(sen)x(sen())ycos()x(cos( −+−−=−+− (*).

)y(cos)ycos()xcos(2)x(cos))ycos()x(cos( 222 +−=− . )y(sen)y(sen)x(sen2)x(sen))y(sen)x(sen( 222 +−=− .

)y(sen)x(sen2)ycos()xcos(22))y(sen)x(sen())ycos()x(cos( 22 −−=−+− (**).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


204

1)yxcos(2)yx(cos)1)yx(cos( 22 +−−−=−− . )yxcos(22))yx(sen()1)yx(cos( 22 −−=−+−− (***).

En resumen, las igualdades (*), (**) y (***) implican lo que sigue: )yxcos(22)y(sen)x(sen2)ycos()xcos(22 −−=−− .

Por lo tanto, cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y). A partir de ese resultado podemos obtener otros que también son útiles (en el ejercicio 85 te sugerimos un procedimiento para que los justifiques): • cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sen(x)sen(y). • sen(x – y) = sen(x)cos(y) – cos(x)sen(y). • sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y). Ejercicio 84 En el razonamiento que acabamos de hacer usamos una fórmula que quizás no conoces, la que permite calcular la distancia entre dos puntos una vez que se tiene un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Si A = (a,c) y B = (b,d), entonces dist(A,B) = 22 )cd()ab( −+− . Justifica ese resultado teniendo en cuenta el próximo dibujo.

Ejercicio 85 Completa los siguientes razonamientos: 1) cos(x + y) = cos(x – (-y)) = ... = cos(x)cos(y) – sen(x)sen(y). 2) cos(π/2 - x) = ... = sen(x). 3) sen(π/2 - x) = ... = cos(x). 4) sen(x – y) = ... = cos((π/2 – x) + y) = ... = sen(x)cos(y) – cos(x)sen(y). 5) sen(x + y) = sen (x – (-y)) = ... = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y). 6) cos(2x) = cos(x + x) = ... = cos2(x) – sen2(x). 7) 1 + cos(2x) = ... = 2cos2(x). 8) 1 – cos(2x) = ... = 2sen2(x).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


205

9) sen(2x) = sen(x + x) = ... = 2sen(x)cos(x). Propiedad 4 : Fórmulas de factoreo Ya vimos que: cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y). cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sen(x)sen(y). Por lo tanto: cos(x – y) + cos(x +y) = 2cos(x)cos(y). cos(x – y) - cos(x +y) = 2sen(x)sen(y).

Si planteamos ⎩⎨⎧

=+=−

qyxpyx

obtenemos ⎩⎨⎧

−=+=

2/)pq(y2/)pq(x

.

Tenemos entonces que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

pqcos2

pqcos2)qcos()pcos( .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−2

pqsen2

pqsen2)qcos()pcos( .

Un razonamiento similar al anterior conduce a los siguientes resultados:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

pqcos2

pqsen2)q(sen)p(sen .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−2

qpsen2

pqcos2)q(sen)p(sen .

A continuación resumimos las propiedades que hemos estudiado (no incluimos los resultados de la propiedad 2 pues se deducen de las fórmulas de adición). Relación fundamental sen2(x) + cos2(x) = 1

cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) – sen(x)sen(y) sen(x – y) = sen(x)cos(y) – cos(x)sen(y)

Fórmulas de adición

sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

pqcos2

pqcos2)qcos()pcos(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−2

pqsen2

pqsen2)qcos()pcos(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

pqcos2

pqsen2)q(sen)p(sen

Fórmulas de factoreo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−2

qpsen2

pqcos2)q(sen)p(sen

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


206

4 – LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE Definición 31 – Las funciones seno, coseno y tangente 1) La función seno es la función f : R → R / f(x) = sen(x). 2) La función coseno es la función g : R → R / g(x) = cos(x).

3) La función tangente es la función h : D → R / h(x) = tg(x) =)xcos()x(sen , donde D

es el siguiente conjunto: D = {x / x ∈ R, cos(x) ≠ 0}. Un buen comienzo para hacernos una idea de la representación gráfica de cada una de estas funciones es imaginarnos que recorremos la circunferencia trigonométrica recordando las definiciones de seno, coseno y tangente. Ello nos permite determinar el signo y el crecimiento y el decrecimiento de esas funciones. Al respecto, no nos sorprenden los próximos dibujos que nos da la computadora (todos ellos en el intervalo [-2π,2π]). Representación gráfica de la función seno

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


207

Representación gráfica de la función coseno

Representación gráfica de la función tangente

Los dibujos anteriores ponen de manifiesto algunos otros hechos que merecen ser estudiados, los cuales están asociados con la continuidad, la derivabilidad y la acotación. En relación con la acotación, es importante que destaquemos ya algunas desigualdades que son una simple consecuencia de las definiciones de seno y de coseno (recuerda que el coseno y el seno de un número son la abscisa y la ordenada de un punto ubicado en la circunferencia trigonométrica): • -1 ≤ sen(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R. • -1 ≤ cos(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


208

Teorema 48 – Dos desigualdades trigonométricas

1) Si x ∈ (-π/2,π/2) y x ≠ 0 entonces x

)x(tg1x

)x(sen0 <<< .

2) Si x ∈ (-π/2,π/2) y x ≠ 0 entonces 0 < 2(1 – cos(x)) < x2. Demostración En las dos partes de este teorema trabajaremos con x ∈ (-π/2,π/2) y x ≠ 0. .....(..... ............................... .....x..... ............................... .....).....

-π/2 0 π/2 x ∈ v*(0,π/2)

En primer lugar nos convenceremos de que alcanza con que trabajemos en el intervalo (0, π/2). Supongamos que hemos probado el teorema en ese intervalo y observemos que si -π/2 < x < 0 entonces 0 < -x < π/2. Tendríamos:

• x

)x(tg1x

)x(sen0−−

<<−

−< .

Como sen(-x) = -sen(x) y tg(-x) = -tg(x) resulta que x

)x(tg1x

)x(sen0 <<< .

• 0 < 2(1 – cos(-x)) < (-x)2. Como cos(-x) = cos(x) resulta que 0 < 2(1 – cos(x)) < x2.

Continuemos pues con x tal que 0 < x < π/2. De acuerdo a lo que vemos en el próximo dibujo tenemos que:

• La longitud del segmento ____SP es menor que la del arco

+<

AP , la cual a su vez

es menor que la del segmento____AQ .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


209

Resulta entonces que 0 < sen(x) < x < tg(x).

Por lo tanto x

)x(tg1x

)x(sen0 <<< .

• La longitud del segmento ____AP es menor que la del arco

+<

AP . Como dist(A,P) = )xcos(22)0)x(sen()1)x(cos( 22 −=−+− , resulta que 0 < ))xcos(1(2 − < x. Por lo tanto, 0 < 2(1 – cos(x)) < x2.

Teorema 49 – Tres límites trigonométricos 1) 1)xcos(lim

0x=

→ 2) 1

x)x(senlim

0x=

→ 3) 0

x)xcos(1lim

0x=

−→

Demostración 1) Acabamos de ver que si x ∈ V*(0,π/2) entonces 0 < 2(1 – cos(x)) < x2.

Como 0xlim0lim 2

0x0x==

→→ resulta que 0))xcos(1(2lim

0x=−

→.

Por lo tanto, 1)xcos(lim0x

=→

.

2) Ya sabemos que si x ∈ V*(0,π/2) se cumple que 1x

)x(sen< .

Además, para esos x también se cumple que )xcos(x

)x(senx

)x(tg1 =< , o sea

)xcos(x

)x(sen> (ten en cuenta que cos(x) > 0 si x ∈ V*(0,π/2)).

Por lo tanto, 1x

)x(sen)xcos( << si x ∈ V*(0,π/2).

Como 11lim)xcos(lim0x0x

==→→

concluimos que 1x

)x(senlim0x

=→

.

(hemos aplicado otra vez el teorema sobre límite de función comprendida)

3) Ya sabemos que si x ∈ V*(0,π/2) se cumple que 21

x)xcos(10 2 <

−< .

Por lo tanto 0xx

)xcos(1limx

)xcos(1lim 20x0x=

−=

−→→

.

(¿qué teorema sobre operaciones con límites hemos aplicado?) Teorema 50 – Derivabilidad de las funciones seno y coseno Sean f : R → R / f(x) = sen(x) y g : R → R / g(x) = cos(x). Entonces: 1) f es derivable en p y f ‘(p) = cos(p) para cada p ∈ R. 2) g es derivable en p y g ‘(p) = -sen(p) para cada p ∈ R.

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210

Demostración En primer lugar nos preocuparemos sólo por el caso p = 0.

1) 1x

)x(senlim0x

)0(f)x(flim0x0x

==−−

→→. Esto nos permite afirmar que f es derivable en

0 y que f ‘(0) = 1.

2) 0x

)xcos(1limx

1)xcos(lim0x

)0(g)x(glim0x0x0x

=−

−=−

=−−

→→→. Entonces g es derivable

en 0 y g ‘(0) = 0. Y ahora trabajaremos en un p cualquiera, usando los resultados que recién encontramos y el teorema sobre composición de funciones derivables. 1) Consideremos las funciones definidas así: u(x) = x – p y v(x) = sen(x + p).

Entonces (v o u)(x) = v(u(x)) = v(x – p) = sen(x) = f(x). Por lo tanto f ‘(p) = v ‘(u(p))u ‘(p) = v ‘(0). Para calcular v ‘(0) notemos que v(x) = sen(x)cos(p) + cos(x)sen(p), o sea v(x) = f(x)cos(p) + g(x)sen(p). En consecuencia v ‘(0) = f ‘(0)cos(p) + g ‘(0)sen(p) = cos(p).

2) Consideremos las funciones definidas así: u(x) = x – p y w(x) = cos(x + p). Entonces (w o u)(x) = w(u(x)) = w(x – p) = cos(x) = g(x). Por lo tanto g ‘(p) = w ‘(u(p))u ‘(p) = w ‘(0). Para calcular w ‘(0) notemos que w(x) = cos(x)cos(p) - sen(x)sen(p), o sea w(x) = g(x)cos(p) - f(x)sen(p). En consecuencia w ‘(0) = g ‘(0)cos(p) – f ‘(0)sen(p) = -sen(p).

Acabamos de demostrar que las funciones seno y coseno son derivables en R, por lo cual son continuas en R. En cuanto a los resultados del teorema anterior, resulta interesante recordar que ellos pueden resumirse en la siguiente frase: “La derivada de la función seno es la función coseno y la derivada de la función coseno es la opuesta de la función seno” (sen ‘(x) = cos(x) y cos ‘(x) = -sen(x)). Ejemplo 53 – Cálculo de derivadas de funciones trigonométricas 1) Calcularemos la derivada de la función tangente.

)x(cos)x(sen))x(sen()xcos()xcos()x('f

)xcos()x(sen)x(tg)x(f 2

−−=⇒== .

)x(cos1

)x(cos)x(sen)x(cos)x('f 22

22

=+

= .

)x(tg1)x(cos)x(sen

)x(cos)x(cos

)x(cos)x(sen)x(cos)x('f 2

2

2

2

2

2

22

+=+=+

= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


211

Hemos calculado la derivada de la función tangente y tenemos dos formas

de expresar esa derivada: )x(cos

1)x(tg1)x('tg 22 =+= . Ello es válido en el

dominio de la función tangente, es decir en D = {x / x ∈ R, cos(x) ≠ 0}. 2) Sea f : R → R / f(x) = cos(2x) + sen2(x) + cos(x2).

'))x(cos('))x(sen('))x2(cos()x('f 22 ++= . x2)x(sen)xcos()x(sen22)x2(sen)x('f 2−+−= . ))x(senx)xcos()x(sen)x2(sen(2)x('f 2−+−= . Esto se cumple ∀ x ∈ R.

Ejercicio 86 Calcula f ‘(x) y f ‘’(x) en cada uno de los siguientes casos e indica para qué valores de x es válido el resultado: f(x) = sen(x) + 2sen(2x) – 3cos(3x) f(x) = tg(x) – tg(2x)

)x(sen1)x(sen1)x(f

−+

= )xcos(2)x(f +=

f(x) = L(2 – sen(x)) )xcos(e)x(f = Ejemplo 54 – Cálculo de límites de funciones trigonométricas

En este ejemplo calcularemos dos límites: 20x x)xcos(1lim −

→ y 30x x

)x(senxlim −→

.

1) Como 0xlim))xcos(1(lim 2

0x0x==−

→→, usaremos la primera regla de L’Hôspital.

21

x2)x(senlim

x)xcos(1lim

0x20x==

−→→

pues 1x

)x(senlim0x

=→

.

2) Notemos, en primer lugar, que 0xlim))x(senx(lim 3

0x0x==−

→→.

61

x3)xcos(1lim

x)x(senxlim 20x30x

=−

=−

→→ pues

21

x)xcos(1lim 20x

=−

→.

Ejercicio 87 Calcula los siguientes límites.

x)x(tglim

0x→ 20x x

x)x(tglim −→

30x xx)x(tglim −

→

Ejemplo 55 – Periodicidad de las funciones seno, coseno y tangente Ya sabemos que sen(x + 2π) = sen(x) ∀ x ∈ R. También sen(x + 4π) = sen(x) ∀ x ∈ R pues sen(x + 4π) = sen(x + 2π) = sen(x). Análogamente, sen(x + 6π) = sen(x) ∀ x ∈ R. Y así sucesivamente. O sea que sen(x + nπ) = sen(x) ∀ x ∈ R cuando n = 2, 4, 6, ...

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


212

Si nos planteamos el problema de determinar los números positivos p tales que sen(x + p) = sen(x) ∀ x ∈ R, podemos afirmar que p = 2π, p = 4π, ... forman parte de la solución. Ahora bien, ¿habrá otros?. Enseguida veremos que no. Si sen(x + p) = sen(x) ∀ x ∈ R, entonces sen(p) = sen(0), o sea sen(p) = 0. Esto, junto con el hecho que p > 0, implica que p = π, 2π, 3π, 4π, ... Pero p = π no nos sirve pues sen(x + π) = -sen(x) ≠ sen(x) cuando sen(x) ≠ 0. Lo mismo ocurre si p = 3π, 5π, ... En resumen, p = 2π es el menor número positivo para el que se cumple que sen(x + p) = sen(x) ∀ x ∈ R, La frase “la función seno es periódica y su período es 2π” se refiere a ese hecho. En forma similar podríamos justificar que “la función coseno es periódica y su período es 2π” y que “la función tangente es periódica y su período es π”. Cuando estamos ante una función periódica de período p, podemos limitarnos a concentrar nuestra atención en el intervalo [0,p] (si éste no te agrada, puedes elegir cualquier intervalo [a,b] tal que b – a = p). Cuando dibujamos los gráficos de las funciones seno, coseno y tangente elegimos el intervalo [-2π,2π] aunque hubiera alcanzado el intervalo [0,2π] en los dos primeros casos y el intervalo [0,π] en el último (en el caso de la tangente hubiéramos preferido el intervalo [-π/2, π/2 ]). Ejercicio 88 1) Determina cuál de las funciones de los ejemplos 5 a 7 es periódica y calcula

su período (esos ejemplos están en el capítulo 1). 2) Demuestra que no existe )x(senlim

x +∞→ y )xcos(lim

x +∞→ (revisa el razonamiento

que hicimos en la quinta parte del ejemplo 35 en el capítulo 9). Ejemplo 56 – Estudio de cuatro funciones trigonométricas Primera parte : La función f : R → R / f(x) = sen(x) + cos(x) Dominio Aunque el dominio de esta función es R, de aquí en adelante trabajaremos sólo en el intervalo [0, 2π] pues f(x + 2π) = sen(x + 2π) + cos(x + 2π) = f(x). Continuidad La función es continua pues es suma de funciones continuas. Crecimiento y decrecimiento f ‘(x) = cos(x) – sen(x).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


213

Para estudiar el signo de f ‘(x) en [0, 2π] comenzaremos con la resolución de la ecuación f ‘(x) = 0: 1)x(tg)x(sen)xcos(0)x('f =⇔=⇔= . Sabemos que tg(π/4) = 1 y nos acordamos de la circunferencia trigonométrica. Ello nos lleva a afirmar que las raíces de la ecuación tg(x) = 1 que están en el intervalo [0, 2π] son π/4 y 5π/4.

0 0 [........ .............. ....|.... .............. ....|.................. ......] raíces de f ‘(x) 0 π/4 5π/4 2π Para hallar el signo de f ‘(x) tenemos en cuenta, además, lo siguiente: f ‘(0) = cos(0) – sen(0) = 1 – 0 = 1. f ‘(π) = cos(π) – sen(π) = -1 – 0 = -1 (π está entre π/4 y 5π/4). f ‘(2π) = cos(2π) – sen(2π) = 1 – 0 = 1. + + + + + + 0 - - - - - - 0 + + + + + + [........ .............. ....|.... .............. ....|.................. ......] signo de f ‘(x) 0 π/4 5π/4 2π Concavidad f ‘’(x) = -sen(x) – cos(x) Un razonamiento similar al que acabamos de hacer determina el signo de f ‘’.

- - - - - - 0 + + + + 0 - - - - - - [........ .............. ....|.... .............. ....|.................. ......] signo de f ‘’(x) 0 3π/4 7π/4 2π Concluimos que las características de nuestra función son las siguientes (cambiamos la forma habitual de nuestro esquema debido a la cantidad de números que debemos destacar):

Intervalo Continuidad Crecimiento y decrecimiento Concavidad [0 , π/4] f es creciente

[π/4 , 3π/4]

f tiene concavidad negativa [3π/4 , 5π/4]

f es decreciente

[5π/4 , 7π/4]

f tiene concavidad positiva [7π/4 , 2π]

f es continua

f es creciente f tiene concavidad negativa Además: f(0) = 1, f(π/4) = 2 , f(3π/4) = 0, f(5π/4) = - 2 , f(7π/4) = 0 y f(2π) = 1.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


214

Notemos, para finalizar, que - 2 es el mínimo de la función en R y que 2 es el máximo. Por lo tanto - 2 ≤ sen(x) + cos(x) ≤ 2 ∀ x ∈ R. Segunda parte : La función f : R → R / f(x) = x – sen(x) Dominio El dominio de esta función es R. Como la función seno es periódica con período 2π, calculamos f(x +2π). f(x + 2π) = x + 2π – sen(x + 2π) = x + 2π – sen(x) = f(x) + 2π. No nos quedó f(x + 2π) = f(x) como hubiéramos deseado. A pesar de ello, el resultado f(x + 2π) = f(x) + 2π tiene una interpretación que nos ayudará en la representación gráfica de la función. En efecto, tenemos que si el punto (a,b) está en el gráfico (b = f(a)) entonces también lo está el punto (a + 2π, b + 2π) ya que f(a + 2π) = f(a) + 2π = b + 2π. Esos puntos determinan un segmento que tiene coeficiente angular 1 y longitud 22 π.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


215

En consecuencia, podemos trabajar en un intervalo de amplitud 2π pues si en él logramos representar gráficamente la función, poco más es lo que debemos hacer (trasladar sucesivamente lo que obtengamos según los segmentos

orientados →−−

CD y →−−

DC del dibujo anterior): tomamos el intervalo [0,2π]. Además, estudiaremos las asíntotas de la función. Continuidad La función es continua en [0,2π] pues es diferencia de funciones continuas. Crecimiento y decrecimiento f ‘(x) = 1 - cos(x). Como cos(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R, tenemos que f ‘(x) ≥ 0 cualquiera sea x. Además f ‘(x) = 0 sólo si cos(x) = 1. 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 [........ ............................................................. ......] signo de f ‘(x) 0 2π Concavidad f ‘’(x) = sen(x) 0 + + + + + 0 - - - - - - - 0 [........ .............. ....|.... .............. ......] signo de f ‘’(x) 0 π 2π

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


216

Hasta el momento hemos obtenido los resultados que constan en el próximo esquema.

0................................................................ ....π.... ............................................................. ....2π f es continua f es creciente

f tiene concavidad positiva f tiene concavidad negativa Además, f(0) = 0, f(π) = π y f(2π) = 2π (f(x) = x siempre que sen(x) = 0). Límites Como f es continua en R, sólo debemos calcular dos límites (cuando x tiende a menos infinito y cuando x tiende a más infinito).

+∞=−+∞→

)x(senx(limx

pues +∞=+∞→

xlimx

y sen(x) ≥ -1 ∀ x ∈ R.

−∞=−−∞→

)x(senx(limx

pues −∞=−∞→

xlimx

y sen(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R.

Asíntotas 1) Asíntota de f en más infinito

m1x

)x(sen1limx

)x(flimxx

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+∞→+∞→ pues 0

x)x(senlim

x=

+∞→. Esto último se debe

a que 0x1lim

x=

+∞→ y –1 ≤ sen(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R.

))x(sen(lim)mx)x(f(limxx

−=−+∞→+∞→

. Este límite no existe, por lo cual f no tiene

asíntota en más infinito. 2) Asíntota de f en menos infinito

m1x

)x(sen1limx

)x(flimxx

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−∞→−∞→ pues 0

x)x(senlim

x=

−∞→.

))x(sen(lim)mx)x(f(limxx

−=−−∞→−∞→

. Este límite no existe, por lo cual f no tiene

asíntota en menos infinito. Antes de ir a la representación gráfica de la función que hemos estudiado, vale que destaquemos un hecho interesante. Como –1 ≤ sen(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R, resulta que x –1 ≤ x - sen(x) ≤ x + 1. Por lo tanto x –1 ≤ f(x) ≤ x + 1 ∀ x ∈ R. Ello motiva que la representación gráfica de f esté dentro de la faja de plano que limitan las rectas de ecuaciones y = x – 1 e y = x + 1. Este hecho se aprecia en el próximo dibujo (el mismo abarca el intervalo [-4π,4π] para que puedas ver las consecuencias de las traslaciones a las que nos hemos referido).

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217

Tercera parte : La función f : D → R / f(x) = tg(x) - x Dominio El dominio de esta función es D = {x / x ∈ R, cos(x) ≠ 0}. Puesto que la función tangente es periódica con período π, calculamos f(x + π). f(x + π) = tg(x + π) – (x + π) = tg(x) – x - π = f(x) - π. Llegamos a un resultado similar al de la función de la segunda parte. Ahora tenemos que si el punto (a,b) está en el gráfico entonces también lo está el punto (a + π, b - π). Esos puntos determinan un segmento que tiene coeficiente angular –1 y longitud 2 π. Por lo tanto, nos limitaremos a trabajar en un intervalo de amplitud π. Elegimos el intervalo abierto (-π/2,π/2); no incluimos los números -π/2 y π/2 pues ellos no están en D (esos números los tendremos en cuenta para el cálculo de límites). Continuidad La función es continua en (-π/2,π/2) pues es diferencia de funciones continuas. Crecimiento y decrecimiento f ‘(x) = 1 + tg2(x) – 1 = tg2(x). Ante este resultado, resulta simple el signo de f ‘. + + + + + + + + + + + 0 + + + + + + + + + + + (......... ......................... .....|.............................. .........)-π/2 0 π/2

signo de f ‘(x)

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218

Concavidad f ‘’(x) = 2 tg(x) (1 + tg2(x)). - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + (......... ......................... .....|.............................. .........)-π/2 0 π/2

signo de f ‘’(x)

A esta altura de nuestro trabajo hemos llegado a los resultados que resumimos en el próximo esquema.

-π/2............................................................ ....0.... ............................................................ π/2 ∉ D f es continua ∉ D ∉ D f es creciente ∉ D ∉ D f tiene concavidad negativa f tiene concavidad positiva ∉ D

Además, f(0) = 0. Límites

−∞=−=++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −→

)x)x(tg(lim)x(flim2πx

2πx

pues −∞=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −→

)x(tglim2πx

y2πxlim

2πx

−=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −→

.

+∞=−=−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→

)x)x(tg(lim)x(flim2πx

2πx

pues +∞=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→

)x(tglim2πx

y2πxlim

2πx

=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→

.

En cuanto al límite de f en menos infinito y al límite de f en más infinito, es importante que nos demos cuenta que no tiene sentido plantearse esos límites ya que el dominio de f no incluye ninguna semirrecta izquierda ni ninguna semirrecta derecha. La representación gráfica de esta función aparece en el próximo dibujo, el cual abarca el intervalo (-5π/2, 5π/2). Sin duda, unas elegantes sillas para Gulliver.

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219

Cuarta parte : La función f : [-2π,2π] → R / f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠

0xsi1

0xsix

)x(sen

Antes de realizar el estudio sistemático de esta función, es importante que hagamos un comentario sobre la elección de su dominio. Podríamos haberla definido con dominio R pero preferimos no complicarnos demasiado, atentos a la atractiva e inquietante representación gráfica que nos mostró la computadora en el intervalo [-10π,10π].

El dibujo nos parece razonable en lo que se refiere a tres aspectos:

• )0(f1x

)x(senlim0x

==→

, 0x

)x(senlimx

=+∞→

y 0x

)x(senlimx

=−∞→

(esto ya lo sabemos).

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220

• x1

x)x(sen1)x(sen1)x(sen1 ≤⇒≤⇒≤≤− si x ≠ 0. Esto lleva a

que el gráfico de nuestra función esté dentro de la zona del plano que

limitan los dibujos de las funciones x1)x(f1 = y

x1)x(f2 −= .

• La curva es simétrica respecto al eje de las ordenadas, lo cual se debe a

que f(-0) = f(0) y )x(f)x(f =− pues x

)x(senx

)x(senx

)x(sen=

−−

=−

− si x ≠ 0.

Salvo lo anterior, el dibujo es por cierto sorprendente. En lo que sigue trabajaremos en [0,2π] en vez de en [-2π,2π] pues recién vimos que )x(f)x(f =− , por lo que el dibujo de la función en [-2π,0] es el simétrico respecto al eje de las ordenadas del dibujo en [0,2π]. Continuidad La función es continua en cualquier número distinto de 0 pues es un cociente de funciones continuas.

Además es continua en 0 pues )0(f1x

)x(senlim0x

==→

(en realidad, definimos f(0)

de modo de tener una función continua en 0). Crecimiento y decrecimiento

Si x ≠ 0 tenemos que 2x)x(sen)xcos(x)x('f −

= .

El signo de f ‘(x) es el de xcos(x) – sen(x) pues x2 > 0 si x ≠ 0. Comencemos resolviendo la ecuación xcos(x) – sen(x) = 0.

0x)x(tg)x(tgx)x(sen)xcos(x0)x(sen)xcos(x =−⇔=⇔=⇔=− . El estudio que hicimos de la función tg(x) – x y su consecuente representación gráfica nos permite afirmar que la ecuación tg(x) – x = 0 tiene sólo una raíz en el intervalo (0,2π] y que ella es un número x0 que está próximo a 3π/2. Atentos a ello, obtuvimos un valor aproximado de x0 con ayuda de una calculadora: • 3π/2 ≅ 4,712. • tg(4,5) ≅ 4,637. • tg(4,49) ≅ 4,422. • tg(4,493) ≅ 4,484. Aquí nos detuvimos y nos conformamos con x0 ≅ 4,493. Ya tenemos resuelta la ecuación f ‘(x) = 0. Ahora calcularemos el valor de xcos(x) – sen(x) para x = π y para x = 2π (pues 0 < π < x0 < 2π): πcos(π) – sen(π) = -π ; 2πcos(2π) – sen(2π) = 2π.

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221

Todo lo anterior justifica el siguiente signo de f ‘(x):

- - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + (......... ......................... .....|.............................. .........]0 x0 2π

signo de f ‘(x)

Nos falta calcular f ‘(0). Para ello usaremos el teorema 44 (derivada y límite).

0x2

1)xcos(limx

x)x(senlimx

1x

)x(sen

lim0x

)0(f)x(flim0x20x0x0x

=−

=−

=−

=−−

→→→→ −− (aplicamos la

primera regla de L’Hôspital y recordamos el tercer límite del teorema 49). Por lo tanto f es derivable en 0 y f ‘(0) = 0. Concavidad

Si x ≠ 0 resulta que 4

2

x))x(sen)xcos(x(x2x))xcos()x(xsen)x(cos()x(''f −−−−

=

3

2

x)x(sen2)xcos(x2)x(senx)x(''f +−−

= .

El signo de f ‘’(x) es el de –x2sen(x) – 2xcos(x) + 2sen(x) pues x3 > 0 si x > 0. Estamos ante una situación más complicada que la que enfrentamos al estudiar el signo de f ‘(x). Si resuelves el ejercicio 90 verás que el signo de f ‘’(x) es el siguiente: - - - - - - - - - 0 + + + + 0 - - - - - - - - - (........ .............. ....|.... .............. ....|.... .............. ......] signo de f ‘’(x) 0 x1 x2 2π π/2 < x1 < π (x1 ≅ 2,08) ; 3π/2 < x2 < 2π (x2 ≅ 5,94) Los resultados que obtuvimos aparecen resumidos en el siguiente esquema: 0..... ........................... ..x1.. ........................... ..x0.. ........................... ..x2.. ........................... ....2π f es continua f es decreciente mr f es creciente concavidad

negativa

concavidad positiva concavidad

negativa

Además, 217,0)xcos()x(tg)x(sen

x)x(sen

)x(f 00

0

0

00 −≅===

En consecuencia, el dibujo del gráfico de la función es el que sigue.

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222

Observemos, finalmente, que cos(x0) ≅ -0,217 es el menor valor de la función y que 1 es el mayor. Ejercicio 89 Comprueba que las funciones que estudiamos en la segunda y en la tercera parte del ejemplo 56 cumplen con la siguiente propiedad: f(-x) = -f(x) cualquiera sea el x del dominio. ¿Cómo puedes aprovechar ese resultado en el dibujo del gráfico de la función? Ejercicio 90 Sea g : [0,2π] → R / g(x) = –x2sen(x) – 2xcos(x) + 2sen(x). Estudia el crecimiento y el decrecimiento de g y deduce su signo. Ejercicio 91 Estudia las siguientes funciones y represéntalas gráficamente. f(x) = sen(x) – cos(x)

f(x) = x + sen(x)

F(x) = L(2 – sen(x)) )x(sen1)x(sen1)x(f

−+

=

Ejemplo 57 – Tres llamados de atención Primera parte : Reglas de L’Hôspital La primera regla de L’Hôspital establece que si 0)x(glim)x(flim

axax==

→→ y existe

)x('g)x('flim

ax→, entonces

)x('g)x('flim

)x(g)x(flim

axax →→= (teorema 42 en el capítulo 11).

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223

¿Por qué se exige en la hipótesis de esa regla que exista )x('g)x('flim

ax→?

¿Puede ocurrir que exista )x(g)x(flim

ax→ sin que exista

)x('g)x('flim

ax→?

El ejemplo que sigue nos permite contestar a esas preguntas.

Supongamos que queremos calcular x

x1senx

lim

2

0x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→ usando la primera regla de

L’Hôspital, atentos a que 0xlimx1senxlim

0x

2

0x==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→→.

Cuando planteamos el límite del cociente de las derivadas nos queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→→ x1cos

x1xsen2lim

x1

x1cosx

x1xsen2lim

0x22

0x.

Ahora bien:

0x1xsen2lim

0x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→ pues 0x2lim

0x=

→ y 1

x1sen1 ≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤− ∀ x ≠ 0.

)ucos(limx1coslim

u

x1u

0x +∞→

=

→=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ no existe.

Por lo tanto no existe el límite del cociente de las derivadas.

Sin embargo, x

x1senx

lim

2

0x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→= 0

x1xsenlim

0x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

→.

Segunda parte : Condición suficiente de existencia de la derivada El teorema 45 (también en el capítulo 11) da una condición suficiente de existencia de f ‘(p): si f es continua en p y L)x('flim

px=

→ entonces f ‘(p) = L.

Esa condición es suficiente pero no necesaria ya que puede existir f ‘(p) sin que exista )x('flim

px→.

En efecto, sea f : R → R / f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0xsi0

0xsix1senx2

.

Esta función es derivable en 0 pues 0x1xsenlim

0x)0(f)x(flim

0x0x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

→→.

Sin embargo, no existe )x('flim0x→

(esto lo vimos en la primera parte).

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224

Tercera parte : Condición suficiente de existencia de límite Finalmente, en el teorema 47 (nuevamente en el capítulo 11) dimos una condición suficiente de existencia de límite, la cual no es necesaria. Para

convencernos de ello consideremos f : R → R / f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠

0xsi1

0xsix

)x(sen.

Ya vimos que 0)x(flimx

=+∞→

. Sin embargo, no existe ninguna semirrecta derecha

contenida en el dominio de la función en la cual ésta sea creciente, decreciente, “creciente” o “decreciente”.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Funciones trigonométricas (segunda parte) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

225

CAPITULO 13 – FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (segunda parte) 1 – INTRODUCCION Con el fin de completar nuestro estudio de las funciones trigonométricas, en este capítulo nos ocuparemos de las inversas de las funciones seno, coseno y tangente. Asimismo, expondremos una definición no geométrica de las funciones seno y coseno y nos reencontraremos con las principales propiedades de esas funciones. 2 – LAS INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS a) La función arcotangente Si restringimos el dominio de la función tangente al intervalo abierto (-π/2,π/2), o sea si consideramos la función f : (-π/2,π/2) → R / f(x) = tg(x), tenemos que: • f ‘(x) > 0 ∀ x ∈ (-π/2,π/2) pues f ‘(x) = 1 + tg 2(x). • f es invertible ya que f es continua y creciente en (-π/2,π/2), −∞=

+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−→

)x(flim2πx

y +∞=−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→

)x(flim2πx

.

En consecuencia, podemos aplicar el teorema 26 que vimos en el capítulo 7 (en ese teorema sobre la función inversa, el dominio de la función era R+; en nuestro caso es el intervalo (-π/2,π/2), lo cual no motiva ninguna complicación). A la inversa de esta función la llamaremos arcotangente y la representaremos con el símbolo Arctg. Su dominio es R y su codominio (-π/2,π/2). De acuerdo con lo que ya sabemos, escribir Arctg(a) = b es lo mismo que escribir tg(b) = a (por cierto, a ∈ R y b ∈ (-π/2,π/2)). También sabemos que la representación gráfica de f –1 se obtiene de la de f simetrizando esta última respecto a la recta de ecuación y = x.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


226

Algunos resultados correspondientes a la función tangente nos permiten establecer ciertas propiedades de la función arcotangente. Por ejemplo: • 0)0(Arctg0)0(tg =⇒= .

• 6π

33Arctg

33

6πtg =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

• 4π)1(Arctg1

4πtg =⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

• 3π)3(Arctg3

3πtg =⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

• 2π)x(Arctglim)x(tglim

x

2πx

−=⇒−∞=−∞→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−→+

.

• 2π)x(Arctglim)x(tglim

x

2πx

=⇒+∞=+∞→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛→−

.

En cuanto a la derivada de la función arcotangente, la calcularemos aplicando la regla de derivación de la función inversa.

22 x11

))x(Arctg(tg11

))x(Arctg('tg1)x(')Arctg(

+=

+== pues tg(Arctg(x)) = x.

Este resultado es sin duda impactante. La derivada de la función arcotangente es un cociente nada complicado: el número 1 en el numerador y un sencillo polinomio de segundo grado en el denominador.

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227

b) La función arcoseno Pasemos ahora a la función seno. Si limitamos su dominio al intervalo cerrado [-π/2,π/2] y su codominio al intervalo cerrado [-1,1], o sea si consideramos la función g : [-π/2,π/2] → [-1,1] / g(x) = sen(x), tenemos que: • g es creciente y continua en [-π/2,π/2]. • g(-π/2) = -1 y g(π/2) = 1. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema 27 que vimos en el capítulo 7. A la inversa de esta función la llamaremos arcoseno y la representaremos con el símbolo Arcsen. Su dominio es [-1,1] y su codominio [-π/2,π/2]. Escribir Arcsen(a) = b es lo mismo que escribir sen(b) = a (en este caso a y b son tales que a ∈ [-1,1] y b ∈ [-π/2,π/2]). Podemos calcular algunos valores de la función arcoseno a partir de resultados que conocemos de la función seno. Por ejemplo: • 0)0(Arcsen0)0(sen =⇒= .

• 6π

21Arcsen

21

6πsen =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

• 4π

22Arcsen

22

4πsen =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

• 3π

23Arcsen

23

3πsen =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

• ( )2π1Arcsen1

2πsen =⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

La representación gráfica de g –1 se obtiene de la de g simetrizando esta última respecto a la recta de ecuación y = x.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


228

Calculemos la derivada de la función arcoseno.

))x(Arcsencos(1

))x(Arcsen('sen1)x(')Arcsen( == .

De acuerdo con el teorema 27, ese resultado es válido para aquellos x del intervalo [-1,1] tales que cos(Arcsen(x)) ≠ 0, o sea para x ∈ (-1,1). La derivada de la función arcoseno puede escribirse en una forma más simple. Sabemos que 1))x(Arcsen(sen))x(Arcsen(cos 22 =+ . Además, sen(Arcsen(x)) = x y cos(Arcsen(x)) > 0 pues -π/2 < Arcsen(x) < π/2. Por lo tanto 22 x1))x(Arcsen(sen1))x(Arcsencos( −=−= .

Concluimos que 2x1

1)x(')Arcsen(−

= si x ∈ (-1,1).

¿Qué ocurre con la derivabilidad de la función arcoseno en 1 por la izquierda y en –1 por la derecha? A continuación probaremos que no es derivable en 1 por la izquierda (tampoco lo es en –1 por la derecha).

+∞=−

=−−

−− →→ 21x1x x11lim

1x)1(Arcsen)x(Arcsenlim (para calcular el límite aplicamos

la primera regla de L’Hôspital). c) La función arcocoseno Finalmente, trabajemos con la función coseno. Si restringimos su dominio al intervalo cerrado [0,π] y su codominio al intervalo cerrado [-1,1], o sea si consideramos la función h : [0,π] → [-1,1] / h(x) = cos(x), tenemos que: • h es decreciente y continua en [0,π]. • h(0) = 1 y h(π) = -1. Nuevamente podemos aplicar el teorema 27 (ese teorema se refería a una función creciente; en nuestro caso la función es decreciente, lo cual no motiva ninguna complicación). A la inversa de esta función la llamaremos arcocoseno y la representaremos con el símbolo Arccos. Su dominio es [-1,1] y su codominio [0,π].

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


229

Puede probarse, con un razonamiento similar al que hicimos en el caso del

arcoseno, que 2x1

1)x('cos)Arc(−

−= si x ∈ (-1,1). Tenemos, entonces, que

las funciones arcoseno y arcocoseno tienen derivadas opuestas. Este hecho nos lleva a una consecuencia interesante. En efecto, si j es la función definida por j(x) = Arcsen(x) + Arccos(x) resulta que j ‘(x) = 0 ∀ x ∈ (-1,1) y que j es continua en [-1,1]. Por lo tanto j(x) = k ∀ x ∈ [-1,1] (¿qué teorema estamos aplicando?). Como, además, j(0) = Arcsen(0) + Arccos(0) = π/2 llegamos a que Arcsen(x) + Arccos(x) = π/2 ∀ x ∈ [-1,1]. Ejercicio 92 1) Construye una tabla de valores para la función arcocoseno. 2) Justifica el resultado que dimos sobre la derivada de la función arcocoseno. Ejercicio 93 Calcula f ‘(x) y f ‘’(x) en cada uno de los siguientes casos e indica para qué valores de x es válido el resultado: f(x) = x – Arctg(x) f(x) = Arctg(2x) – Arctg(x 2)

)x(Arctg1)x(Arctg1)x(f

−+

= )x(Arctg)x(f =

)x(Arcsenx1)x(f 2 +−= )x(Arcsen)x(Arcsen)x(f 2 += Ejercicio 94 Calcula los siguientes límites:

x)x(Arctglim

0x→ 30x x

x)x(Arctglim −→

x

)x(Arcsenlim0x→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


230

Ejercicio 95 Estudia las siguientes funciones y represéntalas gráficamente. f(x) = x – Arctg(x)

)x(Arcsenx1)x(f 2 +−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

x1Arctg)x(Arctg)x(f ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+= 2

2

x1x1Arcsen)x(Arctg2)x(f

3 – OTRA DEFINICION DE SENO Y COSENO En el capítulo anterior definimos el seno y el coseno a partir de ciertas ideas geométricas. En algunos libros se da otra definición que resulta atractiva y que tiene en cuenta algunos resultados que nosotros ya justificamos. Nos estamos refiriendo a los valores de las funciones seno y coseno en 0 y a la relación entre esas funciones y sus derivadas. En esta sección nos ocuparemos de este enfoque. Definición 31’ – Las funciones seno y coseno Las funciones seno y coseno son, respectivamente, las funciones f y g de R en

R que verifican las siguientes propiedades:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

==

f'gg'f

1)0(g0)0(f

La definición anterior supone, claro está, que existe algún par de funciones que satisfacen las propiedades que en ella se señalan. Los autores que la usan demuestran que ello es cierto, pero nosotros nos conformaremos con admitirlo. Uno de los atractivos de esa definición es que ella afirma que las funciones seno y coseno son derivables (y por lo tanto continuas) y nos indica sus derivadas. Ahora bien, ¿cómo se llega por este camino a la multiplicidad de resultados que nosotros sabemos?. Poco a poco contestaremos a esa pregunta y comenzaremos con algo novedoso: las funciones seno y coseno son únicas. Teorema 51 – Las funciones seno y coseno son únicas

Sean h y j funciones de R en R tales que

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

==

h'jj'h

1)0(j0)0(h

.

