4 ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) 4 X. Oliver, C. Agelet -...

ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)

X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

Problemas de Mecánica de Medios

Continuos

Problemas de Mecánica de Medios

ContinuosTEMA 10TEMA 10

MECÁNICA DE FLUIDOSMECÁNICA DE FLUIDOS


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

El disco gira con velocidad angular constante a una distancia “a” de una superficie horizontal.

En la figura se presenta un disco de radio R.

Entre el disco y dicha superficie se encuentra un fluido de comportamiento Newtoniano con viscosidad .

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

a

z

R

r


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

Para la resolución del problema se considerarán las siguientes hipótesis:

Planteamiento de problema

H4

Pueden despreciarse las fuerzas de inercia por ser el movimiento suficientemente lento.

Fluido incompresible.

No se considera el efecto de la paredes laterales (se desprecian los efectos del rozamiento fluido-pared lateral).Se considerará que el campo de velocidades varía linealmente con la distancia a la superfície inferior.

Flujo en régimen estacionario.

H1

H5

H3

H2


X

. O

liver

, C

. A

gele

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Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

sSe pide :

La expresión del campo de velocidades en el fluido antes de aplicar las condiciones de contorno.


1)

R

z

r

vvrr

vv

vvzz


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

a

z

r

Dicha expresión después de aplicar las condiciones de contorno.

Se pide :


2)

vv vvrr

vvzz


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

PP

PP

z

d

dr

a

La expresión de la presión y de la tensión tangencial z.

Se pide :

3)


z

d

dr

a

PP PP

zz

PP


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

El valor del momento MM a aplicar en el eje del disco para mantener el movimiento.

Se pide :


4)

Rr

a

MM


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

sRESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Resolución del problema

Para encontrar el campo de velocidades y la expresión de la presión seguiremos los siguientes pasos de resolución.

Paso 2)

Establecer hipótesis respecto la velocidad y la presión.

Paso 3)

Aplicar la ecuación de continuidad.

Paso 4)

Aplicar las ecuaciones de NAVIER-STOKES.

Paso 5)

Imponer las condiciones de contorno del problema.

Paso 1)

Determinar el sistema de coordenadas.


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

Paso 1)

Determinar el sistema de coordenadas.


Dada la geometría de la figura, se utilizará un sistema de coordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricas.

z

x

yr

r

z’

y’

x’êr

êzê


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

1) Se pide la expresión del campo de velocidades en el fluido antes de aplicar las condiciones de contorno.


i) Puesto que nos encontramos con un movimiento de rotación, podemos suponer que las componentes y del campo de velocidades son nulas.

rv z

v

0vr

0vz

Paso 2)

Establecer hipótesis respecto a la velocidad y a la presión.

R

Z

r

vv


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

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a de

Med

ios

Con

tinuo

s


0 zv

2

θ

2

ii) Al suponer simetría de revolución concluimos que el campo de velocidades no depende de . θ

iv) Por simetría de revolución suponemos que la expresión de la presión tampoco depende de .θ

iii) Recordemos que, según las hipótesis del enunciado, se considera que el campo de velocidades varía linealmente con

la distancia a la superfície inferior (z). Luego:

z)(r, p p

z)(r,vθ


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

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Med

ios

Con

tinuo

s


Después de realizar las tres hipótesis anteriores, tenemos que:

Además, la presión sólo depende de las variables r y z.

Velocidades: Tθ

T

zθr ,0r,z0,v ,v,vvv

0 zv

2

θ

2

Presión: z)(r, p p


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

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a de

Med

ios

Con

tinuo

s

Imponemos la conservación de la masa, que en su forma local espacial corresponde a la ECUACIÓN DE CONTINUIDAD:


0

Fluido incompresible

Imponiendo entonces la condición de incompresibilidad, se obtiene:

Puesto que la densidad es no nula y constante queda: 0

El fluido es incompresible y por tanto la densidad de las partículas no varía con el tiempo, por lo que:

0dt

dρ

Paso 3)

Aplicar la ecuación de continuidad.

0vρdtdρ

0vρ

0v


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s


Luego:

Con lo cual:

Con las hipótesis realizadas se verifica la ecuación de continuidad.

0zv

θv

r1

)(rvrr

1 v zθ

r

0 )(rvrr

10v rr

Como

0 θv

r1

z)(r,v θθ

Como

0 zv

0v zz

Como


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

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a de

Med

ios

Con

tinuo

s


Componente :

b

zvv

rv

rrv

rrrp

rzv

vrvvv

rv

rv

vtv

r

z

r

r

2

2

22

2

2

21)(

1

1

Paso 4)

Aplicar las ecuaciones de NAVIER-STOKES.Recordemos las fórmulas generales de NAVIER-STOKES en coordenadas cilíndricas para un fluido incompresible con y constantes:

Componente z:

z

zzzz

z

zzz

r

z bzvv

rrv

rrrz

pzv

vrvv

rv

rv

vtv

2

2

2

2

2

2 11

Componente r:

r

rr

r

r

z

rr

r

r bzvv

rv

rrv

rrrrp

zv

vrvv

rv

rv

vtv

2

2

22

2

2

2 21)(

1

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0 00 0 0 0 0 0

0 00 00

0

000

0rvComo ),( zrvComo 0 zv

2

θ

2

Como 0zvComo z)(r, p p Como

es el vector de fuerzas

másicas.

g b

b

b

z

r

0

0

Luego

b


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s

En conclusión, las ecuaciones de NAVIER-STOKES quedan expresadas de la forma:


(1)

(2)

(3)

NAVIER-STOKES

0rp

0)(1

rvrrr

0ρgzp


X

. O

liver

, C

. A

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t -

Mec

ánic

a de

Med

ios

Con

tinuo

s


Ahora podemos integrar las ecuaciones resultantes de aplicar

NAVIER-STOKES para encontrar el CAMPO DE VELOCIDADES, tal y como se pide en este apartado, y

también la expresión de la PRESIÓN.