Entonces h = f y j = g, donde f y g son las funciones seno y coseno.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


231

Demostración Consideremos la función w definida así: w(x) = (h(x) – f(x)) 2 + (j(x) – g(x)) 2. Observemos que: • w(0) = (h(0) – f(0)) 2 + (j(0) – g(0)) 2 = (0 – 0) 2 + (1 – 1) 2 = 0. • w ‘(x) = 2(h(x) – f(x))(h ‘(x) – f ‘(x)) + 2(j(x) – g(x))(j ‘(x) – g ‘(x)).

w ‘(x) = 2(h(x) – f(x))(j(x) - g(x)) + 2(j(x) – g(x))(-h(x) + f(x)) = 0. Tenemos pues que w ‘(x) = 0 ∀ x ∈ R y que w(0) = 0. Por lo tanto, w(x) = 0 ∀ x ∈ R. Como w = (h – f) 2 + (j – g) 2 concluimos que h = f y que j = g. Teorema 52 – Una relación fundamental entre el seno y el coseno sen 2(x) + cos 2(x) = 1 ∀ x ∈ R. Demostración Sea w la función definida así: w(x) = sen 2(x) + cos 2(x). Entonces w ‘(x) = 2sen(x)cos(x) + 2cos(x)(-sen(x) = 0 ∀ x ∈ R. Además, w(0) = sen 2(0) + cos 2(0) = 0 + 1 = 1. Por lo tanto w(x) = 1 ∀ x ∈ R. Teorema 53 – Las funciones seno y coseno son acotadas en R

-1 ≤ sen(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R -1 ≤ cos(x) ≤ 1 ∀ x ∈ R Demostración Alcanza con observar que sen 2(x) + cos 2(x) = 1 ∀ x ∈ R. Teorema 54 – Fórmulas de adición cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) ∀ x,y ∈ R. sen(x – y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y) ∀ x,y ∈ R. cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y) ∀ x,y ∈ R. sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) ∀ x,y ∈ R. Demostración Demostraremos, por ejemplo, las dos primeras fórmulas. Al respecto, para cada número y definamos las funciones u, v y w así: u(x) = cos(x – y) – cos(x)cos(y) – sen(x)sen(y). v(x) = sen(x – y) – sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y). w(x) = u 2(x) + v 2(x). Entonces: u ‘(x) = -sen(x – y) + sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y) = -v(x). v ‘(x) = cos(x – y) – cos(x)cos(y) – sen(x)sen(y) = u(x).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


232

w ‘(x) = 2u(x)u ‘(x) + 2v(x)v ‘(x) = 2u(x)(-v(x)) + 2v(x)u(x) = 0. u(y) = cos(0) – cos 2(y) – sen 2(y) = cos(0) – (cos 2(y) + sen 2(y)) = 1 – 1 = 0. v(y) = sen(0) – sen(y)cos(y) + cos(y)sen(y) = 0. w(y) = u 2(y) + v 2(y) = 0. En resumen, w ‘(x) = 0 ∀ x ∈ R y w(y) = 0. Por lo tanto, w(x) = 0 ∀ x ∈ R. Como w(x) = u 2(x) + v 2(x) tenemos que u(x) = v(x) = 0, con lo cual terminamos. Es sorprendente la rapidez con la que progresamos con esta forma de definir el seno y el coseno. Debemos reconocer, sin embargo, que aún no ha aparecido el número π, el cual fue fundamental en el capítulo anterior. Con este enfoque se hace necesario definir ese número (en realidad definiremos π/2). El próximo teorema es el preámbulo de esa definición. No se trata de un teorema cuya demostración sea sencilla ya que, en lo que al seno y al coseno se refiere, sólo podemos utilizar lo que hemos visto en esta sección (algo tenemos que pagar para seguir trabajando con esta atractiva forma de definir el seno y el coseno). Teorema 55 – Una raíz de la ecuación cos(x) = 0 Si A = { x / x > 0, cos(x) = 0}, entonces A tiene mínimo. Demostración En la demostración de este teorema distinguiremos dos partes: en primer lugar probaremos que el conjunto A no es vacío y luego que tiene mínimo. Primera parte : A = { x / x > 0, cos(x) = 0} no es vacío. Sabemos que cos(0) = 1. Si existiera x1 > 0 tal que cos(x1) < 0, el teorema de Bolzano nos asegura que cos(x2) = 0 para algún x2 tal que 0 < x2 < x1. Atentos a lo anterior, razonaremos por el absurdo, o sea supondremos que A es vacío. Si eso ocurre tenemos que cos(x) > 0 ∀ x > 0 y en consecuencia: • La función seno es creciente en R+ pues sen ‘(x) = cos(x).

Además sen(0) = 0. Por lo tanto sen(x) > 0 ∀ x > 0. • La función coseno es decreciente en R+ pues cos ‘(x) = -sen(x). Lo anterior, el hecho que las funciones seno y coseno son acotadas en R y el teorema 47 en el capítulo 11 nos permiten afirmar que p)x(senlim

x=

+∞→ con p > 0

y q)xcos(limx

=+∞→

con q ≥ 0.

Notemos ahora que: • sen(2x) = sen(x + x) = sen(x)cos(x) + cos(x)sen(x) = 2sen(x)cos(x).

21qpq2p))xcos()x(sen2(lim))x2(sen(lim

xx=⇒=⇒=

∞→+∞→ (pues p > 0).

• cos(2x) = cos(x + x) = cos 2(x) – sen 2(x). 2222

xxpqq))x(sen)x((coslim))x2(cos(lim −=⇒−=

∞→+∞→.

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233

Llegamos, entonces, a que 2p41

21

−= lo que es absurdo ya que 41p

41 2 <− .

Concluimos que A no es vacío. Segunda parte : A = { x / x > 0, cos(x) = 0} tiene mínimo. Recién nos convencimos, con bastante esfuerzo, que A no es vacío. Además, es acotado inferiormente pues sus elementos son números positivos (0 es una cota inferior de A). Por lo tanto existe el ínfimo de A. Sea i = inf(A). En lo que sigue probaremos que i ∈ A, con lo cual tendremos que i es el mínimo de A. 1) Como i es el ínfimo de A y 0 es una cota inferior de A, resulta que i ≥ 0 (en

el punto que sigue veremos que i > 0). 2) Supongamos que cos(i) > 0. En ese caso, el teorema de conservación del

signo (recordemos que la función coseno es continua en R) nos asegura que existe algún V(i) con la siguiente propiedad: ∀ x ∈ V(i) se cumple que cos(x) > 0.

+ + + + + + + + + + + + + ...[... ...................................... ...)... signo de cos(x)

i i+s Esto implica que entre i e i + s no hay ningún elemento de A, lo cual es absurdo ya que i es el ínfimo de A. El razonamiento anterior prueba también que i > 0 (pues cos(i) no es positivo y cos(0) = 1).

3) Un razonamiento similar al anterior prueba que cos(i) no es negativo. En resumen, i > 0 y cos(i) = 0. Por lo tanto i ∈ A. Definición 32 – El número π/2 π/2 es el mínimo del conjunto A = { x / x > 0, cos(x) = 0}. En el capítulo anterior habíamos anunciado una forma bastante enigmática de definir el seno y el coseno. La definición que acabamos de dar justifica con creces nuestro calificativo. No puede eludirse la pregunta: ¿con esa definición es posible demostrar que la longitud de una circunferencia es el producto de su diámetro y π?. Es deseable que sí y afortunadamente lo es (esto está en el ámbito de la teoría de integración de funciones continuas). No tenemos la pretensión de convencerte de eso, aunque esperamos que los próximos ejemplos te muestren que la definición de π/2 motiva resultados que ya conoces. Ejemplo 58 – Valores del seno y del coseno 1) sen(π/2) = 1

Sabemos que cos(π/2) = 0 y que sen 2(π/2) + cos 2(π/2) = 1.

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234

Entonces sen 2(π/2) = 1. Notemos, además, que cos(x) > 0 si 0 < x < π/2, pues cos(0) = 1 y π/2 es el primer número positivo en el que la función coseno vale 0. Debido a que (sen) ‘(x) = cos(x), tenemos que la función seno es creciente en [0, π/2] y, por lo tanto, 0 = sen(0) < sen(π/2). Finalmente, sen 2(π/2) = 1 y sen(π/2) > 0 implican que sen(π/2) = 1.

2) sen(π) = 0 y cos(π) = -1 En la demostración del teorema 55 vimos que sen(2x) = 2sen(x)cos(x) y que cos(2x) = cos 2(x) – sen 2(x). Usemos esas fórmulas para x = π/2. sen(π) = sen(2(π/2)) = 2sen(π/2)cos(π/2) = 0. cos(π) = cos(2(π/2)) = cos 2(π/2) – sen 2(π/2) = -1.

3) sen(3π/2) = -1 y cos(3π/2) = 0 sen(3π/2) = sen(π + π/2) = sen(π)cos(π/2) + cos(π)sen(π/2) = -1. cos(3π/2) = cos(π + π/2) = cos(π)cos(π/2) – sen(π)sen(π/2) = 0.

4) sen(2π) = 0 y cos(2π) = 1 sen(2π) = 2sen(π)cos(π) = 0. cos(2π) = cos 2(π) – sen 2(π) = 1.

5) sen(π/4) = cos(π/4) = 22

0 = cos(π/2) = cos(2(π/4)) = cos 2(π/4) – sen 2(π/4) ⇒ cos 2(π/4) = sen 2(π/4) Sabemos, además, que cos 2(π/4) + sen 2(π/4) = 1. Por lo tanto 2sen 2(π/4) = 1.

Llegamos a que sen 2(π/4) =21 y cos 2(π/4) =

21 .

Finalmente, sen(π/4) y cos(π/4) son positivos según vimos en el punto 1. Ejercicio 96 1) Completa el siguiente razonamiento:

sen(3x) = sen(2x + x) = ... = 3sen(x) – 4sen 3(x). 2) Ten en cuenta que π = 3(π/3) y usa el resultado de la parte anterior para

calcular sen(π/3). 3) Recuerda que sen(x) = cos(π/2 – x) y calcula cos(π/6). 4) Calcula cos(π/3) y sen(π/6). Ejemplo 59 – Signo y periodicidad del seno y del coseno Primera parte : Signo del seno y signo del coseno En el primer punto del ejemplo anterior deducimos el signo del seno y el signo del coseno en el intervalo [0, π/2].

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


235

0 + + + + + + + + + + + + + + + + 0

...|... ...................... ...|... signo de sen(x) ...|... ...................... ...|... signo de cos(x) 0 π/2 0 π/2

Veamos cómo completar lo anterior para cubrir el intervalo [0,2π] (usaremos dos fórmulas de adición, la de sen(x + y) y la de cos(x + y)). • Si x es tal que π/2 < x < π tenemos que 0 < x - π/2 < π/2. Por lo tanto:

sen(x) = sen((x - π/2) + π/2) = cos(x - π/2) > 0. cos(x) = cos((x - π/2) + π/2) = -sen(x - π/2) < 0.

• Si x es tal que π < x < 3π/2 tenemos que 0 < x - π < π/2. Por lo tanto: sen(x) = sen((x - π) + π) = -sen(x - π) < 0. cos(x) = cos((x - π) + π) = -cos(x - π) < 0.

• Si x es tal que 3π/2 < x < 2π tenemos que 0 < x - 3π/2 < π/2. Por lo tanto: sen(x) = sen((x - 3π/2) + 3π/2) = -cos(x - 3π/2) < 0. cos(x) = cos((x - 3π/2) + 3π/2) = sen(x - 3π/2) > 0.

En resumen, obtuvimos los siguientes resultados:

0 + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ....|.... ............... ....|.... ............... ....|.... ............... ....|.... ............... ....|.... signo de sen(x)

0 π/2 π 3π/2 2π + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + ....|.... ............... ....|.... ............... ....|.... ............... ....|.... ............... ....|.... signo de cos(x)

0 π/2 π 3π/2 2π Segunda parte : Periodicidad de las funciones seno y coseno sen(x + 2π) = sen(x)cos(2π) + cos(x)sen(2π) = sen(x). cos(x + 2π) = cos(x)cos(2π) – sen(x)sen(2π) = cos(x). A partir de los resultados anteriores, todo sigue como en el ejemplo 55. Después de este ejemplo tenemos lo necesario para dibujar el gráfico de las funciones seno y coseno, con lo cual damos por terminado el tema.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Sucesiones reales ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

237

CAPITULO 14 – SUCESIONES REALES 1 – INTRODUCCION En este capítulo nos ocuparemos de una clase de funciones reales de variable real, las sucesiones reales. La particularidad de estas funciones está en su dominio, el cual es el conjunto de los números naturales (a partir del número 1). Veremos que algunos conceptos y algunas propiedades que ya conocemos pueden trasladarse sin dificultad a las sucesiones reales, aunque nuestro principal objetivo es desarrollar algunos procedimientos que son propios de esa clase de funciones. 2 – SUCESIONES REALES Definición 33 – Sucesión real Sea N* ={1, 2, 3, ...}. Diremos que s es una sucesión real cuando s es una función cuyo dominio es N* y cuyo codominio es R; s(1) es el primer término de la sucesión, s(2) el segundo y así sucesivamente. Ejemplo 60 – Una sucesión real y tres funciones reales asociadas a ella

Consideremos la sucesión real s : N* → R / n1)n(s = .

Los primeros cuatro términos de s son 1)1(s = , 21)2(s = ,

31)3(s = y

41)4(s = .

La representación gráfica de esta sucesión es la que figura a continuación.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


238

No debemos sorprendernos ante el hecho que en el dibujo anterior sólo aparezcan puntos aislados ya que ello es consecuencia del dominio de la sucesión. Ese dibujo nos lleva a escribir frases como las que siguen: • s es una sucesión acotada que tiene máximo (el número s(1) = 1) y que no

tiene mínimo. • s es una sucesión decreciente. • Como ningún número a es interior ni “casi” interior al dominio de s, no

tienen sentido para nosotros las expresiones “s es continua en a” y “ ...)n(slim

an=

→”.

• A pesar de que no existe ninguna semirrecta derecha contenida en el dominio de s, nos atrevemos a afirmar que 0)n(slim

n=

+∞→.

Podemos sentir la tentación de unir los puntos del gráfico de s. Eso lo podemos

hacer, por ejemplo, eligiendo la función f : (0,+∞ ) → R / x1)x(f = . Esta es una

función real de variable real que verifica f(n) = s(n). Sin duda no hemos sido muy originales al definir f puesto que su dominio es una semirrecta en la que está contenida N* y la fórmula para calcular f(x) es la de s(n) con el cambio de la letra n por la letra x.

Acabamos de definir una función real de variable real cuyos valores en N* coinciden con los de nuestra sucesión s. Sin duda, ella no es la única con esa propiedad (en realidad hay infinitas). La función g : [1, + ∞ ) → R / g(x) = s(E(x)) también verifica g(n) = s(n). Además esta función tiene el mismo recorrido que la sucesión s.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


239

Otra función cuyos valores en N* coinciden con los de la sucesión s es la función h cuya representación gráfica es la que sigue.

Esta función, cuya impactante fórmula aparece en el próximo ejercicio, nos llama la atención sobre un hecho importante: 0)n(slim

n=

+∞→ y )x(hlim

x +∞→ no existe.

Ejercicio 97 Sean s la sucesión real del ejemplo 60 y h : [1, + ∞ ) → R la función definida así:

h(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+≥−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

+<−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

5,0)x(Exsi)1)x(E2x2()x(E1

122

5,0)x(Exsi)1)x(E2x2()x(E

122

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


240

1) Comprueba que para cada n ∈ N* se cumple que h(n) = s(n) y h(n+0,5) = 2. 2) Representa gráficamente la función h en el intervalo [1,9]. 3) ¿Imaginas cómo se obtuvo la fórmula para h(x)? Antes de continuar con las sucesiones reales, presentaremos algunas notaciones que se usan habitualmente en la literatura matemática sobre ellas: • Para resumir la expresión “La sucesión real s : N* → R” escribiremos “La

sucesión real [s(n)] n ∈ N*” y también “La sucesión real [s(n)]” (en esto último damos por sobreentendido que n = 1, 2, 3, ...).

• El símbolo s(n) se refiere al correspondiente del número natural n según la sucesión real [s(n)]. Ese valor suele representarse también mediante sn.

• Con el fin de simbolizar a las sucesiones reales usaremos las letras a partir de la s en vez de las letras f, g, h que hemos utilizado para las funciones reales de variable real. También usaremos las primeras letras del alfabeto para identificar a las sucesiones reales (a, b, c, ...).

Y ahora pasaremos a adaptar algunas definiciones correspondientes a las funciones reales de variable real de modo de tenerlas para las sucesiones reales (nos interesan aquí las definiciones 4, 6, 24, 25 y 26). Definición 34 – Sucesión acotada. Máximo y mínimo de una sucesión Sea una sucesión real [s(n)]. 1) [s(n)] es acotada cuando existen α y β en R tales que α ≤ s(n) ≤ β ∀ n ∈ N*. 2) [s(n)] tiene máximo cuando existe p ∈ N* tal que s(n) ≤ s(p) ∀ n ∈ N*. 3) [s(n)] tiene mínimo cuando existe q ∈ N* tal que s(n) ≥ s(q) ∀ n ∈ N*. Definición 35 – Sucesión creciente. Sucesión decreciente Sea una sucesión real [s(n)]. 1) [s(n)] es creciente cuando s(n) < s(n+1) ∀ n ∈ N*. 2) [s(n)] es decreciente cuando s(n) > s(n+1) ∀ n ∈ N*.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


241

Definición 36 – Límite de una sucesión en más infinito Sea una sucesión real [s(n)]. 1) Límite finito El límite de [s(n)] en más infinito es L cuando para cada número positivo r existe algún número natural j con la siguiente propiedad: para cualquier número natural n que cumpla n > j resulta que |s(n) – L| < r. El símbolo L)n(slim

n=

+∞→ se lee “el límite de s(n) cuando n tiende a más infinito

es L”. 2) Límite más infinito El límite de [s(n)] en más infinito es más infinito cuando para cada número positivo k existe algún número natural j con la siguiente propiedad: para cualquier número natural n que cumpla n > j resulta que s(n) > k. El símbolo +∞=

+∞→)n(slim

n se lee “el límite de s(n) cuando n tiende a más infinito

es más infinito”. 3) Límite menos infinito El límite de [s(n)] en más infinito es menos infinito cuando para cada número negativo h existe algún número natural j con la siguiente propiedad: para cualquier número natural n que cumpla n > j resulta que s(n) < h. El símbolo −∞=

+∞→)n(slim

n se lee “el límite de s(n) cuando n tiende a más infinito

es menos infinito”. Es importante, tanto teórica como prácticamente, que notemos que si [s(n)] es una sucesión real y f : [1, +∞ ) → R es una función tal que f(n) = s(n), entonces el hecho que f cumpla la primera parte de la definición 34 o cualquiera de las partes de las definiciones 35 ó 36 implica que [s(n)] también lo hace. Así por ejemplo: • Si f es acotada en [1, + ∞ ) entonces [s(n)] es acotada. • Si f es decreciente en [1, + ∞ ) entonces [s(n)] es decreciente. • Si L)x(flim

x=

+∞→ entonces L)n(slim

n=

+∞→.

• Si −∞=+∞→

)x(flimx

entonces −∞=+∞→

)n(slimn

.

También importa que comprendamos que [s(n)] puede cumplir con cualquiera de las partes de las definiciones 34, 35 ó 36 sin que f lo haga. Al respecto, es útil que tengamos en cuenta lo que consta al final del ejemplo 60. Ejercicio 98

Sea la sucesión real [t(n)] tal que n

1n)n(t

−= .

1) Representa gráficamente esa sucesión. 2) Prueba que [t(n)] es acotada, que tiene mínimo y que no tiene máximo. 3) Prueba que [t(n)] es creciente y calcula )n(tlim

n +∞→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


242

Ejercicio 99 Sin duda, resulta tedioso enunciar propiedades sobre límites de sucesiones reales. Sin embargo, te pedimos que hagas un pequeño esfuerzo. Repasa los enunciados de los teoremas 32 a 38 y 47, elige dos de ellos y redáctalos para sucesiones reales (si uno de los que eliges es el teorema 38, deberás cambiar la letra n que allí aparece por otra). Ejemplo 61 – Una sucesión simple e interesante Consideremos la sucesión real [s(n)] / s(n) = (-1) n. Los valores de esta sucesión son los números –1 y 1 ya que s(n) = -1 si n es impar y s(n) = 1 si n es par. Su representación gráfica es la del siguiente dibujo.

La sucesión [(-1) n] es acotada, tiene máximo, tiene mínimo (1 es el máximo de la sucesión y –1 el mínimo), no es ni creciente ni decreciente y no tiene límite en más infinito. Ejercicio 100

Sean k ∈ R+ y f : [1, + ∞ ) → R / 12

1xE2x12)x(fk

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−= .

1) Prueba que f(n) = (-1) n ∀ n ∈ N*. 2) Dibuja el gráfico de la función f en el intervalo [1,9] para k = 1 y para k = 2. Ejemplo 62 – La sucesión geométrica Sean λ ∈ R y [a(n)] la sucesión real tal que a(n) = λ n. Esta sucesión, a la que llamaremos sucesión geométrica de razón λ, tiene los siguientes valores: λ, λ 2, λ 3, λ 4, λ 5, ...

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


243

En el caso que λ = -1 tenemos la sucesión [(-1) n], la cual estudiamos en el ejemplo anterior. Primera parte : Crecimiento o decrecimiento de la sucesión geométrica Veamos, en primer lugar, si estamos ante una sucesión creciente o una sucesión decreciente o una sucesión ni creciente ni decreciente. De acuerdo con la definición 35, debemos determinar cuál de las siguientes opciones es correcta: 1) a(n) < a(n+1) ∀ n ∈ N*, o sea a(n+1) – a(n) > 0 ∀ n ∈ N*. 2) a(n) > a(n+1) ∀ n ∈ N*, o sea a(n+1) – a(n) < 0 ∀ n ∈ N*. 3) Ninguna de las dos anteriores. Estudiemos, por lo tanto, el signo de a(n+1) – a(n) para n = 1, 2, 3, ... a(n+1) – a(n) = λ n+1 - λ n = λ n (λ - 1). La expresión anterior, a pesar de su sencillez, nos obliga a distinguir varias situaciones: • Si λ > 1 tenemos que λ n > 0 y λ - 1 > 0. Entonces a(n+1) – a(n) > 0 ∀ n. En

consecuencia, [a(n)] es creciente. • Si λ = 1 resulta que a(n+1) – a(n) = 0 ∀ n. En este caso es a(n) = 1 ∀ n, o

sea [a(n)] es una sucesión constante. En consecuencia, [a(n)] no es ni creciente ni decreciente (podemos decir que es tanto “creciente” como “decreciente”).

• Si 0 < λ < 1 tenemos que λ n > 0 y λ - 1 < 0. Entonces a(n+1) – a(n) < 0 ∀ n. En consecuencia, [a(n)] es decreciente.

• Si λ = 0 resulta que a(n+1) – a(n) = 0 ∀ n. En este caso es a(n) = 0 ∀ n, o sea [a(n)] es una sucesión constante. En consecuencia, [a(n)] no es ni creciente ni decreciente (podemos decir que es tanto “creciente” como “decreciente”).

• Si λ < 0 tenemos que λ - 1 < 0 y λ n es positivo o negativo según n sea par o impar. Entonces a(n+1) – a(n) es negativo si n es par y positivo si n es impar. En consecuencia, [a(n)] no es ni creciente ni decreciente.

Segunda parte : Límite de la sucesión geométrica en más infinito Y ahora pasemos a estudiar el )n(alim

n +∞→.

• Si λ >1, [a(n)] es creciente y por lo tanto existe )n(alimn +∞→

.

Para calcular ese límite consideremos la función f : [1, +∞ ) → R / f(x) = λ x. Esta función tiene las siguientes propiedades: f(n) = λ n = a(n). +∞==

+∞→+∞→

x

xxλlim)x(flim (pues λ >1).

Por lo tanto +∞=+∞→

)n(alimn

si λ >1.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


244

• Si λ = 1, a(n) = 1 ∀ n. Por lo tanto 1)n(alimn

=+∞→

.

• Si 0 < λ <1, [a(n)] es decreciente y por lo tanto existe )n(alimn +∞→

.

Consideremos nuevamente la función f : [1, +∞ ) → R / f(x) = λ x. 0λlim)x(flim x

xx==

+∞→+∞→ (pues 0 < λ <1).

Por lo tanto 0)n(alimn

=+∞→

si 0 < λ <1.

• Si λ = 0, a(n) = 0 ∀ n. Por lo tanto 0)n(alimn

=+∞→

.

• Si λ < 0, [a(n)] no es ni creciente ni decreciente y por lo tanto no podemos afirmar que existe )n(alim

n +∞→ (ya sabemos que no existe cuando λ = -1).

Estamos, sin duda, ante un problema más complicado que los anteriores. Con el fin de resolverlo notemos que: Si λ < 0 se cumple que λ n = (-|λ|) n = (-1) n |λ| n. Si –1 < λ < 0 tenemos que 0 < |λ| < 1 y en consecuencia 0|λ|lim n

n=

+∞→.

Por lo tanto 0|λ|)1(limλlim nn

n

n

n=−=

+∞→+∞→ (recuerda que la sucesión [(-1) n]

es acotada). Si λ ≤ -1 tenemos que |λ| ≥ 1 y por lo tanto |λ n| = |λ| n ≥ 1. Esto nos

indica que si existiera n

nλlim

+∞→, entonces 0λlim n

n≠

+∞→. Pero esto último es

absurdo (recuerda el teorema 33) ya que al ser λ < -1 tenemos que λ n es positivo o negativo según n sea par o impar. Por lo tanto no existe

n

nλlim

+∞→ cuando λ ≤ -1.

En resumen, concluimos que la sucesión geométrica tiene las características que constan en el cuadro que sigue.

La sucesión geométrica : [a(n)] / a(n) = λ n (λ ∈ R)

Valor de λ Crecimiento o decrecimiento n

nλlim

+∞→

λ > 1 La sucesión es creciente + ∞ λ = 1 La sucesión es constante 1

0 < λ < 1 La sucesión es decreciente 0 λ = 0 La sucesión es constante 0

-1 < λ < 0 La sucesión no es ni creciente ni decreciente 0 λ ≤ -1 La sucesión no es ni creciente ni decreciente No existe

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


245

Ejercicio 101

Sean n

n11)n(a ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ,

1n

n11)n(b

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += y

2)n(b)n(a)n(c +

= .

1) Calcula los cuatro primeros términos de [a(n)], de [b(n)] y de [c(n)]. 2) Prueba que e)n(clim)n(blim)n(alim

nnn===

+∞→+∞→+∞→.

3 - SUBSUCESIONES En el ejercicio 99 no te pedimos que repasaras el enunciado del teorema 41 (otro teorema sobre composición de funciones con límites) ya que el concepto de composición de sucesiones reales requiere algunos comentarios especiales. Sean s : N* → R y t : N* → R sucesiones reales. Entonces: • Si nos interesa s o t, o sea si deseamos calcular (s o t)(n) = s(t(n)), tenemos

que exigir que cada t(n) sea un número natural mayor o igual que 1 ya que el dominio de s es N*.

• Si también nos interesa usar un teorema similar al teorema 41 para calcular ))n(t(slim

n +∞→, debemos exigir que +∞=

+∞→)n(tlim

n pues para nosotros

sólo tiene sentido el concepto de límite de la sucesión [s(n)] en más infinito. • Lo anterior se resume en dos propiedades de la sucesión t:

El recorrido de t está contenido en N*. Para asegurarnos de esto escribiremos t : N* → N*. +∞=

+∞→)n(tlim

n.

• Con el fin de garantizar el cumplimiento de esas propiedades podemos considerar cualquier sucesión real t : N* → N* que sea creciente. En ese caso tenemos que para cada n es t(n) ≥ n y, por lo tanto, +∞=

+∞→)n(tlim

n. Sin

duda no es lo único que podemos hacer pero con ello nos conformaremos (excluimos, por ejemplo, la siguiente sucesión: 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, ...).

Ejemplo 63 – Sucesiones crecientes cuyos valores son números naturales A continuación te presentamos seis sucesiones t : N* → N* que son crecientes y te indicamos lo que ocurre al calcular (s o t)(n), donde s : N* → R es cualquier sucesión real.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


246

[t(n)] Valores de t(n) Valores de (s o t)(n)

t(n) = n + 1 2, 3, 4, ... s(2), s(3), s(4), ... t(n) = n + 2 3, 4, 5, ... s(3), s(4), s(5), ... t(n) = 2n –1 1, 3, 5, ... s(1), s(3), s(5), ... t(n) = 2n 2, 4, 6, ... s(2), s(4), s(6), ... t(n) = n 2 1, 4, 9, ... s(1), s(4), s(9), ... t(n) = n! 1, 2, 6, s(1), s(2), s(6), ... En cada uno de los casos anteriores, con la sucesión s o t elegimos infinitos términos de la sucesión s y eliminamos los restantes. Ejercicio 102 Sea s : N* → R una sucesión. Encuentra t : N* → N* de modo que los valores de (s o t)(n) sean: 1) s(9), s(10), s(11), s(12), s(13), ... 2) s(3), s(6), s(9), s(12), s(15), ... 3) s(6), s(10), s(14), s(18), s(22), ... 4) s(2), s(9), s(28), s(65), s(126), ... Definición 37 – Subsucesión de una sucesión real Sean las sucesiones s : N* → R y t : N* → N* tales que t es creciente. A la sucesión s o t : N* → R la llamaremos subsucesión de s. Teorema 56 – Condición suficiente para la existencia del límite de una subsucesión Sean [s(n)] una sucesión real tal que existe )n(slim

n +∞→ y [s(t(n)] una subsucesión

de [s(n)]. Entonces )n(slim))n(t(slimnn +∞→+∞→

= .

Demostración Supongamos, por ejemplo, que L)n(slim

n=

+∞→ y probemos que L))n(t(slim

n=

+∞→.

Consideremos r > 0. De acuerdo con la primera parte de la definición 36, debe existir algún número natural j con la siguiente propiedad: para cualquier número natural n que cumpla n > j resulta que |s(t(n)) – L| < r. Sabemos que L)n(slim

n=

+∞→, por lo cual existe m ∈ N* tal que si n ∈ N* y n > m

entonces |s(n) – L| < r. Comprobemos, finalmente, que j = m nos sirve. En efecto, si n > m resulta que t(n) > m (pues t(n) ≥ n) y, en consecuencia, |s(t(n)) – L| < r. Antes de mostrar algunas aplicaciones del teorema anterior, es importante que destaquemos la falsedad de su recíproco. Para ello alcanza con que consideremos la sucesión [(-1) n] y que de ella elijamos sus términos pares, o

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


247

sea la subsucesión [(-1) 2n]. En ese caso tenemos que 11lim)1(limn

n2

n==−

+∞→+∞→ y

que no existe n

n)1(lim −

+∞→.

Ejemplo 64 – Dos aplicaciones del teorema 56 Primera parte : n

nλlim

+∞→ para λ > 1 ó 0 < λ < 1

Ya demostramos que +∞=

+∞→

n

nλlim si λ > 1 y que 0λlim n

n=

+∞→ si 0 < λ < 1.

Olvidemos esos resultados y veamos otra forma de obtenerlos. Primero notemos que si a(n) = λ n entonces a(n+1) = λ n+1 = λλ n = λa(n). • Sabemos que si λ >1 entonces [a(n)] es creciente. Ello nos permite afirmar

que existe )n(alimn +∞→

y que ese límite es +∞ o un número L.

Supongamos que L)n(alimn

=+∞→

. Entonces L)1n(alimn

=++∞→

pues [a(n+1)] es

una subsucesión de [a(n)]. Como a(n+1) = λa(n) resulta que )n(aλlim)1n(alim

nn +∞→+∞→=+ , o sea L = λL. Esta

última igualdad nos lleva a calcular L. En efecto: L = λL ⇔ L - λL = 0 ⇔ L(1 - λ) = 0 ⇔ L = 0 (pues λ >1). Ahora bien, como [a(n)] es creciente y a(n) > 0 ∀ n ∈ N*, no puede ser que

0)n(alimn

=+∞→

. En consecuencia, +∞=+∞→

)n(alimn

.

• Sabemos que si 0 < λ <1 entonces [a(n)] es decreciente. Podemos afirmar, entonces, que existe )n(alim

n +∞→ y que ese límite es -∞ o un número L.

Como a(n) > 0 ∀ n ∈ N*, no puede ser que −∞=+∞→

)n(alimn

. Concluimos pues

que L)n(alimn

=+∞→

.

Un razonamiento similar al del punto anterior nos muestra que L = 0. Antes de pasar a la segunda parte de este ejemplo, veamos una consecuencia interesante de la igualdad a(n+1) = λa(n). Cuando definimos la sucesión geométrica escribimos “Sean λ ∈ R y [a(n)] la sucesión real tal que a(n) = λ n ”. También podemos definirla así: Sean λ ∈ R y

[a(n)] la sucesión real tal que ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥=+=

1nsi)n(aλ)1n(aλ)1(a

.

Con ello tenemos: a(1) = λ, a(2) = λa(1) = λλ = λ 2, a(3) = λa(2) = λλ 2 = λ 3, ...

La fórmula ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥=+=

1nsi)n(aλ)1n(aλ)1(a

nos da el primer término de la sucesión

(primer renglón de la fórmula) y nos indica como calcular cada uno de los otros

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


248

términos a partir del anterior (segundo renglón de la fórmula). A una fórmula como la anterior se la llama fórmula de recurrencia. Segunda parte : Aproximaciones por exceso de a (a > 0) En el segundo ejemplo de este libro desarrollamos un procedimiento para calcular aproximaciones por exceso de la raíz cuadrada de un número positivo a, el cual se basa en una sucesión cuyos valores son esas aproximaciones. Esa sucesión puede definirse mediante una fórmula de recurrencia. Esa

fórmula es la siguiente:⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

=+

+=

1nsi)n(z2))n(z(a)1n(z

1a)1(z2 .

Ya sabemos que esta sucesión es decreciente, por lo que existe )n(zlimn +∞→

. Ese

límite es un número L pues [z(n)] es acotada (esto también lo aprendimos en el ejemplo 2). Es razonable que sospechemos que L = a . Confirmémoslo.

)n(z2))n(z(alim)1n(zlim

2

nn

+=+

+∞→+∞→ ⇒

L2LaL

2+= ⇒ 22 LaL2 += ⇒ aL2 =

Como además z(n) > 0 ∀ n ∈ N*, concluimos que L = a . Ejercicio 103 1) Sea f : R → R / f(x) = e x – x – 1.

Prueba que f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R y que f(x) = 0 sólo si x = 0.

2) Sea [a(n)] / ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−=+

−=

1nsi1e)1n(a1)1(a

)n(a.

Prueba que [a(n)] es creciente y calcula )n(alimn +∞→

.

3) Sea [b(n)] / ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−=+

=

1nsi1e)1n(b1)1(b

)n(b.

Prueba que [b(n)] es creciente y calcula )n(blimn +∞→

.

Ejercicio 104

Sea [s(n)] / ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=+

=

1nsi)n(s

1)1n(s

2)1(s.

1) Calcula los cuatro primeros términos de [s(n)], de [s(2n-1)] y de [s(2n)]. 2) ¿Qué puedes afirmar sobre )n(slim

n ∞→, )1n2(slim

n−

∞→ y )n2(slim

n ∞→?

3) El siguiente razonamiento prueba que 1)n(slimn

=∞→

. ¿Dónde está el error?

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


249

)n(s1)1n(s =+ ⇒

)n(s1lim)1n(slim

nn +∞→+∞→=+ ⇒

L1L = ⇒ L = 1 (pues L > 0).

4 – LA SUCESION DE FIBONACCI Antes de definir y trabajar con la sucesión de Fibonacci, resolvamos un problema geométrico sencillo. |_________ |_____________|

a b

Hemos dibujado un segmento que mide a + b ylo hemos partido en dos de medidas a y b (a < b)de modo que la razón entre el segmento total ysu parte mayor coincida con la razón entre su

parte mayor y su parte menor: ab

bba

=+ .

¿Cuál es el valor de esa razón? A continuacióncontestaremos esa pregunta.

Pongamos xab

= , o sea b = ax.

ab

bba

=+ ⇔ x

xaxaa

=+ ⇔ x

xx1

=+ ⇔ x 2 – x – 1 = 0

Las raíces de la ecuación x 2 – x – 1 = 0 son 2

51x1−

= y 2

51x2+

= .

x1 no es el número que estamos buscando pues es negativo.

En consecuencia, 618034,12

51x2 ≅+

= es la respuesta a la pregunta que nos

habíamos planteado.

La proporción ab

bba

=+ es famosa en el ámbito artístico de la pintura y de la

escultura pues aparece frecuentemente en estudios anatómicos. Se la suele llamar “proporción áurea”. Sin duda, te estarás preguntando qué tiene que ver todo lo anterior con las sucesiones. Pues bien, trataremos de mostrarte la presencia de la “proporción áurea” en una sucesión famosa. Ejemplo 65 – La sucesión de Fibonacci y la “proporción áurea” Primera parte : Cálculo de un límite suponiendo que existe y que es un número Leonardo de Pisa, también llamado Fibonacci, fue un matemático del siglo XIII que en sus estudios sobre la reproducción de los conejos encontró la siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


250

Esa sucesión puede definirse así: [s(n)] / ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥++=+==

1nsi)1n(s)n(s)2n(s1)2(s1)1(s

.

A partir de la sucesión de Fibonacci construiremos otra, la que se obtiene calculando los cocientes entre términos consecutivos de aquélla. O sea, la

sucesión 11 ,

12 ,

23 ,

35 ,

58 ,

813 ,

1321 ,

2134 ,

3455 , ...

Esta nueva sucesión, a la que representaremos mediante [c(n)], está definida

así: )n(s

)1n(s)n(c += .

Nos interesa calcular )n(climn +∞→

. Admitamos que ese límite es un número L > 0.

Puesto que 1)n(c

11)1n(s

)n(s)1n(s

)1n(s)n(s)1n(s)2n(s)1n(c +=+

+=

+++

=++

=+ , resulta que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+

+∞→+∞→1

)n(c1lim)1n(clim

nn, o sea 1

L1L += .

Ahora bien, 1L1L += equivale a

LL1L +

= . Ya hemos resuelto esta ecuación y

sabemos que su raíz positiva es 2

51L += .

Hemos llegado entonces a que, si admitimos que 0L)n(climn

>=+∞→

, tenemos

que 618034,12

51)n(climn

≅+

=+∞→

. Y aquí aparece la “proporción áurea”.

El razonamiento anterior es incompleto pues nos falta demostrar que )n(climn +∞→

es un número positivo. Segunda parte : Justificación de que un límite existe y es un número Conocemos una propiedad que nos permite afirmar que una sucesión real tiene límite y ya la hemos usado en el ejemplo 64: • Si una sucesión real es creciente, entonces esa sucesión tiene límite. Si

además la sucesión es acotada superiormente, ese límite es un número. • Si una sucesión real es decreciente, entonces esa sucesión tiene límite. Si

además la sucesión es acotada inferiormente, ese límite es un número. Comencemos calculando algunos valores de [c(n)].

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


251

n c(n) 1 1/1 = 1 ♣ 2 2/1 = 2 ♦ 3 3/2 = 1,5 ♣ 4 5/3 ≅ 1,666667 ♦ 5 8/5 = 1,6 ♣ 6 13/8 = 1,625 ♦ 7 21/13 ≅ 1,615385 ♣ 8 34/21 ≅ 1,619048 ♦ 9 55/34 ≅ 1,617647 ♣ 10 89/55 ≅ 1,618182 ♦

La sucesión [c(n)] no es creciente ni decreciente. Si sólo tenemos en cuenta los términos impares de [c(n)] parece que estamos ante una sucesión creciente. Y si sólo tenemos en cuenta los términos pares de [c(n)] parece que estamos ante una sucesión decreciente. No nos sorprendemos demasiado ante el resultado 618034,1)n(clim

n≅

+∞→.

Lo anterior nos sugiere algunas ideas: • Considerar la subsucesión [x(n)] de [c(n)] definida por x(n) = c(2n -1), probar

que ella es creciente y acotada superiormente y calcular su límite. • Considerar la subsucesión [y(n)] de [c(n)] definida por y(n) = c(2n), probar

que ella es decreciente y acotada inferiormente y calcular su límite. • Comprobar que )n(ylim)n(xlim

nn +∞→+∞→= .

En lo que sigue trabajaremos detalladamente con [x(n)]. 1) [x(n)] es creciente

Intentaremos probar que x(n) < x(n+1) ∀ n ∈ N* y para ello buscaremos una

relación entre x(n+1) y x(n) recordando que 1)n(c

1)1n(c +=+ .

(*) 1)n2(c

1)1n2(c)1n(x +=+=+ .

(**))n(x

)n(x11)n(x

11)1n2(c

1)n2(c +=+=+

−= .

De (*) y (**) tenemos que )n(x1)n(x211

)n(x1)n(x)1n(x

++

=++

=+ .

x(n) < x(n+1) ⇔ x(n) – x(n+1) < 0 ⇔ 0)n(x1)n(x21)n(x <

++

−

x(n) < x(n+1) ⇔ 0)n(x1

))n(x21())n(x1()n(x<

++−+

x(n) < x(n+1) ⇔ 01)n(x))n(x( 2 <−− (pues x(n) > 0)

Ya conocemos las raíces de x 2 – x – 1. Ellas son 2

51x1−

= y 2

51x2+

= .

Por lo tanto 01)n(x))n(x( 2 <−− ⇔ x1 < x(n) < x2.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


252

La primera de las dos últimas desigualdades se cumple pues x1 < 0 < x(n), pero no sabemos si se cumple la segunda. La conclusión de todo lo que hemos hecho en este punto es que [x(n)] es

creciente si 2

51)n(x +< . Procuremos probar esto último.

2) [x(n)] es acotada superiormente

Con el fin de probar que 2

51)n(x +< ∀ n ∈ N* usaremos el método de

demostración de “inducción completa”. Primera etapa

La propiedad es cierta para n = 1 pues 2

511)1(x +<= .

Segunda etapa

H) 2

51)n(x +< T)

251)1n(x +

<+

Demostración

Recordemos que )n(x1)n(x21)1n(x

++

=+ y pongamos k =2

51+ .

k)1n(x <+ ⇔ k)n(x1)n(x21

<+

+ ⇔ )n(xkk)n(x21 +<+ (pues x(n) > 0)

x(n+1) < k ⇔ (2 – k)x(n) < k – 1 ⇔ k21k)n(x

−−

< (pues k < 2)

Para terminar, observamos que kk21k

=−− y que x(n) < k por hipótesis.

3) )n(xlimn +∞→

Los dos puntos anteriores y el que [x(n)] sea una sucesión de términos positivos nos permite afirmar que 0L)n(xlim

n>=

+∞→.

Además, )n(x1)n(x21)1n(x

++

=+ .

Por lo tanto L1L21L

++

= y L =2

51+ .

Un razonamiento similar al anterior concluye en que 2

51)n(ylimn

+=

+∞→.

En resumen, la subsucesión de los términos impares de [c(n)] tiene el mismo límite que la subsucesión de los términos pares de [c(n)]. En consecuencia, [c(n)] tiene ese límite.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


253

Ya en el final de este ejemplo, volvamos a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Es posible encontrar una fórmula para esa sucesión (no nos estamos refiriendo a la fórmula de recurrencia que ya dimos) y ella es la

siguiente: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

nn

251

251

51)n(s . Resulta llamativa la presencia de

dos sucesiones geométricas y, más aún, que con esa fórmula se obtengan sólo números naturales. Ejercicio 105 Prueba que la sucesión [y(n)] del ejemplo 65 es decreciente y acotada inferiormente y calcula su límite. Ejercicio 106

Sea [s(n)] / ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥++

=+

=

1nsi)n(s1)n(s4)1n(s

3)1(s.

1) Calcula los ocho primeros términos de [s(n)]. 2) Prueba que [s(2n -1)] es decreciente y calcula )1n2(slim

n−

+∞→.

3) Prueba que [s(2n)] es creciente y calcula )n2(slimn +∞→

.

4) Calcula )n(slimn +∞→

.

5 – EJEMPLOS DE SERIES NUMERICAS En esta última sección veremos una forma de definir una sucesión real a partir de otra. Ello lleva al tema de series numéricas, del cual sólo veremos dos ejemplos. Si tenemos una sucesión s : N* → R, con ella definimos la sucesión S : N* → R de la siguiente manera: S(1) = s(1). S(2) = s(1) + s(2). S(3) = s(1) + s(2) + s(3). S(4) = s(1) + s(2) + s(3) + s(4). Y así sucesivamente. O sea que el primer término de [S(n)] es el primer término de [s(n)], el segundo término de [S(n)] es la suma de los dos primeros términos de [s(n)], ... En general, para cada n > 1 es S(n) = s(1) + ... + s(n). A la sucesión [S(n)] se la llama serie generada por la sucesión [s(n)].

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


254

Ejemplo 66 – La serie geométrica de razón λ Consideremos la sucesión geométrica de razón λ: [s(n)] / s(n) = λ n. La serie generada por esta sucesión es la siguiente: S(1) = λ, S(2) = λ + λ 2, S(3) = λ + λ 2 + λ 3, ... Es posible encontrar una fórmula sencilla para S(n). En efecto: S(n) = λ + λ 2 + ... + λ n. λS(n) = λ 2 + λ 3 +... + λ n+1. S(n) - λS(n) = λ - λ n+1. (1 - λ)S(n) = λ(1 - λ n).

Por lo tanto, )λ1(λ1

λ)n(S n−−

= si λ ≠ 1.

En el caso que λ =1 tenemos que S(n) = 1 + 1 + ... + 1 = n Atentos a lo anterior y a lo que sabemos sobre n

nλlim

+∞→, podemos calcular el

límite de [S(n)]. Llegamos a que: • +∞=

+∞→)n(Slim

n si λ ≥ 1.

• λ1

λ)n(Slimn −

=+∞→

si –1 < λ < 1.

• No existe )n(Slimn +∞→

si λ ≤ -1.

Concentremos nuestra atención en el caso que )n(Slim

n +∞→ nos dio un número y

tomemos λ = 0,5. Para ese valor de λ tenemos los siguientes resultados:

• 1λ1

λ=

−.

• S(1) = 0,5.

• S(2) = 0,5 + (0,5) 2 = ∑=

=

2i

1i

i)5,0( = 1 – (0,5) 2.

• S(3) = 0,5 + (0,5) 2 + (0,5) 3 = ∑=

=

3i

1i

i)5,0( = 1 – (0,5) 3.

• S(4) = 0,5 + (0,5) 2 + (0,5) 3 + (0,5) 4 = ∑=

=

4i

1i

i)5,0( = 1 – (0,5) 4.

• S(n) = 0,5 + ... + (0,5) n = ∑=

=

ni

1i

i)5,0( = 1 – (0,5) n para cada n ∈ N*.

• 1)n(Slimn

=+∞→

.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


255

Lo que antecede sugiere la siguiente notación:

1)n(Slimn

=+∞→

= 0,5 + ... + (0,5) n + ... = ∑∞+

=1i

i)5,0( .

Con ello estamos dándole un significado numérico a la expresión “suma de infinitos sumandos”. Esa expresión carece de sentido en la serie geométrica cuando su límite no es un número, o sea cuando su razón λ no satisface la condición –1 < λ <1. Ejercicio 107 Calcula las siguientes sumas de infinitos sumandos: 1) 0,2 + ... + (0,2) n + ... 2) 0,25 + ... + (0,25) n + ... 3) (-0,2) + ... + (-0,2) n + ... 4) (-0,25) + ... + (-0,25) n + ... Ejemplo 67 – La serie armónica Ahora trabajaremos con la serie generada por la sucesión del primer ejemplo

de este capítulo, o sea la sucesión s : N* → R / n1)n(s = .

En este caso tenemos: S(1) = 1, 211)2(S += ,

31

211)3(S ++= , ...

Lamentablemente, no hay una fórmula para S(n) que nos facilite el cálculo de )n(Slim

n +∞→. Sin embargo podemos ingeniarnos para hallarlo.

1) Apliquemos el teorema de Lagrange a la función f : R+ → R / f(x) = L(x) en el intervalo cerrado [a,b], donde 0 < a < b. f(b) – f(a) = (b – a)f ‘(c) con a < c < b.

cab)a(L)b(L −

=− .

Como 0 < a < c < b, tenemos que a1

c1

b1

<< y a

ab)a(L)b(Lb

ab −<−<

− .

En consecuencia:

Para a = 1 y b = 2 resulta que 1)2(L21

<< .

Para a = 2 y b = 3 resulta que 21)2(L)3(L

31

<−< .

Para a = 3 y b = 4 resulta que 31)3(L)4(L

41

<−< .

...

Para a = n y b = n + 1 resulta que n1)n(L)1n(L

1n1

<−+<+

.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


256

2) Al sumar en las n desigualdades anteriores obtenemos lo siguiente:

n1...

31

211)1n(L

1n1...

41

31

21

++++<+<+

++++ .

)n(S)1n(L11n

1)n(S <+<−+

+ .

)n(S)1n(L1n

n)n(S <+<+

− .

Llegamos pues a que 1n

n)1n(L)n(S)1n(L+

++<<+ .

3) Y ya estamos en el final. Puesto que S(n) > L(n+1) y +∞=+

+∞→)1n(Llim

n, concluimos que +∞=

+∞→)n(Slim

n

Ejercicio 108 1) Calcula, con error menor que 0,5, un valor aproximado de:

100

1...31

211 ++++

1000

1...31

211 ++++

2) Utiliza una planilla electrónica para mejorar las aproximaciones anteriores.

3) Determina un n de modo que 10n1...

31

211 >++++ .

Ejemplo 68 – La constante de Euler

En el ejemplo anterior comprobamos que si S(n) = n1...

31

211 ++++ , entonces

1nn)1n(L)n(S)1n(L+

++<<+ y, por lo tanto, 1n

n)1n(L)n(S0+

<+−< .

Como además 11n

n<

+, resulta que 1)1n(L)n(S0 <+−< ∀ n ∈ N*.

En consecuencia, la sucesión [a(n)] / a(n) = S(n) – L(n+1) es acotada. Algunos valores de ella aparecen en el cuadro que sigue.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


257

n a(n) 1 1 – L(2) ≅ 0,306853 2 )3(L

211 −+ ≅ 0,401388

3 )4(L31

211 −++ ≅ 0,447039

4 )5(L41

31

211 −+++ ≅ 0,473895

5 )6(L51...

211 −+++ ≅ 0,491574 Esta tabla nos está sugiriendo

que [a(n)] es creciente. 6 )7(L

61...

211 −+++ ≅ 0,504090

7 )8(L71...

211 −+++ ≅ 0,513416

8 )9(L81...

211 −+++ ≅ 0,520633

9 )10(L91...

211 −+++ ≅ 0,526383

10 )11(L101...

211 −+++ ≅ 0,531073

Comprobemos que [a(n)] es una sucesión creciente. a(n+1) – a(n) = (S(n+1) – L(n+2)) – (S(n) - L(n+1)). a(n+1) – a(n) = S(n+1) – S(n) – (L(n+2) – L(n+1)).

a(n+1) – a(n) = ))1n(L)2n(L(1n

1+−+−

+.

Como 1n

1)1n(L)2n(L+

<+−+ , tenemos que a(n+1) – a(n) > 0.

En resumen, la sucesión [a(n)] / a(n) = S(n) – L(n+1) es creciente y acotada (sus valores están entre 0 y 1). Existe pues un número C tal que C)n(alim

n=

+∞→.

A ese número se lo llama constante de Euler (C ≅ 0,577216).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Fórmula de Taylor ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

259

CAPITULO 15 – FORMULA DE TAYLOR 1 – INTRODUCCION En el ya lejano capítulo 1 comenzamos escribiendo “Principio deben tener las cosas ...”. Aún nos queda camino por recorrer y en él nos ocuparemos ahora de una fórmula que es muy importante en matemática, la fórmula de Taylor. En el capítulo 1 aprendimos un procedimiento para calcular aproximaciones por defecto y aproximaciones por exceso de p a (p es un número natural mayor que 1 y a es un número real positivo), en el capítulo 6 vimos un procedimiento para calcular valores aproximados de la función logaritmo y en el capítulo 8 indicamos un procedimiento para calcular valores aproximados de la función exponencial. ¿Tienen esos tres procedimientos algún origen común? Pues bien, sí lo tienen ya que ellos están vinculados, directa o indirectamente, con la fórmula de Taylor. ¿Cómo podemos hallar, sin una calculadora y sin desesperar, valores aproximados de las funciones trigonométricas? Una respuesta a esta pregunta es “Con la ayuda de la fórmula de Taylor”. Nos interesa, por lo tanto, esa fórmula y a ella dedicaremos este capítulo. La idea básica es la siguiente: dada una función, encontrar polinomios que se le “parezcan” ya que los polinomios se encuentran entre las funciones más simples que podemos imaginar. 2 – EL POLINOMIO Y EL RESTO DE TAYLOR DE ORDEN UNO Definición 38 – Polinomio y resto de Taylor de orden uno Sean f : D → R una función y a un número interior a D tal que existe f ‘(a). 1) El polinomio de Taylor de orden uno de f en a es el polinomio T1 de orden

uno que verifica lo siguiente: T1(a) = f(a) y T1 ‘(a) = f ‘(a).

2) El resto de Taylor de orden uno de f en a es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor de ese orden, o sea la función r1 tal que r1 = f – T1.

3) La fórmula de Taylor de orden uno de f en a es: f(x) = T1(x) + r1(x), donde T1 y r1 son, respectivamente, el polinomio y el resto de Taylor de orden uno de f en a.

Ejemplo 69 – Polinomios y restos de Taylor de orden uno

Primera parte : La función f : R* → R / x1)x(f =

• Consideremos en primer lugar a = 1

Con el propósito de determinar el polinomio de Taylor de orden uno de f en 1, pongamos T1(x) = cx + d y hallemos c y d de modo que se cumpla lo siguiente: T1(1) = f(1) y T1

‘(1) = f ‘(1).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


260

Al ser x1)x(f = resulta que

2'

x1)x(f −= , f(1) = 1 y f ‘(1) = -1.

Además, T1 ‘(x) = c.

Por lo tanto ⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

=+=

1c)1(T

1dc)1(T'

1

1, o sea c = -1 y d = 2.

Concluimos pues que T1(x) = -x + 2 es el polinomio de Taylor de orden uno de f en 1. En lo que se refiere al resto de Taylor de orden uno de f en 1, tenemos que

x)1x(

x1x2x)2x(

x1)x(T)x(f)x(r

2211

−=

+−=+−−=−= .

• Y ahora elijamos a = 2 Pongamos nuevamente T1(x) = cx + d. En este caso nos interesa hallar c y

d para que T1(2) = f(2) = 21 y T1

‘(2) = f ‘(2) = 41

− .

Ahora nos queda

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

=+=

41c)2(T

21dc2)2(T

'1

1, o sea

41c −= y d = 1.

Llegamos a que 1x41)x(T1 +−= es el polinomio de Taylor de orden uno de f

en 2. Con este resultado podemos calcular el resto de Taylor de orden uno

de f en 2: x4

)2x(x4

4x4x)1x41(

x1)x(T)x(f)x(r

2211

−=

+−=+−−=−= .

Segunda parte : La función f : x)x(f/RR0 =→+ • Comencemos con a = 1

x21)x(fx)x(f ' =⇒= ; c)x(Tdxc)x(T '

11 =⇒+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

)1(f)1(T

)1(f)1(T''

1

1 ⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

21c

1dc

En consecuencia, 21x

21)x(T1 += es el polinomio de Taylor de orden uno de

f en 1. Esto implica que el resto de Taylor de orden uno de f en 1 es:

2)1x(

21xx2)

21x

21(x)x(r

21

−−=

−−=+−= .

• Terminemos con a = 4

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


261

En este caso nos queda: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

)4(f)4(T

)4(f)4(T''

1

1 ⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

41c

2dc4

Concluimos que 1x41)x(T1 += es el polinomio de Taylor de orden uno de f

en 4. Además, el resto de Taylor de orden uno de f en 4 es el siguiente:

4)2x(

44xx4)1x

41(x)x(r

21

−−=

−−=+−= .

Para finalizar con este ejemplo resulta importante destacar lo siguiente: El polinomio de Taylor de orden uno depende no sólo de la función f sino

también del número a. Este hecho sugiere usar la notación T1, f, a para ese polinomio, lo cual evitaremos por su extensión (lo mismo ocurre con el resto de Taylor de orden uno). Los cuatro polinomios que hemos hallado son de primer grado. Entonces,

¿por qué se dice polinomio de orden uno y no polinomio de grado uno? Sólo porque puede ocurrir que sea de grado cero (si f ‘(a) = 0 y f(a) ≠ 0) o que no tenga grado (si f(a) = f ‘(a) = 0). Pueden hallarse en forma algo más rápida los polinomios de Taylor que

aquí encontramos. Un método para ello consta en la primera parte del próximo teorema.

Ejercicio 109 Al polinomio de Taylor de orden uno de la función f en 0 se lo llama polinomio de Mac Laurin de orden uno de la función f (se lo simboliza con ML1 o P1). Halla ese polinomio para cada una de las siguientes funciones:

x32)x(f += 2x)x(f = xe)x(f = )x(sen)x(f =

)xcos()x(f = )x(tg)x(f = )x(Arctg)x(f = )x(Arcsen)x(f = Teorema 57 – Polinomio y resto de Taylor de orden uno Sean f : D → R una función, a un número interior a D tal que existe f ‘(a), T1 el polinomio de Taylor de orden uno de f en a y r1 el resto de Taylor de orden uno de f en a. Entonces: 1) T1(x) = f(a) + f ‘(a) (x – a).

2) 0ax)x(rlim 1

ax=

−→.

3) Existe una función β : D → R que tiene las siguientes propiedades: • β es continua en a y β(a) = 0. • r1(x) = β(x) (x – a) ∀ x ∈ D.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


262

Demostración Parte 1 Pongamos T1(x) = cx + d y hallemos c y d de modo que se cumpla lo siguiente: T1(a) = f(a) y T1

‘(a) = f ‘(a).

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+=

)a(fc)a(T

)a(fdca)a(T''

1

1 ⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

)a(fc

)a(fa)a(fd'

'

Por lo tanto )a(fa)a(fx)a(f)x(T ''1 −+= .

O sea )ax()a(f)a(f)x(T '1 −+= .

Parte 2

0)a(T)a(fax

)a(T)x(Tax

)a(f)x(flimax

)x(T)x(flimax)x(rlim '

1'11

ax1

ax1

ax=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

−−−

=−

−=

− →→→

En el cálculo anterior tuvimos en cuenta lo siguiente: • r1 = f – T1. • T1(a) = f(a). • La regla de la derivabilidad para calcular límites. • T1

‘(a) = f ‘(a). Parte 3

Definamos la función β : D → R así: β(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

axsi0

axsiax)x(r1

.

Con ello tenemos que r1(x) = β(x) (x – a) ∀ x ∈ D (ten en cuenta que r1(a) = 0).

Además β es continua en a pues )a(β0ax)x(rlim)x(βlim 1

axax==

−=

→→.

El teorema que acabamos de demostrar merece al menos dos comentarios: 1) La representación gráfica del polinomio de Taylor de orden uno de f en a es

la recta tangente al gráfico de f en el punto P = (a, f(a)). 2) La fórmula de Taylor de orden uno de f en a puede escribirse de la siguiente

manera: f(x) = f(a) + f ‘(a) (x – a) + β(x) (x – a), donde β es una función continua en a tal que β(a) = 0.

Ejercicio 110 1) Utiliza la primera parte del teorema anterior para reencontrar los polinomios

del ejemplo 69 y los del ejercicio 109.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


263

2) Verifica la segunda parte de ese teorema para cada uno de los cuatro restos del ejemplo 69.

Teorema 58 – Cálculo de valores aproximados de una función con su polinomio de Taylor de orden uno Sean f : D → R una función, a un número interior a D tal que existe f ‘(a) y T1 el polinomio de Taylor de orden uno de f en a. Entonces para cada número positivo k existe algún V(a) tal que ∀ x ∈ V(a) se cumple que axk)x(T)x(f 1 −≤− . Demostración Ya sabemos que f(x) – T1(x) = r1(x) = β(x) (x – a), donde β es una función continua en a tal que β(a) = 0. Por lo tanto, ax)x(β)x(T)x(f 1 −=− . Como β es una función continua en a y β(a) = 0, también sabemos que para cada k > 0 existe algún V(a) tal que k)x()a()x( <β=β−β ∀ x ∈ V(a). En consecuencia, axk)x(T)x(f 1 −≤− ∀ x ∈ V(a). Ejemplo 70 – Cálculo de valores aproximados de una función Como preámbulo a este ejercicio, tomemos por ejemplo k = 0,001 en el teorema anterior. Podemos afirmar que si T1 es el polinomio de Taylor de orden uno de f en a, entonces ax001,0)x(T)x(f 1 −≤− para cualquier x en un cierto entorno de centro a. Ello nos tienta a obtener valores aproximados de f(x) calculando T1(x) y nos hace lamentar que en ese teorema no se especifique cuáles son los entornos de centro a donde ax001,0)x(T)x(f 1 −≤− (esto es imposible). Sin embargo, no parece razonable obtener un valor aproximado de f(a + 100000) calculando T1(a + 100000) pues tendríamos, si a + 100000 se encontrara dentro del enigmático “cierto entorno de centro a”, que

100)100000a(T)100000a(f 1 ≤+−+ . ¿Qué puede hacerse en la práctica frente a todo lo anterior? Por ahora nos limitaremos a analizar dos ejemplos. Con las funciones y los polinomios de Taylor del ejemplo 69 hemos hecho algunos cálculos que resumimos a continuación (te sugerimos que opines sobre la “bondad” de las aproximaciones que constan en las tablas).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


264

Primera parte : La función f : R* → R / x1)x(f =

a

T1(x)

j

Valor aproximado

T1(j)

Valor correcto

f(j)

Error en la aproximación

r1(j) = f(j) – T1(j) 0,50 1,50 2 0,50 0,90 1,10 1,111111... 0,011111... 0,99 1,01 1,010101... 0,000101... 1,01 0,99 0,990099... 0,000099... 1,10 0,90 0,909090... 0,009090...

1 -x + 2

1,50 0,50 0,666666... 0,166666... 1,50 0,625 0,666666... 0,041666... 1,90 0,525 0,526315... 0,001315... 1,99 0,5025 0,502512... 0,000012... 2,01 0,4975 0,497512... 0,000012... 2,10 0,475 0,476190... 0,001190...

2 1x41

+−

2,50 0,375 0,4 0,025 1) El que r1(j) sea positivo se debe a que la función tiene concavidad positiva. 2) Resulta interesante el hecho de poder calcular valores aproximados del

inverso de un número con polinomios de primer grado (algunas de esas aproximaciones son realmente temerarias).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


265

Segunda parte : La función f : x)x(f/RR0 =→+

a

T1(x)

j

Valor aproximado

T1(j)

Valor correcto

f(j)

Error en la aproximación

r1(j) = f(j) – T1(j) 0 0,50 0 -0,50

0,5 0,75 0,707106... -0,042893... 0,9 0,95 0,948683... -0.001316... 1,1 1,05 1,048808... -0,001191... 1,5 1,25 1,224744... -0,025255...

1 21x

21

+

2 1,50 1,414213... -0,085786... 2 1,50 1,414213... -0,085786... 3 1,75 1,732050... -0,017949...

3,5 1,875 1,870828... -0,004171... 3,9 1,975 1,974841... -0,000158... 4,1 2,025 2,024845... -0,000154... 4,5 2,125 2,121320... -0,003679... 5 2,25 2,236067... -0,013932...

4 1x41

+

6 2,50 2,449489... -0,050510... 1) r1(j) es negativo pues la función tiene concavidad negativa. 2) Impacta el hecho de poder calcular valores aproximados de la raíz de un

número con polinomios de primer grado (algunas de esas aproximaciones son difícilmente aceptables).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


266

En todos los cálculos de valores aproximados que hicimos en este ejemplo tuvimos la razonable preocupación de conocer el error que cometíamos. Para ello calculamos el valor correcto y luego la diferencia entre éste y el correspondiente valor aproximado (sin duda es irrelevante preocuparse por valores aproximados cuando se pueden calcular los correctos). Ahora bien, ¿qué podemos hacer cuando no es posible hallar el valor correcto? (ésta es la situación que realmente interesa). El próximo teorema ayuda a contestar a esa pregunta en muchas ocasiones. Teorema 59 – La expresión de Lagrange del resto de Taylor de orden uno Sean f : D → R una función, a un número interior a D tal que existe algún V(a) en el que f es derivable dos veces y r1 el resto de Taylor de orden uno de f en a.

Entonces para cada x ∈ V*(a) existe c entre a y x tal que 2''

1 )ax(2

)c(f)x(r −= .

Demostración Tomemos x ∈ V(a) con x > a (.............................|...........|...................) a x En V(a) existe f ‘’ Consideremos dos funciones, F y G, definidas en V(a) de la siguiente manera: F(t) = f(x) – f(t) – f ‘(t)(x - t) para cada t ∈ V(a). G(t) = (x – t) 2 para cada t ∈ V(a). Podemos aplicar el teorema de Cauchy en el intervalo [a,x] a esas funciones pues: • F es derivable en V(a) y por lo tanto es continua en [a,x] y derivable en

(a,x). Notemos que F es derivable en V(a) ya que f ‘’ existe en V(a). Además, F ‘(t) = – f ‘(t) – f ‘’(t) (x – t) – f ‘(t) (-1) = – f ‘’(t) (x – t).

• G es derivable en V(a) y por lo tanto es continua en [a,x] y derivable en (a,x). Además, G ‘(t) = -2 (x – t).

• G(a) ≠ G(x) ya que G(a) = (x – a) 2 y G(x) = 0. De acuerdo con el teorema de Cauchy, existe algún c en el intervalo (a,x) tal que (F(x) – F(a))G ‘(c) = (G(x) – G(a))F ‘(c) (♠). Calculemos ahora F(x) y F(a). F(x) = f(x) – f(x) – f ‘(x)(x - x) = 0. F(a) = f(x) – f(a) – f ‘(a)(x - a) = r1(x). Si en la igualdad (♠) tenemos en cuenta los cálculos que hemos hecho, concluimos que 2r1(x) (x – c) = ( x – a) 2 f ‘’(c) (x – c). Como x ≠ c llegamos a

que 2r1(x) = ( x – a) 2 f ‘’(c), o sea 2''

1 )ax(2

)c(f)x(r −= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


267

Hemos trabajado para los x de V(a) que están a la derecha de a. Es claro que un razonamiento similar termina en el mismo resultado para los x de V(a) que están a la izquierda de a. Corresponde que destaquemos tres comentarios sobre el teorema anterior: 1) Para definir la función F recordamos que r1(x) = f(x) – f(a) – f ‘(a)(x - a) y en

la expresión f(x) – f(a) – f ‘(a)(x - a) sustituimos a por t. 2) La fórmula de Taylor de orden uno de f en a puede escribirse de la siguiente

manera: f(x) = f(a) + f ‘(a) (x – a) + 2''

)ax(2

)c(f− , donde c es un número

entre a y x. 3) Este teorema es más exigente, en lo que a hipótesis se refiere, que el

teorema 57 ya que en este último sólo exigimos la existencia de f ‘(a). Ejemplo 71 – El error en el cálculo de valores aproximados de una función

Primera parte : Cálculo de 9,0

1

Ya calculamos un valor aproximado de 9,0

1 usando el polinomio de Taylor de

orden uno en 1 de la función f : R* → R / x1)x(f = . Llegamos a que 1,1

9,01

≅ .

La fórmula de Taylor de orden uno en 1 de esa función, con la expresión de Lagrange del resto, es la siguiente:

23

)1x(c1x2

x1

−+−= con c entre 1 y x (ten en cuenta que 3

''

x2)x(f = ).

Por lo tanto, 01,0c11,1

9,01

3+= (0,9 < c < 1).

Al escribir 1,19,0

1≅ cometemos un error que es

33 c1001

c01,0

= . No sabemos el

valor de c pero sí que está entre 0,9 y 1. Esto es útil ya que nos permite sacar alguna conclusión sobre el error. En efecto:

0,9 < c < 1 ⇒ 1c109 3

3<<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⇒ 100c100

10729 3 << ⇒

72910

c100101,0

3<<

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


268

Como ...013717,072910

= (hicimos trampa ya que recurrimos a la calculadora),

podemos afirmar que 1,19,0

1≅ con un error que está entre 0,01 y 0,01372, o

sea que 11372,19,0

111,1 << .

Segunda parte : Cálculo de 5,3 Calculamos un valor aproximado de 5,3 con el polinomio de Taylor de orden

uno en 4 de la función f : x)x(f/RR0 =→+ . Obtuvimos 875,15,3 ≅ . La fórmula de Taylor de orden uno en 4 de esa función, con la expresión de Lagrange del resto, es la siguiente:

2)4x(cc8

11x41x −−+= con c entre 3,5 y 4 (nota que

xx41)x(f '' −= ).

Por lo tanto, 2)5,0(cc8

1875,15,3 −−= (3,5 < c < 4).

El error que cometemos al escribir 875,15,3 ≅ es cc32

1cc8

25,0−=− .

Para acotar ese error procedemos así: 3,5 < c < 4 ⇒ 2c5,3 << ⇒ 2c1 <<

⎩⎨⎧

<<

<<

2c1

4c5,3 ⇒ 256cc32112 << ⇒

2561

cc321

1121

−<−<−

Tenemos entonces que 875,15,3 ≅ con un error entre ...008928,0112

1−=− y

00390625,0256

1−=− . Por lo tanto 871094,15,3866071,1 << .

Ejercicio 111 En cada uno de los cuatro casos del ejemplo 69: 1) Halla la fórmula de Taylor de orden uno con la expresión de Lagrange del

resto. 2) Determina el número c del teorema 59. Ejercicio 112 Para cada una de las funciones f del ejercicio 109: 1) Halla la fórmula de Mac Laurin de orden uno con la expresión de Lagrange

del resto.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


269

2) Calcula un valor aproximado de f(0,1) e indica entre qué valores se encuentra f(0,1).

Terminaremos esta sección con un teorema que puede usarse para determinar indirectamente el polinomio de Taylor de orden uno de f en a y con una aplicación de ese teorema. Teorema 60 – Condición suficiente para que un polinomio de orden uno sea el polinomio de Taylor de orden uno de una función f en a Sean f : D → R una función, a un número interior a D en el que f es continua y J

un polinomio de orden uno tal que 0ax

)x(J)x(flimax

=−−

→.

Entonces J es el polinomio de Taylor de orden uno de f en a. Demostración De acuerdo con la definición de polinomio de Taylor de orden uno de f en a, debemos probar que J(a) = f(a) y J ‘(a) = f ‘(a) (en esa definición se exige que exista f ‘(a), lo cual veremos que es cierto; es claro que J es derivable en a pues es un polinomio). 1) J(a) = f(a)

)a(J)a(f))x(J)x(f(limax

−=−→

pues tanto f como J son continuas en a.

0)ax(ax

)x(J)x(flim))x(J)x(f(limaxax

=−−−

=−→→

.

Por lo tanto, f(a) = J(a). 2) J ‘(a) = f ‘(a)

Consideremos la función r : D → R tal que r(x) = f(x) – J(x).

Como r(a) = 0 resulta que 0ax)x(rlim

ax)a(r)x(rlim)a(r

axax' =

−=

−−

=→→

.

Puesto que f(x) = r(x) + J(x) concluimos que f ‘(a) = r ‘(a) + J ‘(a) = J ‘(a). Ejemplo 72 – Determinación indirecta de un polinomio de Taylor

Comencemos con un cálculo simple: x12x

x1x2x

x)1x( 22

+−=+−

=− (x ≠ 0).

Lo anterior implica que 0x

1xlim1x

)x2(x1

lim1x1x

=−

=−

−−

→→.

En consecuencia, J(x) = 2 – x es el polinomio de Taylor de orden uno en 1 de la

función f : R* → R / x1)x(f = .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


270

Sin duda, usamos un procedimiento artificioso para llegar a un resultado que ya conocíamos. Cuando trabajemos con polinomios de Taylor de orden mayor que uno veremos la importancia de un teorema similar al que aquí aplicamos. 3 – EL POLINOMIO Y EL RESTO DE TAYLOR DE ORDEN n En la sección anterior nos preocupamos por mostrar la utilidad del polinomio de Taylor de orden uno de una función en el cálculo de valores aproximados de esa función. Con ello tratamos de darle sentido a la expresión “encontrar un polinomio de orden uno que se parezca a la función”. Ahora nos ocuparemos de polinomios de orden mayor que uno con la esperanza de obtener mejores aproximaciones. Definición 39 – Polinomio y resto de Taylor de orden n Sean f : D → R una función, n un número natural mayor que 1 y a un número interior a D tal que existe f (n)(a). 1) El polinomio de Taylor de orden n de f en a es el polinomio Tn de orden n

que verifica: Tn(a) = f(a), Tn ‘(a) = f ‘(a), Tn

‘ ’(a) = f ‘ ’(a), ..., Tn (n)(a) = f (n)(a).

2) El resto de Taylor de orden n de f en a es la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor de ese orden, o sea la función nr tal que nn Tfr −= .

3) La fórmula de Taylor de orden n de f en a es )x(r)x(T)x(f nn += , donde nT y nr son, respectivamente, el polinomio y el resto de Taylor de orden n de f en a.

Con el fin de encontrar el polinomio de Taylor de orden n de f en a, veremos en primer lugar un teorema sobre polinomios. Teorema 61 – Expresión de un polinomio de orden n según potencias de (x – a) Sean np un polinomio de orden n y a ∈ R. Entonces:

n)n(

n3'''

n2''

n'nnn )ax(

!n)a(p

...)ax(!3

)a(p)ax(

!2)a(p

)ax()a(p)a(p)x(p −++−+−+−+=

. Demostración Paso 1

)a(p)x(p nn − es divisible entre x – a, o sea )ax()x(p)a(p)x(p 1nnn −=− − . Por lo tanto )ax()x(p)a(p)x(p 1nnn −+= − . Sea )a(pk n0 = . Llegamos pues a que )ax()x(pk)x(p 1n0n −+= − (*).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


271

Paso 2 Si hacemos lo mismo que en el paso anterior con 1np − obtenemos lo siguiente:

)ax()x(pk)x(p 2n11n −+= −− . Al sustituir lo anterior en (*) nos queda:

22n10n )ax()x(p)ax(kk)x(p −+−+= − (**).

Paso 3 Si hacemos lo mismo que en el paso 1 con 2np − resulta que

)ax()x(pk)x(p 3n22n −+= −− . Al sustituir lo anterior en (**) nos queda:

33n

2210n )ax()x(p)ax(k)ax(kk)x(p −+−+−+= − .

Y así sucesivamente. Al finalizar el paso n tenemos el siguiente resultado: n

n3

32

210n )ax(k...)ax(k)ax(k)ax(kk)x(p −++−+−+−+= . Hemos logrado expresar )x(pn según potencias de (x – a). Calculemos, finalmente, los coeficientes k1, k2, k3, ..., kn (ya sabemos que k0 es

)a(pn ). 1n

n2

321'n )ax(kn...)ax(k3)ax(k2k)x(p −−++−+−+= ⇒ 1

'n k)a(p =

2nn32

''n )ax(k)1n(n...)ax(k2.3k2)x(p −−−++−+= ⇒ 2

''n k2)a(p =

3nn3

'''n )ax(k)2n()1n(n...k2.3)x(p −−−−++= ⇒ 3

'''n k!3)a(p =

...

n)n(

n k!n)x(p = ⇒ n)n(

n k!n)a(p = Y ahora estamos en una buena posición para determinar el polinomio de Taylor de orden n de f en a. Teorema 62 – Polinomio y resto de Taylor de orden n Sean f : D → R una función, n un número natural mayor que 1, a un número interior a D tal que existe f (n)(a), nT el polinomio de Taylor de orden n de f en a y nr el resto de Taylor de orden n de f en a. Entonces:

1) n)n(

3'''

2''

'n )ax(

!n)a(f...)ax(

!3)a(f)ax(

!2)a(f)ax()a(f)a(f)x(T −++−+−+−+=

2) 0)ax(

)x(rlimn

nax

=−→

.

3) Existe una función β : D → R que tiene las siguientes propiedades: • β es continua en a y β(a) = 0. • n

n )ax()x(β)x(r −= ∀ x ∈ D.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


272

Demostración Parte 1 Aquí alcanza con tener en cuenta la definición 39 y el teorema 61. Parte 2 Notemos, en primer lugar, que al existir f (n)(a) tenemos que f es continua en a y que todas sus derivadas hasta la de orden (n – 1) existen en algún V(a) y son continuas en a. Además, la definición de polinomio de Taylor de orden n de f en a nos permite afirmar que nn Tfr −= es tal que 0)a(rn = , 0)a(r '

n = , ..., 0)a(r )n(n = .

Probemos ahora que 0)ax(

)x(rlimn

nax

=−→

.

)ax(!n)x(r

lim...)ax()1n(n

)x(rlim

)ax(n

)x(rlim

)ax()x(rlim

)1n(n

ax2n

''n

ax1n

'n

axnn

ax −==

−−=

−=

−

−

→−→−→→.

En lo anterior usamos (n – 1) veces la primera regla de L’Hôspital, admitiendo la existencia del último de los límites. Vamos finalmente hacia él.

0!n

)a(r)ax(!n

)a(r)x(rlim

)ax(!n)x(r

lim)n(

n)1n(

n)1n(

nax

)1n(n

ax==

−−

=−

−−

→

−

→ (utilizamos la regla de la

derivabilidad para calcular límites). Parte 3 Esta parte se demuestra como la tercera parte del teorema 57. De acuerdo con el teorema anterior, la fórmula de Taylor de orden n de f en a puede escribirse así:

nn)n(

2''

' )ax()x(β)ax(!n

)a(f...)ax(!2

)a(f)ax()a(f)a(f)x(f −+−++−+−+= ,

donde β es una función continua en a tal que β(a) = 0. Ejemplo 73 – La fórmula de Taylor y el cálculo de límites La fórmula de Taylor es útil para calcular algunos límites. Veamos un ejemplo:

)xcos()x(ch)x(sen)x(shlim

0x −−

→. Ese límite es un caso de indeterminación del tipo "

00" .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


273

Sea la función f : R → R / )x(sen)x(sh)x(f −= . Calcularemos las derivadas sucesivas de f en 0 hasta llegar a una que no valga cero. Lo mismo haremos con la función g : R → R / )xcos()x(ch)x(g −= .

)x(sen)x(sh)x(f −= 0)0(f = )xcos()x(ch)x(g −= 0)0(g =

)xcos()x(ch)x(f ' −= 0)0(f ' = )x(sen)x(sh)x(g ' += 0)0(g ' =

)x(sen)x(sh)x(f '' += 0)0(f '' = )xcos()x(ch)x(g '' += 2)0(g '' =

)xcos()x(ch)x(f ''' += 2)0(f ''' =

Con lo anterior podemos escribir las siguientes fórmulas de Mac Laurin: 33 x)x(βx

31)x(sen)x(sh)x(f +=−= donde β es una función continua en 0 tal

que β(0) = 0. 22 x)x(δx)xcos()x(ch)x(g +=−= donde δ es una función continua en 0 tal que

δ (0) = 0.

Por lo tanto, 0)x(δ1

)x(β31x

lim))x(δ1(x

)x(β31x

lim)xcos()x(ch)x(sen)x(shlim

0x2

3

0x0x=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−−

→→→.

Para finalizar con este ejemplo, vale un comentario: podríamos haber calculado el límite usando la primera regla de L’Hôspital (ella fue importante en la demostración del teorema 62). Teorema 63 – Cálculo de valores aproximados de una función con su polinomio de Taylor de orden n Sean f : D → R una función, n un número natural mayor que 1, a un número interior a D tal que existe f (n)(a) y nT el polinomio de Taylor de orden n de f en a. Entonces para cada número positivo k existe algún V(a) tal que ∀ x ∈ V(a) se cumple que n

n axk)x(T)x(f −≤− . No detallaremos la demostración de este teorema pues es similar a la del teorema 58. Teorema 64 – La expresión de Lagrange del resto de Taylor de orden n Sean f : D → R una función, n un número natural mayor que 1, a un número interior a D tal que existe algún V(a) en el que f es derivable (n + 1) veces y nr el resto de Taylor de orden n de f en a.

Entonces para cada x ∈ V*(a) existe c entre a y x / 1n)1n(

n )ax(!)1n()c(f)x(r +

+−

+= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


274

Demostración En lo que se refiere a la demostración de este teorema, alcanza con releer la del teorema 59 definiendo ahora las funciones F y G así:

n)n(

2''

' )tx(!n

)t(f...)tx(!2

)t(f)tx()t(f)t(f)x(f)t(F −−−−−−−−= .

G(t) = (x – t) n+1. El teorema anterior merece tres comentarios: 1) La fórmula de Taylor de orden n de f en a puede escribirse asÍ:

1n)1n(

n)n(

2''

' )ax(!)1n()c(f)ax(

!n)a(f...)ax(

!2)a(f)ax()a(f)a(f)x(f +

+−

++−++−+−+=

donde c es un número entre a y x. 2) Es llamativa la similitud entre la expresión de Lagrange del resto de Taylor

de orden n y el último término del respectivo polinomio de Taylor. 3) Este teorema es más exigente, en lo que a hipótesis se refiere, que el

teorema 62 ya que en este último sólo exigimos la existencia de f (n)(a). Ejemplo 74 – Cálculo de valores aproximados de una función

Primera parte : Cálculo de 9,0

1

Sea f : R* → R / x1)x(f = .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


275

La fórmula de Taylor de orden dos de esa función en 1, con la expresión de Lagrange del resto, es la siguiente:

34

2 )1x(c1)1x()1x(1

x1

−−−+−−= con c entre 1 y x.

Por lo tanto, 44 c1000

111,1001,0c111,1

9,01

+=+= (0,9 < c < 1).

Notemos, además, que al ser 0,9 < c < 1 se cumple:

1c109 4

4<<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ; 1000c1000

106561 4 << ; 00152,0

656110

c10001001,0

4≅<< .

En resumen, llegamos a que 11153,19,0

1111,1 << , con lo cual mejoramos el

resultado que obtuvimos en la primera parte del ejemplo 71. Segunda parte : Cálculo de 5,3 Sea f : x)x(f/RR0 =→+ . La fórmula de Taylor de orden dos en 4 de esa función, con la expresión de Lagrange del resto, es la siguiente:

32

2 )4x(cc16

1)4x(641)4x(

412x −+−−−+= con c entre 3,5 y 4.

Por lo tanto, cc128

187109375,15,32

−= (3,5 < c < 4).

Como 3,5 < c < 4 resulta que:

2c1 << ; 4096cc1281568 2 << ; 4096

1cc128

11568

12

−<−<− .

Por lo tanto 870850,15,3870455,1 << . Ejercicio 113 1) Comprueba los resultados que dimos en el ejemplo anterior sobre las

fórmulas de Taylor de orden dos. 2) Calcula tres aproximaciones por exceso y tres aproximaciones por defecto

de 5,3 usando el procedimiento del ejemplo 2. ¿Qué opinas sobre ese ya lejano procedimiento?

Ejemplo 75 – Fórmulas de Mac Laurin de orden n de cinco funciones Primera parte : La función f : R → R / xe)x(f =

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


276

Recordemos, para comenzar, que la fórmula de Mac Laurin es la de Taylor en a = 0. Con la función que hemos elegido en esta primera parte, todo es muy sencillo pues al ser xe)x(f = tenemos que x)k( e)x(f = para k = 1, 2, 3, ...

Por lo tanto, la fórmula de Mac Laurin de orden n de f : R → R / xe)x(f = , con la expresión de Lagrange del resto, es la siguiente:

1ncn32

x x!)1n(

e!n

x...!3

x!2

xx1e ++

++++++= con c entre 0 y x.