Integrando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la expresión general de la PRESIÓN:

PRESIÓN: kgz- p

PP

z

d

dr

a

PP PP


X

. O

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, C

. A

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Mec

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Med

ios

Con

tinuo

s


Integrando una vez la ecuación (2) obtenemos la expresión:

(z)2C)(rvrr

11θ

Volviendo a integrar la expresión anterior tendremos:

)(2

)(2

2

zCr

zC 2rv1θ

Ahora ya podemos despejar el término , el único no nulo del campo de velocidades.

θv


X

. O

liver

, C

. A

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t -

Mec

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Med

ios

Con

tinuo

s


Obtenemos la expresión:

rzC

rzCv)(

)( 2

1

Hemos hallado la expresión general de donde y

son funciones lineales en z: θ

v )(zC1

)(2

zC

R

Z

r

vv

1,2i BzAzCiii

)(

El campo de velocidades varia linealmente con la distancia a la superficie inferior.

H4

Recordemos:


X

. O

liver

, C

. A

gele

t -

Mec

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a de

Med

ios

Con

tinuo

s


2) Se pide dicha expresión después de aplicar las condiciones de contorno.

La resolución de este apartado se trata de imponer las condiciones de contorno en la expresión de obtenida en el apartado anterior para encontrar el valor de y de

θv

)(zC1

)(2

zC .

rzC

rzCv)(

)( 21

a

Z

rvv


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

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Med

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Con

tinuo

s


Las CONDICIONES DE CONTORNO del problema son:

0(z)C

(z)0Crv 2

1θ)0(

(z)rCzrv 1θ ),(Luego 0(z)C2

En θ

v 0r

i) Para r=0 sabemos que la velocidad no es infinita.θv

Paso 5)

Imponer las condiciones de contorno del problema.


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

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Med

ios

Con

tinuo

s

En 0v 0zθ

0(0)C1 Luego con lo cual:


0(0)C0)(zv 1θ

0B·0A(0)C 111

0B1Luego rz(Azrv 1θ )),(

ii) Imponemos la condición de adherencia. condición de adherencia. Para z=0, debe ser nula.

θv


X

. O

liver

, C

. A

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Mec

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Med

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Con

tinuo

s

En ·rv azθ


rarAa)(zvθ

1

aω

A1 Luego

r arA 1

iii) Para z=a imponemos que la componente sea la misma que la velocidad del disco (condición de adherencia).(condición de adherencia). r vθ

θv


X

. O

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, C

. A

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Mec

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a de

Med

ios

Con

tinuo

s


Luego za

zC1

)( y 0(z)C2

zraω

z)(r,vθ

Y substituyendo en la fórmula general r

zCrzCv

)()( 2

1

que habíamos obtenido en el primer apartado, encontramos

la expresión del CAMPO DE VELOCIDADES después

de aplicar las condiciones de contorno.


X

. O

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, C

. A

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Mec

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Med

ios

Con

tinuo

s


Se pide la expresión de la presión y de la tensión tangencial z.3)

PRESIÓN: kgz- p

Recordemos que el valor de la presión ya lo hemos obtenido en el

primer apartado integrando las ecuaciones de NAVIER-STOKES.

Y el valor de la tensión tangencial z se obtiene aplicando la

expresión:

zv

Z


X

. O

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, C

. A

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Mec

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a de

Med

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Con

tinuo

s


zraω

z)(r,vθ

(del apartado anterior)

(dato del problema)Luego:

raZ

Como ya conocemos el valor del campo de velocidades y el valor de la viscosidad es dato del problema podemos obtener la expresión de : Z

Z

zz


X

. O

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, C

. A

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Mec

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a de

Med

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Con

tinuo

s


Se pide el valor del momento MM a aplicar en el eje del disco para mantener el movimiento.

4)

Para encontrar el momento MM tenemos que hacer equilibrio de momentos en el disco.

La única componente del tensor de tensiones que actúa sobre el disco es . zθτ

En el apartado anterior hemos obtenido en el fluido y no en el disco.

z

0MMzθτ

0Mi

i

En este apartado se pide el momento a aplicar sobre el disco, por lo tanto tenemos que trabajar sobre el sólido rígido y no sobre el fluido como habíamos hecho en los apartados anteriores.


X

. O

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, C

. A

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Mec

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Con

tinuo

s


Recordemos el criterio de signos del tensor de tensiones en un elemento diferencial en coordenadas cilíndricas:

Z

d

dr

z

r

zθτ

zrτrθτrzτ

θzτ

θrτ

Luego, por el principio de acción-reacción, la tensión tangencial en la placa es igual que en el fluido pero de signo contrario.

zθτsobre el fluido

sobre el disco

MMZ

zz zz


X

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, C

. A

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Con

tinuo

s

r

MM

zz

d= r·d·dr


El valor del momento MM se obtiene al aplicar la siguiente integral:

d rM

azZ

O lo que es lo mismo:

dr rd rMazZ

Observemos que d=rd dr.

zzθ-M M 0MM τ Como

Luego:

d rM

azZ


X

. O

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, C

. A

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tinuo

s


Si en la expresión de M M sustituimos z (obtenido en el apartado anterior) e imponemos los límites de integración, tenemos que:

R

dr rd r a

rM0

2

0

Si volvemos a integrar:

R

dr ra

M0

32Integrando una vez:

42

4Ra

M


X

. O

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, C

. A

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Mec

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s


Reordenando la expresión de M M ya obtenida:

aR

M2

4

Rr

Z

a

MM

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