Atento a la fórmula anterior, es interesante que releas dos ejemplos que están en el capítulo sobre la función exponencial (los ejemplos 30 y 31): • En el ejemplo 30 dimos un procedimiento para calcular valores aproximados

de xe . El polinomio que allí aparece no es otro que el polinomio de Mac Laurin de orden n que acabamos de encontrar. En cuanto a lo que en ese ejemplo afirmamos sobre el error que cometíamos al usar ese método, ello es consecuencia de lo siguiente: si x < 0 resulta que x < c < 0 y por lo tanto

1ec < ; si x > 0 es 0 < c < x y por lo tanto xxc 3ee << .

• En el ejemplo 31 probamos que !n

x...!3

x!2

xx1en32

x +++++> ∀ x > 0. Lo

que allí fue laborioso, ahora es casi inmediato. En efecto, 0x!)1n(

e 1nc

>+

+ si

x > 0.

Segunda parte : La función f : )1,1(− → R / ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=x1x1L)x(f

En este caso el cálculo de las derivadas sucesivas de la función es bastante más complicado. Comencemos calculando algunas derivadas.

( ) 11'' )x1()x1(x1

1x1

1)x1(L)x1(L)x(f −− −++=−

++

=−−+=

22'' )x1()x1()x(f −− −++−=

( )3333''' )x1()x1(2)x1(2)x1(2)x(f −−−− −++=−++=

( )4444'''' )x1()x1(!3)x1(!3)x1(!3)x(f −−−− −++−=−++−= Lo anterior nos sugiere que para k = 1, 2, 3, 4, ... se cumple lo siguiente:

( )kkk)k( )x1()x1()1(!)1k()x(f −− −++−−−=

O sea, =)0(f )k(

⎩⎨⎧ −

paresksi0imparesksi!)1k(2

y =!k

)0(f )k(

⎪⎩

⎪⎨⎧

paresksi0

imparesksik2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


277

Además f(0) = 0.

En consecuencia, la función f : )1,1(− → R / ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=x1x1L)x(f tiene la siguiente

fórmula de Mac Laurin de orden 2n+1:

)x(rx1n2

2...x52x

32x2

x1x1L 1n2

1n253+

+ ++

++++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ .

En esa fórmula está el polinomio que usamos en el ejemplo 26 para calcular valores aproximados del logaritmo de un número positivo. Allí vimos también una expresión del resto )x(r 1n2 + que no es la expresión de Lagrange de ese resto. Tercera parte : La función f : R → R / )x(sen)x(f = Comencemos, al igual que en la parte anterior, calculando algunas derivadas de esta función.

)xcos()x(f ' = ; )x(sen)x(f '' −= ; )xcos()x(f ''' −= ; )x(f)x(sen)x(f '''' == Debido a que la derivada cuarta de la función coincide con la función, las derivadas siguientes son iguales a las que acabamos de calcular. Tenemos pues que:

=)x(f )k(

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

− −

paresksi)x(sen)1(

imparesksi)xcos()1(2/k

2/)1k(

=)0(f )k(⎪⎩

⎪⎨⎧ − −

paresksi0imparesksi)1( 2/)1k(

En consecuencia, obtenemos la siguiente fórmula de Mac Laurin de orden 2n+1 para la función seno (con la expresión de Lagrange del resto):

2n21n1n2

n53

x!)2n2(

)c(sen)1(!)1n2(

x)1(...!5

x!3

xx)x(sen +++

+−+

+−+−+−= con c entre 0

y x. En relación con el resto, es importante que observemos que al ser 1)c(sen ≤

cualquiera sea c, resulta que !)2n2(

xx

!)2n2()c(sen)1(

2n22n21n

+≤

+−

+++ ∀ x. Ello es

útil para acotar el error que cometemos al calcular valores aproximados de la función seno con su polinomio de Mac Laurin de orden 2n+1. Cuarta parte : La función f : ),1( ∞+− → R / m)x1()x(f += donde m ∈ R También aquí calcularemos algunas derivadas de la función.

1m' )x1(m)x(f −+=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


278

2m'' )x1()1m(m)x(f −+−= 3m''' )x1()2m()1m(m)x(f −+−−=

Lo anterior nos indica que km)k()k( )x1(m)x(f −+= para k = 1, 2, 3, ...

En la igualdad anterior hemos usado el símbolo )k(m para el producto de k números, el primero de los cuales es m y cada uno de los siguientes es uno

menos que el anterior. Por ejemplo: 83

23

21

21

21 )3(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Ya que f(0) = 1 y )k()k( m)0(f = , tenemos la siguiente fórmula de Mac Laurin de orden n (con la expresión de Lagrange del resto):

1n1nm)1n(

n)n(

3)3(

2)2(

m x!)1n()c1(mx

!nm...x

!3mx

!2mmx1)x1( +

−−+

++

++++++=+

con c entre 0 y x.

Quinta parte : La función f : R → R / f(x) =⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠

−

0xsi00xsie |x|

1

.

En el ejemplo 50 vimos que las derivadas sucesivas de esta función valen 0 en 0. Por lo tanto, en este caso tenemos que el polinomio de Mac Laurin de orden n (cualquiera sea n) es 0)x(Pn = y que la fórmula de Mac Laurin de orden n establece algo intrascendente: f(x) = f(x). Lo anterior es desmoralizador, aunque nos llama la atención sobre un hecho curioso: existen funciones de R en R que, aunque diferentes, tienen el mismo polinomio de Mac Laurin cualquiera sea el orden de ese polinomio (ello ocurre, por ejemplo, con la función f de este ejemplo, la función g = 2f y la función h tal que h(x) = 0 ∀ x ∈ R). Ejercicio 114

1) Prueba que !n

x...!3

x!2

xx1en32

x +++++> si x < 0 y n es impar.

2) Prueba que !n

x...!3

x!2

xx1en32

x +++++< si x < 0 y n es par.

Ejercicio 115 1) Sea )x(Pn el polinomio de Mac Laurin de orden n de f : R → R / xe)x(f = .

Prueba que xLx)1n()!)1n((L))x(Pe(L0 nx <+−++−< ∀ x > 0 (te

sugerimos despejar c en la fórmula de Mac Laurin de orden n con la expresión de Lagrange del resto).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


279

2) Calcula ( )Lx)1n())x(Pe(Llim nx

0x+−−

+→ .

Ejercicio 116 1) Halla las fórmulas de Mac Laurin de orden n de las funciones )x1(L + y

)x1(L − .

2) Calcula x)x1(Lx)x1(Llim

0x +−−+

→.

Ejercicio 117 Calcula un valor aproximado de sen(0,1) con el polinomio de Mac Laurin de orden cinco de la función seno y acota el error asociado a ese valor aproximado. Ejercicio 118 1) Halla la fórmula de Mac Laurin de orden 2n de la función coseno. 2) Calcula un valor aproximado de cos(0,2) con el polinomio de Mac Laurin de

orden cuatro. 3) ¿Qué polinomio de Mac Laurin usarías para calcular cos(0,2) con error

menor que 0,0001? Ejercicio 119 Halla las fórmulas de Mac Laurin de orden 2n+1 de las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Ejercicio 120

1) Prueba que !n4

!)n2()1(21

n

n)n( −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− .

2) Usa la cuarta parte del ejemplo 75 para hallar la fórmula de Mac Laurin de

orden n de la función x1

1+

.

Ejemplo 76 – El número e es irracional Ya sabemos que 2 < e < 3, por lo que e no es un número natural.

Supongamos que e es un número racional, o sea qpe = con p y q naturales (sin

duda es q > 1 pues e no es natural). Consideremos la fórmula de Mac Laurin de orden q de xe con la expresión de Lagrange del resto (primera parte del ejemplo anterior) y sustituyamos allí x por 1. Obtenemos lo siguiente:

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


280

!)1q(e

!q1...

!2111e

qp c

++++++== con c entre 0 y 1.

Si multiplicamos por q! en la igualdad anterior, nos queda

1qe1...

!2!q!q!qp!)1q(

c

++++++=− .

Debido a que tanto p!)1q( − como 1...!2!q!q!q ++++ son naturales, llegamos a

que 1q

e c

+es un número natural (distinto de 0, pues 0e c > ).

Como c < 1 tenemos que 3ee c << y por tanto 1q

31q

e c

+<

+.

Notemos, casi en el final, que 11q

3≤

+ ya que q es un natural mayor que 1.

En resumen, hemos llegado a que 1q

e c

+es un número natural distinto de 0 y

menor que 1. Esto es absurdo, por lo que e no es un número racional. Y ya en el final de esta sección, veremos un teorema similar a uno de la sección anterior y algunas aplicaciones del mismo. Teorema 65 – Condición suficiente para que un polinomio de orden n sea el polinomio de Taylor de orden n de una función f en a Sean f : D → R una función, n un número natural mayor que 1, a un número interior a D en el que existe )a(f )n( y J un polinomio de orden n tal que

0)ax(

)x(J)x(flimnax

=−

−→

.

Entonces J es el polinomio de Taylor de orden n de f en a. Demostración Según la definición de polinomio de Taylor de orden n de f en a, debemos probar que J(a) = f(a), J ‘(a) = f ‘(a), ..., )a(f)a(J )n()n( = . Consideremos la función r : D → R tal que r(x) = f(x) – J(x), la cual tiene derivada de orden n en a pues f y J la tienen. Al existir r (n)(a) resulta que todas las derivadas de r, hasta la de orden (n – 1), existen en algún V(a). Debemos probar que 0)a(r...)a(r)a(r )n(' ==== .

Sabemos que 0)ax()x(rlim

nax=

−→ y por lo tanto 0

)ax()x(rlim

nax=

−+→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


281

1) Si r(a) ≠ 0 tenemos que =−+→ nax )ax(

)x(rlim⎩⎨⎧

<∞−>∞+

0)a(rsi0)a(rsi

. Ello no es cierto

pues ese límite vale 0. Por lo tanto r(a) = 0 y el límite anterior (sabemos que

es 0) es un caso de indeterminación del tipo "00" .

2) Si r ‘(a) ≠ 0 tenemos que =− −→ + 1n

'

ax )ax(n)x(rlim

⎪⎩

⎪⎨⎧

<∞−

>∞+

0)a(rsi

0)a(rsi'

'. Ello no es

cierto pues, de acuerdo con la primera regla de L’Hôspital, se cumpliría que

=−+→ nax )ax(

)x(rlim 0)ax(n)x(rlim

1n

'

ax≠

− −→ +. O sea, r ‘(a) = 0. Además tenemos

que si existe 1n

'

ax )ax(n)x(rlim

−→ −+, entonces vale 0, Este segundo límite es

también un caso de indeterminación del tipo "00" .

3) En forma similar a la anterior obtenemos que 0)a(r...)a(r )1n('' === − y nos

encontramos con que si existe )ax(!n)x(rlim

)1n(

ax −

−

→ +, entonces vale 0.

Ahora bien, ¿existe ese límite?. La respuesta es afirmativa ya que

)a(r)ax(

)a(r)x(rlim)ax(

)x(rlim )n()1n()1n(

ax

)1n(

ax=

−−

=−

−−

→

−

→ ++.

Por lo tanto 0)a(r )n( = . Ejemplo 77 – Determinación indirecta de polinomios de Mac Laurin Es razonable que sospeches que un teorema como el anterior debe tener alguna aplicación interesante. En este ejemplo veremos que así es.

Primera parte : La función f : R - {1} → R / x1

1)x(f−

=

Recordemos, para comenzar, que )x...xx1)(x1(x1 n21n ++++−=− + para cada número natural n y para cada número real x (puedes comprobar ese resultado con el esquema de Ruffini o calculando el producto).

Por lo tanto, x1

xx...xx1x1

1 1nn2

−+++++=

−

+ si x ≠ 1 (*).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


282

La igualdad anterior implica que ( )

0x1

xlimx

x...xx1x1

1

lim0xn

n2

0x=

−=

++++−−

→→.

Eso y el hecho de que exista )0(f )n( nos llevan a concluir que el polinomio de

Mac Laurin de orden n de x1

1)x(f−

= es n2n x...xx1)x(P ++++= .

En este caso podríamos haber llegado a )x(Pn calculando f(0) y las derivadas sucesivas de f en 0. Es interesante que notemos que en la fórmula de Mac Laurin señalada con (*), tenemos el resto sin el enigmático c de su expresión de Lagrange. Segunda parte : La función arcotangente

Usemos nuevamente que x1

xx...xx1x1

1 1nn2

−+++++=

−

+ si x ≠ 1.

Si allí sustituimos x por 2t− obtenemos lo siguiente:

2

2n21nn2n42

2 t1t)1(t)1(...tt1

t11

+

−+−+−+−=

+

++ ∀ t.

Observemos, además, que 0t1

t)1(limt

t1t)1(

lim2

1n

0t1n2

2

2n21n

0t=

+

−=+

−+

→+

++

→.

Consideremos ahora la función f : R → R / 2t1

1)t(f+

= .

Todo lo anterior y el hecho de que exista )0(f )1n2( + nos indican que hemos encontrado el polinomio de Mac Laurin de orden (2n + 1) de la función f (hubiera sido muy complicado determinarlo calculando las derivadas sucesivas de f en 0). Ese polinomio es n2n42

1n2 t)1(...tt1)t(P −+−+−=+ .

Con ayuda del polinomio anterior podemos calcular )0(f )k( para k = 1, ..., 2n+1

ya que !k

)0(f )k( es el coeficiente de kt en el polinomio. En definitiva tenemos

que si 2t1

1)t(f+

= entonces )0(f )k( = ⎪⎩

⎪⎨⎧ −

imparesksi0paresksi!k)1( 2/k

.

En realidad, nos interesa la función arcotangente. Veamos qué podemos hacer con esa función, atentos a que su derivada es la función f con la que recién trabajamos.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


283

Si g(t) = Arctg(t) es g(0) = 0 y )t(ft1

1)t(g2

' =+

= . Por lo tanto g ‘(0) = 1 y para

cada k mayor que 1 es == − )0(f)0(g )1k()k(⎪⎩

⎪⎨⎧ −− −

paresksi0parimesksi!)1k()1( 2/)1k(

.

En resumen, =!k

)0(g )k(

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − −

paresksi0

parimesksik

)1( 2/)1k(

.

Llegamos pues al siguiente resultado:

)t(r1n2

t)1(...5t

3tt)t(Arctg 2n2

1n2n53+

++

+−

+−+−= .

Con ello tenemos la fórmula de Mac Laurin de orden (2n + 2) de la función arcotangente.

Tercera parte : La función f : R → R / 2xx

2x3x4)x(f2

2

++

++=

En el comienzo de esta parte, haremos un cálculo similar al de la división entera de dos polinomios, ordenando esos polinomios en potencias crecientes.

2 +3x +4x 2 2 + x + x 2

-2 -x -x 2 1 + x + x 2 –x 3 2x 3x 2

-2x -x 2 -x 3 2x 2 -x 3 -2x 2 -x 3 -x 4 -2x 3 -x 4 2x 3 x 4 x 5 0 x 5

Lo anterior implica que 53222 x)xxx1)(xx2(x4x32 +−++++=++ .

En consecuencia, 2xx

xxxx12xx

2x3x42

532

2

2

+++−++=

++

++ .

Además, 02xx

xlimx

)xxx1(2xx

2x3x4

lim20x4

322

2

0x=

++=

−++−++

++

→→.

Hemos encontrado el polinomio de Mac Laurin de orden cuatro de la función f. Ese polinomio es 432

4 x0xxx1)x(P +−++= (tuvimos en cuenta que existe

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


284

)0(f )4( ; en realidad nuestra función f tiene derivada de cualquier orden en 0). Sin duda, es bastante más complicado llegar a ese polinomio calculando cuatro derivadas sucesivas de f en 0.

Cuarta parte : La función f : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2π,

2π → R / f(x) = tg(x)

El resultado que obtuvimos en la tercera parte del ejemplo 75 nos lleva a la siguiente fórmula de Mac Laurin de orden cinco para la función seno:

553

x)x(α120x

6xx)x(sen ++−= donde α es una función continua en 0 tal que

α(0) = 0. En cuanto a la función coseno, su fórmula de Mac Laurin de orden cuatro es la siguiente (ejercicio 118):

442

x)x(β24x

2x1)xcos( ++−= donde β es una función continua en 0 y β (0) = 0.

Si para dividir sen(x) entre cos(x) usamos el procedimiento de la parte anterior (ya no estamos ante dos polinomios, pero la técnica es la misma), llegamos a:

553

x)x(δ5

x3

x1)xcos()x(sen +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= donde δ es una función continua en 0 tal

que δ(0) = 0.

Por lo tanto, 553

x)xcos(

)x(δ5

x3

x1)x(tg +−+= .

Como 0)xcos(

)x(δlim0x

=→

y la función tangente tiene derivada de cualquier orden

en 0 (en realidad sólo nos interesa la derivada de orden cinco), concluimos que

5x

3x1)x(P

535 −+= es el polinomio de Mac Laurin de orden cinco de la función

tangente (nuevamente aquí es más laborioso obtener ese resultado calculando cinco derivadas sucesivas de la función en 0). Ejercicio 121

1) Sea f : (-1,1) → R / 2x1

1)x(f−

= . Halla la fórmula de Mac Laurin de orden

2n de esa función (ten presente el ejercicio 120). 2) Halla la fórmula de Mac Laurin de orden (2n + 1) de la función arcoseno.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


285

3) Usa el polinomio de Mac Laurin de orden nueve para calcular un valor

aproximado de Arcsen(0,5), recuerda que 6π)5,0(Arcesen = y halla un valor

aproximado de π . Ejercicio 122 1) Halla la fórmula de Mac Laurin de orden seis de la función de la tercera

parte del ejemplo 77. 2) Calcula las seis primeras derivadas sucesivas de esa función en 0. Ejercicio 123 A partir de las fórmulas de Mac Laurin de orden cuatro de xe y de cos(x), halla

los polinomios de Mac Laurin de orden cuatro de )xcos(ex y de )xcos(

ex.

Ejemplo 78 – Una diferencia entre las hipótesis de los teoremas 60 y 65 Ya conocemos una condición suficiente para que un polinomio de orden n sea el polinomio de Taylor de orden n de una función f en a. En los teoremas 60 y 65 nos ocupamos, respectivamente, de los casos en que el orden es uno y el orden es mayor que uno. Mientras que en la hipótesis del primero de esos teoremas no se exige que exista f ‘(a), en la del segundo sí se exige que exista

)a(f )n( (n es el orden del polinomio y n > 1). ¿A qué se debe esa diferencia? El ejemplo que sigue contesta a esa pregunta (trabajaremos para a = 0).

Sean f : R → R / =)x(f⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 xsi0

0xsix1senx3

. y J : R → R / 2x0x00)x(J ++= .

Entonces, 0x1senxlim

x)x(J)x(flim

0x20x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−→→

. Este resultado y el teorema 65

(sin mirar la parte de su hipótesis donde se exige que exista f ‘’(0)) estarían asegurando que J es el polinomio de Mac Laurin de orden 2 de la función f. Sin embargo, ello es falso ya que no existe f ‘’(0). En efecto:

• Para x ≠ 0 es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

x1cosx

x1senx3)x(f 2' .

• f ‘(0) = 0 pues 0)x(flim '0x

=→

.

• Para hallar f ‘’(0) calculemos ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

→→ x1cos

x1xsen3lim

0x)0(f)x(flim

0x

''

0x.

Como ese límite no existe, concluimos que no existe f ‘’(0).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


286

La función de este ejemplo es realmente sorprendente puesto que tiene polinomio de Mac Laurin de orden uno pero no tiene polinomio de Mac Laurin de orden mayor que uno. 4 – LA FORMULA DE TAYLOR Y LOS EXTREMOS RELATIVOS Ya hemos apreciado la utilidad de la fórmula de Taylor en el cálculo de valores aproximados, en el cálculo de límites y en la deducción de desigualdades (esto último aparece en la primera parte del ejemplo 75 y en los ejercicios 114 y 115). Ahora veremos cómo esa fórmula nos puede ayudar en la detección de extremos relativos. Teorema 66 – Condición suficiente para que una función tenga extremo relativo Sean f : D → R una función y a un número interior a D tales que existe f ‘’(a), f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) ≠ 0. Entonces: 1) Si f ‘’(a) > 0 resulta que f tiene mínimo relativo en a. 2) Si f ‘’(a) < 0 resulta que f tiene máximo relativo en a. Demostración La fórmula de Taylor de orden dos de f en a es la siguiente (β es una función

continua en a tal que β(a) = 0): 22''

)ax()x(β)ax(2

)a(f)a(f)x(f −+−+= .

O sea, 22''

)ax)(x(δ)ax()x(β2

)a(f)a(f)x(f −=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=− , donde δ es una función

continua en a tal que 02

)a(f)a(δ''

≠= ( pusimos )x(β2

)a(f)x(δ''

+= ).

1) Si f ‘’(a) > 0 tenemos que δ(a) > 0. Además δ es continua en a. Por lo tanto, gracias al teorema de conservación del signo, podemos afirmar que existe algún V(a) tal que δ(x) > 0 ∀ x ∈ V(a). Con ello podemos determinar el signo de f(x) – f(a) para los x del V(a) y concluir que f tiene mínimo relativo en a.

+ + + + + + + 0 + + + + + + + (..............................|..............................) signo de f(x) – f(a) = δ(x)(x-a)2

a 2) Este segundo punto se demuestra en forma similar al anterior.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


287

Ejemplo 79 – Condición suficiente de existencia de extremo relativo La función f : R → R / )x(sen)x(shx)x(f 2 −+= tiene, según la computadora, la siguiente representación gráfica.

Según ese dibujo, f tiene mínimo relativo en 0. ¿Cómo podemos comprobarlo con el menor trabajo posible? • )xcos()x(chx2)x(f ' −+= ⇒ f ‘(0) = 0. Vamos bien.

• )x(sen)x(sh2)x(f '' ++= ⇒ f ‘’(0) = 2. Terminamos. En el dibujo apreciamos también que f tiene máximo relativo en un número que parece ser –2. Parece pero no lo es, pues 017,0)2(f ' ≠≅− . Para determinar

ese número deberíamos resolver la ecuación 0)x(f ' = . Esa ecuación tiene sólo dos raíces: una es 0 y la otra está entre –1,94 y –1,93 (requiere bastante trabajo comprobar esa afirmación). Ejercicio 124 Hay un teorema, generalización del teorema 66, cuyo enunciado es: Sean f : D → R una función y a un número interior a D tal que 0)a(f )k( = para

k = 1, 2, ..., p y 0)a(f )1p( ≠+ . Entonces: • Si p es impar resulta que f tiene extremo relativo en a. • Si p es par resulta que f no tiene extremo relativo en a. 1) Demuestra ese teorema. 2) Sea f : R → R / )x(chk)x(shk)xcos(k)x(senk)x(f 4321 +++= . Determina

cómo deben ser los números k1, k2, k3 y k4 de modo que f tenga mínimo relativo en 0.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


288

5 – SINTESIS DE FORMULAS DE MAC LAURIN A lo largo de este capítulo hemos encontrado, en ejemplos y en ejercicios, varias fórmulas de Mac Laurin que resumimos a continuación (en lo que sigue la letra n representa a un número natural mayor o igual que uno). 1) La fórmula de Mac Laurin de orden n de xe (válida ∀ x)

1ncn2

x x!)1n(

e!n

x...!2

xx1e ++

+++++= con c entre 0 y x.

!)1n(x

)x(wx!)1n(

e1n

1nc

+≤

+

++ , donde w(x) es el máximo entre 1 y xe .

2) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n de sh(x) (válida ∀ x)

1n21n253

x!)1n2(

)c(ch!)1n2(

x...!5

x!3

xx)x(sh +−

++

−++++= con c entre 0 y x.

!)1n2(x

)x(chx!)1n2(

)c(ch1n2

1n2+

≤+

++ .

3) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n - 1 de ch(x) (válida ∀ x)

n22n242

x!)n2()c(ch

!)2n2(x...

!4x

!2x1)x(ch +

−++++=

− con c entre 0 y x.

!)n2(x

)x(chx!)n2()c(ch

n2n2 ≤ .

4) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n de sen(x) (válida ∀ x)

1n2n1n21n53

x!)1n2(

)ccos()1(!)1n2(

x)1(...!5

x!3

xx)x(sen +−−

+−

+−

−+−+−= con c entre 0 y x.

!)1n2(x

x!)1n2(

)ccos()1(1n2

1n2n

+≤

+−

++ .

5) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n - 1 de cos(x) (válida ∀ x)

n2n2n21n42

x!)n2(

)ccos()1(!)2n2(

x)1(...!4

x!2

x1)xcos( −+

−−

+−+−=−−

con c entre 0 y x.

!)n2(x

x!)n2(

)ccos()1(n2

n2n

≤− .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


289

6) La fórmula de Mac Laurin de orden n de x1

1−

(válida ∀ x / x ≠ 1)

x1xx...xx1

x11 1n

n2−

+++++=−

+

7) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n de 2x1

1+

(válida ∀ x)

2

2n21nn2n42

2 x1x)1(x)1(...xx1

x11

+

−+−+++−=

+

++

8) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n de Arctg(x) (válida ∀ x)

2

n2n1n21n53

c1xc)1(

1n2x)1(...

5x

3xx)x(Arctg

+

−+

−−

+−+−=−−

con c entre 0 y x.

2

1n2

2

n2n

x1

x

c1xc)1(

+≤

+

−+

9) La fórmula de Mac Laurin de orden n de )x1(L + (válida ∀ x / x > -1)

c1xc)1(

nx)1(...

3x

2xx)x1(L

nnn1n32

+−

+−

+−+−=++

con c entre 0 y x.

x1x

c1xc)1(

1nnn

+≤

+−

+

10) La fórmula de Mac Laurin de orden n de )x1(L − (válida ∀ x / x < 1)

c1xc

nx...

3x

2xx)x1(L

nn32

−−−−−−−=− con c entre 0 y x.

x1x

c1xc

1nn

−≤

−

+

11) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

x1x1L (válida ∀ x / |x| < 1)

2

n21n253

c1cx2x

1n22...x

52x

32x2

x1x1L

−+

−++++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ − con c entre 0 y x.

2

1n2

2

n2

x1

x2

c1cx2

−≤

−

+

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


290

12) La fórmula de Mac Laurin de orden n de m)x1( + (válida ∀ x / x > -1)

1n1nm)1n(

n)n(

2)2(

m x!)1n()c1(mx

!nm...x

!2mmx1)x1( +

−−+

++

+++++=+

con c entre 0 y x.

1n)1n(

1n1nm)1n(

x!)1n(

m)x(wx

!)1n()c1(m +

++

−−+

+≤

++ si x > 0.

1n)1n(1n

1nm)1n(

x1x

!)1n(

m)x(wx

!)1n()c1(m ++

+−−+

++≤

++ si –1 < x < 0.

En las dos desigualdades anteriores, w(x) es el máximo entre 1 y m)x1( + .

13) La fórmula de Mac Laurin de orden n de x1

1+

(válida ∀ x / x > -1)

1n21n

23n1n

n2n

n2 x

)!)1n((4)c1(!)2n2()1(x

)!n(4!)n2()1(...x

83x

211

x11 +

+

−−+

+

++−+

−+−+−=

+

con c entre 0 y x.

1n21n

1n21n

23n1n

x)!)1n((4

!)2n2(x)!)1n((4

)c1(!)2n2()1( ++

++

−−+

+

+≤

+

++− si x > 0.

1n

21n1n

21n

23n1n

x1x

x11

)!)1n((4!)2n2(x

)!)1n((4)c1(!)2n2()1( +

++

+

−−+

+++

+≤

+

++− si x < 0.

14) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n - 1 de 2x1

1

− (válida ∀ x / |x| < 1)

n22n

21n

2n221n

422

x)!n(4)c1(!)n2(x

)!)1n((4!)2n2(...x

83x

211

x1

1−−

−−

++

−

−++++=

−

con c entre 0 y 2x− .

n

2

2

22nn2

2n

21n

x1x

x1

1)!n(4!)n2(x

)!n(4)c1(!)n2(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−≤

+−−

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


291

15) La fórmula de Mac Laurin de orden 2n de Arcsen(x) (válida ∀ x / |x| < 1)

xd)!n(4)c1(!)n2(x

)1n2()!)1n((4!)2n2(...x

61x)x(Arcsen n2

2n

21n

1n221n

3−−

−−

++

−−

−+++=

con c entre 0 y 2x− y d entre 0 y x.

xx1

x

x1

1)!n(4!)n2(xd

)!n(4)c1(!)n2(

n

2

2

22nn2

2n

21n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−≤

+−−

En relación con las fórmulas que acabamos de anotar es importante que tengas en cuenta los siguientes comentarios: • Quizás sospeches que en algunos polinomios de Mac Laurin falta el último

sumando (nos estamos refiriendo a los que aparecen en los numerales 2, 3, 4, 5, 8, 11, 14 y 15). En realidad, ese sumando es 0 y por ello no lo hemos escrito.

• La expresión “c entre 0 y x” significa que 0 < c < x cuando x es positivo y que x < c < 0 cuando x es negativo.

• Si observas las expresiones que hemos dado de los restos de Mac Laurin podrás distinguir distintas situaciones (en la mayoría de ellas aparece el enigmático c). En los numerales 1, 2, 3, 4, 5 12 y 13 usamos la expresión de Lagrange

del resto. En los numerales 6 y 7 tuvimos en cuenta las dos primeras partes del

ejemplo 77. En los numerales 8, 9, 10 y 15 aplicamos un procedimiento que puedes

consultar en el ejercicio 125. En el numeral 11 recordamos el ejemplo 26. Finalmente, para llegar al resultado del numeral 14 utilizamos el del

numeral 13 y allí sustituimos x por 2x− . Ejercicio 125 Justifica las expresiones del resto que aparecen en los numerales 9, 10 y 15 de esta sección. Con ese fin, te sugerimos que hagas un razonamiento similar al que desarrollamos a continuación para justificar la expresión del resto del numeral 8. Sea J : R → R la función definida de la siguiente manera:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+−+−−=−−

1n2t)1(...

5t

3tt)t(Arctg)t(J

1n21n53.

Esta función es el resto de Mac Laurin de orden 2n del arcotangente ya que es la diferencia entre éste y su polinomio de Mac Laurin de orden 2n.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


292

Consideremos x ≠ 0 y apliquemos el teorema de Lagrange a la función J en el intervalo cerrado de extremos 0 y x. Resulta que existe algún c entre 0 y x tal que )c(Jx)0(J)x(J '=− , o sea )c(Jx)x(J '= ya que J(0) = 0.

Calculemos ahora )t(J ' .

( )2n21n422

' t)1(...tt1t1

1)t(J −−−+++−−+

= .

Lo anterior y la fórmula del numeral 7 implican que 2

n2n'

t1t)1()t(J

+

−= .

En resumen, 2

n2n

c1xc)1()x(J

+

−= . Y con ello terminamos pues llegamos a la

expresión del resto que aparece en el numeral 8. Ejercicio 126 Justifica cada una de las acotaciones del resto de Mac Laurin que constan en esta sección. Al respecto, te hacemos las siguientes sugerencias: • En el caso de xe considera la función h : te)t(h = y calcula el máximo de h

en el intervalo [0,x] cuando x > 0 y en el intervalo [x,0] cuando x < 0. • En los casos de sh(x) y de ch(x) considera la función h : )t(ch)t(h = .

• En el caso de Arctg(x) considera la función h : 2

n2

t1t)t(h+

= .

• En el caso de )x1(L + considera la función h : t1

t)t(h

n

+= con t > -1.

• En el caso de )x1(L − considera la función h : t1

t)t(h

n

−= con t < 1.

• En el caso de m)x1( + considera las funciones h y j definidas de la siguiente

manera: m)t1()t(h += y 1n)t1(

1)t(j++

= con t > -1.

6 – NEWTON Y LAS RAICES DE UNA FUNCION En esta sección describiremos un método, que se le atribuye a Newton, para resolver la ecuación f(x) = 0, donde f es una función real de variable real. Con ese fin, volveremos a la fórmula de Taylor de orden uno. Ya sabemos que si f es una función de D en R y a es un número interior a D en el que existe f ‘(a), entonces podemos escribir lo siguiente: f(x) = f(a) + f ‘(a) (x – a) + β(x) (x – a), donde β es una función continua en a tal que β(a) = 0. Si w es una raíz de la función, o sea si f(w) = 0, resulta que

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


293

0 = f(a) + f ‘(a) (w – a) + β(w) (w – a). Si en la igualdad anterior prescindimos del resto (somos temerarios, sin duda)

nos queda 0 ≅ f(a) + f ‘(a) (w – a) y, por lo tanto, )a(f)a(faw

'−≅ (admitimos que

f ‘(a) ≠ 0 y confesamos que no podemos afirmar nada sobre el error en nuestra aproximación).

El mérito de Newton estuvo en usar la expresión )a(f)a(faw

'−≅ para definir una

sucesión con una propiedad interesante: si la sucesión tiene límite finito L y la función f tiene derivada continua en L, entonces L es una raíz de la ecuación f(x) = 0. Definición 40 – La sucesión de Newton Sean f : D → R una función y a un número interior a D. La sucesión de Newton correspondiente a f en a es la sucesión [x(n)] definida mediante la siguiente fórmula de recurrencia:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−=+

=

1nsi))n(x(f))n(x(f)n(x)1n(x

a)1(x

'

En lo anterior se supone que se cumple lo siguiente: x(n) es interior a D, f es derivable en x(n) y 0))n(x(f ' ≠ para n = 1, 2, 3, ... Ejemplo 80 – Sucesiones de Newton con límite finito Parte 1 : La función f : R → R / 1x)x(f 2 −= Con el fin de hallar la sucesión de Newton correspondiente a esta función en a, comenzamos observando que x2)x(f ' = . Tenemos pues que la sucesión de

Newton es ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

−=+

=

1nsi)n(x2

1))n(x()n(x)1n(x

a)1(x2 . Si operamos en el segundo

renglón de esa fórmula llegamos a ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

=+

=

1nsi)n(x2

1))n(x()1n(x

a)1(x2 .

Ahora bien, ¿qué valor le podemos dar al primer término de esa sucesión? En la definición de la sucesión de Newton se supone que 0))n(x(f ' ≠ ∀ n. En nuestro caso ello significa que 0)n(x ≠ ∀ n y, en particular que 0a)1(x ≠= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


294

Notemos, además, que si x(n) ≠ 0 entonces el segundo renglón de la fórmula de recurrencia nos asegura que x(n + 1) ≠ 0. En resumen, sólo debemos exigir que a ≠ 0. En la próxima tabla aparecen, para algunos valores de x(1) = a, resultados interesantes sobre las correspondientes sucesiones de Newton.

Seis sucesiones de Newton de la función f / 1x)x(f 2 −= n x(n) x(n) x(n) X(n) x(n) x(n) 1 -2 -1 -0,2 0,1 1 3 2 -1,25 -1 -2,6 5,05 1 1,6666667 3 -1,025 -1 -1,4923077 2,6240099 1 1,1333333 4 -1,0003049 -1 -1,0812054 1,5025530 1 1,0078431 5 -1 -1 -1,0030495 1,0840437 1 1,0000305 6 -1 -1 -1,0000046 1,0032578 1 1 7 -1 -1 -1 1,0000052 1 1 8 -1 -1 -1 1 1 1 9 -1 -1 -1 1 1 1 10 -1 -1 -1 1 1 1

)n(xn

lim∞+→

-1 -1 -1 1 1 1

Varios de los valores de x(n) están redondeados. Eso ocurre en ésta y en las restantes tablas de esta sección. En relación con la última fila de la tabla, te informamos que el resultado del

)n(xlimn ∞+→

es –1 ó 1 según que x(1) = a sea negativo o positivo (puedes

justificar esa afirmación con un razonamiento similar al que expusimos en la segunda parte del ejemplo 65). No debes sorprenderte demasiado ante esos resultados pues ya te adelantamos que si la sucesión de Newton tiene límite finito, entonces ese límite es una raíz de la ecuación f(x) = 0 (nota que f ‘ es continua en R). Parte 2 : La función f : R → R / 3xx)x(f 5 −+=

Como 1x5)x(f 4' += resulta que la sucesión de Newton correspondiente a

esta función es ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

+=+

=

1nsi1))n(x(53))n(x(4)1n(x

a)1(x

4

5 .

En este caso, la condición 0))n(x(f ' ≠ ∀ n se cumple pues 01x5)x(f 4' >+= cualquiera sea x. La función con la que estamos trabajando es la del ejercicio 33 (capítulo 4). Allí probaste que tiene sólo una raíz y que ella está entre 1 y 2. Ello motivó la tabla que te presentamos a continuación (al igual que en la parte anterior hemos trabajado con varios valores para el primer término de la sucesión de Newton).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


295

Cuatro sucesiones de Newton de la función f / 3xx)x(f 5 −+= n x(n) x(n) x(n) x(n) 1 0 1 2 3 2 3 1,16666667 1,61728395 2,40147783 3 2,40147783 1,13470165 1,34228833 1,92763079 4 1,92763079 1,13300213 1,18561384 1,56292148 5 1,56292148 1,13299757 1,13705436 1,30708087 6 1,30708087 1,13299757 1,13302333 1,17098932 7 1,17098932 1,13299757 1,13299757 1,13515465 8 1,13515465 1,13299757 1,13299757 1,13300487 9 1,13300487 1,13299757 1,13299757 1,13299757

10 1,13299757 1,13299757 1,13299757 1,13299757 )n(x

nlim

∞+→ 1,13299757...

Este número es la raíz de la ecuación f(x) = 0 Parte 3 : La función f : R → R / )x(sen)x(f =

Ahora tenemos )xcos()x(f ' = y la sucesión ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−=+=

1nsi))n(x(tg)n(x)1n(xa)1(x

Analicemos la condición 0))n(x(f ' ≠ ∀ n, o sea 0))n(x(cos ≠ ∀ n. Ello es cierto sólo si x(n) no es ninguno de los números del siguiente conjunto:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ππ

−ππ

−ππ

−= ...,2

5,2

5,2

3,2

3,2

,2

Z .

Estamos, sin duda, ante una situación complicada. • Parece razonable exigir, por ejemplo, que el primer término de la sucesión

esté entre 2π

− y 2π , o sea que x(1) = a ∈ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ−

2,

2. Así podemos calcular

x(2). • Puede ocurrir que x(2) = a – tg(a) esté en el antipático conjunto Z. Si miras

nuevamente las elegantes sillas para Gulliver que aparecen en la tercera parte del ejemplo 56, te convencerás que para cada elemento de Z hay un a tal que x(2) coincide con ese elemento.

• Si x(2) está en Z, no hay sucesión de Newton. Si x(2) no está en Z, calculamos x(3) y si éste tampoco está en Z continuamos con x(4). Y así sucesivamente, con el temor de que en algún momento lleguemos a que no hay sucesión de Newton.

A continuación te presentamos algunos resultados que obtuvimos al elegir valores no conflictivos de x(1).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


296

Seis sucesiones de Newton de la función f / f(x) = sen(x)

n x(n) x(n) x(n) x(n) x(n) x(n) 1 -1,23 -1,22 1,1655616 1,1655617 1,176 1,177 2 1,5898157 1,512754 -1,1655634 -1,1655640 -1,223965 -1,2297409 3 54,1613493 -15,696759 1,1655734 1,1655764 1,542731 1,5877572 4 53,2217373 -15,707964 -1,1656278 -1,1656438 -34,079122 60,5413337 5 53,4092268 -15,707963 1,1659230 1,1660102 -34,597697 59,4005339 6 53,4070751 -15,707963 -1,1675291 -1,1680043 -34,557498 59,6986489 7 53,4070751 -15,707963 1,1763136 1,1789274 -34,557519 59,6902602 8 53,4070751 -15,707963 -1,2257729 -1,2409664 -34,557519 59,6902604 9 53,4070751 -15,707963 1,5566501 1,6801500 -34,557519 59,6902604

10 53,4070751 -15,707963 -69,129031 10,7883079 -34,557519 59,6902604 11 53,4070751 -15,707963 -69,115038 6,0328869 -34,557519 59,6902604 12 53,4070751 -15,707963 -69,115038 6,2885467 -34,557519 59,6902604 13 53,4070751 -15,707963 -69,115038 6,2831853 -34,557519 59,6902604 14 53,4070751 -15,707963 -69,115038 6,2831853 -34,557519 59,6902604 15 53,4070751 -15,707963 -69,115038 6,2831853 -34,557519 59,6902604 16 53,4070751 -15,707963 -69,115038 6,2831853 -34,557519 59,6902604 17 53,4070751 -15,707963 -69,115038 6,2831853 -34,557519 59,6902604

)n(xn

lim∞+→

17π -5π -22π 2π -11π 19π

La tabla anterior justifica, al menos, dos comentarios: • Es sorprendente.

Debemos confesar, sin embargo, que los valores seleccionados para x(1) no son casuales. ¿Sospechas la idea que tuvimos para elegirlos?

• El valor de cada límite fue intuido a partir de los valores de la respectiva sucesión (usamos una computadora, claro está) y de que sabíamos que estábamos buscando raíces de la ecuación sen(x) = 0.

Parte 4 : La función f : R → R / kx)x(f p −= (p ∈ N* y k ∈ R+)

En este caso la sucesión de Newton es ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−+

=+

=

−1nsi

))n(x(p))n(x()1p(k)1n(x

a)1(x

1p

p .

Como 0xp)x(f 1p' ≠= − ∀ x ≠ 0, tenemos que 0))n(x(f ' ≠ ∀ n si y sólo si 0)n(x ≠ ∀ n. Si elegimos x(1) = a > 0, resulta que 0)n(x > ∀ n (recuerda que k

es positivo). Si en esta sucesión de Newton elegimos x(1) = k + 1, nos reencontramos con la sucesión que nos da aproximaciones por exceso del número p k (ejercicio 5 en el capítulo 1). Ese número, claro está, es raíz de la ecuación 0kx)x(f p =−= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


297

Ahora nos ocuparemos de la propiedad que ya hemos mencionado de las sucesiones de Newton. Teorema 67 – Sucesiones de Newton con límite finito Sean f : D → R una función, a un número interior a D y [x(n)] la sucesión de Newton correspondiente a f en a. Si L)n(xlim

n=

∞+→ y f ‘ es continua en L, entonces f(L) = 0.

Demostración

Recordemos que [x(n)] se define así:⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−=+

=


a)1(x

'.

Por lo tanto, ))n(x(f))n(x(f))1n(x)n(x( ' =+− para cada n. Lo anterior y la continuidad de f ‘ en L nos permiten calcular ))n(x(flim

n ∞+→.

En efecto: 0)L(f)LL())n(x(f))1n(x)n(x(lim))n(x(flim ''nn

=−=+−=∞+→∞+→

.

Además )L(f))n(x(flimn

=∞+→

. Concluimos entonces que f(L) = 0.

Ejercicio 127 Sea f : R → R / 2xxx)x(f 23 +++= . 1) Prueba que f tiene sólo una raíz y que ella está entre –2 y –1. 2) Encuentra la sucesión de Newton correspondiente a f en a. 3) Sea [x(n)] la sucesión de Newton correspondiente a f en –2. ¿Cuántos

términos debes calcular de esa sucesión para llegar a una aproximación de la raíz de f con error menor que 0,001?

4) Contesta a la pregunta de la parte anterior para la sucesión de Newton correspondiente a f en –1.

Ejercicio 128 Sea f : R → R / 3)1x()x(f −= . 1) Encuentra la sucesión de Newton correspondiente a f en a. 2) Sea [x(n)] la sucesión de Newton correspondiente a f en 0. Determina n de

modo que | x(n) – 1 | < 0,01. 3) Encuentra la sucesión de Newton correspondiente a f ‘ en a. 4) Sea [y(n)] la sucesión de Newton correspondiente a f ‘ en 0. Determina n de

modo que | y(n) – 1 | < 0,01. 5) Encuentra la sucesión de Newton correspondiente a f ‘’ en a.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


298

Ejemplo 81 – Sucesiones de Newton con límite infinito o sin límite Parte 1 : La función f : R → R / xe)x(f = En el ejemplo anterior trabajamos con funciones f tales que la ecuación f(x) = 0 tenía alguna raíz. ¿Qué ocurre con la sucesión de Newton si esa ecuación no tiene raíces? De acuerdo con el teorema que recién demostramos, si esa sucesión tiene límite y la derivada de f es continua, ese límite no es finito. Analicemos el caso de la función f definida por xe)x(f = , cuya derivada es

continua en R. Su sucesión de Newton es ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−=+=

1nsi1)n(x)1n(xa)1(x

.

Como x' e)x(f = , resulta que 0))n(x(f ' ≠ ∀ n. En consecuencia, podemos elegir x(1) como se nos antoje. Notemos, además, que x(1) = a, x(2) = a – 1, x(3) = a – 2; x(4) = a – 3, ... O sea, x(n) = a – n + 1 y −∞=

∞+→)n(xlim

n.

Parte 2 : La función f : R → R / 1x)x(f 2 += Esta función, al igual que la de la parte anterior, no tiene raíces y tiene derivada

continua en R. Su sucesión de Newton es ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

=+

=

1nsi)n(x2

1))n(x()1n(x

a)1(x2 .

Como x2)x(f ' = , resulta que 0))n(x(f ' ≠ ∀ n si y sólo si 0)n(x ≠ ∀ n. • El primer término de la sucesión no puede ser 0, o sea a ≠ 0.

• Pero sólo eso es insuficiente ya que a2

1a)2(x2 −

= debe ser distinto de 0, o

sea a ≠ 1 y a ≠ -1. Por el momento tenemos que a ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ -1. • Tampoco nos podemos conformar con la restricción anterior. En efecto,

)1a(a4)1a2a()1a2a(

)2(x21))2(x()3(x

2

222

−

−+−−=

−= no puede ser 0. Ello nos lleva a

exigir lo siguiente: a ≠ 1+ 2 , a ≠ 1- 2 , a ≠ -1+ 2 y a ≠ -1- 2 . • Y así sucesivamente. Estamos ante una situación tan complicada como la

que enfrentamos en la sucesión de Newton correspondiente a la función seno.

En la tabla que sigue te mostramos algunos resultados que obtuvimos al elegir valores no conflictivos de a. Otra vez estamos ante algo sorprendente (ello es un ejemplo de lo que le preocupa a la reciente teoría matemática del caos).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


299

Seis sucesiones de Newton de la función f / 1x)x(f 2 += n x(n) x(n) x(n) x(n) x(n) x(n) 1 0,01 0,41 3/3 0,99 2,41 4 2 -49,9950 -1,0145 - 3/3 -0,0101 0,9975 1,8750 3 -24,9875 -0,0144 3/3 49,7437 -0,0025 0,6708 4 -12,4737 34,6948 - 3/3 24,8618 202,2695 -0,4099 5 -6,1968 17,3330 3/3 12,4108 101,1323 1,0148 6 -3,0177 8,6376 - 3/3 6,1651 50,5612 0,0147 7 -1,3432 4,2609 3/3 3,0015 25,2707 -34,0864 8 -0,2993 2,0131 - 3/3 1,3341 12,6156 -17,0285 9 1,5208 0,7582 3/3 0,2923 6,2681 -8,4849 10 0,4316 -0,2804 - 3/3 -1,5644 3,0543 -4,1835

Parte 3 : La función f : R* → R / x1)x(f =

Esta función, que no tiene raíces y cuya derivada es continua en R*, motiva la

siguiente sucesión de Newton: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥=+=

1nsi)n(x2)1n(xa)1(x

con a ≠ 0.

Observemos que x(1) = a, x(2) = 2a, x(3) = 4a, x(4) = 8a, ...

Lo anterior nos indica que a2)n(x 1n−= . O sea, =∞+→

)n(xlimn ⎩

⎨⎧

<∞−>∞+

0asi0asi

.

Parte 4 : La función f : R → R / |x|)x(f = Y ya en el final, analicemos una función que tiene una raíz y que no es derivable en esa raíz. Ello ocurre con la función f definida así: |x|)x(f = , la cual tiene raíz 0 y no es derivable en 0.

La sucesión de Newton de esa función es ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−=+=

1nsi)n(x)1n(xa)1(x

, donde a

es un número distinto de 0. Tenemos que x(1) = a, x(2) = -a, x(3) = a, x(4) = -a, ... Concluimos pues que no existe )n(xlim

n ∞+→.

Estamos ante un hecho curioso: una función cuya raíz no es el límite de ninguna de sus sucesiones de Newton.

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300

Ejercicio 129 Sea f : R+ → R / )x(L)x(f = . 1) Encuentra la sucesión de Newton correspondiente a f en a (debes indicar

cuáles son los posibles valores de a) y prueba que ella es acotada. Sea [x(n)] esa sucesión.

2) Halla los cinco primeros términos de [x(n)] para a = 2 y para a = 0,5. 3) Prueba que si 0 < x(1) < 1 entonces [x(n)] es creciente. ¿Cuál es el valor de

)n(xlimn ∞+→

?

4) ¿Qué ocurre si x(1) = 1? 5) Prueba que si 1 < x(1) < e entonces [x(n+1)] es creciente. ¿Cuál es el valor

de )n(xlimn ∞+→

?

No es reconfortante terminar esta sección sobre Newton y las raíces de una función con un ejemplo como el que acabamos de desarrollar. En particular, resulta inquietante el hecho de haber encontrado una función cuya raíz no es el límite de ninguna de sus sucesiones de Newton. Sin embargo, con supuestos no muy restrictivos, es posible demostrar que si una función tiene alguna raíz, entonces existe alguna sucesión de Newton no constante cuyo límite es esa raíz. Antes de establecer un teorema sobre lo que acabamos de afirmar, importa que hagamos un comentario sobre el porqué escribimos “sucesión de Newton no constante” Recordemos que la sucesión de Newton correspondiente a una función f en a es la sucesión [x(n)] definida mediante la siguiente fórmula de recurrencia:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−=+

=


a)1(x

'. Si z es una raíz de f y 0)z(f ' ≠ podemos

elegir x(1) = z, con lo cual x(2) = z, x(3) = z, ... Obtenemos así una sucesión de Newton constante cuyo límite es la raíz z de f. El próximo teorema no se refiere a esta sucesión. Teorema 68 – Condición suficiente para que exista una sucesión de Newton no constante cuyo límite sea una raíz de la función f Sean f : D → R una función y z un número interior a D tales que: ♣ Hay algún entorno de centro z en el que existe ''f . ♣ f(z) = 0 y 0)z(f ' ≠ .

♣ ''f es continua en z. Entonces existe alguna sucesión de Newton correspondiente a f y no constante que converge a z.

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301

Demostración Comencemos trabajando en el entorno V(z) donde existe ''f . Puesto que 'f es continua en z y 0)z(f ' ≠ , tenemos que existe algún entorno

W(z) con las siguientes propiedades: W(z) ⊂ V(z) y 0)x(f ' ≠ ∀ x ∈ W(z) (nos estamos acordando, claro está, del teorema de conservación del signo). ...(...........................................................|...........................................................)... z

En W(z) existe ''f y 0)x(f ' ≠ . Además ''f es continua en z.

Definamos la función g : W(z) → R así: )x(f)x(fx)x(g

'−= . Esta definición no es

caprichosa pues, una vez elegido el primer término de una sucesión de Newton correspondiente a f, con la función g calculamos sus otros términos.

Notemos que g(z) = z, ( )( ) ( )2'

''

2'

''2''

)x(f

)x(f)x(f

)x(f

)x(f)x(f)x(f1)x(g =−

−= y 0)z(g ' = .

Como 'g es continua en z y 0)z(g ' = , resulta que hay algún entorno Y(z) con

las siguientes propiedades: Y(z) ⊂ W(z) y 5,0|)x(g| ' < ∀ x ∈ Y(z) (ahora nos acordamos del teorema de función acotada en un entorno). .........(.....................................................|..............................|........................)....... z t

En Y(z) g es derivable y 5,0|)x(g| ' < Elijamos ahora t ∈ Y(z) con t ≠ z (en el dibujo es t > z, pero puede ser t < z). Al aplicar el teorema de Lagrange a la función g en el intervalo de extremos z y t llegamos a que existe algún c entre z y t tal que )zt()c(g)z(g)t(g ' −=− .

Debido a que g(z) = z y 5,0|)c(g| ' < , concluimos que |zt|5,0|z)t(g| −<− (*) A esta altura de nuestro razonamiento estamos en una buena posición para construir una sucesión de Newton correspondiente a f y no constante que converja a z. En efecto: 1) Elijamos x(1) en Y(z) tal que x(1) ≠ z.

Al poner t = x(1) en (*) obtenemos |z)1(x|5,0|z))1(x(g| −<− .

Como )2(x))1(x(f))1(x(f)1(x))1(x(g

'=−= , resulta que |z)1(x|5,0|z)2(x| −<− .

Por lo tanto x(2) ≠ x(1) y x(2) ∈ Y(z).

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302

El que x(2) ≠ x(1) nos asegura que la sucesión de Newton que estamos construyendo no es constante.

2) Si ponemos t = x(2) en (*) llegamos a que |z)2(x|5,0|z))2(x(g| −<− .

Como )3(x))2(x(f))2(x(f)2(x))2(x(g

'=−= y |z)1(x|5,0|z)2(x| −<− tenemos que

|z)1(x|)5,0(|z)3(x| 2 −<− . Por lo tanto x(3) ∈ Y(z). En realidad, lo anterior supone que x(2) ≠ z. Notemos que si x(2) = z resulta que x(3) = z, por lo que también es cierto que |z)1(x|)5,0(|z)3(x| 2 −<− .

3) Si seguimos trabajando como en el punto anterior llegaremos a que para cada n > 1 se cumple que |z)1(x|)5,0(|z)n(x| 1n −<− − .

4) Finalmente, la desigualdad anterior y el que 0)5,0(lim 1nn

=−

∞+→ implican que

z)n(xlimn

=∞+→

.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ecuaciones en diferencias ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

303

CAPITULO 16 – ECUACIONES EN DIFERENCIAS 1 – INTRODUCCION Ya hemos tenido oportunidad de trabajar con sucesiones reales definidas a partir de fórmulas de recurrencia. Ello ocurrió, al menos, en el ejemplo 64, en la sección del capítulo 14 referente a la sucesión de Fibonacci y en la sección del capítulo 15 sobre la sucesión de Newton. En el caso de la sucesión de Fibonacci adelantamos una impactante fórmula para calcular sus valores, la cual es consecuencia de algunos resultados que obtendremos en este capítulo. Ahora bien, ¿es posible hallar una fórmula que nos dé directamente los valores de una sucesión real definida mediante una fórmula de recurrencia?. En algunos casos la respuesta a esa pregunta es afirmativa y de algunos de ellos nos ocuparemos aquí. El tema que estudiaremos se identifica con el título “Ecuaciones en diferencias”. En realidad nos limitaremos a introducirnos en ese tema ya que sólo analizaremos algunos tipos de ecuaciones en diferencias. 2 – DIFERENCIA DE UNA SUCESION REAL Definición 41 – Diferencia de una sucesión real Sea s una sucesión real. Llamaremos diferencia de s a la sucesión s* definida así: s*(n) = s(n+1) – s(n) para n = 1, 2, 3, ... En la literatura matemática se usa habitualmente el símbolo Δs para representar la diferencia de una sucesión real s. Hemos preferido usar el símbolo s* con el fin de poner en evidencia ciertas similitudes que hay entre la diferencia de una sucesión real y la derivada de una función real de variable real. Ejemplo 82 – Cálculo de diferencias 1) Sea s la sucesión real tal que s(n) = k donde k es un número real.

s*(n) = s(n+1) – s(n) = k – k = 0 2) Sea s la sucesión real tal que s(n) = n.

s*(n) = s(n+1) – s(n) = n + 1 – n = 1 Lo anterior parece indicar que calcular la diferencia de una sucesión real es lo mismo que calcular la derivada de una función real de variable real. En efecto, sabemos que si f(x) = k entonces f ‘(x) = 0 y que si f(x) = x entonces f ‘(x) = 1. 3) Sea s la sucesión real tal que 2n)n(s = .

1n2n)1n()n(s)1n(s)n(*s 22 +=−+=−+= Atento al comentario motivado por los dos primeros cálculos, es desalentador el resultado que acabamos de obtener pues para 2x)x(f = es f ‘(x) = 2x.

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304

4) Sea s la sucesión real tal que n)n(s λ= donde λ es un número real.

)1()n(s)1n(s)n(*s nn1n −λλ=λ−λ=−+= +

Aquí el desaliento es aún mayor que el anterior ya que para x)x(f λ= ( con λ

positivo, claro está, y no para cualquier λ) es )(L)x(f x' λλ= . 5) Sea s la sucesión real tal que )ncos()n(s = .

)ncos()1ncos()n(s)1n(s)n(*s −+=−+= Atentos a la fórmula de factoreo de cos(p) – cos(q), tenemos que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

21nsen

21sen2)n(*s

6) Sea s la sucesión real tal que )n(sen)n(s = .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−+=−+=

21ncos

21sen2)n(sen)1n(sen)n(s)1n(s)n(*s

Ante estos dos últimos resultados, más vale no preocuparse por establecer una analogía entre el cálculo de diferencias y el cálculo de derivadas. 7) Sea s la sucesión real tal que )p(n)n(s = donde p es un número natural

mayor que 1. Recordemos que )p(n es el producto de p números, el primero de los cuales es n y cada uno de los siguientes es uno menos que el anterior.

)1pn(nn)1n(n)1n()n(s)1n(s)n(*s )1p()1p()p()p( +−−+=−+=−+= −− )1p()1p( np)1pn1n(n)n(*s −− =−+−+=

Esta parte motiva una comparación interesante entre los cálculos de

diferencias y de derivadas. En efecto, ⎪⎩

⎪⎨⎧

=→==→=

−

−

1p'p

)1p()p(

xp)x(fx)x(fnp)n(*sn)n(s

8) Sea s la sucesión real tal que )ncos()n(s β+α= donde α y β son números reales.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+β+α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−=β+α−β+α+α=

2nsen

2sen2)ncos()ncos()n(*s

9) Sea s la sucesión real tal que )n(sen)n(s β+α= donde α y β son números reales.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+β+α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α=β+α−β+α+α=

2ncos

2sen2)n(sen)n(sen)n(*s

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


305

Teorema 69 – Reglas para el cálculo de diferencias Sean s y t sucesiones reales y k un número real. Entonces: Producto por una constante (k s)*(n) = k s*(n) Suma (s + t)*(n) = s*(n) + t*(n) Resta (s - t)*(n) = s*(n) - t*(n) Producto (s t)*(n) = s*(n)t(n) + s(n+1)t*(n) Demostración Sólo justificaremos la regla del producto. (s t)*(n) = s(n+1)t(n+1) – s(n)t(n) Como t*(n) = t(n+1) – t(n) tenemos que t(n+1) = t*(n) + t(n). Por lo tanto: (s t)*(n) = s(n+1)(t*(n) + t(n)) – s(n)t(n) = s(n+1)t*(n) + s(n+1)t(n)) – s(n) t(n) (s t)*(n) = s(n+1)t*(n) + (s(n+1) – s(n))t(n) = s(n+1)t*(n) + s*(n)t(n) Es indudable la similitud de las reglas anteriores con las de derivación. La única diferencia está en la regla del producto pues allí aparece s(n+1) en vez de s(n). En cuanto a la regla para el cociente, te pedimos que la encuentres en la última parte del ejercicio 131. Ejercicio 130 Calcula la diferencia de cada una de las sucesiones que se definen a partir de las siguientes fórmulas:

7n5)n(a += 9n3n4)n(b 2 +−= )1n(n)n(c −=

3n)n(d = n2)n(e = n)1()n(f −= 1n)n(g +λ= nn )3(4)2(3)n(h −+−= )1n(4)n(i 2n +=

)3(n)n(j = n)2( 2n)n(k += )n3n()1()n(l )3(n −−= Ejercicio 131 1) Demuestra las tres primeras reglas del teorema 69. 2) Comprueba que la regla para el cálculo de la diferencia de un producto

también puede enunciase de cualquiera de las siguientes formas: (s t)*(n) = t*(n)s(n) + t(n+1)s*(n) (s t)*(n) = s*(n)t(n) + s(n)t*(n) + s*(n)t*(n)

3) Sea t una sucesión real tal que t(n) ≠ 0 ∀ n. Encuentra una regla para

calcular )n(t1 *⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ y usa esa regla y la del producto para calcular )n(

ts *⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

donde s es otra sucesión real.

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306

Ejercicio 132 Sea s una sucesión real y p un número natural. Considera las subsucesiones de s, s1, s2 y s3, definidas así: )pn(s)n(s1 += , )n2(s)n(s2 = y )n(s)n(s 2

3 = . Si para calcular las diferencias de s1, s2 y s3 aplicas una regla similar a la regla de derivación de la función compuesta, llegas a: )pn(s)n(s **

1 += ,

)n2(s2)n(s **2 = y )n(s)1n2()n(s 2**

3 += . ¿Cuál o cuáles de esos resultados son correctos? La definición de diferencia de una sucesión real s origina la sucesión real que hemos denotado con s*. Si a s* le aplicamos la definición de diferencia de una sucesión real obtenemos (s*)*, a la que llamaremos diferencia segunda de s y representaremos con el símbolo s**. Sin duda así podemos seguir y llegar a s***, s****, ... Ejemplo 83 – Cálculo de diferencias sucesivas 1) Sea s la sucesión real tal que )3n()2n()1n(nn)n(s )4( −−−==

)3(n4)n(*s = (usamos la séptima parte del ejemplo 82) )2(** n12)n(s = (usamos la regla del producto por una constante y de nuevo

la séptima parte del ejemplo 82) n24n24)n(s )1(*** == ; 24)n(s **** = ; 0)n(s ***** =

Si representamos con el símbolo [ ]js a la sucesión que obtenemos luego de calcular j diferencias, concluimos que [ ] 0)n(s j = si j > 4 (este resultado no nos sorprende demasiado pues s es un polinomio de cuarto grado).

2) Sea a la sucesión real tal que )ncos()n(a ϕ= donde ϕ es un número real. Para calcular a* y a** recordemos, en primer lugar, que en las dos últimas partes del ejemplo 82 llegamos a que

♦ Si )ncos()n(s β+α= entonces ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+β+α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−=

2nsen

2sen2)n(*s (1)

♦ Si )n(sen)n(s β+α= entonces ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+β+α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α=

2ncos

2sen2)n(*s (2)

En consecuencia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

+ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ−=

2nsen

2sen2)n(*a (aplicamos (1) con α = ϕ y β = 0)

)ncos(2

sen4)n(a 2** ϕ+ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ−= (aplicamos (2) con α = ϕ y

2ϕ

=β y

usamos la regla de producto por una constante)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


307

Como )cos(12

sen2 2 ϕ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ tenemos que

)ncos()1)(cos(2)n(a ** ϕ+ϕ−ϕ= Finalmente notemos que )n(a)n(*a)1n(a)ncos( +=+=ϕ+ϕ . Ello nos lleva

a escribir ))n(a)n(*a()1)(cos(2)n(a ** +−ϕ= . 3) Sea b la sucesión real tal que )n(sen)n(b ϕ= donde ϕ es un número real.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ

+ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ=

2ncos

2sen2)n(*b (aplicamos (2) con α = ϕ y β = 0)

)n(sen2

sen4)n(b 2** ϕ+ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ−= (aplicamos (1) con α = ϕ y

2ϕ

=β y

usamos la regla de producto por una constante) ))n(b)n(*b()1)(cos(2)n(sen)1)(cos(2)n(b ** +−ϕ=ϕ+ϕ−ϕ=

Ejercicio 133 Completa la siguiente tabla:

s(n) s*(n) s**(n) Nota k n

)p(n nλ

)ncos( β+α )n(sen β+α

k, λ, α, β ∈ R

p ∈ N, p > 1

Ya hemos aprendido lo suficiente sobre diferencias para pasar a estudiar las ecuaciones en diferencias. Nos interesará encontrar todas las sucesiones reales que cumplen con una cierta condición. La condición se expresa mediante una ecuación cuya incógnita es una sucesión y en la que aparece al menos una diferencia de la incógnita. A la sucesión incógnita la representaremos casi siempre con y o con z. Los siguientes son ejemplos de problemas con ecuaciones en diferencias: 1) Encontrar las sucesiones reales y tales que y*(n) + y(n) = 0 ∀ n.

O, en forma más breve, resolver la ecuación y*(n) + y(n) = 0 ∀ n. 2) Resolver la ecuación y*(n) + y(n) = n (no escribimos ∀ n pues daremos por

entendido que la igualdad debe cumplirse cualquiera sea n). 3) Resolver la ecuación y*(n) + n y(n) = L(n). 4) Resolver la ecuación y**(n) + y*(n) - 2y(n) = 0. 5) Resolver la ecuación y**(n) + y*(n) - 2y(n) = 3n – 1. 6) Resolver la ecuación y**(n) – y(n) = 2n – 3. 7) Resolver la ecuación y**(n) + y*(n)y(n) = 4n.

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308

En cada uno de los tres primeros ejemplos diremos que la ecuación es de orden uno (y* está en la ecuación y en ella no hay diferencias de orden mayor que uno) y en cada uno de los cuatro últimos que es de orden dos (y** está en la ecuación y en ella no hay diferencias de orden mayor que dos). Ya hemos adelantado que nos limitaremos a estudiar algunos tipos de ecuaciones en diferencias, los cuales son: Ecuaciones en diferencias lineales de orden uno

)n(v)n(y)n(u)n(*y =+ donde y es la sucesión incógnita y u y v son sucesiones conocidas. Ecuaciones en diferencias lineales de orden dos

)n(w)n(y)n(v)n(*y)n(u)n(y ** =++ donde y es la sucesión incógnita y u, v y w son sucesiones conocidas. 3 – ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE ORDEN UNO En el estudio de las ecuaciones en diferencias lineales de orden uno es útil, tanto teórica como prácticamente, que hagamos una distinción entre lo que llamaremos ecuación homogénea y ecuación no homogénea. Ecuación homogénea (H) 0)n(y)n(u)n(*y =+ y es la sucesión incógnita y u es una sucesión conocida. Ecuación no homogénea (NH) )n(v)n(y)n(u)n(*y =+ y es la sucesión incógnita y u y v son sucesiones conocidas tales que v no es la sucesión nula. Comenzaremos trabajando con esas ecuaciones en general, o sea cualesquiera sean las sucesiones u y v, y luego nos ocuparemos de la ecuación homogénea en el caso que la sucesión u es constante.

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309

3.1 – Ecuación en diferencias lineal de orden uno Teorema 70 – Propiedades de las raíces de una ecuación en diferencias lineal de orden uno Sean las ecuaciones (H) 0)n(y)n(u)n(*y =+ (NH) )n(v)n(y)n(u)n(*y =+ Entonces: 1) Producto de una constante por una raíz de (H) Si y1 es una raíz de (H) y k ∈ R entonces ky1 es una raíz de (H). 2) Suma de dos raíces de (H) Si y1 e y2 son raíces de (H) entonces y1 + y2 es una raíz de (H). 3) Suma de una raíz de (H) y una raíz de (NH) Si y1 es una raíz de (H) y z1 es una raíz de (NH) entonces y1 + z1 es una raíz de (NH). 4) Resta de dos raíces de (NH) Si z1 y z2 son raíces de (NH) entonces z2 – z1 es una raíz de (H). Demostración Con el fin de ahorrar algo de espacio, en lo que sigue escribiremos las ecuaciones del teorema así: (H) y* + uy = O (O es la sucesión nula, o sea la que todos sus términos son 0) (NH) y* + uy = v 1) Debemos comprobar que ky1 es raíz de (H), o sea que (ky1)* + u(ky1) =O.

(ky1)* + u(ky1) = ky1* + uky1 = k(y1* + uy1) = kO = O. Tuvimos en cuenta, claro está, que y1 es raíz de (H).

2) Verifiquemos que y1 + y2 es raíz de (H), o sea que (y1 + y2)* + u(y1 + y2) = O. (y1 + y2)* + u(y1 + y2) = y1* + y2* + uy1 + uy2 = y1* + uy1 + y2* + uy2 = O. Tuvimos en cuenta que y1 e y2 son raíces de (H).

3) Veamos si y1 + z1 es raíz de (NH), o sea si (y1 + z1)* + u(y1 + z1) = v. (y1 + z1)* + u(y1 + z1) = y1* + z1* + uy1 + uz1 = y1* + uy1 + z1* + uz1 = v. Tuvimos en cuenta que y1 es raíz de (H) y que z1 es raíz de (NH).

4) Comprobemos que z2 – z1 es raíz de (H), o sea que (z2 – z1)* + u(z2 – z1) = O. (z2 – z1)* + u(z2 – z1) = z2* - z1* + uz2 – uz1 = z2* + uz2 – (z1* + uz1) = O. Tuvimos en cuenta que z1 y z2 son raíces de (NH).

Las dos primeras partes del teorema anterior nos proporcionan un método para encontrar raíces de la ecuación homogénea a partir de una o de dos raíces de esa ecuación: ♦ Si tenemos una raíz y1 de la ecuación homogénea resulta que ky1 es raíz de esa ecuación cualquiera sea el número k. ♦ Si tenemos dos raíces y1 e y2 de la ecuación homogénea resulta que y1 + y2 es raíz de esa ecuación.

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310

En cuanto a las dos últimas partes de ese teorema, ellas nos indican que: ♦ La suma de una raíz de la ecuación homogénea y una raíz de la ecuación no homogénea es una raíz de la ecuación no homogénea. ♦ Si tenemos una raíz z1 de la ecuación no homogénea, cualquier otra raíz z2 de esa ecuación se puede escribir como la suma de z1 y una raíz de la ecuación homogénea. En efecto, z2 = z1 + (z2 – z1) y z2 – z1 es raíz de la ecuación homogénea. La importancia práctica de los dos puntos anteriores es indudable: para resolver la ecuación en diferencias lineal de orden uno no homogénea alcanza con resolver la homogénea y encontrar sólo una raíz de la no homogénea. Ejemplo 84 – Resolución de la ecuación y*(n) – y(n) = n 1) Comenzaremos resolviendo la ecuación y*(n) – y(n) = 0 Como y*(n) = y(n+1) – y(n) tenemos que y*(n) – y(n) = 0 equivale a lo siguiente: y(n+1) = 2y(n). Por lo tanto: y(2) = 2y(1), y(3) = 2y(2) = 4y(1), y(4) = 2y(3) = 8y(1), ... Llegamos pues a que la solución de la ecuación y*(n) – y(n) = 0 está formada por todas las sucesiones y tales que 1n2)1(y)n(y −= para n = 2, 3, 4, ...

Notemos, además, que )1(y2)1(y 11 =− . O sea que todas las raíces de la

ecuación vienen dadas por la fórmula 1n2)1(y)n(y −= ∀ n, o lo que es lo mismo n2k)n(y = (la letra k representa al número y(1)/2).

En resumen: y*(n) – y(n) = 0 ⇔ n2k)n(y = donde k es un número real cualquiera. 2) Y ahora vayamos tras una raíz de la ecuación y*(n) – y(n) = n Busquemos una raíz de la forma y(n) = an + b donde a y b son números que queremos determinar. Para una tal y(n) tenemos que y*(n) = a, por lo que y*(n) – y(n) = -an + a – b. Como nos interesa que –an + a – b = n ∀ n, tenemos que a = -1 y b = -1. En resumen: z1(n) = -n – 1 es una raíz de la ecuación y*(n) – y(n) = n. A esta altura podemos concluir que hemos hallado todas las raíces de la ecuación y*(n) – y(n) = n. Ellas son las sucesiones y tales que 1n2k)n(y n −−= donde k es un número

real cualquiera. O sea, y*(n) – y(n) = n ⇔ 1n2k)n(y n −−= con k ∈ R.

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311

Teorema 71 – Existencia de raíces de una ecuación en diferencias lineal de orden uno Sea la ecuación )n(v)n(y)n(u)n(*y =+ . Entonces: ♦ La ecuación tiene infinitas raíces. ♦ Para cada c ∈ R existe una única raíz y de la ecuación tal que y(1) = c. Demostración De acuerdo con la definición de y* tenemos que y*(n) = y(n+1) – y(n). Por lo tanto )n(v)n(y)n(u)n(y* =+ equivale a y(n+1) + (u(n) – 1)y(n) = v(n). O sea, y(n+1) = v(n) + (1 – u(n))y(n). Con la fórmula anterior podemos calcular los término de la sucesión y, a partir del segundo, siempre que tengamos y(1). En efecto (no olvidemos que u y v son sucesiones conocidas): y(2) = v(1) + (1 - u(1))y(1) Si tenemos y(1) podemos calcular y(2) y(3) = v(2) + (1 – u(2))y(2) Con y(2) calculamos y(3) y(4) = v(3) + (1 – u(3))y(3) Con y(3) calculamos y(4) Y así sucesivamente. La conclusión de todo lo que antecede es que la ecuación

)n(v)n(y)n(u)n(*y =+ tiene infinitas raíces (una para cada valor que elijamos de y(1)) y que una vez que fijamos un valor para y(1) (y(1) = c) esa ecuación tiene una única raíz, la definida mediante la siguiente fórmula de recurrencia:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−+=+=

1nsi)n(y))n(u1()n(v)1n(yc)1(y

.

Ejercicio 134 Considera la ecuación )n(v)n(y)n(u)n(*y =+ en la que 1n)n(u += y 2n)n(v = . Sea y la raíz de esa ecuación tal que y(1) = 1. Completa la tabla que sigue.

n v(n) u(n) y(n) y*(n) y*(n)+ u(n)y(n) 1 2 3 4 5 6

El teorema 71 es impactante desde un punto de vista teórico ya que en su demostración encontramos una fórmula de recurrencia que da la solución de una ecuación en diferencias lineal de orden uno. Ahora bien, desde un punto de vista práctico es razonable preocuparse por una fórmula más sencilla que la que encontramos (estamos pensando en la del ejemplo 84). ¿Podemos lograr

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


312

algo como eso?. Lamentablemente, la respuesta a esa pregunta es rara vez afirmativa. Sin embargo, vale la pena analizar algunos casos en los que es exitoso el trabajo de buscar fórmulas simples para la solución de una ecuación en diferencias lineal de orden uno. Teorema 72 – Raíces de una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden uno Sean: La ecuación (H) 0)n(y)n(u)n(*y =+ . y1 una raíz de (H) que cumple y1(1) ≠ 0 Si y2 es otra raíz de (H), entonces existe k ∈ R tal que y2(n) = ky1(n) ∀ n (la sucesión y2 es proporcional a la sucesión y1) Demostración

Consideremos la sucesión y3 tal que )n(y)1(y)1(y)n(y 1

1

23 = .

y3 es una raíz de la ecuación (H) debido a que y1 lo es y a la primera parte del teorema 70. Además y3(1) = y2(1). Tenemos pues que y2 e y3 son raíces de la ecuación (H) cuyos primeros términos son iguales. De acuerdo con el teorema 71, llegamos a que y2 = y3 y por lo tanto y2 es proporcional a y1. El teorema anterior tiene una aplicación práctica importante: para resolver la ecuación en diferencias lineal homogénea de orden uno alcanza con hallar una raíz y1 de esa ecuación tal que y1(1) ≠ 0 (cualquier otra raíz es proporcional a y1). Ejercicio 135 En cada uno de las partes de este ejercicio se da una ecuación en diferencias lineal no homogénea de orden uno y dos sucesiones, y1 y z1. Prueba que y1 es raíz de la correspondiente ecuación homogénea, que z1 es raíz de la no homogénea, halla todas las raíces de la ecuación no homogénea y selecciona entre ellas la sucesión y tal que y(1) = 2. 1) n)n(yn)n(*y =− ; !n)n(y1 = ; 1)n(z1 −=

2) 1n)n(yn1)n(*y +=− ; n)n(y1 = ; )2(

1 n)n(z =

3) 2n)n(y)1n()n(*y =++ ; !)1n()1()n(y 1n1 −−= − ; 1n)n(z1 −=

3.2 – Ecuación en diferencias lineal homogénea de orden uno y coeficiente constante En este apartado resolveremos un caso particular de la ecuación en diferencias lineal homogénea de orden uno, aquél en el cual el coeficiente de la sucesión

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313

incógnita es constante. Nos referimos a la ecuación y*(n) + ay(n) = 0. Ya sabemos que para resolver esa ecuación nos alcanza con encontrar una raíz y1 que cumpla y1(1) ≠ 0. Tomemos y1(1) = 1. y1*(n) + ay1(n) = 0 ⇔ y1(n+1) + (a - 1)y1(n) ⇔ y1(n+1) = (1 - a)y1(n) Con la fórmula y1(n+1) = (1 - a)y1(n) obtenemos los siguientes resultados: y1(2) = (1 – a), y1(3) = (1 – a)y1(2) = (1 – a)2, y1(4) = (1 – a)y1(3) = (1 – a)3, ... Por lo tanto y1(n) = (1 – a) n-1 para n = 2, 3, 4, ... Hemos llegado a que una raíz de la ecuación y*(n) + ay(n) = 0 es la sucesión y1

tal que ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−=

=− 1nsi)a1()n(y

1)1(y1n

1

1 .

Notemos que: ♦ Si a = 1 la sucesión y1 tiene su primer término 1 y todos los restantes 0. ♦ Si a ≠ 1 la fórmula que define a y1 puede resumirse en y1(n) = (1 – a) n – 1. En este caso suele trabajarse con y2 = (1 – a)y1 como raíz de la ecuación pues la fórmula de y2 es más breve que la de y1: y2(n) = (1 – a) n. Puesto que cualquier otra raíz de la ecuación y*(n) + ay(n) = 0 es proporcional a la que hemos encontrado, podemos resumir nuestro trabajo en el siguiente cuadro.

Ecuación en diferencias: y*(n) + ay(n) = 0 con a ∈ R

Caso 1 : a = 1 Solución: Sucesiones y tales que y(1) = k, y(n) = 0 si n > 1 (k ∈ R) Caso 2 : a ≠ 1 Solución: Sucesiones y tales que y(n) = k(1 – a) n (k ∈ R) Nota: Las sucesiones y del caso 1 pueden definirse así: y(n) = k(1 – sgn(n-1)) Ejemplo 85 – Dos ecuaciones en diferencias lineales de orden uno Primera parte – La ecuación n3n)n(y2)n(*y =+ 1) Comenzamos con la resolución de la ecuación y*(n) + 2y(n) = 0 Estamos ante una ecuación del tipo y*(n) + ay(n) = 0. En este caso a = 2. Por lo tanto sus raíces son las sucesiones y tales que n)1(k)n(y −= con k ∈ R.

2) Y ahora procuremos hallar una raíz de la ecuación n3n)n(y2)n(*y =+

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314

Busquemos una raíz de la forma n3)n()n(y β+α= (α y β son números que queremos determinar). Para calcular y* usamos la regla del producto y tenemos en cuenta resultados que ya conocemos.

nnn 3)23n2(33)13())1n(()n(*y β+α+α=α+−β++α= nnn 3)43n4(3)2n2(3)23n2()n(y2)n(*y β+α+α=β+α+β+α+α=+

Como nos interesa que n3n)n(y2)n(*y =+ , exigimos que ⎩⎨⎧

=β+α=α

04314

.

En consecuencia 41

=α y 163

−=β .

Hemos encontrado una raíz de la ecuación n3n)n(y2)n(*y =+ : la sucesión z1

tal que nn1 3

163n43

163n

41)n(z −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= .

A esta altura podemos afirmar que la solución de la ecuación n3n)n(y2)n(*y =+ está formada por las sucesiones y tales que

nn 316

3n4)1(k)n(y −+−= con k ∈ R.

Segunda parte – La ecuación n)1(n)n(y2)n(*y −=+ En la parte anterior resolvimos la ecuación y*(n) + 2y(n) = 0. Sólo nos queda, por lo tanto, determinar una raíz de la ecuación n)1(n)n(y2)n(*y −=+ .

Comprobemos que 1n)2(

1 )1(2

n)n(z −−= nos sirve. En efecto:

1n1n)2(

1 )1(n)1()2(2)1n()n(*z −− −+−−

+=

1n21n1 )1(n)1()nn)1n(()n(*z −− −−=−++−=

n1n1n1n211 )1(n)1(n)1()1n(n)1(n)n(z2)n(*z −=−−=−−+−−=+ −−−

Hemos verificado que z1 es una raíz de la ecuación n)1(n)n(y2)n(*y −=+ .

Concluimos que la solución de la ecuación n)1(n)n(y2)n(*y −=+ está formada

por las sucesiones y tales que 1n)2(

n )1(2

n)1(k)n(y −−+−= con k ∈ R.

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315

Ejercicio 136 Resuelve las siguientes ecuaciones (ten en cuenta la tabla del ejercicio 132): 1) 3)n(*y = 2) )2(n)n(*y = 3) n5)n(*y = 4) )n(sen)n(*y = Ejercicio 137 Resuelve las siguientes ecuaciones (ten en cuenta que cada una de ellas tiene una raíz del tipo β+α= n)n(y ) y de cada una de esas ecuaciones encuentra la raíz y3 tal que y3(1) = 1: 1) 1)n(y3)n(*y =+ 2) n)n(y3)n(*y =+ 3) 1)n(y4)n(*y =− 4) n)n(y4)n(*y =− 5) 1)n(y)n(*y =+ 6) n)n(y)n(*y =+ Ejercicio 138 1) Considera la ecuación nr)n(ya)n(*y =+ (a, r ∈ R, r ≠ 0). Prueba que:

♦ Si r ≠ 1 – a entonces existe una raíz del tipo nr)n(y α= .

♦ Si r = 1 – a entonces una raíz es 1nrn)n(y −= . 2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

2.1) n2)n(y3)n(*y =+ 2.2) n)2()n(y3)n(*y −=+

2.3) n3)n(y4)n(*y =− 2.4) n5)n(y4)n(*y =− Ejercicio 139 1) Considera la ecuación nrn)n(ya)n(*y =+ (a, r ∈ R, r ≠ 0). Prueba que:

♦ Si r ≠ 1 – a entonces existe una raíz del tipo nr)n()n(y β+α= .

♦ Si r = 1 – a entonces una raíz es 1n)2(

r2

n)n(y −= .

2) Resuelve las siguientes ecuaciones 2.1) n2n)n(y3)n(*y =+ 2.2) n)2(n)n(y3)n(*y −=+

2.3) n3n)n(y4)n(*y =− 2.4) n5n)n(y4)n(*y =− Ejercicio 140 Transforma cada una de las siguientes ecuaciones en una ecuación en diferencias y resuélvelas (ten en cuenta que y(n+1) = y*(n) + y(n)). 1) n)n(y4)1n(y =−+ 2) n2)n(y3)1n(y =++ 3) n6n)n(y6)1n(y =−+ Ejercicio 141 Hay un teorema sobre ecuaciones en diferencias lineales de orden uno que establece lo siguiente:

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316

♦ Si y1 es una raíz de la ecuación )n(v)n(y)n(u)n(*y =+ y c es un número real, entonces cy1 es una raíz de la ecuación )n(vc)n(y)n(u)n(*y =+ . Se supone que u y v son sucesiones conocidas. ♦ Si y1 es una raíz de la ecuación )n(v)n(y)n(u)n(*y 1=+ e y2 es una raíz de la ecuación )n(v)n(y)n(u)n(*y 2=+ , entonces y1 + y2 es una raíz de la ecuación )n(v)n(v)n(y)n(u)n(*y 21 +=+ . Se supone que u, v1 y v2 son sucesiones conocidas. Demuestra ese teorema y resuelve la ecuación

nn 3n52.3n4)n(y)n(*y +−=− . Ejercicio 142

Sea s la sucesión definida así: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+

=+

=

1nsi)n(sn3

)n(s)1n(s

1)1(s.

Considera la sucesión t tal que )n(s

1)n(t = (es claro que s(n) > 0 ∀ n).

1) Halla la fórmula de recurrencia que define a la sucesión t. 2) Encuentra una fórmula más simple tanto para t(n) como para s(n). 4 – ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE ORDEN DOS En esta sección trabajaremos de la misma manera que en la sección anterior. En consecuencia distinguiremos entre: Ecuación homogénea (H) 0)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++ y es la sucesión incógnita y u y v son sucesiones conocidas. Ecuación no homogénea (NH) )n(w)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++ y es la sucesión incógnita y u, v y w son sucesiones conocidas tales que w no es la sucesión nula. 4.1 – Ecuación en diferencias lineal de orden dos En el apartado 3.1 vimos tres teoremas sobre una ecuación en diferencias lineal de orden uno. Aquí trataremos otros tres para la de orden dos.

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317

Teorema 73 – Propiedades de las raíces de una ecuación en diferencias lineal de orden dos Sean las ecuaciones (H) 0)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++

(NH) )n(w)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++ Entonces: 1) Producto de una constante por una raíz de (H) Si y1 es una raíz de (H) y k ∈ R entonces ky1 es una raíz de (H). 2) Suma de dos raíces de (H) Si y1 e y2 son raíces de (H) entonces y1 + y2 es una raíz de (H). 3) Suma de una raíz de (H) y una raíz de (NH) Si y1 es una raíz de (H) y z1 es una raíz de (NH) entonces y1 + z1 es una raíz de (NH). 4) Resta de dos raíces de (NH) Si z1 y z2 son raíces de (NH) entonces z2 – z1 es una raíz de (H). No detallaremos la demostración de este teorema, ya que es similar a la del teorema 70, ni reiteraremos los comentarios que allí hicimos. Teorema 74 – Existencia de raíces de una ecuación en diferencias lineal de orden dos Sea la ecuación )n(w)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++ . Entonces: ♦ La ecuación tiene infinitas raíces. ♦ Para cada pareja de números reales c1, c2 existe una única raíz y de la ecuación tal que y(1) = c1 e y(2) = c2 . Demostración Según las definición de y* e y** tenemos que:

)n(y)1n(y)n(*y −+=

)n(y)1n(y2)2n(y)n(y)1n(y)1n(y)2n(y)n(y)1n(y)n(y **** ++−+=++−+−+=−+=

Por lo tanto podemos escribir la ecuación )n(w)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++ de la siguiente manera: )n(w)n(y)1)n(u)n(v()1n(y)2)n(u()2n(y =+−++−++ O sea, )n(y)1)n(u)n(v()1n(y)2)n(u()n(w)2n(y +−−+−−=+ La fórmula anterior nos permite calcular los término de la sucesión y, a partir del tercero, siempre que tengamos y(1) e y(2). Concluimos que la ecuación )n(w)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++ tiene infinitas raíces (una para cada pareja de valores que elijamos de y(1) e y(2)) y que una vez que fijamos un par de valores para y(1) e y(2) (y(1) = c1, y(2) = c2) esa

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318

ecuación tiene una única raíz, la definida mediante la siguiente fórmula de

recurrencia ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+−−+−−=+=

=

1nSI)n(y)1)n(u)n(v()1n(y)2)n(u()n(w)2n(yc)2(yc)1(y

2

1.

Teorema 75 – Raíces de una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden dos Sean: La ecuación (H) 0)n(y)n(v)n(y)n(u)n(y *** =++ . y1 e y2 raíces de (H) que cumplen y1(1)y2(2) – y2(1)y1(2) ≠ 0. Si y3 es otra raíz de (H), entonces existen k1, k2 ∈ R tales que y3(n) = k1y1(n) + k2y2(n) ∀ n (la sucesión y3 es combinación lineal de y1 e y2) Demostración Consideremos la sucesión y4 tal que y4(n) = k1y1(n) + k2y2(n), donde k1 y k2 son números reales. y4 es una raíz de la ecuación (H) debido a las dos primeras partes del teorema 73. También y3 es raíz de la ecuación (H). Si existieran k1 y k2 tales que y4(1) = y3(1) e y4(2) = y3(2) tendríamos, según el teorema 74, que y3 = y4. Con ello terminaríamos la demostración.

Debemos pues convencernos de que existen k1 y k2 tales que ⎩⎨⎧

=

=

)2(y)2(y)1(y)1(y

34

34 .

Lo anterior equivale a ⎩⎨⎧

=+

=+

)2(y)2(yk)2(yk)1(y)1(yk)1(yk

32211

32211 . Estamos ante un sistema

de dos ecuaciones y dos incógnitas (k1 y k2) que es compatible pues su determinante principal no es cero.

En efecto 0)2(y)1(y)2(y)1(y)2(y)2(y)1(y)1(y

122121

21 ≠−= debido a la condición que

cumplen y1 e y2 (es razonable que se la identifique como la condición del determinante). El teorema anterior tiene una utilidad práctica importante: para resolver la ecuación en diferencias lineal homogénea de orden dos alcanza con hallar dos raíces y1 e y2 de esa ecuación que cumplan la condición del determinante (cualquier otra raíz y es del tipo y(n) = k1y1(n) + k2y2(n), donde k1 y k2 son números reales). Ejemplo 86 – Dos ecuaciones en diferencias lineales de orden dos Primera parte – La ecuación 0)n(y2)n(y3)n(y *** =+−

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


319

Busquemos raíces del tipo n)n(y λ= .

Como n* )1()n(y λ−λ= e n2** )1()n(y λ−λ= tenemos que n2n2*** )65()2)1(3)1(()n(y2)n(y3)n(y λ+λ−λ=λ+−λ−−λ=+− .

Ya que nos interesa que 0)n(y2)n(y3)n(y *** =+− , exigimos que

0652 =+λ−λ . O sea, 2=λ y 3=λ . Hemos encontrado dos raíces de la ecuación: n

1 2)n(y = e n2 3)n(y = .

Veamos si esas raíces cumplen la condición del determinante:

0612189432

)2(y)2(y)1(y)1(y

21

21 ≠=−== .

Con lo hecho hasta aquí, tenemos todo lo necesario para afirmar que hemos resuelto la ecuación 0)n(y2)n(y3)n(y *** =+− . Su solución está formada por

las sucesiones y tales que n2

n1 3k2k)n(y += , donde k1 y k2 son números

reales. Segunda parte – La ecuación n4)n(y2)n(y3)n(y *** =+− Debido a que en la parte anterior nos hemos ocupado de la ecuación homogénea correspondiente a la que ahora nos interesa, sólo nos resta hallar una raíz de la ecuación n4)n(y2)n(y3)n(y *** =+− .

Planteemos β+α= n)n(y , con lo cual α=)n(y* e 0)n(y ** = .

n432n2)n(y2)n(y3)n(y *** =α−β+α=+− ⇔ α = 2, β = 3

Obtuvimos una raíz de la ecuación: n4)n(y2)n(y3)n(y *** =+− , la sucesión z1 tal que 3n2)n(z1 += .

Concluimos que las raíces de la ecuación n4)n(y2)n(y3)n(y *** =+− son las

sucesiones y tales que 3n23k2k)n(y n2

n1 +++= con k1, k2 ∈ R.

4.2 – Ecuación en diferencias lineal homogénea de orden dos y coeficientes constantes Ahora, ya en el final, trabajaremos con un caso particular de la ecuación en diferencias lineal homogénea de orden dos, aquél en el cual los coeficientes de la ecuación son constantes. Nos estamos refiriendo a la ecuación

0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ , donde a y b son números reales. La resolución de esa ecuación requiere encontrar dos raíces, y1 e y2, que cumplan la condición del determinante. El camino a recorrer es bastante largo, a pesar de la sencilla apariencia del problema, así que iremos por él con cuidado y paciencia.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


320

Buscaremos raíces del tipo )n(z)n(y nλ= , donde λ es un número distinto de 0 y z es una sucesión (exigimos λ ≠ 0 pues si λ = 0 nos queda y(n) = 0, con lo cual no se cumple la condición del determinante). Si )n(z)n(y nλ= tenemos que:

)n(z)1()n(z)n(y n*1n* λ−λ+λ= +

)n(z)1()n(z)1()n(z)1()n(z)n(y n2*1n*1n**2n** λ−λ+λ−λ+λ−λ+λ= +++

)n(z)1()n(z)1(2)n(z)n(y n2*1n**2n** λ−λ+λ−λ+λ= ++ O sea,

)n(z)n(y nλ=

))n(z)1()n(z()n(y *n* −λ+λλ=

))n(z)1()n(z)1(2)n(z()n(y 2***2n** −λ+λ−λ+λλ=

Atentos a las tres igualdades anteriores, la ecuación 0)n(yb)n(ya)n(y *** =++

nos queda asÍ (no anotamos el factor nλ pues es distinto de 0): 0)n(zb)n(z)1(a)n(za)n(z)1()n(z)1(2)n(z *2***2 =+−λ+λ+−λ+λ−λ+λ

0)n(z)b)1(a)1(()n(z)a)1(2()n(z 2***2 =+−λ+−λ++−λλ+λ (1) La ecuación (1), cuya incógnita es la sucesión z, parece más complicada que la ecuación de la que partimos. Procuremos que no lo sea. Para ello, observemos el coeficiente de z(n): b)1(a)1( 2 +−λ+−λ . Si pudiéramos elegir λ de modo que ese coeficiente fuera 0 (con λ ≠ 0, claro está), la situación mejoraría. Ello motiva que debamos preocuparnos por distintas situaciones. 1) La ecuación 0b)1(a)1( 2 =+−λ+−λ tiene dos raíces ( b4a2 > )

Sean α y β las raíces de esa ecuación. Como son distintas, al menos una de ellas no es cero. Consideremos α ≠ 0. Como a)1()1( −=−β+−α resulta que β−α−= 2a y por lo tanto tenemos que β−α=+−α a)1(2 .

Si elegimos λ = α la ecuación (1) nos queda así: 0)n(z)()n(z *** =β−α+α .

Una raíz de esa ecuación es z(n) = 1, por lo que n1 )n(y α= es una raíz de

la ecuación 0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ . ♦ Si también β ≠ 0, el mismo razonamiento nos da otra raíz de la ecuación

0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ , la sucesión y2 tal que n2 )n(y β= .

Las sucesiones y1 e y2 cumplen la condición del determinante pues

0)()2(y)2(y)1(y)1(y

2221

21 ≠α−ββα=βαβα

= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


321

♦ Si β = 0, la ecuación (1) se convierte en 0)n(z)n(z *** =+ . Una raíz de esa ecuación es la sucesión z1 tal que z1(1) = 0 y z1(n) = 1 para n >1. Por lo tanto )n(z)n(y 1

n2 α= es otra raíz de 0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ .

Las sucesiones y1 e y2 cumplen la condición del determinante pues

00

)2(y)2(y)1(y)1(y 3

2221

21 ≠α=αα

α= .

2) La ecuación 0b)1(a)1( 2 =+−λ+−λ tiene una raíz ( b4a2 = )

En este caso, la única raíz de esa ecuación es 2a1−=α , la cual no es cero

siempre que a ≠ 2. ♦ Si a ≠ 2 elegimos λ = α y así la ecuación (1) queda en 0)n(z ** = . Dos raíces de esa ecuación son z(n) = 1 y z(n) = n. En consecuencia, las sucesiones y1 e y2 tales que n

1 )n(y α= e n)n(y n2 α= son raíces de la

ecuación 0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ . Esas sucesiones cumplen la condición

del determinante pues 02)2(y)2(y

)1(y)1(y 322

21

21 ≠α=αααα

= .

♦ Si a = 2 es b = 1. En esta situación, lo mejor que podemos hacer es retornar a la ecuación original que se convierte en 0)n(y)n(y2)n(y *** =++ .

Como )n(y)1n(y)n(*y −+= e )n(y)1n(y2)2n(y)n(y ** ++−+= , la ecuación anterior se reduce a y(n+2) = 0. La solución de esto último está formada por las sucesiones y tales que y(1) = k1, y(2) = k2 e y(n) = 0 si n > 2.

3) La ecuación 0b)1(a)1( 2 =+−λ+−λ no tiene raíces ( b4a2 < ) En este caso no podemos elegir λ de modo que el coeficiente de z(n) en la ecuación (1) sea cero. Traslademos nuestra atención al coeficiente de z*(n),

el cual es a)1(2 +−λ . Ese coeficiente es cero si 2a1−=λ y ese λ no es cero

siempre que a ≠ 2.

♦ Si a ≠ 2 elegimos 2a1−=λ , con lo cual

2a1 −=−λ .

En esta situación la ecuación (1) queda 0)n(z4

ab4)n(z2a1

2**

2=

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − , o

lo que es lo mismo 0)n(z)a2(

ab4)n(z2

2** =

−

−+ .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


322

Llegamos a una ecuación del tipo 0)n(zp)n(z ** =+ , donde p es un número positivo. Nos ocuparemos de ella en un momento. ♦ Si a = 2 es b > 1. Retornemos a la ecuación original, la cual puede escribirse asÍ: 0)n(y)1b()2n(y =−++ . Estamos ante una ecuación del tipo 0)n(yq)2n(y =++ , donde q es un número positivo. Resolveremos esa ecuación después de la que nos quedó planteada en el punto anterior. 3.1) La ecuación 0)n(zp)n(z ** =+ con p ∈ R+.

Planteemos )n(ar)n(z n1 = , donde r es un número y )ncos()n(a ϕ= .

Hallaremos r y ϕ de modo que z1 sea raíz de la ecuación 0)n(zp)n(z ** =+ .

)n(ar)1r()n(ar)n(z n*1n*1 −+= +

)n(ar)1r()n(ar)1r()n(ar)1r()n(ar)n(z n2*1n*1n**2n**1 −+−+−+= +++

))n(a)1r()n(ar)1r(2)n(ar(r)n(z 2***2n**1 −+−+=

En el ejemplo 83 comprobamos que ))n(a)n(*a()1)(cos(2)n(a ** +−ϕ= . Por lo tanto:

))n(a)1r()n(ar)1r(2))n(a)n(a()1)(cos(r2(r)n(z 2**2n**1 −+−++−ϕ=

))n(a))1r()1)(cos(r2()n(a)1)cos(r(r2(r)n(z 22*n**1 −+−ϕ+−ϕ=

Elijamos ϕ de modo que sea cero el coeficiente de a*(n) en la expresión

anterior, o sea ϕ tal que r1)cos( =ϕ (necesitamos que | r | ≥ 1). Así llegamos

a:

)n(z)r1()n(z)1r(1r1r2)n(z 1

21

22**1 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

)n(z)pr1()n(zp)n(z 12

1**

1 +−=+

Si elegimos p1r += (¡qué bien!, r > 1) tenemos que 0)n(zp)n(z 1**

1 =+ .

En resumen, la sucesión z1 definida por )ncos(p1)n(zn

1 ϕ+= , donde ϕ es

tal que r1)cos( =ϕ , es una raíz de la ecuación 0)n(zp)n(z ** =+ con p ∈ R+.

Análogamente puede probarse que )n(senp1)n(zn

2 ϕ+= , donde ϕ es tal

que r1)cos( =ϕ , es otra raíz de la misma ecuación.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


323

Además las sucesiones z1 y z2 cumplen la condición del determinante. En efecto,

0)(senp1)2(senp1)2cos(p1

)(senp1)cos(p1)2(z)2(z)1(z)1(z 3

2221

21 ≠ϕ+=ϕ+ϕ+

ϕ+ϕ+= .

En lo anterior tuvimos en cuenta que: )(sen)2cos()cos()2(sen)2(sen)(sen ϕϕ−ϕϕ=ϕ−ϕ=ϕ ; 1)cos(0 <ϕ< .

3.2) La ecuación 0)n(yq)2n(y =++ con q ∈ R+.

Sea ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

2ncosr)n(y n

1 , donde r es un número que determinaremos de

modo que y1 sea raíz de la ecuación 0)n(yq)2n(y =++ .

)n(yr2ncosr

2ncosr

2)2n(cosr)2n(y 1

22n2n2n1 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

=+ +++

)n(y)rq()n(yq)2n(y 12

11 −=++

Elijamos qr = . Entonces ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

2ncosq)n(y

n1 es una raíz de la ecuación

0)n(yq)2n(y =++ con q ∈ R+.

Análogamente puede probarse que ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=

2nsenq)n(y

n2 es otra raíz de la

misma ecuación. Además las sucesiones y1 e y2 cumplen la condición del determinante ya

que 0qq0qq0

)2(y)2(y)1(y)1(y

21

21 ≠=−

= .

Antes de resumir los resultados que obtuvimos en este extenso apartado, consideramos de interés realizar algunos comentarios. 1) En la búsqueda de raíces de la ecuación 0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ surgió

la ecuación 0b)1(a)1( 2 =+−λ+−λ , llamada ecuación característica de la

ecuación 0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ .

2) Cuando la ecuación característica tiene dos raíces, o sea cuando b4a2 > , es necesario saber si alguna de ellas es cero (ello ocurre si a = 1 + b).

3) Cuando la ecuación característica tiene sólo una raíz, o sea cuando b4a2 = , hay que distinguir dos casos: a ≠ 2 y a = 2.

4) Se debe realizar la misma distinción que en el punto anterior cuando la ecuación característica no tiene raíces, o sea cuando b4a2 < .

Y ahora presentamos un resumen de todo lo que aquí hemos hecho.

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324

Ecuación en diferencias: 0)n(yb)n(ya)n(y *** =++ (a, b ∈ R)

Ecuación característica: 0b)1(a)1( 2 =+−λ+−λ

Caso 1 : La ecuación característica tiene dos raíces no nulas, α y β. Solución: n

2n

1 kk)n(y β+α= (k1, k2 ∈ R) Caso 2 : La ecuación característica tiene dos raíces, α y 0. Solución: ))n(zkk()n(y 121

n +α= , donde z1(n) = sgn(n – 1) (k1, k2 ∈ R) Caso 3 : La ecuación característica tiene sólo una raíz α que no es 0. Solución: )nkk()n(y 21

n +α= (k1, k2 ∈ R) Caso 4 : La ecuación característica tiene sólo una raíz que es 0. Solución: ))2n(sgn1(k))1nsgn(1(k)n(y 2

21 −−+−−= (k1, k2 ∈ R) Caso 5 : La ecuación característica no tiene raíces y a ≠ 2.

Solución: ( ) ))n(senk)ncos(k(ab1)a2sgn()n(y 21n

ϕ+ϕ−+−= , donde ϕ es tal

que ab12

|a2|)cos(−+

−=ϕ (k1, k2 ∈ R)

Caso 6 : La ecuación característica no tiene raíces y a = 2.

Solución: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π−=

2nsenk

2ncosk1b)n(y 21

n (k1, k2 ∈ R)

Ejemplo 87 – La sucesión de Fibonacci En el capítulo 14 definimos la sucesión de Fibonacci mediante una fórmula de

recurrencia: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥++=+==

1nsi)1n(s)n(s)2n(s1)2(s1)1(s

. Allí dimos otra fórmula para

esa sucesión que ahora justificaremos. En el comienzo de la demostración del teorema 74 anotamos un par de igualdades que nos serán útiles:

)n(s)1n(s)n(*s −+= y )n(s)1n(s2)2n(s)n(s ** ++−+= .

De ellas deducimos que )1n(s)n(s)n(s* +=+ y )2n(s)n(s)n(s2)n(s *** +=++ .

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325

Lo anterior nos permite expresar la igualdad s(n+2) = s(n) + s(n+1) en forma que aparezcan diferencias: 0)n(s)n(s)n(s *** =−+ . Por lo tanto la sucesión de Fibonacci es la raíz de la ecuación en diferencias

0)n(s)n(s)n(s *** =−+ que cumple s(1) = 1 y s(2) =1.

La ecuación característica de esa ecuación es 01)1()1( 2 =−−λ+−λ , cuyas

raíces son 2

51+=α y

251−

=β (dos raíces no nulas).

En consecuencia, n2

n1 kk)n(s β+α= . Para determinar k1 y k2 tenemos en

cuenta que s(1) = 1 y s(2) = 1. O sea, ⎪⎩

⎪⎨⎧

=β+α

=β+α

1kk

1kk

22

12

21 .

Al resolver el sistema anterior obtenemos 51k1 = y

51k2 −= (sin duda

hicimos los cálculos necesarios para llegar a esos valores).

En resumen, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

nn

251

251

51)n(s .

Es sorprendente que la impactante fórmula anterior conduzca a los simpáticos términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (observa lo fácil que es llegar a s(10) = 55 con la fórmula de recurrencia y lo complicado que sería obtener ese número con la fórmula determinada al resolver la ecuación en diferencias). Ejercicio 143 Resuelve las siguientes ecuaciones y de cada una de ellas encuentra la raíz y3 tal que y3(1) = 1 e y3(2) = 0: 1) 0)n(y15)n(y2)n(y *** =−− 2) 0)n(y4)n(y4)n(y *** =++

3) 0)n(y7)n(y)n(y *** =+− 4) 0)n(y5)n(y6)n(y *** =++

5) 0)n(y)n(y2)n(y *** =++ 6) 0)n(y10)n(y2)n(y *** =++ Ejercicio 144 1) Resuelve la ecuación n)n(y ** = .

2) Resuelve la ecuación n)n(y)n(y *** =+ sabiendo que tiene una raíz del tipo

nn)n(y 2 β+α= .

3) Resuelve la ecuación n)n(y)n(y)n(y *** =++ sabiendo que tiene una raíz del tipo β+α= n)n(y .

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326

Ejercicio 145 1) Considera la ecuación en diferencias n** r)n(yb)n(*ya)n(y =++ (a, b y r

son reales, con r ≠ 0) y la ecuación característica de la correspondiente ecuación homogénea. Prueba que: ♦ Si r no es raíz de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación en diferencias del tipo nr)n(y α= . ♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación en diferencias del tipo 1nrn)n(y −α= . ♦ Si r es raíz doble de la ecuación característica, entonces una raíz de la

ecuación en diferencias es 2n)2(

r2

n)n(y −= .

2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 2.1) n** )2()n(y9)n(y −=− 2.2) n** 3)n(y5)n(*y4)n(y =++

2.3) n** 4)n(y9)n(*y6)n(y =+− Nota : Para resolver la primera parte de este ejercicio te sugerimos que utilices lo que hicimos al principio del apartado 4.2 para comprobar que si

)n(zr)n(y n= ( con r ≠ 0), entonces se cumple que:

y(n) verifica la ecuación n** r)n(yb)n(*ya)n(y =++ si y sólo si z(n) satisface la

ecuación 1)n(z)b)1r(a)1r(()n(*z)a)1r(2(r)n(zr 2**2 =+−+−++−+ . Ejercicio 146 1) Considera la ecuación en diferencias n** rn)n(yb)n(*ya)n(y =++ (a, b y r

son reales, con r ≠ 0) y la ecuación característica de la correspondiente ecuación homogénea. Prueba que: ♦ Si r no es raíz de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación en diferencias del tipo nr)n()n(y β+α= . ♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación en diferencias del tipo 1n2 r)nn()n(y −β+α= . ♦ Si r es raíz doble de la ecuación característica, entonces una raíz de la

ecuación en diferencias es 2n)3(

r6

n)n(y −= .

2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 2.1) n*** )1(n)n(y3)n(y3)n(y −=++ 2.2) n** 2n)n(y)n(*y2)n(y =+−

2.3) n** 4n)n(y3)n(*y4)n(y =+−

Nota : En la primera parte de este ejercicio ten en cuenta que si )n(zr)n(y n= , (con r ≠ 0), entonces se cumple que:

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327

y(n) verifica la ecuación n** rn)n(yb)n(*ya)n(y =++ si y sólo si z(n) satisface

la ecuación .n)n(z)b)1r(a)1r(()n(*z)a)1r(2(r)n(zr 2**2 =+−+−++−+ Ejercicio 147 Transforma cada una de las siguientes ecuaciones en una ecuación en diferencias y resuélvelas: 1) n)n(y2)1n(y)2n(y =−+++ 2) n2n)n(y4)1n(y2)2n(y =++++ Ejercicio 148 Enuncia, para las ecuaciones en diferencias lineales de orden dos, un teorema similar al del ejercicio 141 y utilízalo para resolver la siguiente ecuación:

nn** 3n42.5)n(y2)n(*y3)n(y −=+− . Ejercicio 149

Sea s la sucesión definida así:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥++

+=+

==

1nsi)1n(s3)n(s2

)1n(s)n(s)2n(s

2)2(s1)1(s

.

Considera la sucesión t tal que )n(s

1)n(t = (es claro que s(n) > 0 ∀ n).

1) Halla la fórmula de recurrencia que define a la sucesión t. 2) Encuentra una fórmula más simple tanto para t(n) como para s(n).

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ecuaciones diferenciales ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

329

CAPITULO 17 – ECUACIONES DIFERENCIALES 1 – INTRODUCCION Después de lo que hemos visto en el capítulo anterior, resulta interesante que nos ocupemos de otro tema, el de las ecuaciones diferenciales, donde aparecen resultados muy parecidos a los de las ecuaciones en diferencias. Lo que sigue es una introducción a ese tema pues sólo analizaremos algunas de esas ecuaciones, siendo aún menos pretenciosos que en las ecuaciones en diferencias (no nos preocuparemos por teoremas sobre la existencia de raíces de ecuaciones diferenciales, similares a los teoremas 71 y 74). 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES Nuestro objetivo es hallar todas las funciones reales de una variable real que cumplen con una cierta condición en un conjunto C (C es un intervalo abierto, una semirrecta abierta o toda la recta). La condición se expresa mediante una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparece al menos una derivada de la incógnita. A la función incógnita la representaremos casi siempre con y o con z. Los siguientes son ejemplos de problemas con ecuaciones diferenciales: 1) Encontrar las funciones y tales que y ‘(x) + y(x) = 0 ∀ x ∈ R.

O, en forma más breve, resolver la ecuación y ‘(x) + y(x) = 0 ∀ x ∈ R. 2) Resolver la ecuación y ‘(x) + y(x) = x ∀ x ∈ R. 3) Resolver la ecuación y ‘(x) + x y(x) = L(x) ∀ x > 0. 4) Resolver la ecuación y ‘’(x) + y ‘(x) - 2y(x) = 0 ∀ x ∈ R. 5) Resolver la ecuación y ‘’(x) + y ‘(x) - 2y(x) = 3x – 1 ∀ x ∈ R. 6) Resolver la ecuación y ‘’(x) – y(x) = 2x – 3 ∀ x ∈ R. 7) Resolver la ecuación y ‘’(x) + y ‘(x)y(x) = 4x ∀ x ∈ R. En cada uno de los tres primeros ejemplos diremos que la ecuación es de orden uno (y ‘ está en la ecuación y en ella no hay derivadas de orden mayor que uno) y en cada uno de los cuatro últimos que es de orden dos (y ‘’ está en la ecuación y en ella no hay derivadas de orden mayor que dos). Ya hemos adelantado que nos limitaremos a estudiar algunos tipos de ecuaciones diferenciales, los cuales son: Ecuaciones diferenciales lineales de orden uno

)x(v)x(y)x(u)x('y =+ donde y es la función incógnita, u y v son funciones conocidas y x ∈ C.

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330

Ecuaciones diferenciales lineales de orden dos )x(w)x(y)x(v)x('y)x(u)x(y '' =++ donde y es la función incógnita, u, v y w son

funciones conocidas y x ∈ C. 3 – ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN UNO En el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de orden uno es útil, tanto teórica como prácticamente, que hagamos una distinción entre lo que llamaremos ecuación homogénea y ecuación no homogénea. Ecuación homogénea (H) 0)x(y)x(u)x('y =+ ∀ x ∈ C. y es la función incógnita y u es una función conocida. Ecuación no homogénea (NH) )x(v)x(y)x(u)x('y =+ ∀ x ∈ C. y es la función incógnita y u y v son funciones conocidas tales que v no es la función nula en C. Comenzaremos trabajando con esas ecuaciones en general, o sea cualesquiera sean las funciones u y v, y luego nos ocuparemos de la ecuación homogénea en el caso que la función u es constante. 3.1 – Ecuación diferencial lineal de orden uno Teorema 76 – Propiedades de las raíces de una ecuación diferencial lineal de orden uno Sean las ecuaciones (H) 0)x(y)x(u)x('y =+ ∀ x ∈ C.

(NH) )x(v)x(y)x(u)x('y =+ ∀ x ∈ C. Entonces: 1) Producto de una constante por una raíz de (H) Si y1 es una raíz de (H) y k ∈ R entonces ky1 es una raíz de (H). 2) Suma de dos raíces de (H) Si y1 e y2 son raíces de (H) entonces y1 + y2 es una raíz de (H). 3) Suma de una raíz de (H) y una raíz de (NH) Si y1 es una raíz de (H) y z1 es una raíz de (NH) entonces y1 + z1 es una raíz de (NH). 4) Resta de dos raíces de (NH) Si z1 y z2 son raíces de (NH) entonces z2 – z1 es una raíz de (H). No detallaremos la demostración de este teorema pues es similar a la del teorema 70, pero sí reiteraremos algunas de sus consecuencias.

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331

Las dos primeras partes del teorema anterior nos proporcionan un método para encontrar raíces de la ecuación homogénea a partir de una o de dos raíces de esa ecuación: ♦ Si tenemos una raíz y1 de la ecuación homogénea resulta que ky1 es raíz de esa ecuación cualquiera sea el número k. ♦ Si tenemos dos raíces y1 e y2 de la ecuación homogénea resulta que y1 + y2 es raíz de esa ecuación. En cuanto a las dos últimas partes de ese teorema, ellas nos indican que: ♦ La suma de una raíz de la ecuación homogénea y una raíz de la ecuación no homogénea es una raíz de la ecuación no homogénea. ♦ Si tenemos una raíz z1 de la ecuación no homogénea, cualquier otra raíz z2 de esa ecuación se puede escribir como la suma de z1 y una raíz de la ecuación homogénea. En efecto, z2 = z1 + (z2 – z1) y z2 – z1 es raíz de la ecuación homogénea. La importancia práctica de los dos puntos anteriores es indudable: para resolver la ecuación diferencial lineal de orden uno no homogénea alcanza con resolver la homogénea y encontrar sólo una raíz de la no homogénea. Ejemplo 88 – Resolución de la ecuación y ‘(x) – y(x) = x ∀ x ∈ R 1) Comenzaremos resolviendo la ecuación y ‘(x) – y(x) = 0 ∀ x ∈ R (♣). Una raíz de esa ecuación es x

1 e)x(y = pues ya sabemos que x1 e)x('y = y

por lo tanto 0)x(y)x('y 11 =− . A continuación veremos que cualquier raíz de (♣) es proporcional a 1y . Sea y una raíz de (♣). Definamos xe)x(y)x(h −= y observemos que 0e)x(ye)x('y)x('h xx =−= −− cualquiera sea x. Por lo tanto h es una función constante, o sea k)x(h = ∀ x.

En consecuencia xe)x(yk −= , de donde xek)x(y = .

En resumen, las raíces de (♣) son las funciones y tales que xek)x(y = (k es un número real cualquiera). 2) Y ahora vayamos tras una raíz de la ecuación y ‘(x) – y(x) = x ∀ x. Busquemos una raíz de la forma y(x) = ax + b donde a y b son números que queremos determinar. Para una tal y(x) tenemos que y ‘(x) = a, por lo que y ‘(x) – y(x) = -ax + a – b. Como nos interesa que –ax + a – b = x ∀ x, tenemos que a = -1 y b = -1. En resumen: z1(x) = – x – 1 es una raíz de la ecuación y ‘(x) – y(x) = x. A esta altura podemos concluir que hemos hallado todas las raíces de la ecuación y ‘(x) – y(x) = x. Ellas son las funciones y tales que 1xek)x(y x −−= donde k es un número real cualquiera.

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332

O sea, y ‘(x) – y(x) = x ⇔ 1xek)x(y x −−= con k ∈ R. Sin duda resulta instructivo comparar lo anterior con el ejemplo 84. Teorema 77 – Raíces de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden uno Sean: La ecuación (H) 0)x(y)x(u)x('y =+ ∀ x ∈ C. y1 una raíz de (H) que cumple y1(x) ≠ 0 ∀ x ∈ C. Si y2 es otra raíz de (H), entonces existe k ∈ R tal que y2(x) = ky1(x) ∀ x ∈ C (la función y2 es proporcional a la función y1 en C). Demostración

Consideremos la función h tal que )x(y)x(y)x(h

1

2= ∀ x ∈ C (la idea es la misma

que desarrollamos en la primera parte del ejemplo anterior). Queremos probar que h es constante y para ello calcularemos h ‘.

21

2112

)y(y'yy'y'h −

= .

Como y1 es raíz de la ecuación (H) se cumple que Oyu'y 11 =+ en C. Análogamente Oyu'y 22 =+ en C. Por lo tanto O)yu'y(y)yu'y(y 221112 =+−+ , o sea O'yy'yy 2112 =− . Lo anterior implica que la derivada de h es nula en C y en consecuencia h es constante. El teorema anterior tiene una aplicación práctica importante: para resolver la ecuación diferencial lineal homogénea de orden uno alcanza con hallar una raíz y1 de esa ecuación tal que y1(x) ≠ 0 (cualquier otra raíz es proporcional a y1). Ejercicio 150 (compara con el ejercicio 135) En cada uno de las partes de este ejercicio se da una ecuación diferencial lineal no homogénea de orden uno y dos funciones, y1 y z1. Prueba que y1 es raíz de la correspondiente ecuación homogénea, que z1 es raíz de la no homogénea, halla todas las raíces de la ecuación no homogénea y selecciona entre ellas la función y3 tal que y3(1) = 2.

1) x)x(yx)x('y =− ∀ x ; 2x

1

2

e)x(y = ; 1)x(z1 −=

2) x)x(yx1)x('y =− ∀ x > 0 ; x)x(y1 = ; )1x(x)x(z1 −=

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333

3) 2x)x(y)1x()x('y =++ ∀ x ; x

2x

1

2

e)x(y−−

= ; 1x)x(z1 −= Ejercicio 151 La ecuación 2x)x(yx)x('y =− ∀ x no puede resolverse con las funciones que conocemos. Sin embargo esa ecuación tiene infinitas raíces y una de ellas cumple y(0) = 0. Encuentra el polinomio de Mac Laurin de orden cinco de esa función (ten en cuenta que 2x)x(yx)x('y += ∀ x) 3.2 – Ecuación diferencial lineal homogénea de orden uno y coeficiente constante En este apartado resolveremos un caso particular de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden uno, aquél en el cual el coeficiente de la función incógnita es constante. Nos referimos a la ecuación y ‘(x) + a y(x) = 0 ∀ x. Ya sabemos que para resolver esa ecuación nos alcanza con encontrar una raíz y1 que cumpla y1(x) ≠ 0 ∀ x. Busquemos una raíz de la forma x

1 e)x(y λ= (es claro que y1(x) ≠ 0 ∀ x) .

y1 ‘(x) + a y1(x) = 0 ∀ x ⇔ 0eae xx =+λ λλ ∀ x ⇔ λ = - a Por lo tanto las raíces de la ecuación y ‘(x) + a y(x) = 0 ∀ x son las funciones y tales que xaek)x(y −= donde k es un número real cualquiera.

Ecuación diferencial: y ‘(x) + a y(x) = 0 con a ∈ R

Solución: Funciones y tales que xaek)x(y −= (k ∈ R) Ejemplo 89 – Una ecuación diferencial lineal de orden uno Resolveremos la ecuación xex)x(y2)x('y =+ 1) Comenzamos con la ecuación 0)x(y2)x('y =+ . Estamos ante una ecuación del tipo 0)x(ya)x('y =+ . En este caso a = 2.

Por lo tanto sus raíces son las funciones y tales que x2ek)x(y −= con k ∈ R.

2) Y ahora procuremos hallar una raíz de la ecuación xex)x(y2)x('y =+ .

Busquemos una raíz de la forma xe)x()x(y β+α= (α y β son números que queremos determinar).

xxx e)x(e)x(e)x('y β+α+α=β+α+α=

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334

xxx e)3x3(e)2x2(e)x()x(y2)x('y β+α+α=β+α+β+α+α=+

Como nos interesa que xex)x(y2)x('y =+ , exigimos que ⎩⎨⎧

=β+α=α

0313

.

En consecuencia 31

=α y 91

−=β .

Hemos encontrado una raíz de la ecuación xex)x(y2)x('y =+ : la función z1

tal que xx1 e

91x3e

91x

31)x(z −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= .

En consecuencia, la solución de la ecuación xex)x(y2)x('y =+ está formada

por las funciones y tales que xx2 e9

1x3ek)x(y −+= − con k ∈ R.

Ejercicio 152 (compara con el ejercicio 137) Resuelve las siguientes ecuaciones en R (ten en cuenta que cada una de ellas tiene una raíz del tipo β+α= x)x(y ) y de cada una de esas ecuaciones encuentra la raíz y3 tal que y3(1) = 1: 1) 1)x(y3)x('y =+ 2) x)x(y3)x('y =+ 3) 1)x(y4)x('y =− 4) x)x(y4)x('y =− 5) 1)x(y)x('y =+ 6) x)x(y)x('y =+ Ejercicio 153 (compara con el ejercicio 138) 1) Considera la ecuación xre)x(ya)x('y =+ (a, r ∈ R). Prueba que:

♦ Si r ≠ – a entonces existe una raíz del tipo xre)x(y α= .

♦ Si r = – a entonces una raíz es xrex)x(y = . 2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

2.1) x2e)x(y3)x('y =+ 2.2) x3e)x(y3)x('y −=+

2.3) x3e)x(y4)x('y =− 2.4) x4e)x(y4)x('y =− Ejercicio 154 (compara con el ejercicio 139) 1) Considera la ecuación xrex)x(ya)x('y =+ (a, r ∈ R). Prueba que:

♦ Si r ≠ – a entonces existe una raíz del tipo xre)x()x(y β+α= .

♦ Si r = – a entonces una raíz es xr2

e2

x)x(y = .

2) Resuelve las siguientes ecuaciones 2.1) x2ex)x(y3)x('y =+ 2.2) x3ex)x(y3)x('y −=+

2.3) x3ex)x(y4)x('y =− 2.4) x4ex)x(y4)x('y =−

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


335

Ejercicio 155 (compara con el ejercicio 141) Hay un teorema sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden uno que establece lo siguiente: ♦ Si y1 es una raíz de la ecuación )x(v)x(y)x(u)x('y =+ y c es un número real, entonces cy1 es una raíz de la ecuación )x(vc)x(y)x(u)x('y =+ . Se supone que u y v son funciones conocidas. ♦ Si y1 es una raíz de la ecuación )x(v)x(y)x(u)x('y 1=+ e y2 es una raíz de la ecuación )x(v)x(y)x(u)x('y 2=+ , entonces y1 + y2 es una raíz de la ecuación )x(v)x(v)x(y)x(u)x('y 21 +=+ . Se supone que u, v1 y v2 son funciones conocidas. Demuestra ese teorema y úsalo para resolver la siguiente ecuación:

xx2 ex5e.3x4)x(y)x('y +−=− . 4 – ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN DOS En esta sección trabajaremos de la misma manera que en la sección anterior. En consecuencia distinguiremos entre: Ecuación homogénea (H) 0)x(y)x(v)x('y)x(u)x(''y =++ ∀ x ∈ C. y es la función incógnita y u y v son funciones conocidas. Ecuación no homogénea (NH) )x(w)x(y)x(v)x('y)x(u)x(''y =++ ∀ x ∈ C. y es la función incógnita y u, v y w son funciones conocidas tales que w no es la función nula en C. 4.1 – Ecuación diferencial lineal de orden dos En el apartado 3.1 vimos dos teoremas sobre una ecuación diferencial lineal de orden uno. Aquí trataremos otros dos para la de orden dos.

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336

Teorema 78 – Propiedades de las raíces de una ecuación diferencial lineal de orden dos Sean las ecuaciones (H) 0)x(y)x(v)x('y)x(u)x(''y =++ ∀ x ∈ C. (NH) )x(w)x(y)x(v)x('y)x(u)x(''y =++ ∀ x ∈ C. Entonces: 1) Producto de una constante por una raíz de (H) Si y1 es una raíz de (H) y k ∈ R entonces ky1 es una raíz de (H). 2) Suma de dos raíces de (H) Si y1 e y2 son raíces de (H) entonces y1 + y2 es una raíz de (H). 3) Suma de una raíz de (H) y una raíz de (NH) Si y1 es una raíz de (H) y z1 es una raíz de (NH) entonces y1 + z1 es una raíz de (NH). 4) Resta de dos raíces de (NH) Si z1 y z2 son raíces de (NH) entonces z2 – z1 es una raíz de (H). No detallaremos la demostración de este teorema, ya que es similar a la del teorema 76, ni reiteraremos los comentarios que allí hicimos. Teorema 79 – Raíces de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos Sean: La ecuación (H) 0)x(y)x(v)x('y)x(u)x(''y =++ ∀ x ∈ C. y1 e y2 raíces de (H) que cumplen

⎩⎨⎧

∈∀≠−

∈∀≠

Cx0)x(y)x('y)x(y)x('yCx0)x(y

1221

1

Si y3 es otra raíz de (H), entonces existen k1, k2 ∈ R tales que y3(x) = k1y1(x) + k2y2(x) ∀ x ∈ C (la función y3 es combinación lineal de y1 e y2) Demostración Con una idea similar a la de la demostración del teorema 77, consideremos la

función h tal que )x(y)x(y)x(h

1= ∀ x ∈ C, donde y es raíz de (H).

Como 1y

yh = tenemos que 1yhy = y por lo tanto:

'yhy'h'y 11 += ''yh'y'h2y''h''y 111 ++=

Debido a que y es raíz de (H) resulta que Oyv'yu''y =++ . O sea, Oyhv)'yhy'h(u)''yh'y'h2y''h( 111111 =+++++ . Lo anterior es lo mismo que O)yv'yu''y(h)yu'y2('hy''h 111111 =+++++ . Puesto que 1y es raíz de (H) nos queda que O)yu'y2('hy''h 111 =++ .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


337

Y terminando con las cuentas llegamos a que O'hy

yu'y2''h1

11 =+

+ (♦). Esto

es una ecuación diferencial lineal homogénea de orden uno con incógnita 'h .

De la ecuación (♦) conocemos dos raíces, '

1

2yy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛e

'

1

3yy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, ya que tanto 2y

como 3y son raíces de (H).

Observemos además que O)y(

y'yy'yyy

21

2112'

1

2 ≠−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ en C.

Gracias al teorema 77 concluimos que '

1

3yy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

'

1

2yyk ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ en C.

Tenemos pues que las funciones 1

3yy

y 1

2yyk tienen la misma derivada, por lo

cual cyyk

yy

1

2

1

3 += (recordamos el teorema 24).

Al despejar 3y de la igualdad anterior tenemos que 123 ycyky += , con lo cual llegamos al resultado que estábamos buscando. Para terminar, notemos que a la condición Oy'yy'y 1221 ≠− la podemos

llamar la condición del determinante pues 22

111221 y'y

y'yy'yy'y =− .

El teorema anterior tiene una utilidad práctica importante: para resolver la ecuación en diferencias lineal homogénea de orden dos alcanza con hallar dos raíces y1 e y2 de esa ecuación que en C cumplan la condición del determinante e y1(x) ≠ 0 (cualquier otra raíz y es del tipo y(x) = k1y1(x) + k2y2(x), donde k1 y k2 son números reales). Ejemplo 90 – Dos ecuaciones diferenciales lineales de orden dos Primera parte – La ecuación 0)x(y2)x('y3)x(''y =+− Busquemos raíces del tipo xe)x(y λ= .

Como xe)x('y λλ= e x2 e)x(''y λλ= tenemos que x2 e)23()x(y2)x('y3)x(''y λ+λ−λ=+− .

Ya que nos interesa que 0)x(y2)x('y3)x(''y =+− , exigimos que

0232 =+λ−λ . O sea, 1=λ y 2=λ .

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338

Hemos encontrado dos raíces de la ecuación: x1 e)x(y = e x2

2 e)x(y = . Es claro que y1(x) ≠ 0 ∀ x. Veamos si 1y e 2y cumplen la condición del determinante:

0eee2

ee)x(y)x('y)x(y)x('y x3

x2x2

xx

22

11 ≠−== ∀ x.

Con lo hecho hasta aquí tenemos todo lo necesario para afirmar que hemos resuelto la ecuación 0)x(y2)x('y3)x(''y =+− . Su solución está formada por

las funciones y tales que x22

x1 ekek)x(y += , donde k1 y k2 son números

reales. Segunda parte – La ecuación x4)x(y2)x('y3)x(''y =+− Debido a que en la parte anterior nos hemos ocupado de la ecuación homogénea correspondiente a la que ahora nos interesa, sólo nos resta hallar una raíz de la ecuación x4)x(y2)x('y3)x(''y =+− . Planteemos β+α= x)x(y , con lo cual α=)x('y e 0)x(''y = .

x432x2)x(y2)x('y3)x(''y =α−β+α=+− ⇔ α = 2, β = 3 Obtuvimos una raíz de la ecuación x4)x(y2)x('y3)x(''y =+− , la función z1 tal que 3x2)x(z1 += . Concluimos que las raíces de la ecuación x4)x(y2)x('y3)x(''y =+− son las

funciones y tales que 3x2ekek)x(y x22

x1 +++= con k1, k2 ∈ R.

4.2 – Ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos y coeficientes constantes Ahora trabajaremos con un caso particular de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos, aquél en el cual los coeficientes de la ecuación son constantes. Nos referimos a la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ ∀ x ∈ C, donde a y b son números reales. La resolución de esa ecuación requiere encontrar dos raíces, y1 e y2, que cumplan en C la condición del determinante e y1(x) ≠ 0. El camino que recorreremos con ese fin es algo más corto que el de las ecuaciones en diferencias. Buscaremos raíces del tipo )x(ze)x(y xλ= , donde z es una función.

Si )x(ze)x(y xλ= tenemos que:

))x('z)x(z(e)x('ze)x(ze)x('y xxx +λ=+λ= λλλ

))x(''z)x('z2)x(z(e))x(''z)x('z(e))x('z)x(z(e)x(''y 2xxx +λ+λ=+λ++λλ= λλλ

Atentos a las tres igualdades anteriores, la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++

nos queda asÍ (no anotamos el factor xeλ pues es distinto de 0):

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


339

0)x(zb)x('za)x(za)x(''z)x('z2)x(z2 =++λ++λ+λ

0)x(z)ba()x('z)a2()x(''z 2 =+λ+λ++λ+ (1) La ecuación (1), cuya incógnita es la función z, parece más complicada que la ecuación de la que partimos. Procuremos que no lo sea. Para ello, observemos el coeficiente de z(x): ba2 +λ+λ . Si pudiéramos elegir λ tal que ese coeficiente fuera 0, la situación mejoraría. Ello motiva que debamos preocuparnos por distintas situaciones. 1) La ecuación 0ba2 =+λ+λ tiene dos raíces ( b4a2 > )

Sean α y β las raíces de esa ecuación. Si elegimos λ = α la ecuación (1) nos queda así: 0)x('z)a2()x(''z =+α+ .

Una raíz de esa ecuación es z(x) = 1, por lo que x1 e)x(y α= es una raíz de

la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ .

Análogamente, x2 e)x(y β= es otra raíz de esa ecuación.

y1(x) ≠ 0 ∀ x e y1 e y2 cumplen la condición del determinante pues

0e)(eeee

)x(y)x('y)x(y)x('y x)(

xx

xx

22

11 ≠β−α=βα= β+α

ββ

αα ∀ x pues β≠α .

Por lo tanto las raíces de la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ son las

funciones y tales que x2

x1 ekek)x(y βα += con k1, k2 ∈ R.

2) La ecuación 0ba2 =+λ+λ tiene una raíz ( b4a2 = )

En este caso, la única raíz de esa ecuación es 2a

−=α .

Si elegimos λ = α la ecuación (1) queda así: 0)x(''z = . Dos raíces de esa ecuación son z(x) = 1 y z(x) = x. En consecuencia, las funciones y1 e y2 tales que x

1 e)x(y α= e xe)x(y x2

α= son raíces de la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ . y1(x) ≠ 0 ∀ x e y1 e y2 cumplen la condición del determinante pues

0eexe)x1(ee

)x(y)x('y)x(y)x('y x2

xx

xx

22

11 ≠−=α+α= α

αα

αα ∀ x.

Tenemos pues que las raíces de la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ son

las funciones y tales que x2

x1 exkek)x(y αα += con k1, k2 ∈ R.

3) La ecuación 0ba2 =+λ+λ no tiene raíces ( b4a2 < ) En este caso no podemos elegir λ de modo que el coeficiente de z(x) en la ecuación (1) sea cero.

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340

Traslademos nuestra atención al coeficiente de )x('z , el cual es a2 +λ .

Ese coeficiente es cero si 2a

−=λ .

Al elegir 2a

−=λ la ecuación (1) queda 0)x(z4

ab4)x(''z2

=−

+ .

Llegamos a una ecuación del tipo 0)x(zp)x(''z =+ , donde p es un número positivo, de la cual nos ocuparemos a continuación. Planteemos )xcos()x(z1 ϕ= y hallemos ϕ de modo que z1 sea raíz de la ecuación 0)x(zp)x(''z =+ .

Puesto que )x(sen)x('z1 ϕϕ−= y )xcos()x(''z 21 ϕϕ−= , estamos

interesados en que 0)xcos(p)xcos(2 =ϕ+ϕϕ− . Ello se cumple si p2 =ϕ . Debido a ello elegimos, por ejemplo, p=ϕ (recordemos que p es positivo). En resumen, la función z1 definida por )xcos()x(z1 ϕ= , donde p=ϕ , es una raíz de la ecuación 0)x(zp)x(''z =+ con p ∈ R+. Análogamente puede probarse que )x(sen)x(z2 ϕ= , con p=ϕ , es otra raíz de la misma ecuación. Tenemos pues que las funciones y1 e y2 tales que )xcos(e)x(y x

1 ϕ= λ e

)x(sene)x(y x2 ϕ= λ , con

2a

−=λ y p=ϕ , son raíces de la ecuación

0)x(yb)x('ya)x(''y =++ . Además y1 e y2 cumplen la condición del determinante. En efecto:

0e)x(sene))xcos()x(sen(e)xcos(e))x(sen)xcos((e

)x(y)x('y)x(y)x('y x2

xx

xx

22

11 ≠ϕ−=ϕϕϕ+ϕλϕϕϕ−ϕλ= λ

λλ

λλ

cualquiera sea x (recordemos que 0>ϕ ). En cuanto a la condición y1(x) ≠ 0 ∀ x ∈ C, ella se cumple en aquellos C donde no se anula )xcos(ϕ . Allí las raíces de la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ son las y tales que

)x(senek)xcos(ek)x(y x2

x1 ϕ+ϕ= λλ con k1, k2 ∈ R (en realidad ello es

cierto en cualquier C, cosa que te pedimos que aceptes).

Para finalizar, resulta interesante destacar que en la resolución de la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ tuvo un rol básico la ecuación 0ba2 =+λ+λ ,

llamada ecuación característica de la ecuación 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ . Y ahora presentamos un resumen de todo lo que aquí hemos hecho (más simple que en el caso de las ecuaciones en diferencias).

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341

Ecuación diferencial: 0)x(yb)x('ya)x(''y =++ (a, b ∈ R)

Ecuación característica: 0ba2 =+λ+λ

Caso 1 : La ecuación característica tiene dos raíces, α y β. Solución: x

2x

1 ekek)x(y βα += (k1, k2 ∈ R) Caso 2 : La ecuación característica tiene sólo una raíz α. Solución: x

2x

1 exkek)x(y αα += (k1, k2 ∈ R) Caso 3 : La ecuación característica no tiene raíces.

Solución: )x(senek)xcos(ek)x(y x2

x1 ϕ+ϕ= λλ con

2a

−=λ y 2

ab4 2−=ϕ

(k1, k2 ∈ R) Ejercicio 156 (compara con el ejercicio 143) Resuelve las siguientes ecuaciones y de cada una de ellas encuentra la raíz y3 tal que y3(1) = 1 e y3(2) = 0: 1) 0)x(y15)x('y2)x(''y =−− 2) 0)x(y4)x('y4)x(''y =++ 3) 0)x(y25,4)x('y)x(''y =+− 4) 0)x(y5)x('y6)x(''y =++ 5) 0)x(y)x('y2)x(''y =++ 6) 0)x(y10)x('y2)x(''y =++ Ejercicio 157 (compara con el ejercicio 144) 1) Resuelve la ecuación x)x(''y = . 2) Resuelve la ecuación x)x('y)x(''y =+ sabiendo que tiene una raíz del tipo

xx)x(y 2 β+α= . 3) Resuelve la ecuación x)x(y)x('y)x(''y =++ sabiendo que tiene una raíz

del tipo β+α= x)x(y . Ejercicio 158 (compara con el ejercicio 145) 1) Considera la ecuación diferencial xre)x(yb)x('ya)x(''y =++ (a, b, r ∈ R) y

la ecuación característica de la correspondiente ecuación homogénea. Prueba que: ♦ Si r no es raíz de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación diferencial del tipo xrek)x(y = . ♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación diferencial del tipo xrexk)x(y = .

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342

♦ Si r es raíz doble de la ecuación característica, entonces una raíz de la

ecuación diferencial es xr2

e2

x)x(y = .

2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 2.1) x3e)x(y9)x(''y −=− 2.2) x2e)x(y5)x('y4)x(''y =++

2.3) x3e)x(y9)x('y6)x(''y =+− Ejercicio 159 (compara con el ejercicio 146) 1) Considera la ecuación diferencial xrex)x(yb)x('ya)x(''y =++ (a, b, r ∈ R)

y la ecuación característica de la correspondiente ecuación homogénea. Prueba que: ♦ Si r no es raíz de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación diferencial del tipo xre)x()x(y β+α= . ♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces existe una raíz de la ecuación diferencial del tipo xr2 e)xx()x(y β+α= . ♦ Si r es raíz doble de la ecuación característica, entonces una raíz de la

ecuación diferencial es xr3

e6

x)x(y = .

2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 2.1) x2ex)x(y3)x('y3)x(''y −=++ 2.2) xex)x(y)x('y2)x(''y =+−

2.3) x3ex)x(y3)x('y4)x(''y =+− Ejercicio 160 (compara con el ejercicio 148) Enuncia, para las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos, un teorema similar al del ejercicio 155 y utilízalo para resolver la siguiente ecuación:

x2x ex4e5)x(y2)x('y3)x(''y −=+− .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Cinco aplicaciones ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

343

APENDICE – CINCO APLICACIONES 1 – INTRODUCCION La matemática participa, directa o indirectamente, con mayor o menor fuerza, en todos los ámbitos del conocimiento humano. Son múltiples los problemas concretos cuya resolución requiere el apoyo de instrumentos matemáticos. Aún no hemos presentado ninguna aplicación de la teoría que hemos desarrollado y ha llegado el momento de hacerlo. Nos limitaremos a plantear y resolver tres problemas que, así lo creemos, son sencillos e interesantes: El problema de la lata de cerveza.

Este problema nos llevará a determinar el mínimo de una función. El problema del galpón.

En este caso hallaremos el máximo de una función. El problema del inversionista.

Aquí calcularemos la menor cota superior de una sucesión creciente. 2 – EL PROBLEMA DE LA LATA DE CERVEZA Flavio trabaja en el departamento de producción de una importante empresa de la industria de la bebida. Hace ya un tiempo está preocupado por el costo de las latas de una de las marcas de cerveza que comercializa la empresa. Cada una de esas latas es cilíndrica y debe contener un cuarto litro de cerveza. Se ha dado cuenta que con distintas longitudes para el diámetro de la base de las latas y para sus alturas puede satisfacer la condición de que su contenido sea 250 cm3. Está interesado en determinar la lata óptima, entendiendo por tal aquélla cuya superficie total es mínima, ya que ella podrá fabricarse con la menor cantidad de material. Una compañera de trabajo le informa que ha leído que ello se logra cuando el diámetro de la base de la lata es igual a su altura. Flavio, claro está, desea estar seguro de un hecho tan notable.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


344

Si V es el volumen de la lata (a Flavio le interesa V = 250 cm3), r es el radio de su base y h es su altura, debemos hallar r y h de modo que la lata tenga un volumen V y su superficie total sea mínima. El volumen de la lata es el producto de la superficie de su base y de su altura, por lo que hπrV 2= . La superficie total de la lata es la suma de la superficie de la base, la superficie de la tapa (que es igual a la de la base) y la superficie lateral (ésta es la superficie de un rectángulo cuyos lados son la altura de la lata y la longitud de su base). En consecuencia, si representamos mediante ST la superficie total de la lata, resulta que hrπ2πr2ST 2 += . En esa fórmula tenemos que ST está expresada según r y h. Podemos llegar a una expresión de ST en la que esté sólo r pues hπrV 2= . En efecto:

hπrV 2= ⇒ πr

Vh 2= ⇒ rV2πr2

πrVrπ2πr2ST 22

2 +=+= .

En resumen, Flavio está interesado en el mínimo de la función f : R+ → R tal

que rV2πr2)r(f 2 += .

2

3

2 rV2πr4

rV2πr4)r('f −=−= .

0)r('f = ⇔ Vπr2 3 = ⇔ π2

Vr3 = ⇔ 3π2

Vr = .

-------------------------- 0 +++++++++++ (....... ..................... ....|......................... signo de )r('f30 π2

Vr = 0 r0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


345

Como f es decreciente en el intervalo (0,r0] y creciente en la semirrecta [r0,+∞ ) concluimos que f(r0) es el mínimo de f y que r0 es el valor del radio de la base de la lata para el cual su superficie total es mínima. Notemos, además, que al ser hπrV 2

0= y Vπr2 30 = resulta que hπrπr2 2

030 = , o sea hr2 0 = (es

cierta, en consecuencia, la afirmación de la compañera de Flavio). Si consideramos el volumen de la lata que le interesa a Flavio, V = 250 cm3, tenemos que:

cm4,3π2

250r 30 ≅= .

Este es el radio de la base de la lata óptima.

2

000

30

0

200 cm220

r750

rV3

rV2πr2

rV2πr2)r(f ≅==

+=+= .

Esta es la superficie total de la lata óptima. Para finalizar destaquemos algo más de nuestra función f.

Como rV2πr2)r(f 2 += resulta que +∞=

+→)r(flim

0r y que +∞=

+∞→)r(flim

r. Esto nos

lleva a afirmar algo que sin duda es impactante: para cada cantidad de material que tengamos para fabricar una lata cuyo contenido sea 250 cm3, existe algún radio para su base tal que es imposible esa fabricación (ese radio puede elegirse tanto “chico” como “grande”). 3 – EL PROBLEMA DEL GALPON Gonzalo es el capataz de un establecimiento agropecuario. Hace unos días está preocupado por la construcción de un galpón rectangular en un terreno que tiene la forma del trapecio del próximo dibujo. Desea que el galpón tenga la mayor superficie posible.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


346

Gonzalo sabe que las medidas de AB, BC y AD son 8, 6 y 16 metros. Su idea inicial fue construir el galpón de modo que sus vértices fueran A, B, C y E. Así lograba que el galpón tuviera una superficie de 48 m2. Su esposa dibujó el rectángulo que aparece sombreado en el dibujo (el de vértices A, P, Q y R) y le mostró que la superficie del mismo era casi igual a la de su rectángulo. Ello le hizo pensar que quizás pudiera construir un galpón cuya superficie fuera mayor que 48 m2. Ayudémosle a resolver su problema. Supongamos que las medidas de AB, BC y AD son a, b y d respectivamente (con b < d). Veamos si existe algún punto R, a la derecha de E, con la propiedad de que la superficie del rectángulo de vértices A, P, Q y R sea mayor que la del que tiene vértices A, B, C y E (esta última superficie es ab). Es claro que ese distinguido R, si es que existe, puede no coincidir con el que se le ocurrió a la esposa de Gonzalo. Sea x la medida de AR (b < x < d). Con el fin de calcular la superficie del rectángulo APQR debemos determinar la medida de RQ. Eso lo haremos así: debido a que los triángulos ECD y RQD

son semejantes resulta que )RD(med)RQ(med

)ED(med)EC(med= , o sea

xd)RQ(med

bda

−=

−. En

consecuencia, )xd(bd

a)RQ(med −−

= . Ahora tenemos lo necesario para hallar

la superficie del rectángulo APQR, la cual es x)xd(bd

a−

−.

En resumen, nos interesa la función f : (b,d) → R tal que x)xd(bd

a)x(f −−

= .

El dominio de esa función es el intervalo abierto (b,d) pues R está entre E y D. Si admitimos que R pueda ser E, o sea que b esté en el dominio de f, tenemos que f(b) = ab (en ese caso los rectángulos ABCE y APQR coinciden).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


347

Si también permitimos que R pueda ser D, o sea que d esté en el dominio de f, tenemos que f(d) = 0 (el rectángulo APQR se convierte en un segmento).

Consideremos pues la función f : [b,d] → R tal que x)xd(bd

a)x(f −−

= .

Uno de los valores de esa función es f(b) = ab. ¿Habrá algún otro mayor? Para contestar esa pregunta hallaremos el máximo de f.

)xxd(bd

ax)xd(bd

a)x(f 2−−

=−−

= ⇒ )x2d(bd

a)x('f −−

= .

d – 2x = 0 ⇔ x = d/2. Debido a que estamos trabajando en el intervalo [b,d], el signo de f ‘(x) depende de cómo sea b respecto a d/2.

+ + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - b < d/2 [...........................|.............................] signo de f ‘(x)

b d/2 d

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b ≥ d/2 [........................................................] signo de f ‘(x)

b d Lo anterior nos lleva a afirmar que el máximo de f es f(d/2) si b < d/2 y f(b) en caso contrario. Por lo tanto hay valores de f mayores que ab sólo si b < d/2 y

entre ellos el máximo es ( )2

2d

bda

2d

2dd

bda2/df ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= .

Puesto que b es la medida de AE y d la de AD, resulta que b < d/2 significa que el punto E se encuentra a la izquierda del punto medio del segmento AD. Nuestra conclusión es, entonces, la siguiente: 1) Si E es el punto medio del segmento AD o E se encuentra a la derecha de

ese punto medio, el rectángulo ABCE es el de superficie máxima. 2) Si E se encuentra a la izquierda del punto medio del segmento AD, el

rectángulo APQR0 es el de superficie máxima, donde R0 es el punto medio del segmento AD.

Si consideramos el trapecio que le interesa a Gonzalo tenemos que a = 8, b = 6 y d = 16. En este caso se cumple que b < d/2, por lo que el rectángulo ABCE no es el de superficie máxima (su superficie es 48 m2). El rectángulo de superficie máxima es APQR0, donde R0 es el punto medio del segmento AD, y

esa superficie máxima es 222

m2,512

16616

82d

bda

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−.

4 – EL PROBLEMA DEL INVERSIONISTA Bertan es un exitoso empresario en la industria del algodón. Acaba de hacer un buen negocio que le dio una utilidad de un millón de pesos uruguayos, los que

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


348

piensa invertir en su fábrica. Aún no ha decidido qué tipo de mejoras realizará, por lo que momentáneamente depositará sus ganancias en un banco, el cual le ofrece una tasa de interés anual del 40 %. Papel y lápiz en mano, Bertan se dedica a pensar y a calcular. 1) Si el depósito lo hago a un año:

Interés = 1:000.000 x 0,4 = 400.000 Capital al fin del año = 1:400.000 = 1:000.000 x (1 + 0,4)

2) Quizás no tenga que esperar un año para mejorar mi fábrica. Puedo hacer el depósito a seis meses y renovarlo por otros seis meses si es necesario. Supongo que el banco estará dispuesto a pagarme una tasa de interés semestral del 20 % (hay dos semestres en el año; 20 = 40/2). Interés del primer semestre = 1:000.000 x 0,2 = 200.000 Capital al fin del primer semestre = 1:200.000 = 1:000.000 x (1 + 0,2) Interés del segundo semestre = 1:200.000 x 0,2 = 240.000 Capital al fin del segundo semestre = 1: 440.000 = 1:000.000 x (1 + 0,2)2

Así obtengo 440.000 de interés en un año, lo cual equivale a una tasa de interés anual del 44%. Sin duda el banco sabe esto y no me ofrecerá una tasa de interés semestral del 20 %. Trataré de convencerlo, vistos mis antecedentes de buen cliente.

3) ¿Y qué pasa si los depósitos los realizo cada tres meses? Supongo, claro está, que el banco me pagará una tasa de interés trimestral del 10 % (hay cuatro trimestres en el año; 10 = 40/4). Interés del primer trimestre = 1:000.000 x 0,1 = 100.000 Capital al fin del primer trimestre = 1:100.000 = 1:000.000 x (1 + 0,1) Interés del segundo trimestre = 1:100.000 x 0,1 = 110.000 Capital al fin del segundo trimestre = 1: 210.000 = 1:000.000 x (1 + 0,1)2 Interés del tercer trimestre = 1:210.000 x 0,1 = 121.000 Capital al fin del tercer trimestre = 1: 331.000 = 1:000.000 x (1 + 0,1)3 Interés del cuarto trimestre = 1:331.000 x 0,1 = 133.100 Capital al fin del cuarto trimestre = 1:464.100 = 1:000.000 x (1 + 0,1)4

Así llego a 464.100 de interés en un año y logro una tasa de interés anual del 46,41 %.

4) ¿A cuánto puedo llegar si los depósitos los realizo con mayor frecuencia? Por ejemplo, y sé que estoy delirando, ¿cuál sería mi capital al finalizar el año si los depósitos los hago cada segundo, atento a que en un año de 365 días hay 31:536.000 segundos? Debo pedirle ayuda a una calculadora para

hallar 000.536:31

000.536:314,01000.000:1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ; de acuerdo con ella eso da algo

más de 1:491.640. Tendría una tasa de interés anual de aproximadamente 49,16 %.

5) Parece que, independiente de mi poder de convicción en el trato con el banco, hay un tope para el capital que puedo obtener al fin del año. ¿Cuál es ese tope?

Ayudemos a Bertan en la respuesta a su última pregunta.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


349

Si con la letra n representamos la cantidad de depósitos en el año (n = 1, 2, ...)

tenemos que el capital al finalizar el año es n

n4,01000.000:1)n(c ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += . Bertan

halló cuatro términos de la sucesión [c(n)] (c(1), c(2), c(4) y c(31:536.000)) y sospecha que ella es acotada superiormente. Sus resultados nos están sugiriendo, además, que [c(n)] es creciente. Probemos que efectivamente [c(n)] tiene esas dos propiedades. Con ese fin construyamos una función real de variable real cuyos valores en N* coincidan con los de la sucesión [c(n)].

Definimos esa función así: f : R+ → R / x

x4,01000.000:1)x(f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += .

La función f es creciente. Como f es una función positiva, probar que f es creciente equivale a probar que el logaritmo de f es creciente. Consideremos pues g(x) = L(f(x)).

))x(L)4,0x(L(x)000.000:1(Lx4,01Lx)000.000:1(L)x(g −++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= .

4,0x4,0)x(L)4,0x(L

x1

4,0x1x)x(L)4,0x(L)x(g '

+−−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++−+= .

22 )4,0x(x16,0

)4,0x(4,0

x1

4,0x1)x(''g

+−=

++−

+= .

Debido a que estamos trabajando para x > 0, tenemos que g ‘ ‘(x) < 0. Por lo tanto g ‘ es decreciente en R+.

Como 4,0x

4,0x

4,0xL4,0x

4,0)x(L)4,0x(L)x(g '

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

−−+= , resulta que

0)x(glim '

x=

+∞→.

Al ser g ‘ decreciente en R+ y 0)x(glim '

x=

+∞→ tenemos que g ‘(x) > 0 ∀ x > 0.

En definitiva, g es creciente en R+. La función f tiene límite finito en más infinito.

Calculemos ahora el límite de f en más infinito. x

xx x4,01000.000:1lim)x(flim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+∞→+∞→.

4,04,0u1

0uu4,0

0u

x

xe))u1((lim)u1(lim

x4,01lim =+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→→+∞→(usamos el cambio de

variable x4,0u = y recordamos la tercera parte del ejemplo 45).

.825.491:1e000.000:1)x(flim 4,0

x≅=

+∞→

En resumen, hemos llegado a los siguientes resultados: La sucesión [c(n)] es creciente (y por lo tanto no tiene máximo).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


350

.825.491:1e000.000:1)n(clim 4,0

n≅=

+∞→

La sucesión [c(n)] es acotada superiormente y la menor de sus cotas superiores es .825.491:1e000.000:1 4,0 ≅

Resulta pues que Bertan no se equivocó al sospechar que había un tope para el capital que podía obtener al fin del año y que se acercó bastante a ese tope al imaginar depósitos en cada segundo. 5 – EL PROBLEMA DE LOS PROMEDIOS Francisco es un estudiante universitario que está muy cerca de obtener el título de Licenciado en Estadística. Es funcionario del Instituto de Estadística de su país, donde trabaja en el Departamento de Índice de Precios al Consumidor. Hace unos días se le encargó preparar un documento técnico para un próximo congreso internacional sobre temas estadísticos. Sin duda, Francisco desea aprovechar esa oportunidad para lucirse y, por qué no, para hacerse famoso. Una de sus tareas habituales es calcular promedios de variaciones de precios de los productos que se consideran en la elaboración del Índice de Precios al Consumidor. Ha observado que es frecuente lo siguiente: un producto (por ejemplo, la papa de una cierta variedad y calidad) en un determinado momento tiene distintas variaciones en su precio, dependiendo del comercio consultado. Con el fin de obtener una única variación de precio en cada uno de tales casos, se le ha indicado que calcule el promedio geométrico de las variaciones de precios con las que cuenta. La preocupación de Francisco es la siguiente: ¿Por qué el promedio geométrico y no el aritmético o el armónico o algún otro tipo de promedio? Las respuestas que obtuvo al formular esa pregunta lo convencieron de que los datos disponibles sólo permitían calcular el promedio geométrico, o el aritmético o el armónico. Ello no disminuyó su preocupación pues sabía que esos tres promedios son casi siempre distintos y que la decisión sobre cuál de ellos elegir influiría en el resultado final de un indicador social tan trascendente como el Índice de Precios al Consumidor (en ese sentido, le pareció atractiva la afirmación de su jefe: “Ten en cuenta que el promedio geométrico está entre el aritmético y el armónico). Francisco intuyó que estaba ante algo que podía interesar a los participantes en el congreso y se puso a trabajar en el tema, siguiendo una idea que se le ocurrió en un momento de inspiración y a la que llamó “Promedios de los promedios”. El primer resultado de su trabajo consta en la tabla que sigue. Allí aparecen las seis variaciones de precios que tenía para un producto en un determinado momento, tres promedios de esas variaciones (promedio armónico, geométrico y aritmético), tres promedios de los tres promedios anteriores (nuevamente los promedios armónico, geométrico y aritmético), y así sucesivamente; también está al pie de la tabla la definición de cada promedio.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


351

Variaciones de precios

Datos iniciales 1,0521 1,1045 1,0829 1,0785 1,0682 1,0437

Promedio

Promedio de Aritmético Geométrico Armónico Los datos iniciales 1,07165000000 1,07146153212 1,07127341302 Los promedios anteriores 1,07146164838 1,07146163735 1,07146162632 Los promedios anteriores 1,07146163735 1,07146163735 1,07146163735 Si x1, x2, ..., xn son números positivos los promedios anteriores se definen así:

Promedio aritmético = n

x...xx n21 +++

Promedio geométrico = nn21 x...xx

Promedio armónico =

n21 x1...

x1

x1

n

+++

El promedio armónico es el inverso del promedio aritmético de los inversos. Es claro que esta tabla entusiasmó a Francisco, tanto que comenzó a hablar de su promedio (1,07146163735), distinto a cualquiera de los tres que había calculado con sus datos iniciales. Ese promedio lo encontró en la tercera etapa de su proceso. Sin embargo, tuvo el temor de encontrarse ante algo casual. Hizo nuevos cálculos y obtuvo los resultados que constan en la próxima tabla. Datos iniciales 1 2 3 4 5 6 Promedio de Promedio aritmético Promedio geométrico Promedio armónico Los datos iniciales 3,50000000000 2,99379516552 2,44897959184 Los promedios (etapa 5) 2,94941413714 2,94941413714 2,94941413714

Datos iniciales 1 2 3 4 5 100 Promedio de Promedio aritmético Promedio geométrico Promedio armónico Los datos iniciales 19,16666666667 4,78479726332 2,61627906977 Los promedios (etapa 6) 6,35608249491 6,35608249491 6,35608249491

Datos iniciales 1 2 3 4 5 1000 Promedio de Promedio aritmético Promedio geométrico Promedio armónico Los datos iniciales 169,16666666667 7,02312191882 2,62658689625 Los promedios (etapa 7) 17,33256977728 17,33256977728 17,33256977728 Ahora no sólo estaba entusiasmado sino convencido de que su idea motivaba un proceso que converge a un número, dado cualquier conjunto finito de números positivos. Claro que convicción no es demostración, en el sentido que

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


352

esa última palabra tiene en matemática. Así que vale la pena que colaboremos con Francisco en la preparación de su documento para el congreso. El proceso ideado por Francisco puede resumirse así: 1) Comienza con una lista de n números positivos (al menos dos para que el

problema sea interesante): x1, x2, ..., xn. 2) En la primera etapa calcula el promedio aritmético, el promedio geométrico

y el promedio armónico de los números de la lista:

nx...xx)1(a n21 +++

=

nn21 x...xx)1(b =

n21 x1...

x1

x1

n)1(c+++

=

3) En la segunda etapa calcula el promedio aritmético, el promedio geométrico y el promedio armónico de los tres números hallados en la etapa anterior:

3)1(c)1(b)1(a)2(a ++

=

3 )1(c)1(b)1(a)2(b =

)1(c1

)1(b1

)1(a1

3)2(c++

=

4) Y así sucesivamente. Obtenemos así las sucesiones [a(n)], [b(n)] y [c(n)] que tienen las siguientes propiedades: )n(a)n(b)n(c ≤≤ cualquiera sea n.

Ello es consecuencia de que un promedio armónico es menor o igual que el correspondiente promedio geométrico, el cual no supera al respectivo promedio aritmético (más adelante justificaremos esta afirmación, previendo la presencia de algún participante preguntón en el congreso). [c(n)] es una sucesión “creciente” acotada superiormente por a(1) y [a(n)] es

una sucesión “decreciente” acotada inferiormente por c(1). Esto se explica por la propiedad anterior y porque cualquier promedio de números positivos proporciona un número entre el menor y el mayor de esos números (sin duda esto es conocido por todos los que concurrirán al congreso).

O sea, c)n(climn

=∞+→

y a)n(alimn

=∞+→

(recordamos el teorema 47).

Notemos, además, que 3

)n(c)n(b)n(a)1n(a ++=+ ∀ n ≥ 1.

Al despejar b(n) en esa igualdad obtenemos )n(c)n(a)1n(a3)n(b −−+= . Por lo tanto ca2caa3)n(blim

n−=−−=

∞+→.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


353

A esta altura sabemos que las sucesiones [a(n)], [b(n)] y [c(n)] tienen límite finito en más infinito y que )n(a)n(b)n(c ≤≤ ∀ n. Resulta pues que )n(alim)n(blim)n(clim

nnn ∞+→∞+→∞+→≤≤ , o sea aca2c ≤−≤ . En

consecuencia, c = a y a)n(alim)n(blim)n(climnnn

===∞+→∞+→∞+→

.

La conclusión de todo el razonamiento anterior es alentadora para Francisco: su proceso tiene la propiedad que él intuyó. Para finalizar con este problema, justificaremos nuestra afirmación sobre las desigualdades entre los promedios armónico, geométrico y aritmético. El promedio geométrico es menor o igual que el aritmético Sean x1, x2, ..., xn números positivos con n ≥ 2.

Entonces n

n21n21 n

x...xxx...xx ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++≤ .

Trabajaremos sólo para n = 2 y para n = 3 (con esto no alcanza, pero creemos que lo que sigue garantiza el éxito de una demostración general usando el método de inducción completa).

1) Para n = 2: 2

2121 2

xxxx ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≤ (*)

221

21 2xxxx ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≤ ⇔

4xxx2x

xx2221

21

21++

≤ .

221

21 2xxxx ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≤ ⇔ 2

212221

21 )xx(xxx2x0 −=+−≤ . Esto es cierto.

Tenemos, además, que la igualdad se cumple en (*) sólo cuando 21 xx = .

2) Para n = 3: 3

321321 3

xxxxxx ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++≤ (**)

a) Si 321 xxx == es claro que se cumple la igualdad en (**).

b) Si los tres números no son iguales, consideremos 3

xxxs 321 ++= .

En este caso alguno de los tres números es menor que s y otro mayor que s. Tomemos, por ejemplo, psx1 −= y qsx2 += con p y q positivos.

)qps(sxx 21 +−+=+ . )qps(spq)qps(sxx 21 +−<−+−= .

3321 x)qps(sxxx +−< .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


354

22

3212

33 s

2xsxx

2xqps

x)qps( =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++−≤+− .

En la desigualdad anterior usamos lo que obtuvimos para n = 2.

En resumen, 3

3213321 3

xxxsxxx ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=< .

Además, la igualdad se cumple en (**) sólo cuando 321 xxx == . El promedio armónico es menor o igual que el geométrico Sean x1, x2, ..., xn números positivos con n ≥ 2.

Entonces n21

n

n21

x...xx

x1...

x1

x1

n≤

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++.

Aquí alcanza con calcular el promedio geométrico y el promedio aritmético de

los números 1x

1 , 2x1 , ... ,

nx1 y tener en cuenta la desigualdad entre ellos.

6 – EL PROBLEMA DE LA EVOLUCION DE UNA POBLACION Virginia es una química que está investigando una especie de bacteria en el laboratorio de un hospital en el que trabaja. En el primer día de su investigación contó 100 colonias de esas bacterias, en el segundo 102 y en el tercero 104. Entre sus virtudes no estaba el ser adivina, pero igual se preguntó: “¿Cuántas colonias de bacterias habrá en treinta días?”, “¿Y cuántas en cien días?”, “¿Cuál es el tope del número de colonias?”. Su experiencia le indicaba que el número de colonias de bacterias iría creciendo y que había un tope para ese número, pero no sabía cuál. Por primera vez sintió la curiosidad de contestar a esas preguntas. Virginia sospechó que debía existir algún modelo matemático que le fuera útil, pero no recordaba haberlo visto en su Facultad y no tenía tiempo para llevar a cabo una revisión bibliográfica cuidadosa sobre el tema. Le pidió ayuda a su padre, un profesor de matemática apasionado por las aplicaciones de esa ciencia, y él le sugirió que usara el modelo logístico ya que el mismo había resultado exitoso en muchas áreas, en especial en demografía. Le aclaró que existía un modelo logístico discreto (con sucesiones reales) y otro continuo (con funciones reales de variable real), le entregó la tabla que aparece en la próxima página y se mostró dispuesto a ayudarla.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


355

Modelo logístico discreto

Modelo logístico continuo

Formulación 1

⎩⎨⎧

∈∀<<>>α−α=

*Nnp)n(y00p,0))n(yp()n(y)n(*y

Formulación

⎩⎨⎧

∈∀<<>>β−β=

Rxq)x(y00q,0))x(yq()x(y)x('y

Formulación 2 (más exigente)

⎩⎨⎧

≤α<<>>α−α=

1pyp)1(y00p,0))n(yp()n(y)n(*y

Solución (segunda formulación) Hay una fórmula de recurrencia para hallar y(n):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥α−α+=+<<=

1nsi))n(yp1()n(y)1n(ypa0cona)1(y

Para cada a entre 0 y p se tiene una sucesión [y(n)] (dados α y p).

Solución

1ez,0kzk1zkq)x(y q

x

x>=>

+= β

Para cada k positivo se tiene una función y (dados β y q).

Propiedades [y(n)] es creciente y p)n(ylim

n=

∞+→.

Propiedades y es creciente y q)x(ylim

x=

∞+→.

La tabla anterior amerita algunos comentarios: 1) En el modelo logístico discreto aparece una ecuación en diferencias cuya

incógnita es la sucesión [y(n)] y una exigencia sobre los valores de la sucesión. De ello deducimos que [y(n)] es una sucesión creciente puesto que y*(n) > 0 para cualquier n. Lo mismo ocurre en el modelo logístico continuo, basado en una ecuación diferencial.

2) La segunda formulación del modelo logístico discreto muestra un cambio respecto a la primera: sólo se exige que y(1) esté entre 0 y p y se agrega la condición 1p ≤α . Ese cambio implica que p)n(y0 << ∀ n. En efecto: - ))n(yp()n(y)n(*y −α= equivale a ))n(yp()n(y)n(y)1n(y −α+=+ .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


356

- Lo anterior motiva que consideremos la función f definida de la siguiente manera: )xp(xx)x(f −α+= para cada x ∈ R. Con ella podemos obtener los valores de la sucesión [y(n)] ya que )2(y))1(y(f = , )3(y))2(y(f = , ...

- Como f(0) = 0 y f(p) = p, resulta que si f es creciente en [0,p] se cumple que p)x(f0 << si 0 < x < p. En ese caso, y debido a que p)1(y0 << , tenemos que p)2(y))1(y(f0 <=< , y así sucesivamente. Nos interesa, entonces, que f sea creciente en [0,p].

- x2p1)x('f α−α+= ⇒ 0)x('f > ⇔ αα+

<2

p1x (recuerda que α > 0).

- Para que f sea creciente en [0,p] debe cumplirse que αα+

≤2

p1p , o sea

1p ≤α . 3) En la solución del modelo logístico discreto no aparece una fórmula que

permita calcular directamente cada y(n) puesto que no se la ha encontrado; en su lugar hay una fórmula de recurrencia. La solución del modelo logístico continuo es más “simpática” pues da una fórmula para calcular directamente y(x). Si te interesa justificar ese resultado, ten en cuenta lo que sigue y recuerda el teorema 24 (igualdad de derivadas): - Debido a que q)x(y0 << , la ecuación ))x(yq()x(y)x('y −β= equivale a

la ecuación β=−

q))x(yq()x(y

)x('yq .

- ))x(yq()x(y

)x('yq)x(yq

)x(yL'

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

; β=β q)xq( ' .

4) Ya señalamos que tanto la sucesión [y(n)] del modelo logístico discreto como la función y del modelo logístico continuo son crecientes. En cuanto a sus límites en más infinito, la situación no es complicada en el caso de la función y pues tenemos una fórmula para y(x); para calcular

)x(ylimx ∞+→

podemos, por ejemplo, aplicar la segunda regla de L’Hôspital.

Como de [y(n)] sólo tenemos una fórmula de recurrencia, parece ser más difícil el cálculo de )n(ylim

n ∞+→. Sabemos que ese límite es un número

positivo pues [y(n)] es positiva, creciente y acotada superiormente, o sea 0c)n(ylim

n>=

∞+→. Para hallar c razonamos así:

))n(yp()n(ylim)n(*ylimnn

−α=∞+→∞+→

))n(yp()n(ylim))n(y)1n(y(limnn

−α=−+∞+→∞+→

)cp(ccc −α=− , es decir )cp(c0 −α=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


357

Por lo tanto c = p (tuvimos en cuenta que α > 0 y c > 0). A esta altura la paciencia de Virginia está a punto de agotarse. ¿Cuál es, concretamente, el modelo que usará? ¿Cómo puede hallar α y p en el modelo logístico discreto o β, q y k en el continuo? Afortunadamente la respuesta a la última pregunta es sencilla ya que conoce y(1) = 100, y(2) = 102 e y(3) = 104.

Modelo logístico discreto

Modelo logístico continuo

⎩⎨⎧

≤α<<>>α−α=

1pyp)1(y00p,0))n(yp()n(y)n(*y

1z,0k,0qzk1zkq)x(y

x

x>>>

+=

Cálculo de α y p Datos: y(1) = a, y(2) = b e y(3) = c. Se cumple:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−≤−

>

<<<

)ba2()ab(b)acb(a

cab

cba0

2

2

Entonces:

)ab(bacab2

−−

=α ; aabap

α−

+=

Cálculo de q, k y z Datos: y(1) = a, y(2) = b e y(3) = c. Se cumple:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<<<

cab

cba02

Entonces:

)bc(a)ab(cz

−−

=

2z)ab(bzak

−

−= ;

zk)zk1(aq +

=

Las fórmulas de cálculo de los parámetros son más simples en el modelo logístico discreto que en el continuo, pero en el primero hay mayores exigencias en los datos (ellas son consecuencia de las restricciones que deben cumplir los parámetros). En cada modelo las fórmulas se obtienen al resolver un sistema de ecuaciones (es bastante más laborioso el del modelo logístico continuo). Modelo logístico discreto de Virginia Los datos de Virginia son a = 100, b = 102 y c = 104. Ellos cumplen con lo que consta en la tabla anterior pues 1041021000 <<< , 10400104041022 >= y

98x204400 < .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


358

Por lo tanto 5100

120400

4==α y 202

10010200100p =+= .

O sea, la sucesión [y(n)] es la definida por la siguiente fórmula de recurrencia:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−=+

=

1nsi))n(y5302()n(y5100

1)1n(y

100)1(y.

Esta sucesión, cuyos tres primeros valores son 100, 102 y 104, es creciente y su límite en más infinito es 202. Para tener una idea sobre el número de colonias de bacterias que habrá en treinta días y en cien días calculamos y(30) e y(100); lo hicimos con una computadora, para no desesperar, y obtuvimos y(30) ≅ 153 e y(100) ≅ 198. Modelo logístico continuo de Virginia Los datos son los mismos del modelo anterior, así que ellos cumplen con lo que se exige para calcular q, k y z.

04,1200208z == ;

22 04,11

04,1x2102104k =

−= ; 204

04,11

04,111100

q =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= .

Por lo tanto la función y es la definida así: x2

x

04,104,104,1204)x(y+

= .

Esta función, cuyos valores en 1, 2 y 3 son 100, 102 y 104, es creciente y su límite en más infinito es 204. Además, y(30) ≅ 153 e y(100) ≅ 200. Y ya en el final, vale la pena señalar que los dos modelos logísticos anteriores no proporcionan el mismo tope para el número de colonias de bacterias (202 el discreto y 204 el continuo); es casi seguro que Virginia opinará: “Eso no me quita el sueño”.

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⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Selección de respuestas a los ejercicios ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

359

SELECCION DE RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS A continuación te presentamos las respuestas a algunos de los ejercicios que te hemos propuesto. Hemos descartado los ejercicios en cuyo enunciado está incluida la respuesta y también aquéllos en los que consideramos que la misma podía condicionar tu resolución. En las respuestas a los ejercicios donde debes estudiar y representar gráficamente funciones, sólo te damos los resultados que hemos creído indispensables para que controles tu trabajo. CAPITULO 1 Ejercicio 4 (segunda parte)

Valores aproximados de 3 n

nz

nu 2

uz nn +

1 2 1,5 1,75 2 1,75 1,7142857... 1,7321428... 3 1,7321428... 1,7319587... 1,7320508...

Ejercicio 6 Una expresión más simple de cada uno de los conjuntos A3 a A8 es la siguiente (con ellas podrás resolver sin mayores dificultades este ejercicio): A3 = {x / x ∈ R, x > 0} A4 = {x / x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1} A5 = {x / x ∈ R, -1 < x < 0 ó x > 1} A6 = {x / x ∈ R, 0 < x < 1} A7 = {x / x ∈ R, x ≤ 0 ó x = 1} A8 = {x / x ∈ R, x = 0 ó x = 1} Ejercicio 9 1) y = -3x –1 2) y = x – 5 3) T = (1,-4) 4) y = 2x – 6 Ejercicio 12

En [-1,1] En (0,2) En (0,3) Función m M m M m M f(x) = |x| + |x – 2| 2 4 2 2 2 No g(x) = sgn(x) + sgn(x – 1) -2 1 0 2 0 2 f(x) = E(x) + E(1-x) 0 1 0 1 0 1 g(x) = mant(x) + mant(1 – x) 0 1 0 1 0 1 Ejercicio 13 1) (fog)(x) = 4x – 4x2 ; (gof)(x) = 1 – 2x2 ; (fof)(x) = 2x2 – x4 ; (gog)(x) = 4x – 3

3) (fog)(x) =1x

x2

+ ; (gof)(x) = x + x2 ; (fof)(x) = x ; (gog)(x) = 2

22

)1x()1xx(x

+++

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


360

CAPITULO 2 Ejercicio 14

4) • y = 6x – 2 ; • y = -4x + 13 ; • 43xy −= , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43,

23

Ejercicio 16 5) • y = 12x + 16 , (-2,-8) , (4,64) ; • y = 12x – 16 , (2,8) , (-4,-64)

• y =9

316x4 − , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

938,

332 ; y =

9316x4 + , ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

938,

332

CAPITULO 3 Ejercicio 18 (g4) ‘(p) = 12(3p – 2)3 ; (f3) ‘(p) = 3(-2p3 + p)2(-6p2 + 1) Ejercicio 19 f ‘(p) = 28p3 – 15p2 + 12p - 9 f ‘(p) = 4p3 – 2p – 2 f ‘(p) = 2(p – 1)(3p+2) f ‘(p) = 4(p2 + 1)2(4p – 2)3(10p2 – 3p + 4) f ‘(p) = 3ap2 + 2bp + c f ‘(p) = 2acp + ad + bc f ‘(p) = (p + a)(p + b)2(5p + 2b + 3a) f ‘(p) = 6p(p2 + a)2(p3 – b)(2p3 + ap – b) Ejercicio 20

f ‘(p) = 2p)2p(

12 −≠

+ f ‘(p) = 2p

)2p(p

3 −≠+−

f ‘(p) = Rp)4p(

4p11p22

24

∈+

++ f ‘(p) = 0pp32 2 ≠+−

f ‘(p) = 1p)p1(

55p2 2 −≠+

−− f ‘(p) = 0pp3

p2

p1

432 ≠−−−

f ‘(p) = bp)bp(

)a3b2p)(ap(4 −≠

+−+−+ f ‘(p) = bp

)bp()a2b3p()ap(

3

2

−≠+

−++

Ejercicio 21 f ‘(x) = 3x2 + 2x + 1 f ‘’(x) = 6x + 2 x ∈ R f ‘(x) = (x + 1)(1 – x)2(-5x - 1) f ‘’(x) = 2(1 – x)(10x2 + 4x – 2) x ∈ R

f ‘(x) = 22 )2x(x2

+ f ‘’(x) = 32

2

)2x()x32(2

+−

x ∈ R

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


361

Ejercicio 21 (continuación)

f ‘(x) = 2x82x6 −+ f ‘’(x) = 3x

166 + x ≠ 0

f ‘(x) = 22 )3x2(5

)2x3(5

++

+− f ‘’(x) = 33 )3x2(

20)2x3(

30+

−+

x ≠ -2/3 x ≠ -3/2

f ‘(x) = 3)bx(a2bx

+−+− f ‘’(x) = 4)bx(

)b2a3x(2+

−+ x ≠ -b

Ejercicio 23 f(x) = x2 – 4x + 3 f ‘’(x) = 2 x ∈ R f(x) = -2x2 + 12x f ‘’(x) = -4 x ∈ R f(x) = x3 – 3x f ‘’(x) = 6x x ∈ R f(x) = 3x4 + 8x3 + 6x2 – 48x f ‘’(x) = 12(3x2 + 4x + 1) x ∈ R f(x) = (1 + x)2(2 – x)3 f ‘’(x) = 2(x – 2)(-10x2 + 4x + 5) x ∈ R f(x) = (1 + x)3(2 – x)2 f ‘’(x) = 2(x + 1)(10x2 - 16x + 1) x ∈ R

x1x)x(f += 3

''

x2)x(f = x ≠ 0

x1x)x(f −= 3

''

x2)x(f −= x ≠ 0

2)1x(1

1x1)x(f

−+

−= 4

''

)1x()2x(2)x(f

−+

= x ≠ 1

2)1x(1

1x1)x(f

−−

−= 4

''

)1x()4x(2)x(f

−−

= x ≠ 1

Ejercicio 25 a = 6 y b = -2 CAPITULO 4 Ejercicio 33 2) f ‘(x) = 5x4 + 1 > 0 ∀ x. 3) El intervalo [1,2] mide 1. Si lo partes en diez intervalos de medida 0,1, llegas

a que la raíz de la ecuación f(x) = 0 está entre 1,1 y 1,2 pues f(1,1) < 0 y f(1,2) > 0. Por lo tanto 1,15 es un valor aproximado de esa raíz, de la que difiere en menos de 0,05.

Ejercicio 36 1) c1 = -2 y c2 = 5,5. 2) Si 0 < μ < 76 hay tres números c en (-4,6) tales que f(c) = μ.

Si μ = 76 hay dos números c en (-4,6) tales que f(c) = μ. Si 76 < μ < 140 hay un número c en (-4,6) tal que f(c) = μ.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


362

Ejercicio 39 [-3,0] [0,2] [-3,5] (-3,0) (0,5) (1,3) (-1,4) Máximo 76 32 76 76 No No No Mínimo 32 -36 -49 No -49 No -49 Ejercicio 40 Función Intervalo Máximo Mínimo f(x) = x + 3 [1,5] 8 4 f(x) = -2x + 8 [-2,4] 12 0 f(x) = 3x4 – 8x3 [-1,3] 27 -16 f(x) = x + 4/x [1,4] 5 4 CAPITULO 5 Ejercicio 44 f(x) = x2 – 4x + 3 Mínimo relativo en 2 f(x) = -2x2 + 12x Máximo relativo en 3 f(x) = x3 – 3x Máximo relativo en –1 y mínimo relativo en 1 f(x) = 3x4 + 8x3 + 6x2 – 48x Mínimo relativo en 1 f(x) = (1 + x)2(2 – x)3 Minimo relativo en –1 y máximo relativo en 1/5 f(x) = (1 + x)3(2 – x)2 Máximo relativo en 4/5 y mínimo relativo en 2

x1x)x(f += Máximo relativo en –1 y mínimo relativo en 1

x1x)x(f −= No tiene extremos relativos

2)1x(1

1x1)x(f

−+

−= Mínimo relativo en –1

2)1x(1

1x1)x(f

−−

−= Máximo relativo en 3

Ejercicio 45

xx)x(f −= xx4

1)x(''f = x > 0

x8x10x)x(f 2 +−= xx

)1xx(2)x(''f −=

x > 0

x1

x1)x(f −=

3x4x38)x(''f −

= x > 0

x3xx)x(f ++=

xx4x9)x(''f

2

−= x > 0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


363


2x21)x(L)x(f −=

2

2

xx1)x(''f +

−= x > 0

2))x(L()x(L2)x(f −= 2x

)2)x(L(2)x(''f −= x > 0

)x(Lx)x(f −= 2x4x4)x(''f −

= x > 0

)2x(L4)1x(L)x(f +−+= 22

2

)2x()1x(x4x3)x(''f

+++

= x > -1

Ejercicio 48 n Valor aproximado de L(3) Error menor que 0 1 0,33333... 1 1,08333... 0,08333... 2 1,09583... 0,02083... 3 1,09806... 0,00520... 4 1,09849... 0,00130... CAPITULO 7 Ejercicio 50 1) f es invertible y f –1(x) = f(x). 2) f es invertible y f –1(x) = x− . 3) Si eliges la semirrecta [-1,+ ∞ ) como dominio y codominio resulta que f es

invertible y que f –1(x) = 11x −+ . Si optas por la semirrecta (- ∞ ,-1] como dominio y la semirrecta [-1,+ ∞ ) como codominio resulta que f es invertible y que f –1(x) = 11x −+− .

4) f es invertible. 5) Si tomas como dominio y codominio el intervalo [0,2] resulta que f es

invertible y que f –1(x) = f(x). Si eliges el intervalo [-2,0] como dominio y el intervalo [0,2] como codominio, tienes que f es invertible y que f –1(x) = - f(x).

Ejercicio 51

4) )))x(f(1(3

1)x(')f( 211

−−

+= .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


364


2) sh –1(x) = ( )1xxL 2 ++ ; (sh –1) ‘(x) =1x

12 +

Ejercicio 54

1) f –1(x) = ( )1xxL 2 −+ con x ≥ 1 ; (f –1) ‘(x) =1x

12 −

con x > 1

2) g –1(x) = ( )1xxL 2 −− con x ≥ 1 ; (g –1) ‘(x) =1x

12 −

− con x > 1

Ejercicio 57

f ‘(x) = 2

x

x)1x(e − f ‘’(x) = 3

2x

x)2x2x(e +−

x ≠ 0

f ‘(x) = 2

x

x)1x(e +

−−

f ‘’(x) = 3

2x

x)2x2x(e ++−

x ≠ 0

f ‘(x) = 2x3

x3xx2

)1e(e3e5e2

−++−

−

−−

x ≠ 0

f ‘’(x) = 3x3

x6x4x3xx2

)1e(e9e25e9e11e4

−+++−

−

−−−−

x ≠ 0

f ‘(x) = )2(L2x5

1 x

5 4+ f ‘‘(x) = 2x

5 9))2(L(2

x254

+− x ≠ 0

f ‘(x) = ))x2(L1()x2( x + f ‘‘(x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

x1))x2(L1()x2( 2x

x > 0

f ‘(x) = ))x(L1)(x(2 x2 + f ‘‘(x) = ( )2))x(L1(x4x 21x2 ++− x > 0 Ejercicio 58

xe1x)x(f +

= x''

e1x)x(f −

= x ∈ R

x1

2ex)x(f = 2

2x1

''

x)1x2x2(e)x(f +−

= x ≠ 0

)3x4(e)x(f x4

−= 4

x4

''

x)6x5(e8)x(f −

= x ≠ 0

1ee)x(f x2

x

+= 3x2

x2x4x''

)1e()1e6e(e)x(f

++−

= x ∈ R

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


365

CAPITULO 9 Ejercicio 60 -2 ; e ; -5/2 ; 3 ; 3 ; 1/2 ; 0 ; 1. CAPITULO 10 Ejercicio 66 (primera parte) 0 Ejercicio 67 3/2 ; 2 + L(2) ; + ∞ ; + ∞ ; 0 ; - ∞ ; 1 ; - ∞ . Ejercicio 68 5/2 ; 2 ; - ∞ ; 3 ; - ∞ ; 0 ; + ∞ ; - ∞ ; - ∞ ; 1/4 ; 4 ; -3/4. CAPITULO 11 Ejercicio 69

1 ; + ∞ ; 1 ; 0 ; =+→

m

0xxlim

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<∞+

0msi00msi10msi

; =+∞→

m

xxlim

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>∞+=<

0msi0msi10msi0

=−∞→

x

xalim

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

<<∞+

1asi01asi1

1a0si ; =

+∞→

x

xalim

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>∞+=

<<

1asi1asi1

1a0si0 ; +∞=

+∞→

x

xxlim

Ejercicio 70 + ∞ ; 0 ; + ∞ ; 0 : + ∞ ; + ∞ . Ejercicio 71 (primera parte) 0 Ejercicio 72 1/2 ; -1/6 ; -1/16. Ejercicio 74 (segunda parte) f ‘’(x) = 4(L|x| + 1) Ejercicio 75 La recta de ecuación y = x es la asíntota de f en más infinito y en menos infinito. La recta de ecuación y = x + 1/2 es la asíntota de g en más infinito y la de ecuación y = -x – 1/2 es la asíntota de g en menos infinito.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


366

No existe una recta que sea asíntota de h en más infinito y tampoco existe una que lo sea en menos infinito. La recta de ecuación y = x es la asíntota de j en más infinito y la de ecuación y = -x es la asíntota de j en menos infinito. Ejercicio 76

f(x) =4x9x2

++ f ‘’(x) = 3)4x(

50+

x ≠ -4

y = x – 4 es la asíntota de f en más infinito y en menos infinito.

f(x) =1x1x

−+ f ‘’(x) = ( )31xxx2

1x3

−

− x > 0 x ≠ 1

y = 1 es la asíntota de f en más infinito. f(x) = 3x2x2 −+ f ‘’(x) = ( )32 3x2x

4

−+

− x > 1 x < -3

y = x + 1 es la asíntota de f en más infinito. y = -x – 1 es la asíntota de f en menos infinito.

f(x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1xxL2x f ‘’(x) = 22 )1x(x

)1x2(2−− x > 1

x < 0

y = x es la asíntota de f en más infinito y en menos infinito.

f(x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

1xxL2|x| f ‘’(x) = 22 )1x(x

)1x2(2−− x > 1

x < 0

y = x es la asíntota de f en más infinito. y = -x es la asíntota de f en menos infinito.

f(x) = )4x3(e x3

+ f ‘’(x) = 4

x3

x)12x17(e3 +

x ≠ 0

y = 3x + 13 es la asíntota de f en más infinito y en menos infinito. Ejercicio 77 2) f ‘’(x) = xex2 x ∀+ ; la función no tiene asíntota en más infinito ni en

menos infinito.

3) f ‘’(x) = x)xe(

))2x(e2x2x(e23x

x2x

∀−

−++− ; y = 1 es la asíntota en más infinito

e y = -1 es la asíntota en menos infinito. CAPITULO 12 Ejercicio 86 f ‘(x) = cos(x) + 4cos(2x) + 9sen(3x) x ∈ R f ‘’(x) = -sen(x) –8sen(2x) + 27cos(3x) f ‘(x) = tg2(x) – 2tg2(2x) – 1 cos(x) ≠ 0

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


367

f ‘’(x) = 2tg(x) + 2tg3(x) – 8tg(2x) – 8tg3(2x)

f ‘(x) = 2))x(sen1()xcos(2

− f ‘‘(x) = 3

2

))x(sen1())x(sen)x(sen2(2

−−−

sen(x) ≠ 1

f ‘(x) =)xcos(22

)x(sen+

− f ‘‘(x) =3

2

))xcos(2(41)xcos(4)x(cos

+++

− x ∈ R

f ‘(x) =2)x(sen

)xcos(−

f ‘‘(x) = 2)2)x(sen(1)x(sen2

−− x ∈ R

f ‘(x) = )x(sene )xcos(− f ‘‘(x) = ))xcos()x(sen(e 2)xcos( − x ∈ R Ejercicio 87 1 ; 0 ; 1/3. Ejercicio 90 g ‘(x) = -x2cos(x). g es decreciente en [0,π/2], creciente en [π/2,3π/2] y decreciente en [3π/2,2π]. La ecuación g(x) = 0 tiene tres raíces: una es 0, otra está en el intervalo (π/2,π) y la restante en el intervalo (3π/2,2π). 0 - - - - - - - - 0 + + + + 0 - - - - - - - - - |........ .............. ....|.... .............. ....|.... .............. ......] signo de g(x) 0 x1 x2 2π π/2 < x1 < π (x1 ≅ 2,08) ; 3π/2 < x2 < 2π (x2 ≅ 5,94) Ejercicio 91 Para f(x) = sen(x) – cos(x) es f ‘’(x) = -sen(x) + cos(x). Para f(x) = x + sen(x) es f ‘’(x) = -sen(x). CAPITULO 13 Ejercicio 92 (primera parte)

x 1 2/3 2/2 1/2 0 -1 Arccos(x) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π

Ejercicio 93

f ‘(x) = 2

2

x1x+

f ‘‘(x) = 22 )x1(x2

+ x ∈ R

f ‘(x) =)x1)(x41()1xx4x(2

42

34

+++−−

x ∈ R

f ‘’(x) = 2422

245689

)x1()x41()1x8x8x13x16x24x48x8(2

++−−−−−++−

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


368

f ‘(x) = 22 ))x(Arctg1)(x1(2

−+ f ‘‘(x) = 322 ))x(Arctg1()x1(

)1)x(xArctgx(4−+

+−− x ≠ π/4

f ‘(x) =)x(Arctg)x1(2

12+

f ‘‘(x) =322 ))x(Arctg()x1(4

)x(xArctg41+

−− x > 0

f ‘(x) =2x1

x1−

− f ‘‘(x) =32 )x1(

1x−

− -1 < x < 1

f ‘(x) =4

2

x1x1x2

−

++ -1 < x < 1

f ‘’(x) =234

4235

x1)x1()x1(x12xx2x

+−

+++++

Ejercicio 94 1 ; -1/3 ; 1. Ejercicio 95

0xsi0)x('fx1Arctg)x(Arctg)x(f ≠=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= .

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+= )x('fx1x1Arcsen)x(Arctg2)x(f 2

2

⎪⎩

⎪⎨⎧

<+

>

0xsix1

40xsi0

2

.

CAPITULO 14 Ejercicio 101 (primera parte)

n a(n) b(n) c(n) 1 2 4 3 2 2,25 3,375 2,8125 3 2,3703... 3,1604... 2,7654... 4 2,4414... 3,0517... 2,7465...

Ejercicio 102 1) t(n) = n + 8 2) t(n) = 3n 3) t(n) = 4n + 2 4) t(n) = n 3 + 1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


369

Ejercicio 104 (primera parte)

n S(n) s(2n -1) s(2n) 1 2 2 0,5 2 0,5 2 0,5 3 2 2 0,5 4 0,5 2 0,5

Ejercicio 106 (primera parte)

n S(n) n s(n) 1 3 5 203/101 ≅ 2,0099 2 7/4 = 1,75 6 607/304 ≅1,9967 3 23/11 ≅ 2,0909 7 1823/911 ≅ 2,0011 4 67/34 ≅ 1,9706 8 5467/2734 ≅ 1,9996

Hay dos relaciones llamativas: una entre el denominador de cada fracción y el numerador y el denominador de la fracción anterior y otra entre el numerador y el denominador de cada fracción. ¿Te animas a calcular rápidamente s(9), s(10), s(11) y s(12)? Ejercicio 107 1) 1/4 2) 1/3 3) –1/6 4) –1/5 Ejercicio 108

1) 11,5100

1...31

211 ≅++++ ; 41,7

10001...

31

211 ≅++++

2) 187378,5100

1...31

211 ≅++++ ; 485471,7

10001...

31

211 ≅++++

3) n = 22.026 CAPITULO 15 Ejercicio 109 f(x) P1(x) f(x) P1(x) 2 + 3x 2 + 3x cos(x) 1 x 2 0 tg(x) x e x 1 + x Arctg(x) x sen(x) X Arcsen(x) x

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


370

Ejercicio 111

f

a

Fórmula de Taylor de orden uno de f en a con la expresión de Lagrange del resto

c

1 23

)1X(c12x

x1

−++−= 3 x

x1)x(f =

2 23

)2X(c11x

41

x1

−++−= 3 x4

1 2)1x(cc8

121x

21x −−+=

34

21x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

x)x(f = 4 2)4x(

cc811x

41x −−+= 3

4

4)2x( +

Es interesante que notes que como c está entre a y x, puedes obtener algunas desigualdades llamativas con los resultados de la última columna. Por ejemplo:

Si x > 4 entonces 4 < 34

4)2x( + < x

Si 0 ≤ x < 4 entonces x < 34

4)2x( + < 4

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


371

Ejercicio 112

f(x) Fórmula de Mac Laurin

de orden uno Valor

aproximado de f(0,1)

f(0,1) está entre

2 + 3x 2 + 3x 2,3 2,3 y 2,3 x 2 x 2 0 0,01 y 0,01

xe 2c

x2

ex1 ++

con c entre 0 y x

1,1 1,1 y 1,106 Nota que

c21e0 c +<< sen(x) 2x

2)c(senx −

con c entre 0 y x

0,1 0,0995 y 0,1 Nota que

0 < sen(c) < c cos(x) 2x

2)ccos(1−

con c entre 0 y x

1 0,995 y 1 Nota que

0 < cos(c) < 1 tg(x) 22 x))c(tg1()c(tgx ++

con c entre 0 y x

0,1 0,1 y 0,10208 Nota que

0 < tg(c) < 2c Arctg(x) 2

22x

)c1(cx

+−

con c entre 0 y x

0,1 0,099 y 0,1 Nota que

2

22 01,11,0

)c1(c0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

+<

Arcsen(x) 232

xc12

cx−

+

con c entre 0 y x

0,1 0,1 y 0,10051 Nota que

332 99,0

1,0

c1

c0 <

−

<

Ejercicio 115 (segunda parte)

))!1n((L +− Ejercicio 116

1) nn

1n432

x)x(αnx)1(...

4x

3x

2xx)x1(L +−++−+−=+ +

α es una función continua en 0 tal que α(0) = 0.

nn432

x)x(βnx...

4x

3x

2xx)x1(L +−−−−−−=−

β es una función continua en 0 tal que β (0) = 0. 2) 1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


372

Ejercicio 117 sen(0,1) ≅ 0,099833416. El valor absoluto del error es menor que 910x4,1 − . Ejercicio 118

1) 1n21nn2

n42

x!)1n2(

)c(sen)1(!)n2(

x)1(...!4

x!2

x1)xcos( +++

−+−+−+−= (c entre 0 y x).

2) 980066666,0)2,0cos( ≅ .

El valor absoluto del error es menor que 610x7,2 − . 3) Alcanza con el polinomio de Mac Laurin de orden tres (que coincide con el

de orden dos). Ejercicio 119

2n21n253

x!)2n2(

)c(sh!)1n2(

x...!5

x!3

xx)x(sh ++

++

+++++= (c entre 0 y x).

2n2n242

x!)2n2(

)c(ch!)n2(

x...!4

x!2

x1)x(ch ++

+++++= (c entre 0 y x).

Ejercicio 120 1) Puedes conformarte con verificar la igualdad para algunos valores de n pero

es mejor que la justifiques usando el método de demostración de inducción completa.

2) nn2n

n32 x)x(αx

)!n(4!)n2()1(...x

165x

83x

211

x11

+−

++−+−=+

α es una función continua en 0 tal que α(0) = 0. Ejercicio 121

1) n2n22n

6422

x)x(βx)!n(4!)n2(...x

165x

83x

211

x1

1++++++=

−

β es una función continua en 0 tal que β (0) = 0.

2) 1n21n22n

753 x)x(δx)1n2()!n(4

!)n2(...x112

5x403x

61x)x(Arcsen ++ +

++++++=

δ es una función continua en 0 tal que δ (0) = 0.

3) ...141511172,33440640

10808809π =≅

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


373

Ejercicio 122

1) )2xx(4

)x1(x4

x2

xxxx12xx

2x3x4)x(f 2

76532

2

2

++

−−−+−++=

++

++= .

2) 1)0(f ' = , 2)0(f '' = , 6)0(f ''' −= , 0)0(f )4( = , 60)0(f )5( = , 180)0(f )6( −= . Ejercicio 123 Los polinomios de Mac Laurin de orden cuatro son:

• Para )xcos(ex : 6

x3

xx143

−−+ .

• Para )xcos(

ex :

2x

3x2xx1

432 ++++ .

Nota : En el primer caso no es complicado calcular directamente las cuatro primeras derivadas de la función en 0, pero en el segundo se requiere una tenacidad digna de mejores objetivos. Ejercicio 124 (segunda parte) Hay tres posibilidades: k3 = -k1 y k4 > k2 k3 = k1 = 0 y k4 = k2 > 0 k1 = k2 = k3 = k4 = 0 Ejercicio 127

2) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥++

−+=+

=

1nsi1)n(x2))n(x(32))n(x())n(x(2)1n(x

a)1(x

2

23

3) Al llegar a x(7), con nueve cifras decimales, es claro que es innecesario seguir. x(4) satisface lo pedido.

4) La misma respuesta que en la parte anterior. Ejercicio 128

1) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

=+

=

1nsi3

1)n(x2)1n(x

a)1(x

2) n ≥ 13. Si a = 0 resulta que 1n

321)n(x

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= .

3) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

=+

=

1nsi2

1)n(y)1n(y

a)1(y.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


374

4) n ≥ 8. Si a = 0 resulta que 1n

211)n(y

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= .

5) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥=+=

1nsi1)1n(za)1(z

.

Ejercicio 129

1) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥−=+=

1nsi))n(x(L1()n(x)1n(xa)1(x

con 0 < a < e.

Si n > 1 se cumple que 0 < x(n) ≤ 1. Por lo tanto, 0 < x(n) ≤ max{1, a} ∀ n. En la resolución de esta parte del ejercicio debes estudiar la función g tal que ))x(L1(x)x(g −= .

2)

n x(n) n x(n) 1 2 1 0,5 2 0,613705630 2 0,846573590 3 0,913341207 3 0,987577318 4 0,996131703 4 0,999922517 5 0,999992508 5 0,999999997

4) x(n) = 1 ∀ n. CAPITULO 16 Ejercicio 130

5)n(a* = 1n8)n(b* += n2)n(c* =

1n3n3)n(d 2* ++= n* 2)n(e = n* )1(2)n(f −−= 1n* )1()n(g +λ−λ= nn* )3(16)2(9)n(h −−−−=

)7n8n3(4)n(i 2n* ++= )1n(n3n3)n(j )2(* −==

n* 2n2)n(k += )3n5n3n2()1()n(l 231n* −−−−= +

Ejercicio 131

3) )1n(t)n(t

)n(t)n(t1 **

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

)1n(t)n(t)n(t)1n(s)1n(t)n(s)n(

ts ***

++−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ejercicio 132 Sólo es correcto el resultado correspondiente a *

1s .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


375

Ejercicio 133

s(n) s*(n) s**(n) k 0 0 n 1 0

)p(n )1p(np − )2p(n)1p(p −− nλ n)1( λ−λ n2)1( λ−λ

)ncos( β+α ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+β+α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

−2

nsen2

sen2 ( )α+β+α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

− ncos2

sen4 2

)n(sen β+α ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+β+α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

2ncos

2sen2 ( )α+β+α⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

− nsen2

sen4 2

Ejercicio 134

n v(n) u(n) y(n) y*(n) y*(n)+ u(n)y(n) 1 1 2 1 -1 1 2 4 3 0 4 4 3 9 4 4 -7 9 4 16 5 -3 31 16 5 25 6 28 -143 25 6 36 7 -115

Ejercicio 135

1)!n(3)n(y)1 3 −= nn)n(y)2 23 += 1n)!1n()1(2)n(y)3 1n

3 −+−−= − Ejercicio 136 En los resultados que siguen, k es un número real cualquiera.

n3k)n(y)1 +=

3nk)n(y)2

)3(+=

45k)n(y)3

n+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

21sen2

21ncos

k)n(y)4

Ejercicio 137

3)2(1)n(y)1

n3

−−=

18)2(72n6)n(y)2

n3

−−−=

415)n(y)3

n3

−=

805n205.21)n(y)4

n3

−−=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


376

1)n(y)5 3 = )1nsgn(n)n(y)6 3 −−= Ejercicio 138 1) Si r ≠ 1 – a, una raíz de la ecuación nr)n(ya)n(*y =+ (a, r ∈ R, r ≠ 0) es

nr)n(y α= , donde a1r

1+−

=α .

2) En los resultados que siguen, k es un número real cualquiera. 2.1) 2nn 2)2(k)n(y −+−= 2.2) )k2n()2()n(y 1n −−= −

2.3) 2

35k)n(yn

n −= 2.4) )k5n(5)n(y 1n += −

Ejercicio 139 1) Si r ≠ 1 – a, una raíz de la ecuación nrn)n(ya)n(*y =+ (a, r ∈ R, r ≠ 0) es

nr)rn()n(y α−α= , donde a1r

1+−

=α .

2) En los resultados que siguen, k es un número real cualquiera. 2.1) 3nn 2)1n2()2(k)n(y −−+−= 2.2) 2n)2(n )2(n)2(k)n(y −−−−=

2.3) nn 34

3n25k)n(y +−= 2.4) 1n

)2(n 5

2n5k)n(y −+=

Ejercicio 140 En los resultados que siguen, k es un número real cualquiera.

91n34k)n(y)1 n +

−= 5

2)3(k)n(y)2n

n +−= 1n)2(

n 62

n6k)n(y)3 −+=

Ejercicio 141

n2n)2(n 3)3n(52n3)1n(42k)n(y −+−+−= − , con k ∈ R. Ejercicio 142

1) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥+=+=

1nsi)n(t3n)1n(t1)1(t

2) 4

1n23.7)n(t1n −−

=−

; 1n23.7

4)n(s 1n −−=

−

Ejercicio 143

nn3 )2(

836

241)n(y)1 −−= )n2()1()n(y)2 n

3 +−−=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


377

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=3nsen

93

3ncos

313)n(y)3 n

3))1nsgn(1()4()n(y)4 1n

3 −−−= −

1nsi0)n(y,1)1(y)5 33 >== ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

= −2nsen3)n(y)6 1n

3

Ejercicio 144 En los resultados que siguen, k1 y k2 son números reales cualesquiera.

6nnkk)n(y)1

)3(21 ++=

2n3n)1nsgn(kk)n(y)2

221

−+−+=

1n3nsenk

3ncosk)n(y)3 21 −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=

Ejercicio 145 1) ♦ Si r no es raíz de la ecuación característica, entonces una raíz de la

ecuación n** r)n(yb)n(*ya)n(y =++ (a, b, r ∈ R; r ≠ 0) es la sucesión y tal

que nr)n(y α= con b)1r(a)1r(

12 +−+−

=α .

♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces una raíz de la ecuación n** r)n(yb)n(*ya)n(y =++ (a, b, r ∈ R; r ≠ 0) es la sucesión y tal

que 1nrn)n(y −α= con a)1r(2

1+−

=α .

2) En los resultados que siguen, k1 y k2 son números reales cualesquiera.

2.1) 6)2(n)2(k4k)n(y

1nn

2n

1−−

−−+=

2.2) 173

4nsenk

4ncosk)2()n(y

n21

n +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−=

2.3) 2n)2(

21n 4

2n)nkk(4)n(y −++=


ecuación n** rn)n(yb)n(*ya)n(y =++ (a, b, r ∈ R; r ≠ 0) es la sucesión y

tal que nr))a2r2(rn()n(y +−α−α= con b)1r(a)1r(

12 +−+−

=α .

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


378

♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces una raíz de la ecuación n** rn)n(yb)n(*ya)n(y =++ (a, b, r ∈ R; r ≠ 0) es la sucesión y

tal que 1nr)r41n(n)n(y −α−−α= con )a)1r(2(2

1+−

=α .


2.1) n21

n )1()1n(3nsenk

3ncosk)1()n(y −−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−=

2.2) 2n)3(

21n 2

6n)nkk(2)n(y −++=

2.3) 2n2n2

n1 4)n5n(4k2k)n(y −−++=


1) 18

n5n3)2(kk)n(y2

n21

−+−+=

2) n21

n 212

1n3nsenk

3ncosk)2()n(y −

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−=

Ejercicio 148

1n21nn2

n1 3)n7n(22n53k2k)n(y −− −−−+= , con k1 y k2 números reales

cualesquiera. Ejercicio 149

1) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥++=+==

1nsi)n(t3)1n(t2)2n(t2/1)2(t

1)1(t

2) 8

)1(53)n(tnn −−

= ; nn )1(53

8)n(s−−

=


1e3)x(y)1 21x

3

2

−=− xx)x(y)2 2

3 += 1xe4)x(y)3 2

3x2x

3

2

−−=+−−

Ejercicio 151

535 x

151x

31)x(P +=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


379

Ejercicio 152

31e2)x(y)1

x333

+=

−

91x3e7)x(y)2

x333

−+=

−

41e5)x(y)3

4x43

−=

−

161x4e21)x(y)4

4x43

−−=

−

1)x(y)5 3 = 1xe)x(y)6 1x3 −+= +−

Ejercicio 153 1) Si r ≠ – a, una raíz de la ecuación xre)x(ya)x('y =+ (a, r ∈ R) es

xre)x(y α= , donde ar

1+

=α .

2) En los resultados que siguen, k es un número real cualquiera.

2.1) x2x3 e51ek)x(y += − 2.2) )xk(e)x(y x3 += −

2.3) x3x4 eek)x(y −= 2.4) )xk(e)x(y x4 += Ejercicio 154 1) Si r ≠ – a, una raíz de la ecuación xrex)x(ya)x('y =+ (a, r ∈ R) es

xre)x()x(y β+α= , donde ar

1+

=α y 2)ar(

1+

−=β .

2) En los resultados que siguen, k es un número real cualquiera.

2.1) x2x3 e25

1x5ek)x(y −+= − 2.2) )

2xk(e)x(y

2x3 += −

2.3) x3x4 e)1x(ek)x(y +−= 2.4) )2

xk(e)x(y2

x4 +=

Ejercicio 155

x2x2x ex25e3)1x(4ek)x(y +−+−= , con k ∈ R.

Ejercicio 156

62

11x55x33

eeee)x(y)1−

−+−

−

−= )x2(e)x(y)2 x22

3 −= −

)2(sen)x24(sene)x(y)3 2

1x

3−

=−

95

8xx53

eeee)x(y)4

−−

−−−

−

−=

)x2(e)x(y)5 x13 −= −

)3(sen)x36(sene)x(y)6 x1

3−

= −

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


380


6xxkk)x(y)1

321 ++=

2x2xekk)x(y)2

2x

21−

++= −

1x2

x3senk2

x3coske)x(y)3 212x

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−


ecuación xre)x(yb)x('ya)x(''y =++ (a, b, r ∈ R) es la función y tal que xrek)x(y = con

brar1k

2 ++= .

♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces una raíz de la ecuación xre)x(yb)x('ya)x(''y =++ (a, b, r ∈ R) es la función y tal que

xrexk)x(y = con ar2

1k+

= .


2.1) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= − x

61keek)x(y 2

x3x31

2.2) x221

x2 e171))x(senk)xcos(k(e)x(y ++= −

2.3) x32

21x3 e

2x)xkk(e)x(y ++=


ecuación xrex)x(yb)x('ya)x(''y =++ (a, b, r ∈ R) es la función y tal que xre)x()x(y β+α= con

brar1

2 ++=α y

22 )brar(ar2++

+−=β .

♦ Si r es raíz simple de la ecuación característica, entonces una raíz de la ecuación xrex)x(yb)x('ya)x(''y =++ (a, b, r ∈ R) es la función y tal que

xr2 e)xx()x(y β+α= con ar4

1+

=α y 2)ar2(

1+

−=β .


⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


381

2.1) x221

x23

e)1x(2

x3senk2

x3coske)x(y −−++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2.2) x3

21x e

6x)xkk(e)x(y ++=

2.3) x32x32

x1 e)xx(

41ekek)x(y −++=

Ejercicio 160

x22xx22

x1 e)x2x(2ex5ekek)x(y −−−+= , donde k1 y k2 son números

reales cualesquiera.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Reglas de derivación y tablas de derivadas ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

383

REGLAS DE DERIVACION

Concepto Regla de derivación Supuesto

En lo que sigue las letras f y g representan funciones y la letra k un número.

Suma )x('g)x('f)x(')gf( +=+ f y g son derivables en x Resta )x('g)x('f)x(')gf( −=− f y g son derivables en x Producto por un real )x('fk)x(')fk( = f es derivable en x, k ∈ R Producto )x('g)x(f)x(g)x('f)x(')gf( += f y g son derivables en x Inverso

)x(g)x('g)x(

g1

2

'−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ g es derivable en x g(x) ≠ 0

Cociente

)x(g

)x('g)x(f)x(g)x('f)x(gf

2

'−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

f y g son derivables en x g(x) ≠ 0

Función compuesta )x('f))x(f('g)x(')fg( =o g es derivable en f(x) f es derivable en x

Función inversa

))x(f('f1)x(')f(1

1−

− = f es derivable en f –1(x) f ‘( f –1(x) ) ≠ 0

Es importante que recuerdes las reglas de fk (producto por un real) y de g1

(inverso), las que son habitualmente olvidadas por aquellos estudiantes que

“siempre” aplican las reglas de gf (producto) y de gf (cociente).

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


384

PRIMERA TABLA DE DERIVADAS

f(x) f ‘(x) Condición f(x) f ‘(x) Condición k 0 - L(x) 1/x x > 0 x 1 - L(| x |) 1/x x ≠ 0 nx 1nxn − n ∈ N ; n > 1 sen(x) cos(x) -

x x2

1 x > 0 cos(x) -sen(x) -

xe xe - tg(x) 1 + tg 2(x)

)x(cos12

cos(x) ≠ 0

mx 1mxm − x > 0 ; m ∈ R Arcsen(x)2x1

1

− -1 < x < 1

xa )a(Lax a > 0 Arccos(x)

2x1

1

−− -1 < x < 1

xx ))x(L1(xx +

x > 0 Arctg(x) 2x1

1

+ -

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯


385

SEGUNDA TABLA DE DERIVADAS

f(x) f ‘(x) Condición

En lo que sigue la letra u representa una función derivable y u ‘ su derivada

n))x(u( )x(u))x(u(n '1n− n ∈ N ; n > 1

)x(u )x(u2

)x('u u(x) > 0

)x(ue )x(ue ')x(u -

m))x(u( )x(u))x(u(m '1m− u(x) > 0 m ∈ R

)x(ua

)x(u)a(La ')x(u

a > 0

L(u(x))

)x(u)x(u '

u(x) > 0

L(| u(x) |)

)x(u)x(u '

u(x) ≠ 0

sen(u(x)) (cos(u(x))) u´(x) - cos(u(x)) -(sen(u(x))) u´(x) - tg(u(x)) (1+tg 2(u(x))) u´(x)

)x(ucos)x(u

2

'

cos(u(x)) ≠ 0

Arcsen(u(x))

)x(u1

)x(u2

'

−

-1 <u(x) < 1

Arccos(u(x))

)x(u1

)x(u2

'

−−

-1 <u(x) < 1

Arctg(u(x))

)x(u1)x(u

2

'

+

-

Es interesante que observes que esta segunda tabla es consecuencia de la primera y de la regla de derivación de la función compuesta.

Ojalá logre el fin que me propuse al escribir este libro: contribuir a desarrollar tus facultades de abstraer, de investigar y de razonar y proporcionarte algunos instrumentos que suelen ser muy útiles en la aplicación práctica de la matemática. Espero, además, que disfrutes con tu primer curso de cálculo.

34190659 Calculo en El Mundo de Las Desigualdades

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